CONVERSION ELECTROMECANIQUE : CALCULS DE FORCES ET

DE COUPLE

Objectif de la leçon : étude de la conversion de l’énergie électrique

alimentant les circuits électriques (permettant de créer le champ magnétique

dans les machines) en énergie mécanique restituée par la machine au milieu

extérieur (dans un fonctionnement moteur)

Réversibilité du fonctionnement on peut fournir de l’énergie

mécanique à la machine pour la convertir en énergie électrique

redistribuée au réseau : fonctionnement en génératrice ou alternateur

Approche choisie calcul des forces et moments de force par la loi de

Laplace décrivant l’interaction d’un circuit électrique parcouru par un

courant avec un champ magnétique extérieur

Pourquoi ?

Rôle du fer constituant stator et rotor de la machine pas pris en compte

Or conducteurs de cuivre parcourus par les courants sont en général bobinés

dans des encoches réalisées dans le fer du rotor et du stator

Matériau ferromagnétique :

lignes de champ canalisées

champ réel au niveau du conducteur en cuivre très faible

modèle de calcul avec les forces de Laplace incorrect (mais résultats

trouvés identiques à ceux d’un modèle avec les force de Laplace qui

supposerait les conducteurs en cuivre bobinés dans l’entrefer, donc dans

l’air).

calcul des forces effectué à partir d’une étude énergétique du système

Avantage de cette approche = meilleure description du système réel + mise

en avant du rôle essentiel joué par le circuit magnétique des machines

Introduction :

Moulin de Montbrun Lauragais XVIIe Moulin à papier de la Fontaine

du Vaucluse XVI e

Création d’énergie mécanique :

Jusqu'à l'avènement de la machine à vapeur à la fin du XIX

esiècle :

force musculaire de l’homme et des animaux de trait

énergie naturelle de l'eau et du vent ( premiers moulins à eau VIe siècle

et à vent XIe siècle en Europe)

mais ressources très partiellement exploitées car énergie intransportable

sur plus de quelques mètres

A partir du XIX esiècle :

Machine à vapeur = source d'énergie mécanique sur le lieu du besoin

(machines agricoles,locomotives)

1800 : Alessandro Volta , physicien italien crée la pile électrique

1828 : ancêtre de la machine tournante = roue de Barlow, roue à dents

alimentée en courant continu baignant dans un champ magnétique, dont

la partie basse est en contact avec un bain de mercure

1869 : Zénobe Gramme invente le collecteur et réalise un modèle

d'alternateur

Alessandro Volta Peter Barlow Zénobe Gramme

(1745-1827) (1776-1862) (1826-1901)

1882 : brevet d'un générateur secondaire (ancêtre du transformateur) par

Lucien Gaulard et John Dixon Gibbs

1884 : première transmission électrique en courant alternatif entre

l'exposition de Turin et la gare de Lanzo, distante de 37 km (Lucien

Gaulard) = naissance du transport de l'énergie électrique

1886 : construction par Galileo Ferraris et Nikola Tesla du moteur

industriel à induction (asynchrone sous la dénomination actuelle)

1892 : étude du couplage des alternateurs par Paul Boucherot et André

Blondel Principes et réalisations de base achevés, mais très peu exploitées car

les territoires n'étaient que très imparfaitement couverts par plusieurs

réseaux électriques non connectés

GalileoFerraris Nikola Tesla André Blondel

(1847-1897) (1856-1943) (1863-1938)

XX esiècle :

Avril 1946 : En France, création d'EDF = nationalisation des réseaux et

des usines génératrices

1955 : couverture complète du territoire par un ensemble de lignes

interconnectées

Energie électrique nécessaire au fonctionnement de ses machines

disponible en tout point du monde industriel, rendant son utilisation

souple et facile

XXI

esiècle :

Consommation des machines électriques = la moitié de l'énergie électrique

produite dans le monde

Utilisation chez le particulier comme dans le monde industriel avec une

puissance variant de quelques fractions de watt (actionneurs en robotique) à

plusieurs centaines de megawatts (alternateur de centrale nucléaire)

MCC robotique Salle des machines centrale de

Flamanville

Moteurs branchés

Soit directement sur le réseau électrique

Soit souvent associés à des convertisseurs électroniques permettant un

réglage facile de leur vitesse de rotation

Avantages par rapport aux moteurs thermiques :

Conversion électromécanique réalisée avec un excellent rendement

Non polluants

mais on ne peut pas en dire de même de la production d'électricité !

Secteur du transport :

Traction ferroviaire

Propulsion navale, traditionnellement dédiée aux moteurs diesel

Nouvelle technologie = utilisation des moteurs électriques alimentés par un

alternateur, lui même entraîné par un moteur diesel

Avantages :

*Augmentation du couple au démarrage (facilite les manoeuvres à faible

vitesse)

*Amélioration du confort des passagers par une baisse du bruit et des

vibrations de la structure

Automobile :

A la traîne ! Mais montée du prix du pétrole développement de nouvelles

technologies comme les voitures hybrides associant moteur thermique et

moteur électriques

I. BILAN ENERGETIQUE :

1) Manipulation introductive : contacteur électromagnétique (ou

aimant de levage)

Réalisation d’un circuit magnétique :

Noyau de fer doux en forme de U placé à l’intérieur d’une bobine :

N = 500 spires

parcourue par i(t) sinusoïdal de fréquence 50 Hz, de valeur efficace

Ieff sous une tension de quelques dizaines de volts.

Circuit magnétique fermé par un contact avec un barreau de fer doux

rectiligne de même section que le noyau en U

masse du barreau m 2 kg.

Observations :

Vibration

Analyse spectrale fréquence fondamentale =100 Hz

Barreau soumis à une force F qui le plaque contre le noyau

Mesure : pour Ieff = 60 mA, F>mg

Fig 1 : manipulation introductive

Origine de la force s’exerçant sur le barreau ?

Bobine traversée par un champ magnétique proportionnel à son courant

d’alimentation, canalisé par le noyau de fer doux

création d’une aimantation dans le barreau = ensemble de petits dipôles

magnétiques subissant par interaction avec le champ des actions mécaniques

provoquant le mouvement du barreau

Analyse directe de l’interaction dipôles /champ extérieur difficile à

mener

méthode énergétique pour déterminer la force s’exerçant sur le barreau

Doublement de fréquence F =k i

2(t)

2) Formes d’état et de transfert d’énergie :

Deux formes d’énergie déjà rencontrées en thermodynamique :

Formes stockables définies par des fonctions d’état

Energies contenues ou stockées dans le système (y compris dans le

vide pour certaines)

Ex : énergie interne U, mécanique Em, totale E, chimique (G ou H),

nucléaire, atomique (toutes contenues dans la matière)

Energie électrostatique, énergie magnétique stockées dans la matière ou

dans le vide

Pour toutes ces énergies : E(B)-E(A) indépendante du chemin suivi de A à

B

notation ΔE = E(B)-E(A) sensée

Formes de transfert = formes que prend l’énergie lors d’un échange

du système avec le milieu extérieur ( d’où évolution possible des

fonctions d’état qui le caractérisent)

Ex : chaleur ou transfert thermique δQ (rayonnement, conduction,

convection), travail δW (forces électriques, forces de pression).

Formes d’énergie non stockables

ΔW ou ΔQ n’ont aucun sens !!!

δQ = petite quantité de transfert thermique mais variation de fonction

d’état

3) Bilans d’énergies pour la conversion électromécanique :

Retour sur la manipulation introductive :

Fig 2 : modélisation des échanges dans un convertisseur électromécanique

Système étudié = circuit magnétique + bobine + entrefer représenté en

rouge

Reçoit δWélec représenté en vert

Fournit δWméca et δQ (effet Joule) représentés en bleu

Force exercée par le noyau en U sur le barreau = force interne

Eventuelle force externe représentée par

De façon générale pour une conversion électromécanique :

Même schéma décrivant les échanges d’énergie

En fonctionnement moteur, le système

reçoit un travail électrique δWélec d’un générateur

stocke une partie de l’énergie sous forme interne dU ou mécanique

dEm ou électromagnétique dεem

donne à la charge un travail mécanique δWméca

donne au milieu extérieur une chaleur δQ

Evaluation de chacun de ces termes nécessaire pour une utilisation dans la

description des liens entre eux (bilans énergétiques)

i crée dans le système en mouvement induction de Lorentz.

Hypothèses :

x

u(t) i(t)

(circuit d’alimentation de la

bobine )

Circuit magnétique

Entrefer

Mouvement du

barreau

système δWélec δWméca

δQ

Stockage

U+Ep+ Ecin+εem Bobine

générateur charge

Système fonctionnant en moteur

Système alimenté par un seul circuit électrique

Pertes autres que par effet Joule (pertes mécaniques, pertes fer)

négligées

Pour l’échange avec le circuit électrique d’alimentation :

Loi des mailles

(1)

Pour l’échange mécanique avec la charge :

( translation) < 0

(rotation) < 0

Fr (Cr) = force (couple) extérieurs résistant au mouvement (Fop dans

l’exemple précédent)

Bilan d’énergie totale au système :

En remplaçant (1) :

(translation) (2)

(rotation) (2)

Ri2 dt =effet Joule

Deux modèles limites :

Soit U = cte (T = cte) Ri2 dt=- : le système évacue la chaleur

( ) vers le milieu extérieur

Soit système calorifugé =0 et dU = . : le système

s’échauffe

Dans les deux cas en réécrivant (2) :

( translation) (3)

( rotation) (3)

Théorème de l’énergie mécanique appliqué à la pièce en mouvement :

(puissance des forces ne dérivant pas d’une énergie potentielle)

(translation)

(rotation)

En remplaçant dans (3) :

(translation) (4)

(rotation) (4)

Energie électromagnétique apparaît donc comme une fonction de deux

variables :

II. CALCUL DE FORCE OU DE COUPLE

ELECTROMAGNETIQUES :

1) Lien entre énergie électromagnétique et force (ou couple) :

Différentielle de f(x,y) :

Système en translation : (Ф,x)

Par identification avec les expressions (4) :

et

Système en rotation : (Ф,θ) :

Par identification avec les expressions (4) :

et

On retient donc :

Méthode de calcul du couple ou la force électromagnétique :

Evaluation de l’énergie électromagnétique

Dérivation partielle par rapport à θ ou x en maintenant Ф constant

Méthodes de calcul de :

soit expression directe en fonction des inductances propres et

mutuelles des circuits

soit intégration de la densité d’énergie électromagnétique

Exemple du contacteur :

L est fonction de la valeur de l’entrefer (position de la barre) c'est-à-dire de

la géométrie du circuit magnétique

Calcul de Fem :

d’abord élimination de i pour faire apparaître Ф (puisque la dérivation

doit s’effectuer à Ф constant)

puis dérivation par rapport à i à Ф constant

Ф = Li i = Ф/L

proportionnelle à i2 vibration de fréquence 100 Hz pour une

intensité de 50 Hz

Calcul équivalent à

Plus facile (i plus simple à appréhender que Ф et intervient naturellement

dans les calculs menés)

Dans le cas d’un circuit magnétique linéaire, non saturé, Ф proportionnel à i

dériver à Ф constant revient à dériver à i constant donc

Interprétation géométrique :

Fig 3 interprétation géométrique de l’énergie

2) Application aux systèmes à un seul circuit d’alimentation :

a) Système en translation : contacteur électromagnétique, électroaimant,

soupape électromagnétique

Similitude entre le système de contacteur évoqué dans la manipulation

introductive et :

la soupape électromagnétique

l’électroaimant de levage

Ф

i

x0

Ф

i

x0

Cas général

Circuit non saturé

Fig 4 Soupape électromagnétique

Circuit d’alimentation : N spires alimentées par un courant i(t)

sinusoïdal de fréquence 500 Hz

µr = perméabilité relative du fer (circuit magnétique)

S = section du circuit magnétique (constante car la largeur e de

l’entrefer reste faible

l =longueur moyenne du circuit magnétique

1) Déterminer l’expression de l’inductance propre du circuit.

2) Calculer la force magnétique exercée par l’électroaimant sur la partie

mobile et commenter son expression.

3) AN pour le contacteur de la manip introductive :

S = 20 cm2, l = 50 cm, Ieff = 60 mA, N = 500, m = 2 kg, e = 1mm

Evaluer l’ordre de grandeur de µr et commenter.

4) Evaluer l’énergie contenue dans le fer, dans l’entrefer et montrer que

l’essentiel de l’énergie est stockée dans l’entrefer, malgré ses faibles

dimensions. Retrouvez par cette méthode la valeur de l’inductance L du

circuit.

Ressort

bas

Electro-

aimant bas

Electro-

aimant haut i

x

e

Plateau

solidaire

de la tige

Ressort

haut

Solution :

1) Théorème d’Ampère sur le contour

dessiné en rouge :

soit

(1)

Conservation du flux de :

Comme Sair = Sfer = S, donc (1)

devient :

ainsi

2)

car on suppose le circuit magnétique non saturé

Si x (position de la partie mobile) augmente, e diminue : de = -dx. Donc

Force positive suivant x (donc attractive) quel que soit le signe de i, puisque

proportionnelle à i2 (d’où le doublement de fréquence dans l’analyse des

vibrations)

Force maximale pour e minimal égal à zéro

Fig 4 Soupape électromagnétique

Fig 5 contour d’Ampère

En moyenne temporelle :

2) Quand la force compense le poids du barreau pour e = 0 :

donc

bon ordre de grandeur

Il serait illusoire de vouloir une précision plus grande car notre modèle a

négligé de nombreux défauts (milieu non linéaire, pertes fer, fuite de

champ).

3) Evaluer des énergies stockées dans le fer et l’entrefer par intégration

sur le volume de la densité d’énergie électromagnétique :

De la même façon :

AN avec e << l=50 cm on a pour la moyenne temporelle :

Energie électromagnétique essentiellement stockée dans l’entrefer

Par identification, on retrouve bien :

qui est l’expression obtenue par la méthode de calcul du flux total de à

travers les N spires du circuit électrique.

b) Système en rotation : machine à reluctance variable

Système = Convertisseur rotatif de la figure 6 avec :

1) Justifier succinctement

l’expression de l’inductance. 2) Déterminer l’expression du

couple instantané.

Quelle(s) condition(s) faut il

respecter pour que celui-ci ait une

valeur moyenne non nulle ? En

supposant cette condition

respectée, que devient

l’expression du couple ?

.

=0° =90° =30°

Figure 7 :tracé des lignes de champ pour diverses positions du rotor

Solution :

1) Exemple précédent inductance = fonction décroissante de la longueur de

l’entrefer

Système rotatif longueur de l’entrefer fonction de la position du rotor,

donc de l’angle θ

Examen des lignes de champ (figure 7) longueur de l’entrefer périodique

de période π (1/2 tour du rotor), maximale pour θ = π/2, nulle pour θ=0

Limitation du développement de la fonction L(θ) à son

Figure 6 : Convertisseur

rotatif

fondamental ondulation autour de la valeur moyenne (Lmax + Lmin)/2, de

période π soit :

2)

et

donc

En notant (on suppose qu’on choisit l’origine des temps quand le

rotor est aligné avec le noyau) on peut réécrire :

en régime permanent la machine ne peut développer un couple

que si le rotor tourne à la vitesse de synchronisme : .

3) Application aux systèmes à deux circuits d’alimentation :

Energie magnétique emmagasinée dans 2 circuits couplés :

(en supposant les circuits non saturés, donc les flux proportionnels aux

courants qui les produisent)

Figure 8 : Convertisseur à deux

circuits couplés

Illustration dans le cas de

circuits couplés, l’un porté par

le rotor (indice r) et l’autre

porté par le stator (indice s)

où :

Lr : inductance propre du rotor

Ls : inductance propre du stator

M : mutuelle inductance stator rotor

Expression du couple obtenue en dérivant en fonction de θ en laissant

les courants constants

mise en évidence des différents types de couple que l’on peut rencontrer

dans les convertisseurs électromécaniques

e1 : Couple de mutuelle

= couple dû au couplage

entre les deux enroulements =

couple de mutuelle ou couple dû

à l’interaction entre les deux

champs

Existe seul si les inductances

propres rotorique et statorique

sont indépendantes de la

position rotor stator (Cas d’une

machine à entrefer constant à

condition de négliger les

phénomènes d’encoches)

Figure 9 : Machine à entrefer

constant

ir

is

Axe stator

is Axe rotor

ir

e2 Couple de réluctance

(statorique)

= couple de réluctance

dû à l’anisotropie du rotor

Existe seul si le rotor est

dépourvu de bobinage ou

d’aimant permanent

Figure 10 : Machine à

reluctance, anisotropie du rotor

e3 Couple de réluctance

(rotorique)

= couple de réluctance

dû à l’anisotropie du stator (les

encoches par exemple)

Existe seul si le stator est non

alimenté

Type de couple rencontré dans

le cas de certains moteurs pas à

pas, le champ rotorique étant

créé à partir d’aimants

Figure 11 : Exemple

d’anisotropie du stator

Positions instables d’équilibre dues à ce couple dénommé couple de détente

mises en évidence en entraînant à la « main « le rotor, le stator étant non

alimenté

Remarque. Sauf cas particulier (comme le moteur pas à pas), couple

indésirable car entraîne des oscillations on cherche à le minimiser (on

incline les encoches d’un pas dentaire pour en moyenne éliminer

l’anisotropie statorique)

Cela permet de faire une classification des machines tournantes industrielles.

Seuls les couples de reluctance statorique et de mutuelle sont utilisés dans

ces machines :

is

N

S

couple de reluctance statorique e2 :

Fig 12 : Machine à réluctance

couple de mutuelle : e1 (machines synchrones, asynchrones, à

courant continu)

Fig 13 Machine à entrefer

constant bobinée

Fig 14 Machine à entrefer

constant à aimants permanents

couple de reluctance statorique e2 et de mutuelle e1: machines

hybrides:

Fig 15 Machine à pôles saillants

bobinée

Fig 16 Machine à pôles saillants

à aimants permanents

N

S

N

S

NS

N

S

N

S

NS

Exemples de machines réelles

Rotor de machine synchrone à pôles lisses

Bobinage statorique

Rotor de machine synchrone à

pôles saillants

Suite du cours = étude des machines synchrones et à courant continu, à pôles

lisses, bipolaires.