Correction détaillée avec résumé du cours · 2020-03-01 · 15% * 10,7658 0,8416 2,5151 0,1171...
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Page 1 Correction détaillée avec résumé du cours – Rattrapage Mars 2017 Soit les 3 titres A, B et C dont les rendements sont définis par : % 85 , 15 ) ( % 5 , 11 ) ( % 5 , 7 ) ( ) ~ ( C B A R E R E R E R E ; Les coefficients de corrélation entre les 3 titres A, B et C : ; ; ; L’écart-type (le risque) des 3 titres A, B et C : % 16 A ; % 27 B ; % 3 C Il est alors possible de calculer sur la base de ces informations la matrice des variances-covariances suivante : ainsi : les covariances entre les 3 titres A, B et C sont calculés comme suit : ; ; La matrice des variance-covariance : % 2500 , 12 % 8195 , 4 % 7840 , 0 % 8195 , 4 % 2900 , 7 % 3392 , 1 % 7840 , 0 % 3392 , 1 % 5600 , 2 2 , , , 2 , , , 2 C B C A C C B B A B C A B A A La matrice inverse est alors la suivante (Voir l’énoncé) : 0383 , 11 3864 , 7 4835 , 0 3864 , 7 1185 , 20 2624 , 8 4835 , 0 2624 , 8 43,2367 1 et la matrice unité 1 1 1 U Rappel du cours : Détermination de l’équation de la frontière d’efficience de portfeuilles de titres risqués Un titre i est parfaitement défini par l’espérance de sa rentabilité ) ~ ( i R E et son risque mesuré par l’écart-type de sa rentabilité ) ~ var( i i R Si on considère N titres, la matrice des variances et des covariances est une matrice diagonale d’ordre N et notée comme suit : 2 , colonnes) N lignes; (N 2 1 , , 2 1 , , 2 2 2 1 , 2 , 1 2 , 1 2 1 ) ~ var( et ) ~ , ~ ( où ......... ........ i i j i j i N N N i i i N N R R R Cov La matrice inverse . est une matrice composée par N lignes et N colonnes ) 1 ; ( 1 ) ( .... ) ( ) ~ ( colonne lignes N N R E R E R E és rentabilit Les et la matrice unité ) 1 ; ( 1 1 1 colonne lignes N U
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Correction détaillée avec résumé du cours – Rattrapage Mars 2017
Soit les 3 titres A, B et C dont les rendements sont définis par :
%85,15)(
%5,11)(
%5,7)(
)~
(
C
B
A
RE
RE
RE
RE ;
Les coefficients de corrélation entre les 3 titres A, B et C : ; ; ;
L’écart-type (le risque) des 3 titres A, B et C : %16A ; %27B ; %3C
Il est alors possible de calculer sur la base de ces informations la matrice des variances-covariances suivante : ainsi : les covariances entre les 3 titres A, B et C sont calculés comme suit :
;
;
La matrice des variance-covariance :
%2500,12%8195,4%7840,0
%8195,4%2900,7%3392,1
%7840,0%3392,1%5600,2
2
,,
,
2
,
,,
2
CBCAC
CBBAB
CABAA
La matrice inverse est alors la suivante (Voir l’énoncé) :
0383,113864,74835,0
3864,71185,202624,8
4835,02624,843,23671
et la matrice unité
1
1
1
U
Rappel du cours : Détermination de l’équation de la frontière d’efficience de portfeuilles de titres risqués
Un titre i est parfaitement défini par l’espérance de sa rentabilité )~
( iRE et son risque mesuré par l’écart-type de sa rentabilité
)~
var( ii R
Si on considère N titres, la matrice des variances et des covariances est une matrice diagonale d’ordre N et notée comme suit :
2
,
colonnes) Nlignes; (N
2
1,
,
2
1,
,2
2
21,2
,12,1
2
1
)~
var(et )~
,~
(où
.........
........
iijiji
NN
Niii
N
N
RRRCov
La matrice inverse .
est une matrice composée par N lignes et N colonnes
) 1 ; (
1
)(
....
)(
)~
(
colonnelignesNNRE
RE
REésrentabilitLes
et la matrice unité
) 1 ; (1
1
1
colonnelignesN
U
Page 2
Un portefeuille P composé de N titres risqués est caractérisé par :
- Le vecteur colonne des proportions xi investie dans les titres est donnée par :
N
1
i
colonne)(Nlignes;1
1
1x avec
x
x
x
X
N
i,
- L’espérance de sa rentabilité E(RP)=
)(
.......
)(
)(
*......)(.)(2
1
21
N
N
T
P
RE
RE
RE
xxxREXRE .
- La variance de sa rentabilité :
-
XX T
P ..2 = Nxxx ......21 .
N
i
NN
i
N
N
x
x
x
.....*
.........
........1
2
1,
2
,2
2
21,2
,12,1
2
1
.
-
L’ensemble des portefeuilles efficients de titres risqués dans un repère )(; PP RE est représenté comme
suit :
L’équation de la frontière de portefeuille efficient d’actifs risqués est la suivante : 2
210
2 ))(.()(..2 PPP REaREaa
D
CRE
D
BRE
D
AaREaREa PPPPP )(.
*2))(.()(..2))(.( 2
01
2
2
2
22
2
201
2
2
2 )(.*2
))(.()(..2))(.(BAC
CRE
BAC
BRE
BAC
AaREaREa PPPPP
Les constantes A, B, C et D sont calculés comme suit :
{
.
.
.
}
{
}
L’équation de la frontière d’efficience :
σP
Page 3
La matrice des constantes A,B,C et D peut-être notée comme suit :
AB
BCH et D = AC-B2
La matrice des coefficients peut-être notée
01
12
aa
aaa et calculée comme suit :
CB
BA
D
D
C
D
BD
B
D
A
aa
aaa .
1
01
12
Ainsi la matrice des coefficients a est l’inverse de la matrice des constantes H : Application au cas : Détermination de l’équation de la frontière d’efficience
1
1
1
U
%85,15)(
%5,11)(
%5,7)(
)~
(
C
B
A
RE
RE
RE
RRE
%2500,12%8195,4%7840,0
%8195,4%2900,7%3392,1
%7840,0%3392,1%5600,2
0 3 8 3,113864,74835,0
3864,71185,202624,8
4835,02624,843,23671
{
.
.
.
}
. ( )
0383,113864,74835,0
3864,71185,202624,8
4835,02624,843,2367
( )
. ( )
0383,113864,74835,0
3864,71185,202624,8
4835,02624,843,2367 ( )
. ( )
0383,113864,74835,0
3864,71185,202624,8
4835,02624,843,2367
( ) ( ) (
)
. ( )
0383,113864,74835,0
3864,71185,202624,8
4835,02624,843,2367 ( )
( ) ( )
. ( )
0383,113864,74835,0
3864,71185,202624,8
4835,02624,843,2367 (
)
( ) (
)
( ) ( )
Page 4
{
.
.
.
}
{
}
La matrice des constantes A,B,C et D peut-être notée comme suit :
0629,448288,3
8288,33863,0
AB
BCH et D =2,36075
La matrice des coefficients peut-être notée
11
12
aa
aaa et calculée comme suit :
1636,06219,1
6219,16648,18
3863,08288,3
8288,30629,44.
36075,2
1.
1
01
12
CB
BA
D
D
C
D
BD
B
D
A
aa
aaa
Ainsi la matrice des coefficients a est l’inverse de la matrice des constantes H :
D
CRE
D
BRE
D
AaREaREa PPPPP )(.
*2))(.()(..2))(.( 2
01
2
2
2
1636,0)(.2437,3))(.(6648,18)(..2))(.( 2
01
2
2
2 PPPPP REREaREaREa
C’est l’ensemble des portefeuilles efficients composés par les 3 actifs risqués A, B et C.
L’ensemble des portefeuilles efficients de titres risqués (les titres A,B et C) dans un repère )(; PP RE est
représenté comme suit :
L’équation de la frontière d’efficience :
σP
Page 5
Suite du rappel du cours : Détermination de la compostion d’un portefeuille P de titres risqués appartenant à la
frontière d’efficience
L’ensemble des portefeuilles efficients de titres risqués dans un repère )(; PP RE est représenté comme suit :
2
210
2 ))(.()(..2 PPP REaREaa
La composition (les xi) d’un portefeuille constitué par N actifs risqués appartenant à cette frontière est donnée par la
formule suivante : La détermination de la matrice des proportions X d’un portefeuille P suppose que l’espérance de
ce portefeuille est connue :
Soit :
- la rentabilité d’un portefeuille de titres risqués E(RP) connu ;
- la matrice inverse des variances covariance connu : .
(une matrice lignes, N colonnes)
- les coefficients de l’équation de la frontière d’efficience de titres risqués connu
2
210
2 ))(.()(..2 PPP REaREaa
La matrice des coeficients peut-être designé comme suit : )2;2(01
12
colonneslignesaa
aaa
Et La matrice des constantes A,B,C et D peut-être notée comme suit :
AB
BCH et D = AC-B2
- La matrice des rentabilités des titres risqués connu :
) 1 ; (
1
)(
....
)(
)~
(
colonnelignesNNRE
RE
REésrentabilitLes
- La matrice :
) 1 ; (1
1
1
colonnelignesN
U
-
) 2 ; (
1
1
1
1
)(
....
)(
);~
( atricce a
colonneslignesNNRE
RE
UREmL
) 1 ; 2(
1
)(1);
~( atricce la
colonnelignes
P
P
REREmet
La composition
Nx
x
X ....
1
du portefeuille P ayant une rentabilité E(RP) connu est donné par l’équation suivante :
)1,2()2,2()2,(
1
),()1,( 1);~
(**);~
(* PNNNN REaUREX
1
)(**
1)(
1)(
1)(
.* 01
12
1
1
1
P
N
i
N
iP
RE
aa
aa
RE
RE
RE
x
x
x
Xncompositiola
Page 6
Application au cas1 :
)1;3(1
1
1
colonnelignes
U
)2,3(colonne)(3lignes;11%85,15
1%5,11
1%5,7
UE(R); : matrice la
%85,15)(
%5,11)(
%5,7)(
)~
(
C
B
A
RE
RE
RE
RRE
)3;3(
1
0383,113864,74835,0
3864,71185,202624,8
4835,02624,843,2367
{
.
.
.
}
{
}
La matrice des constantes A,B,C et D peut-être notée H comme suit :
)2;2(0629,448288,3
8288,33863,0
AB
BCH et D =2,36075
La matrice des coefficients peut-être notée :
1636,06219,1
6219,16648,18
)2;2(01
12
aa
aaa avec
L’équation de la frontière de portefeuilles efficients est donnée par :
1636,0)(.2437,3))(.(6648,18)(..2))(.( 2
01
2
2
2 PPPPP REREaREaREa
Sachant un portefeuille P ayant une rentabilité espéré E(RP)=15% on a : )1;2(
P1
%15);1E(R : matrice la
P est un portefeuille composé par les trois actifs risqués A, B et C et appartenant à la frontière d’efficience a une
composition X calculée comme suit
)1,2()2,2()2,3(
1
)3,3()1,3( 1);~
(**);~
(* PREaUREX
)1;2()2;2(01
12
)2;3(3
2
1
1
)3;3(
3
2
1
1
)(**
1)(
1)(
1)(
.*
P
P
RE
aa
aa
RE
RE
RE
x
x
x
Xncompositiola
1 Cette question n’a pas été posée dans l’examen de la session de Mars 2017. La rentabilité de 15% proposée est arbitraire.
Page 7
1
%15*
1636,06219,1
6219,16648,18*
1%85,15
1%5,11
1%5,7
.*
0383,113864,74835,0
3864,71185,202624,8
4835,02624,843,2367
C
B
A
P
x
x
x
Xncompositiola
1354,49363,0
4697,45232,0
4578,353691,2
.
1
%15*
1636,06219,1
6219,16648,18*
1354,49363,0
4697,45232,0
4578,353691,2
C
B
A
P
x
x
x
Xncompositiola
%32,77
%02,26
%34,3
1
%15*
8416,07658,10
1171,05151,2
9587,12808,13
C
B
A
P
x
x
x
Xncompositiola
Afin de calculer la variance de ce portefeuille P deux méthodes sont possibles :
- Méthode 1 : L’équation de la frontière en rempaçant dans l’équation E(RP) par 15% :
%699,91636,0%15*.2437,3%)15.(6648,181636,0)(.2437,3))(.(6648,18 222 PPP RERE
- Méthode 2 : calculer la variance en utilisant les formules habituelles :
%699,9
%32,77
%02,26
%34,3
*
%2500,12%8195,4%7840,0
%8195,4%2900,7%3392,1
%7840,0%3392,1%5600,2
*.%32,77%02,26%34,3..2
XX T
P
Suite du rappel du cours : Détermination des caractéristiques portefeuille P de titres risqués à variance minimale
L’ensemble des portefeuilles efficients de titres risqués dans un repère )(; PP RE est représenté comme suit :
L’équation de la frontière de portefeuille efficient d’actifs risqués est la suivante : 2
210
2 ))(.()(..2 PPP REaREaa
D
CRE
D
BRE
D
AaREaREa PPPPP )(.
*2))(.()(..2))(.( 2
01
2
2
2
Avec : Les constantes A, B, C et D sont calculés comme suit :
{
.
.
.
}
{
}
Page 8
L’espérance du portefeuille à variance minimale est obtenue comme suit : 0)(
2
P
P
RE
2
210
2 ))(.()(..2 PPP REaREaa
A
B
DA
DB
a
aREaREa
REPP
P
P
2
1min12
2
)(où d' 0.2)(..2)(
Ce portefeuille appartient la courbe et sa variance : A
REaREaa PPP
1))(.()(..2 2
min2min10
2
min
Les proportions xi du portefeuille à variance minimale sont obtenues comme suit :
.
Résumé : les caractéristiques du portfeuille de titres risqués à variance minimale2
( )
( )
.
2 Sachant les proportions Xmin du portefeuille à variance minimale, il est possible d’obtenir l’espérance et la variance en
appliquant les formules habituelles de calcul )(.)( REXRE T
P XX T
P ..2
L’équation de la frontière d’efficience :
σP
Pmin
𝜎⬚(𝑅𝑃𝑚𝑖𝑛)
Page 9
Question 1 : a- le portefeuille du marché M
Tous les investisseurs sur le marché choisiront le portefeuille M de titres risqués placé sur la tangente entre la
frontière efficiente de titres risqués et la droite passant par Rf, c’est le portefeuille du marché.
Les caractéristiques de ce portefeuille M :
Les proportions :
(
.
( )
) . ( ) (
) [ .
( )]
[ . ( )]
0383,113864,74835,0
3864,71185,202624,8
4835,02624,843,2367 (
) (
)
[ . ( )] ( ) (
) ( )
( )
[ . ( )] ( )
( ) (
.
( )
) . ( ) (
) (
) (
)
L’espérance du portfeuille M :
Méthode 1 : ( ) .
( )
.
( )
[ . ( )]
( )
[ . ( )] ( ) (
)
( )
Rf
E(RP)
La frontière d’efficience de portefeuilles d’actifs risqués
La CML :
M
σP
σM
E(RM)
Page 10
( )
Méthode 2 : ( )
Méthode 3 : ( )
Méthode 4 :
(
) ;
%85,15
%5,11
%5,7
)~
(RE
%5,12
%85,15
%5,11
%5,7
.%4466,50%7366,19%8169,29)(.)(
REXRE T
M
%5,12%85,15*%4466,50%5,11*7366,19%5,7*%8169,29)(.)(3
1
i
iiM RExRE
La variance du portefeuille M :
Méthode 1 :
( ) .
( )
[ .
( )]
[ . ( )] (
) [ . ( )]
( ) ( )
.
( ) ( ) (
)
( ) .
( )
[ . ( )]
( )
Méthode 2 :
XX T
P ..2
%98,4
50,4466%
19,7366%
29,8169%
..
%2500,12%8195,4%7840,0
%8195,4%2900,7%3392,1
%7840,0%3392,1%5600,2
.%4466,50%7366,19%8169,292
M
%98,4.....2.2...2... ,,,
2222222 CBCBCACABABACCBBAAP xxxxxxxxx
Question 1 : b- DMC
L’équation de la droite CML :
p
M
fM
fp
RRERRE
,
M
fM RRE
droite la de pente la
Les portefeuilles appartenant à cette droite, la CML, sont efficients et sont composés par :
(1) Une proportion xM est investie dans le portefeuille de marché M;
(2) Une proportion xf dans l’actif sans risque.
La rentabilité des portefeuilles de la CML : 1 avec .~
.~
fMffMMP xxRxRxR
Page 11
La rentabilité espérée d’un portefeuille P efficient appartenant à la CML : ffMMP RxRExRE .)
~(.)
~(
Le risque d’un portefeuille P appartenant à la CML : MMP x .
L’équation de la droite CML : pppRE .3137,0%5.
%98,4
%5,5%5,12%5
, 3137,0 droite la de pente la
risque 19% 21% 23% 25% 27% 29% 31% 33% 35% 37%
rentabilité 11,46% 12,09% 12,72% 13,34% 13,97% 14,60% 15,22% 15,85% 16,48% 17,11%
Les courbes d’indifférence :
)481,13()(.25,7))(.(12 2 kRERE PPP
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
30,00%
35,00%
40,00%
0% 20% 40% 60% 80% 100% 120%
Rf=5,5%
E(RP)
La frontière d’efficience de portefeuilles d’actifs risqués
La CML :
M
σP
σM=22,32%
E(RM)=12,5%
Page 12
La courbe d’indifférence tangente à la CML est tel que k =14 ; )14481,13()(.25,7))(.(12 2 PPP RERE
Le portefeuille optimal est celui qui maximise l’utilité de l’investisseur. Il est tangent à la frontière de portefeuilles
efficients (la droite CML) et appartient à l’une des courbes d’indifférence. Il vérifie alors les deux équations
suivantes :
{)14481,13()(.25,7))(.(12 2 PPP RERE
PPRE .3137,0%5)(
{
25,7)(.24
)(
P
P
P RERE
31877,3)(
P
P
RE
31877,325,7)(.24 PRE
%38,16)( PRE
0,00%
5,00%
10,00%
15,00%
20,00%
25,00%
30,00%
35,00%
40,00%
-40% -20% 0% 20% 40% 60% 80% 100% 120%
CML
k=13.9
K=14
k=14.1
