Universit Rennes 1 Anne 2006/2007

ENS Cachan Antenne de Bretagne

Magistre MIT

Corrig feuille 5 : Transformes de Laplace,

Fonctions caractristiques, Thormes limites

Transformes de Laplace

Exercice 1 : Somme de v.a. indpendantes

1. Soit X une v.a. relle et Y = aX + b, a, b R. Par dnition de la transforme deLaplace, LY (s) = E[es(aX+b)] = esbE[esaX ] en utilisant la linarit de l'esprance.On a ainsi prouv que LY (s) = esbLX(as).2. Soit X1, . . . , Xn des v.a. indpendantes. (X1, . . . , Xn) sont mutuellement indpen-dantes, donc par mesurabilit de la fonction exponentielle

(esX1 , . . . , esXn

)sont mu-

tuellement indpendantes. Aussi, E[esY ] =n

i=1 E[esXi ], c'est--dire LY =

i LXi .

Exercice 2 : Loi hypoexponentielle

Soit n > 2 et X1, . . . , Xn n variables alatoires indpendantes distribues selon des loisexponentielles de taux respectifs 1, . . . , n tels que i 6= j, i 6= j .On a vu (feuille 4, exercice 4) que Z = X1 + . . . + Xn suit une loi hypoexponentielled'ordre n et de paramtres 1, . . . , n.1. Par dnition,

LXi(s) = +0

esxieixdx =i

s+ i, s > i.

De plus, LXi(0) = E[Xi] et LXi(0) = E[X2i ]. On en dduit donc

E[Xi] = LXi(0) =1iet V ar(Xi) = LXi(0) LXi(0)2 =

12i

.

2. Les variables Xi sont mutuellement indpendantes, donc d'aprs l'exercice prcdent

LZ(s) =i

LXi(s) =i

is+ i

.

On trouve ensuite l'esprance et la variance de Z connaissant ceux des Xi :

E[Z] =i

E[Xi] =i

1iet V ar(Z) =

i

V ar[Xi] =i

12i

.

On notera que l'on utilise l'indpendance des variables Xi dans le calcul de la variance(et pas dans celui de l'esprance).

1

Fonctions caractristiques

Exercice 3 : Calcul de fonctions caractristiques

1.a. (t) =n

k=0

Cknpk(1 p)nkeitk = (peit + 1 p)n.

1.b. (t) =+k=0

ek

k!eitk = e(e

it1).

1.c. (t) = +0

exeitxdx =

it .1.d. Pour dterminer la fonction caractristique de la loi normale centre rduite, en

utilisant le thorme de drivation des intgrales dpendant d'un paramtre, on montre

que (t) = t(t). On rsoud alors cette quation direntielle d'ordre 1 et on utilisele fait que (0) = 1. On trouve alors (t) = et2/2. Par changement de variable, on endduit la fonction caractristique de la loi N (m,2) : (t) = eitme2t2/2.

2. Soit X et Y 2 variables alatoires indpendantes de fonctions caractristiques Xet Y . En raisonnant exactement comme dans le cas des tranformes de Laplace, ontrouve

aX+b(t) = eitbX(at) et X+Y (t) = X(t)Y (t).

3. La fonction caractrisque caractrise la loi d'une variable alatoire (elle porte bien

son nom !). Il sut donc de dterminer la fonction caractristique pour ensuite identier

la loi. On trouve alors :

a. X + Y suit la loi B(m+ n, p),b. X + Y suit la loi P(+ ),c. X +m suit la loi N (m,2),d. XY+2Z(t) = X(t)Y (t)Z(2t) = e6t2/2 doncXY +2Z suit la loi N (0, 6).

Exercice 4 : Convergences en loi

Pour prouver la convergence en loi, il sut de prouver la convergence des fonctions

caractristiques correspondantes en tout point.

1. Soit (pn) une suite de rels dans ]0, 1[ telle que limn+ npn = > 0. Soit (Xn) unesuite de v.a. telles que pour tout n Xn B(n, pn) et X une v.a. de loi de poisson deparamtre . Montrons que (Xn) converge en loi vers X. Pour tout t, on crit :

Xn(t) = (1 pn + pneit)n= exp(n ln(1 pn + pneit))= exp(npn(1 eit) + on(npn)) car pn 0 et donc pn(1 eit) 0n exp(npn(1 eit)) car npn donc on(npn) = on(1)

n+ e

(eit1) = X(t).

Donc (Xn) converge en loi vers X.

2. Soit (Xn) une suite de v.a. relles indpendantes de mme loi N (0, 1). Dterminonsla limite en loi de la suite Yn = 1n

n1

kXk.Vu la forme de la variable Yn, on est tent d'appliquer la loi des grands nombres, mais

2

elle ne s'applique pas car les variables

kXk ne sont pas identiquement distribues. Onva donc nouveau utiliser les fonctions caractristiques. Comme les variables Xn sontindpendantes, on a

Yn(t) =n

k=1

Xk

(k

nt

)=

nk=1

ekt2/n2 = e

n(n+1)

2n2t2

n+ et2/2.

Aussi, (Yn) converge en loi vers la loi N (0, 1).

Exercice 5 :

1. Soit X et Y deux v.a. indpendantes de mme loi uniforme sur ] 1, 1[. Dterminonsla densit de X + Y .Comme X et Y sont indpendantes, la densit de X + Y est la convole de la densitde X et de celle de Y . Aprs calculs, on trouve

fX+Y (x) =14(2 + x)1]2,0](x) +

14(2 x)1]0,2[(x).

2. X et Y tant des lois uniformes sur ] 1, 1[, on a : X(t) = Y (t) = sin tt . Puis,comme X et Y sont indpendantes, il vient : X+Y (t) = X(t)Y (t) =

(sin tt

)2.

3. Montrons que f : x 7 1pi(sinxx

)2est la densit d'une probabilit.

f est une fonction mesurable positive. Reste vrier qu'elle est de masse 1.Rf(x)eixdx =

1pi

RX+Y (x)eixdx =

1pi

RfX+Y (x)eixdx = 2fX+Y ()

d'aprs le thorme d'inversion de Fourier. Alors

R f(x)dx = 2fX+Y (0) = 1.Dterminons maintenant la fonction caractristique correspondante.

() =Reixf(x)dx =

Reixf(x)dx =

Reixf(x)dx = 2fX+Y ()

en faisant le changement de variable y = x, en utilisant le fait que f est paire et cequi prcde.

Thormes limites

Exercice 6 :

Soit (Xn)n>1 une suite de v.a.r. i.i.d. telles que E[X1] = m et E[X21 ] = 2.1.

X21++X2nn 2 presque srement et dans L1 d'aprs la loi des grands nombres.2. Montrons que

X1X2+X2X3++Xn1Xnn m2. On ne peut pas appliquer directement laloi des grands nombres car on ne somme pas des variables indpendantes. Sans perte de

gnralit, on suppose n pair dans la suite. Les variables X1X2, X3X4, . . . , Xn1Xn sontdes variables alatoires indpendantes identiquement distribues de carr intgrable.

Alors, d'aprs la loi des grands nombres,

X1X2 +X3X4 + . . .+Xn1Xnn/2

E[X1X2] = E[X1]E[X2] = m2 p.s. et dans L2.

3

De mme,

X2X3 +X4X5 + . . .+Xn2Xn1n/2 1 m

2 p.s. et dans L2.

Alors,

X1X2 +X2X3 + +Xn1Xnn

=X1X2 +X3X4 + . . .+Xn1Xn

n/2 n/2

n+

X2X3 +X4X5 + . . .+Xn2Xn1n/2 1

n/2 1n

m2

2+

m2

2= m2 p.s. et dans L2.

Exercice 7 :

Soit (Xn) la suite de v.a.i.i.d. telles que PXn = 0.021 + 0.980 (loi de Bernoulli deparamtre 0.02). Xn vaut 1 quand le tlphone du n-ime abonn est occup et 0 sinon.On sait que E[Xn] = 0.02 et V ar(Xn) = 0.02 0.98.On considre ensuite la variables Sn dnie par Sn = X1 + . . . + Xn. Sn indique lenombre d'abonns utilisant leur tlphone ne mme temps.

Soit N le nombre d'appels que le central peut trater en mme temps. On veut avoir

P[S5000 > N ] 6 0.025, i.e. P[S5000 6 N ] > 1 0.025.Or,

P[S5000 6 N ] = P[S5000 5000 0.020.02 0.985000 6

N 5000 0.020.02 0.985000

].

De plus, d'aprs le thorme central limite,

SnnE[X1]V ar(X1)

n

L N (0, 1). Alors, si Y est deloi normale centre rduite, on a

P[S5000 6 N ] ' P[Y 6 N 5000 0.02

0.02 0.985000

].

En utilisant la table de la loi normale centre rduite, on trouve : FY (1.96) = 0.975.Comme la fonction de rpartition est croissante, on va prendre N gal au plus petitentier tel que

N 5000 0.020.02 0.985000 > 1.96.Aprs calculs, on trouve que le central doit pouvoir traiter 120 appels en mme temps.

Exercice 8 :

Soit (Xn) une suite de v.a.i.i.d. de loi exponentielle de paramtre 1/30. On a alors :E[Xn] = 30 et V ar(Xn) = 900. Xn reprsente le temps (en minutes) qui spare lepassage de la (n 1)-ime voiture de la n-ime voiture. On considre ensuite Sn =X1 + . . .+Xn. Sn donne l'instant de passage de la n-ime voiture. On veut dterminerP[S50 6 24 60]. On a

P[S50 6 24 60] = P[S50 50 303050 6

24 60 50 303050

]' F

( 2

50

)o F est la fonction de rpartition de la loi normale centre rduite, l'approximation

tant donne par le TCL. De plus, F( 2

50

)' F (0.283) = 1F (0.283) par symtriede la gaussienne. D'aprs la table, F (0.283) = 0.61. On a donc P[S50 6 24 60] ' 0.39.

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