CORRIGÉ du cahier · 31. ˜2 2 4 6 8 10 ˜2 ˜4 ˜6 ˜8 ˜10 ˜10 ˜8 ˜6 ˜4 0 2 4 6 8 10 y x (2,...

451© 2015, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée CORRIGÉ DU CAHIER TEST DIAGNOSTIQUE

TEST DIAGNOSTIQUE

1. d) 2. c) 3. a) 4. d) 5. b) 6. b) 7. c) 8. b)

Page 2

9. d) 10. b) 11. c) 12. c) 13. d) 14. d) 15. b) 16. b) 17. a) 18. a)

Page 3

19. b) 20. a) 21. c)

Page 4

22. d) 23. b) 24. d) 25. a) 26. a)

Page 5

27. a) 1) [210, 1[

2) [24, 1[

3) 0

4) 28, 24, 0 et 4.

5) Croissante sur [26, 23] ∪ [3, 1[ ; décroissante sur [210, 26] ∪ [23, 3].

6) Positif sur [210, 28] ∪ [24, 0] ∪ [4, 1[ ; négatif sur [28, 24] ∪ [0, 4].

b) 1) ]2, 30[

2) ]2, 40]

3) 30

4) 245 et 20.

5) Croissante sur ]2, 225] ∪ [215, 0] ; décroissante sur [225, 215] ∪ [0, 30[.

6) Positif sur [245, 20] ; négatif sur ]2, 245] ∪ [20, 30[.

28. a) 16a4b2 2 4ab3

4ab2(4a3 2 b)4ab2 et 4a3 2 b.

b) 12y6z5 2 72y4z3 1 18y2z4

6y2z3(2y4z2 2 12y2 1 3z)6y2z3 et 2y4z2 2 12y2 1 3z.

29. a) V 5 V r h

3

2�=

5 8,663

2� �

226,72 cm3

b) V 5 V r4

3

3

��

4 (7,5)3

3

��

1767,15 dm3

c) V 5 V can h

2� �

3 2,6 62

4��

�

5 93,6 m3

Page 6

30. a) �

��

3 33 3

4 7

2 9

5 3 2 3

37

5 3 210

b) 55 5

5 5

5 5

8 114 6 2

2 10 2

��

� �

�

�

( )

( )5 5 22 3 (510)2

5 5 22 3 520

5 518

c) 2 2

2

2

2

2 2

2 2

3 2 5

5

22 8

21

3

18 2 3

36 15

5

( ) ( )

( ) ( )

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

5 251

CORRIGÉ du cahier

31.

�2

2

4

6

8

10

�2

�4

�6

�8

�10

2 4 6 8 10�4�6�8�10 0

y

x

(2, 1)

32. a) AT 5 4(3x 1 5)2

5 4(9x2 1 30x 1 25) 5 36x2 1 120x 1 100

(36x2 1 120x 1 100) cm2

b) AT 5 2(2x21)2 1 2 (2x21)(5x 1 4)

5 2(4x224x 1 1) 1 2(10x2 1 3x24)

5 28x222x26

(28x222x 26) mm2

c) AT 5 (6x27)2 14

2(6 7)(3 2)x x2 1

5 36x2284x 1 49 1 2(18x229x214)

5 72x22102x 1 21

(72x22102x 1 21) m2

Page 7

33. a) 3x 1 8 5 4x29 x 5 17 y 5 3 3 17 1 8 5 59(17, 59)

b) 5x 1 30 5 14x 1 12 9x 5 18 x 5 2 y 5 5 3 2 1 30 5 40(2, 40)

c) 12x 1 8 5 12x28 8 5 28

34.c2 5 a2 1 b2 k 5 50

20 V

Vk2

1

35

a 5 29 212 22 5 2,5 5 2,53

5 20 cm 5 15,625

Réponse : Le rapport des volumes est de 15,625.

35. a)

61 630 65 67 69 71

72 8475,5

73 75 77 79 81 83 85

Résultats d’examen

b) 1) 81 72 65 84 77 84 72 63 75 82 78 76 72 6814

74,931 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 74,93

2) 72

3) 84263 5 21

Page 8

36. a) c2 5 a2 1 b2

a 5 38,52 33,412 22

19,17x 19,17 mm

b) c2 5 a2 1 b2

c 5 15,03 7,012 21

16,58x 16,58 cm

37. a) a

A ra r

7 2 6 29 5

6 2 9 5 6

2 2

2

, ,,

, ,

cm

T

�

� ,,

,

2

305 8

2

2

( )cm�

b) c

A PB h 2AB

102 9,2422

T

�

�1306,14 m2

8 7,65 12,1 27,65 9,24 8

�

7,65 m

2

452 CORRIGÉ DU CAHIER TEST DIAGNOSTIQUE © 2015, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée

453© 2015, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée CORRIGÉ DU CAHIER CHAPITRE 1

38. a) 2 3 24 5 48

4 3 12 5 48

f(x) 5 x

48

b)a 5

y yx x

2 1

2 1

2

2

5 8 2

6 62

2 −

5 0,5

g(x) 5 0,5x 1 b

8 5 0,5 3 6 1 b

8 2 3 5 b

5 5 b

g(x) 5 0,5x 1 5

CHAPITRE 1 Propriétés des fonctions, fonction en escalier et fonction périodiqueRAPPEL Relation, réciproque et fonction

Page 10

1. a) Oui. b) Oui. c) Non. d) Oui. e) Non. f ) Non. g) Oui. h) Oui. i ) Oui.

Page 11

2. a) 1) Le nombre d’articles vendus.2) Le profit.

b) 1) La durée de l’appel.2) Le coût d’un appel interurbain.

c) 1) La distance parcourue.2) La quantité d’essence utilisée.

d) 1) Le temps écoulé.2) Le nombre de bactéries observées.

3. a) 1)

2) C’est une fonction.

b) 1)

2) Ce n’est pas une fonction.

c) 1)

2) Ce n’est pas une fonction.

d) 1)


e) 1)


Page 12

4. a) 1) b) 1) c) 1) d) 1)

2) La réciproque est une fonction.

2) La réciproque n’est pas une fonction.

2) La réciproque n’est pas une fonction.

2) La réciproque est une fonction.

Page 13

5. a) Faux.Plusieurs réponses possibles. Exemple : La réciproque du couple (4, 14) est (14, 4) et non pas (214, 24).

b) Vrai.

c) Faux.Plusieurs réponses possibles. Exemple : La réciproque du couple (4, 8) de la droite verte est (8, 4), qui ne correspond à aucun point de la droite bleue.

d) Vrai.

6. c)

x y

2 25

8 22

4 0

9 7

7 9

x y

8 0

8 9

13 14

22 24

35 30

x y

8 210

8 23

8 0

8 6

8 10

x 8 7 6 5 4

y 4 4 4 4 4

x 24 22 0 2 4

y 22 21 0 1 2

y

x0

2

4

6

8

10

2 4 6 8 10

y

x0

2

4

6

8

10

2 4 6 8 10

y

x0

4

8

4�4�4

�8

�8 8

y

x0

4

8

4�4�4

�8

�8 8

454 CORRIGÉ DU CAHIER CHAPITRE 1 © 2015, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée

Page 14

7. a) 1) 6 2) 212 3) 4 4) 4,25 b) 1) 24 2) 18 3)

8. a)

b) C’est une fonction puisqu’à chaque valeur de la durée de la location correspond au plus une valeur du coût de la location.

c)

d) Ce n’est pas une fonction puisqu’au coût de location de 42 $ correspond plus d’une valeur de durée de la location.

9. a) Population d’un village

Temps écoulé (années) 0 2 5 7 10 15

Nombre de villageois 5000 5400 6000 6400 7000 8000

b) Population d’un village

Nombre de villageois 5000 5400 6000 6400 7000 8000


c) P 5 200t 1 5000 P 2 5000 5 200t 0,005P 2 25 5 t

Réponse : t 5 0,005P 2 25, où t correspond au temps écoulé (en années) depuis le dernier recensement et P, au nombre de villageois.

d) C’est une fonction puisqu’à chaque nombre de villageois correspond au plus une valeur de temps écoulé.

Page 15

10. a) 1) Temps écoulé (mois). 2) Profit ($).

b) C’est une fonction puisqu’à chaque mois écoulé correspond au plus une valeur de profit.c)

1

10000

Temps écoulé(mois)

Pro�t($)

Profit d’une entreprise

d) Ce n’est pas une fonction puisque, par exemple, un profit de 3000 $ correspond à deux valeurs de temps écoulé.

e) La réciproque puisque dans cette relation, le profit est la variable indépendante et le temps écoulé est la variable dépendante.

11. a)

b) Valeur de a qui correspond à S(a) = 41 500 :41 500 = 750a + 25 00016 500 = 750a 22 = a

Réponse : Il s’est écoulé 22 années depuis son embauche.

13

Location d’un chevalDurée de la location (h) 1 3 4 5 9

Coût de la location ($) 18 34 42 42 42

Location d’un chevalCoût de la location ($) 18 34 42 42 42

Durée de la location (h) 1 3 4 5 9

Salaire de la technicienneTemps écoulé (années) 0 5 8 11 16 18

Salaire annuel ($) 25 000 28 750 31 000 33 250 37 000 38 500


SECTION 1.1 Propriétés des fonctions

Page 18

1. a) 1) {24, 3, 7, 9, 14}2) {1, 3, 5, 7, 9}

b) 1) ℝ2) ℝ

c) 1) ℝ2) [28, 1[

d) 1) {25, 0, 4, 7}2) {22, 8, 14}

e) 1) ]24, 4]2) [23, 3]

f ) 1) {212, 28, 8, 12, 16}2) {216, 24, 4, 8, 16}

2. Plusieurs réponses possibles. Exemples :a)

0

y

x

b)

0

y

x

c)

0

y

x

d)

0

y

x

Page 19

3. a) 1) 4 et 18.2) 8

b) 1) 212) 2

c) 1) 22 et 6.2) 26

d) 1) Aucune.2) 15

e) 1) 24, 22, 0, 2 et 4.2) 0

f ) 1) 162) 28 et 12.

4. a) Négatif sur [24, 4] ;positif sur [4, 1[ .

b) Négatif sur ]2, 23] ∪ [3, 1[ ;positif sur [23, 3] .

c) Négatif sur [22, 1] ;positif sur [1, 4] .

Page 20

5. a) Croissante sur ℝ ; constante sur [24, 2] .

b) Décroissante sur ]2, 2] ; croissante sur [2, 1[ .

c) Décroissante sur [23, 21] ∪ [1, 3] ; croissante sur [24, 23] ∪ [21, 1] ∪ [3, 4[ .

6. a) Maximum : 4 Minimum : 22

b) Maximum : Aucun. Minimum : Aucun.

c) Maximum : 30 Minimum : 220

7. Plusieurs réponses possibles. Exemple :

2

�2

�4

4

y

0 2�2�4 4 x

Page 21

8. a) 140 min b) 1400 m c) 20 min d) 30 min e) 90 min

9. a) 1) Temps (mois).2) Économies ($).

b) 1) [0, 12] mois2) [2200, 400] $

c) 1) 200 $2) Le montant des économies au début de l’année.

d) 1) 6 et 8 mois.2) Les moments où les économies du couple sont de 0 $.

e) 1) Positif sur [0, 6] mois ∪ [8, 12] mois ; négatif sur [6, 8] mois.2) Le couple a dû utiliser sa marge de crédit, par exemple, du 6e au 8e mois.

f ) 1) Croissante sur [0, 3] mois ∪ [4, 5] mois ∪ [7, 12] mois ; décroissante sur [3, 7] mois ; constante sur [4, 5] mois.2) Le couple dépense ses économies.

g) 1) 400 $2) 2200 $3) Le couple a eu au maximum 400 $ d’économies et au minimum, une dette de 200 $.


SECTION 1.2 Fonction en escalier

Page 22

1.

0

4

8

12

16

20

10 20 30 40 50 x

f (x)

Page 23

2. x f(x)

[0, 20[ 5

[20, 30[ 15

[30, 50[ 10

[50, 60[ 30

[60, 90[ 45

[90, 100[ 35

3. a) 1) Les valeurs critiques sont 24, 22, 1, 2 et 4.2) i) : 23 ii) : 21 iii) : 43) i) : [22, 1[ ii) : Aucun. iii) : [2, 4[

b) 1) Les valeurs critiques sont 20, 40, 60, 80 et 100.2) i) : 100 ii) : 800 iii) : 7003) i) : [20, 40[ i) : [60, 80[ iii) : Aucun.

Page 24

4.Coût($)

Coût d’envoi d’une lettre

0

1

2

3

4

5

100 200 300 400 500 Masse(g)

5. a) 1) ℝ 2) z 3) [0, 1[ 4) 0

b) Négatif sur ]2∞, 1[ ; positif sur [0, 1∞[.

c) Croissante sur ℝ.

d) Aucun extremum.

6. a) ℝ

b) { ...,25, 23, 21, 1, 3, 5, ...}

c) Aucune.

d) 1

e) Négatif sur ]1, 1∞[ ; positif sur ]2∞, 1].

f ) Décroissante sur ℝ.

g) Aucun extremum.

Page 25

7. Pour 125 patients et moins, l’entreprise A propose un coût d’essai moins élevé. Pour 126 à 175 patients, les deux entreprises proposent le même coût. Pour 176 à 250 patients, l’entreprise B propose un coût d’essai moins élevé.

8. a) 1) 23 $ par billet. 2) 22,50 $ par billet. 3) 21,50 $ par billet.

b) 1) 5 à 8 billets. 2) 13 à 18 billets. 3) 19 billets ou plus.


c) 1) Pour 8 billets, on débourse 23 $ par billet. Au total, il faudra débourser 8 3 23 5 184 $. 2) Pour 22 billets, on débourse 20 $ par billet. Au total, il faudra débourser 20 3 22 5 440 $.

d) Pour 18 billets, on débourse 21,50 $ par billet, donc, au total, 18 3 21,50 5 387 $. Pour 19 billets, on débourse 20 $ par billet, donc, au total, 19 3 20 5 380 $. Ariane a raison, elle paiera 7 $ de moins pour avoir un billet de plus.

Page 26

9.

Niveaud’alerte

0

2

4

6

8

10

40 80 120 160 200Nombre de personnes

infectées

Niveau d’alerte de la propagation d’une maladie

Réponse : Si moins de 25 personnes sont infectées, soit de 0 à 24 personnes, le niveau d’alerte est nul. Dès que 160 personnes sont infectées, le niveau d’alerte est maximal.

10.

Coût($)

0

5 000

10 000

15 000

20 000

25 000

50 100 150 200 250Nombre depersonnes

Location d’autobus

Selon le graphique, on détermine que le coût de location est de 12 500 $ pour 212 personnes.

Réponse : Le coût de location est de 12 500 $ pour 212 personnes.

SECTION 1.3 Fonction périodique

Page 27

1. a) 8 b) 4 c) 45 d) 4 e) 20 f ) 50

Page 28

2. a) 9

b) 1) 4 2) 12 3) 6

c) 1) {0, 6, 9, 15, 18, 24, …} 2) {1, 4, 10, 13, 19, 22, …} 3) {7, 8,5, 16, 17,5, 25, 26,5, …}

d) 1) {2, 11, 20, 29, …} 2) {8, 17, 26, 35, …}

3. a) 120

b) 1) 23 2) 23,5 3) 0

c) 1) {45, 165, 285, 405, …} 2) {5, 25, 67,5, 97,5, 125, 145, 187,5, 217,5, …} 3) {0, 30, 60, 75, 90, 105, 120, 150, …}

d) 1) {15, 135, 255, …} 2) {45, 165, 285, …}

Page 29

4. a) 0, 6, 10, 14, 20, 26, 30, 34, 40, 46, 50, 54 et 60 min.

b) Comme la période est 20 min, il faut déterminer sur cette période le nombre de fois où le bruit est supérieur à 100 dB, soit une fois. Sur 60 min, ce niveau est atteint à 3 reprises, donc 18 fois au cours de 6 h de travail. Ensuite, sur une période de 30 min supplémentaires, ce niveau est atteint 2 autres fois.

Réponse : Il devra porter une protection 20 fois.

c) Comme la période est 20 min, la 130e min correspond au même moment que la 10e min sur le graphique. Donc, un peu moins de 6 min après ce moment, le son est de 30 dB.

Réponse : Le patron doit donner ses consignes un peu moins de 6 min après la 130e min, soit à la 136e min environ.

5. a) La durée totale de ce phénomène est de 12 h.

b) Comme le phénomène se répète toutes les 12 h, il faut déterminer à quel moment les 46 h correspondent selon le cycle illustré ci-contre : 46 2 36 5 10 h. Selon le graphique, le niveau d’eau est de 24 m à ce moment.

Réponse : À ce moment, le niveau d’eau sera de 24 m.

c) 1) Le niveau d’eau est maximal à 2 h, 14 h, 26 h, 38 h, 50 h et 62 h. 2) Le niveau d’eau est minimal à 8 h, 20 h, 32 h, 44 h et 56 h.


Page 30

6. a) Un cycle complet dure 2 h 30.

b) 1) 1,5 m 2) 0 m 3) 1,5 m

c) Sur une période de 2 h 30, ça arrive à 0,25 h et à 1,25 h. Sur une journée, il y a neuf périodes complètes, et de 22 h 30 à 24 h, ça arrive deux autres fois.

Réponse : Le niveau d’eau de l’écluse est de 3 m à 0 h 15, 1 h 15, 2 h 45, 3 h 45, 5 h 15, 6 h 15, 7 h 45, 8 h 45, 10 h 15, 11 h 15, 12 h 45, 13 h 45, 15 h 15, 16 h 15, 17 h 45, 18 h 45, 20 h 15, 21 h 15, 22 h 45 et 23 h 45.

d) À 14 h, la hauteur de l’eau dans l’écluse est de 1,5 m et dans un cycle de descente, puisqu’à 1 h 30, 4 h, 6 h 30, 9 h, 11 h 30 et 14 h, l’écluse est en fonction et le niveau d’eau descend.

À partir de ce moment, il faudra 2 h 45 pour sortir de l’écluse : 1 h 30 avant que le niveau d’eau revienne à 4,5 m, 30 min d’attente avant que le niveau d’eau recommence à descendre et 45 min de descente au niveau inférieur.

Réponse : Pour sortir de l’écluse au niveau inférieur, le temps nécessaire est de 2 h 45.

e) Dans un premier cycle, elle entre dans l’écluse entre 1 h 45 et 2 h 15. Comme le cycle dure 2 h 30, elle doit donc prévoir son arrivée au moment où le niveau de l’eau atteint est inférieur.

Réponse : La capitaine doit prévoir son arrivée dans des périodes de 30 minutes à partir de ces heures : 1 h 45, 4 h 15, 6 h 45, 9 h 15, 11 h 45, etc.

MÉLI-MÉLO

Page 31

1. a) 1) ]2, 8] 2) ]2, 2] 3) 25, 23, 4 et 8. 4) 24 5) Négatif sur ]2, 25] ∪ [23, 4] ; positif sur [25, 23] ∪ [4, 8].

6) Croissante sur ]2, 24] ∪ [22, 6] ; décroissante sur [24, 22] ∪ [5, 8] ; constante sur [5, 6]. 7) Maximum : 2 ; minimum : aucun.

b) Non.

2. a)

0

10

20

30

40

50

20 40 60 80 100 x

f(x) b) Fonction en escalier.

c) 1) 30 2) 30 3) 40 4) 45

3. a) 1) ℝ 2) {..., 250, 220, 10, 40, 70, ...} 3) Aucune. 4) 10 5) Négatif sur ]20, 1∞[ ; positif sur ]2∞, 20]. 6) Décroissante sur ℝ. 7) Aucun.

b) Non.

Page 32

4. a) 1) A et E 2) F 3) D 4) B

b) 1) F 2) E 3) C 4) B et F

5. a) 1) ℝ 2) {..., 2700, 2400, 2100, 200, ...} 3) Aucune. 4) 2100 5) Négatif sur ]2, 400] ; positif sur ]400, 1[. 6) Croissante sur ℝ. 7) Aucun.

b) Non.

Page 33

6. a) Fonction en escalier. b) Fonction périodique. c) Fonction périodique. d) Fonction en escalier.


7. a) ℝ

b) [22, 4]

c) ..., , , , , ...2 253

13

73

113{ }

d) 1

e) Négatif sur … ∪ 2 253

13

, ∪ 73

113

, ∪ … ; positif sur … ∪ 213

73

, ∪ 113

193

, ∪ …

f ) Croissante sur … ∪ [25, 23] ∪ [21, 1] ∪ [3, 5] ∪ … ; décroissante sur … ∪ [23, 21] ∪ [1, 3] ∪ [5, 7] ∪ …

g) Maximum à …, 23, 1, 5, 9, … ; minimum à …, 25, 21, 3, 7, …

Page 34

8. a)

b)

c)

23

25

27

29

31

Coût ($)

Temps(min)

Forfait cellulaire

0 2 4 6 8 10

40,75 $

]17, 18] min

9. a) Fonction en escalier.

b) Fonction périodique.

c) Fonction périodique.

d) Fonction en escalier.

10. a) 1) 35 % 2) 65 % 3) 95 %

b) Pour l’intervalle ]2100, 2400], l’efficacité du vaccin est de 75 %. Réponse : Il faut vacciner plus de 2100 personnes.

Page 35

11. Espace mémoire

Nombre de photos ]800, 1200] ]1200, 1600] … ]9200, 9600]

Mémoire (Go) 1536 2048 … 12 288

Réponse : Elle aura besoin d’un espace mémoire de 12 288 Go.

12. a) Un cycle dure 23

s. Dans 1 min, il y a 60 s, donc 60 4 23

5 90 battements.

Réponse : Le rythme cardiaque de cette personne est de 90 battements/min.

b) 1) La 5e seconde correspond à la même mesure que la 1re seconde. Le cœur est en mouvement.

2) La 10e seconde correspond à la même mesure que la 23

e seconde. Le cœur est au repos.

c) 1) La 13e seconde correspond à la même mesure que la 1re seconde. Le cœur est à son activité maximale.

2) La 8 512

e seconde correspond à la même mesure que la 512

e seconde. Le cœur est à son activité minimale.

Page 36

13. a) Il faut deux membres d’équipage par tranche de 200 passagers.

b) Un nombre maximal de 800 passagers peuvent se trouver dans cet avion.

c) Un nombre minimal de deux membres d’équipage est nécessaire.

14. a) 1) 10 1 35 5 45 $ 2) 5 1 10 1 45 5 60 $ 3) 20 1 20 1 10 1 45 5 95 $

b) 1) Plus de 14 kg et au maximum 18 kg. 2) Plus de 4 kg et au maximum 10 kg.

c) Il est possible que chaque colis ait coûté respectivement 5 $ et 35 $ ou 20 $ chacun. Pour la première possibilité, les masses maximales sont de 4 kg et 18 kg, alors que pour la deuxième possibilité, les masses maximales sont de 14 kg chacun.


Page 37

15. a) 1) [0,15, 0,25[ 2) [0,55, 0,65[ 3) [0,65, 0,75[b) 1) 50 % 2) 90 % 3) 90 %

16.

Longueur(m)

Coût($)

Tarif d’une traversée

2 4 6 8 100

10

20

30

40

50

TraversierTraversier

AB

Réponse : Pour un véhicule de 7 m, le traversier A est plus avantageux et coûte 30 $. Pour un véhicule mesurant plus de 7 m et pas plus de 7,5 m, les deux traversiers offrent le même tarif, soit 35 $. Pour un véhicule mesurant plus de 7,5 m, le traversier A offre des tarifs de 35 $, 40 $, 45 $, etc., qui sont plus avantageux.

Page 38

17. Plusieurs démarches possibles. Exemple :Terrain pour enfants Répartition des terrains

Superficie (m2) ]9000, 10 500] ]10 500, 12 000] … ]22 500, 24 000] Nombre de terrains pour enfants [10, 12[ [12, 14[ [14, 16[

Nombre de terrains 6 7 … 15 Nombre de terrains pour adolescents 5 6 7

Réponse : Pour une superficie de 23 000 m2, on peut aménager 15 terrains pour enfants. De plus, avec 15 terrains pour enfants, on peut aménager 7 terrains pour adolescents.

18. a) 45 min

b) 1) 16 °C 2) 20 °C

c) Comme un cycle dure 45 min, il est possible de déterminer que cela se produit 32 fois (32 cycles en 24 h).

d) La température est minimale à 0 h, 0 h 45, 1 h 30, 2 h 15, 3 h, 3 h 45, 4 h 30, 5 h 15, 6 h, 6 h 45, 7 h 30, 8 h 15, 9 h, 9 h 45, 10 h 30, 11 h 15, 12 h, 12 h 45, 13 h 30, 14 h 15, 15 h, 15 h 45, 16 h 30, 17 h 15, 18 h, 18 h 45, 19 h 30, 20 h 15, 21 h, 21 h 45, 22 h 30 et 23 h 15.

Pages 39-40

19. La population de chevreuils varie selon un cycle périodique de 12 ans.

En 2052, la population de chevreuils sera la même qu’en 2028, soit 700.

Nombre de chevreuils [100, 175[ [175, 250[ [250, 325[ [325, 400[ [400, 475[ [475, 550[ [550, 625[ [625, 700[ [700, 775[

Nombre de permis 0 10 20 30 40 50 60 70 80

Pour 700 chevreuils, on attribuera 80 permis.

En 2055, la population de chevreuils sera la même qu’en 2031, soit 400. Pour 400 chevreuils, on attribuera 40 permis.

En 2062, la population de chevreuils sera la même qu’en 2026, soit 550. Pour 550 chevreuils, on attribuera 60 permis.

En 2071, la population de chevreuils sera la même qu’en 2023, soit environ 150. Pour environ 150 chevreuils, on n’attribuera aucun permis.

Réponse : Pour les années 2052, 2055, 2062 et 2071, on attribuera respectivement 80, 40, 60 et 0 permis.


Pages 41-42

20. Dans chaque cas, une table de valeurs peut représenter la situation.

Programme d’entraînement A

Temps écoulé depuis le début du programme d’entraînement (jour)

Durée d’un entraînement (min)

]0, 5] 10

]5, 10] 12

]10, 15] 14

]15, 20] 16

]20, 25] 18

]25, 30] 20

]30, 35] 22

]35, 40] 24

]40, 45] 26

]45, 50] 28

]50, 55] 30

]55, 60] 32

]60, 65] 34

Programme d’entraînement B



]0, 10] 10

]10, 20] 14

]20, 30] 18

]30, 40] 22

]40, 50] 26

]50, 60] 30

]60, 70] 34

Programme d’entraînement C



]0, 6] 10

]6, 12] 20

]12, 24] 40

]24, 30] 10

]30, 36] 20

]36, 48] 40

]48, 54] 10

]54, 60] 20

]60, 72] 40

Réponse : Pour être au sommet de sa forme, l’athlète devra choisir le programme d’entraînement C puisqu’il s’entraînera pendant 40 min au lieu de 34 min en choississant l’un des deux autres programmes.

Pages 43-44

21. Tarif de passage sur la route

Nombre de roues

Heure]0, 4] ]4, 8] ]8, 12] ]12, 1∞[

[0, 6[ 2 $ 3 $ 4 $ 6 $

[6, 9[ 7 $ 10,50 $ 14 $ 21 $

[9, 15[ 5 $ 7,50 $ 10 $ 15 $

[15, 18[ 7 $ 10,50 $ 14 $ 21 $

[18, 21[ 5 $ 7,50 $ 10 $ 15 $

[21, 24] 2 $ 3 $ 4 $ 6 $

Tarif moyen : (2 1 7 1 5 1 7 1 5 1 2 1 3 1 10,50 1 7,50 1 10,50 1 7,50 1 3 1 4 1 14 1 10 1 14 1 10 1 4 1 6 1 21 1 15 1 21 1 15 1 6) 4 24 5 8,75 $

Réponse : Le journaliste a raison. Le tarif moyen indépendamment du nombre de roues du véhicule et de l’heure de passage est supérieur à 8 $, il est de 8,75 $.


CHAPITRE 2 Fonctions polynomiale du second degré, exponentielle et définie par parties

RAPPEL Fonctions polynomiales de degré 0 et du premier degré et lois des exposants

Page 47

1. a) Taux de variation : 7 14 2

32

25

f(x) 5 3x 1 b 1 5 3 3 2 1 b b 5 25Ordonnée à l’origine : 25f(x) 5 3x 2 5

b) Taux de variation :84 487 4

122

25

f(x) 5 12x 1 b 48 5 12 3 4 1 b b 5 0

Ordonnée à l’origine : 0f(x) 5 12x

c) Taux de variation :4 60 3

23

2

2 225

f(x) 5 23

2 x 1 b

6 5 23

2 3 23 1 b b 5 4

Ordonnée à l’origine : 4

f(x) 5 x 423

12

2. a) Taux de variation :1 21 0

32

2

25

Ordonnée à l’origine : 22f(x) 5 3x 2 2

b) Taux de variation : 2 22

25

2 24 1

0

Ordonnée à l’origine : 22f(x) 5 22

c) Taux de variation :

1,540 2020 20

52

2

2

2

Ordonnée à l’origine : 10f(x) 5 1,5x 1 10

3. a)

x

f(x)

0

�2

�4

2

4

�2�4 2 4

b)

x

g(x)

0

�2

�4

2

4

�2�4 2 4

c)

x

h(x)

0

�40

�80

40

80

�40�80 40 80

Page 48

4. a) 5 139 1 2

5 1311

b) 5 123 3 5

5 1215

c) 5 54 2 7

5 523 ou 153

d) 5 (411 2 3)2

5 (48)2

5 48 3 2

5 416

e) 5 66

3 5

12

1

5 68 2 12

5 624 ou 164

f ) 5 33

(4 3) 2

5 2

1 3

3 2

5 33

14

102

5 314 2 210

5 324

5. a) 5 (53)2

5 53 3 2

5 56

b) 5 63 4 68

5 63 2 8

5 625 ou 165

c) 5 (24)2 3 (22)3

5 28 1 6

5 214

d) 5 (24)3 3 (23)2 4 (22)9

5 212 3 26 4 218

5 218 4 218

5 20 ou 1

e)5

5

( )( )33

33

4 2

2 5

3

24

30

5 326 ou 136

f )5

5

2

2

2

( )( )77

77

2 4

3 2

3

24

18

5 726 ou 176

6. a) 5 x4 1 3

5 x7

b) 5 y8 3 2

5 y16

c) 5 z5 2 1

5 z4

d) 5 xy

3 4

1 4

×

×

5 xy

12

4

e) 5 a4 3 2b3 3 2

5 a8b6

f ) 5 e3 2 9

5 e26 ou 16e

Page 49

7. a) 1) f(8) 5 3 3 8 1 6 5 30

2) g(212) 5 20,2 3 212 2 5

5 22,6

3) h(5) 5 3 1513

29

5 179

4) i(25) 5 15 3 25 5 275

b) 1) 42 5 3x 1 6 x 5 12

2) 0,3 5 20,2x 2 5 x 5 226,5

3)2 5 1

329

x 1

x 5 163

4) 105 5 15x x 5 7


8. a) Taux de variation :8 0

10 622

25

f(x) 5 2x 1 b 0 5 2 3 6 1 b 0 5 12 1 b b 5 212

Ordonnée à l’origine : 212f(x) 5 2x 2 12

b) Taux de variation :40 8

100 200 42

25 ,

g(x) 5 0,4x 1 b 8 5 0,4 3 20 1 b 8 5 8 1 b b 5 0

Ordonnée à l’origine : 0g(x) 5 0,4x

9. a) Coût d’un transport en métro

Distance (km) Droit de passage ( $)

1 3

2,5 3

4 3

4,9 3

5,3 3

b) p(d ) 5 3

c) Il s’agit d’une fonction de variation nulle.

d) La représentation graphique de cette fonction est une droite parallèle à l’axe des abscisses où

p(d ) 5 3, c’est-à-dire qui passe par le point (0, 3).Page 50

10. a) q(t) 5 225t 1 400

b)Quantité

de solution(ml)

Évaporation d’une solution

0

100

200

300

400

500

2 4 6 8 10

Temps(min)

c) 10 min 15 s 5 10,25 min

q(t) 5 225 3 10,25 1 400 5 143,75 ml

Réponse : Après 10 min 15 s, il reste 143,75 ml de solution dans le bécher.

d) 87,5 5 225t 1 400 t 5 12,5 min

Réponse : Il reste 87,5 ml de solution dans le bécher après 12,5 min.

11. a) La valeur initiale est de 35 000 $ et elle représente le salaire pour 0 année d’expérience.

b) Le taux de variation est de 1500 $/an et il représente l’augmentation annuelle de salaire.

c) La règle de la fonction est S(a) 5 1500a 1 35 000. 75 000 5 1500a 1 35 00040 000 5 1500a a 26,67 années

Réponse : Un ingénieur en mécanique gagnera ce salaire environ 26,67 années après son embauche.

SECTION 2.1 Fonction polynomiale du second degré

Page 52

1. a)

1

y

1 x0

b) Non, ce n’est pas une fonction, car si x 5 1, par exemple, il lui correspond plus d’une valeur de y.

2. a) Faux. Puisque a . 0, le codomaine de la fonction f est [0, 1[.

b) Faux. Le domaine de toutes les fonctions de la forme g(x) 5 ax2, où a ? 0, est ℝ.

c) Vrai.

d) Faux. L’abscisse à l’origine de toutes les fonctions de la forme i(x) 5 ax2, où a ? 0, est 0.


Page 53

3. a) [23, 2[ b) [0, 9[ c) 0 d) 0

e) Positif sur [23, 2[ ; négatif en 0.

f ) Décroissante sur ]23, 0] ; croissante sur [0, 2[.

g) Minimum : 0 ; maximum : 9.

4. a) Le domaine est [0, 8] min. Il représente la durée totale du remplissage.

b) Le codomaine est [0, 90] L. Il représente les différentes quantités d’eau contenue dans la citerne.

c) L’abscisse à l’origine est 0 min. Elle représente le moment au début du remplissage.

d) L’ordonnée à l’origine est 0 L. Elle représente la quantité d’eau au début du remplissage.

e) La fonction est croissante. Puisqu’il s’agit d’un remplissage, elle représente la quantité d’eau qui augmente selon le temps écoulé.

Page 54

5. a) T(0) 5 2,5 3 02 5 0 °C

T(15) 5 2,5 3 152

5 562,5 °C Réponse : Le codomaine est [0, 562,5] °C.

b) La fonction est croissante sur [0, 15] s. Cet intervalle représente le temps où la température de l’objet augmente pendant la soudure.

6. a) [0, 10] s b) [0, 2200] m c) 0 s d) 0 m

e) Négatif sur [0, 10] s. Il signifie que le dauphin est sous le niveau de la mer, soit sous l’eau.

f ) Décroissante sur [0, 10] s. Il signifie qu’au fur et à mesure que le temps s’écoule, le dauphin descend vers le fond du bassin.

g) Maximum de 0 m et minimum de 2200 m.

SECTION 2.2 Règle d’une fonction polynomiale du second degré

Page 55

1. a)

x

f (x )

4

2

6

8

�6�8

�4

�22 4 6 8�8 �6 �4 �2 0

b)

x

g (x )

4

2

6

8

�6�8

�4

�22 4 6 8�8 �6 �4 �2 0

c)

x0

h (x )

4

2

6

8

�6�8

�4

�22 4 6 8�8 �6 �4 �2 0

Page 56

2. a) f(x) 5 5x2 b) g(x) 5 24x2 c) h(x) 5 0,5x2

d) i(x) 5 2x2 e) j(x) 5 210x2 f ) k(x) 5 22,5x2

g) l(x) 5 0,1x2 h) m(x) 5 0,5x2 i ) n(x) 5 0,0005x2

Page 57

3. a) f(x) 5 ax2

216 5 a(6)2

216 5 36a a 5 6f(x) 5 6x2

b) f(x) 5 ax2

128 5 a(24)2

128 5 16a a 5 8f(x) 5 8x2

c) f(x) 5 ax2

2490 5 a(7)2

2490 5 49a a 5 210f(x) 5 210x2

d) f(x) 5 ax2

8 5 a(0,5)2

8 5 0,25a a 5 32f(x) 5 32x2

e) f(x) 5 ax2

240,5 5 a(24,5)2

240,5 5 20,25a a 5 22f(x) 5 22x2

f ) f(x) 5 ax2

16 5 a(8)2

16 5 64a a 5 0,25f(x) 5 0,25x2


g) f(x) 5 ax2

12 5 a(8)2

12 5 64a

a 5 127

f(x) 5 x2

128

h) f(x) 5 ax2

275,4 5 a(9)2

275,4 5 81a a 5 3,4f(x) 5 3,4x2

i ) f(x) 5 ax2

248 5 a(10)2

248 5 100a

a 5 20,48f(x) 5 20,48x2

4. a) f(x) 5 ax2

7 5 a(1)2

7 5 af(x) 5 7x2

b) g(x) 5 ax2

2240 5 a(4)2

2240 5 16a 215 5 ag(x) 5 215x2

c) h(x) 5 ax2

0,5 5 a(2)2

0,5 5 4a 0,125 5 ah(x) 5 0,125x2

d) i(x) 5 ax2

380 5 a(10)2

380 5 100a 3,8 5 ai(x) 5 3,8x2

e) j(x) 5 ax2

2800 5 a(4)2

2800 5 16a 250 5 aj(x) 5 250x2

f ) k(x) 5 ax2

216 5 a(22)2

216 5 4a 24 5 ak(x) 5 24x2

Page 58

5. a) 1) f(5) 5 6(5)2

5 6(25) 5 150

2) g(25) 5 26(25)2

5 26(25) 5 2150

3) h(100) 5 0,5(100)2

5 0,5(10 000) 5 5000

4) i (2,5) 5 27,8(2,5)2

5 27,8(6,25) 5 248,75

b) 1) 6x2 5 384 x2 5 64 x 5 64

5 8

2) 26x2 5 21200 x2 5 200 x 5 200

14,14

3) 0,5x2 5 8 x2 5 16 x 5 16

5 4

4) 27,8x2 5 2100 x2 12,82 x 12 82,

3,58

6. a) Soit A(t), l’altitude de la fusée (en m), et t, le temps écoulé (en s) depuis le lancement.

A(t) 5 at2

250 5 a(5)2

250 5 25a a 5 10

Réponse : La règle est A(t) 5 10t2.

b) 1) A(8) 5 10(8)2

5 10(64) 5 640 m

Réponse : La fusée atteint 640 m d’altitude.

2) A(17,5) 5 10(17,5)2

5 10(306,25) 5 3062,5 m

Réponse : La fusée atteint 3062,5 m d’altitude.

c) 1) 10t2 5 400 t2 5 40 t 5 40 6,32 6,32 s ( 26,32 s à rejeter)

Réponse : Environ 6,32 s après le lancement.

2) 10t2 51000 t2 5 100 t 5 100 5 10 5 10 s (210 s à rejeter)

Réponse : 10 s après le lancement.

Page 59

7. a) Soit C(l), le coût (en $), et l, la mesure (en m) d’un côté d’un plancher.

C(l ) 5 al 2

26 5 a(2)2

26 5 4a a 5 6,5

Réponse : La règle est C(l) 5 6,5l 2.

b) C(7) 5 6,5(7)2

5 6,5(49) 5 318,50 $

Réponse : Le coût est de 318,50 $.

c) 6,5l2 5 416 l2 5 64 l 5 64 5 8 5 8 m (28 m à rejeter)

Réponse : La pièce mesure 8 m de côté.


8. Soit D(v), la distance (en m) de freinage, et v, la vitesse (en km/h).Règle associée à un freinage sur une chaussée sèche : Dsèche(v) 5 a1v

2

25 5 a1502

a1 5 0,01 Dsèche(v) 5 0,01v2

Règle associée à un freinage sur une chaussée mouillée : Dmouillée(v) 5 a2v2

6 5 a2202

a2 5 0,015 Dmouillée(v) 5 0,015v2

Dsèche(80) 5 0,01(80)2 Dmouillée(80) 5 0,015(80)2

5 64 m 5 96 m 96 2 64 5 32 m

Réponse : Il faut 32 m de plus pour freiner sur une chaussée mouillée que sur une chaussée sèche à 80 km/h.

Page 60

9. Pour une voiture de 1000 kg, la règle de la fonction est e(v) 5 500v2.Pour une voiture de 2000 kg, la règle de la fonction est e(v) 5 1000v2.Pour une voiture de 5000 kg, la règle de la fonction est e(v) 5 2500v2.Réponse : La valeur du paramètre a correspond à la moitié de la masse de l’automobile étudiée.

10. Soit f(x), la distance parcourue (en m), et x, le temps écoulé (en s).Règle associée à cette situation : f(x) 5 ax2

2,45 5 a(0,5)2

2,45 5 0,25a 9,8 5 aLa règle est f(x) 5 9,8x2.On doit déterminer le moment où f(x) 5 4,8 m : 9,8x2 5 4,8 x2 0,49 x 0 49, 0,7 s ( 20,7 s à rejeter)

Réponse : L’objet touchera le sol environ 0,7 s après le début de la chute.

SECTION 2.3 Fonction exponentielle

Page 63

1. a)

2

�2

�4

4

g (x )

2 4�2�4 x0

b) Oui, c’est une fonction. Pour chaque valeur de la variable indépendante, il correspond au plus une seule valeur de la variable dépendante.

2. a) Vrai. b) Faux. La fonction g(x) 5 22(2)x n’a aucun minimum.

c) Vrai. d) Faux. Une fonction de la forme i(x) 5 acx, où a ? 0, c > 0 et c ? 1 ne possède pas d’abscisse à l’origine.

3. a) ℝ b) ]0, 1[ c) Aucun. d) 1 e) Positif sur ℝ. f ) Décroissante sur ℝ. g) Aucun.

Page 64

4. a) Le domaine est [0, 8] ans. Il représente la durée totale du placement.

b) Le codomaine est [800, 3441] $. Il représente les différentes valeurs du placement.


c) L’ordonnée à l’origine est 800 $. Elle représente le montant initial du placement.

d) La fonction est croissante. Puisqu’il s’agit d’un placement, elle représente la valeur du placement qui augmente selon le temps écoulé.

5. a) [225, 25] années

b) [ 12 212, 20 185] habitants

c) Aucun. Il signifie que la population n’est jamais nulle.

d) 15 700 habitants

e) Positif sur le domaine. Il signifie qu’il y a toujours des habitants sur l’île. La population ne peut être négative.

f ) Décroissante sur le domaine. Elle signifie que selon le temps écoulé, la population sur l’île diminue.

g) Minimum à environ 12 212 habitants et maximum à environ 20 185 habitants.

SECTION 2.4 Règle d’une fonction exponentielle

Page 65

1. a) f (x )

x0

5

�5

�10

10

2�2�4 4

b) g (x )

x

5

�5

�10

10

2�2�4 40

c) h (x )

x

8

�8

�16

16

2�2�4 40

d) i (x )

x

2

�2

�4

4

1�1�2 20

e) j (x )

x

40

�40

�80

80

2�2�4 40

f ) k (x )

x

2000

�2000

�4000

4000

2�2�4 40

Page 66

2. a) a 5 1 f(x) 5 1cx

100 5 c2

10 5 c

f(x) 5 10x

b) a 5 1 g(x) 5 1cx

125 5 c23

15 5 c

g(x) 5 15( )

x

c) a 5 8 h(x) 5 8cx

512 5 8c3

64 5 c3

4 5 c

h(x) 5 8(4)x

d) a 5 1000 i(x) 5 1000cx

0,1 5 1000c22

0,0001 5 c22

100 5 c

i(x) 5 1000(100)x

e) a 5 7,5 j(x) 5 7,5cx

1,2 5 7,5c2

0,16 5 c2

0,4 5 c

j(x) 5 7,5(0,4)x

f ) a 5 10 k(x) 5 10cx

2430 5 10c5

243 5 c5

3 5 c

k(x) 5 10(3)x

g) a 5 28 l(x) 5 28cx

2200 5 28c2

25 5 c2

5 5 c

l(x) 5 28(5)x

h) a 5 21000 m(x) 5 21000cx

2500 5 21000c1

0,5 5 c

m(x) 5 21000(0,5)x

i ) a 5 2192 n(x) 5 2192cx

20,375 5 2192c23

0,001 953 125 5 c23

8 5 c

n(x) 5 2192(8)x


Page 67

3. a) f(x) 5 acx

200 5 1c1

200 5 c

f(x) 5 200x

b) f(x) 5 acx

140 5 20c1

7 5 c

f(x) 5 20(7)x

c) f(x) 5 acx

1 5 4c2

0,25 5 c2

0,5 5 c

f(x) 5 4(0,5)x

d) f(x) 5 acx

216 5 21c2

16 5 c2

4 5 c

f(x) 5 2(4)x

e) f(x) 5 acx

21250 5 210c3

125 5 c3

5 5 c

f(x) 5 210(5)x

f ) f(x) 5 acx

0,04 5 25c4

0,0016 5 c4

0,2 5 c

f(x) 5 25(0,2)x

g) f(x) 5 acx

32 000 5 500c22

64 5 c22

18

5 c

f(x) 5 500 18( )

x

h) f(x) 5 acx

20,004 5 20,5c23

0,008 5 c23

5 5 c

f(x) 5 20,5(5)x

i ) f(x) 5 acx

50 625 5 10 000c24

5,0625 5 c24

23

5 c

f(x) 5 10 000 23( )

x

4. a) f(x) 5 acx

2,5 5 1c1

2,5 5 c

f(x) 5 2,5x

b) g(x) 5 acx

300 5 75c1

4 5 c

g(x) 5 75(4)x

c) h(x) 5 acx

800 5 200c2

4 5 c2

2 5 c

h(x) 5 200(2)x

d) i(x) 5 acx

24000 5 24c3

1000 5 c3

10 5 c

i(x) 5 24(10)x

e) j(x) 5 acx

932

5 12 c2

916

5 c2

34

5 c

j(x) 5 12

34( )

x

f ) k(x) 5 acx

2 320243

5 210c5

32243

5 c5

23

5 c

k(x) 5 210 23( )

x

Page 68

5. a) 1) f(4) 5 8(3)4

5 8(81) 5 648

2) g(25) 5 25(0,5)-5

5 25(32) 5 2160

3) h(6) 5 0,8(5)6

5 0,8(15 625) 5 12 500

4) i(3) 5 26(2,5)3

5 26(15,625) 5 293,75

b) 1) 8(3)x 5 5832 3x 5 729 x 5 6

2) 25(0,5)x 5 20,625 0,5x 5 0,125 x 5 3

3) 0,8(5)x 5 0,032 5x 5 0,04 x 5 22

4) 26(2,5)x 5 20,384 2,5x 5 0,064 x 5 23

6. a) Formation des employés

Temps écoulé depuis le début de la formation (jours) 0 1 2 3

Nombre d’employés formés quotidiennement 3 6 12 24

b) Soit N(t), le nombre d’employés formés quotidiennement, et t, le temps écoulé (en jours) depuis le début de la formation.

N(t) 5 act, où a 5 3 selon la table de valeurs. 6 5 3c1

c 5 2 Réponse : La règle est N(t) 5 3(2)t.

c) N(10) 5 3(2)10

5 3(1024) 5 3072 employés

Réponse : À la 10e journée, 3072 employés seront formés pour utiliser la nouvelle technologie.

Page 69

7. a) Soit N(t), le nombre de visionnements, et t, le temps écoulé (en h). N(t) 5 act

5 500ct

4500 5 500c2

9 5 c2

c 5 3 Réponse : La règle est N(t) 5 500(3)t.

b) 1) N(4) 5 500(3)4

5 500(81) 5 40 500 visionnements

Réponse : Il y aura 40 500 visionnements.

2) N(10) 5 500(3)10

5 500(59 049) 5 29 524 500 visionnements

Réponse : Il y aura 29 524 500 visionnements.

c) 1) 1500 5 500(3)t

3 5 3t

t 5 1 h

Réponse : Dans 1 h.

2) 265 720 500 5 500(3)t

531 441 5 3t

t 5 12 h

Réponse : Dans 12 h.


8. a) Soit T(x), la température (en °C), et x, le temps écoulé (en h).

T(x) 5 acx

27,84 5 24c2

1,96 5 c2

c 5 1,4

Réponse : La règle est T(x) 5 24(1,4)x.

b) T(4) 5 24(1,4)4

5 24(3,8416) 215,37 °C

Réponse : La température sera d’environ 215,37 °C.

c) 230 5 24(1,4)x

7,5 5 (1,4)x

x 6 h

Réponse : Environ 6 h après le début de l’observation.

Page 70

9. a) Soit N(t), le nombre de poissons, et t, le temps écoulé (en mois) depuis le début de l’observation.

N(t) 5 act

5 40ct

135 5 40c3

3,375 5 c3

c 5 1,5

Réponse : La règle est N(t) 5 40(1,5)t.

b) N(6) 5 40(1,5)6

40(11,39) 455,63 poissons

Réponse : Il y aura environ 455 poissons.

c) 300 5 40(1,5)t

7,5 5 1,5t

t 5 mois

Réponse : Environ 5 mois après le début de l’observation.

10. Soit V(t), la valeur (en $) du placement, et t, le temps écoulé (en années).Option A

VA(20) 5 10 000(1,05)20

10 000(2,65) 26 532,98 $

Option B

VB(t) 5 act

5 8000ct

9528,13 5 8000c3

c 1,06

La règle est VB(t) 8000(1,06)t. VB(20) 8000(1,06)20

8000(3,207) 25 657,12 $

Option C

VC(t) 5 act

5 12 000ct

14 038,30 5 12 000c4

c 1,04

La règle est VC(t) 12 000(1,04)t. VC(20) 12 000(1,04)20

12 000(2,191) 26 293,48 $

Réponse : Le meilleur rendement est offert par le placement de l’option A . Dans 20 ans, sa valeur sera d’environ 26 532,98 $, ce qui est supérieur aux valeurs générées par les autres placements.

Page 71

11.

Modèle C

Année 0 1 2 3 4 5

Valeur ($) 12 000 8400 5880 4116 2881,20 2016,84

Modèle A

Année 0 1 2 3 4 5

Valeur ($) 15 000 9750 6337,50 4119,38 2677,59 1740,44

Modèle B

Année 0 1 2 3 4 5

Valeur ($) 20 000 12 000 7200 4320 2592 1552,20

Réponse : Le modèle C aura la meilleure valeur de revente, soit 2016,84 $.

12. Soit C(v), la consommation d’essence (en L/100 km), et v, la vitesse (en km/h).

Différence de consommation : 36,23 2 22,16 14,07 L/100 km

Règle associée à une consommation d’essence avec remorque : C(v) 5 acv

7,43 5 5c20

c 1,02

La règle est Cavec remorque(v) 5(1,02)v.

Consommation d’essence avec remorque : C(100) 5 5(1,02)100

36,23 L/100 km

Règle associée à une consommation d’essence sans remorque : C(v) 5 acv

15,5 5 5c76

c 1,015

La règle est Csans remorque(v) 5(1,015)v.

Consommation d’essence sans remorque : C(100) 5 5(1,015)100

22,16 L/100 km

Réponse : La différence de consommation est d’environ 14,07 L/100 km.


Page 72

13. Soit Q(t), la quantité de peinture (en L), et t, le temps écoulé (en min). Règle associée au contenant de peinture A : QA(t) 5 3(0,85)t

Règle associée au contenant de peinture B : Q(t) 5 act

5 2ct

1,62 5 2c2

La règle est QB(t) 5 2(0,9)t. c 5 0,9

Quantité de peinture

Temps écoulé (min) 0 1 2 3 4 5 6 7

Quantité de peinture A (L) 3 2,55 2,17 1,84 1,57 1,33 1,13 0,96

Quantité de peinture B (L) 2 1,8 1,62 1,46 1,31 1,18 1,06 0,96

Réponse : Vers la 7e minute, les deux contenants auront approximativement la même quantité de peinture, soit environ 0,96 L.

14. Actions A :Valeur de l’action à l’achat : V(3) 5 1,2(1,05)3

1,2(1,16) 1,39 $

Valeur de l’action à la vente : V(10) 5 1,2(1,05)10

1,2(1,63) 1,95 $

Bénéfice net pour les 2000 actions :2000 3 (1,95 2 1,39) 1131,05 $

Actions B :Valeur de l’action à l’achat : V(2) 5 2,95(1,075)2

2,95(1,16) 3,41 $

Valeur de l’action à la vente : V(6) 5 2,95(1,075)6

2,95(1,54) 4,55 $

Bénéfice net pour les 5000 actions : 5000 3 (4,55 2 3,41) 5718,23 $

Bénéfice net total : 1131,05 1 5718,23 6849,28 $

Réponse : Le bénéfice net total est d’environ 6849,28 $.

SECTION 2.5 Fonction définie par parties

Page 73

1. f (x )

0 2

4

8

12

16

20

4 6 8 10 12 x

Page 74

2. a) [29, 1[

b) ]2, 4]

c) 27, 23 et 8.

d) 2

e) Négatif sur [27, 23] ∪ [8, 1[ ; positif sur [29, 27,] ∪ [23, 8].

f ) Décroissante sur [29, 26] ∪ [0, 1[ ; croissante sur [26, 2] ; constante sur [0, 2].

g) Maximum : 4.


3. f (x )

0

10

8

6

4

2

2 4 6 8 10 x

4. a) 1) 4 2) 6 3) 22

b) 1) x 5 0 et x 5 6. 2) x 5 2, x 5 3 et x 5 9. 3) x 5 10

Page 75

5. Si x [ Règle

[216, 212] f (x ) 5 215x 2 210

[212, 26] f (x ) 5 230

[26, 6] f (x ) 5 103

10x −10

[6, 16] f (x ) 5 25x 1 40

Si x [ [216, 212] :

a 5 30 �30�16 �12

�

�

5 215 30 5 215 3 216 1 b b 5 2210 f(x) 5 215x 2 210

Si x [ [26, 6] :

a 5 �6 � 6

�30 � 10

5 103

10 5 103

6× + b

b 5 210

f(x) 5 103

10x �

Si x [ [6, 16] :

a 5 106 16�

�

�40

5 25 10 5 25 3 6 1 b b 5 40 f(x) 5 25x 1 40

6. a) 1) [0, 140] min2) Il correspond à la durée

de l’entraînement.

b) 1) [0, 60] km2) Il correspond à la distance

parcourue pendant l’entraînement.

c) Phase 1 : [0, 30] minPhase 2 : [30, 120] minPhase 3 : [120, 140] min

d) Phase 1 : Phase 2 : Phase 3 :

30 min = 0,5 h 30 min = 0,5 h 120 min = 2 h10 00 5 0

−−,

5 20 km/h 120 min = 2 h 140 min = 2 13 h

55 102 0 5

−− ,

5 30 km/h 60 55

2 13

2

−

− 5 15 km/h

Réponse : Phase 1 : 20 km/h, phase 2 : 30 km/h, phase 3 : 15 km/h.

Page 76

7. a) Intervalle Règle

[0, 4] f (x ) 5 5x 2 20

[4, 8] f (x ) 5 0

[8, 18] f (x ) 5 10x 2 80

[18, 20] f (x ) 5 100

[20, 1[ f (x ) 5 2,5x 1 50

b) 1) f(x) 5 10x 2 80 f(11,5) 5 10 3 11,5 2 80 5 35 °C

Réponse : La température est de 35 °C.

2) f(x) 5 2,5x 1 50 f(30) 5 2,5 3 30 1 50 5 125 °C

Réponse : La température est de 125 °C.

8. a)

Salaire annuel($)

Évolution d’un salaire au sein d’une entreprise

0

25 000

35 000

45 000

55 000

65 000

75 000

4 8 12 16 20 24Ancienneté

(années)

b) 1) 8 3 1500 1 25 000 5 37 000 $ 2) 20 3 2500 1 15 000 5 65 000 $


c) Soit x, l’ancienneté (en années). 1) 31 000 5 1500x 1 25 000

x 5 4 années

2) 47 500 5 2500x 1 15 000

x 5 13 années

Page 77

9. Soit f(x), le profit (en $), et x, le temps (en semaines). L’entreprise a enregistré des profits de 3500 $ à trois moments.

Première fois : f(x) 5 600x 1 1000 3500 5 600x 1 1000 x 4,17 semaines

Deuxième fois : f(x) 5 2150x 1 4750 3500 5 2150x 1 4750 x 8,33 semaines

Troisième fois : f(x) 5 400x 2 3500 3500 5 400x 2 3500 x 5 17,5 semaines

Réponse : L’entreprise a enregistré des profits de 3500 $ après environ 4,17 semaines, après environ 8,33 semaines et après 17,5 semaines.

10. Soit G(t), la mesure de la force G, et t, le temps écoulé (en s). Règle pour les 8 premières secondes :2 5 0,5c4

c 1,414

La règle est G(t) 0,5(1,414)t.

Force G après 8 s : G(8) 0,5(1,414)8

5 8 G

Règle pour la deuxième partie de l’expérience :

4 4 811 8

3,63

�

�1,2

, −−

�

�

8 5 21,2 3 8 1 b b 5 17,6

La règle est G(t) 5 21,2t 1 17,6.

Moment où la force G est de 0,5 G : 0,5 5 21,2t 1 17,6 14,25 s 5 t

Réponse : La durée de l’expérience est de 14,25 s.

Page 78

11. Valeur de l’action au troisième mois : V(3) 5 3 3 3 1 2 5 11 $

Règle pour les quatre mois suivants : 11 5 20,75 3 3 1 b b 5 13,25

La règle est V(t) 5 20,75t 1 13,25.

Valeur de l’action au septième mois : V(7) 5 20,75 3 7 1 13,25 5 8 $

Règle jusqu’à la fin de l’année : 8 5 1,4 3 7 1 b b 5 21,8

La règle est V(t) 5 1,4t 2 1,8.

Valeur de l’action à la fin de l’année : V(12) 5 1,4 3 12 2 1,8 5 15 $

Réponse : La valeur de l’action à la fin de l’année est de 15 $.

12. Règle pour la première ascension : 100 5 a 3 52

a 5 4La règle est H(t) 5 4t2.

Règle pour la première descente : 100 5 215 3 5 1 b b 5 175La règle est H(t) 5 215t 1 175.

Règle pour la deuxième ascension : H(10) 5 215 3 10 1 175 5 2525 5 a 3 102

a 5 0,25La règle est H(t) 5 0,25t2.

Règle lors de la deuxième descente : 100 5 0,25t2

t 5 20 s 100 5 215 3 20 1 b b 5 400

La règle est H(t) 5 215t 1 400.

Moment où la cabine est à 0 m : 0 5 215t 1 400 2400 5 215t 26,67 s t

Réponse : Un tour de manège dure environ 26,67 s.


MÉLI-MÉLO

Page 79

1. a) f(x) 5 6x2 b) g(x) 5 5(3)x c) h(x) 5 2,5x2 d) i(x) 5000(1,05)x e) j(x) 5 20,02x2

f ) k(x) 5 2 13( )x

g) l(x) 5 100x2 h) m(x) 5 220(4)x i ) n(x) 5 28x2

Page 80

2. a) 1) f(x) 5 24x 2 60 2) f(x) 5 10

328x + 3) f(x) 5 x 1 14 4) f(x) 5 24x 1 44

b) 1) [218, 12] 2) [212, 20] 3) 215, 28,4 et 11. 4) 145) Négatif sur [215, 28,4] ∪ [11, 12] ; positif sur [218, 215] ∪ [28,4, 11].6) Décroissante sur [218, 212] ∪ [6, 12] ; croissante sur [212, 6].7) Minimum : 212, maximum : 20.

3. a) 1) f(4) 5 8(4)2

5 8(16) 5 128

2) g(3) 5 3(9)3

5 3(729) 5 2187

3) h(10) 5 215(10)2

5 215(100) 5 21500

4) i(21) 5 26(1,5)-1

5 ( )�6 23

5 24

b) 1) 1152 5 8x2

144 5 x2

12 5 x

2) 19 683 5 3(9)x

6561 5 9x

4 5 x

3) 260 5 215x2

4 5 x2

2 5 x

4) 213,5 5 26(1,5)x

2,25 5 1,5x

2 5 x

Page 81

4. a) f (x )

x

6

18

24

30

12

�2�4 2 40

b) g (x )

x

4

12

16

20

8

�2�4 2 40

c) h (x )

x

2

6

8

10

4

�2�4 2 40

d) i (x )

x

1

3

4

5

2

�2�4 2 40

e) j (x )

x

�16

�8

�4

�20

�12

�4�8 4 80

f ) k (x )

x

�800

�400

�200

�1000

�600

�2�4 2 40

5. a) 1) Fonction quadratique. b) 1) Fonction exponentielle. c) 1) Fonction exponentielle.2) f(x) 5 ax2

100 5 a(5)2

100 5 25a 4 5 a

f(x) 5 4x2

2) f(x) 5 acx

768 5 12c2

64 5 c2

8 5 c

f(x) 5 12(8)x

2) f(x) 5 acx

225 5 2200c3

0,125 5 c3

0,5 5 c

f(x) 5 2200(0,5)x

d) 1) Fonction quadratique. e) 1) Fonction quadratique. f ) 1) Fonction exponentielle.2) f(x) 5 ax2

2720 5 a(23)2

2720 5 9a 280 5 a

f(x) 5 280x2

2) f(x) 5 ax2

19,2 5 a(28)2

19,2 5 64a 0,3 5 a

f(x) 5 0,3x2

2) f(x) 5 acx

20 5 0,2c22

100 5 c22

0,1 5 c

f(x) 5 0,2(0,1)x


Page 82

6. a) Si t [ [0, 35], la droite passe par les points dont les coordonnées sont (10, 200) et (30, 500). La règle associée à cet intervalle est S(t) 5 15t 1 50. S(0) 5 15 3 0 1 50 5 50 $

Réponse : Son salaire initial est de 50 $.

b) 1) La règle associée à cet intervalle est S(t) 5 15t 1 50. Réponse : Il gagne 15 $ l’heure.

2) S(35) 5 15 3 35 1 50 5 575 $

Pour 35 h, il reçoit 575 $.De plus, la droite passe par le point dont les coordonnées sont (40, 700).La règle associée à cet intervalle est S(t) 5 25t 2 300.

Réponse : Il gagne 25 $ l’heure.

3) La droite passe par les points dont les coordonnées sont (40, 700) et (45, 875). La règle associée à cet intervalle est S(t) 5 35t 2 700.

Réponse : Il gagne 35 $ l’heure.

c) Comme il travaille plus de 40 h, il faut calculer son salaire à l’aide de la règle S(t) 5 35t 2 700.

S(55) 5 35 3 55 2 700 5 1225 $

Réponse : Il a reçu un salaire de 1225 $.

Page 83

7. a) Test de résistance

Tempsécoulé (min)

Température (°C)

0 4 8 12 16 20

�8

�16

�24

�32

�40

b) 1) T(4) 5 20,5(2)4

5 28 °C

2) T(8) 5 5,5 3 8 2 65 5 221 °C

3) T(20) 5 20,1 3 202

5 240 °C

c) Moments où T(m) 5 216 :

1re fois : 216 5 20,5(2)m

m 5 5 min

2e fois : 216 5 5,5m 2 65 m 8,91 min

3e fois : 216 5 20,1m2

m 12,65 min

Réponse : La température est de 216 °C à 5 min, à environ 8,91 min et à environ 12,65 min.

8. Modèle AValeur à l’achat : V(0) 5 12 000(0,65)0

5 12 000 $

Valeur lors de la vente : V(5) 5 12 000(0,65)5

1392,35 $

Coût d’achat sur 5 ans : 12 000 2 1392,35 10 607,65 $

Modèle BValeur à l’achat : V(0) 5 15 000(0,75)0

5 15 000 $

Valeur lors de la vente : V(5) 5 15 000(0,75)5

3559,57 $

Coût d’achat sur 5 ans : 15 000 2 3559,57 11 440,43 $

Réponse : Il doit acheter le modèle A puisqu’il coûtera environ 10 607,65 $ sur 5 ans, comparativement à environ 11 440,43 $ pour le modèle B .

Page 84

9. a) Soit Q(t), la quantité d’eau (en ml) dans le contenant, et t, le temps écoulé (en s) depuis le début du remplissage.

Q(t) 5 at2

12 5 a(2)2

12 5 4a 3 5 a

Réponse : La règle est Q(t) 5 3t2.

b) 1) Q(4) 5 3(4)2

5 3(16) 5 48 ml

2) Q(10) 5 3(10)2

5 3(100) 5 300 ml

3) Q(11,5) 5 3(11,5)2

5 3(132,25) 5 396,75 ml


c) 1) Q(t) 5 3t2

243 5 3t2

t 5 9 s (t 5 29 s à rejeter)Réponse : À la 9e seconde.

2) Q(t) 5 3t2

468,75 5 3t2

t 5 12,5 s (t 5 212,5 s à rejeter)Réponse : À la 12,5e seconde.

3) Q(t) 5 3t2

675 5 3t2

t 5 15 s (t 5 215 s à rejeter)Réponse : À la 15e seconde.

10. Le comptable devra aviser la directrice lorsqu’il restera le quart du solde du compte bancaire, soit 250 000 $. Il est possible de représenter le solde du compte bancaire par la table de valeurs ci-dessous.

Solde du compte bancaire


Solde du compte bancaire ($) 1 000 000 750 000 562 500 421 875 316 406,25 237 304,69

Réponse : Le comptable devra l’aviser durant la 5e année.

Page 85

11. a) S(t) 5 act

5 100ct

200 5 100c3

2 5 c3

c 1,26Réponse : La règle est S(t) 100(1,26)t.

b) S(12) 100(1,26)12

5 100(16) 5 1600 $Réponse : Le solde de la carte est de 1600 $.

c) 400 100(1,26)t

4 1,26t

t 5 6 moisRéponse : Après 6 mois.

12. a)Altitude

(m)

0

14 000

12 000

10 000

8000

6000

4000

2000

20 40 60 80 100 120 140Temps écoulé

(min)

Altitude du ballon-sonde b) Moment où l’altitude était de 12 000 m : 12 000 5 300t t 5 40 min

12 000 5 2100t 1 18 000 t 5 60 min

12 000 5 40t 1 5400 t 5 165 min

Réponse : Les données ont été transmises à la 40e, 60e et 165e minutes après le lancement.

Page 86

13. a) Soit V(c), le volume (en ml), et c, la mesure d’un côté de la base (en cm) du prisme. V(c) 5 ac2

10 5 a(2)2

10 5 4a 2,5 5 a

Réponse : La règle est V(c) 5 2,5c2.

b) La valeur du paramètre a correspond à la hauteur du prisme à base carrée, soit 2,5 cm.

c) 1 L 5 1000 ml 1000 5 2,5c2

c 5 20 cm (c 5 220 cm à rejeter)Réponse : La mesure d’un côté de la base est de 20 cm.

14. Nombre de personnes infectées dans la ville A :

Ville A

Temps (jours) Nombre de personnes

0 12

1 15

2 19

3 23

4 29

5 37

6 46

7 57

8 72

9 89

10 112

Règle associée au nombre de personnes infectées dans la ville B : Soit f (x), le nombre de personnes infectées, et x, le temps (en jours).

f(x) 5 ax2

20 5 a(4)2

20 5 16a 1,25 5 a f(x) 5 1,25x2

Nombre de personnes infectées dans 10 jours : f(10) 5 1,25 3 102

5 125 personnes

Nombre total de personnes infectées dans les deux villes :112 1 125 237 personnes

Réponse : Il y aura environ 237 personnes infectées.


Pages 87-88

15. Il est possible de représenter la situation au moyen du graphique ci-dessous.

Nombre de poissons la 20e semaine : P(20) 5 5000(1,08)20

23 305 poissons

Valeur de b dans la règle P(t) 5 21000t 1 b : 23 305 21000(20) 1 b b 43 305Donc, P(t) 21000t 1 43 305.

Nombre de poissons la 30e semaine : P(30) 21000(30) 1 43 305 13 305 poissons

Valeur de a dans la règle P(t) at2 :

La 30e semaine, il y aura environ 13 305 poissons. 13 305 a(30)2

14,78 a Donc, P(t) 14,78t2.

Temps pour obtenir un permis pour 30 000 poissons : P(t) 14,78t2 30 000 14,78t2 2029,34 t2 t 45,05 semainesRéponse : Il atteindra ce maximum vers la 45e semaine.

Nombre de poissons

Évolution de la populationde poissons

0

10 000

20 000

30 000

40 000

10 20 30 40

Temps écoulé

(semaines)

Pages 89-90

16. Dans chaque cas, il est possible de représenter la valeur du montant au moyen d’une table de valeurs.

Option A

Temps écoulé depuis la naissance (années) 0 10 20 25 26 27 28 29 30

Montant ($) 0 2500 7500 12 500 13 500 14 500 15 500 16 500 17 500

Soit M(t), le montant (en $) qui sera remis, et t, le temps écoulé (en mois) depuis la naissance.

M(t) 5 act

5 500ct

575 5 500ct

c 5 1,15

Donc, M(t) 5 500(1,15)t

Option B

Temps écoulé depuis la naissance (années) 0 25 26 27 28 29 30

Montant ($) 500 16 459,48 18 928,40 21 767,66 25 032,81 28 787,73 33 105,89

Option C

Temps écoulé depuis la naissance (années) 0 25 26 27 28 29 30

Montant ($) 0 21 875 23 660 25 515 27 440 29 435 31 500

L’option A est la moins avantageuse.

L’option B est avantageuse, mais seulement à la 30e année.

L’option C est la plus avantageuse de la 25e à la 29e année.

Réponse : L’option à choisir est l’option C , puisqu’elle est la plus avantageuse durant la période allant de 25 à 29 ans.


Pages 91-92

17. Soit N(t), le nombre de malades supplémentaires, et t, le temps écoulé (en jours) depuis le début de la propagation.

Règle associée à la propagation de la maladie dans la ville A : N(t) 5 act

5 8ct

24 5 8c1

c 5 3

Donc, la règle est N(t) 5 8(3)t.

Règle associée à la propagation de la maladie dans la ville B : N(t) 5 act

5 20ct

540 5 20c3

27 5 c3

c 5 3


Règle associée à la propagation de la maladie dans la ville C : N(t) 5 act

5 25ct

225 5 25c2

9 5 c2

c 5 3


Dans les trois cas, la valeur de c est 3. Dans la 4e ville, le modèle sera donc le suivant : N(t) 5 12(3)t, puisque, initialement, 12 personnes sont atteintes par la maladie.

CHAPITRE 3 TrianglesRAPPEL Relation de Pythagore et figures et solides semblables

Page 95

1. a)

? 2,38 5,475,97 cm

2 25 1 b)

? 4,02 4,025,69 cm

2 25 1 c)

? 2,53 7,387,8 cm

2 25 1 d)

? 39,11 52,2865,29 cm

2 25 1

e)

? 11,47 6,759,27 cm

2 25 2 f )

? 0,94 0,270,9 cm

2 25 2 g)

? 67,82 49,2646,62 cm

2 25 2 h)

? 21,72 16,8513,71 cm

2 25 2

i )

? 20,32 14,3714,37 cm

2 25 2 j)c a b

?

2 2 2

2 29 63 15 4118 17 cm

, ,,�

k)c a b

?

2 2 2

2 21 29 0 681 1 c m

, ,,�

l )c a b

?

2 2 2

2 20 76 1 371 57 cm

, ,,�

Page 96

2. a), b), c)

3. Non, ces deux figures ne sont pas semblables. Les mesures des côtés homologues sont proportionnelles, mais les angles homologues ne sont pas isométriques.

4. a) 292 5 202 1 h2

h 5 21 cm

V

2800 cm

r h320 21

33

2

2

5

5

5

3

3 3

8796,46 cm3

b) 122 5 62 1 h2

h 10,39 cm

V

r h3

6 10,393

2

2

5 3

3 3

391,78 cm3

c) 0,382 5 0,312 1 h2

h 0,22 cm

V

r h3

0,31 0,223

2

2

5 3

3 3

0,022 cm3

5. Triangle 1 Triangle 2 Triangle 3 Triangle 4 Triangle 5 Triangle 6

m AB 3 24 8,2 5 15 52,32

m BC 4 10 4,5 17 34 45,6

m AC 5 26 9,35 22 7 69,4

Page 97

6. d) 7. a) 8. b) 9. c) 10. c) 11. a)

Réponse : L’évolution de la propagation de la maladie devrait suivre le modèle dont la règle est N(t) = 12(3)t, où N(t) correspond au nombre de malades supplémentaires, et t, au temps écoulé (en jours) depuis de début de la propagation.


12. a) Faux. b) Faux. c) Faux. d) Vrai.

13. a) k 51311

118 , k 5

5

1210

1 2, k 5

97

1 29 ,

Réponse : Ces deux trapèzes ne sont pas semblables, car les mesures de leurs côtés homologues ne sont pas proportionnelles.

b) k 5

5

14460

2 4, k 5

5

2410

2 4,

Réponse : Ces deux pyramides sont semblables, car les mesures de leurs côtés homologues sont proportionnelles et leur rapport de similitude est 2,4.

SECTION 3.1 Conditions minimales d’isométrie des triangles

Page 100

1. a) CCC b) CAC c) CCC d) ACA e) CCC f ) CAC g) ACA h) CAC

2.Hypothèse ABCD est un parallélogramme. A B

D CConclusion ABD CDB

Affirmation Justification

1. �AD CB Les côtés opposés d’un parallélogramme sont isométriques.

2. �AB CD Les côtés opposés d’un parallélogramme sont isométriques.

3. �DB BD Côté commun aux deux triangles.

4. ABD CDB Par la condition minimale CCC.

Page 101

3. a)AB AD

A

D B

C

BC DC

AC AC

Donc, ABC ADC par CCC.

b)∠ ∠ADB CDB

D

A

C

BDB DB

∠ ∠ABD CBD

Donc, ABD CBD par ACA.

4. Puisque les triangles ABE et CBD sont isométriques, on a : 5 5m AB m CB 6 cm, 5 5m BD m BE 3 cm, 5 5m AE m CD 4 cm

5. Ces triangles sont isométriques par la condition minimale CCC.

6.

Hypothèses• AB // CD• Le point M est le point milieu

de AD et de BC.

A B

C D

M

Conclusion AB CD


1. AM DM Le point M est le point milieu de AD.

2. ∠ ∠AMB DMC Les angles opposés par le sommet sont isométriques.

3. BM CM Le point M est le point milieu de BC.

4. ABM DCM Par la condition minimale CAC.

5. AB CD Les côtés homologues des triangles isométriques sont isométriques.


Page 102

7. a)

Hypothèses• ABCD est un parallélogramme. • Le point M est le point milieu

de AC et de BD.

AB

D C

M

Conclusion AMD CMB


1. AM CM Le point M est le point milieu de AC.

2. m ∠ AMD 5 m ∠ CMB Les angles opposés par le sommet sont isométriques.

3. DM BM Le point M est le point milieu de BD.

4. AMD CMB Par la condition minimale CAC.

b)

Hypothèses

• ABCD est un parallélo gramme.

• Le point M est le point milieu de AC et de BD.

AB

D C

M

Conclusion AMB CMD


1. AM CM Le point M est le point milieu de AC.

2. m ∠ AMB 5 m ∠ CMD Les angles opposés par le sommet sont isométriques.

3. DM MB Le point M est le point milieu de BD.

4. AMB CMD Par la condition minimale CAC.

Page 103

8.

Hypothèses

• Le point D est le point milieu de AC.

• Le point E est le point milieu de AB.

• Le triangle ABC est isocèle.

A

C B

D E

Conclusion DB EC


1. DC EB Le triangle ABC est isocèle et les points D et E sont respectivement les points milieux de AC et AB.

2. ∠ DCB ∠ EBC Ce sont les angles isométriques d’un triangle isocèle.

3. CB BC Les triangles DBC et ECB partagent le même côté.

4. DBC ECB Par la condition minimale CAC.

5. DB EC Les côtés homologues des triangles isométriques sont isométriques.

9. a) m ∠ BAC 5 m ∠ DAC

5 48 4 2

5 24°

m AC m ACcm

5

5 9

m ∠ BCA 5 m ∠ DCA

5 180 2 90 2 24

5 66°

Le segment AC est la bissectrice de l’angle DAB.

Les triangles ABC et ADC partagent le même côté.

La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle est de 180°.

Réponse : Le triangle ABC est isométrique au triangle ADC par ACA.


b) Puisque ABC ADC, m BC m DC5 5 3,66 mRéponse : Le segment CD mesure 3,66 cm.

c) À l’aide de la relation de Pythagore, on obtient :

m A m AC m CD

m AD

D

cm

( ) ( ) ( )2 2 2

2 29 3 668 22

,,�

�

Réponse : Le segment AD mesure environ 8,22 cm.

Page 104

10. a) ABD CBD par CAC.6,22 � 2,42x

5,72 dm

b) ABC EDC par CAC.x 5 28°

c) ABE DBC par CAC.x 5 180° 2 (40° 1 32°) 5 108°

d) ABE CBD par ACA.

x 10,42 � 8,12

13,18 cm

11. Puisque les triangles MAV et CBV sont isométriques par ACA :

5

5

5

5

MV CVm AV m BV

7,49 mm MA m CB

5,92 m

m MV m MA m AV

m

5 1

5 1

( ) ( )2 2

2 25 92 7 499 55

, ,,

9,55 . 9

Réponse : Puisque le saut dépasse 9 m, la cascade n’est pas sécuritaire.

Page 105

12. Puisque les triangles ABE et BCD sont isométriques :

5

5

5

5

AB BC

m BE m CD6 m

m AE m BD5 m

5 2

5 2

5

m DE m BE m BD6 51 m

5 1 1 1 1

1 1 1 1

P m AB m BC m CD m DE m AE7,81 7,81 6 1 527,62 m�

�

m AB (m AE) (m BE)

5 67,81 m

m AB m CB

7,81 m

2 2

2 2

Réponse : Le périmètre de la voile est d’environ 27,62 m.

13. On peut affirmer que ces deux triangles rectangles sont isométriques par CCC puisque, à l’aide de la relation de Pythagore, on obtient la longueur de la deuxième cathète, qui, dans ce cas-ci, mesure 21 cm. On peut aussi utiliser la condition minimale CAC puisqu’on dit que le triangle est rectangle. L’angle droit est donc compris entre les deux cathètes et on peut déterminer la mesure de l’autre cathète à l’aide de la relation de Pythagore. On ne peut pas utiliser la condition minimale ACA puisqu’on ne connaît pas la mesure des angles compris entre les cathètes et l’hypoténuse.

14. Tracé 2 : 180 2 110 2 37 5 33° Pour chacun des tracés, on a un côté de 17 m compris entre des angles mesurant respectivement 37° et 33°.

Réponse : Les deux triangles formant les tracés sont isométriques par ACA. Par conséquent, le tracé 2 n’est pas plus long et cet athlète n’a pas raison de se plaindre.

15. Elle a tort, les triangles ne sont pas isométriques par la condition minimale CAC. Puisque le côté AB est homologue au côté DF (le plus long dans chaque cas), c’est le côté DF qui devrait mesurer 61 cm et non le côté DE.

SECTION 3.2 Conditions minimales de similitude des triangles

Page 107

1. a) AA b) CAC c) CCC d) CCC e) CAC f ) AA


2.Hypothèse ABC et AED sont des triangles.

2,4 dm3,3 dm

1,1 dm

7,2 dm

D

E

C

B

A

Conclusion ABC AED


1. m ADm AC

5 57 22 4

3,,

Rapport des mesures de côtés homologues.

2. ∠ CAB ∠ DAE Les deux triangles ont un angle en commun.

3. m AEm AB

5 53 31 1

3,, Rapport des mesures de côtés homologues.

4. ABC ~ AED Par la condition minimale CAC.

Page 108

3. a) AA b) AA c) CAC d) CCC ou CAC.

4.Hypothèse ABC et DBA sont des triangles.

D

A

20 cm

9 cm

12 cmC

B

Conclusion ABC DBA


1. 5 1 5m AB 9 12 15 cm2 2 Par la relation de Pythagore.

2. m ABm BC

5 5159

53


3. m ACB m DAB∠ ∠ °5 5 90 Définition de l’angle droit.

4. m DAm AC

5 52012

53


5. ABC DBA Par la condition minimale CAC.

5. m ∠ ABC m ∠ BCA m ∠ CAB m AB m BC m CA

Triangle 1 23° 90° 67° 26 cm 24 cm 10 cm

Triangle 2 23° 90° 67° 133 4,33 cm 4 cm 5

3 1,67 cm

Triangle 3 23° 90° 67° 13 cm 12 cm 5 cm

Triangle 4 23° 90° 67° 39 cm 36 cm 15 cm

Page 109

6. Périmètre du triangle ABC :3,2 1 4,4 1 6,8 5 14,4 cm

Rapport de similitude des triangles ABC et DEF :18

14,4 5 1,25

Mesure de chacun des côtés du triangle DEF :3,2 3 1,25 5 4 cm4,4 3 1,25 5 5,5 cm6,8 3 1,25 5 8,5 cm

Réponse : Les côtés du triangle DEF mesurent respectivement 4 cm, 5,5 cm et 8,5 cm.


7. Toute droite sécante à deux côtés d’un triangle et parallèle au troisième côté forme un triangle semblable au premier. C B

ED

A

Hypothèses• ABC est un triangle.• La droite DE est sécante à AC et AB. • La droite DE est parallèle à CB.

Conclusion ABC AED


1. ∠ CAB ∠ DAE Angle commun aux deux triangles.

2. ∠ AED ∠ ABC Angles correspondants formés par deux parallèles et une sécante.

3. ABC AED Par la condition minimale AA.

8. Puisque les triangles AEB et CED sont semblables par la condition minimale AA, ∠ AEB ∠ CED (opposés par le sommet) et ∠ EAB ∠ ECD (angles alternes-internes),

m ABm CD

128

m EBm ED

5 5 .

Donc, m ED 5 7,5 4 1,5 5 5 cm.

Puisque le triangle AEB est isocèle,

AE EB et ED EC.

Par conséquent, m AC m AE m EC7,5 5 12,5 cm

Réponse : La diagonale AC mesure 12,5 cm.

Page 110

9. a) x

34,5 5 14

32,2

x 5 15 m

13y

5 1432,2

y 5 29,9 m

b) x

4,2 5 4,22,1

x 5 8,4 cm

6,6y

5 4,22,1

y 5 3,3 cm

c) y 5 1

5

55 48

73

2 2

cm5599

48

86 4

5

5x

x , cm

d) 30 540 18

34

64 66

,

,1

5x

x mm

4030 5

30 540 18

45 57,

,

,1 1

5y

y mm

e) 2 92 9 1 45

3 8

5 7

,, ,

,

,1

5

5

x

x mm

2 92 9 1 45

3 23 2

1 6

,, ,

,,

,1 1

5

5

y

y mm

f ) m BD 5 7,122 2 6,22

3,5 m

x

7,12 3,5

6,2

x 4,02 m

y

3,5 4,02

7,12

y 1,98 m

10. Sachant que les triangles ACE et BCD sont semblables par AA :

Mesure de l’ombre de l’arbre : 2,52 1 1,2 5 3,72 m Rapport des ombres : 3,72 ÷ 1,2 5 3,1

Hauteur de l’arbre : 1,8 3 3,1 5 5,58 m

Réponse : La hauteur de l’arbre est de 5,58 m.

Page 111

11. a)Hypothèses

• ABE et CBD sont des triangles.• ∠ EAB ∠ DCB

B

14 m

9 m

10 m9,8 m

E

A

C

D

Conclusion ABE CBD


1. ∠ ABE ∠ CBD Les angles opposés par le sommet sont isométriques.

2. ∠ EAB ∠ DCB Par hypothèse.

3. ABE CBD Par la condition minimale AA.

b)

m EB 12,6 m

m ABm CB

m EBm DB

1410

m EB9

5

5

5

m CD 7 m

m ABm CB

m AEm CD

1410

9,8m CD

5

5

5

Réponse : Le côté EB mesure 12,6 m et le côté CD, 7 m.


12. Longueur de la base du tremplin 1 :

�m AC 3,26 3

1,28 m

2 2

m BCm EF

5

5

34

0 75,

0,75

m ACm DF

1,281,7

5

5

m ACB m DFE

90

∠ ∠

°

Les tremplins 1 et 2 sont semblables par CAC.

Réponse : Maude a tort. Puisque les deux vues correspondent à des triangles semblables, les deux tremplins ont nécessairement la même inclinaison.

Page 112

13. m ∠ DCG 5 m ∠ GAF 5 25°

Puisque les triangles AFG et CGD sont semblables et que l’angle CGD mesure 29° :

m ∠ CDG 5 m ∠ AGF 5 180° 2 25° 2 29° 5 126°

Réponse : m ∠ DGF 5 69°

14. Puisque les triangles ABC et DEF sont semblables par AA, on peut établir les proportions suivantes :

�

�

�m EF 42,25 mm

m BCm ED

m ABm FE

6452

52m FE

Réponse : Le côté EF mesure 42,25 mm.

15. Puisque les deux triangles formés sont semblables par AA, on peut établir la proportion suivante, où x est la hauteur de l’édifice :

x 170,07 m

x144,31,4 1,65

5

Réponse : La hauteur de l’édifice est d’environ 170,07 m.

Page 113

16. Puisque les triangles ACE et BCD sont semblables par AA, on peut établir les proportions suivantes :

m ACm BC

m ECm DC

5

5

5

1 2 1 2

2

10 5 310 5

2 1 22 1

4

,,

x xx

x

m DC 5 2x 2 1 m ED 5 x 2 2 m BD 5 x2 2 12,5 5 2 3 4 2 1 5 4 2 2 5 42 2 12,5 5 7 u 5 2 u 5 3,5 u

m AE

u

5

5

5

2 2

3 2 3 2

2 3 112

2 4 3 4 112

2

2

4 5

x x

,Réponse : m DC 5 7 u, m ED 5 2 u, m BD 5 3,5 u, m AE 4,5 u

17. Si les triangles sont semblables, alors les rapports des mesures des côtés homologues sont égaux.

b aIci, m AD et m BDa

bba

m CDm AD

m ACm AB

m ADm BD

22 2420

.

Réponse : Le segment AD mesure 60 cm et le segment BD, 50 cm.

20 22 2420 440 24

( )a ba b

1 5

1 5 et 24a 5 20b

( )20 440 5 24 5100 2200 120

a ba b

1 3 5 3

1 5 et

24 6 20 6144 120

a ba b3 5 3

5

Donc,

100 2200 14450

a aa

1 5

5 cm et

24 50 2060

( ) 5

5

bb cm

Donc :m ∠ DGF 5 126° 2 28° 2 29° 5 69°


SECTION 3.3 Relations métriques dans le triangle rectangle

Page 115

1. a) Hypothèse ABC et ADB sont des triangles rectangles.

Conclusion ABC ADB


1. ∠ CAB ∠ BAD Les deux triangles partagent le même angle.

2. ∠ ABC ∠ ADB Ce sont deux angles droits.

3. ABC ADB Par la condition minimale AA.

b) Hypothèse ABC et BDC sont des triangles rectangles.

Conclusion ABC BDC


1. ∠ ACB ∠ BCD Les deux triangles partagent le même angle.

2. ∠ ABC ∠ BDC Ce sont deux angles droits.

3. ABC BDC Par la condition minimale AA.

c) Hypothèse ABD et BCD sont des triangles rectangles.

Conclusion ABD BCD


1. ∠ ADB ∠ BDC Ce sont deux angles droits.

2. ∠ BAD ∠ CBDm ∠ BAD 5 90° 2 m ∠ BCDm ∠ CBD 5 90° 2 m ∠ BCDDonc, ∠ BAD ∠ CBD.

3. ABD BCD Par la condition minimale AA.

Page 116

2.

(m BD) 648 cm

m ADm BD

m BDm CD

16m BD

m BD4

m BD

2

5

5

5

5

3. a) 5m LOm LM

m LMm NL

ou

5m NOm MN

m MNm LN

b) m HIm IK

m IKm IJ

5

4. a) Plusieurs réponses possibles. Exemple :

5

5

m BD 3,78 cm

m ABm BD

m BDm BC

2,8m BD

m BD5,1

3 5 3

3 5 3

m AC m BD m AD m CD7,9 m BD 3,8 6,6

m BD 3,17 cm

b) Le triangle ACD n’est pas rectangle en D. ou Le segment BD n’est pas la hauteur du triangle ACD issue du sommet de l’angle droit. Les triangles formés par ce segment ne sont donc pas semblables.

Page 117

5. a) 3 5 3

3 5 3

m AC m BD m AB m BC17,69 8,82 13 m BC

m BC 12 cm

x 12 cm

b)

m EH 4,9 cm

m EFm EH

m EHm EG

2m EH

m EH12

5

5

x 4,9 cm

c) 5

5

m KL 29,45 cm

m KLm IK

m IKm JK

m KL18

1811

x 29,45 cm

d) 3 5 3

3 5 3

5

m MO m PN m MN m ONm MO 5 6 7

m MO 8,4 cm

x 5 8,4 cm

e) 3 5 3

3 5 3

m QS m RT m QR m RS36,34 m RT 32 15

m RT 13,21 cm

x 13,21 cm

f ) 5

5

m VX 20 cm

m VWm VX

m VXm UV

50m VX

m VX8

=

x 5 20 cm

6. m AB m BC m BD m CD m AC m AD

Triangle 1 11,25 cm 15 cm 9 cm 12 cm 18,75 cm 6,75 cm

Triangle 2 10 cm 24 cm 9,23 cm 22,15 cm 26 cm 3,85 cm


Triangle 4 27,62 cm 29 cm 20 cm 21 cm 40,05 cm 19,05 cm


Page 118

7. Aire des faces latérales :

m BD 0,53 m

m ABm BD

m BDm BC

0,21m BD

m BD1,35

5

5

53

3

A

0,42 m

m AC m BD2

1,56 0,532

triangle

2

AL 2 3 0,42 0,83 m2

Aire de la face oblique :Arectangle 5 m CG 3 m AC 5 1,84 3 1,56 2,87 m2

Aire totale :0,83 1 2,87 3,7 m2

Réponse : L’aire de la surface à recouvrir est d’environ 3,7 m2.

8. (m AC) (m AD) (m CD)3,8 1,53

m AC 14,44 2,344,1m

2 2 2

2 2

5 1

5 1

1

��

m AC m BD m AD m CD4,1 m BD 3,8 1,53

m BD 1,42 m

Réponse : La longueur de chacune des contre-fiches est d’environ 1,42 m.

9. Puisque les sections BC et AD sont parallèles, on peut déduire que la hauteur de la rampe de débarquement CD correspond aussi à la hauteur du triangle ABD. Par conséquent :

5

5

m AE 5,33 m

m AEm BE

m BEm ED

m AE4

43

5

m AB 6,67 m

m AEm AB

m ABm AD

5,33m AB

m AB8,33

Réponse : La longueur de la section inclinée AB est d’environ 6,67 m.

Page 119

10. Longueur de la section inclinée :

5 1

5 1

5 1

(m AB) (m AC) (m BC)3,2 4,1

m AB 10,24 16,815,2 m

2 2 2

2 2

Longueur de la tige 1 :

3 5 3

3 3

m AB m CE m AC m BC5,2 m CE 3,2 4,1

m CE 2,52 m


5 1

1

2

(m AC) (m AE) (m CE)

3,2 (m AE) 2,52m AE 10,24 6,36

1,97 m

2 2 2

2 2 2

3 5 3

3 3

m AC m ED m CE m AE3,2 m ED 2,52 1,97

m ED 1,55 m


5 1

1

2

(m BC) (m BE) (m CE)

4,1 (m BE) 2,52m BE 16,81 6,36

3,23 m

2 2 2

2 2 2

3 5 3

3 3

m BC m EF m CE m BE4,1 m EF 2,52 3,23

m EF 1,99 m

Réponse : Les trois tiges d’acier mesurent respectivement environ 2,52 m, environ 1,55 m et environ 1,99 m.

11. Soit x, la hauteur de l’ovni. 104

km

xx

xx

5

52 406 32 ,

Réponse : La hauteur de l’ovni est d’environ 6,32 km.

Page 120

12. Aire du triangle HCF :

Hauteur du triangle : m GFm CG

m CGm HG

36m CG

m CG9

m CG cm

5

5

= 18

A b htriangle

cm

5

5

5

×

×

245 18

2

405 2

Aire du morceau de bois rectangulaire :

Base de la planche : 4 1 9 1 36 1 11 5 60 cmArectangle 5 b 3 h 5 60 3 18 5 1080 cm2

Aire totale des retailles : 1080 2 405 5 675 cm2

Réponse : L’aire totale des retailles est de 675 cm2.


13. m AE (m AB) (m BE)

3,4 3,041,52 cm

2 2

2 2

5 2

5 2

5

m EC 6,07 cm

m AEm BE

m BEm EC

1,523,04

3,04m EC

5 2

2

m FC m EC m FE6,07 1,94,17 cm

m BC (m AC) (m AB)

7,59 3,46,79 cm

2 2

2 2

5 2

2

5

m CD 5,63 cm

m FCm CD

m CDm AC

4,17m CD

m CD7,59

5

m AD 5,1 cm

m AFm AD

m ADm AC

3,42m AD

m AD7,59

Périmètre du quadrilatère :

��

P m AB m BC m CD m AD3,4 6,79 5,62 5,1

20,91 cm

Réponse : Le périmètre du quadrilatère est d’environ 20,91 cm.

MÉLI-MÉLO

Page 121

1. a) ACA b) CCC c) CAC d) CCC e) ACA f ) CAC

2. a) AA b) CCC c) CAC d) CAC e) AA f ) CCC

3. Réponse : Si les triangles formés n’étaient pas semblables, il serait impossible d’établir des rapports égaux entre les mesures des côtés homologues et donc, on ne pourrait pas établir de relations mathématiques entre les mesures des côtés qui seraient toujours exactes.

Page 122

4. a) 1) CAC b) 1) AA c) 1) CAC2) m AC

m CDm AEm BD

m BD

m BD dm

5

5

5

2416

18

12

x 5 12 dm

2) m ABm CE

m ADm EDm AD

m AD cmm AE

5

5

5

5

26 422 34

40 8

,

,440 8 346 8

,,

2

5 cm

x 5 6,8 cm

2)5

5

5m AD 6,6 cm

m ABm BC

m ADm CD

1,91,9

m AD6,6

x 5 6,6 cm

5. m AB m BC m BD m CD m AC m AD



Triangle 3 13 cm 31,2 cm 12 cm 28,8 cm 33,8 cm 5 cm

Page 123

6. a) Soit x, la hauteur du lampadaire.

x 3,31mx

1,32,5

1,725

b) Soit x, la largeur du canal maritime.0,96

m7 44

1 14

8 84,

,

,

5x

x

c) Soit x, la largeur du boulevard.921 14

10 5

5

5

1

xx

x , m

7. a)Hypothèse DE // AC

D E5 cm

15 cm

B

CA

x

9 cm

Conclusion ∆ ABC ∆ DBE


1. / ABC / DBE Les deux triangles partagent le même angle.

2. / BAC / BDEDes angles correspondants formés par deux parallèles et une sécante sont isométriques.

3. ∆ ABC ∆ DBE Par la condition minimale AA.


b) Puisque ∆ ABC ∆ DBE, on a : 5

15 95 45 15

4 5

5

1 5

5

x

xx x

x

+

cm,

5

15 95 45 15

4 5

5

1 5

5

x

xx x

x

+

cm,

5

15 95 45 15

4 5

5

1 5

5

x

xx x

x

+

cm,

Page 124

8. Rapport de similitude :

k 5

5

21973

Longueur des diagonales du losange EFGH :Grande diagonale : D 5 16 cm

Petite diagonale :

(m FG)2 2

29 8

4,12 cm

m EG m FH

m EG

22 2

2 2

5 1

5 2

d 2 3 4,12 8,25 cm

Longueur des diagonales du losange ABCD :

D 5 73 3 16

37,33 cm

d 573 3 8,25

19,25 cm

Aire du losange ABCD :

A D dlosange

cm

53

3

237 33 19 24

2

359 17 2

, ,

,

Réponse : L’aire du losange ABCD est d’environ 359,17 cm2.

9. Mesure d’une base d’un triangle :a b

a

2 2

2 28 6 4 3

7 45

, ,

,� cm

c2

Aire d’un triangle :

A b h= ×

×2

7 45 4 32

16 01 2

�

�

, ,

, cm

Aire totale du logo :A 6 3 16,01 96,08 cm2

Réponse : L’aire totale de ce logo est d’environ 96,08 cm2.

10. Puisqu’on ne peut utiliser ici la condition minimale CAC, les angles isométriques de ces deux triangles n’étant pas compris entre deux paires de côtés homologues isométriques, ces deux triangles ne sont pas isométriques.

Page 125

11. Soit x, la distance entre le sol et le point d’attache des câbles sur le mat.Hauteur du point d’attache : Longueurs des câbles : Longueur minimale de câble :

10,82 1 7,21 18,03 m

m

94

2 366

xx

xx

�

�

�

c12 a1

2 b

c1

12

2 29 6

10 82

�

�

+

+

� , m

c22 a2

2 b22

c22 26 4

7 21

�

�

+

+

� , m

Réponse : La longueur minimale de câble nécessaire est d’environ 18,03 m.

12. Puisque les deux triangles formés sont semblables, on peut établir la proportion suivante, où x représente la hauteur de l’horloge :137 12 6 1 82

95 97

,, ,

,

5

5

x

x m

Réponse : La hauteur de l’horloge Big Ben est de 95,97 m.

13. Réponse : Lorsqu’on compare deux à deux les modèles 1 , 3 et 4 , les rapports des mesures des côtés homologues sont égaux, ce qui signifie que ces équerres sont semblables entre elles. Par contre, les modèles 1 et 2 ne sont pas semblables, ainsi que les modèles 2 et 3 et les modèles 2 et 4 .

Page 126

14. Taille de Maxime :

Puisque les triangles ABC et DBE sont semblables par la condition minimale AA, on a :

m AC

m AC m

2 422 74

1 5

17

,,

,

,

5

Différence entre la taille des deux frères : 1,7 2 1,5 0,2 m 0,2 m 5 20 cm

Réponse : Maxime a tort, puisque sa taille est d’environ 1,7 m ce qui correspond à environ 20 cm de plus que celle de son frère.


15. Longueur d’une partie du diamètre : 56 ÷ 8 5 7 cm

Aire du disque :Adisque 5 r 2

5 282

2463,01 cm2

Aire du triangle supérieur :Soit x, la hauteur du triangle :

4214

24 25x

x

x

5

, cm

A b htriangle

cm

5×

×

256 24 25

2

678 96 2

,

,

Aire du triangle inférieur :Soit x, la hauteur du triangle :

497

18 52x

x

x

5

, cm

A b htriangle

cm

53

3

256 18 52

2

518 57 2

,

,

Aire de la surface bleue : 2463,01 2 678,96 2 518,57 1265,48 cm2

Réponse : L’aire de la surface bleue est d’environ 1265,48 cm2.

Page 127

16. Distance entre la source et le mur : 0,8 1 3,2 5 4 m

Puisque les triangles formés sont semblables par AA, il est possible de poser la proportion suivante, où x est la hauteur de l’ombre de la main :40080 12 5

62 5

,

,

�

�

x

x cm

Réponse : La hauteur de l’ombre de la main de Rebecca sur le mur est de 62,5 cm.

17. a) m ABm AG

m AGm AC

m AGm AG

m AG m

5

50 9

2 1

1 37

,,

,

m CGm

2 1 1 371 59

2 2, ,,

2

m DGm

1 59 0 542 13, ,,

1

Réponse : La distance qui sépare la surface de l’eau du fond du bassin est d’environ 2,13 m.

b) m GFm

5 02 1 373 65, ,,

2

m DFm

3 65 2 134 22

2 2, ,,

1

m DF m GE m DG m GFm GEm GE

3 5 3

3 34 22 2 13 3 651 84

, , ,,

m

m EFm

3 65 1 843 15

2 2, ,,

2

h 3 33 65 1 84 3 151 59

, , ,,

m

Réponse : La distance qui sépare la surface de l’eau du fond du bassin est d’environ 1,59 m.

Page 128

18.Hypothèse ∠ DFE ∠ ACB

E

B

A CD F

12,6 cm

3,2 cm 16 cm 3,2 cm

11 cm9 cm

Conclusion ∆ DEF ∆ ABC


1. m BCm EF

5 512 6

91 4

,, Rapport des mesures de côtés homologues.

2. m ACm DF

5 522 416

1 4,

, Rapport des mesures de côtés homologues.

3. ∠ DFE ∠ ACB Par hypothèse.

4. ∆ DEF ∆ ABC Par la condition minimale CAC.


19. Mesure de la base du triangle isocèle ABC :( )

,

m AC

m AC

2 2 23 3

18

4 24 m

�

�

+

�

Hauteur de la plateforme :

m AC m BD m AB m BC

4,24 m BD � 3 3

mm BD m� 2 12,

Réponse : La hauteur de cette plateforme est d’environ 2,12 m.

Pages 129-130

20. Mesure de la tige AF :

(m AF)2 5 (m AD)2 2 (m DF)2

m AF

m

2 25 4

25 16

3

Mesure de la tige BF :

m AF m DF m BF m AD

m BF

3 5 3

3 5 33 4 5

m BF 2,4 m5

Mesure de la tige BD :

(m BD)2 5 (m DF)2 2 (m BF)2

,

,

,

m BD

2 24 2 4

10 24

3 2 m

Mesure de la tige BE :

m BF m BD m BE m DF

m BE

m BE 1,92 m

3 5 3

3 5 3

5

2 4 3 2 4, ,

Mesure de la tige DE :

(m DE)2 5 (m BD)2 2 (m BE)2

, ,

,

,

m DE

m

2 23 2 1 92

6 5536

2 56

Diamètre du cercle de centre O :

m BE m DE m CE m BD

m CE

m CE 1,54

1 92 2 56 3 2, , ,

� mm

Circonférence du cercle de centre O :C 5 pd

< p 3 1,54 < 4,83 m

Réponse : La circonférence du cercle de centre O est d’environ 4,83 m.

Pages 131-132

21. Mesure des segments BE et BD :

Si m BE 5 x, alors m BD 5 27 2 x.

Puisque les triangles ABE et CBD sont semblables par la condition minimale AA, on a :

m BEm BD

m AEm CD

où16

9

x

xx

x27

27

9 16 2

, .

( 77

9 432 16

25 432

x

x

x

x

)

17,28 kkm

x

Si la mesure du segment BE est de 17,28 km, on déduit que la mesure du segment BD est de 27 – 17,28, soit 9,72 km.

Mesure du segment BC :

(m BC)2 5 (m BD)2 1 (m CD)2

,

,

,

m BC

km

2 29 72 9

175 48

13 25

� +

��

Mesure du segment AB :

(m AB)2 5 (m BE)2 1 (m AE)2

m AB

17,282 � 162

554,6

23,55 km

�

��

Trajet complet : 16 1 23,55 1 13,25 1 9 1 27 < 88,8 km

Réponse : La distance parcourue si on suit le trajet proposé au complet est d’environ 88,8 km.

Pages 133-134

22. a)Hypothèses

m AE 5 m CDAE // CD

Conclusion ∆ ABE > ∆ DBC


1. / BAE > / BDCLes angles alternes-internes formés par deux parallèles et une sécante sont isométriques.

2. / BEA > / BCDLes angles alternes-internes formés par deux parallèles et une sécante sont isométriques.

3. m AE 5 m CD Par hypothèse.

4. ∆ ABE > ∆ DBC Par la condition minimale ACA.

b) Hypothèses ∆ ABE > ∆ DBC

ConclusionLe point B est situé au milieu des segments AD et CE.


1. AB > DBLes côtés homologues de triangles isométriques sont isométriques.

2. B est situé au milieu du segment AD

Le point B sépare le segment AD en deux segments égaux.

3. BE > BCLes côtés homologues de triangles isométriques sont isométriques.

4. B est situé au milieu du segment CE

Le point B sépare le segment CE en deux segments égaux.


CHAPITRE 4 TrigonométrieRAPPEL Triangle, relation de Pythagore et proportion

Page 136

1. a) Vrai. b) Faux. c) Faux. d) Vrai. e) Vrai. f ) Vrai. g) Faux. h) Faux.

2. a) m ABcm

5 112 1821 63

2 2

,

m ABcm

5 112 1821 63

2 2

,

b) m DFm

5 224 922 25

2 2

,

m DFm

5 224 922 25

2 2

,

c) m HI m GH

2 (m HI) (m GI)

(m HI)

m HI

24,75 mm

352

12252

2

2

2

2

5

3 5

5

5

3. a) 112 1 602 5 612

Oui.b) 332 1 562 622

Non.c) 112 1 352 402

Non.d) 92 1 402 5 412

Oui.

Page 137

4. a) 22° 1 78° 90°Non.

b) 33° 1 57° 5 90°Oui.

c) 44,5° 1 35,5° 90°Non.

d) 22,41° 1 67,59° 5 90°Oui.

5. a) 90° 2 38° 5 52° b) 90° 2 64,5° 5 25,5° c) 90° 2 87° 5 3° d) 90° 2 27,15° 5 62,85°

6. a) 180° 2 (100° 1 20°) 5 60° b) 90° 4 2 5 45° c) 90° 2 22,5° 5 67,5° d) (180° 2 100°) 4 2 5 40°

e) 180° 2 2 3 35° 5 110° f ) 90° 2 51° 5 39°

7. a) Non. b) Oui. c) Non. d) Oui.

8. a) x

x

29 12 18

7,45

12 1829

5 3

53

b) y

y

3 17 5

10,2

3 175

3 5

5

5

3

c) z

z

18 7 31

4,06

18 731

3 5

53

Page 138

9. a) x 12 896

2 5 3

5

5

x 96

9,8

b) y 7 1177

2 5 3

5

5

y 77

8,77

c) z4 17 19323

2 5 3

5

z2 3234

80 75

5

5 ,

5

z 80,75

8,99

10. a) Non. b) Oui. c) Oui. d) non.

11. a) A

A

60 cm

m AC 15 817 cm

60

m BH 7,06 cm

b h2

15 82

17 m BH2

2

2 2

5

5

5

5 1

5

5

3

3

3

b)

A

m AB 64 1262,86 mm

A

377,19 mm

377,19

m BH 11,79 mm

b h2

62,86 122

64 m BH2

2 2

2

5 2

5 3

3

3

c)

A

A

m AC 14 1419,8 dm

98 dm

98

m BH 9,9 dm

b h2

14 142

19,8 m BH2

2 2

2

5 1

5

5

5

3

3

3


Page 139

12. m CDm

m BCm

m BD

5 2

5 2

12 1 811 86

12 2 911 64

2 2

2 2

,,

,,

111 86 11 64

0 22, ,

,2

m

m CDm

m BCm

m BD

5 2

5 2

12 1 811 86

12 2 911 64

2 2

2 2

,,

,,

111 86 11 64

0 22, ,

,2

m

m CDm

m BCm

m BD

5 2

5 2

12 1 811 86

12 2 911 64

2 2

2 2

,,

,,

111 86 11 64

0 22, ,

,2

mRéponse : La distance entre les extrémités supérieures des échelles est d’environ 0,22 m.

13.

P

A

m BC 8 cm

m AD 8 56,24 cm

m AC 2 6,2412,49 cm8 8 12,4928,49 cm

A

31,22 cm

b h2

12,49 52

2 2

2

5

5 2

3

1 1

5 3

3

5 1

1 1

5

5

5

3

3

A

A

m EF 7 911,4 cm7 9 11,427,4 cm

31,5 cm

P

b h2

7 92

2 2

2

P

A

m HK 11 310,58 cm

m KJ 4 32,65 cm

m HJ 10,58 2,6513,23 cm11 4 13,2328,23 cm

A

19,84 cm

b h2

13,23 32

2 2

2 2

2

5 2

5 2

1

1 1

5 3

3

Réponse : Le triangle ABC a le plus grand périmètre et le triangle EFG a la plus grande aire. Il est donc faux d’affirmer que le triangle qui a le plus grand périmètre est aussi celui qui a la plus grande aire.

Page 140

14. v 5

5 2 1

5

m CDB∠

° ° °°

180 90 5238

( )

w 5

5 2

5

m ADB∠° °°

180 38142

x 5

5 2 1

5

m ABD∠

° ° °°

180 142 2513

( )

y 5

5 1

m BD

cm50 65

82 01

2 2

,

m ACcm

5 2120 50109 09

2 2

,

z 5

2

m AD

cm

109 09 6544 09

,,

Réponse : v 5 38°, w 5 142°, x 5 13°, y 82,01 cm, z 44,09 cm

15. 50 min 5 56

h

Distance parcourue par Alexandra : 10 8 356

km/h h , km3 5

Distance parcourue par Laurianne : 7 5 356

km/h h ,8 km3 5

Distance entre les deux sœurs : 8 3 5 83 10 172 2, , ,1 km

A

L

?

5,83 km

8,3 km

Réponse : La distance qui sépare les deux sœurs est d’environ 10,17 km.

16.

A

m BD 25 1221,93 cm

131,59 cm

m AD 32,512 21,9324 cm

21,93 122

2 2

BCD

2

2 2

5 2

2

3

A

263,19 cm

2

A

A

24 21,932

263,19131,59

ABD

2

ABD

BCD

3

Réponse : Gabriel a raison, l’aire du triangle ABD est le double de celle du triangle BCD.

SECTION 4.1 Rapports trigonométriques dans le triangle rectangle

Page 142

1. a) 1) sin A

0,6897

2029

5

2) cos A

0,7241

2129

5

3) tan A

0,9524

2021

5

b) 1) sin A

0,96

2425

5

5

2) cos A

0,28

725

5

5

3) tan A

3,4286

247

5


c) 1) sin A

0,9231

1213

5

2) cos A

0,3846

513

5

3) tan A

2,4

125

5

5

2. a) sin cos tan

D 0,4706817

5 0,88241517

5 0,53815

5 5

E 0,88241517

5 5 0,4706817

1,875158

5 5

b) sin cos tan

D 0,94593537

5 0,32431237

5 2,9163512

5 5

E 0,32431237

5 0,94593537

5 0,34291235

5

c) sin cos tan

D 0,97564041

5 0,2195941

5 4,4409

5 5

E 0,2195941

5 0,97564041

5 0,225940

5 5

Page 143

3. a) m ∠ B 0° 10° 20° 30° 40°

sin B 0 0,1736 0,3420 0,5 0,6428

cos B 1 0,9848 0,9397 0,8660 0,7660

tan B 0 0,1763 0,3640 0,5774 0,8391

m ∠ B 50° 60° 70° 80° 90°

sin B 0,7660 0,8660 0,9397 0,9848 1

cos B 0,6428 0,5 0,3420 0,1736 0

tan B 1,1918 1,7321 2,7475 5,6713 N’existe pas.

b) 1) augmente2) diminue3) interchangées

4. a) 0,454 b) 0,3007 c) 0,3328 d) 0,9018 e) 0,7071

f ) 1,3916 g) 0,9945 h) 0,2619 i ) 0,7813

5. a) tan Q b) sin P ou cos Q. c) sin Q ou cos P. d) tan P

6. A 2 , B 4 , C 1 , D 3 , E 6 , F 5

Page 144

7. a)

5,23 cm

3,7 cm

A

BC

3,7 cm

sinA

0,7071

3,75,23

0,7071

cosA

0,7071

3,75,23

0,7071

tanA

1

3,73,7

5

5 5 1

b)

A

B

C

34 m

30°

29,44 m

17 m

sinA

0,8660

29,4434

0,866

cosA

0,5

1734

5

5 5 0,5

tanA

1,7321

29,4417

1,7321

m BC 3,7 cm5 m AB

cm5 13 7 3 7

5 23

2 2, ,,

m AC

m

5

5

342

1717 m

m BC 34 1729,44 m

2 2

��


8. Puisque cos A 5 6061

, on peut supposer que :

m AC u et m AB u5 560 61

m BCu

5 2

5

61 6011

2 2

a) cosB

0,1803

1161

5

0,1803

b) tanA

0,183

1160

5

5

0,183

c) tan B

5,45

6011

5

5

5 5,45

9. a) m HFcm

5 225 20 314 59

2 2,,

cos

,

,∠ HFG

14 5925

0 5837

b) 1

m EF 14,59 27,431,04 cm

sinE

0,47

14,5931,04

2 2

Page 145

10. a) tan A

b) Comme tan A 5 9 % 5 9100

,

on peut supposer que

m AC m et m BC m.5 5100 9

m AB 9 100

100,4 m

2 25 1

sin A

0,08968,96 %

9100,4

11. m ABcm

5 3

5

2 48

(angle de 30° dans le triangle ABC)

m ACcm

5 28 46 93

2 2

,

m ADcm

6 93 3 55 98

2 2, ,,

2

cos DAC

0,863

5,986,93

∠

12. m CHm

5 110 511 18

2 2

,

m CE 11,18 311,58 m

2 2

1

sin ECH

0,2592

311,58

∠

sin ∠ ECH [ ]0,3, 0,35[

Réponse : Non, le conteneur ne respecte pas la condition énoncée, puisque le sinus de l’angle ECH est d’environ 0,2592.

SECTION 4.2 Résolution d’un triangle rectangle

Page 147

1. a) m ∠ A 5 sin21(0,5) 5 30°

b) m ∠ A 5 sin21(0,8) 53,13°

c) m ∠ A 5 cos21(0,7151) 44,35°

d) m ∠ A 5 cos21(0,25) 75,52°

e) m ∠ A 5 tan21(3,7321) 75°

f ) m ∠ A 5 tan21 33

5 30°

2. m ∠ A 45° 17,25° 0° 28,31° 80° 60°

sin A 22

0,2965 0 0,4742 0,9848 32 0 8660 ,

cos A 22 0 7071 , 0,955 1 0,8804 0,1736 0,5

tan A 1 0,3105 0 0,5387 5,6713 3


Réponse : L’angle d’élévation est d’environ 71,08°.

Réponse : L’avion a parcouru une distance d par rapport au sol d’environ 18,94 km.

3. a) 14 388 62

3 5sin,

ϒ xx cm

b) y

y

3

5

5cos

,

cos

75 27

104 32

2775

ϒ

ϒ

cm

c) 16 5119 76

3 5tan,

ϒ rr cm

d) s

s

3 5

5

tan

,

tan

84 69

7 25

6984

ϒ

ϒ

cm

4. a) Sinus. b) Tangente. c) Sinus. d) Cosinus. e) Tangente. f ) Cosinus.

Page 148

5. a)cos

, cos,

,52

14 6 528 99

14 6ϒ

ϒ

5

3 5

m AB

m ABm AB cm

b)tan 35

m AB tan 35 17

m AB

24,28 dm

17m AB

17tan 35

5

3 5

5

ϒ

ϒ

ϒ

c)

ϒ

ϒ

ϒ

sin 70

m AB sin 70 3,7

m AB

3,94 m

3,7m AB

3,7sin 70

5

3 5

5

6. a) sin B

m B sin

30,95m A 90 30,95

59,05

1835

1835

1

��

∠

°∠ ° °

°

b)cos D

m D cos

75,45m E 90 75,45

14,55

4,417,52

4,417,52

1

5

5

2

2

∠

°∠ ° °

°

c)tan G

m G tan

51,2m I 90 51,2

38,8

22,718,25

22,718,25

1

5

5

2

2

∠

°∠ ° °

°

Page 149

7. a)cos B

m B cos

45m A 90 45

45

m AC 10 5 2

7,5

07 cm

5 210

22

22

1

22

�

( )

∠

˚∠ ˚ ˚

˚

2 cm ou

b)sin ,

sin ,

,

65 5

12 65 5

10 92

12°

°

5

3 5

m EF

m EF

m EF m

m DF

112 10 92

4 9890 65 524 5

2 22

5 2

5

mm E

,,

,,

∠ ° °

°

c)

∠

°∠ ° °

°

tan G

m G tan

30m H 90 30

60

m GH 3 (3 3 )6 dm

33 313

13

1

2 2

5

5

5

5

5 2

5

5 1

5

2

d)

cos 59

m KM cos 59 18

m KM

34,95 mm

m LM 34,95 1829,96 mm

m M 90 5931

18m KM

18cos 59

2 2

5

3 5

5

2

5 2

5

°

°

∠ ° °

°

°

e)sinP

m P sin

35,22m N 90 35,22

54,78

m OP 32,44 18,7126,5 cm

18,7132,44

18,7132,44

1

2 2

5

5

2

5 2

2

∠

°∠ ° °

°

f )tan 21,4

m QR tan 21,4 9,47

m QR

24,16 m

m QS 9,47 24,1625,95 m

m S 90 21,468,6

9,47m QR

9,47tan 21,4

2 2

5

3 5

5

1

5 2

5

°

°

∠ ° °

°

°

Page 150

8. tan A

m A tan

71,08

3512

3512

1

�

∠

°

?AC

B

12 m

35 m

9.

d

d

cos 9

19 175 cos 9

18 938,92 m

18,94 km

d19 175

ϒ

ϒ

5

3 5


10. 85,2 km 5 85 200 m

aa

sin 4

85 200 sin 45943,25 m

a85 200

5

3 5

ϒ

ϒ

Réponse : L’altitude de l’avion est d’environ 5943,25 m au moment d’amorcer sa descente.

11.

d

d

tan 7

tan 7 48

390,93 m

d48

48tan 7

5

3 5

5

ϒ

ϒ

ϒ

Réponse : Le voilier se trouve à environ 390,93 m du phare.

Page 151

12.

65°

h1

12 m

50°d

� 51,47 m

tan

tan,

65

12 6525 73

1

12

1

1

ϒ

ϒ

5

3 5

h

hh m

d

d

Hauteur 2 25,7351,47 m

tan 50

tan 50 51,47

43,19 m

d51,47

51,47tan 50

3

3

ϒ

ϒ

ϒ

Pylône B :

Pylône A :

Réponse : L’ingénieur doit se tenir à une distance d’environ 43,19 m du pylône B .

Page 152

14. Montgolfière A :

d

d

tan 40

tan 40 100

119,18 m

d100

100tan 40

1

1

15

3 5

5

ϒ

ϒ

ϒ

100 m

40°

d1

Montgolfière B :

d

d

tan 25

tan 25 100

214,45 m

d100

100tan 25

2

2

25

3 5

5

ϒ

ϒ

ϒ

100 m

25°

d2

Distance entre les montgolfières : 214,45 2 119,18 95,28 m

Réponse : Une distance d’environ 95,28 m sépare les deux montgolfières.

SECTION 4.3 Loi des sinus

Page 154

1. a) m A∠

°

( )5

5

2sin 1 12

30ou

m A∠ ° °°

5 2

5

180 30150

b) m A sin (0,375)22,02

15 2

∠

°

ou

m A∠ ° °°

180 22 02157 98

2 ,,

c) m A sin (0,8752)61,07

15 2

∠

°

ou

m A∠ ° °°

180 61 07118 93

2 ,,

13. a) Triangle ABC :

tan 38

m AB tan 38 12

m AB

15,36 cm

12m AB

12tan 38

5

3 5

5

ϒ

ϒ

ϒ

Triangle ABH :

sin 38

15,36 sin 38 m BH

m BH 9,46 cm

m BH15,36

3

ϒ

ϒ

b) Triangle ABC :

cos 26

15 cos 26 m BC

m BC 13,48 dm

m BC15

5

3 5

ϒ

ϒ

Triangle BCH :

sin 26

13,48 sin 26 m BH

m BH 5,91 dm

m BH13,48

3

ϒ

ϒ

15. Triangle BCH :

sin 70

9 sin 70 m BHm BH 8,46 m

cos 70

9 cos 70 m CHm CH 3,08 m

m BH9

m CH9

5

3 5

5

3 5

ϒ

ϒ

ϒ

ϒ

Triangle ABH :

tan 50

m AH tan 50 8,46

m AH

7,1m

8,46m AH

8,46tan 50

3

ϒ

ϒ

ϒ

Mesure de la base :

m AC 7,1 3,0810,18 m

1

Aire du triangle ABC :

A

43,02 m

b h2

10,18 8,462

2

53

3

Réponse : L’aire de cette section du parc est d’environ 43,02 m2.


2. a)

m BC

5,24 cm

m BCsin 41

7,4sin 1127,4 sin 41

sin 112

5

5

ϒ ϒ

ϒϒ

b)

m DF

15,15 m

m DFsin 80

8,6sin 348,6 sin 80

sin 34

5

5

ϒ ϒϒ

ϒ

c) m G

m HI

m HI

∠ ° ° °

°

° °

5 2 1

5

5

180 124 1541

41415

( )

sin sin

554 41

15

10 14

sinsin

,

°

°

dm

d) m ∠ K 5 180° 2 (108° 1 30°)

5 42°

21,32 cm

m JKsin108

15sin 42

m JK15 sin108

sin 42

ϒ ϒ

ϒ

ϒ

5

5

e) m ∠ N 5 180° 2 (26° 1 16°)

5 138°

5,7 m

m NOsin 26

8,7sin138

m NO8,7 sin 26sin138

ϒ ϒ

ϒ

ϒ

5

5

f ) m ∠ R 5 48° (PQR est isocèle)

m ∠ P 5 180° 2 (48° 1 48°)

5 84°

25,41mm

m PQsin 48

34sin 84

m PQ34 sin 48

sin 84

ϒ ϒ

ϒ

ϒ

5

5

Page 155

3. a)

9 sin A 7 sin100

sin A

m A sin

sin (0,766)49,99

9sin 100

7sin A

7 sin 1009

7 sin 1009

1

1

5

5

5

5 2

2

°

∠

°

°

°

°

(L’angle A ne peut pas être obtus.)

b)

16,2 sinD 10,3 sin 68

sinD

m D sin

sin (0,5895)36,12

16,2sin 68

10,3sin D

10,3 sin 6816,2

10,3 sin 6816,2

1

1

5

5

5

5 2

2

°

∠

°

°

°

°

(L’angle D ne peut pas être obtus.)

c)

8,4 sin I 12 sin 37

sin I

m I sin

sin (0,8597)59,29

8,4sin 37

12sin I

12 sin 378,4

12 sin 378,4

1

1

5

5

5

5 2

2

°

∠

°

°

°

°

ou

m I∠ ° °°

180 59 29120 71

2 ,,

d)

7sin K 18 sin 22

m K si

sin K

n

sin 0,9633

74,42

7sin 22

18sin K

18 sin 227

18 sin 227

1

1 ( )

°

∠

°

°

°

°

��

ou

m ∠ K 180° 2 74,42°

105,58°

e)

29,5 sin M 31,3 sin 49

m M si

sin M

n

sin (0,8008)53,2

29,5sin 49

31,3sin M

31,3 sin 4929,5

31,3 sin 4929,5

1

1

°

∠

°

°

°

°

��

ou

m ∠ M 180° 2 53,2°

126,8°

f )

35 sin P 28,4 sin 117

m P si

sin P

n

sin (0,723)46,3

35sin 117

28,4sin P

28,4 sin 11735

28,4 sin11735

1

1

°

∠

°

°

°

°

��

(L’angle P ne peut pas être obtus, puisqu’il y en a déjà un dans le triangle PQR.)

Page 156

4. a) Mesure de l’angle B :

16 sinB 7 sin 40

sinB

m B sin

sin (0,2812)16,33

16sin 40

7sin B

7 sin 4016

7 sin 4016

1

1

5

5

5

5 2

2

°

∠

°

°

°

°

(L’angle B ne peut pas être obtus.)

Mesure de l’angle C :

m C∠ ° ° °°

180 40 16 33123 67

2 1( , ),


m AB

20,72 cm

m ABsin 123,67

16sin 4016 sin 123,67

sin 40

ϒ ϒ

ϒϒ


b) Mesure de l’angle D :

m D 180 (32 19 )129

5 2 1

5

∠ ° ° °°

Mesure du segment EF :

m EF

11,73 m

m EFsin 129

8sin 328 sin 129

sin 32

5

5

ϒ ϒ

ϒϒ

Mesure du segment DF :

m DF

4,91 m

m DFsin 19

8sin 328 sin 19sin 32

ϒ ϒ

ϒϒ

5

5

c) Mesure de l’angle G :

40 sin G 44 sin 57

sin G

m G sin

67,3 ou 112,7

40sin 57

44sin G

44 sin 5740

44 sin 5740

1

5

5

5

5 2

°

∠

° °

°

°

°

Mesure de l’angle H :

m H 55,7 ou 10,3 ∠ ° °

Mesure du segment GI :

m GI

39,4 dm

m GIsin 55,7

40sin 5740 sin 55,7

sin 57

ϒ ϒ

ϒϒ

ou m GI

8,53 dm

m GIsin 10,3

40sin 5740 sin 10,3

sin 57

ϒ ϒ

ϒϒ

Page 157

5. m ABS 180 55125

m ASB 180 (40 125 )15

m BS

27,32 m

m BSsin 40

11sin 15

11sin 40sin 15

5 2

5

5 2 1

5

5

5

∠ ° °

°∠ ° ° °

°

° °

°°

Réponse : La distance qui sépare le touriste du sommet de l’obélisque est d’environ 27,32 m.

6. Le triangle ABC qui représente la situation est isocèle.

m B m C 77

m AB

17,78 m

180 262

m ABsin 77

8sin 26

8 sin 77sin 26

∠ ∠ °° °

° °

°

°

5 5 5

5

5

2

17,78 3 2 35,56 m

Réponse : La longueur totale des cordes est d’environ 35,56 m.

7.

sinB

m B sin

60,98

56sin 33

89,91sin B

89,91sin 3356

89,91sin 3356

1

5

5

5 2

∠

°

°

°

°

m BAC∠ ° ° °°

180 33 60 9886 02

2 1( , ),

Inclinaison : 90 86 02 3 98ϒ ϒ ϒ2 , ,Réponse : L’inclinaison actuelle de la tour de Pise est d’environ 3,98°.

Page 158

8. Le plus petit angle est l’angle B, car il est opposé au plus petit côté du triangle.

52,73 sinB 26,52 sin 65,45

sin B

m B sin

sin (0,4575)27,22

52,73sin 65,45

26,52sinB

26,52 sin 65,4552,73

26,52 sin 65,4552,73

1

1

°

∠

°

°

°

°

5

5

5

5 2

2

Réponse : La mesure du plus petit angle de ce triangle est d’environ 27,22°.

9.

sinB

m B sin

12,65

538sin 28

251sin B

251sin 28538

251sin 28538

1

5

5

5 2

∠

°

°

°

°

m C 180 (28 12,65 )139,35

m AB

746,56 m

m ABsin 139,35

538sin 28538 sin 139,35

sin 28

2 1

∠ ° ° °

°

° °

°°

Réponse : La longueur du téléphérique est d’environ 746,56 m.

10.

1,85 sin ABC 4,5 sin 20

sin ABC

m ABC sin

sin (0,8319)56,3 ou 123,7

1,85sin 20

4,5sin ABC

4,5 sin 201,85

4,5 sin 201,85

1

1

°

° °

° ∠

°

°

��

∠

∠

∠

Comme l’angle ABC est obtus, il mesure environ 123,7°.

Dans ce cas, m ∠ DBC 180° 2 123,7° 56,3°.

Réponse : Le deltiste doit virer d’environ 56,3° vers la droite.

SECTION 4.4 Aire d’un triangle quelconque et formule de Héron

Page 160

1. a) A 58 15 35

2

34 41 2

( ) sin

,

ϒ

cm

b) A 552 61 38 15 116

2

901 97 2

, ( , ) sin

,

ϒ

m

c) A

300,2 mm

17(40) sin 622

2

ϒ5


2. a) A 57 5 12 3 105

2

44 55 2

, ( , ) sin

,

ϒ

cm

b) A 55 19 27

2

21 56 2

( ) sin

,

ϒ

dm

c) A 526 3 37 1 68

2

452 34 2

, ( , ) sin

,

ϒ

m

3. p

A

5

5

5 2 2

1 118 20 112

24 5

24 5 24 5 18 24 5 20

cm,

, ( , )( , )(( , ),

24 5 1198 36 2cm

2

p

A

10,9 m

10,9(10,9 9,2)(10,9 6,3)(10,9 6,3)19,8 m

9,2 6,3 6,32

2

5

5

5 2 2 2

1 1

Page 161

4. a) p

A

18,1 cm

18,1(18,1 8,2)(18,1 12,4)(18,1 15,6)50,53 cm

8,2 12,4 15,62

2

5

5

5 2 2 2

1 1

b) p

A

5

5

5 2 2

1 1209 195 2042

304

304 304 209 304 195

mm

( )( ))( ),

304 20417 742 38 2mm

2

5. a) Formule générale :

A 5328 44 12 312

175 05 2

, ,

, cm

Formule trigonométrique :

A 516 07 28 44 50

2

175 05 2

, ( , ) sin

,

ϒ

cm

Formule de Héron :

p

A

33,204 cm

33,204(33,204 21,898)(33,204 28,44)(33,204 16,07)175,05 cm

21,898 28,44 16,072

2

5

5

5 2 2 2

1 1

p

A

33,204 cm

33,204(33,204 21,898)(33,204 28,44)(33,204 16,07)175,05 cm

21,898 28,44 16,072

2

5

5

5 2 2 2

1 1

p

A

33,204 cm

33,204(33,204 21,898)(33,204 28,44)(33,204 16,07)175,05 cm

21,898 28,44 16,072

2

5

5

5 2 2 2

1 1

b) Formule générale :

A 5317 25 3 8972

33 61 2

, ,

, m

Formule trigonométrique :

A 56 33 17 25 38

2

33 61 2

, ( , ) sin

,

ϒ

m

Formule de Héron :

p

A

5

5

5 2

1 16 33 17 25 12 8662

18 223

18 223 18 223

, , ,

,

, ( ,

m

66 33 18 223 17 25 18 223 12 86633 61

, )( , , )( , , ), m

2 2

22

p

A

5

5

5 2

1 16 33 17 25 12 8662

18 223

18 223 18 223

, , ,

,

, ( ,

m

66 33 18 223 17 25 18 223 12 86633 61

, )( , , )( , , ), m

2 2

22

p

A

5

5

5 2

1 16 33 17 25 12 8662

18 223

18 223 18 223

, , ,

,

, ( ,

m

66 33 18 223 17 25 18 223 12 86633 61

, )( , , )( , , ), m

2 2

22

Page 162

6. a) A

76,5 cm

b h2

17 92

2

5

5

5

3

3

b)

ϒ

A

A

118,4 cm

ed sinF2

12(21) sin 702

2

5

5

c) p

p

A p p g p h p i

A

30 cm

( )( )( )

30(30 17)(30 19)(30 24)

160,44 cm

g h i2

17 19 242

2

5

5

5

5 2 2 2

5 2 2 2

1 1

1 1

p

p

A p p g p h p i

A

30 cm

( )( )( )

30(30 17)(30 19)(30 24)

160,44 cm

g h i2

17 19 242

2

5

5

5

5 2 2 2

5 2 2 2

1 1

1 1

p

p

A p p g p h p i

A

30 cm

( )( )( )

30(30 17)(30 19)(30 24)

160,44 cm

g h i2

17 19 242

2

5

5

5

5 2 2 2

5 2 2 2

1 1

1 1

p

p

A p p g p h p i

A

30 cm

( )( )( )

30(30 17)(30 19)(30 24)

160,44 cm

g h i2

17 19 242

2

5

5

5

5 2 2 2

5 2 2 2

1 1

1 1

7. a)

A

m B 180 (30 125 )25

m BC

5,68 m

11,16 m

m BCsin 30

4,8sin 254,8 sin 30

sin 25

4,8(5,68) sin 12522

5 2 1

5

5

5

∠ ° ° °

°

° °

°°

°A

m B 180 (30 125 )25

m BC

5,68 m

11,16 m

m BCsin 30

4,8sin 254,8 sin 30

sin 25

4,8(5,68) sin 12522

5 2 1

5

5

5

∠ ° ° °

°

° °

°°

°

b)

sinE

m E sin

40,51

13,5sin 48

11,8sin E11,8 sin 48

13,5

11,8 sin 4813,5

1

5

5

5 2

∠

°

°

°

°

(L’angle E ne peut pas être obtus.)

A

m F 180 (48 40,51 )91,49

79,62 m

11,8(13,5) sin 91,4922

2 1

∠ ° ° °

°°

A

m F 180 (48 40,51 )91,49

79,62 m

11,8(13,5) sin 91,4922

2 1

∠ ° ° °

°°

c)

sin G

m G sin

31,23

155sin 71

85sin G85 sin 71

15585 sin 71

1551

5

5

5 2

∠

°

°

°

°

(L’angle G ne peut pas être obtus.)

A

m I 180 (71 31,23 )77,77

6437,94 m

155(85) sin 77,772

2

2 1

∠ ° ° °

°°

A

m I 180 (71 31,23 )77,77

6437,94 m

155(85) sin 77,772

2

2 1

∠ ° ° °

°°


Page 163

8. a)

m B sin

40,24 ou 139,76

90sin 20

170sin B

170 sin 2090

1

5

5 2

∠

° °

°

°

1) Si m B∠ ° 40 24, :

A

m C 180 (20 40,24 )119,76

6641,29 mm

170(90) sin 119,762

2

2 1

∠ ° ° °

°°

A

m C 180 (20 40,24 )119,76

6641,29 mm

170(90) sin 119,762

2

2 1

∠ ° ° °

°°

2) Si m ∠ B 139,76° : m ∠ C 180° 2 (20° 1 139,76°) 20,24°

A 170(90)sin20,24

2ϒ

2646,99 mm2

b)

m D sin

59,09 ou 120,91

21sin 32

34sin D

34 sin 3221

1

5

5 2

∠

° °

°

°

1) Si m D∠ ° 59 09, :

A

m E 180 (32 59,09 )88,91

356,94 mm

21(34) sin 88,912

2

2 1

∠ ° ° °

°°

A

m E 180 (32 59,09 )88,91

356,94 mm

21(34) sin 88,912

2

2 1

∠ ° ° °

°°

2) Si m ∠ D 120,91° :

m ∠ E 180° 2 (32° 1 120,91°)

27,09°

A 21 34 sin 27,09

2( ) °

162,57 mm2

9.

p

p

A p p a p b p c

A

31,5 m

( )( )( )

31,5(31,5 17)(31,5 24)(31,5 22)

180,4 m

a b c2

17 24 222

2

5

5

5

5 2 2 2

5 2 2 2

1 1

1 1

p

p

A p p a p b p c

A

31,5 m

( )( )( )

31,5(31,5 17)(31,5 24)(31,5 22)

180,4 m

a b c2

17 24 222

2

5

5

5

5 2 2 2

5 2 2 2

1 1

1 1

Superficie moyenne par animal : 15,03 m180,412

2

Réponse : La superficie moyenne disponible par animal est d’environ 15,03 m2.

Page 164

10. a) 250

m AC

32,72 m

17 (m AC) sin 642

50017 sin 64

5

5

3

ϒ

ϒ

x 32,72 m

b) 230

460 550 sinE

sinE

m E sin

56,76 ou 123,24

22(25) sin E2

4605504655

4655

1

5

5

5

5

5 2

∠

° °

x 56,76° ou x 123,24°.

11. Mesure du 3e angle : 180° 2 (37° 1 68°) 5 75°

Dans un triangle, le plus long côté (4 cm) est opposé au plus grand angle (75°). Le triangle obtenu est illustré ci-contre.

A

m BC

2,49 cm

4,62 cm

m BCsin 37

4sin 754 sin 37sin 75

4(2,49) sin 682

2

5

5

ϒ ϒ

ϒϒ

ϒ

Réponse : L’aire du timbre-poste est d’environ 4,62 cm2.

c) 10

20 37,8658 sin I

sin I

m I sin

31,88 ou 148,12

5,18(7,31) sin I2

2037,8658

2037,8658

1

5

5

5

5 2

∠

° °

x 31,88° ou x 148,12°.

Page 165

12. Aire d’une pièce :

340,9160 000

176

cm2

Soit x la mesure d’un côté de la pièce.Mesure du demi-périmètre :

p

x1,5 cm

x 32

5

5

3

Calcul de x à partir de l’aire d’une pièce :

A p p x p x p x

x x x x x x x

x x x x

xx

xx

340,91 1,5 1,5 1,5 1,5

340,91 1,5 0,5 0,5 0,5

340,91 0,1875340,91 0,433

787,328,06 cm

4

2

2

5 2 2 2

2 2 2

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

Réponse : La mesure d’un côté de la pièce est d’environ 28,06 cm.

C4 cmA

B

75°

68°37°


13. A 5875 1350 70

2

555 005 95 2

( ) sin

,

ϒ

m

25 % 3 555 005,95 138 751,49 m2

Réponse : La superficie maximale du territoire sur laquelle la machinerie peut circuler est d’environ 138 751,49 m2.

14. p

A

5

5

5 2 2 2

3 5 4 5 62

7

7 7 3 5 7 4 5 7 67

, ,

( , )( , )( )

+ +

m

,,83 2m

Puisque le triangle ABC est isocèle, il est aussi isoangle.

m C m Am B∠ ∠ °∠ ° °

°

5 5

5 2 3

5

58180 2 5864

ϒ

ϒ

m AB m BC

7,83

(m AB)

m AB 4,17 m

(m AB)(m AB) sin 642

15,65sin 64

2

5

ϒ

ϒ

m AB m BC

7,83

(m AB)

m AB 4,17 m

(m AB)(m AB) sin 642

15,65sin 64

2

5

Réponse : Les côtés isométriques de la deuxième voile mesurent environ 4,17 m chacun.

Page 166

15. p

A

279,5 m

279,5(279,5 183)(279,5 187)(279,5 189)

15 026,22 m

15 026,22

m BH

160,71 m

183 187 1892

187 m BH2

2 15 026,22187

2

5

5

5 2 2 2

1 1

3

3

p

A

279,5 m

279,5(279,5 183)(279,5 187)(279,5 189)

15 026,22 m

15 026,22

m BH

160,71 m

183 187 1892

187 m BH2

2 15 026,22187

2

5

5

5 2 2 2

1 1

3

3

Longueur du trajet (aller-retour) : 160,71 3 2 321,42 m

Réponse : La personne franchit une distance d’environ 321,42 m.

16. p

A

Adf

2,34 3,51 2,292

4,07 m

4,07(4,07 2,34)(4,07 3,51)(4,07 2,29)

2,65 m

sinE2

2,653,51 2,34 sinE

2

m E sin 2 2,653,51 2,34

40,17

1

2

∠

°

�

�

�

�


A

2,65

m F sin

41,24

de sin F

23,51 2,29 sin F

2

2 2,65

3,51 2,291∠

°

5

3

3

3

2

(L’angle F ne peut pas être obtus.)

m ∠ D 180° 2 (40,17° 1 41,24°)

98,59°

Réponse : L’angle D mesure environ 98,59°, l’angle E, environ 40,17° et l’angle F, environ 41,24°.

MÉLI-MÉLO

Page 167

1. a) Faux. b) Faux. c) Vrai. d) Vrai. e) Faux. f ) Vrai. g) Faux.

2. a) m BHm

5 237 3 32 917 57

2 2, ,,

(par la relation de Pythagore appliquée au triangle ABH)

sin

,

,,

∠ BAH

17 5737 3

0 4712

b) m CHcm

30 5 17 5724 93

2 2, ,,

2

(par la relation de Pythagore appliquée au triangle BHC)

tan

,

,,

∠ BCH

17 5724 93

0 705


3. a) m ACcm

5 230 2614 97

2 2

,

sin A 5

5

2630

0 96, 0,8667

cos A 14 97

30

0 4989

,

,5 0,4989

tan A 26

14 97

17372

,

,5 1,7372

b) m ABcm

5 112 5 18 722 49

2 2, ,,

sin A

18 722 49

0 8314

,,

,5 0,8314

cos A 12 522 49

0 5557

,,

,5 0,5557

tan A 5

5

18 712 5

1 496

,,

, 5 1,496

c) m ABcm

5 18 42 8 4211 91

2 2, ,,

sin A

8 4211 91

0 7071

,,

,5 0,7071

cos A 8 42

11 91

0 7071

,,

,5 0,7071

tan A 5

5

8 428 42

1

,,

5 1

Page 168

4. a) cos A sin (90 ˚ A )0,1134

5 2

5

b) m A sin (0,7)44,43

cos 44,43 0,7141

15 2

∠°

°

c) m A∠°

°

5 2tan ( , ),

cos , ,

1 1 833161 39

61 39 0 4789

5. a) cos A

m A cos

55,83

16,7529,82

16,7529,82

1

5

5 2

∠

°

b) sin 34

m EF 37,3 sin 3420,86 cm

m EF37,3

5

5

ϒ

ϒ

c) tan I

m I tan

34,65

188272

188272

1

5

5 2

∠

°

6. a) sin

, sin,

,

,58

4 2 583 56

4 2

4 2

2

°

°

5

5

2

m AB

m ABcm

m BC 33 56

2 2390 5832

2,, cm

m A

∠ ° °

°

5 2

5

b) cos

,,

cos

63

85 985 9 3

39

3963

2

°

°

5

5

2

m DF

m DF

mmm EF

99

76 5490 6327

2

mmm F

,∠ ° °

°

5 2

5

c) tan G

m G tan

28,04m H 90 28,04

61,96

m GH 8,17 15,3417,38 m

8,1715,34

8,1715,34

1

2 2

5

5

2

5 1

2

∠

°∠ ° °

°

Page 169

7. a) m A 180 (121 17 )42

mBC

34,33 cm

m BCsin 42

15sin 1715 sin 42

sin 17

5 2 1

5

5

5

∠ ° ° °

°

° °

°°

b)

38,4 sin D 40,7sin 49

sin D

m D sin

53,12

38,4

sin 49

40,7

sinD

40,7 sin 49

38,4

40,7 sin 49

38,41

°

∠

°

°

°

°

5

5

5

5 2

(L’angle D ne peut pas être obtus.)

8. a) Mesure du segment BC :

m BC 76

76m BC

m

sin sinsin

sin,

53 9353

9360 78

˚ ˚˚

˚

�

�

�

Mesure de l’angle A :

m ∠ A 5 180° 2 (93° 1 34°)

5 53°


m AB

42,56 m

m ABsin 34

76sin 93

76 sin 34sin 93

ϒ ϒ

ϒ

ϒ

5

5

b) Mesure de l’angle E :

m E sin

13,79

43,2sin 33

18,9sin E

18,9 sin 3343,2

1

5

5 2

∠

°

°

°


Mesure de l’angle F :

m F∠ ° ° °°

180 33 13 79133 21

2 1( , ),

Mesure du segment DE :

m DE

m DE

sin ,,

sin, sin ,

sin

133 2143 2

3343 2 133 21

ϒ ϒϒ

333

57 81

ϒ

cm ,


Page 170

9. a)A 5

68 39 662

1211 36 2

( ) sin

,

°

cm

b)p

A

5

5

5 2 2 2

31 37 522

6060 60 31 60 37 60 52

+ +

cm( )( )( )), cm 565 83 2

c)

m G sin

31,38

41sin 76

22sin G

22 sin 7641

1

5

5 2

∠

°

°°

(L’angle G ne peut pas être obtus.)

m I∠ ° ° °°

°

180 76 31 3872 6241 22 72 62

2 1( , ),( ) sin ,A

22

430 42 2cm ,

d)

∠

° °

°°

m J sin

72,78 ou 107,22

24sin 36

39sin J

39 sin 3624

1

5

5 2

1) Si m J∠ ° 72 78, :

A

m K 180 (36 72,78 ) 71,22

443,1 cm24(39) sin 71,222

2

2 1

∠ ° ° ° °°

2) Si m J∠ ° 107 22, :

A

m K 180 (36 107,22 ) 36,78

280,18 cm24(39) sin 36,782

2

2 1

∠ ° ° ° °°

10. m A cos

77,16

29

1�=

�

∠

°

Réponse : La mesure de l’angle A est d’environ 77,16°.

Page 171

11. m BCm

sinm AB

80 4 43 52

62 3 52

% ,,

,°�

m AB

3,99 m

3,52sin 62°

Réponse : La longueur du câble est d’environ 3,99 m.

12.

�

��

°

°

sin 35

m AC 5 sin 352,87 m

m ED m BC

5 2,874,1m

m AC5

2 2

tan

, tan,

, ,

,38

4 1 383 2

2 87 3 2

4 1°

°

m DF

m DFm

m AF 1 11 0 156 22

,, m

13. sin 32

m AB

28,31m

15m AB

15sin 32

5

5

°

°

Réponse : La longueur de cet escalier est d’environ 28,31 m.

14. Hauteur de la structure par rapport aux yeux du passant :

45 1,8 43,2 m

tanB

m B tan

16,07

43,2150

43,2150

1

2 5

5

5 2

∠

°

Page 172

15. °

°

5

5

tan15

m AC

4,48 m

1,2m AC

1,2tan 15

Réponse : Une distance minimale d’environ 4,48 m doit être laissée libre à l’arrière du camion.

16. sin 30

m AB

5,5 m

2,75m AB2,75

sin 30

5

5

5

°

°

Réponse : Une distance de 5,5 m sépare les deux personnes.

17. tan

tan,

8

10 81 41

°

°

5

5

m BC10

m BCm

Longueur du deuxième poteau : 5 + 1,41 6,41 m

Réponse : La longueur du deuxième poteau est d’environ 6,41 m.

18. m ∠ ABC 5 180° 2 (65° 1 60°) 5 55°

m ∠ BAC 5 180° 2 (55° 1 49°)

5

5

° °°

°m AC

27,02 m

m ACsin 55

32sin76

32 sin 55sin 76

5 76°

Réponse : Une distance d’environ 6,22 m sépare l’endroit où les câbles sont fixés au sol.

Réponse : La mesure de l’angle d’élévation de la structure est d’environ 16,07°.

A

C B150 m

43,2 m

1,8 m

Structuregon�able

Passant

?

Réponse : La distance qui sépare les points A et C est d’environ 27,02 m.


Page 173

19.

m C sin

25,96

9sin 52

5sin C

5 sin 529

1

5

5 2

∠

°

°

°

m B

m AC

∠ ° ° °

°

°

180 52 25 96102 04

102 049

2 1( , ),

sin , ssin

sin ,sin

,

52

9 102 0452

1117

°

°°

m AC

m

20. 40 23

min h5

Distance parcourue par les deux bateaux : 12 823

km/h h km3 5

Le triangle ABC est isocèle en A.

m B m C 69,5

m BC

5,6 km

180 41

2

m BC

sin 41

8

sin 69,5

8 sin 41

sin 69,5

∠ ∠ °° °

° °

°

°

5 5 5

5

5

2

8 km

8 km

B

A C41°

69,5°

69,5°

21. m ∠ ABC 5 180° 2 20° m ∠ A 180° 2 (160° 1 11,45°)

5 160° 8,55°

m C sin

11,45

15,5sin 160

9sin C

9 sin 16015,5

1

∠

°

°

°

5

5 2

m BC

6,73 km

m BCsin 8,55

9sin11,45°

9 sin 8,55sin11,45

�

�

�

°

°

°

(L’angle C ne peut pas être obtus.)

Page 174

22.

m C sin

69,47

70sin 22

175sin C

175 sin 2270

1

∠

°

°

°

5

5 2

ou

m ∠ C 180° 2 69,47°

110,53°

Comme la balle s’est arrêtée avant le trou, l’angle C doit être obtus. Sa mesure est donc d’environ 110,53°.

m ∠ B 180° 2 (22° 1 110,53°)

47,47°

m AC

137,71 m

m ACsin 47,47

70sin 22

70 sin 47,47sin 22

ϒ ϒ

ϒ

ϒ

23. m ABD

112

m ADB sin

38,18

360 1362

15sin 112

10sin ADB

10 sin 11215

1

5

5

5

5

2

2

∠

°

∠

°

° °

° ∠

°

(L’angle ADB ne peut pas être obtus.)

m A∠ ° ° °°

180 112 38 1829 82

2 1( , ),

Aire du triangle ABD :

10 15 29 822

37 3 2( ) sin ,

,ϒ m

Aire du dessous de l’avion :

A 37,3 2 74,59 m23

(L’angle C ne peut pas être obtus.)

Réponse : La distance qui sépare le joueur A du joueur C est d’environ 11,17 m.

Réponse : La distance entre ces deux bateaux est d’environ 5,6 km.

Réponse : Le navire a parcouru une distance d’environ 6,73 km depuis son virage vers la gauche.

Réponse : La balle a parcouru une distance d’environ 137,71 m.

Réponse : L’aire totale du dessous de l’avion est d’environ 74,59 m2.


24. p

A

5

5

5 2 2 2

1 153 67 482

84

84 84 53 84 67 84 48

m

( )( )( )m 1262 4 2,

Nombre de sacs de semence : 1262,4 4 225 5,61, donc 6 sacs.

Prix de 6 sacs : 6 3 27,99 $ 5 167,94 $

Pages 175-176

25. Distance à franchir avant d’être au-dessus du lac à la première observation :

tan 25 400m AB

ϒ5

m AB

857,8 m

400tan 25

ϒ

5

À la première observation, la montgolfière doit franchir une distance d’environ 857,8 m avant d’être au-dessus du lac.

Distance à franchir avant d’être au-dessus du lac à la deuxième observation :

tan 40 400m DB

˚ �

m DB

476,7 m

400tan 40

�°

�

À la deuxième observation, la montgolfière doit franchir une distance d’environ 476,7 m avant d’être au-dessus du lac.

Distance franchie en 1 min : 857,8 2 476,7 381,1 m

La montgolfière a franchi une distance d’environ 381,1 m en 1 min.

Vitesse de la montgolfière :

381,1 m1 min 60 min

d

d 381,1 m 60 min1 min

3

22 866,08 m

22,87 km

22,87 km60 min

22,87 km/h

Réponse : La vitesse de la montgolfière est d’environ 22,87 km/h.

Pages 177-178

26. Mesure de l’angle CDA :

m ∠ CDA 5 90° 2 63,4°

5 26,6°

Mesure de l’angle ACD :

100,4sin 26,6

223,6sin ACD° ∠

5

m ACD sin223,6 sin 26,6

100,41∠

°5 2

85,71° ou 94,29°.

Selon le schéma, l’angle ACD est obtus, donc m ∠ ACD 94,29°.

Mesure de l’angle DAC :m ∠ DAC 180° 2 (26,6° 1 94,29°) 59,11°

Mesure du segment CD :

m CDsin 59,11°

100,4sin 26,6°

m CD

192,43 cm

100,4 sin 59,11°sin 26,6°

Mesure de l’angle ACB :m ∠ ACB 180° 2 94,29° 85,71°

Mesure du segment BC :

Le triangle ABC est rectangle en B.

cos 85,71° m BC100,4

m BC 100,4 cos 85,71°

7,51 cm

��

Mesure du segment BD : 192,43 1 7,51 199,93 cm

Réponse : La mesure du segment BD est d’environ 199,93 cm.

Réponse : Le coût des semences est de 167,94 $.

A

C

BD

400 m

25° 40°

Vue de côtéMontgol�ère

Lac


Pages 179-180

27. p

A

5,575 cm

5,575(5,575 3,37)(5,575 4,46)(5,575 3,32)

5,56 cm


5,56

m C sin

83,62

ou

m C 96,38°

3,37 4,46 3,32

2

3,32 (3,37) sin C

2

2(5,56 )

3,37( 3,32 )

2

1

�

�

A absin C

2�

�

�

�

∠

�

∠

p

A

5,575 cm

5,575(5,575 3,37)(5,575 4,46)(5,575 3,32)

5,56 cm


5,56

m C sin

83,62

ou

m C 96,38°

3,37 4,46 3,32

2

3,32 (3,37) sin C

2

2(5,56 )

3,37( 3,32 )

2

1

�

�

A absin C

2�

�

�

�

∠

�

∠

1. Si la mesure de l’angle C 83,62°.


m A sin

47,71

4,46sin 83,62

3,32sin A

3,32 sin 83,624,46

1

�

�

∠

°

°°�

(L’angle A ne peut pas être obtus.)

Mesure de l’angle B :m ∠ B 180° 2 (83,62° 1 47,71°)

48,67°

On a donc :

m ∠ A 47,71°

m ∠ B 48,67°

m ∠ C 83,62°.

2. Si la mesure de l’angle C 96,38°.


m A sin

47,71

4,46sin 96,38

3,32sin A

3,32 sin 96,384,46

1

�

�

�

∠

°

°°

Mesure de l’angle B :m ∠ B 180° 2 (96,38° 1 47,71°)

35,9°

On a donc :

m ∠ A 47,71°

m ∠ B 35,9°

m ∠ C 96,38°.

Cette deuxième solution est incorrecte, car le côté opposé à l’angle B est plus grand que le côté opposé à l’angle A. La mesure de l’angle B doit donc être supérieure à la mesure de l’angle A. Ce qui n’est pas le cas ici. Il faut donc rejeter cette solution.

Réponse : Le machiniste n’a pas raison d’hésiter entre deux réglages pour les angles. Les seules mesures possibles pour les angles sont : m ∠ A 47,71°, m ∠ B 48,67° et m ∠ C 83,62°.

CHAPITRE 5 Géométrie analytiqueRAPPEL Taux de variation et règle d’une équation du premier degré

Page 182

1. a), d)

2. a) Le taux de variation est de 22 °C/h. b) Le taux de variation est de 20,15 $/mois.

c) Le taux de variation est de 66 m/min. d) Le taux de variation est de 24000 L/h.

e) Le taux de variation est de 5 km/h par s. f ) Le taux de variation est de 22,5 m2/h.

g) Le taux de variation est de 41,25 $/semaine. h) Le taux de variation est de 4 km/h.

p

A

5,575 cm

5,575(5,575 3,37)(5,575 4,46)(5,575 3,32)

5,56 cm


5,56

m C sin

83,62

ou

m C 96,38°

3,37 4,46 3,32

2

3,32 (3,37) sin C

2

2(5,56 )

3,37( 3,32 )

2

1

�

�

A absin C

2�

�

�

�

∠

�

∠

ou


Page 183

3. a) 52

22

2

20,81 3

3 2

21 5 20,8 3 3 1 b b 5 1,4y 5 20,8x 1 1,4

b)2

2

2

252 4

1 41 2,

4 5 1,2 3 4 1 b b 5 20,8y 5 1,2x 2 0,8

c) Taux de variation nuly 5 3,7

d) 52

2

2

22

15 920 16

23

5 3 1

5

2215 20 b

b

23

53

y 5 2 123

53

x

e)

24 30 b

b

24 2430 26

6767

127

5

5 3 1

5

2

2

2

2

2

y 5 2x67

127

f ) 52

22

2 2

21,524 3

12 2

224 5 21,5 3 12 1 b b 5 26y 5 21,5x 2 6

g) x 5 21 h) Pente : 6 2 2226 2 6

5 223

6 5 223

(26) 1 b

b 5 2

y 5

223

x 1 2

i ) Pente : 15 2 0

20 2 210 5 0,5

15 5 0,5 (20) 1 b b 5 5y 5 0,5x 1 5

Page 184

4.Couples

(2, 4) et (8, 22)

(2, 0) et (6, 23)

(24, 10) et (4, 0)

(25, 24) et (1, 2)

1 C

4 A

2 D

3 B

5. a) Taux de variation : 6500 50005 2

2

2 5 500 globules blancs/mm3 par jour

y 5 500x 1 b, où y correspond au taux de globules blancs dans le sang et x, au temps écoulé (en jours) depuis le début des traitements.

À l’aide du couple (2, 5000), déterminer la valeur initiale : 5000 5 500 3 2 1 b

b 5 4000

Réponse : Le taux de globules blancs dans le sang de Marie-Aude était de 4000 globules blancs/mm3.

b) y 5 500x 1 4000

500x 1 4000 8000

500x 4000

x 8

Réponse : Marie-Aude séjournera à l’hôpital au moins 8 jours.

Page 185

6. a) S 5 8t 1 100 b) Tranches de 100 $ de ventes

0 2 10 20 25 35 40

Salaire ($) 100 116 180 260 300 380 420

c) 324 5 8t 1 100 324 2 100 5 8t 224 5 8t t 5 2828 3 100 $ 5 2800 $Réponse : Majorie devra vendre pour 2800 $ de marchandises.

7. a) Soit la règle y 5 ax 1 b.

a 5

5 2

24 1610 200 8

−−,

24 5 20,8 3 10 1 b

b 5 32Réponse : La pression de l’air dans le pneu est de 32 psi.

b) y 5 20,8x 1 32 5 20,8 3 12 1 32 5 29,6 1 32 5 22,4 psiRéponse : La pression de l’air est de 22,4 psi.

c) 0 5 20,8x 1 32 232 5 20,8x x 5 40 minRéponse : Le pneu est complètement vide 40 minutes après le début de la crevaison.


SECTION 5.1 Pente et équation d’une droite

Page 187

1. a) Dans la situation A , l’accroissement de la concentration de phosphore est de 0,03 2 0,01 5 0,02 mg/L et celui du temps, de 4 mois. Dans la situation B , l’accroissement de la concentration de phosphore est de 0,045 2 0,015 1 0,03 mg/L et celui du temps, de 5 mois.

b) Variation A 5 0 03 0 01

4 0, ,2

2 Variation B 5 0 045 0 015

5 0, ,2

2

5 0 02

4,

5 0 03

5,

5 0,005 mg/L 5 0,006 mg/L

Réponse : La variation est la plus grande dans la situation B , car la variation de la concentration de phosphore est de 0,006 mg/L chaque mois, alors que dans la situation A , elle est de 0,005 mg/L chaque mois.

2. a) a 5

5

2

2

20 810 4

2

b) a

1

2 63 5

5

5

2

2

2

2

2

c) a 5

5

2

2

2

2 2

5 103 12

53

d) a �

�

�

�

�

0 8 3 21 2 0 4

3

, ,, ,

e) a

0,125

124 84130 450

18

ou

f ) a �

�

� �

�

�

�

18 429 13

13

Page 188

3. a) 5

5 2

5

2

2

xx

5

10 25 53

x20 105

b)

yy

3

2 31

y26 5

5

2 5

5

2

2

2

c) 3 21

1 25

5 1 25 1 255

2

2

2

2

2

2

5

5 2

5

x

xx

,

, ,

d) y

yy

2

2 22

2

5

2 5

5

38 7

0 2

3 30

, e) 6 2 4x 1 3

5 13

6 5 x 2 3 x 5 9

f ) 2y 2 y24 2 5

5 234

4y 5 27 y 5 6,75

4. Forme canonique Forme générale Pente Abscisse

à l’origineOrdonnée à l’origine

y 5 3x 2 9 3x 2 y 2 9 5 0 3 3 29

y 5 22x 1 8 2x 1 y 2 8 5 0 22 4 8

y 5 2x 1 3 x 1 y 2 3 5 0 21 3 3

y 5 25x 2 10 5x 1 y 1 10 5 0 25 22 210

y 5 21,25x 1 5 5x 1 4y 2 20 5 0 21,25 4 5

y 5 20,5x – 18 4x 1 8y 1 1 5 0 20,5 20,25

2 18

Page 189

5. a) y 5 4x 2 6 b) 2y 5 24x 2 8

y 5 4x 1 8

c) 2y 5 23x 2 4

y 5 3x 1 4

d) 2y 5 23x 1 12

y 5 21,5x 1 6

e) 24y 5 23x 1 6

y 5 0,75x 2 1,5

f ) y x8 2

15 12

y 5 24x 1 8

g) 3x 1 9 2 y 5 0 9 2 y 5 23x 2y 5 23x 2 9 y 5 3x 1 9

h) 5x 1 y 2 17 5 0 5x 1 y 5 17 y 5 25x 1 17

i ) 2x 1 4 y 2 9 5 0

4y 2 9 5 22x

4y 5 22x 1 9

y 5 20,5x 1 2,25

j ) 3x 2 y2 2 7 5 0

2y2

5 23x 1 7

y 5 6x 2 14

Page 190

6. Coordonnées à l’origine de la droite d1 : y 5 20,5 3 0 1 1,5 5 1,5

0 5 20,5x 1 1,5 x 5 3

(0, 1,5) et (3, 0).

Coordonnées à l’origine de la droite d2 : (1,5, 0) et (0, 3).

Pente de la droite d2 : 3 0

0 1 52

2 , 5 22

Équation de la droite d2 : y 5 22x 1 3

Réponse : L’équation de la droite d2 est y 5 22x 1 3.


Page 190

7. a) Dans le graphique, la droite qui supporte le segment AB passe par les points (0, y) et (20, 0).

Pente : y 2

25 2

00 20

14

y2 20

5 214

y 5

204

y 5 5

Réponse : y 5 2 x4

1 5

b) La rampe passe par les points (20, 0) et (0, 5). La base et la hauteur du triangle rectangle formé par les axes du plan et la droite mesurent donc respectivement 20 m et 5 m.

m AB 5 20 52 2+

20,62 m

Réponse : La rampe d’accès mesure environ 20,62 m.

SECTION 5.2 Distance entre deux points

Page 191

1. a) d (A, B) (9 3) (11 4)

6 7

2 2

2 2

5 2 1 2

5 1

d(A, B) 9,22 u

b) d (A, B) ( 1 5) (8 6)

4 2

2 2

2 2

5 2 1 2

5 1

2 2

d(A, B) 4,47 u

c) d (A, B) ( 3 2) ( 7 4)

( 1) ( 3)

2 2

2 2

5 2 1 2

5 1

2 2 2 2

2 2

d(A, B) 3,16 u

d) d (A, B) (9 1) (3 8)

8 ( 5)

2 2

2 2

5 2 1 2

5 1 2

d(A, B) 9,43 u

e) 5 2 1 2

5 1

2 2d (A, B) (13 15) (11 12)

28 23

2 2

2 2

d(A, B) 36,24 u

f ) d (A, B) (5 4) (9 3)

9 6

2 2

2 2

5 2 1 2

5 1

2

d(A, B) 10,82 u

Page 192

2. a) m ABu

5 2 1 2( ) ( ),5 2 9 1

8 54

2 2

m BCu

5 2 1 2( ) ( ),8 5 3 9

6 71

2 2

m CA (2 8) (1 3)6,32 u

2 2

5 2 1 2

Périmètre : 8,54 1 6,71 1 6,32 21,58 u

b) m ABu

5 2 1 2( ) ( ),7 1 9 8

6 08

2 2

m DE (1 4) (2 5)

4,24 u

2 2

5 2 1 2

m BCu

5 2 1 2( ) ( ),9 7 2 9

7 28

2 2

m EA (1 1) (8 2)

6 u

2 25 2 1 2

5

m CD (4 9) (5 2)5,83 u

2 2

5 2 1 2

Périmètre : 6,08 1 7,28 1 5,83 1 4,24 1 6 29,44 u

3. a) Rayon du cercle :

r 5 2 1 2

5

( ) ( )3 0 4 05

2 2

u

d (A, B)u

5 2 1 2

5

( ) ( )6 0 8 010

2 2

Oui, car la distance entre les points A et B correspond au double du rayon du cercle.

b) Rayon du cercle :

r 5 2 1 2

5

( ) ( )8 3 4 45

2 2

u

d (A, B) (8 1) (4 1)9,49 u

2 2

5 2 1 22

Non, car la distance entre les points A et B ne correspond pas au double du rayon du cercle.

Page 193

4. a) d (A, B) (0 3) (9 0)90

9,49 u

2 2

5 2 1 2

5

2 d (A, B) (15 0) (0 12)369

19,21u

2 2

5 2 1 2

5

d (A, B)

u

5 2 1 2

5

2( ) ( )

,

8 0 0 480

8 94

2 2

b) Si les coordonnées à l’origine des points A et B sont A(a, 0) et B(0, b), où a et b 0, alors la distance qui sépare

ces deux points est égale à a b2 21 .

5. a) m ABu

5 2 1 2( ) ( ),6 1 7 1

7 81

2 2

m AC (8 1) (3 1)7,28 u

2 2

5 2 1 2

Il ne s’agit pas d’un triangle isocèle, car les deux plus grands côtés n’ont pas la même mesure.

b) m ABu

5 2 1 2( ) ( ),8 3 8 9

5 1

2 2

m BCu

5 2 1 2( ) ( ),9 8 3 8

5 1

2 2

m CDu

5 2 1 2( ) ( ),4 9 4 3

5 1

2 2

m DA (3 4) (9 4)5,1u

2 2

5 2 1 2

Il s’agit d’un losange, car les quatre côtés ont la même mesure.


Page 194

6. m AB 5 (b � 0)2 � (2a � a)2

5 b a2 21

m BC (2b � b)2 � (a � 2a)2

5 b a2 21

m CD 5 ( ( )b b) 0 a2 1 22 2 2

5 b a2 21

m AD 5 ( ) (b a)2 1 20 02 2

5 b a2 21

Réponse : La figure est un losange, car les quatre côtés sont isométriques.

7. Distance horizontale entre les villes A et C : 3 1 5 5 8 km

Abscisse du point B : 23 1 82 5 1

Distance verticale entre les villes A et C : 2 1 6 5 8 kmOrdonnée du point B : 2 2 8

2 5 22

B(1, 22)Distance horizontale entre les villes C et E : 13 2 5 5 8 km

Abscisse du point D : 5 1 82 5 9

Distance verticale entre les villes C et E : 6 1 9 5 15 km

Ordonnée du point D : 26 1 152 5 1,5

B(9, 1,5)Distance entre les points B(1, 22) et D(9, 1,5) : d 5 2 1 2 2(9 1) (1,5 2)2 2 8,73 km

Réponse : La longueur de la route de contournement sera d’environ 8,73 km.

Page 195

8. x x x x

x x

xx

xx

20 (7 ) (10 2 )

20 (6 ) (8 )

20 100400 100

42

2 2

2 2

2

2

2

5 2 1 2

5 1

5

5

5

5

Réponse : Les coordonnées sont A(2, 4) et B(14, 20) ou A(22, 24) et B(214, 220).

9. Trajet 1 :

d (A, B)km

5 2 1 2( ) ( ),25 10 48 15

36 25

2 2

Durée : 36,25 4 70 0,52 h

d (B, C) (60 25) (27 48)40,82 km

2 2

5 2 1 2

Durée : 40,82 4 90 0,45 h

Longueur du trajet 1 : 36,25 1 40,82 77,07 km

Durée totale du trajet 1 : 0,52 1 0,45 0,97 h

Trajet 2 :

d (A, D) (58 10) (9 15)48,37 km

2 2

5 2 1 2

Durée : 48,37 4 90 0,54 h

5 2 1 2

d (D, C) (60 58) (27 9)

18,11 km

2 2

Durée : 18,11 4 70 0,26 h

Longueur du trajet 2 : 48,37 1 18,11 66,48 km

Durée du trajet 2 : 0,54 1 0,26 0,8 h

Réponse : Le trajet 2 , qui est le plus court, est aussi celui qui permet d’arriver à destination le plus rapidement.

Page 196

10. Distance entre Isabelle et chacun des poteaux :

d (I, A) (5 30) (15 15)25 m

2 25 2 1 2

5

d (I, B) (15 30) (35 15)25 m

2 25 2 1 2

5

d (I, C) (30 30) (40 15)25 m

2 25 2 1 2

5

d (I, D) (45 30) (35 15)25 m

2 25 2 1 2

5

d (I, E) (50 30) (30 15)25 m

2 25 2 1 2

5

Réponse : Puisque la distance qui sépare Isabelle de chacun des poteaux est la même, cette affirmation est vraie.

11. d (A, E) (10 0) (1 20)21,47 m

2 2

5 2 1 2

d (B, F) (14 0) (0,75 21,5)25,03 m

2 2

5 2 1 2

5 2 1 2

d (C, G) (20 0) (0,5 23)

30,1 m

2 2

d (D, H) (28 0) (0,25 24,5)37,04 m

2 2

5 2 1 2

Longueur totale : (21,47 m 1 25,03 m 1 30,1 m 1 37,04 m) 3 2 227,29 m

Réponse : La longueur totale de câble d’acier sera d’environ 227,29 m.


SECTION 5.3 Position relative de deux droites

Page 197

1. a) Parallèles. b) Perpendiculaires. c) Sécantes. d) Parallèles. e) Sécantes. f ) Perpendiculaires.

Page 198

2. Droite B : 2x 2 6y 5 0 Droite D : y 5 23x 1 6 Droite E : 23y 1 9x 1 6 5 0

y x5 23

56

y 5 3x 1 2

Droite F : y

y

2

2

x

x3

3

1 5

5 1

2

Pentes des droites : A : 3, B : 13

, C : 23, D : 23, E : 3 et F : 13

.

1) B et F , A et E .

2) C et D .

3) B et C , B et D , C et F , D et F .

3. a) Pente de la droite qui supporte le segment AB :12 44 8

23

2

225 2

Pente de la droite qui passe par le point C : 1,5

y 5 1,5x 1 b

8 5 1,5 3 2 1 b

b 5 5

Équation de la médiatrice : y 5 1,5x 1 5

b) Pente de la droite qui supporte le segment AB :2

2

2

2518 24

22 340 75,

Pente de la droite qui passe par le point C : 243

y 5 2 43

x 1 b

3 5 243 3 6 1 b

b 5 11

Équation de la médiatrice : y 5 243 x 1 11

Page 199

4. Pente de la droite qui supporte le segment AB : 32 2072 90

23

2

25 2

y 5 223x 1 b

20 5 223 3 90 1 b

b 5 80

y 5 223x 1 80

Pente de la droite qui supporte le segment BC : 3

2

Coordonnées d’un point par lequel passe la droite qui supporte le segment BC : (50, 90)

y 5 32x 1 b

90 5 32 3 50 1 b

b 5 15

y 5 32x 1 15

5. Oui, ces droites sont perpendiculaires, car leurs pentes sont opposées et inverses. En effet, 2ab

3 ba 5

2abba

5 21.

Réponse : L’équation de la droite qui supporte le segment BC est y 5 32x 1 15.

6. a) Pente de la droite d1 : 6 15 5

0 52

225 2 ,

Pente de la droite d2 : 2

Équation de la droite d2 :

y = 2x 1 b4 5 2 3 21 1 bb 5 6y 5 2x 1 6

Réponse : y 5 2x 1 6

b)

2

y

2

B(5, 1)

(�1, 4)

A(�5, 6)

d1

C

x0

d2


Page 200

7. a) Pour que le triangle soit isocèle rectangle, les pentes des droites doivent être de 21 et de 1.

Équation de chacune des droites :

Substituer la pente de 21 à a et le couple (3, 7) à x et y dans l’équation y 5 ax 1 b.7 5 3 3 21 1 b7 5 23 1 bb 5 10y 5 2x 1 10

Substituer la pente de 1 à a et le couple (3, 7) à x et y dans l’équation y 5 ax 1 b.7 5 3 3 1 1 b7 5 3 1 bb 5 4y 5 x 1 4

Réponse : L’équation de chacune des droites est y 5 2x 1 10 et y 5 x 1 4.

b) Abscisses à l’origine de chacune des droites :

0 5 2x 1 10x 5 1010 2 24 5 14 u

0 5 x 1 4x 5 24

Réponse : Une distance de 14 u sépare leurs abscisses à l’origine.

8. a) x 5 6 b) y 5 1 c) x 5 24 d) y 5 3

9. a) Plusieurs réponses possibles. Exemple : Dans un premier temps, il faut vérifier si les deux bases sont parallèles. Par la suite, on vérifie si l’un des côtés est perpendiculaire aux deux autres. Si la pente de ce côté est inverse et opposée à celle des deux autres côtés parallèles, alors on peut dire que le trapèze est rectangle.

b) Plusieurs réponses possibles. Exemple : Si les pentes des côtés opposés de la figure sont les mêmes, alors la figure est un parallélogramme.

Page 201

10. x 1 y 2 4 5 0 y 5 2x 1 4Pente de chacune des droites parallèles au segment AB : 21Coordonnées du point d’intersection C entre le segment AB et la droite orange :ydroite orange 5 ysegment AB On substitue 2 à x :x 5 2x 1 4 y 5 22 1 4 5 2 5 2C(2, 2)Comme la droite orange passe par l’origine O(0, 0), la distance entre O(0, 0) et C(2, 2) est la même que celle entre C(2, 2) et D(4, 4), le point d’intersection entre le 1er segment parallèle au segment AB et la droite orange, et ainsi de suite. La droite bleue passe donc par le point H(12, 12). y 5 2x 1 b 12 5 212 1 b b 5 24y 5 2x 1 24

Réponse : L’équation de la droite bleue est y 5 2x 1 24.

11. Équation de la droite qui supporte la rue Garnier : Équation de la droite qui supporte la rue Boivin :

a 5

5

2

2

70 5070 3012

a 5

5

2

2

40 1090 3012

y 5 x2

1 b y 5 x2

1 b

70 5 702

1 b 40 5 902

1 b

b 5 35 b 5 25

y 5 x2

351 y 5 x2

52

Pente de la droite qui supporte le sentier : 22 y 5 22x 1 b50 5 22 3 30 1 b b 5 110y 5 22x 1 110

Réponse : L’équation de la droite qui supporte ce sentier est y 5 22x 1 110.


Page 202

12. Pente de la droite qui supporte le segment AB : 7 5 51 1 5

5,,

2

25 2

y 5 25x 1 b 7,5 5 25 3 1 1 b b 5 12,5

Équation de la droite qui supporte le segment AB : y 5 25x 1 12,5

Pente de la droite orange qui passe par le point C et qui est perpendi-culaire à la droite qui supporte le segment AB : 6 6 25

0 1 250 251 25

15

2

25 5

2

2

,,

,,

5 0,2

y 5 0,2x 1 b 6,25 5 0,2 3 1,25 1 b b 5 6

Équation de la droite orange : y 5 0,2x 1 6

Vérifier si la droite orange passe par le point E(130, 30) : y 5 0,2x 1 630 5 0,2 3 130 1 6 30 32

Réponse : L’alignement de l’antenne n’est pas optimal, puisque la droite ne passe pas par le point E(130, 30).

13. Équation de la droite qui supporte le segment AB :

−−

−−

y

y

a

b

16 b

b

y yx x

x

x

12 1636 8

428

17

787

1207

7120

7

2 1

2 1

5 5 5 5

5 1

5 1

5

5 1

2 2

2

2

2

Équation de la droite qui supporte le segment AC : a 5 7 puisque ^AB AC y 5 7x 1 b 16 5 7 3 8 1 b b 5 240y 5 7x 2 40

Réponse : L’équation de la droite qui supporte le câble AC est y 5 7x 2 40.

SECTION 5.4 Coordonnées d’un point de partage

Page 204

1. a) 1) 1 : 2

2) 13

b) 1) 2 : 3

2) 25

c) 1) 4 : 3

2) 47

d) 1) 1 : 1

2) 12

e) 1) 2 : 5

2) 27

f ) 1) 3 : 7

2) 310

g) 1) 2 : 3

2) 25

h) 1) 1 : 2

2) 13

i ) 1) 5 : 2

2) 57

2. a) 3 : 5 b) 415

c) 1 : 1

Page 205

3. a) 1 2 6 214

14

( )( (13 � 1), ) 5 (4, 3) b) 2 21 3 2 1 3 27 5 7 6 0 613

13

( ), ( )( ) 5 (23, 4)

c) 7 5 7 2 7 2512

512

( ), )( )( 5 (22, 1,75) d) 6 9 6 9 1 945

45

( ) −( )( ), 5 (6, 2,6)

e) 2 2 21 3 2 1 3 28 7 8 4 2 416

16

( ), ( )( ) 5 (25,5, 3) f ) 10 1 10 3 7 316

16

1 3 2 1 3 2( ), ( )( ) 5 8 5 113

, ,( )g) 2 2 21 3 2 1 3 212 123

10

3

108 11 4 11( ) ( )( ), 5 (26, 6,5) h) 12 1 3 2 1 3 2

38

38

2 12 18 3 18( ) ( )( ), 5 (8,25, 12,375)

Page 206

4. a) 1 10 1 8 2 81 3 2 1 3 2ab

ab

( ), ( )( ) 5 (4, 6)

1 89 61 2ab

ab

,( ) 5 (4, 6)

Pour l’abscisse : 1 4

3

9

9

39

aba

bab

13

ab

Réponse : Le point C est situé au 13

de la longueur du segment AB.

b) 7 15 7 10 1 101 3 2 1 3 2ab

ab

( ), ( )( ) 5 (11, 5,5)

7 108 91 2ab

ab

,( ) 5 (11, 5,5)

Pour l’abscisse : 7 1181 5ab

8 4ab

5

48

ab

12

ab

Réponse : Le point C est situé à la 12 de la longueur

du segment AB.


c) 2 2 2 21 3 2 1 3 24 1 4 5 5 5ab

ab

( ), ( )( ) 5 (22, 21)

2 21 14 55 10ab

ab

,( ) 5 (22, 21)

Pour l’abscisse :2 21 54 25a

b5 2ab

5

ab

25

�

Réponse : Le point C est situé aux 25


d) 2 2 21 3 2 1 3 27 5 1 5 1ab

ab

( , ( )7)( ) 5 (3, 24)

2 1 27 112 6ab

ab

, ( ) 5 (3, 24)

Pour l’abscisse : 2 1 57 12 3ab

12 10ab

5

ab

1012

�

ab

56

�

Réponse : Le point C est situé aux 56


Page 207

5. Coordonnées du point C : 2 21 3 2 1 3 25 7 5 8 2 81

313

( ), ( )( ) 5 (21, 6)

Coordonnées du point D :

2 21 3 2 1 3 25 7 5 8 2 856

56

( ) ( )( ), 5 (5, 3)

Coordonnées du point E : L’abscisse du point E est la même que celle du point C, soit 21. L’ordonnée du point E est la même que celle du point D, soit 3.

E(21, 3)

m CE : 6 2 3 5 3 u

m ED : 5 2 21 5 6 u

Aire du triangle CDE : A b h5

3

53

5

26 3

29 2u

Réponse : L’aire du triangle CDE est de 9 u2.

6. x x x y y y1 2 1 1 2 11

2

1

21 3 2 1 3 2( ), ( )( ) 5 x x x y y y1 2 1 1 2 1

12

12

12

12

1 2 1 2,( ) 5 x x x y y y1 1 2 1 1 2

12

12

12

12

2 1 2 1,( ) 5 1

212

12

121 2 1 2x x y y1 1, ( )

5 x x y y1 2 1 2

2 2+ +,

Page 208

7. Coordonnées du point B1 :

Le point B1 est situé au 13

de la longueur de AC :

50 290 50 40 150 4013

13

( ), ( )−( )5 130 230

3,( )

Coordonnées du point P1 :

Le point P1 est situé au 14


50 290 50 40 150 401

4

1

4( ), ( )−( )

5 (110, 67,5)


Le point P3 est situé aux 34


50 290 50 40 150 403

4

3

41 3 2 1 3( ), ( )−( ) 5 (230, 122,5)

Coordonnées du point B2 :

Le point B2 est situé aux 23


50 290 50 40 150 4023

23

( ), ( )−( )5 210 340

3,( )


Le point P2 est situé au milieu de AC :

50 290 50 40 150 401

2

1

2( ), ( )−( )

5 (170, 95)

Réponse : La borne-fontaine B1 est située aux coordonnées

130 2303

,( ) . la borne-fontaine B2, aux coordonnées 210 3403

,( ), le poteau P1, aux coordonnées (110, 67,5), le poteau P2, aux coordonnées (170, 95) et le poteau P3, aux coordonnées (230, 122,5).


Page 209

8. Il s’agit de démontrer que les coordonnées du point milieu de chacun des segments sont les mêmes.

Coordonnées du point milieu du segment BA : 1 5 1 2 612

12

1 3 2 1 3 22 2( ), ( 2)( ) 5 (3, 2)

Coordonnées du point milieu du segment DC : 2 21 2 1 21 7 1 0 412

12

( ), ( 0)( ) 5 (3, 2)

(5 � 1)2 � (6 � �2)2d(B, A) �

42 � 82 �

80 �

(7 � �1)2 � (4 � 0)2d(D, C) �

82 � 42 �

80 �

Réponse : Puisque les coordonnées du point milieu de chacun des segments sont les mêmes et que les segments ont la même mesure, les segments AB et CD sont des diamètres d’un même cercle.

9. 40 60 40 80 30 801 3 2 1 3 2ab

ab

( ), ( )( ) 5 (44, 70)

40 8020 501 2ab

ab

,( ) 5 (44, 70)

Pour l’abscisse : 40 44201 5ab

20 4ab

5 5 4

ab

420

�

ab

15

�

Isabelle est située au 15

de la longueur du trajet AB.

Réponse : Sa position sépare le trajet AB dans un rapport de 1 : 4 à ce moment.

Page 210

10. Coordonnées du point B :

1 13 1 10 1 1014

14

1 3 2 1 3 2( ), ( )( ) 5 (4, 7,75)

Coordonnées du point F : (4, 1)Longueur du renfort BF : 7,75 2 1 5 6,75 m

Coordonnées du point C :

4 13 4 7 75 1 7 754

9

4

91 3 2 1 3 2( ), , ( , )( ) 5 (8, 4,75)

Coordonnées du point E : (8, 1)Longueur du renfort CE : 4,75 2 1 5 3,75 m

Réponse : Le renfort BF mesure 6,75 m et le renfort CE, 3,75 m.

11. 4 4 4 101

2

1

2( ), )a a( a ( ) 5 (8, 14)

(4 1 2a 2 2, a 1 5 2 0,5a) 5 (8, 14)(2a 1 2, 0,5a1 5) 5 (8, 14)

2a 1 2 5 82a 5 6a 5 3

0,5a 1 5 5 14 0,5a 5 9 a 5 18

Réponse : Puisque la valeur associée à la variable a n’est pas la même, le point C(8, 14) n’est pas le point milieu de AB.

MÉLI-MÉLO

Page 211

1. a) Faux. Deux droites ayant des pentes opposées et inverses sont perpendiculaires.

b) Faux. La pente d’une droite correspond au rapport de l’accroissement des ordonnées et de l’accroissement des abscisses.

c) Vrai.

d) Faux. Deux droites parallèles sont confondues si elles ont la même pente et la même ordonnée à l’origine.

e) Faux. Un point qui partage un segment dans un rapport de 2 : 1 est situé aux 23 de la longueur de ce segment.

f ) Faux. La partie située entre les points P1 et P2 est deux fois plus longue que chacune des deux autres parties.


2. a) y 5 23x 1 b 7 5 23 3 0 1 b b 5 7 y 5 23x 1 7

b) a 5 2 25 00 4 5,

,2

2 2

5 0,5 b 5 2,25 y 5 0,5x 1 2,25

Page 212

3. a) Sécantes. b) d1 : y 5 3x 1 2 d2 : yx5 223

23

Perpendiculaires.c) d1 : y 5 20,5x 1 2 d2 : y x0,5 25 12

Parallèles confondues.

d) Perpendiculaires. e) d1 : y 5 0,5x 1 1,25 d2 : y 5 0,5x 1 0,75

Parallèles distinctes.

f ) d1 : 5 1y x34

18 d2 : y x5 24

34

Sécantes.

4. a) 2 2 21 3 2 1 3 25 4 5 2 423

23

( ), ( 2)( ) 5 (1, 22) b) 2 2 2 21 3 2 1 3 26 4 6 3 225

25

( ), ( 3)( ) 5 (22, 21)

c) 2 2 2 21 3 2 1 3 210 10 10 8 73

10

3

10( ), ( 8)( ) 5 (24, 23,5) d) 13 17 13 4 65

656

1 3 2 1 3 22 2 2( ), ( 4)( ) 5 212 133

,( )e) 1 9 1 8 21

4

1

4( ), ( 8)( ) 5 (3, 6,5) f ) 4 8 4 1 72

32

3( ), ( 1)( ) 5 (4, 13

3 )

Page 213

5. a) m ABu

5 2 1 2( ) ( , , ),6 1 5 5 3 5

5 39

2 2

�

m BC (5,5 6) (0,5 5,5)5,02 u

2 2

�5 2 1 2

m ACu

5 2 1 2( , ) ( , , ),5 5 1 0 5 3 5

5 41

2 2

�La mesure des trois côtés n’est pas la même, alors ce n’est pas un triangle équilatéral.

b) m ABu

5 2 1 2

5

( ) ( )10 2 13 710

2 2 m CD

u5 2 1 2

5

2( ) ( )8 16 1 510

2 2

m BCu

5 2 1 2

5

( ) ( )16 10 5 1310

2 2 m DA (2 8) (7 1)

10 u

2 25 2 1 2

5

2

La pente des segments AB et CD est de 0,75.

La pente des segments AD et BC est de 243

.

Les paires de segments opposés sont parallèles et les côtés adjacents sont perpendiculaires.

La mesure de tous les côtés est de 10 u, les paires de côtés opposés sont parallèles et les côtés adjacents sont perpendiculaires, alors il s’agit bien d’un carré.

6. Puisque la droite qui passe par les points A et B est parallèle à la droite qui passe par les points C et D, elle a la même pente : 1

7y 5 x

7 1 b

7 5 57

1 b

b 5 447

y 5 x7

1 447

Puisque la droite qui passe par les points B et C est parallèle à la droite qui passe par les points A et D, elle a la même pente : 2 y 5 2x 1 b 4 5 2 3 10 1 b b 5 216 y 5 2x 2 16

Coordonnées du point B :x7

1 447

5 2x 2 16 y 5 2 3 12 2 16

x 5 12 5 8

Réponse : Les coordonnées du point B sont (12, 8).

Page 214

7. a) d1 : 3x 1 5y 2 4 5 0 5y 5 23x 1 4 y 5 20,6x 1 0,8

d2 : y 5 20,6x 1 b 22 5 20,6 3 4 1 b b 5 0,4 y 5 20,6x 1 0,4

Soit le point B appartenant à d2 :7 5 20,6x 1 0,4x 5 211

b) d1 : 3x 1 5y 2 4 5 0 5y 5 23x 1 4 y 5 20,6x 1 0,8

d2 : y 5 53x 1 b

22 5 53

43 1 b

b 5 2263

y 5 53x 2 26

3

Soit le point B appartenant à d2 : 7 5 53x 2 26

3

x 5 9,4


8. Coordonnées du point C :

1 7 1 8 114

14

1 3 2 1 3 2( ), ( 8)( ) 5 (2,5, 6,25)

Pente de la droite qui supporte le segment AB : 8 11 7

76

2

25 2

Pente de la droite qui supporte le segment DE : 67

Équation de la droite qui supporte le segment DE :

y 5 67x

1 b

6,25 5 67

3 2,5 1 b

b 5 11528

y 5 67

x 1 11528

Réponse : L’équation de la droite qui supporte le segment DE est y 5 67

x 1 11528

.

Page 215

9. Considérons BC comme la base du triangle.

m BC (15 5) (9 4)125 u

2 25 2 1 2

5

Hauteur du triangle : segment perpendiculaire au segment BC et qui passe par A.

Équation de la droite qui supporte le segment BC :

a 5 9 415 5

2

2 5 5

10 5 1

2 5 0,5

y 5 0,5x 1 b4 5 0,5 3 5 1 bb 5 1,5 y 5 0,5x 1 1,5

Équation de la droite qui supporte la hauteur AD : y 5 22x 1 b 16 5 22 3 6 1 b b 5 28y 5 22x 1 28

Point d’intersection D entre la droite qui supporte le segment BC et la droite qui supporte la hauteur AD :

0,5x 1 1,5 5 22x 1 28 y 5 22x 1 28 x 5 10,6 5 22 3 10,6 1 28 5 6,8

4

0

8

12

16

4

A

B(15, 9)

C(5, 4)

8 12 16

y

x

D

m BD (6 10,6 ) (16 6,8 )105,8 u

2 25 2 1 2

5

Atriangle 5 b h3

2

5 125 105 82

3 ,

5 57,5 u2

Réponse : L’aire de la figure est de 57,5 u2.

10. a b a b a b)1 3 2 1 3 214

14

( ), (( ) 5 1 2 1 2

5 2 1 2 1

a b a b a b

a a b b b

14

14

14

14

14

14

14

14

,

,

aa

a b b a

5 1 1

34

14

34

14

,

Réponse : Les coordonnées du point de partage C sont 34

14

34

14

a b b a1 1,

.

Page 216

11. Coordonnées du point D :

2 21 3 2 1 3 24 4 4 1 412

12

( ), ( 1)( ) 5 (0, 2,5)

Coordonnées du point E :

2 2 2 21 3 2 1 3 24 2 4 1 512

12

( ), ( 1)( ) 5 (23, 22)

Coordonnées du point F :

4 2 4 4 512

12

1 3 2 1 3 22 2( ), ( 4)

5 (1, 20,5)

d(A, B) : ( ) ( )4 4 4 12 22 1 22 < 8,54 u

d(B, C) : ( ) ( )2 22 1 22 4 5 42 2 < 10,82 u

d(A, C) : ( ) ( )2 2 22 1 22 4 5 12 2 < 6,32 u

Périmètre du triangle ABC : 8,54 1 10,82 1 6,32 < 25,69 u

d(D, F) : ( ) ( , , )1 0 0 5 2 52 22 1 22 < 3,16 u

d(F, E) : ( ) ( , )2 2 22 1 23 1 2 0 52 2 < 4,27 u

d(D, E) : ( ) ( , )2 22 1 23 0 2 2 52 2 < 5,41 u

Périmètre du triangle DEF : 3,16 1 4,27 1 5,41 < 12,84 u12 3 25,69 < 12,84 u

Réponse : Le périmètre du triangle ABC correspond effectivement à la moitié du périmètre du triangle DEF.


12. Pente de la droite d2 : 2 1c

Substituer la pente et le point dans l’équation de la forme y 5 ax 1 b

d 5 2 1c

(c) 1 b

d 5 2 cc

1 b

d 5 21 1 b

d 1 1 5 b

y 5 2 xc

1 d 1 1

Réponse : L’équation de la droite d2 est y 5 2 xc

1 d 1 1.

Page 217


2 21 3 2 1 3 27 8 7 5 1413

13

( ), ( 5)( ) 5 (22, 8)

m AB : ( ) ( )8 7 14 52 22 1 22 17,49 u

m CD : (�2 � 4)2 � (8 � �2)2 11, 66 u

Aire du triangle ABC : A b h5

5

3

32

17 49 11 662

, ,

5 102 u2

Réponse : L’aire du triangle ABC et de 102 u2.


14 2 14 5 1113

13

1 3 2 1 3 2( ), ( 5)( ) 5 (10, 7)

Coordonnées du point E :

5 2 5 2 1113

13

1 3 2 1 3 2( ), ( 2)( ) 5 (4, 5)

Pente de la droite qui supporte le segment ED : 7 510 4

13

2

25

Pente de la droite qui supporte le segment BC : 5 214 5

13

2

25

Réponse : Puisque les droites qui supportent les segments ED et BC ont la même pente, les segments sont parallèles.

Page 218

15. Mesures de toutes les routes :

m AB : (22 7) (23 22) 15,03 km2 22 1 2

m BC km: ( ) ( ) ,31 22 27 23 9 852 22 1 2

m CD km: ( ) ( ) ,36 31 14 27 13 932 22 1 2

m DE km: ( ) ( ) ,25 36 9 14 12 082 22 1 2

m EF km: ( ) ( ) ,18 25 11 9 7 282 22 1 2

m FG km: ( ) ( ) ,9 18 7 11 9 852 22 1 2

m GA km: ( ) ( ) ,7 9 22 7 15 132 22 1 2

Distance totale : 15,03 1 9,85 1 13,93 1 12,08 1 7,28 1 9,85 1 15,13 83,16 km

Réponse : Oui, il est possible pour cette voiture de faire le tour du lac sans être rechargée.

16. 3x 2 2y 1 15 5 0 y 5 1,5x 1 7,5

Pente de la droite qui supporte la route : 1,5Pente de la droite qui passe par le point de coordonnées (25, 6) et est perpendiculaire à la route : 2

23

y 5 x23

2 1 b

6 5 2523

32 1 b

b 5 683

Équation de cette droite : y 5 23

2 x 1 683

Point d’intersection I entre les deux droites :

1,5x 1 7,5 5 x23

2 1 683

x 5 7y 5 1,5x 1 7,5 5 1,5 3 7 1 7,5 5 18I(7, 18)

Distance de la maison à la route :

d(I, A) 5 ( ) ( )25 7 6 182 22 1 2

5 468, 21,63 m

Réponse : La maison est conforme à la règlementation puisqu’elle se trouve à au moins 20 m de la route, soit environ 21,63 m.


Page 219

17. Droite qui supporte le segment AB : a 5 3, puisque que AB//EF et ordonnée à l’origine : 0

y 5 3x

Droite qui supporte le segment BC : a 5 213

y 5 2x3

1 b

2,5 5 22 53, 1 b

b 5 103

y 5 2x3

1 103

Coordonnées du point B : 3x 5 2x3

1 103

x 5 1y 5 3 3 1 5 3B(1, 3)

Équation de la droite qui supporte le segment DE : y 5 2

x3

1 b

3 5 243

1 b

b 5 133

y 5 2x3

1 133

Coordonnées du point E : E(x, 2,5) 2,5 5 2

x3

1 133

x 5 5,5E(5,5, 2,5)

Réponse : La distance totale parcourue est d’environ 14,59 km.

Équation de la droite qui supporte le segment EF : a 5 3 y 5 3x 1 b 2,5 5 3 3 5,5 1 b b 5 214 y 5 3x 2 14

Équation de la droite qui supporte le segment AF : a 5 0,2 et ordonnée à l’origine : 0y 5 0,2x

Coordonnées du point F : 3x 2 14 5 0,2x x 5 5y 5 0,2x 5 0,2 3 5 5 1F(5, 1)

Longueur des segments :

m AB 5 ( ) ( )1 0 3 02 22 1 2 3,16 km

m DE 5 m BC 5 ( , ) ( , )2 5 1 2 5 32 22 1 2 1,58 km

m CD 5 2 1 2(4 2,5) (3 2,5)2 2 1,58 km

m EF 5 2 1 2(5 5,5) (1 2,5)2 2 1,58 km

m AF 5 2 1 2(5 0) (1 0)2 2 5,1 km

Distance totale : 3,16 1 4 3 1,58 1 5,1 14,59 km

Page 220

18. Pour déterminer le diamètre du disque, il faut trouver les coordonnées de son centre. Dans cette situation, le centre du disque correspond à l’intersection des médiatrices des segments AC et CB.

Équation de la droite qui supporte le segment AC :

a 5 0 40 6

46

23

2

2 25 52 2


y 5 2 x23

Équation de la droite qui supporte le segment CB :

a 5 0 20 4

24

12

2

25 5


y 5 0,5x

Équation de la droite qui supporte la médiatrice du segment AC : a 5 1,5

y 5 1,5x 1 b

2 5 1,5 3 23 1 b

b 5 6,5

y 5 1,5x 1 6,5

Équation de la droite qui supporte la médiatrice du segment CB : a 5 22

y 5 22x 1 b

1 5 22 3 2 1 b

b 5 5

y 5 22x 1 5

Coordonnées du point d’intersection des médiatrices O : 1,5x 1 6,5 5 22x 1 5 x 5 2

37

y 5 22 3 237

1 5

5 417

O 237

, 417

La mesure du rayon correspond à la distance entre le point C et le centre O :

5 2 1 2

5

2

r 0 0

5,87 cm

37

417

169049

2 2

Mesure du diamètre :d 5 2r 11,75 cm

Réponse : Le diamètre de l’assiette est d’environ 11,75 cm.


Pages 221-222


130 130 701115

1115

1 3 2 1 3 2( ), (x y 70)( ) 5 (86, 26)

Abscisse du point B :

130 1301115

1 3 2( )x 5 86

1115

2863

x 2 5 244

1115

1543

x 5

x 5 70

Ordonnée du point B :

70 701115

1 3 2( )y 5 26

1115

1543

y 2 5 244

1115

223

y 5

y 5 10

B(70, 10)

Pente de la droite qui supporte le segment BC : 70 10130 70

�

� 5 1

Puisque le segment AB est perpendiculaire au segment BC, la pente de la droite qui supporte le segment AB est 21.y 2

2

1035 70

5 21

y � 10�35

5 21

y 2 10 5 35

y 5 45

Réponse : L’ordonnée du point A est 45.

Pages 223-224

20. Coordonnées du point A : (0, 20)

Équation de la droite qui supporte le segment AD : y 5 2x 1 20

Coordonnées du point D :0 5 2x 1 20x 5 20D(20, 0)

Coordonnées du point E :0 5 22x 1 202x 5 20x 5 10E(10, 0)

Coordonnées du point B :

0 20 0 20 025

25

1 3 2 1 3 2( ), ( 20)( ) 5 (8, 12)

L’ordonnée du point G est 12.

Coordonnées du point G :12 5 22x 1 20

x 5 4G(4, 12)


0 20 0 20 045

45

( ), ( 20)( ) 5 (16, 4)

L’ordonnée du point F est 4.

Coordonnées du point F :4 5 22x 1 20 x 5 8F(8, 4)

m BC : ( ) ( )16 8 4 122 22 1 2 < 11,31 u

m FG : ( ) ( )4 8 12 42 22 1 2 < 8,94 u

m FC 5 16 2 8 5 8 u

m GB 5 8 2 4 5 4 u

Réponse : Le segment BC mesure environ 11,31 u, le segment FG, environ 8,94 u, le segment FC, 8 u et le segment GB, 4 u.

Pages 225-226


y 5 243

3 0 1 16

y 5 16 Donc B(0,16).

Coordonnées du point A :

0 1643

5 12 x

x 5 12 Donc A(12, 0).

Coordonnées du point F :

0 24 0 16 3423

23

1 3 2 1 3 2( ), ( 16)( ) 5 (16, 28)

m AB : ( ) ( )0 12 16 02 22 1 2 5 20 m

m BC : ( ) ( )24 0 34 162 22 1 2 5 30 m

m BF : ( ) ( )16 0 28 162 22 1 2 5 20 m

Aire du terrain ABCD : 30 3 20 5 600 m2

Aire du terrain ABFE : 20 3 20 5 400 m2

Aire du terrain CDEF : 600 2 400 5 200 m2

2 3 AireCDEF 5 2 3 200 5 400 m2 5 AABFE

Réponse : Le promoteur a raison, la superficie du terrain ABFE correspond au double de celle du terrain CDEF.

CHAPITRE 6 Système d’équations du premier degré à deux variablesRAPPEL Introduction aux systèmes d’équations du premier degré à deux variables

Page 228

1. a) (3, 6) b) (4, 1) c) (< 24,5, < 23,5) d) (4, 21) e) 5 , 923

13

f ) (28,75, 12,25)


Page 229

2. a) y 5 22x 1 5y 5 20,25x 2 2,5

b) y 5 3x 1 8y 5 6x 1 9

3. a) x 1 2 5 2x 1 6 2x 5 4 x 5 2

y 5 2 1 2 5 4

(2, 4)

b) 23x 1 1 5 0,5x 1 8 23,5x 5 7 x 5 22

y 5 23 3 22 1 1 5 7

(22, 7)

c) 2x 1 12 5 0,4x 1 5 21,4x 5 27 x 5 5

y 5 25 1 12 5 7

(5, 7)

d) 4x 2 7 5 3x 1 2 x 5 9

y 5 4 3 9 2 7 5 29

(9, 29)

e) 3 6x x2 3

1 5 22

56

9x5 2

x 5 210,8

y 3

2,4

10,82

5 1

5

2

2

(210,8, 22,4)

f ) 0,6x 1 0,9 5 0,3x 2 2,7 0,3x 5 23,6 x 5 212

y 5 0,6 3 212 1 0,9 5 26,3

(212, 26,3)

4. 1 B , 2 C , 3 A , 4 D

Page 230

5. a) 1)

2

y

2 x0

b) 1)

2

y

2 x0

2) (3, 4) 2) (2, 2)

c) 1)

2

y

2 x0

d) 1)

2

y

2 x0

2) ,53

73

2) (20,5, 2,5)


Page 231

6. a) 1) x : premier nombre y : second nombre

b) 1) x : nombre de produits vendus y : salaire reçu (en $)

2) x 5 3y 1 2 x 5 4y 2 8

2) y 5 15x 1 150 y 5 18x 1 75

3) Résoudre l’équation : 3y 1 2 5 4y 2 8

2y 5 210 y 5 10

Donc, x 5 3 3 10 1 2 5 32Réponse : x 5 32 et y 5 10 Le premier nombre est 32 et le second est 10.

3) Résoudre l’équation : 15x 1 150 5 18x 1 75

23x 5 275 x 5 25

Donc, y 5 15 3 25 1 150 5 525Réponse : x 5 25 et y 5 525. Lorsqu’ils vendent 25 produits chacun, Pascal et Érika reçoivent le même salaire, soit 525 $.

c) 1) x : nombre de jours y : nombre de millions de bactéries

2) y 5 2x 1 4 y 5 2,5x 1 3

3) Résoudre l’équation : 2x 1 4 5 2,5x 1 3

20,5x 5 21 x 5 2

Donc, y 5 2 3 2 1 4 5 8

Réponse : x = 2 et y = 8. Dans chacune des deux boîtes de Pétri, le nombre de bactéries sera de 8 millions après 2 jours.

Page 232

7. La droite qui correspond à l’évolution du placement 1 passe par les points (0, 16) et (16, 17). Son équation est y x

5 116

16.La droite qui correspond à l’évolution du placement 2 passe par les points (0, 8) et (16, 10). Son équation est y x

5 18

8.On peut résoudre le système d’équations par la méthode de comparaison :

x

16 8

8

8

128

x x

x x

x

16 8

16216

16

1 5 1

2 5

5

5

2

2 2

y 8

24

1288

5 1

5

Réponse : Les placements auront la même valeur de 24 000 $ après 128 mois.

8. Soit S(t), le salaire annuel (en $) d’un employé, et t, le nombre d’années de service.

Résoudre le système d’équations : Smax (t) 5 2000t 1 40 000Smin (t) 5 3000t 1 35 0002000t 1 40 000 5 3000t 1 35 000 5000 5 1000t t 5 5 annéesS(5) 5 2000(5) 1 40 000 5 50 000 $

Le salaire annuel sera de 50 000 $ après 5 ans pour les deux règles. Pour 15 années de service, le salaire annuel augmentera de 10 fois 1500 $ (15 années 2 5 premières années), pour atteindre 65 000 $.

50 000 1 10 3 1500 5 65 000 $

Réponse : Le salaire annuel d’un employé après 15 années de service sera de 65 000 $.

SECTION 6.1 Résolution à l’aide de la méthode de substitution

Page 233

1. a) 3y 5 26x 1 12 y 5 22x 1 4

b) 24y 5 22x 1 6 y 5 0,5x 2 1,5

c) 3y 5 20,75x 2 21 y 5 20,25x 2 7

d) y 5 0,75x 1 1,5

2. a) Non. b) Non. c) Oui.


Page 234

3. a) x 1 2(2x 2 1) 5 13 5x 2 2 5 13 x 5 3 y 5 2 3 3 2 1 5 5

(3, 5)

b) 4(6y 1 35) 2 5y 5 26 19y 1 140 5 26 y 5 26x 5 6 3 26 1 35 5 21

(21, 26)

c) 3x 1 2(25x 1 8) 5 2 27x 1 16 5 2 x 5 2 y 5 25 3 2 1 8 5 22

(2, 22)

d) y 1 3(2y 2 3) 5 19 7y 2 9 5 19 y 5 4 x 5 2 3 4 2 3 5 5

(5, 4)

e) 3x 1 6(2x 2 7) 5 12 3x 1 12x 2 42 5 12 15x 5 54 x 5 3,6y 5 2(3,6) 2 7 5 0,2

(3,6, 0,2)

f ) 2(7y 2 4) 5 4y 1 22 14y 2 8 5 4y 1 22 10y 5 30 y 5 3 x 5 7(3) 2 4 5 17

(17, 3)

g) 2x 4 2 5 (6y 2 10) 4 2 x 5 3y 2 5 25(3y 2 5) 1 2y 2 12 5 0 215y 1 25 1 2y 2 12 5 0 213y 5 213 y 5 1x 5 3(1) 2 5 5 22

(22, 1)

h) 3y 4 3 5 (9x 2 42) 4 3 y 5 3x 2 14 2(3x 2 14) 2 13 5 4x 6x 2 28 2 13 5 4x 2x 5 41 x 5 20,5y 5 3(20,5) 2 14 5 47,5

(20,5, 47,5)

Page 235

4. a) 1) x : nombre de filles y : nombre de garçons

b) 1) x : nombre de bâtons vendus y : nombre de rondelles vendues

2) x 1 y 5 941 x 5 y 1 75

2) 2,5x 1 1,5y 5 510y 5 4x

3) y 1 75 1 y 5 941 x 5 433 1 75 2y 1 75 5 941 5 508 filles 2y 5 866 y 5 433 garçons

Réponse : Il y a 508 filles et 433 garçons à cette école.

3) 2,5x 1 1,5(4x) 5 510 y 5 4(60) 8,5x 5 510 5 240 rondelles x 5 60 bâtons

Réponse : 60 bâtons et 240 rondelles ont été vendus durant la campagne.

Page 236

5. Variables x : périmètre (en u) du carré y : périmètre (en u) de l’hexagone

Système d’équations x 5 4y 4x 1 3y 5 228

Résolution du système d’équations : 4(4y) 1 3y 5 228 19y 5 228 y 5 12 u

x 5 4(12) 5 48 u

Mesure d’un côté du carré : 48 4 4 5 12 uMesure d’un côté de l’hexagone : 12 4 6 5 2 u

Réponse : La mesure d’un côté du carré est de 12 u, alors que la mesure d’un côté de l’hexagone est de 2 u.

6. Variables x : nombre de déclarations provinciales y : nombre de déclarations fédérales

Système d’équations x 1 y 5 1124 35x 1 25y 5 34 120

Résolution du système d’équations : x 5 1124 2 y 35(1124 2 y) 1 25y 5 34 120 39 340 2 35y 1 25y 5 34 120 210y 5 25220 y 5 522 déclarations fédérales

x 1 522 5 1124 x 5 602 déclarations provinciales

Réponse : Cette firme a produit 602 déclarations provinciales et 522 déclarations fédérales.

SECTION 6.2 Résolution à l’aide de la méthode de réduction

Page 237

1. Plusieurs réponses possibles. Exemples :

a) 3(x 1 3y 5 3) 3x 1 9y 5 9

3x 2 4y 5 213x 1 9y 5 9

b) 3(4x 1 7y 5 1)12x 1 21y 5 3

4(3x 1 5y 5 8)12x 1 20y 5 32

12x 1 21y 5 312x 1 20y 5 32

c) 3,2x 1 2,5y 5 26 4,8(3,2x 1 2,5y 5 26) 15,36x 1 12y 5 228,8

4,8y 5 5,1x 1 0,3 25,1x 1 4,8y 5 0,32,5(25,1x 1 4,8y 5 0,3) 212,75x 1 12y 5 0,75

15,36x 1 12y 5 228,8212,75x 1 12y 5 0,75


Page 238

2. a) 3x 2 3y 5 6 2 (3x 2 2y 5 14) 2y 5 28 y 5 8

3x 2 3 3 8 5 6 3x 5 30 x 5 10

(10, 8)

b) 5x 2 6y 2 5 5 0 2 (5x 1 15y 2 5 5 0) 221y 5 0 y 5 0

5x 2 6 3 0 2 5 5 0 5x 5 5 x 5 1

(1, 0)

c) 8x 2 6y 5 28 1 (215x 1 6y 5 57) 27x 5 49 x 5 27

8 3 27 2 6y 5 28 26y 5 48 y 5 28

(27, 28)

d) 4x 1 3y 1 2 5 0 2 (4x 2 12y 2 8 5 0) 15y 1 10 5 0 15y 5 210 y 5 2

32

4x 1 3 3 23

2 1 2 5 0 4x 5 0 x 5 0

0 2,3( )�

e) 60x 2 48y 5 1080 2 (55x 2 48y 5 100) 5x 5 980 x 5 196

5 3 196 2 4y 5 90 24y 5 2890 y 5 222,5

(196, 222,5)

f ) 2x 2 5y 1 9 5 0 2 (2x 1 6y 1 42 5 0) 211y 2 33 5 0 211y 5 33 y 5 23

2x 2 5(23) 1 9 5 0 2x 5 224 x 5 212

(212, 23)

g) 6x 1 6y 2 24 5 0 2 (6x 1 9y 2 24 5 0) 23y 5 0 y 5 0

2x 1 2 3 0 2 8 5 0 2x 5 8 x 5 4

(4, 0)

h) 26x 1 10y 5 14 2 (20x 1 10y 5 15) 226x 5 21

x 5 126

4 126( ) 1 2y 2 3 5 0

2y 5 3 –

213

y 5 3726

126

3726

,( )

Page 239

3. Variables x : nombre de questions à réponses courtes y : nombre de questions à développement

Système d’équations x 1 y 5 20 4x 1 6y 5 100

On résout le système par la méthode de réduction. 4x 1 4y 5 80 2 (4x 1 6y 5 100) 22y 5 22022y 5 220 y 5 10

x 1 y 5 20 x 1 10 5 20 x 5 10

La solution est (10, 10).

Réponse : Il y a 10 questions à réponses courtes et 10 questions à développement.

4. Résolution du système d’équations : 2C 2 52h 5 100

2 (2C 2 44h 5 180) 28h 5 280 h 5 10 h

C 2 26(10) 5 50 C 5 310 $

Réponse : Le couple-solution du système d’équations est (10, 310), ce qui signifie que pour 10 h de travail, le coût des honoraires pour chacun des plombiers sera de 310 $.

Page 240

5. Variablesx : masse (en kg) d’une rondelle de chlorey : masse (en kg) d’une rondelle de contrôle du pH

Système d’équations 15x 1 10y 5 18 25x 1 15y 5 29

Résolution du système d’équations : 45x 1 30y 5 54 2 (50x 1 30y 5 58) 25x 5 24 x 5 0,8 kg 15 3 0,8 1 10y 5 18 10y 5 6 y 5 0,6 kgMasse du nouvel ensemble : 40(0,8) 1 30(0,6) 5 50 kgRéponse : La masse de ce nouvel ensemble est de 50 kg.

6. Variables x : nombre de jours passés à Orlandoy : nombre de jours passés à Miami


On résout le système par la méthode de réduction. 200x 1 200y 5 2800 2 (200x 1 260y 5 2980) 260y 5 2180 y 5 3

x 1 y 5 14 x 1 3 5 14 x 5 11Réponse : Nous passerons 11 jours à Orlando et 3 jours à Miami.


Page 241

7. Variables x : tarif horaire (en $) pour les heures passées en cour y : tarif horaire (en $) pour les heures passées au bureau

Système d’équations 25x 1 15y 5 2900 30x 1 20y 5 3600

Résolution du système d’équations : 100x 1 60y 5 11 600 2 (90x 1 60y 5 10 800) 10x 5 800 x 5 80 $

25(80) 1 15y 5 2900 y 5 60 $

Montant de la 3e facture : 28(80) 1 16(60) 5 3200 $Réponse : Le montant de la 3e facture sera de 3200 $.

8. Résolution du système d’équations : Ax 1 By 5 A2 (2Ax 1 By 5 A) 2Ax 5 0 x 5 0

A(0) 1 By 5 A By 5 A

y 5 AB

Réponse : La solution sera donc 0, AB( ).

SECTION 6.3 Système d’équations particulier

Page 242

1. Réponse : Ces systèmes d’équations n’admettent aucun couple-solution.

Page 243

2. a) 1

2x 2 y 5 24 2 (2x 2 y 5 8) 0 5 212

0 212

2

x 2 y 5 24 2 (x 2 y 5 5) 0 5 29

0 29

3

22x 2 2y 5 14 2 (22x 2 2y 5 10) 0 5 4

0 4

Réponse : On obtient une inégalité de deux nombres (sans variable).

b) Si la résolution d’un système d’équations du premier degré à deux variables donne une inégalité sans variable, alors le système admet l’ensemble vide comme solution.

c) 4

3x 2 y 5 24 2 (3x 2 y 5 24) 0 5 0

0 5 0

5

3x 2 3y 5 215 2 (3x 2 3y 5 215) 0 5 0

0 5 0

6

2x 2 4y 5 214 2 (2x 2 4y 5 214) 0 5 0

0 5 0

Réponse : On obtient une égalité de deux nombres (sans variable), ici 0.

d) Si la résolution d’un système d’équations du premier degré à deux variables donne une égalité sans variable, alors le système admet une infinité de solutions.

Page 244

3. Plusieurs réponses possibles. Exemples :a) Afin de comparer les pentes et les ordonnées à l’origine

de chaque droite, les ramener sous la forme y 5 ax 1 b.

A 24x 1 y 5 6 B 2x 1 0,5y 5 3 y 5 4x 1 6 y 5 24x 1 6

C 24x 1 y 1 6 5 0 D y 5 4x 1 6

y 5 4x 2 6

E x 1 4y 5 224 F 26x 2 1,5y 2 9 5 0

y 5 20,25x 2 6 y 5 24x 2 6

Les équations A et D .

b) A 24x 1 y 5 6 y 5 4x 1 6 C 24x 1 y 1 6 5 0

y 5 4x 2 6

Les équations A et C .


4. a) y 5 3x 1 1 23x 1 y 5 1

23x 1 y 5 11 3x 2 y 5 n 0 5 1 1 n n 5 21

b) 23x 1 y 5 11 3x 2 y 5 n 0 5 1 1 n n ? 21


2 5x6 1

y3 5 215

y 5 2,5x 2 45

L’équation de l’autre droite du système d’équations doit avoir une pente de 2,5 et une ordonnée de 245.

Réponse : Plusieurs réponses possibles. Exemple : 2y 2 5x 5 290.

b)2

5x6 1

y3 5 215

y 5 2,5x 2 45

L’équation de l’autre droite du système d’équations doit avoir une pente de 2,5 et une ordonnée différente de 245.

Réponse : Plusieurs réponses possibles. Exemple : y 5 2,5x.

MÉLI-MÉLO

Page 245

1. a) 3 b) 4 c) 2 d) 2

2. a) La méthode de réduction.

b) La méthode de substitution.

c) La méthode de réduction.

d) La méthode de réduction.

e) La méthode de substitution.

f ) La méthode de comparaison.

Page 246

3. a) 1) x : nombre de billets pour enfant vendus

y : nombre de billets pour adulte vendus

b) 1)

2)

x : montant de base (en $) y : montant journalier (en $)

x 1 8y 5 1000x 1 12y 5 1400

c) 1)

2)

x : nombre de plants de tomates y : nombre de plants de concombres

x 2 y 5 3002x 1 3y 5 3500

2) x 1 y 5 310 8x 1 15y 5 3600

4. a) 1) x y1 y2

21 2 5

1 1 3

3 0 1

5 21 21

7 22 23

b) 1) x y1 y2

0 1 10

2 5 8

3 7 7

6 13 4

8 17 2

c) 1) x y1 y2

26 5 8

25 4,5 6

24 4 4

23 3,5 2

22 3 0

d) 1) x y1 y2

26 17 17

24 15 13

22 13 9

0 11 5

2 9 1

2) (5, 21) 2) (3, 7) 2) (24, 4) 2) (26, 17)

Page 247

5. a) x 1 2(4x 1 15) 2 5 5 22 x 1 8x 1 30 2 5 5 22 9x 5 227 x 5 23

y 5 4(23) 1 15 5 3

(23, 3)

b) 3(3y 1 5) 1 2y 2 4 5 0 9y 1 15 1 2y 2 4 5 0 11y 5 211 y 5 21

x 5 3(21) 1 5 5 2

(2, 21)

c) 5x 1 5y 2 15 5 202 (5x 1 5y 1 7 5 25) 222 ? 25

Il n’y a pas de couple-solution.

d) 3x 2 4y 5 2 2 (20x 2 4y 5 36) 217x 5 234 x 5 2

3(2) 2 4y 5 2 24y 5 24 y 5 1

(2, 1)


e) 20x 2 16y 2 2 5 21 2 (20x 1 25y 2 130 5 35) 241y 1 128 5 236 y 5 4

4x 1 5(4) 2 26 5 7 4x 2 6 5 7 4x 5 13 x 5 3,25

(3,25, 4)

f ) 2x 1 2x 2 3 1 3 5 6 4x 5 6 x 5 1,5

y 5 2(1,5) 2 3 5 0

(1,5, 0)

g) 3(1 2 x) 5 x 1 5 3 2 3x 5 x 1 5 24x 5 2 x 5 20,5

y 5 1 2 20,5 5 1,5

(20,5, 1,5)

h) 6x 2 5y 1 4 5 0 2 (6x 2 5y 1 4 5 0) 0 5 0

Il y a une infinité de solutions.

Page 248

6. Variables x : prix d’une auto (en $) y : prix d’un camion (en $)

Système d’équations 10x 1 12y 5 840 000 12x 1 10y 5 810 000

Résoudre le système par la méthode de réduction :

120x 1 144y 5 10 080 000 2 (120x 1 100y 5 8 100 000)

44y 5 1 980 000

44y 5 1 980 000

y 5 45 000 $ 10x 1 12y 5 840 000 10x 1 12 3 45 000 5 840 000 x 5 30 000 $

Couple-solution : (30 000, 45 000)

Réponse : Le prix d’une auto est de 30 000 $ et celui d’un camion est de 45 000 $.

7. Variables x : temps d’entraînement (en h) à la marche rapidey : temps d’entraînement (en h) à la course


Résolution du système d’équations : 5x 1 5y 5 10 2 (5x 1 10y 5 12) 25y 5 22 y 5 0,4 h

5x 1 10(0,4) 5 12 5x 5 8 x 5 1,6 h

Réponse : L’entraînement à la marche rapide a duré 1,6 h et celui à la course, 0,4 h.

Page 249

8. Variables x : nombre d’autocars A

y : nombre d’autocars B

Système d’équations 38x 1 56y 5 862 0,55x 1 0,8y 5 12,35

Résolution du système d’équations : 38x 1 56y 5 862 2 (38,5x 1 56y 5 864,5) 20,5x 5 22,5 x 5 5 autocars A

38(5) 1 56y 5 862 y 5 12 autocars B

Réponse : L’entreprise s’est procuré 5 autocars A et 12 autocars B .

9. x : quantité de médicament A y : quantité de médicament B

Les équations qui représentent la situation sont : x 1 y 5 100 00015x 1 15y 5 1 500 000

En divisant la seconde équation par 15, on obtient la première :1

15 (15x 1 15y) 5 1

15 (1 500 000)

x 1 y 5 100 000Les deux équations sont identiques.

Réponse : Les équations sont identiques. Leurs courbes sont donc parallèles et confondues dans un plan cartésien. Il y a donc une infinité de solutions. C’est pour cette raison que le dirigeant ne peut pas déterminer la quantité de médicament de chaque type qu’il doit produire.

Page 250

10. x : temps écoulé (en semaines)y : masse (en kg)Les équations qui représentent la situation sont : y 5 20,5x 1 79 y 5 20,8x 1 88 20,5x 1 79 5 20,8x 1 88 0,3x 5 9 x 5 30 semaines

y 5 20,5x 1 79 5 20,5 3 30 1 79 5 64 kg

Réponse : Félicia a raison. Après 30 semaines, les deux amies devraient atteindre la même masse, soit 64 kg.

11. Variables x : nombre d’adultes y : nombre d’enfants

Système d’équations x 1 y 5 154 500 15x 1 9y 5 1 846 500

Résolution du système d’équations : 15(154 500 2 y) 1 9y 5 1 846 500 2 317 500 2 15y 1 9y 5 1 846 500 26y 5 2471 000 y 5 78 500 enfants

x 1 78 500 5 154 500 x 5 76 000 adultes

Réponse : 76 000 adultes et 78 500 enfants ont visité le musée au cours de l’année.


Page 251

12. Variables x : nombre d’espaces de 9 m2

y : nombre d’espaces de 15 m2

Équations représentant la situation :9x 1 15y 5 186 100x 1 150y 5 1950

100x 1 150y 5 1950 2 (90x 1 150y 5 1860) 10x 5 90 x 5 9

100 3 9 1 150y 5 1950 150y 5 1050 y 5 7

Réponse : Pour vérifier la qualité du sol, 9 espaces de 9 m2 et 7 espaces de 15 m2 ont été utilisés.

13. Variablesx : coût (en $) d’un billet en classe affairesy : coût (en $) d’un billet en classe économique

Système d’équations 20x 1 50y 5 20 500 25x 1 40y 5 20 000

Résolution du système d’équations : 100x 1 250y 5 102 500 2 (100x 1 160y 5 80 000) 90y 5 22 500 y 5 250 $

20x 1 50(250) 5 20 500 x 5 400 $

Revenu maximal pour le 3e avion : 15(400) 1 64(250) 5 22 000 $

Réponse : Le revenu maximal généré par la configuration du 3e avion est effectivement le meilleur des trois revenus possibles.

Page 252

14. Soit y le coût du forfait (en $) et x, le nombre de minutes utilisées.

Équation associée au forfait A :

pente de la droite : 20 1530 0

16

2

25

ordonnée à l’origine : 15

équation : y x5 1

615

Équation associée au forfait B :

pente de la droite : 29 2540 0

110

2

25

ordonnée à l’origine : 25

équation : y x5 1

1025

On résout ce système par la méthode de comparaison.

15 25x x6 10

1 5 1

x 5 150

y 5 y 5 1150

615

y 5 40

Réponse : Mon ami a raison : pour 150 minutes utilisées, le coût est le même pour les deux forfaits, soit 40 $.

15. On peut résoudre ce système par la méthode de réduction.

2x 1 5y 5 k 3x 1 6y 5 k

⇒ 6x 1 15y 5 3k 2 (6x 1 12y 5 2k) 3y 5 k y 5 k

3

3x 1 6 3 k3

5 k

3x 1 2k 5 k 3x 5 2k x 5 2k

3

Réponse : Le couple-solution est donc 2 ,k3

k3 .

Pages 253-254

16. 1re étape : Déterminer la masse totale de matière solide et de matière liquide livrées.

Variables Système d’équationsa : masse (en kg) d’un conteneur de matière solide 3a 1 4b 5 10 000b : masse (en kg) d’un conteneur de matière liquide 5a 1 2b 5 12 000

Résolution du système d’équations : 3a 1 4b 5 10 0002 (10a 1 4b 5 24 000) 27a 5 214 000 a 5 2000 kg

3(2000) 1 4b 5 10 000 4b 5 4000 b 5 1000 kg

Nombre de conteneurs de matière solide : 3 1 5 5 8 La masse totale des 8 conteneurs de matière solide est de 8 3 2000 5 16 000 kg. Nombre de conteneurs de matière liquide : 4 1 2 5 6La masse totale des 6 conteneurs de matière liquide est de 6 3 1000 5 6000 kg.


2e étape : Déterminer le nombre de caisses de nourriture, le nombre de caisse de vêtements, le nombre de barils d’eau et le nombre de barils d’essence.Variables c : nombre de caisses de nourritured : nombre de caisses de vêtements

Système d’équationsc 1 d 5 200010c 1 5d 5 16 000

Résolution du système d’équations : 10c 1 10d 5 20 0002 (10c 1 5d 5 16 000) 5d 5 4000 d 5 800 caisses de vêtements

c 1 800 5 2000 c 5 1200 caisses de nourriture

Variables e : nombre de barils d’eauf : nombre de barils d’essence

Système d’équationse 1 f 5 30018e 1 26f 5 6000

Résolution du système d’équations : 26e 1 26f 5 7800 2 (18e 1 26f 5 6000) 8e 5 1800 e 5 225 barils d’eau

225 1 f 5 300 f 5 75 barils d’essence

Réponse : 1200 caisses de nourriture, 800 caisses de vêtements, 225 barils d’eau et 75 barils d’essence seront livrés à la population de la zone sinistrée.

Pages 255-256

17. 1re étape : Déterminer le prix d’une photo de format petit et le prix d’une photo de format moyen.

Variables a : prix (en $) d’une photo de format petitb : prix (en $) d’une photo de format moyen

Système d’équations 15a 1 8b 5 21,25 25a 1 12b 5 33,75

Résolution du système d’équations : 45a 1 24b 5 63,75 2 (50a 1 24b 5 67,5) 25a 5 23,75 a 5 0,75 $

15(0,75) 1 8b 5 21,25 b 5 1,25 $

2e étape : Déterminer le prix d’une photo de format grand et le prix d’une photo de format très grand.

Il faut enlever aux ensembles C et D le prix des photos de formats petits et moyens.

Ensemble C : 38,5 2 10 3 0,75 2 10 3 1,25 5 18,50 $

Ensemble D : 68,5 2 20 3 0,75 2 16 3 1,25 5 33,50 $

Variablesc : prix (en $) d’une photo de format grandd : prix (en $) d’une photo de format très grand

Système d’équations6c 1 4d 5 18,510c 1 8d 5 33,5

Résolution du système d’équations : 12c 1 8d 5 372 (10c 1 8d 5 33,5) 2c 5 3,5 c 5 1,75 $

6(1,75) 1 4d 5 18,5 d 5 2 $

3e étape : Déterminer le prix de l’ensemble E .

Prix de l’ensemble E : 16 3 0,75 1 20 3 1,25 1 8 3 1,75 1 10 3 2 5 71 $

Réponse : Le prix de l’ensemble E est de 71 $.

Pages 257-258

18. 1re étape : Résoudre le système d’équations 1 par substitution.

A B AB A

BA

x x1 2 52 1( )

A ABB

BA

BA

x x2 2 5

A A BA

BA

x x2 5 1

0 25 BA

B 5 0

C’est impossible selon les conditions du problème où l’on posait A et B différents de 0. Ce système n’admet donc aucun couple-solution.

2e étape : Résoudre le système d’équations 2 par substitution.

A B AB A

BA

x x1 1 52 1( )

A ABB

BA

BA

x x2 1 5

A A BA

BA

x x2 5 2

0 5 0

Ce système admet donc une infinité de solutions.


3e étape : Résoudre le système d’équations 3 par substitution.

x x5 2BA

AB

1 1( )

x x5 2 BA

AB

BA( ) 1

x x5 2 BA

1

2 1x 5 BA

x 5 BA

12 2

y 1AB

B2A

12( )5 2

y 5 2 2 12

A2B

1

y 5 2 A2B

12

,B2A

12

A2B

12( ) 2

Ce système admet une solution unique.

Réponse : À la suite de la résolution de ces systèmes d’équations, on conclut que Samuel a tort et que Chloé a raison, car le système d’équations 1 n’admet aucun couple-solution, le système d’équations 2 admet une infinité de solutions

et le système d’équations 3 admet une solution unique ( ),B2A

12

A2B

12

� �� .

CHAPITRE 7 StatistiqueRAPPEL Diagrammes et tableaux, mesures de tendance centrale et de dispersion

Page 262

1. a)

015 20 25 3530 40

2

4

6

8

10

Employés d’un supermarchéNombre

d’employés

Âge

b)

2. a)

100 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34

b)

0 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84

Page 263

3. a) Étendue : 6 2 1 5 5Médiane : valeur de la 40e donnée 5 4.

Moyenne : 5 1 8 2 14 ... 6 479

27079

3,42

Étendue : 5 Mode : 4 Médiane : 4 Moyenne : 3,42

b) Étendue : 30 2 5 5 25Médiane : moyenne des 58e et 59e données 5 5 1515 15

2

Moyenne : 5 5 21 10 22 ... 30 4116

1700116

14,66


0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

Nombre d’enfants dansles familles du quartier

Nombrede familles

Nombred’enfants

0


c) Étendue : 60 2 0 5 60

Mode : 1 4540 502

Médiane : milieu de la classe des 36e et 37e

données 1 3530 40

2

Moyenne :

3 1 3 1 1 3

35,14

5 4 15 9 ... 55 1372

253072


d) Étendue : 400 2 100 5 300Mode : 1 225200 250

2Médiane : milieu de la classe des 3475e

et 3476e données � �� 225200 250

2

Moyenne :

3 1 3 1 1 3

228,24

125 1000 175 1550 ... 375 4506950

1586 2506950


4. 1) 20 2) ]12, 16], donc 14. 3) ]12, 16], donc 14. 4) 3 3 2 1 4 3 6 1 8 3 10 1 10 3 14 1 7 3 1832

11,75

Page 264

5. a) 1) Classe Effectif

[0, 10[ 13

[10, 20[ 13

[20, 30[ 10

[30, 40[ 8

[40, 50[ 9

[50, 60[ 7

Total 60

b) 1) Classe Effectif

[10, 17[ 8

[17, 24[ 5

[24, 31[ 4

[31, 38[ 3

[38, 45[ 7

[45, 52[ 6

Total 33

2)

51 1 1 1 1 1

26,68

0 2 3 3 ... 59 5960

160160

2)

51 1 1 1 1

30,36

10 11 12 ... 51 5133

100233

3)

3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3

26,33

5 13 15 13 25 10 35 8 45 9 55 760

158060

3)

3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3

30,47

13,5 8 20,5 5 27,5 4 34,5 3 41,5 7 48,5 633

1005,533

6. Étendue Mode Médiane Moyenne

9 4 4 5

19 8 et 12 10,5 11,5

1,7 3,1 3,4 3,35

18 3 8 8,43

Page 265

7. Ordonner les données : 30, 34, 35, 38, 44, 47, 50, 54, 55, 61

Importation de maïs

300 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 63

8. Moyenne 5 80 20 75 30 85 40 75 10100

803 1 3 1 3 1 35

5

5 80

8000100

Réponse : Sa moyenne est de 80 %.

9. Puisque la distribution comporte dix données, le deuxième quartile (Q2) correspond à la moyenne de la 5e et de la 6e donnée. Cette valeur ne correspond donc pas au temps passé par un skieur sur les pistes.

Comme les deux derniers quarts comprennent cinq données, le troisième quartile (Q3) correspond à une donnée de la distribution, soit la 8e donnée. Cette valeur correspond donc au temps passé par un skieur sur les pistes.


Page 266

10.

1 1 1 1 1

1,4

0,25 25 0,75 20 1,25 15 ... 3,25 6 3,75 4100

140100

Réponse : Le diamètre moyen des pépites d’or recueillies est d’environ 1,4 mm.

11. a) 1 5 204 24 206 22 1 207 52 4 208

100207 24

, , ,,

1 1 1 u

b) x : abondance dans la nature (en %) pour le nombre de masse 35100 2 x : abondance dans la nature (en %) pour le nombre de masse 37

5

1 2 5

5

5

1 2

2 2

x xxx

35,45

35 3700 37 35452 155

77,5

x x35 37(100 )100

Réponse : L’abondance relative du chlore 35 est de 77,5 % alors que celle du chlore 37 est de 22,5 %.

SECTION 7.1 Diagramme à tige et à feuilles

Page 268

1. a) 45678

2 5 94 6 80 2 3 4 5 6 7 7 90 1 1 2 3 4 4 5 5 8 90 0 1 1 3 4 5 6 6 9

b) 56789

3 4 5 7 92 2 3 4 5 7 82 4 4 5 7 8 91 5 7 8 82 3 5 9

c) 1617181920

1 2 4 7 7 91 1 2 3 5 6 7 8 8 80 1 2 4 4 4 5 7 91 2 4 5 7 9 91 2 2 4 7 9

d) 171819202122

90 2 2 7 80 7 7 80 2 2 4 4 71 1 4 5 6 7 71 2 6 7

2. a) 25, 25, 27, 28, 28, 29, 33, 34, 36, 37, 44, 44, 45, 48, 49, 51, 53

b) 232, 234, 238, 243, 245, 246, 246, 249, 251, 254, 256, 258, 263, 264, 264, 266, 268, 269

Page 269

3. Températures recensées au mois de juinTempératures minimales Températures maximales

99 7 6 4

8 8 7 7 7 6 6 6 6 5 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 10

0123

4 8 91 3 3 3 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 7 8 8 8 8 8 9 90 0 1 1 1

4. a) 1) 42 2) 29,5 3) 34 4) 11 12 13 22 2520

� � � � �... 5 28,6

b) 1) 41, 58 et 67. 2) 55 3) 37 4) 37 38 41 72 7425

� � � � �... 5 54,96

Page 270

5. Ordre croissant des données :8, 9, 15, 16, 16, 17, 18, 21, 23, 24, 24, 26, 29, 30, 32, 33, 34, 37, 41, 43, 45, 49

Superficie des terres agricoles

01234

8 95 6 6 7 81 3 4 4 6 90 2 3 4 71 3 5 9

6. Temps moyen en eau froide :243 1 245 1 250 1 ... 1 277 1 288

16 5 262,75 s

Temps moyen en eau chaude :249 1 253 1 257 1 ... 1 285 1 288

16 5 267,75 s

Réponse : Le temps moyen en eau froide est inférieur de cinq secondes au temps moyen en eau chaude.


SECTION 7.2 Écart moyen et rang centile

Page 272

1. 500 2 98 5 402

402 12

500100 80,5

Réponse : Le rang centile de Samuel est 81.

2. a) Moy. 5 10 3 23 1 12 3 24 1 15 3 25 1 8 3 26 1 5 3 27

50 5 24,72

ÉM 5 10 3 |24,72 2 23| 1 12 3 |24,72 2 24| 1 ... 1 5 3 |27 2 24,72|50

1,03

b) 10 1 12 1 15 5 37

37 1 82

50 3 100 5 82

Réponse : Le rang centile de la donnée 26 est 82.

Page 273

3. a) Moy. 5 6 9 14 174

� � � 5 11,5

ÉM 5 6 11 5 9 11 5 14 11 5 17 11 54

, , , ,� � � �� 5 4

b) Moy. 5 112 115 122 128 1335

� � � � 5 122

ÉM 5 112 122 115 122 133 1225

� ...� � � � � 5 6,8

c) Moy. 5 14 18 21 24 25 31 33 348

� � � � � � � 5 25

ÉM 5 14 25 18 25 34 258

� ...� � � � � 5 5,75

d) Moy. 5 19 21 23 9512

� � � �... 5 56,25

ÉM 5 19 56 25 95 56 2512

� , ... ,� � � 5 22,25

e) Moy. 5 3 2 4 11 5 17 6 1545

� � � �� 5 5

ÉM 5 2 � 3 � 5 � 11 � 4 � 5 � 17 � 5 � 5 � 15 � 6 � 5 45

5 23

f ) Moy. 5 27 29 34 37 39 42 447

� � � � � � 5 36

ÉM 5 27 36 29 36 44 367

...� � � � � 5 36

7

g) Moy. 5 2,1 1 2,4 1 2,5 1 2,8 1 2,9

5

5 2,54

ÉM 5 |2,1 2 2,54| 1 |2,4 2 2,54| 1 ... 1|2,9 2 2,54|

5

5 0,248

h) Moy. 5 3 3 8 1 5 3 10 1 5 3 12 1 3 3 14

16

5 11

ÉM 5 3 3 |8 2 11|1 5 3 |10 2 11| 1 5 3 |12 2 11| 1 3 3 |14 2 11|

16

5 1,75

Page 274

4. a) 11 2

218

100��

66,67


b)23 1

236

�100� 65,28


c)70 3

281

�100� 88,27


d)45 1

2100

�100� 5 45,5


Page 275

5. a) 1) 2100

175� 5 3,5

Réponse : La donnée dont le rang centile est 2 se trouve au 3e rang. Cette donnée est 8.

2) 53100

175� 5 92,75


3) 70100

175� 5 122,5


4) 99100

175� 5 173,25


b) Non. Entre les données 13 et 49, il y a 45 données dont on ne connaît pas la valeur. Il est donc impossible d’appliquer la formule du rang centile, ne connaissant pas le nombre de données inférieures ou égales à 32.

c) Non. Il n’est pas possible de déterminer le rang centile de la donnée 105, car on ne sait pas combien de fois cette donnée figure dans la distribution. Dans les 48 données situées entre 105 et 132, la donnée 105 figure peut-être quelques fois.


Page 276

6. a) Soit x, le nombre de personnes ayant réalisé le même temps que Valérie, incluant Valérie.

Poser et résoudre l’équation suivante :

1052

150

�100�

x

5 72

70 1 x3

5 72

x 5 6

Réponse : Cinq personnes ont réalisé le même temps que Valérie.

b) Soit x, le nombre total de participants.

Poser et résoudre l’équation suivante :

55 � 12 100�

x 5 25

5550

x 5 25

x 5 222

Réponse : Au total, 222 personnes ont participé au concours.

7. La moyenne : Moy. 5 4 6 84

� � � x

5 4,5 + 0,25x

L’écart moyen : ÉM 5 4 4 5 0 25 6 4 5 0 25 8 4 5 0 25 4( , , ) ( , , ) ( , , ) ( ,x x x x 55 0 254

�� , )x

Sachant que la moyenne est supérieure à 6 et inférieure à 8, les deux premiers écarts seront positifs si l’on soustrait la donnée de la moyenne et les deux derniers seront positifs si l’on soustrait la moyenne de la donnée. Ainsi l’écart moyen pourra s’écrire :

3,5 5 , , , ( , , ) ( ,4, 5 0 25 4 4 5 0 25 6 8 4 5 0 25 4 5 0x x x x ,, )254

�� x

13 5 0,5 1 0,25x 2 1,5 1 0,25x 1 3,5 2 0,25x 1 0,75x 2 4,5

13 5 22 1 x

15 5 x

Réponse : x 5 15

Page 277

8. a) Pour les hommes :

Moy. 5 38 000 41 000 53 000� � �...6

5 45 000

ÉM 5 38 000 45 000 ... 53 000 45 0006

��

4333,33

Pour les femmes :

Moy. 5 34 000 37 000 47 500� � �...6

5 41 000

ÉM 5 34 000 41 000 47 500 41 000...6

��

3833,33

b)3 1

212

�100� 29,17

Réponse : Le rang centile de celui ou celle qui gagne 40 500 $ est 30.

Réponse : L’écart moyen est moins élevé chez les femmes.

9. 190 000 2 3499 5 186 501 personnes ayant un rang égal ou inférieur à Vincent. 186 501 2 251 5 186 250 personnes ayant un rang inférieur à Vincent.

186 250 2512

190 000

�100� 98,09

Réponse : Vincent est dans le 99e rang centile.

Page 278

10. a) Note : Plus le temps est bas, mieux on se classe.

120 2 56 5 64 personnes ont réalisé le même temps que Pascal, ou un temps supérieur.

64 2 2 5 62 personnes ont réalisé un temps supérieur à celui de Pascal.

62 22

120

�100� 5 52,5

Réponse : Le rang centile de Pascal à cette compétition est 53.

b)62 3

2121

�100� 52,48

Réponse : Le rang centile de Pascal aurait toujours été 53.


11. Moy. 5 20 9 8 35 9 9 75 10 36 10 1 23 10 2 11 10 3200

�� , , , , , 5 10,02

ÉM 5 20 9 8 10 02 35 9 9 10 02 75 10 10 02 36 10 1 10 02, , , , , , , 23 10 2 10 02 1110 3 10 02200

�� , , , ,

5 0,101

10,02 2 9,8 5 0,22 et 0,22 . 0,101.

10,02 2 9,9 5 0,12 et 0,12 . 0,101.

10,2 2 10,02 5 0,18 et 0,18 . 0,101.

10,3 2 10,02 5 0,28 et 0,28 . 0,101.

20 1 35 1 23 1 11 5 89

Réponse : L’écart moyen étant de 0,101, les billes d’un diamètre de 9,8, 9,9, 10,2 et 10,3 seront rejetées, pour un total de 89 billes.

SECTION 7.3 Corrélation, tableau de distribution à double entrée et nuage de points

Page 280 Page 281 Page 282

1. a)

b)C

B

2. a) La corrélation linéaire entre les variables est négative et faible.

b) La corrélation linéaire entre les variables est positive et moyenne.

3. C


b)

c)

d)

1)

1)

1)

1)

Négative.

Positive.

Positive.

Négative.

2)

2)

2)

2)

Moyenne.

Forte.

Moyenne.

Forte.

5. a) 1)

x

y

2

46

81012

1416

1820

2224

262830

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150

b) 1)

x

y

1

23

4567

89

10

1112

1314

15

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150

2) La corrélation linéaire entre les variables est positive et forte.

2) La corrélation linéaire entre les variables est négative et faible.

Page 283

6. a) Salaire des employés d’une entreprise pharmaceutique

ÂgeSalaire ($) [20, 25[ [25, 30[ [30, 35[ [35, 40[ Total

[35 000, 40 000[ 30 82 8 25 145

[40 000, 45 000[ 69 87 49 95 300

[45 000, 50 000[ 80 175 70 125 450

[50 000, 55 000[ 40 50 33 35 158

Total 219 394 160 280 1053

b) 1)

51

0,4226

300 1451053

4451053

42,26 %

2) 51

0,5821

219 3941053

6131053

58,21 %

3) 51 1 1

0,2545

30 82 69 871053

2681053

25,45 %

4) 51 1 1

1

0,4372

30 82 69 87219 394

268613

43,72 %


7. Tableau A Tableau B a) Tableau A : corrélation positive.

Tableau B : corrélation négative.

xy 0 1 2 3 4 Total

10 5 3 1 1 2 12

11 3 4 2 1 0 10

12 1 6 7 4 2 20

13 0 2 4 6 2 14

14 1 0 2 5 6 14

Total 10 15 16 17 12 70

xy 10 20 30 40 50 Total

[0, 5[ 0 0 0 0 4 4

[5, 10[ 0 0 3 6 3 12

[10, 15[ 0 1 7 3 0 11

[15, 20[ 3 7 4 1 0 15

[20, 25[ 5 4 1 1 0 11

Total 8 12 15 11 7 53

b) La corrélation linéaire est plus forte si les effectifs se concentrent plus fortement autour d’une des diagonales du tableau. Dans le tableau B , on voit que les effectifs les plus éloignés de la diagonale sont égaux à 0 ou à 1, et qu’il y en a davantage que dans le tableau A . Ainsi, on peut conjecturer que la corrélation linéaire est plus forte entre les variables du tableau B que celle entre les variables du tableau A .

Page 284

8. a) 1) Saison de hockey

PartiesPoints

20 21 22 23 24 Total

[0, 10[ 0 2 0 0 0 2

[10, 20[ 4 2 2 1 1 10

[20, 30[ 0 0 3 2 1 6

[30, 40[ 0 2 3 0 2 7

[40, 50[ 0 0 0 4 1 5

Total 4 6 8 7 5 30

2)

3) La corrélation linéaire entre les variables est positive et faible.

b) 1) Résultats aux examens

Examen 1Examen 2

[50, 60[ [60, 70[ [70, 80[ [80, 90[ [90, 100[ Total

[50, 60[ 1 2 0 0 0 3

[60, 70[ 3 1 1 0 0 5

[70, 80[ 0 0 3 2 2 7

[80, 90[ 0 1 4 4 2 11

[90, 100[ 0 0 1 2 1 4

Total 4 4 9 8 5 30

2)

3) La corrélation linéaire entre les variables est positive et moyenne.

Page 285


a) Le nombre de victoires en saison régulière d’une équipe de la Ligue nationale de hockey et le nombre de victoires en séries éliminatoires.

b) L’âge d’une personne et sa quantité de cheveux.

c) La température en degrés Celsius et la température en degrés Fahrenheit.

d) Les résultats scolaires d’un élève et la valeur des indices boursiers.

10. a) b) La corrélation linéaire entre l’épaisseur de la glace et la charge qu’elle peut supporter est positive et d’intensité moyenne à forte.

20

10

30

40

50

Nombre depoints

Saison de hockey

Nombrede parties

20 21 22 23 240

60

50

70

80

90

Résultat àl’examen 2

Résultats aux examens

Résultat àl’examen 1

50 60 70 80 900

Charge(tonnes/m)

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

20 40 60 80 100 Épaisseur(cm)

Épaisseur de glaceet charge supportée


Page 286

11. a) 1)

0

Pression(bar)

Profondeur(m)

1

10 20 30 40 50

2

3

4

5

Profondeur et pression 1)

0

Visibilité(%)

Profondeur(m)

12

10 20 30 40 50

24

36

48

60

Profondeur et visibilité 1)

0

Température(°C)

Profondeur(m)

4

10 20 30 40 50

8

12

16

20

Profondeur et température

Plusieurs réponses possibles. Exemples :2)

3)

La corrélation linéaire entre la profondeur et la pression est positive et forte.

La pression de l’eau augmente au fur et à mesure que la profondeur augmente, et ce de façon linéaire. Lorsque l’on connaît la pression, on peut estimer la profondeur, et vice-versa.

2)

3)

La corrélation linéaire entre la pro fondeur et la visibilité est négative et forte.

La visibilité de l’eau diminue au fur et à mesure que la profondeur augmente, et ce de façon linéaire. Si l’on connaît le pourcentage de visibilité, on peut estimer la profondeur, et vice-versa.

2)

3)

La corrélation linéaire entre la profondeur et la température est négative et moyenne.

La température de l’eau a tendance à diminuer au fur et à mesure que la profondeur augmente, et ce de façon linéaire, surtout entre 15 m et 40 m. Cette tendance semble moins évidente près de la surface et à de grandes profondeurs.

Page 287

12. a) Ébullition de l’eauTempérature(°C)

Altitude(m)

80

84

88

92

96

100

1000 2000 3000 4000 50000

b)

c)

d)

e)

La corrélation linéaire est très forte et négative.

En traçant la droite d’équation y x5 1233

10 000100, on peut

voir qu’elle permet de modéliser la situation. Cette personne a donc raison.

5 3 1

5

2y 8000 100

73,6 °C

3310 000

Réponse : La température d’ébullition de l’eau à une altitude de 8000 m sera d’environ 73,6 oC.

5 1

5

2

2 2

x

x

x

80 100

20

6060,6

3310 000

3310 000

Réponse : La température d’ébullition de l’eau sera de 80 oC à 6060,6 m d’altitude environ.

SECTION 7.4 Interprétation quantitative de la corrélation et coefficient de corrélation linéaire

Page 289

1. a) Le coefficient de corrélation linéaire est un nombre qui permet de quantifier l’intensité du lien linéaire entre deux variables statistiques.

b) Un coefficient de corrélation linéaire positif indique que si l’une des variables augmente, l’autre variable augmente aussi.

2. a) 1) Positif. 2) Près de 1. b) 1) Positif. 2) Près de 1. c) 1) Ne s’applique pas. 2) Près de 0.

3) En général, la rémunération des travailleurs se fait sur une base horaire. Plus une personne travaille un grand nombre d’heures, plus son salaire est élevé.

3) En général, l’écart de température entre les deux villes est faible. Par exemple, si la température est de 25 °C à Montréal, elle sera près de 25 °C à Québec.

3) Il n’y a pas de lien entre les variables. Certaines personnes sont très heureuses de vivre à la campagne, alors que d’autres sont heureuses de vivre au centre d’une grande ville.


3. a) y

x0

40 mm

10 mm

b) y

x0

40 mm

20 mm

Page 290

4. a) 0,75 b) 0,95 c) 20,45 d) 1 e) Même intensité. f ) 20,75 g) Même intensité. h) 0,11

5. A 0,5 B 20,65 C 0,92 D 0 E 20,97 F 0,35 G 20,15 H 0,85


a) y

x0

8 mm

80 mm

b) y

x0

24 mm 34 mm

Page 291

7. a) 1) y

x0

50 mm28 mm

b) 1) y

x0

18 mm

61 mm

2) • Dimensions du rectangle : 28 mm sur 50 mm

• Pente positive

•

2�

�

r 1

0,44

2850


• Pente négative

•

22

2

r 1

0,70

1861

�

�

c) 1) y

x0

40 mm

50 mm

d) 1) y

x0

30 mm

58 mm

�

�

2r 1

0,75

1040

�

�

2r 1

0,5

2040



• Pente négative

• 22

2

r 1

0,2

4050


• Pente positive

• 2r 1

0,48

3058

Page 292

8. a) y

x0

28 mm

17 mm

b) y

x0

34 mm

15 mm

c) y

x0

30 mm

9 mm

r 20,39 r 0,56 r 0,7

d) y

x0

23 mm 14 mm

e) y

x0

30 mm

10 mm

f ) y

x0

26 mm

31 mm

r 0,39 r 20,67 r 0,16

9.

1

Nombre decibles atteintes

0

2

3

4

5

6

7

8

9

108 mm

74 mm

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Distance(m)

Résultats d’Oliviaau concours de précision

Si Olivia ne tient pas compte de son essai sur une distance de 18 m, elle a raison de dire que la corrélation linéaire est forte.

En effet, le coefficient de corrélation r 22 1 874

20,89.

Page 293

10. a) 1)

2

0

4

6

8

10

12

14

16

18

20

3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

Semis plantés et arbustes viablesNombre

d’arbustesviables

Nombre desemis plantés

12 mm

50 mm

2)

10

0

20

30

40

50

60

70

80

90

100

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Arbustes viables et fruits récoltésNombre de

fruits récoltés

Nombred’arbustes viables

24 mm

56 mm


b) 1) La corrélation linéaire est positive.Dimensions du rectangle : 12 mm sur 50 mm

�r 1 1250

r 0,76

2) La corrélation linéaire est positive.Dimensions du rectangle :24 mm sur 56 mm

�r 1 2456

r 0,57

c) La corrélation linéaire entre le nombre de semis plantés et le nombre d’arbustes viables est la plus forte.

Page 294

11. a) Juges A et B

8

8,4

8,8

9,2

9,6

10

Juge B

Juge A8 8,4 8,8 9,2 9,6 100

50 mm

8 mm

Dimensions du rectangle : 8 mm sur 50 mm

�r 1 850

0,84

Juges B et C

8

8,4

8,8

9,2

9,6

10

8 8,4 8,8 9,2 9,6 100 Juge B

Juge C

49 mm

9 mm

Dimensions du rectangle :9 mm sur 49 mm

�r 1 949

0,82

Juges A et C

8

8,4

8,8

9,2

9,6

10

8 8,4 8,8 9,2 9,6 100 Juge A

Juge C

4 mm

50 mm

Dimensions du rectangle :4 mm sur 50 mm

�r 1 450

0,92

b) Les juges A et C attribuent des notes les plus semblables, puisque c’est entre eux que le coefficient de corrélation linéaire est le plus élevé. De plus, on peut constater que le lien entre chaque paire de variables statistiques est plutôt fort.

c) Plusieurs réponses possibles. Exemple : Dans tous les cas, le coefficient de corrélation linéaire est fort. On peut penser que les juges notent les patineurs de façon très semblable.

Page 295

12. Plusieurs réponses possibles. Exemple :On représente la situation par un nuage de points et on observe une tendance forte.

On peut estimer le coefficient de corrélation linéaire à l’aide de la méthode du rectangle.• Dimensions du rectangle : 4 mm sur 44 mm• Pente positive• Coefficient de corrélation : � r 1 0,914

44Le coefficient de corrélation linéaire est donc très fort. Si la tendance se maintient, on peut voir graphiquement qu’avec un investissement de 12 000 $, ce courtier devrait vendre environ 34 maisons. Réponse : Ce courtier a raison : avec un investissement de 12 000 $ en publicité, il pourra vendre au moins 32 maisons.

13. La méthode graphique du rectangle permet de calculer le coefficient de corrélation r qui indique l’intensité d’une corrélation linéaire entre deux variables.

Ici, les points ne s’alignent pas le long d’une droite, ils suivent une courbe. Puisque la corrélation entre les variables n’est pas linéaire, la méthode du rectangle n’est pas appropriée.

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

44

48

4 mm

44 mm

Nombrede maisons

vendues

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Somme investie

(k$)

Investissement en publicité


SECTION 7.5 Droite de régression

Page 298


a) 1) y

x0

2

4

6

8

10

2 4 6 8 10

2) P1(2, 4) et P2(8, 7).

Pente : 2

2

7 48 2

5 0,5

Ordonnée à l’origine :4 5 0,5 3 2 1 b 3 5 b Équation : y 5 0,5x 1 3

b) 1) y

x0

4

8

12

16

20

4 8 12 16 20

2) P1(2, 12) et P2(14, 6).

Pente :2

2

6 1214 2

5 20,5

Ordonnée à l’origine :12 5 20,5 3 2 1 b 13 5 b Équation : y 5 20,5x 1 13

c) 1) y

x0

4

8

12

16

20

4 8 12 16 20

d) 1) y

x0

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

2) P1(2, 10) et P2(16, 6).

Pente : 52

2

26 1016 2

27

Ordonnée à l’origine :

10 5 227

3 2 1 b

747

5 b

Équation : y 5 227

x 1 747

2) P1(8, 18) et P2(32, 28).

Pente : 52

2

28 1832 8

512

Ordonnée à l’origine :

18 5 512

3 8 1 b

443

5 b

Équation : y 5 512

x 1 443

Page 299

2. a) Couples médians M1, M2 et M3 : M1(22, 23), M2(26, 33) et M3(33, 34).

Coordonnées du point P : P 1 1 1 122 26 333

, 23 33 343

5 P(27, 30)

Pente de la droite qui passe par M1 et M3 : 34 2333 22

12

25

Équation de la droite passant par le point P et dont la pente est 1 : 30 5 1 3 27 1 b 3 5 bÉquation de la droite de régression : y 5 x 1 3

b) Couples médians M1, M2 et M3 : M1(49, 94), M2(60, 83) et M3(74, 69).


, 94 83 693

5 P(61, 82)

Pente de la droite qui passe par M1 et M3 : 2

2

69 9474 49

5 21

Équation de la droite passant par le point P et dont la pente est 21 : 82 5 21 3 61 1 b 143 5 b Équation de la droite de régression : y 5 2x 1 143

c) Couples médians M1, M2 et M3 : M1(3, 22), M2(8, 12) et M3(13, 23).


, 2 12 233

5 P(8, 11)

Pente de la droite qui passe par M1 et M3 : 2

2

223 213 3

5 2,5

Équation de la droite passant par le point P et dont la pente est 2,5 : 11 5 2,5 3 8 1 b 29 5 b Équation de la droite de régression : y 5 2,5x 2 9

Table de valeurs 1

x 20 21 23 24 25 26 26 29 31 32 34 35

y 21 21 25 26 26 33 35 33 33 34 34 38

Couples ordonnés selon leurs abscisses :

x 45 49 53 57 60 60 69 73 74 77

y 100 94 91 86 84 82 76 70 69 63

Table de valeurs 3

x 1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 13 16 17

y 28 22 24 1 3 11 7 14 13 17 23 20 28 31


Page 300

3. a) Couples moyens P1 et P2 :

P1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 110 12 14 15 17 18 19

7, 50 46 44 41 37 33 29

7 5 P1(15, 40)

P2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 124 25 26 29 31 33 35

7, 24 19 16 13 7 4 1

7 5 P2(29, 12)

Équation de la droite qui passe par P1 et P2 :

Pente : 2

2

40 1215 29

5 22 Ordonnée à l’origine : 40 5 22 3 15 1 b 70 5 b

Équation de la droite de régression : y 5 22x 1 70

b) Couples moyens P1 et P2 :

P1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 3 4 5 7 9

6, 4 8 11 15 19 21

6 5 P1(5, 13)

P2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 111 12 14 14 16 17

6, 25 29 36 35 38 41

6 5 P2(14, 34)


Pente : 52

2

34 1314 5

73

Ordonnée à l’origine : 13 5 73

3 5 1 b

43

5 b Équation de la droite de régression : y 5 7

3x 1 4

3c) Couples moyens P1 et P2 :

P1 � � � � � � � � � �23 25 25 26 28 29

6, 18 20 23 26 27 30

6 5 P1(26, 24)

P2 1 1 1 1 1 1 1 131 32 34 36 37

5, 33 34 34 36 38

5 5 P2(34, 35)


Pente : 52

2

35 2434 26

118

Ordonnée à l’origine : 24 5 118

3 26 1 b

2474

5 b Équation de la droite de régression : y 5 11

8x 2 47

4

Page 301

4. a) b)

1) et 3) 1) et 3)y

x0

7

14

21

28

35

42

49

56

63

70

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

P1(9, 20)

P2(15, 50)

y

x0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

P1(4, 16)

P2(12, 6)

2) Couples moyens : P1(9, 20) et P2(15, 50).


Pente : 52

2550 20

15 9

Ordonnée à l’origine : 20 5 5 3 9 1 b 225 5 b Équation de la droite de régression : y 5 5x 2 25



Pente : 2

2

16 64 12

5 21,25

Ordonnée à l’origine : 16 5 21,25 3 4 1 b 21 5 b Équation de la droite de régression : y 5 21,25x 1 21

Table de valeurs 1

x 10 12 14 15 17 18 19 24 25 26 29 31 33 35

y 50 46 44 41 37 33 29 24 19 16 13 7 4 1

Table de valeurs 2

x 2 3 4 5 7 9 11 12 14 14 16 17

y 4 8 11 15 19 21 25 29 36 35 38 41

Table de valeurs 3

x 23 25 25 26 28 29 31 32 34 36 37

y 18 20 23 26 27 30 33 34 34 36 38

(5, 12) (6, 13) (7, 15) (8, 18) (9, 19)

(9, 20) (11, 22) (11, 25) (12, 27) (12, 29)

(12, 33) (12, 37) (13, 41) (14, 43) (14, 47)

(15, 53) (16, 57) (17, 61) (18, 63) (19, 65)

(1, 20) (2, 17) (3, 17) (4, 16) (5, 15)

(6, 14) (7, 13) (9, 11) (10, 8) (11, 8)

(12, 6) (13, 5) (13, 3) (16, 1)


Page 302

5. Plusieurs réponses possibles. Exemple :Salaire en fonction du nombre

d’années d’expérience

0

20

40

60

80

100

Nombre d’annéesd’expérience

Salaire (k$)

4 8 12 16 20

On trace la droite de régression dans le nuage de points. Cette droite passe par les points (6, 50) et (18, 80).

Pente : 52

22,580 50

18 6

Ordonnée à l’origine : 50 5 2,5 3 6 1 b 35 5 bL’équation de la droite est y 5 2,5x 1 35, où x est le nombre d’années d’expérience et y, le salaire (en k$).Pour 30 années d’expérience, le salaire est :y 5 2,5 3 30 1 35 5 110 k$Réponse : Selon l’équation de la droite de régression, le salaire d’un biologiste ayant 30 années d’expérience est de 110 000 $.


Nombred’as

Vitesse du service(km/h)

Vitesse du service et nombred’as de joueuses de tennis

0

2

4

6

8

10

144 156 168 180 192

Par la méthode de la droite de Mayer. Couples moyens :

P1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1145 150 156 161 170 172

6, 3 4 4 3 5 5

6 5 P1(159, 4)

P2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1175 182 186 188 190 195

6, 6 6 5 7 8 10

6 5 P2(186, 7)

L’équation de la droite de régression est la droite qui passe par les points P1

et P2 : Pente : 52

2

7 4186 159

19 Ordonnée à l’origine : 4 5 1

9 3 159 1 b

2413

5 b

Équation de la droite de régression : y x5 2

9413

, où x est la vitesse

moyenne du service (en km/h) et y, le nombre d’as.Substituer 205 à x dans l’équation de la droite de régression.

5 2y

y 9,11 as

2059

413

Réponse : Une joueuse dont la vitesse moyenne de service est de 205 km/h peut espérer réaliser 9 as.

Page 303

7. Nbre d’achats en ligne 2 5 7 8 8 9 11 13 16 18 22 23

Nbre d’achats en magasin 17 14 12 11 10 9 7 6 7 6 6 5

On ordonne les couples de la distribution selon leurs abscisses.

Couples médians :

M1

5 72

12 142

1 1, 5 M1(6, 13)

M2

9 112

7 92

1 1, 5 M2(10, 8)

M3 1 118 222

, 6 62

5 M3(20, 6)

Coordonnées du point P :

P 1 1 1 16 10 20

3, 13 8 6

3 5 P(12, 9)

Droite de régression :

Pente : 2

2

6 1320 6

5 20,5

Équation de la droite de régression : y 5 20,5x 1 15, où x est le nombre d’achats en ligne et y, le nombre d’achats en magasin.

Résoudre l’équation pour y 5 0 : 0 5 20,5x 1 15 x 5 30

Réponse : Selon cette tendance, une personne qui n’a fait aucun achat en magasin devrait acheter 30 albums en ligne.

8. Couples moyens :

P1 1 1 1 1 1 1 1 160 80 90 130 140

5, 24 28 39 42 47

5 5 P1(100, 36)

P2 1 1 1 1 1 1 1 1150 170 200 230 250

5, 57 54 65 64 70

5 5 P2(200, 62)

Droite passant par P1(100, 36) et P2(200, 62) :

Pente : 2

2

62 36200 100

5 0,26 Ordonnée à l’origine : 36 5 0,26 3 100 1 b 10 5 b

Équation de la droite de régression : y 5 0,26x 1 10, où x est la température de moulage (en °C) et y, la dureté (en %).

Dureté à x 5 300 °C : y 5 0,26 3 300 1 10

5 88 %

Réponse : Selon cette tendance, la dureté d’une pièce moulée à une température de 300 °C devrait être de 88 %.

Ordonnée à l’origine : 9 5 20,5 3 12 1 b 15 5 b


Page 304

9. Revenu d’une usine de production de fromage

Nombre d’employés Revenu (k$) Nombre d’employés Revenu (k$)

20 3000 27 3370

21 2990 27 3200

21 3150 28 3380

22 3160 28 3400

23 3200 31 3400

24 3210 31 3460

25 3360 32 3500

26 3350

a)

Revenu

Nombre d'employés

Revenu d'une usine deproduction de fromage

0

2940301030803150322032903360343035003570

20 22 24 26 28 30 32 34 36 38

b) Couples médians :M1(21, 3150), M2(26, 3350) et M3(31, 3400).

Coordonnées du point P :

P 1 1 1 121 26 313

, 3150 3350 34003

5 P(26, 3300)

Pente de la droite passant par M1 et M3 : 2

2

3400 315031 21

5 25

Équation de la droite ayant une pente de 25 et passant par P : 3300 5 25 3 26 1 b 2650 5 b y 5 25x 1 2650

Réponse : L’équation de la droite de régression est y 5 25x 1 2650, où x est le nombre d’employés et y, le revenu (en k$).

c) Calcul de y pour x 5 40 : y 5 25 3 40 1 2650 5 3650 k$

Réponse : Le revenu possible est de 3650 milliers de dollars lorsqu’il y a 40 employés.

d) Résoudre l’équation pour y 5 4000 : 4000 5 25x 1 2650 x 5 54 employés

Réponse : Le nombre d’employés est de 54 pour un revenu de 4000 milliers de dollars.

MÉLI-MÉLO

Page 305

1. a) Faux. Dans un tableau à double entrée, si les données ont tendance à se concentrer autour de l’une des diago nales, on peut qualifier la corrélation linéaire.

b) Vrai.

c) Faux. Dans un nuage de points, plus les points ont tendance à former un cercle, plus la corrélation linéaire entre les deux variables est faible, voire nulle.

d) Vrai.

e) Faux. Si un enfant se situe au 5e rang centile, c’est qu’il y a seulement 5 % des enfants qui sont plus petits que lui. On peut alors présumer qu’il est petit par rapport aux autres enfants de son âge.

f ) Vrai.Page 306

2. a) 525354555657

1 4 6 91 2 5 7 7

2 4 4 4 8 93 4 8 8 9 9 9

0 1 2 4 6 6 7 92 3 4 5 8 8 9 9

b) 1)10 3

238

�100� 30,26

Le rang centile de la donnée 544 est 31.

2)28 1

238

�100� 75

Le rang centile de la donnée 567 est 75.

c) 1) 22100

38� 5 8,36

La 8e donnée correspond à la donnée 537.

2) 54100

38� 5 20,52

La 20e donnée correspond à la donnée 559.

3. 1) Moy. 5 31 34 36 38 41 42 447

� � � � � � 5 38 ÉM 5 31 38 34 38 44 387

�� ... 5 267

2) Moy. 5 6 5 6 8 7 7 1 7 2 7 46

, , , , ,� � � � � 5 7 ÉM 5 6 5 7 6 8 7 7 4 76

�� , , ... , 5 730


Page 307

4. a) Négative et faible. b) Négative et forte. c) Positive et faible. d) Positive et moyenne.

5. A , F , H , E , B , G , C , D

6. a) 1) • Pente négative

• 22

2

r 1 1524

924

r 20,38

b) 1) • Pente positive

• 2

r 1 828

57

r 0,71

c) 1) • Pente positive

• 2

r 1 1323

1023

r 0,43

d) 1) • Pente négative

• 22

2

r 1 434

1517

r 20,882) Négative et faible. 2) Positive et moyenne. 2) Positive et faible. 2) Négative et forte.

Page 308

7. a) La corrélation linéaire entre les deux variables est nulle ou très faible, car les données ne sont pas concentrées autour de l’une des diagonales.

b) La corrélation linéaire est positive et forte, car les données sont concentrées autour de l’une des diagonales.

8. a) 1) y

x0

37 mm

13 mm

b) 1) y

x0

19 mm

31 mm

c) 1) y

x0

40 mm

5 mm

2) Négative et moyenne. 2) Positive et faible. 2) Négative et forte.

3) r 20,65 3) r 0,39 3) r 20,88

d) 1) y

x0

11 mm

32 mm

e) 1) y

x0

27 mm

23 mm

f ) 1) y

x0

38 mm

3 mm

2) Positive et moyenne. 2) Négative et faible. 2) Négative et forte.

3) r 0,66 3) r 20,15 3) r 20,92

Page 309


a) 1) et 2) y

x0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

60 mm

17 mm

3) Dimensions du rectangle : 17 mm sur 60 mm

22r 1 1760

r 20,72

4) La droite de régression passe par les points P1(4, 11) et P2(16, 6).

L’équation de cette droite est :

5 12y x512

383


b) 1) et 2) y

x0

8

16

24

32

40

8 16 24 32 40

26 mm

52 mmA

B

3) En ne tenant pas compte de la donnée éloignée des autres, les dimensions du rectangle sont 26 mm sur 52 m.

r 1 26

52

r < 0,5

4) La droite de régression passe par les points P1(7, 12) et P2(19, 21).

L’équation de cette droite est : y 5 0,75x 1 6,75

Page 310

10. a) Concentration d’alcool dans le sang

Concentration (mg/10 ml)

Âge(années)

[0, 2,5[ [2,5, 5[ [5, 7,5[ [7,5, 10[ [10, 12,5[ Total

[20, 25[ 75 30 10 0 0 115

[25, 30[ 35 40 38 10 0 123

[30, 35[ 30 45 50 30 5 160

[35, 40[ 15 20 40 24 23 122

Total 155 135 138 64 28 520

b) Plusieurs réponses possibles. Exemple :La corrélation linéaire entre les deux variables est positive et faible.


À l’aide de la méthode de la droite de Mayer, on peut établir l’équation de la droite de régression associée à cette distribution.

5

5

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

P P (2, 61)

P P (7, 109)

0 1 2 3 45

, 40 54 56 80 755

5 6 7 8 95

, 86 105 113 116 1255

1 1

2 2

Droite de régression :Pente :

109 617 2

5 9,6

Ordonnée à l’origine : 61 5 9,6 3 2 1 b 41,8 5 b

Équation : y 5 9,6x 1 41,8, où x est le nombre d’années écoulées depuis 2005 150 5 9,6x 1 41,8 et y, le nombre d’inscriptions. x < 11,27 années

Réponse : La Course de la nature pourra accueillir 150 coureurs à la 12e année suivant la première édition, soit en 2017.

Page 311

12. Moyenne de l’équipe A :

Moy. 5 25

1 � 4 � 2 � 6 � 3 � 8 � 4 � 4 � 5 � 3

5 2,84

Moyenne de l’équipe B :

Moy. 5 1 3 2 3 3 9 4 5 5 525

��

5 3,24

Écart moyen de l’équipe A :

ÉM 5 4 1 2 84 6 2 2 84 3 5 2 8425

�� , , ... ,

5 0,992

Écart moyen de l’équipe B :

ÉM 5 3 1 3 24 3 2 3 24 5 5 3 2425

�� , , ... ,

< 1,01

Réponse : L’officiel a tort, car l’écart moyen de l’équipe B est supérieur à celui de l’équipe A .

13. Si le résultat manquant était 74, le rang centile serait 14 2

225

�100� , soit 60.

Nombred’inscriptions

Nombre d’années écoulées depuis 2005

Course de la nature

0

30

60

90

120

150

2 4 6 8 10


13. Si le résultat manquant était 74, le rang centile serait 14 2

225

�100� , soit 60.

Si le résultat manquant était 75, le rang centile serait 15 1

225

�100� , soit 62.

Réponse : Le résultat manquant est bien 75 %.

Page 312

14. a) 1) Couples médians : M1(16, 52), M2(34, 42) et M3(46, 32).

Coordonnées du point P : P(32, 42)

Équation de la droite ayant une pente de 223

et passant

par le point P : 5 12y x23

1903

0

12

24

36

48

60P

y

x12 24 36 48 60 Réponse : 5 12y x23

1903


Équation de la droite qui passe par P1 et P2 : y 5 20,8x 1 67,6

0

12

24

36

48

60P1

P2

y

x12 24 36 48 60

Réponse : y 5 20,8x 1 67,6

b) Abscisse 0 5 10 60 65

Ordonnée (droite médiane-médiane)

1903

63,33 60170

3 56,67

703

23,33 20

Ordonnée (droite de Mayer) 67,6 63,6 59,6 19,6 15,6

c) Plusieurs réponses possibles. Exemple : Les valeurs des ordonnées varient selon la méthode choisie, car les équations des droites de régression obtenues sont différentes.

Page 313

15. a) et b) y

x0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

Distribution à deux variables

43 mm

6 mm

c) Sans le couple (1,6, 27) :

22

2

r

0,86

1 643

Réponse : r 20,86

d) On ne doit pas tenir compte de la donnée (1,6, 27).

• Couples médians : M1(1,2, 22), M2(1,45, 18) et M3(1,8, 12).

• Coordonnées du point P : P 1 1 1 11,2 1,45 1,83

, 22 18 123

5 P ,8960

523

• Pente : 2

2

22 121,2 1,8

5 2503

• Ordonnée à l’origine : 5 3 1

5

2 b

b

523

503

8960

75718

Réponse : L’équation de la droite de régression est 5 12y x .503

75718

e) y 5 2503

3 3 1 75718

5 214318

Réponse : La valeur de y est de 2 .14318

.

f ) Puisque le coefficient de corrélation indique une corrélation linéaire forte, on peut affirmer que la valeur obtenue en e) est fiable.

g) Avec le couple (1,6, 27), les dimensions du rectangle sont de 17 mm sur 43 mm.

22

2

r

0,6

1 1743

Réponse : Le coefficient de corrélation linéaire est d’environ 20,6.


16. a)Âge de

la femme

Âge de l’homme

0

26

32

38

44

50

26 32 38 44 5020

20

Couples inscrits au badminton

b) La corrélation linéaire est moyenne et positive.

c) Plusieurs réponses possibles selon la méthode choisie. Exemple :

Équation de la droite de régression par la méthode de la droite de Mayer :• Couples ordonnés par ordre croissant de l’âge de l’homme :

Âge de l’homme 22 23 24 24 24 27 28 30 30 31

Âge de la femme 21 26 21 24 26 26 28 34 41 38

Âge de l’homme 33 34 35 37 40 41 42 42 46 50

Âge de la femme 41 36 35 41 41 45 37 49 43 47

• Couples moyens P1 1 1 1 1 1 1 1 122 23 ... 30 31

10, 21 26 ... 41 38

10

5 P1(26,3, 28,5)

P2 1 1 1 1 1 1 1 133 34 ... 46 50

10, 41 36 ... 43 47

10

5 P2(40, 41,5)

• Équation de la droite passant par ces deux points : Pente :

5

0,95

41,5 28,540 26,3

1313,7

Ordonnée à l’origine : 41,5 < 0,95 3 40 1 b 3,54 < b

Équation de la droite de régression : y < 0,95x 1 3,54, où x est l’âge de l’homme et y, l’âge de la femme.

• Pour x 5 56 ans : y < 0,95 3 56 1 3,54 < 56,68 ansRéponse : L’âge probable de la femme est d’environ 56 ou 57 ans.

d) Étant donné que la corrélation linéaire entre l’âge de l’homme et l’âge de la femme des couples inscrits au badminton est moyenne, on peut considérer que la prédiction faite en c) n’est pas très fiable.

Page 315


Établir la règle de la droite de régression par la méthode de la droite de Mayer : P , 113046

111

et P , 2400 .117

112

Droite de régression : Pente : 5

2400 113011711

4611

13 97071

Ordonnée à l’origine : 1130 5 13 97071

3 4611

1 b

21 81071

5 b

y x5 113 970 21 810

71 71

Pour x 5 20 : y 5 13 97071

3 20 1 21 81071

5 301 21071

4242,39 cellules/L

Réponse : L’affirmation de cette biologiste est vraie, et sa prédiction est fiable, car le nuage de points tracé montre que la corrélation linéaire est forte.

0

600

1200

1800

2400

3000

Concentrationd’algues

(cellules/L)

Concentrationde phosphore

(�/L)

4 8 12 16 20

Concentration de phosphoreet d’algues bleues par litre d’eau


Page 316

18. Il est possible de former trois groupes de 309 données chacun.

On peut déterminer les coordonnées des trois points M1, M2 et M3 qui sont respectivement associés à la 155e donnée, la 464e donnée et la 773e donnée.

Si l’on classe les données de la distribution par ordre croissant des heures consacrées aux sports, on obtient 45 fois le couple (1, 1), 34 fois le couple (1, 2), etc.

• Couples médians : M1(2, 1), M2(3, 5) et M3(5, 5).

• Coordonnées du point P : P 1 1 1 12 3 53

, 1 5 53

5 P 103

, 113

• Droite de régression :

Pente : 2

2

5 15 2

5 43

Ordonnée à l’origine : 5 3 1 b113

43

103

52 b79

Équation : y 5 43

x 2 79

, où x est le temps consacré aux

sports (en h) et y, le temps consacré aux études (en h).

Réponse : L’équation de la droite de régression

est y 5 43

x 2 79

.

Pages 317-318

19. Soit x, le nombre de familles ayant 1 enfant.

22

200

�100�

x

5 14

x 5 52.Il y a au total 52 familles ayant 1 enfant.On déduit qu’il y a 80 2 50 1 4 5 34 familles ayant 2 enfants.

Déterminez le nombre de familles ayant 3 enfants :Soit y, le nombre de familles ayant 3 enfants.

882

200

�100�

y

5 54

y 5 40

Il y a au total 40 familles ayant 3 enfants.On déduit qu’il y a 64 2 36 1 4 5 32 familles ayant 4 enfants.

Déterminez le nombre de familles ayant 5 enfants :Soit z, le nombre de familles ayant 5 enfants.

1602

200

�100�

z

5 85

z 5 20

Il y a au total 20 familles ayant 5 enfants.On déduit qu’il y a 31 2 16 1 5 5 20 familles ayant 6 enfants.

Il y a donc 2 familles ayant 0 enfant, 52 familles ayant 1 enfant, 34 familles ayant 2 enfants, 40 familles ayant 3 enfants, 32 familles ayant 4 enfants, 20 familles ayant 5 enfants et 20 familles ayant 6 enfants.

Calcul de la moyenne : Moy. 5 2 0 52 1 34 2 40 3 32 4 20 5 20 6200

��

5 2,94

Calcul de l’écart moyen : ÉM 5 2 0 2 94 52 1 2 94 34 2 2 94 40 3 2 94 32 4 2 9, , , , , 44 20 5 2 94 20 6 2 94200

�� , ,

1,39Réponse : L’écart moyen pour cette distribution est d’environ 1,39.

Pages 319-320

20. À l’aide de la méthode de la droite de Mayer, déterminer l’équation de la droite de régression qui représente le nombre de parties jouées et le nombre de buts.

Ordonner les données selon le nombre de parties jouées.

Nombre de parties jouées 29 31 35 39 41 45 48 50 52 55

Nombre de buts 14 13 17 21 20 25 27 26 25 27

P1 : 29 31 35 39 41

514 13 17 21 20

5� � � � � � � �,( ) 5 (35, 17)

P2 : 45 48 50 52 55

525 27 26 25 27

5� � � � � � � �,( ) 5 (50, 26)

Pente de la droite de régression : 26 1750 35

�

� 5 0,6

Ordonnée à l’origine : 26 5 0,6(50) 1 b b 5 24

L’équation de la droite de régression est y 5 0,6x 2 4.

À l’aide de la méthode de la droite de Mayer, déterminer l’équa-tion de la droite de régression qui représente le nombre de buts par saison et le salaire moyen.

P1 : 9 12 15 18 21

52 5 3 3 5 4 4 5

5� � � � � � � �, , , ,( ) 5 (15, 3,5)

P2 : 27 32 35 38 43

55 5 5 5 5 5 5 6

5� � � � � � � �, , , ,( ) 5 (35, 5,5)

Pente de la droite de régression : 5 5 3 535 15, ,�

� 5 0,1

Ordonnée à l’origine : 5,5 5 0,1(35) 1 b b 5 2

L’équation de la droite de régression est y 5 0,1x 1 2.

Déterminer le nombre de buts que le joueur pourrait compter s’il jouait 82 parties.y 5 0,6(82) 2 4 5 45,2

Le joueur pourrait compter environ 45 buts s’il jouait 82 parties.

Déterminer le salaire que pourrait recevoir le joueur s’il marquait environ 45 buts durant la prochaine saison.y 5 0,1(45) 1 2 5 6,5

Réponse : Le joueur pourrait recevoir un salaire d’environ 6,5 M$ à la fin de cette saison.

549© 2015, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée CORRIGÉ DU CAHIER BANQUE DE PROBLÈMES

Pages 321-322


On représente la situation par un nuage de points. Celui-ci montre une corrélation linéaire négative et moyenne entre les deux variables.

Le calcul du coefficient linéaire de corrélation à l’aide de la méthode du rectangle permet de le confirmer :

22r 1

0,77

1044

20,77

Ce coefficient correspond en effet à une corrélation linéaire moyenne.

On peut établir l’équation de la droite de régression associée à la situation à l’aide de la méthode de la droite de Mayer. On ordonne les couples de données par ordre croissant des abscisses :

Efficacité d’une campagne de publicité

Investissement (M$) 0,5 0,5 1 1 1,5 1,5 2 2 2,5 2,5

Nombre d’arrestations (milliers) 8 7 8 7 7 8 7 6 7 5

Investissement (M$) 3 3 3,5 3,5 4 4,5 4,5 5 5

Nombre d’arrestations (milliers) 6 5 5 4 5,5 5 3 4,5 2,5

On forme un groupe de 10 couples et un groupe de 9 couples.Couples moyens P1 et P2 :

51 1 1 1 1 1 1 1P P (1,5, 7)0,5 0,5 ... 2,5 2,5

10, 8 7 ... 7 5

101 1

51 1 1 1 1 1 1 1P P (4, 4,5)3 3 ... 5 59

,6 5 ... 4,5 2,5

92 2

Nombre d’arrestations

(milliers)

Efficacité d’une campagne de publicité

0 2 4 6 8 10Investissement

publicitaire(M$)

2

4

6

8

10

44 mm

10 mm

Droite de régression :

Pente : 52

2214,5 7

4 1,5

Ordonnée à l’origine : 7 5 21 3 1,5 1 b 8,5 5 bÉquation : y 5 2x 1 8,5, où x est l’investis-sement (en M$) et y, le nombre d’arrestations (en milliers).

Pour x 5 7 M$ : y 5 2x 1 8,5 y 5 27 1 8,5 5 1,5 millier d’arrestations

Réponse : Si l’on investit 7 M$ dans une campagne publicitaire, on estime qu’il y aura 1500 arrestations. L’expert a donc raison. Cependant, la corrélation étant moyenne, cette prédiction est plus ou moins fiable.

BANQUE DE PROBLÈMES

Page 323

1. Les rapports trigonométriques permettent d’établir que :

tan 3° 5 m CM

m JM tan 1° 5 mBM

m JM = 150 m CM

m JM

� , car m BM = 150 2 m CM

Après avoir isolé m JM dans chacun des rapports trigonométriques, il est possible de former la proportion suivante.

m JM 5 m CMtan 3°

5 150 m CM

tan 1�

°

m CMtan 3°

5 150 m CM

tan 1�

° m CM 3 tan 1° 5 150 tan 3° 2 m CM 3 tan 3

0,0175 3 m CM 7,86 2 0,052 3 m CM

m CM 112,52 m

m JM m CMtan 3°

2147,06 m

Réponse : La distance qui sépare le point J du point M est d’environ 2147,06 m.

2. Pièce A

30°

40 cm

A

C B

Pièce B

60°

20 cm

A'

C'B'

m ∠ A 5 90° 2 30° 5 60° 5 m ∠ A’Mesure du côté opposé à l’angle de 30° dans la pièce A :Soit x le côté opposé à l’angle de 30°.

ϒsin 30

m AC 20 cm

m AC40

5

5

m ∠ B’ 5 90° 2 60° 5 30° 5 m ∠ BLes triangles sont donc isométriques par CAC.

Réponse : Les triangles étant isométriques, ils sont donc identiques.

550 CORRIGÉ DU CAHIER BANQUE DE PROBLÈMES © 2015, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée

Page 324

3. Performance de Marianne dans 12 mois :e 5 1,75 3 0,9912

1,55 s

Substituer la donnée 1,55 s à la donnée 1,75 s.

Rang centile de la donnée 1,55 s : 33 2

248

100 ≈ 70,83

Rang centile : 71Marianne ne sera donc pas sélectionnée.

Délai supplémentaire :Position de la donnée ayant le rang centile 75 : 0,75 3 48 5 36

Pour être 36e, Marianne doit avoir un écart inférieur à 1,53 s : 1,75 3 0,99t 5 1,53

En attribuant diverses valeurs à t pour résoudre cette équation, on trouve qu’après 14 mois, l’écart de Marianne sera inférieur à 1,53 s.14 2 12 5 2 mois

Réponse : Marianne ne sera pas sélectionnée. Pour être sélectionnée, elle aurait besoin de deux mois d’entraînement supplémentaires.

Page 325

4. Nombre de places pour chaque type de table :5x 1 7y 5 504x 1 8y 5 52Où x représente le nombre de places à une table de type A , et y, le nombre de place à une table de type B .

À l’aide de la méthode de réduction, on obtient :20x 1 28y 5 20020x 1 40y 5 260

y 5 5 places et x 5 3 places

Nombre maximal de clients dans 9 ans :c 5 140(1,15)9

492,5 clients

Il faut donc prévoir de la place pour au moins 493 clients.

Nombre de tables de chaque type :On procède à plusieurs essais successifs.

Nombre de tables A 50 60 … 65

Nombre de tables B 50 60 … 60

Nombre total de tables 100 120 … 125

Nombre de places 400 480 … 495

Réponse : Plusieurs réponses possibles. Exemple : On doit se procurer 65 tables de type A et 60 tables de type B .

Page 326

5. m AB 5 2 1 2( ) ( ),9 1 9 8

8 06

2 2

m DA (1 3) (8 2)

6,32

2 25 2 1 2

m BC 5 2 1 2( ) ( ),11 9 3 9

6 32

2 2

m BD (3 9) (2 9)

9,22

2 25 2 1 2

m CD 5 2 1 2( ) ( ),3 11 2 3

8 06

2 2

Hypothèse ABCD est un quadrilatère.

Conclusion BAD DCB


1. m AB m CD La mesure de chacun des côtés est d’environ 8,06 u.

2. m BC m DA La mesure de chacun des côtés est d’environ 6,32 u.

3. m BD m DB Côté commun.

4. BAD DCBDeux triangles qui ont leurs côtés homologues isométriques sont isométriques (CCC).


Page 327

6. Les triangles ACE et BCD sont semblables par AA, car ils ont un angle commun et deux paires d’angles correspondants isométriques puisque BD // AE.

m AC 5 x 1 1 1 x 1 3 5 2x 1 4

x xx

5 15 6 123

xx

32 4

35

5

1 5 1

5

1

1

m BC : 3 1 3 5 6 m

m AB : 3 1 1 5 4 m

m AC : 6 1 4 5 10 m

m ∠ C : ϒ

10sin 60

5sin C

5

°∠

∠

arc sin5 sin60

10m C

m C 25,66°

3 5

m ∠ A : 180° 2 60° 2 25,66° 94,34°

m CD :

ϒ ϒ

m CD 6,91 m

6sin 60

m CDsin 94,34

5

m CE :

Aire du triangle CBD : Soit p le demi-périmètre.

p

7,95 m

3 6 6,912

1 1

A p p a p b p c( )( )( )

7,95(7,95 6)(7,95 3)(7,95 6,91)8,97 m2

5 2 2 2

2 2 2

Aire du triangle CAE : Soit p le demi-périmètre.

p

13,26 m

10 11,51 52

1 1

A p p a p b p c( )( )( )

13,26(13,26 10)(13,26 11,51)(13,26 5)24,93 m2

5 2 2 2

2 2 2

Aire du trapèze ABDE :A 24,93 2 8,97

15,95 m2

Réponse : Environ 8,97 m2 devront être recouverts par le matériau 1 et environ 15,95 m2, par le matériau 2 .

Page 328

7. m CE : 5tan 50 150m CE

ϒ

m CE m 125 86,

m AC : 150 125 86 195 812 21 , , m

m BE : 195,81 3 m BE 150 3 125,86

m BE 96,42 m

m BD : 5sin 40 m BD96,42

ϒ

m BD 1, m 6 98

Réponse : Le téléphérique se trouve à environ 61,98 m du sol.

8. Mesure des côtés BC et CA :

�sin sin30° 80°

m BC10

m BC 19,7 cm

m ∠ B 5 180˚ 2 80˚ 2 30˚ 5 70˚

�m CA10

sin sin30° 70°

m CA 18,79 cm


p

18 79 10 19 72

24 25

, ,

,

1 1

5 2 2 2

2 2 2

A p p a p b p c( )( )( )

24,25(24,25 18,79)(24,25 10)(24,25 19,7)92,54 cm2

5 2 2 2

2 2 2

A p p a p b p c( )( )( )

24,25(24,25 18,79)(24,25 10)(24,25 19,7)92,54 cm2 92,54 cm2

Réponse : L’aire de cette pièce métallique est d’environ 92,54 cm2.

Page 329

9. x 1 3y 2 24 5 0y 5 x

32 1 8

Coordonnées du point A : (0, 8)



Équation de la droite d2 : 2 5 3 3 8 1 bb 5 222y 5 3x 2 22

Coordonnées du point D : , 022

3

Coordonnées du point B : x 1 3(3x 2 22) 2 24 5 0 10x 2 90 5 0 x 5 9y 5 3 3 9 2 22 5 5

B(9, 5)

Mesure de deux des trois côtés du triangle rectangle ABD :

m AD 0 (0 8)

10,85

223

225 2 1 2

m BD 9 (0 5)

5,27

223

225 2 1 2


2

sin A

m A sin

29,05

5,2710,85

5,2710,85

1∠

°

Mesure de l’angle D :m ∠ D 5 90 2 29,05 60,95°

Réponse : Les angles du triangle ABD mesurent respectivement environ 29,05°, environ 60,95° et 90°.

5 m

B D

C

A E60°

3 m

(x � 3) m

(x � 1) m

Matériau 1

Matériau 2

610

6 91

1 51

5,

m CE

m CE 1, m


Page 330

10. Pente de la droite qui supporte le segment AC : 24 016 4

2

2 5 2

0 5 2 3 4 1 b

b 5 28

Équation de la droite qui supporte le segment AC : y 5 2x 2 8

Pente de la droite qui supporte le segment EC : 24 0

16 242

2 5 23

0 5 23 3 24 1 b

b 5 72

Équation de la droite qui supporte le segment EC : y 5 23x 1 72

Pente de la droite qui supporte le segment AD : 8 0443

4

2

2

5 0,75

0 5 0,75 3 4 1 b

b 5 23

Équation de la droite qui supporte le segment AD : y 5 0,75x 2 3

Pente de la droite qui supporte le segment EB :

8 0443

24

67

2

25 2

0 5 267 3 24 1 b

b 5 1447

Équation de la droite qui supporte le segment EB : y x5 12

67

1447

Systèmes d’équations :Point B : Point D :2 8

10

67

1447

x x

x

2 5 1

5

2

y 5 2 3 10 2 8 5 12B(10, 12)

x x

x

0,75 3 3 72

20

2 5 1

5

2

y 5 0,75 3 20 2 3 5 12D(20, 12)

Coordonnées des points B et D : (10, 12) et (20, 12)

On peut donc conclure que les segments BD et AE sont parallèles.

L’angle BFD est isométrique à l’angle AFE, car ils sont opposés par le sommet.

L’angle FBD est isométrique à l’angle FEA, car deux angles alternes-internes formés de deux parallèles et d’une sécante sont congrus.

Réponse : Les triangles BDF et EAF sont semblables par AA.

Page 331

11. Plusieurs démarches possibles. Exemple :

Pente de la droite qui passe par le segment AE : 2 1220 0

2

2 5 20,5

12 5 20,5 3 0 1 b b 5 12

Équation de la droite qui supporte le segment AE : y 5 20,5x 1 12

Pente de la droite qui passe par le segment FH : 4 00 8

2

2 5 20,5

4 5 20,5 3 0 1 b b 5 4

Équation de la droite qui supporte le segment FH : y 5 20,5x 1 4


d

d d

(A,E) (20 0) (2 12)

500

(A,C) 12

(A,E)

5002

2 25 2 1 2

5

5

5

y

y

y

y

yy

(10 0) ( 12)

100 ( 12)

100 ( 12)

100 ( 12)

25 ( 12)5 12

5002

5002

5002

5004

2 2

2

22

2

2

5 2 1 2

5 1 2

5 1 2

5 1 2

5 2

5 2

y1 5 7 et y2 5 17 (à rejeter dans ce contexte)

C(10, 7)

Pente de la droite perpendiculaire au segment AE et passant par C : 27 5 2 3 10 1 b b 5 213

Équation de la droite perpendiculaire au segment AE et passant par C : y 5 2x 2 13

Coordonnées du point d’intersection entre les droites d’équation y 5 20,5x 1 4 et y 5 2x 2 13 :20,5x 1 4 5 2x 2 13 x 5 6,8

y 5 20,5 3 6,8 1 4 5 0,6

(6,8, 0,6)

Distance entre ce point et le point C :

d (10 6,8 ) (7 0,6 )

7,16 cm

2 25 2 1 2

Réponse : La distance qui sépare les segments AE et FH est d’environ 7,16 cm.


Page 332

12.

75e rang centile80e rang centile

75100

3 13 5 9,75

Donc 9e rang.

80100

3 13 5 10,4

Donc 10e rang.

Conductivité thermique (ordre croissant)

Masse volumique (ordre décroissant)

Titane PlatinePlomb Or

Fer TungstèneBronze PlombNickel ArgentPlatine Bronze

Graphite CuivreLaiton Nickel

Tungstène LaitonAluminium Fer

Or TitaneCuivre AluminiumArgent Graphite

Le seul matériau qui respecte les deux contraintes est l’aluminium.Q(t) 5 a 3 bt

Q(t) 5 200 3 bt

1012,5 5 200 3 b4

5,0625 5 b4

b 5 1,5Q(t) 5 200 3 1,5t

Quantité nécessaire :Q(6) 5 200 3 1,56

< 2278,13 tonnes

Coût : 2278,13 3 2150 5 4 897 968,75 $

Réponse : L’entreprise devra débourser environ 5 millions de dollars pour l’achat de l’aluminium nécessaire au début de la 6e année.

Page 333

13. Triangle rectangle :

Pour démontrer qu’il s’agit d’un triangle rectangle, il faut s’assurer que les pentes des droites qui supportent les côtés AB et BC sont l’inverse l’une de l’autre.

p

p

yxyx

AB

BC

6 108 2

46

23

0 64 8

64

32

Comme les deux droites qui supportent respectivement les côtés AB et BC sont perpendiculaires, on peut conclure que le triangle ABC est rectangle en B.

Triangle isocèle :Pour démontrer qu’il s’agit d’un triangle isocèle, il faut s’assurer que les côtés AB et BC sont isométriques.

d x y

d

( ( ) ( )

( ) ( )

A, B)

u

B

2 2

2 28 2 6 10

36 16

52

+

,, C

u

( )

=

( ) ( )

( ) ( )

x y2 2

2 24 8 0 6

16 36

52

d x y

d

( ( ) ( )

( ) ( )

A, B)

u

B

2 2

2 28 2 6 10

36 16

52

+

,, C

u

( )

=

( ) ( )

( ) ( )

x y2 2

2 24 8 0 6

16 36

52

Comme les côtés AB et BC sont isométriques, on peut conclure que le triangle ABC est isocèle.

14. Plusieurs argumentations possibles. Exemple :

Anne-Sophie a tort. Par exemple, pour un triangle rectangle isocèle, chacune des cathètes est opposée à un angle de 45°. Selon le raisonnement d’Anne-Sophie, si on double la longueur d’une cathète, la mesure de son angle opposé doublera aussi et on obtiendra un triangle comportant deux angles de 90°, ce qui est impossible.

3 m

3 m

3 m

45°

Page 334

15. Équations des droites supportant chacune des rues :Rue de la Tour :

a yx

11 � 10 11 � 5 �4

�0,25

y 5 20,25x 1 b10 5 20,25 3 5 1 bb 5 11,25y 5 20,25x 1 11,25

Rue du Fleuve :

a 5 5 5 5

2

2

yx

12 5 211 5

10 56

175, , ,

y 5 1,75x 1 b2 5 1,75 3 5 1 bb 5 26,75 y 5 1,75x 2 6,75

Coordonnées du cinéma :20,25x 1 11,25 5 1,75x 2 6,75

22x 5 218x 5 9

y 5 1,75 3 9 2 6,755 9

C(9, 9)

Distance à parcourir par Mathilde : Durée du trajet de Mathilde :

d x y

km

( ( ) ( )

( ) ( )

,

M, C) � �2 2

2 29 5 9 10

16 1

�

4 12�

501

4 12

0 0825

kmh

km

h4,95 min

,?

? ,��

�

Distance à parcourir par Benoît : Durée du trajet de Benoît :

d x y

km

( ( ) ( )

( ) ( )

,

B, C) +2 2

2 29 5 9 2

16 49

8 06�

� � �

��

? 0,1152 h6,91

6,91 � 4,95 � 1,96 min

70 km1h

8,06 km?

Réponse : Mathilde devrait arriver environ 1,96 min plus tôt que Benoît.


Page 335

16. Aire du triangle : A p p a p a p a( )( )( )

24 24 13 24 14 24 21

24 1

( )( )( )

11 10 3

� 88,99 cm2

Mesure de la hauteur du triangle : A

h

b h

h2

212

8 48

88,99 �

�mBD

cm,

Mesure des angles :

sin

40,69°,

,BAC

m BAC

�

�

8 4813

40

sin BAC

sin , sin ABC

mBC m AC

14 21

m ABC40 69

18°

�

� 00 77 95102 05

° °°

,,�

sin ABC

°

�� 37 26

180° � 102,05° � 40,69°

,

m BCA

Réponse : L’angle BAC mesure environ 40,69°, l’angle ABC, environ 102,05° et l’angle BCA, environ 37,26°.

17. a) Variables : x : nombre de forfaits A y : nombre de forfaits B

Système d’équations :x 1 y 5 187

7x 1 10y 5 1615y 5 187 2 x7x 1 10(187 2 x) 5 16157x 1 1870 2 10x 5 1615

23x 5 2255x 5 85

x 1 y 5 18785 1 y 5 187

y 5 102

Réponse : 85 forfaits A et 102 forfaits B ont été vendus.

b) Équation 1 :x + y 5 187

y 5 2x 1 187

Pente : 21Ordonnée à l’origine : 187

Équation 2 :7x + 10y 5 1615

10y 5 27x + 1615y 5 20,7x + 161,5

Pente : 20,7Ordonnée à l’origine : 161,5

Réponse : La droite associée à l’équation 1 a une pente de 21 et une ordonnée à l’origine de 187, et la droite associée à l’équation 2 a une pente de 20,7 et une ordonnée à l’origine de 161,5.

Page 336

18. Longueur de chacun des côtés du triangle ABC :

d x y

d

( ( ) ( )

( ) ( )

,

(

A, B)

hm

+2 2

2 25 2 8 1

9 49

7 62�

BB, C)

hm

( ) ( )

( ) ( )

,

(

+x y

d

2 2

2 29 5 10 8

16 4

4 47�

AA, C)

hm

( ) ( )

( ) ( )

,

+x y2 2

2 29 2 10 1

49 81

11 4�

Aire du triangle bleu : A m BC � m CM � sin C

, , sin2

4 47 5 7 25 62

7

5,51 hm2

˚

�

� ,

Aire du triangle vert :

m BAC

�

�

�� 14 7, °

sin BAC sin BCAmBC m AB

sin 25,6°sin BAC, ,4 47 7 62

Aire du triangle bleu 5 Aire du triangle vertRéponse : Pierre a raison, les deux triangles ont la même aire.

Page 337

19. a)mBD

m AD

mDC

mBD

mBD24 mBD

mBD dm

5

5

5

6

12 25° , 26,57° , 40°

Réponse : La rampe est sécuritaire puisque la mesure de l’angle BAC, environ 26,57°, est comprise entre 25° et 40°.

b) cos

,,

39

20 4726 34

˚ �m AD

m AD dm�

sin

,,

39

16 5826 34

˚ �mBD

m BD dm�

mBD

m AD

mDC

mBD

20,47mDC

mDC dm

�

16 5816 58

13 42

,,

,

�

�

�m AC 20,47 13,42

33,89 dm

�

�

m AB m BC m BD m AC

26,34 m BC 16,58 33,89

m BC 21,33 dm

Longueur totale de l’armature :26,34 1 20,47 1 16,58 1 13,42 1 21,33 98,14 dm

Réponse : L’armature doit avoir une longueur totale d’environ 98,14 dm.

, car l’angle ABC est obtus.

13 cm 14 cm

A

B

CD21 cm

d x y

d

( ( ) ( )

( ) ( )

,

(

A, B)

hm

+2 2

2 25 2 8 1

9 49

7 62�

BB, C)

hm

( ) ( )

( ) ( )

,

(

+x y

d

2 2

2 29 5 10 8

16 4

4 47�

AA, C)

hm

( ) ( )

( ) ( )

,

+x y2 2

2 29 2 10 1

49 81

11 4�

m AM m MC 11,4 2 5� � ,7 hm A m AB � m AM � sin A

, , sin2

7 62 5 7 4 72

5,51 hm2

˚

�

� 1 ,

tan

,

BAC

m BAC o

�1224

26 57�


Page 338

20. tan

tan

1

1

˚

˚

�

�

m ADm BDm ADm BD

tan ,

,tan

3 2 9

2 93

˚

˚

m ADm BD

m ADm BD

Il est donc possible de poser l’égalité suivante :m AD m AD

m ADtan

,tan

tan1

2 93

3° °

tan , tan tan

,

3 2 9 1 1

0 0524

°m AD °° m AD

m AD mm AD

m AD

m AD

0 0175 2 9 0 0175

0 0699 0 0506

0

, , ,

, ,

�� ,,725 m

(2,9 � m AD) � tan 1°

tan

,

,tan

1

41 51

0 7251

˚

˚

� m ADm BD

m BD

m

�

�

Réponse : La distance qui sépare le golfeur du drapeau est d’environ 41,51 m.

21. Aire du triangle ACD :

m ECm ED

m EDm AE

3,163,16

m AE

m AE cm

5

52

4 99 ,

5 1

1

m AC m AE m EC

4,99 2

6,99 cm

A b h2

6 99 3 162

11 05 2

�

�

, ,

, cm


m ACBo

∠ ° ° °5 2 2

5

180 86 35

59

sin ABC sin BAC

sin,

sin

m AC m BC

m BC

m BC

�

86˚6 99

35˚�

�

44 02, cm

A m AC � m BC � sin C

, , sin

, cm

26 99 4 02 59

212 05 2

�

�

˚

Aire du quadrilatère ABCD : 11,05 1 12,05 23,1 cm2

Réponse : L’aire du quadrilatère ABCD est d’environ 23,1 cm2.

Page 339

22. a) PA(t) 5 1000(1,2)t, où t est le temps (en années), et P(t), les profits (en $) de l’entreprise.PA(10) 5 1000(1,2)10

5 6191,74 $

PB(t) 5 100x2

PB(10) 5 100 3 102

5 10 000 $Réponse : L’entreprise B , avec des profits de 10 000 $, sera la plus rentable.

b) À l’aide d’une table de valeurs, on constate que les profits de l’entreprise A sont supérieurs à ceux de l’entreprise B jusqu’à l’an 4, mais sont inférieurs à ceux de l’entreprise B à partir de l’an 5. Les deux entreprises ont donc réalisé les mêmes profits au cours de l’an 5.

Réponse : Ces deux entreprises réaliseront les mêmes profits au cours de la 5e année.

t PA(t ) PB(t )

0 1000,00 0,00

1 1200,00 100,00

2 1440,00 400,00

3 1728,00 900,00

4 2073,60 1600,00

5 2488,32 2500,00

6 2985,98 3600,00

c) PA(t) 5 1000 3 1,2t

PA(9) 5 1000 3 1,29

5159,78 $

PB(t) 5 100x2

PB(9) 5 100 3 92

5 8100 $

8100 2 5159,78 2940,22 $

Réponse : L’écart entre les profits de ces deux entreprises sera d’environ 2940,22 $.

Page 340

23. a) Soit x l’angle d’élévation.

sin

sin

,

,,

,,

x

x

9 313 2

9 313 2

1

44 79°�

Réponse : L’angle d’élévation mesure environ 44,79°.

b) Soit y, la distance cherchée.

cos ,

, cos

,

,44 8

13 2

9 37

13 2° y

y

� m

44,79°

Réponse : La distance est d’environ 9,37 m.

c) 9 39 37

0 99,,

,

Réponse : La pente est d’environ 1.

3,16 cm

2 cm

86°

35°A

B

C

D

E


Page 341

24. Plusieurs réponses possibles. Exemple :Équation de la droite de régression :Soit x, le nombre de parties jouées, et y, le nombre de points marqués.Prenons les points les plus proches de la droite, soit (50, 60) et (30, 36).

Nombre depoints marqués

20

20

40

60

80

0 40 60 80Nombre de

parties jouées

Statistiques d'un joueur de hockey

a 5 5 5 5

2

2

yx

60 3650 30

65

1 2,

y 5 ax 1 b60 5 1,2 3 50 1 bb 5 0y 5 1,2x

Salaires pour 82 matchs :y 5 1,2x

5 1,2 3 825 98,4 points

98,4 3 50 000 5 4 920 000 $

M( j ) 5 20 1 0,5j5 20 1 0,5 3 825 20 1 415 61 points

61 3 50 000 5 3 050 000 $

4 920 000 – 3 050 000 5 1 870 000 $

Réponse : L’écart entre les deux salaires est de 1 870 000 $.

Page 342

25. a) Après avoir déterminé, à l’aide d’un couple de valeurs, la règle de la fonction associée à chacune des planètes, on détermine la distance parcourue par l’objet après 8 s de chute libre de la façon suivante.

Pour la Terre : Pour Jupiter : Écart : DT 5 at2 DJ 5 at2 793,6 2 313,6 5 480 m 5 4,9t2 5 12,4t2

5 4,9 3 82 5 12,4 3 82

5 313,6 m 5 793,6 m

Réponse : L’écart entre les distances parcourues est de 480 m.

b) Soit t, le temps (en s), et D, la distance (en m) parcourue. Durée de la chute libre :

pour la Terre ; pour Jupiter ; DT 5 4,9t2

200 5 4,9t2

40,82 < t2

t < 6,39

DJ 5 12,4t2

200 5 12,4t2

16,13 < t2

t < 4,026,39 2 4,02 < 2,37 s

La sonde commencera à stabiliser sa vitesse 2,37 s plus tôt sur Jupiter que sur la Terre. Par conséquent :2,3(t 2 2,37) 1 1,2 5 1,9t 1 2,72,3t 2 4,257 < 1,9t 1 2,7t < 17,39 s

Réponse : Après environ 17,39 s, la vitesse de la sonde sera la même sur les deux planètes.

Page 343

26. Aire des triangles 4 et 5 :

35°

35°61,4 m

16,6 m

30 m

71,9 m

16,1°

12

4

5

6

3

35,98 m

40,28 m

95,98 m

69,2 m

98,83 m

46,43°

27,47°

104,73°

AG

H

F

B

C

D

E

28,85°

117,47°

62,53°

55°

110°

16 616 6 61 4

35,98 m

,, ,m FGm FG

m FG �61 4

16 6 61 4

69 2

,, ,

, m�

m DFm DFm DF

A b h2

69 2 35,98�

�2

1245,1 m2

,

FGD

,

�

�

69,235,9862 53°FGDm

tan

Aire du triangle 2 :m ∠ BGH < 180° 2 62,53° < 117,47°

sin sin,

16,1°30

117,47°95 98 m

�

�

m BD

m BD

A p p a p b p c( )( )( )

,1028 86 2m

��

101,99(101,99 � 78)(101,99 � 30)(101,99 � 95,98)


Aire du triangle 3 :m ∠ FDH < 90° 2 62,53° < 27,47°m ∠ CDB < 90° 2 27,47°2 16,1° < 46,43°

sin , sin BCD

m BCD

46 43°71,9 95,98

180° � 75,27°

�

�,104 73°�

m ∠ CBD < 180° 2 46,43° 2 104,73° 5 28,85°

A

, m

�

�

271,9 � 95,98 � sin 28,85°

21664 78 2

m BC � m BD � sin CBD

Aire du triangle 6 : Superficie totale du terrain :m ∠ DFE 5 180° 2 90° 2 35° 5 55° 1245,1 1 1028,86 1 1664,78 1 762,14 1 3419,84 < 8120,72 m2

ta m DEn

,,

55

98 83 m69 2

°

�

�

m DE Aire maximale du plancher à construire : 0,03 3 8120,72 < 243,62 m2

A b2

�

�

69,2 � 98,832

3419,84 m2

h

Réponse : L’aire maximale du plancher est de 243,62 m2.

Page 344

27. a) y 5 ax2

0,44 5 a(1)2

a 5 0,44

y 5 0,44x2

5 0,44 3 52

5 11 m/sRéponse : La vitesse du bobsleigh à la 5e seconde est de 11 m/s.

b) Soit x, le temps (en s) et y, la fréquence cardiaque (en battements/min).

Règle de la fonction associée à la situation : y 5 a 3 cx

80 5 50 3 c1

c 5 1,6 y 5 50(1,6)x

Moment où les athlètes atteignent leur fréquence cardiaque maximale :204,8 5 50(1,6)x

4,096 5 1,6x

x 5 3

Vitesse à ce moment :y 5 0,44x2

5 0,44 3 32

5 3,96 m/s

Réponse : La vitesse du bobsleigh est de 3,96 m/s lorsque les athlètes atteignent leur fréquence cardiaque maximale.

c) Distance parcourue :24 3 65 5 1560 m

Représentation de la situation :

1560 m

x

176,6 m

sin x

x°

° �

�

176,615606,5°

Réponse : L’inclinaison moyenne de la piste est d’environ 6,5°.

Page 345

28. Hypothèses ABCD est un parallélogramme.

Conclusion Les diagonales se coupent en leur milieu (DE BE et AE CE ).


1. CD AB Les côtés opposés d’un parallélogramme sont isométriques.

2. BC // DA Les côtés opposés d’un parallélogramme sont parallèles.

3. ∠ DCA ∠ BAC ∠ BDC ∠ ABD

Si une droite coupe deux droites parallèles, alors les angles alternes-internes sont isométriques.

4. D DEC D BEADeux triangles qui ont un côté homologue isométrique compris entre des angles homologues isométriques sont isométriques.

5. DE BE et AE CE Les côtés homologues de deux triangles isométriques sont isométriques.

Aire du triangle 1 :m ∠ BAF 5 180° 2 35° 2 35° 5 110°

sin sin,

110°30 35,98

35°40 28 m

� m AF

m AF

A m AB � m AF � sin BAF

, m

�

�

�

240,28 � 40,28 � sin 110°

2762 14 2

, où x est le temps (en s) et y, la vitesse (en m/s).


29. Formuler une conjecture en construisant plusieurs triangles rectangles ayant un angle de 30° et en calculant la mesure des différents segments.

C

E

D

i

j

F30°

4

C

E

D

i

j

F30°

5

C

E

D

i

j

F30°

6

m DF 4 cos 30° 3,46 u

m CE 4 tan 30° 2,31 u

ij mDF

m CE 3 46,

2,31 1,5

C

E

D

i

j

F30°

4

C

E

D

i

j

F30°

5

C

E

D

i

j

F30°

6

m DF 5 cos 30° 4,33 u

m CE 5 tan 30° 2,89 u

ij mDF

m CE < 4 33,

2,89 1,5

C

E

D

i

j

F30°

4

C

E

D

i

j

F30°

5

C

E

D

i

j

F30°

6

m DF 6 cos 30° 5,2 u

m CE 6 tan 30° 3,46 u

ij mDF

m CE < 5 2

3 46,,

1,5

Réponse : Dans un triangle rectangle ayant un angle de 30°, la valeur du rapport ij est toujours de 1,5.

Page 346

30. Hauteur minimale du mât de toit :m AD

m CD

m CD

mBD

2 11

,h

h

h 2 1,

1,45 m

Hauteur possible en tenant compte des coûts de fabrication :Par encadrement, on détermine la valeur de h qui engendre un coût maximal de 400 $.

h (m) 1,5 1,7 1,71 1,8

c ($) 367,42 398,46 400,08 414,95

Réponse : Afin de respecter les coûts de production, la hauteur du mât de toit peut varier d’environ 1,45 m à environ 1,7 m.

Page 347

31. Plusieurs réponses possibles. Exemple : Relation 2 : Prix annuel moyen de l’essence

0

Prix($/L)

y � 0,06x � 0,93

2

0,8

1

1,2

1,4

1,6

4 6 8 10Temps écoulédepuis 2005

(années)

Équation de la fonction associée à la relation 1 : y 10(base)x

8,1 10(base)2

0,81 base2

base 0 81, 0,9 y 10(0,9)x

Analyse de la relation 2 :Le nuage de points montre une corrélation linéaire positive forte (r 0,8).

Équation de la droite de régression :y < 0,06x 1 0,93

Extrapolation des deux relations pour l’année 2020 :Consommation : y 10(0,9)15

2,06 L/100 kmPrix de l’essence : y < 0,06(15) 1 0,93

< 1,83 $/L

Somme d’argent à débourser pour l’essence :Nombre de litres utilisés : 25 000 4 100 3 2,06 514,73 LSomme d’argent : 514,73 L 3 1,83 941,95 $

Réponse : Cette personne devra débourser environ 941,95 $.

Page 348

32. Aire du cerf-volant :Acerf-volant 2 3 AWXY

2 3 2

1,8 � 2,5 � sin 25°

1,9 m2

Règle de la fonction permettant de déterminer le coût du cerf-volant :C a(s)2, où s est la surface du cerf-volant (en m2).

75 a(3)2 Coût du cerf-volant :

a 759

ou 253

C 253

3 1,92

C 253

s2 30,08 $

Réponse : Le coût du cerf-volant est d’environ 30,08 $.

33. 1 : 3 14

P x x x y y y1 2 1 1 2 114

14

1 1 ( ), ( )( )P 4

4 4 444 4 4

1 2 1 1 2 1x x x y y y1 1 ,

P 34 4

34 4

1 2 1 2x x y y1 1,

P 3 3x x y y1 2 1 2

4 41 1

,( )


Page 349

34. Soit a, l’aire (en m2) du verre vert.Coordonnées du point H :

Pente de BC : 21

Pente de AH : 1, car AH ^ BC

Équation de AH : y 5 x

La droite CH est verticale et passe par C(1, 4). Son équation est donc x 5 1.

Les coordonnées du point H sont la solution du système d’équations 5

5

y x

x 1H(1, 1)

Distance entre le point H et chaque sommet :m AH 5 2 1 2( ) ( )1 0 1 02 2

1,41 m

m BH 5 2 1 2( ) ( )1 5 1 02 2

4,12 m

m CH 5 2 1 2( ) ( )1 1 1 42 2

5 3 m

Aire de chacun des trois triangles à l’aide de la formule de Héron :

Demi-périmètre du triangle AHB : 5,27 m2

Demi-périmètre du triangle BHC : 6,39 m2

Demi-périmètre du triangle CHA : 4,27 m2

AAHB p p �a p b p c( )( )( ) 5,27(5,27 5)(5,27 1,41)(5,27 4,12) 5 2,5 m2

ABHC p p a p b p c( )( )( ) 6,39(6,39 5,66)(6,39 3)(6,39 4,12)� 6 m2

ACHA p p a p b p c( )( )( ) 4,27(4,27 3)(4,27 1,41)(4,27 4,12)� 1,5 m2

Coût de chaque couleur de verre :Orange : 2,5 3 35 5 87,50 $Bleu : 1,5 3 45 $ 67,07 $Vert : La deuxième partie de la fonction s’applique.

c 2 34 3 6 1 66 61,50 $/m2

61,5 3 6 368,87 $Coût total du verre : 87,5 1 67,07 1 368,87 523,44 $

Réponse : Le coût du verre est d’environ 523,44 $.

Page 350

35. Option 1 :La règle est de la forme v 5 a(base)t, où v représente la valeur de l’investissement (en $), et t, le temps (en années). De plus, la valeur initiale est 10 000, donc a 5 10 000. La règle est donc v 5 10 000(base)x.10 927 5 10 000(base)3

1,0927 5 base3

base 5 1 09273 , 1,03

Après 5 ans, la valeur de l’investissement sera égale à v 10 000(1,03)5 11 592,26 $.

Option 2 :

Année (fin) 1 2 3 4 5

Taux (%) 0,4 0,8 1,2 1,6 2

Intérêts ($) 40 80,32 121,44 163,87 208,11

Capital ($) 10 040 10 120,32 10 241,75 10 405,62 10 613,73

Option 3 :

Année Taux (%) Intérêts ($) Capital ($) Année Taux (%) Intérêts ($) Capital ($)

10,2 20 10 020

41,4 145,98 10 573,04

0,4 40,08 10 060,08 1,6 169,17 10 742,21

20,6 60,36 10 120,44

51,8 193,36 10 935,57

0,8 81,96 10 201,40 2 218,71 11 154,28

31 102,01 10 303,42

1,2 123,64 10 427,06

Réponse : Mathilde devrait choisir l’option 1 , car elle est plus rentable sur 5 ans.

Page 351

36. a) I 2 2 2 21 2 1 23 5 3 1 4 158

58

( ), ( )( ), donc I(2, 2,125).

L’abscisse de l’intersection doit être comprise entre 2 et 5. Pour connaître l’ordonnée de cette intersection, il faut déterminer l’équation de la droite associée à la rue des Pins.

Équation de la droite qui supporte la rue des Pins :

a 4 15 3

58

y 5 58

x 1 b

4 5 58

3 5 1 b

b 5 78

Si x 5 3, on a :

y 5 58

3 3 1 78

5 2,75

(3, 2,75)

Équation de la droite qui supporte la rue des Érables :

a 5 2 2

2

2 2 754 3

, 5 24,75 22 5 24,75 3 4 1 b

y 5 24,75x 1 b b 5 17 y 5 24,75x 1 17

Note : Si x 5 4, la droite associée à la rue des Érables sera verticale.

Réponse : L’équation de la droite est y 5 24,75x 1 17 et les coordonnées du point d’intersection sont (3, 2,75).

.

.


b) Équation de la droite représentant la nouvelle rue : Point d’intersection des deux rues :

a 5 DyDx

5 y2 2 y1

x2 2 x1 5

22 2 264 2 2

5 2

y 5 2x 1 b22 5 2 3 4 1 b b 5 210 y 5 2x 2 10

y x58

78

et y 5 2x 2 10

8

x 2 2x 5 210 2 78

2

118

x 5 2

878

x 5 8711

< 7,91

y

y

2 10

5,82

8711

6411

�

P

P( 7,91, 5,82)

8711

, 6411

� �( )

Réponse : Les coordonnées du point d’intersection seront (< 7,91, < 5,82).

Page 352

37. • À l’aide des coordonnées des points P, Q et M, on peut calculer les distances (M, P) et (M, Q) en appliquant la formule de la distance entre deux points.

d(M, P) (�4 1) (1 2)2

d(M, P) 5,1 hm

2

�

• À l’aide de la loi des sinus, il est possible de résoudre le triangle BMP puisqu’on connaît les mesures de deux angles (∠ MPB et ∠ MBP) et d’un côté (MP).

m BM � 6,91 hm

sin46°m MP

sin77°m BM

sin46°5,1

sin77°m BM

�

�

• Puisque les mesures de deux côtés (MQ et MB) et d’un angle (∠ MBQ) sont connues, il est maintenant possible de résoudre le triangle BMQ à l’aide de la loi des sinus.

25,19°

sin16m MQ m BM

m BQM

sin BQM

sin16°4,47

sin BQM6,91

°�

�

�

m BQ � 10,69

sin138,81°m BQ

m BQsin16°m MQ

sin138,8° sin16°4,47

�

�

m ∠ BMQ < 180o 2 16o 2 25,19o < 138,81o

Réponse : Les coordonnées du bateau sont environ B(21,58, 24,42).

• À partir des points B et Q, on peut former un triangle rectangle dont les mesures des cathètes correspondent aux accroissements des abscisses et des ordonnées du segment BQ.

• À l’aide des rapports trigonométriques, on peut trouver les mesures des cathètes BC et QC puisqu’on connaît les mesures d’un angle (∠ CBQ) et de l’hypoténuse (BQ).

sin 52°

sin 52°

m QC � 8,42

m QC

m QC

m BQ

10,68

�

�

cos 52°

cos 52°

10,68

�

�

m BCm BQ

m BC

m QC � 6,58

• Il est finalement possible de trouver les coordonnées du point B à partir de celles du point Q ainsi que des accroissements des abscisses et des ordonnées du point B vers Q.

� �

xy

5 6,58 1,584 8,42 4,42

B( 1,58, �4,42)

B

B

�

�

�

�

�

� ��

Page 353

38. Équation de la trajectoire de la météorite :

Coordonnées du point B :

1

�

�

sin 30°

sin 30°

m BD

m BDm AB

m BD � 0,5

1

�

�

cos 30°

cos 30°

m AD

m ADm AB

m AD � 6,58

B( 0,866, 0,5 )�

Équation de la droite passant par A et B :a

a 0, 58

0,5

0,866�

� y 0,58x

Équation de la droite passant par D et F :

Comme m AD < 0,866, on peut déduire que D(≈ 0,866, 0).

cos 30°

cos 30°

mAC(� 1,15, 0)

C 1,15

m ABm AC

m AC1

�

�

�

On en déduit que :• les coordonnées du point E sont :

0, ( , , ), , ( , )866 1 15 0 866 0 5 0 0 512

12

1 2 1 2( ) 5 ( 1,01, 0,25) ;

• la pente de la droite est d’environ : 0 25 01 01 0 866

,, ,

�

� 1,73 ;

• la valeur initiale est d’environ 21,5. y 1,73x 2 1,5

Coordonnées du point F :Il s’agit de résoudre, par comparaison, le système d’équations

y x

y x

1 73 1 5

0 58

, ,

,

2.

Réponse : L’altitude de la météorite sera d’environ 750 km.

0,58x 1,73x – 1,51,5 1,15x

x 1,3

L’altitude de la météorite correspond à l’ordonnée du point F, soit environ 0,75 millier de kilomètres ou environ 750 km.

d(M, Q) 5 1 4 2

d(M, Q) 4,47 hm

2 2( ) ( )�

y 1,73 3 1,3 2 1,5 0,75

561© 2015, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée CORRIGÉ DU CAHIER RÉVISION

Page 354

39. Plusieurs réponses possibles. Exemple :Puisque les triangles rectangles formés sont semblables, on déduit que la distance d est multipliée par le même facteur lorsqu’on passe d’une figure à la figure suivante. Il suffit de trouver ce facteur en calculant les distances d pour deux figures successives.

Rang 1 d1 5 1 4 cos 30° 1,155 m

Rang 2d2 5 1 3 cos 30°

0,866 m

5 0,75dd

0,8661,155

2

1

La distance d est multipliée par 0,75 lorsqu’on passe à la figure suivante. Si on poursuit cette suite, on obtient la table de valeurs suivante.

Relation entre d et n

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9

d (m) 1,155 0,866 0,65 0,487 0,365 0,274 0,206 0,154 0,116

La représentation graphique de cette relation engendre un nuage de points dont la forme pourrait, à première vue, correspondre à une branche de parabole. Toutefois, si on extrapole la relation, on obtient des points qui se rapprochent sans cesse de l’axe des abscisses sans jamais y toucher. En effet, la distance diminue toujours par un facteur de 0,75. Or, cette caractéristique n’est pas celle d’une fonction quadratique.

RÉVISION

Page 355

1. a) 3) b) 1) c) 4) d) 3) 2. d) 3. a) 4. c) 5. b) 6. b)

Page 356

7. a) 8. c) 9. b) 10. d) 11. a) 12. c) 13. c)

Page 357

14. d) 15. b) 16. a) 2) b) 4) c) 2) d) 2) 17. c) 18. a)

Page 358

19. b) 20. a) 21. d) 22. b)

Page 359

23. d) 24. c) 25. a) 26. a) 27. a) 28. c)

Page 360

29. a) d x x y y( A, B) ( ) ( )

(17 11) (5 14)10,82 u

2 12

2 12

2 2

� � � �

� � � �

�

b) d x x y y(C, D) ( ) ( )

(13 21) (1 6)10,63 u

2 12

2 12

2 2

� � � �

� � � � �

�

c) d x x y y(E, F ) ( ) ( )

( 9 0 ) (3 4)11,4 u

2 12

2 12

2 2

� � � �

� � � ��

�

30. a) ��

�

r 1

0,65

2057

b) ��

�

r 1

0,45

2851

c) �

�

��

�

r 1

0,7

1861

31. a) x x x xP A B A5 2

5 2

5

2

2 3

252 17 2

8

( )

( )

y y y yP A B A5 2

5 2

5

2

2 325

1 26 1

11

( )

( )

P(8, 11)

b) x x x xP C D C5 2

5 2

5

2

2 325

8 43 8

22

( )

( )

y y y yP C D C5 2

5 2

5

2 2

2

22 325

6 4 6

2

( )

( )

P(22, 22)

c) x x x xP E F E5 2

5 2

5

2 2

22 325

7 13 7

1

( )

( )

y y y yP E F E5 2

5 2

5

2

2

22 3

25

9 21 9

3

( )

( )

P(1, 23)

1,2

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0 2 4 6 8 10 12

d (m)

n

Relation entre d et n

562 CORRIGÉ DU CAHIER RÉVISION © 2015, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée

Page 361

32. a) 4x 2 5y 5 232(4x 1 4y 5 240) 29y 5 63 y 5 27 4x 2 5 3 27 5 23 4x 5 212 x 5 23(23, 27)

b) 6x 1 5y 5 258x 2 5y 5 26 14x 5 21 x 5 1,56 3 1,5 1 5y 5 25 5y 5 214 y 5 22,8

(1,5, 22,8)

33. a) A a b sin

, , sin

,

C

cm

218 5 12 3 85

2

113 34 2

°

�

b) p 5 7 1 8 1 93

5 12

A p p a p b p c5 2 2 2

5 2 2 2

( )( )( )

( )( )( )

,

12 12 9 12 7 12 8

26 83� m22

A p p a p b p c5 2 2 2

5 2 2 2

( )( )( )

( )( )( )

,

12 12 9 12 7 12 8

26 83� m22

c) A b c sin

, , sin

,

A

dm

26 4 11 7 118

233 06 2

°

�

34. Domaine :

Codomaine : {… 242, 230, 218, 26, 6, 18, 30, 42, 54, …}

Abscisses à l’origine : Aucune.


Signe : Négatif sur ]15, 1[ ; positif sur ]2, 15].

Variation : Décroissante sur .

Extremums : Aucun.

12

24

36

48

60

y

10�10�12

�24

�36

�48

�60

�20�30�40�50 20 30 40 50 x0

Page 362

35. a) m ABC 180 22 28130

m AB 10,42 cm

m BC 8,31 cm

m ABsin 28

17sin130

m BCsin 22

17sin130

� � �

�

�

�

�

�

∠ ° ° °°

° °

° °

b)

�

�

��

°

∠ °∠ ° ° °

°

°

m EF 4 6 2 4 6 cos 655,63 dm

m E 74,93m F 180 65 74,93

40,07

6sin E

5,63sin 65

2 25 1 2 3 3

2 2

36. a) 19x 2 10 5 11x 1 14 8x 5 24 x 5 3 y 5 11 3 3 1 14 5 47

(3, 47)

b) 3x 1 4(2x 2 1) 5 51 3x 1 8x 2 4 5 51 11x 5 55 x 5 5y 5 2 3 5 2 1 5 9(5, 9)

c) y 5 2(3y 2 4) 1 1 y 5 6y 2 8 1 125y 5 27 y 5 1,4

x 5 3 3 1,4 2 4x 5 0,2(0,2, 1,4)

37. a) f (x) 5 a x2

4 5 a(1)2

a 5 4

f (x) 5 4x2

b) f (x) 5 a x2

10 5 a(2)2

a 5 2,5

f (x) 5 2,5x2

1


Page 363

38. a) Plusieurs réponses possibles. Exemple :Nombre de joueurs et temps moyen de jeu

Temps moyen de jeu (min)

Nombre de joueurs

[8, 11[ [11, 14[ [14, 17[ [17, 20[ [20, 22[ Total

[6, 8[ 0 0 0 4 1 5

[8, 10[ 0 2 3 0 0 5

[10, 12[ 1 3 1 0 0 5

[12, 14] 4 1 0 0 0 5

Total 5 6 4 4 1 20

b)

c)

La corrélation est négative puisque les deux variables ne varient pas dans le même sens.

La corrélation linéaire est forte puisque les valeurs sont regroupées le long d’une diagonale dans le tableau à double entrée.

39. a) Pour une variation unitaire de la variable indépendante, chacune des valeurs de la variable dépendante est liée à la suivante par un même facteur multiplicatif correspondant à la base de la fonction, soit 4. Puisque la représentation graphique est une courbe qui passe par le point (0, a), la valeur de a est 2.

Réponse : f (x) 5 2(4)x

b) Pour une variation unitaire de la variable indépendante, chacune des valeurs de la variable dépendante est liée à la suivante par un même facteur multiplicatif correspondant à la base de la fonction, soit 2. Puisque la représentation graphique est une courbe qui passe par le point (0, a), la valeur de a est 23.

Réponse : f (x) 5 23(2)x

Page 364

40. a) a 5 25 y 5 25x 1 b211 5 25 3 3 1 b b 5 4

y 5 25x 1 4

b) a 5 −12

b 5 212y 5 −

12

x 2 12

c) a 5 3 y 5 3x 1 b0 5 3 3 22 1 bb 5 6

y 5 3x 1 6

d) a 5 52

2 55 , y 5 2,5x 1 b0 5 2,5 3 8 1 bb 5 220

y 5 2,5x 2 20

41. a)

m AB 9,8 dm

m ADm AB

m ABm AC

8m AB

m AB12

�

�

�

b) m BD m AC m AD m AB15 7,2 12 m AB

m AB mm

� � �

� � �

� 9

c) m BDm AB

m ABm BC

8m AB

m AB

m AB cm

�

�5

6 32� ,

42. a) �

�

� �

� �

�

A

38,57 cm

c b sin A2

10 12 sin 402

triangle

2

ϒ

b) � � � �

� � � �

�

A p p a p b p c

13 13 9 13 5 13 1220,4 cm

triangle

2

( )( )( )( )( )( )

c)

mAD 12 cm

24mAD

mAD6

�

�

A

180 cm

b h2

30 122

triangle

2

�

�

�

�

�

Page 365

43. a) 22 b) 1) 60 2) 0 3) 0 c) 1) {34, 38, 56, 60} 2) {50, 72} d) {…, 230, 28, 14, 36, 58, …}

44. a) f (x)

x0 2�2

�3000

�6000

�9000

�12 000

�4 4

b) 1) ℝ

2) ]2, 0].

3) 0

4) 0

5) Négatif sur ℝ ; positif à 0.

6) Croissante sur ]2, 0] ; décroissante sur [0, 1[.

7) Maximum : 0.


Page 366

45. Longueur du segment BE :

sin

,

,46

1 37

1 9ϒ�

m BE

m BE m�

Longueur du segment BD :

m BD cosm

� � � � � �1 9 2 4 2 1 9 2 4 461 74

2 2, , , ,,

ϒ�

Longueur du segment FD : m FDm

��

1 74 0 51 24, ,,

�

Longueur du segment FC : �

�m FC 0,79 m

0,5m FC

m FC1,24

Longueur du segment BC :

0,5m BC

m BC1,74

m BC

�

� 0 93,

Longueur du segment CD :

m CDm

��

1 74 0 931 47

2 2, ,,

�

Longueur totale :1,9 1 0,93 1 1,47 1 2,4 1 1,37 1 1,74 1 0,79 10,6 m

Réponse : La longueur totale des tiges métalliques est d’environ 10,6 m.

46. a) Niveau d’eau du bassin au début de la journée : 1,6 m h(t) 5 0,05t 1 1,6 h(16) 5 0,05 3 16 1 1,6 5 2,4 m

Réponse : Le niveau d’eau du bassin est de 2,4 m.

b)

40 8 12 16 20 Temps(h)

1

2

3

4

5Hauteur

(m)

Niveau d’eau d’un bassin hydroélectrique

c) Diminution du niveau de l’eau : 2,4 2 1,5 5 0,9 m

Temps requis pour diminuer le niveau d’eau de 0,9 m : 0,9 4 0,03 5 30 h

Temps écoulé entre le début de la journée et le moment où le niveau d’eau du bassin est de 1,5 m : 16 1 4 1 30 5 50 h

Réponse : Le temps écoulé est de 50 h.

Page 367

47. L’abscisse du point A est 0 :y 5

243

(0) 1 24 5 24A(0, 24)

L’ordonnée du point D est 0 :0 5

243

x 1 24

x 5 18D(18, 0)

Puisque les triangles ABE et ACD sont semblables, leurs angles homologues sont isométriques. Donc, les segments BE et CD sont parallèles et l’ordonnée du point E est 8.

8 5 243

x 1 24

x 5 12E(12, 8)

m AE (12 0) (8 24)u

m AD (18 0) (0 24)

2 2

2 2

20

330

10

15

u

m BE

m CD

m CD

m CD u

m AE

m AD

2030

Réponse : La longueur du segment CD est de 15 u.

48. �ab

cd

ad 5 bc Le produit des moyens est égal au produit des extrêmes.

ab 1 ad 5 ab 1 bc Ajout du terme ab de chaque côté de l’égalité.

a(b 1 d) 5 b(a 1 c) Mise en évidence simple de chaque côté de l’égalité.

5 1

1

ab

a cb d


Page 368

49. a) Hypothèse ABE et CBD sont des triangles.

C

D

A

E

B

100 cm

60 cm72 cm

120 cm

120 cmConclusion ABE ~ CBD


1. 1,2m ABm CB

120100

5 5 Rapport des mesures de côtés homologues.

2. ∠ ∠ABE CBD Les angles opposés par le sommet sont isométriques.

3. m BEm BD

5 57260

1 2, Rapport des mesures de côtés homologues.

4. ABE CBD Par la condition minimale CAC.

b)

m AE 144 cm

m ABm CB

m AEm CD

120100

m AE120

�

�

�

Réponse : m AE cm5 144

50. sin

sin

,

A �

�

m BD

m ABm BD11,4

m BD cm

22

4 27

°

�

m ∠ ° ° °

°

ABD 5 2 1

5

180 90 22

68

( )

A

53 3

3 3

ABD

ABDd a sin

, , sin

∠

°2

11 4 4 27 68

2

cm 22 57 2,

m BE m BD m DE

3,2

5 2

2

( ) ( )

,

2 2

2 24 27

2

,,83 cm

m BE

m BD

m BD

m BC

m BC

m BC cm

5

2 834 27

4 27

6 45

,,

,

,

A

5BDC

cm

b h×

×2

6 45 3 22

10 32 2

, ,

,

A A A 5 1

1

ABC ABD BDC

cm

22 57 10 32

32 89 2

, ,

,

Réponse : L’aire du triangle ABC est d’environ 32,89 cm2.

Page 369

51. a) d

d d

y

y

(A, T) (7 1) (16 1)

26123

(A, T) 23

261 (T, S)

23

261 (5 1) ( 1)

116 16 ( 1)

2 2

2 2

2

� � � �

�

� � �

� � � �

� � �

d

d d

y

y

(A, T) (7 1) (16 1)

26123

(A, T) 23

261 (T, S)

23

261 (5 1) ( 1)

116 16 ( 1)

2 2

2 2

2

� � � �

�

� � �

� � � �

� � �

y1 5 29 (à rejeter dans ce contexte) et y2 5 11

Réponse : L’ordonnée de la station-service est 11.

b) Penteyx

y yx x

3 18 127

TB2 1

2 1� �

�

�

�

�

�

�

�

�

Pente

1

yx

y yx x

18 169 7

AU2 1

2 1� �

�

�

�

�

�

�

�

�

Réponse : Comme les deux droites qui supportent les chemins TB et AU n’ont pas la même pente, les chemins ne sont pas parallèles.

52. Marie-Josée a raison. Le rang centile d’une donnée est une mesure de position qui indique le pourcentage de données inférieures ou égales à cette donnée dans la distribution. À l’aide des centiles, il est possible de partager une distribution ordonnée en 100 rangs centiles contenant chacun 1 % des données. Donc, un rang centile de 110 signifierait que 110 % de la population des enfants de 3 ans ont une taille inférieure ou égale à celle du fils de Marie-Josée. Dans les faits, il ne peut pas y avoir plus de 100 % de la population des enfants de 3 ans qui ont une taille inférieure ou égale à celle de son fils.

Page 370

53. a) tan

? ,

?72

978 7318

ϒ�

� m

Réponse : La hauteur de la chute est d’environ 978,7 m.

b) 180° 2 72° 5 108°

180° 2 108° 2 21° 5 51°

�

ϒtan 51

m AC 792,54 m

978,7m AC

�

? 792,54 2 318 474,54 m

Réponse : Une distance d’environ 474,54 m sépare les deux touristes.


54. Règle de la fonction f : f(x) 5 a(x 2 h)2 1 k = a(x 1 2)2 2 4 22 5 a(0 1 2)2 2 4 2 5 4a a 5 0,5

Donc, f(x) 5 0,5(x 1 2)2 2 4 ou f(x) 5 0,5x2 1 2x 2 2.

Règle de la fonction g : g(x) 5 a(x 2 h)2 1 k = a(x 2 3)2 1 3,5 4 5 a(4 2 3)2 1 3,5 0,5 5 a

Donc, g(x) 5 0,5(x 2 3)2 1 3,5 ou g(x) 5 0,5x2 2 3x 1 8.

Points d’intersection des deux paraboles :f(x) 5 g(x) 0,5x2 1 2x 2 2 5 0,5x2 2 3x 1 8 0 5 2,5x2 2 20x 1 30 5x 2 10 5 0 5x 5 10 x 5 2f(2) 5 0,5 3 22 1 2 3 2 2 2 5 4

Réponse : Les coordonnées du point d’intersection sont (2, 4).

Page 371

55.

200 30 40 50 60

Nombre d’articlesen solde vendus

Impact des soldes sur l’achalandaged’un commerce

Nombrede clients

20

30

40

50

60

a)

b)

Plusieurs réponses possibles. Exemple : En extrapolant à partir de la droite de régression, le commerçant peut prévoir vendre environ 22 articles en solde.

�

�

r 1

0,66

12,95

�

Puisque le coefficient de corrélation linéaire est d’environ 0,66, on peut considérer que le lien entre ces deux variables est de faible à moyen et que cette estimation est plus ou moins juste.

Page 372

56. a) QA(h) 5 QB(h) 5000 1 1000h 5 35 000 2 1500h 2500h 5 30 000 h 5 12

Réponse : Les deux réservoirs contiendront la même quantité de liquide 12 heures après le début des manœuvres.

b) QA(h) 5 5000 1 1000h QA(12) 5 5000 1 1000 3 12 QA(12) 5 17 000 16 000 , 17 000 , 19 000

Réponse : La norme est respectée puisque les réservoirs contiennent 17 000 L chacun.

57. Aire du triangle ADC :

ϒ

A

3,19 km

m AD m D sin D2

2,1 3,3 sin 1132

Ctriangle

2

5

5

3 3

3 3

Longueur du segment AE :

m AE

2,4 2,041,26 km

(m AB ) (m BE)2 2

2�

�

2

Longueur du segment AC :

�

m AC � 4, 56 km

m AE

1, 262, 4

2, 4m AC

m ABm ABm AC


A b htriangle

km

24 56 2 04

2

4 65 2

�

�

, ,

,

Superficie totale du secteur : 3,19 1 4,65 7,84 km2

Nombre de bénévoles : 7,84 3 7 54,86 bénévoles

Réponse : Environ 55 bénévoles seront nécessaires pour effectuer cette battue.


Page 373

58. a)

2 4 6 8 10 12 Temps(mois)

90

180

270

360

540

450

Coût($)

Coût d’un abonnement à un centrede conditionnement physique

Forfait A

Forfait B

0

b)

c)

Forfait A : 72 3 6 1 10 3 6 5 492 $

Forfait B : 260 1 20 3 12 5 500 $

Réponse : La personne devrait choisir le forfait A , qui lui coûtera 492 $ pour l’année, alors que le forfait B lui coûterait 500 $.

Réponse : Pour moins de 5 mois ou plus de 11 mois, le forfait A est plus avantageux. De 6 à 11 mois, le forfait B est plus avantageux. Pour 5 mois, les deux forfaits offrent le même tarif.

59. a) tan

tan

,

,

,

B

B

m B

�

�

1 153

1 153

1

20 97

−

∠ °�

Réponse : Non, le remorquage n’est pas sécuritaire puisque la mesure de l’angle B est inférieure à 23°.

b) cos 20,97

m AB

m

m AB° � 3

320,97°

3 21

�

�cos

,

Réponse : La distance parcourue par la voiture lors du remorquage du point A au point B est d’environ 3,21 m.

Page 374

60. a) Au début de l’année, le nombre d’articles vendus était de 192.

b) Règle de la fonction associée au graphique A :f(x) 5 ax 1 b

a 5 5

5

5

2

2

2

22

yx

y yx x

2 1

2 1

192 00 326

Donc, f(x) 5 26x + 192.f(x) 5 26x 1 19212 5 26x 1 192

2180 5 26x 1 192x 5 30

Réponse : Les ventes seront de 12 articles à la 30e semaine.

c) Règle de la fonction associée au graphique B :g(x) 5 a 3 bx

g(x) 5 12 3 bx

48 5 12 3 b2

4 5 b2

b 5 2

Donc, g(x) 5 12(2)x.192 5 12(2)x

16 5 2x

x 5 4 semaines.30 1 4 5 34 semaines.

Réponse : Les ventes sont égales à celles effectuées au début de l’année 34 semaines après le début de la promotion.

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