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Techniques géométriques et numériques pour le calculdes lieux conjugué et de coupure sur des surfaces

riemanniennes

Séminaires ponctuels : Contrôle – Optimisation – Transport

Olivier COTS

(Post-Doc INRIA Sophia Antipolis)

Dijon, le 2 avril 2013.

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INTRODUCTION : PLAN

• Les notations, définitions, objets et outils de base

- Métrique riemannienne, Hamiltonien associé

- Lieu de coupure

- Lieu conjugué

- Domaine d’injectivité (dans le cadre du Transport Optimal)

• Applications : calcul de la synthèse optimale

- ellipsoide de révolution

- ellipsoide général

- métrique sur S2 associée à la dynamique de spins

La majorité des résultats numériques sont pris de :

[·] B. Bonnard, O. Cots & L. Jassionnesse, Geometric and numerical techniques to compute conjugate and cutloci on Riemannian surfaces, to appear in INDAM Volume on meeting on Geometric Control and sub-RiemannianGeometry, Cortona, Italy, (2012). Pdf.

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CADRE : VARIÉTÉ RIEMANNIENNE ET CALCUL DES VARIATIONS

On considère une variété riemannienne de dimension n = 2 que l’on note (M,g).

Définition. Soit t 7→ x(t), [0,T ]→M, une courbe lisse sur M, sa longueur est

l(x) =∫ T

0L(x(t), x(t))dt, L(x(t), x(t)) :=

√gx(t)(x(t)).

Définition. Soient deux points x0 et xT de M, le problème de recherche des plus courtschemins consiste à chercher les courbes x : [0,T ]→M, qui vérifient x(0) = x0, x(T ) = xT etqui minimisent la longueur l(x).

•x0

•xT

M

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CADRE : EQUIVALENCE AVEC LE PROBLÈME DE L’ÉNERGIE

Définition. Soit x : [0,T ]→M, une courbe sur M, son énergie est

E(x) =12

∫ T

0L(x(t), x(t))2 dt.

Remarque 1. Les minimiseurs de L2, T fixé, coincident avec ceux de L parcourus àvitesse constante.

Remarque 2. Le problème de recherche des plus courts chemins est invariant par reparamétri-sation, on peut se contenter de chercher les courbes paramétrées à vitesse constante, parl’abscisse curviligne par exemple.

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CADRE : OBJECTIFS

Définition 1. Une géodésique est une courbe x : [0,T ]→ M telle que sur chaque intervalle[t1, t2]⊂ [0,T ] suffisamment petit, sa restriction est un minimiseur de L2.

Objectif : Calculer la synthèse optimale pour x0 fixé :- Calculer les géodésiques partant de x0 ;- Calculer les instants où les géodésiques cessent d’être minimisantes.

M

•x0

•••

•point à partir duquel la géodésique cesse d’être minimisante

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CADRE : LIEN AVEC LE CONTRÔLE OPTIMAL

Le problème de minimisation de l’énergie peut être formulé comme un problème de contrôleoptimal à temps final T fixé de la forme :

min 12∫ T

0 ∑ni=1 ui(t)2 dt Fonction coût

x(t) = ∑ni=1 ui(t)Fi(x(t)) Contraintes différentielles

x(0) = x0 Conditions initialesx(T ) = xT Conditions finales

où- le contrôle u(t) = (u1(t), · · · ,un(t)) ∈ Rn est l’inconnue du problème.- {Fi(x(t))} est une base orthonormée pour la métrique gx(t).

Remarque 3. Chaque courbe minimisante du problème de contrôle optimal est unegéodésique.

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CADRE : FORMULATION HAMILTONIENNE

• Le hamiltonien associé au problème variationnel précédent s’écrit :

H(z) =12

(n

∑i=1

Hi(z)2

), z = (x, p), Hi(z) = 〈p,Fi(x)〉.

• Le gradient symplectique associé est :

#—H (z) =

∂H∂ p

(x, p)∂

∂x− ∂H

∂x(x, p)

∂

∂ p

Définition 2. On note Π(x, p) = x. On définit l’application exponentielle expx0(t, p0) par :

R×H−1(x0, ·)({1/2}) −→ Rn

(t, p0) 7−→ expx0(t, p0) := Π◦ exp t

#—H (x0, p0) = x(t,x0, p0),

⇒ L’ensemble des géodésiques pour x0 fixé, donné par expx0, est :{

x(·,x0, p0) | p0 ∈ H−1(x0, ·)({1/2})}.

Les géodésiques paramétrées par l’abscisse curviligne sont sur le niveau H = 1/2.

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CADRE : SYNTHÈSE OPTIMALE→ FORMULATION HAMILTONIENNE

Calcul de lasynthèse optimale

Contrôle optimalCalcul desvariations

Formulationhamiltonienne

Formulationlagrangienne Transformation de Legendre

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CADRE : LIEU DE COUPURE, LIEU CONJUGUÉ

Définition 3. Un point de coupure est le premier point (s’il existe) le long d’une extrémalez = (x, p) tel que l’extrémale cesse d’être minimisante.

Définition 4. Un point conjugué est le premier point (s’il existe) le long d’une extrémale telque l’extrémale cesse d’être minimisante pour tout voisinage pour la topologie C1.

Proposition 1. Pour une métrique riemannienne complète, un point de coupure est soitun point conjugué, soit (cas générique) un point tel que deux courbes minimisantess’intersectent.

•

•x0

/

/

•

•x0

• point conjugué • intersection avec la même longueur

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CADRE : INSTANT CONJUGUÉ ET APPLICATION EXPONENTIELLE

Un temps conjugué t le long d’une extrémale est tel que (t, p0) est un point critique de expx0.

La valeur critique x(tconj,x0, p0) est le point conjugué associé, où tconj est le premier desinstants conjugués.

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CADRE : RÉSOLUTION NUMÉRIQUE

On utilise le code HAMPATHa qui est la suite du package COTCOT b.

• À partir du hamiltonien H(z) codé par l’utilisateur, HAMPATH :

- assemble#—H et son linéarisé d

#—H par différenciation automatique (tapenade),

- fournit la fonction exponentielle pour le calcul des géodésiques (dopri5 ),

- produit la différentielle de la fonction exponentielle pour le calcul des points conjugués,

- . . . (inclut d’autres possibilités pour la résolution de problèmes de contrôle optimal viales méthodes de tir et de continuation différentielle)

• C’est un noyau de calcul (intégration numérique, méthodes de Newton) en Fortran. Il utilisedes librairies efficaces telles que Minpack, Lapack, Blas, et est interfacé avec Matlab pourl’utilisation.

ahttp://cots.perso.math.cnrs.fr/hampathbhttp://apo.enseeiht.fr/cotcot/

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MOTIVATION

• Problème de géométrie important : Berger, A panoramic view of Riemannian geometry,Springer (2003).

• Lien avec la résolution de l’équation de Hamilton-Jacobi-Bellman en contrôle optimal.

• Application au problème de Monge en Tansport Optimal : la propriété de convexité dudomaine d’injectivité est liée à la propriété de continuité de l’application de transport deMonge T sur des surfaces (Figalli–Rifford–Villani [2012]).

Définition 5. Le domaine d’injectivité de x0 est défini selon

I(x0) = {t p0, t ∈ [0, tcut(x0, p0)] , H(x0, p0) = 1/2},

où tcut est l’instant de coupure.

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ÉTAT DE L’ART SUCCINCT

Peu de choses sont connues sur les lieux conjugué et de coupure sur des surfaces.

• Résultats de Poincaré-Myers sur une 2-sphère : dans le cas analytique, le lieude coupure est un arbre fini et les extrémités des branches sont des points cusps(i.e. singuliers) du lieu conjugué (1905, 1935).

• La conjecture de Jacobi sur l’ellipsoide : le lieu conjugué a 4 cusps (1842).

Des preuves très récentes :

• Le cas de l’ellipsoide de révolution (Sinclair–Tanaka [2006]) : sur une 2-sphère, si la cour-bure de Gauss est monotone du pôle nord à l’équateur alors le lieu de coupure d’un pointdifférent d’un pôle est un sous-arc du parallèle ou méridien antipodal.

• Le cas de l’ellipsoide général (Itoh–Kiyohara [2004]) : le lieu de coupured’un point non ombilique est un sous-arc de la ligne de courbure antipodale etle lieu conjugué a 4 cusps.

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PLAN

• ellipsoide de révolution (cas aplati et allongé) : intégrale première linéaire en le vecteuradjoint.

• ellipsoide général : intégrale première quadratique en le vecteur adjoint.

• métrique sur S2 associée à la dynamique de spins.

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ELLIPSOIDE DE RÉVOLUTION – CAS OBLAT : MÉTRIQUE

• Ellipsoide de révolution E autour de Oz : x2+ y2+ z2/ε2 = 1.

• Revêtement de E moins les pôles : x = sinϕ cosθ , y = sinϕ sinθ , z = ε cosϕ ,(θ ,ϕ) ∈ R×]0,π[.

• Équateur : ϕ = π/2.

•Métrique en (θ ,ϕ) : g = (cos2 ϕ + ε2 sin2ϕ)dϕ2+ sin2

ϕ dθ 2.

• Cas oblat (aplati) : ε < 1.

−1−0.5

00.5

1

−1

0

1

−0.5

0

0.5

xy

z

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CAS OBLAT : INTÉGRABILITÉ, SYMÉTRIES

• La métrique peut s’écrire sour la forme normale de Darboux : g = dϕ2+m(ϕ)dθ 2.

• Le hamiltonien est H = 12

(p2

ϕ +p2

θ

m(ϕ)

):

- pθ est une constante (Relation de Clairaut) : groupe de symétries θ ↔ θ + c.

- m(ϕ) = m(π−ϕ) : symétrie du flot géodésique par rapport à l’équateur.

⇒ On fixe θ(0) = 0 (par symétrie) et ϕ(0) = π/2 (par choix).

• Intégration : puisque H = 1/2 et ϕ = pϕ on a le système mécanique suivant :

ϕ2 = 1−V (ϕ, pθ),

où V (ϕ, pθ) = p2θ/m(ϕ) est le potentiel.

Remarque 4. Le potentiel V (ϕ, pθ) = p2θ/m(ϕ), pθ 6= 0, a un unique minimum en π/2.

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CAS OBLAT : GÉODÉSIQUES ET SCHÉMAS DU POTENTIEL

Remarque 5. Le potentiel V (ϕ, pθ) = p2θ/m(ϕ), pθ 6= 0, a un unique minimum en π/2.

On a donc 3 types de trajectoires paramétrées par pθ :

i) pθ = 0 : méridien

ii) pθ =√

m(π/2) : équateur

iii) pθ ∈]0,√

m(π/2)[ (comportement générique) :

ϕ oscille périodiquement entre −ϕmax et ϕmax

et θ est monotone.0 pi/2 pi 3pi/2 2pi

0

pi/2

pi T

θ

T/2 θ1(0)

φ

i)

ϕπ/2

V (ϕ)0

1

ii)

ϕπ/2

V (ϕ)

0

1 •

iii)

ϕπ/2

V (ϕ)

0

1

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CAS OBLAT : CALCUL DU LIEU DE COUPURE 1/2

Proposition. (Rappel) Pour une métrique riemannienne complète, un point de coupureest soit un point conjugué, soit (cas générique) un point tel que deux courbes min-imisantes s’intersectent.

On définit la fonction retour : R : pθ ∈]0,√

m(ϕ(0))[→ ∆θ , où ∆θ est la variation de l’angleθ au premier retour à l’équateur.

Proposition 2. Dans le cas oblat, la fonction re-tour R est décroissante et les points conjugué etde coupure d’une géodésique partant de l’équateurne peuvent survenir avant le premier retour àl’équateur.

0 pi/2 pipi/2

pi

θ

φ

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CAS OBLAT : CALCUL DU LIEU DE COUPURE 2/2

• En raison des symétries axiales par rapport à l’équateur et au méridien, les deux géodésiquesavec comme vecteurs tangents initiaux :

- (ϕ(0), θ(0)) et (−ϕ(0), θ(0)) s’intersectent à l’équateur avec la même longueur.

- (ϕ(0), θ(0)) et (ϕ(0),−θ(0)) s’intersectent au méridien θ = π avec la même longueur.

• En l’équateur la courbure de Gauss G =− 1√m(ϕ)

∂ 2√

m(ϕ)

∂ϕ2 est positive et maximale.

Lemme 1. Le point conjugué • le longde l’équateur est au temps π/

√G(π/2) et

réalise la distance au lieu de coupure —.C’est un point cusp du lieu conjugué.

Proposition 3.⇒ Le lieu de coupure est un sous-arc del’équateur.

0 pi/2 pi0

pi/2

pi

θ

φ

Dra

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CAS OBLAT : CALCUL DU LIEU CONJUGUÉ 1/2

La conjecture de Jacobi des 4 cusps est prouvée en construisant par continuation le lieuconjugué en partant du point cusp.

Lemme 2. Pour un point initial (θ(0),ϕ(0)) sur l’équateur, la branche du lieu conjuguéissue de pθ > 0, pϕ(0)> 0, est donnée par la courbe

pθ → (ϕconj(pθ),θ(ϕconj(pθ), pθ)),

pθ ∈]0,√

m(ϕ(0))[ et ne possède pas de boucle dans le plan (θ ,ϕ). En particulier, elle n’apas de cusp.

ϕ

θ

cut•

cusp

conj

Par symétries=⇒

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CAS OBLAT : CALCUL DU LIEU CONJUGUÉ 2/2

On a d’après (Bonnard–Caillau–Sinclair–Tanaka [2009]) le résultat suivant :

Théorème 1. Si R′ < 0 < R′′ alors le lieu de coupure d’un point différent d’un pôle est unsegment du parallèle antipodal et le lieu conjugué possède 4 cusps.

−pi −pi/2 0 pi/2 pi0

pi/2

pi

θ

φ

−10

1−1−0.500.51

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

yx

z

Remarque 5. On a la relation R′(pθ) =T ′(pθ )

2pθ, où T (pθ) est la fonction période ϕ .

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MÉTRIQUE DE RÉVOLUTION : AUTRE EXEMPLE

Contribution à l’étude du problème de Euler-Poinsot classique du corps solide.Ce problème définit une métrique invariante à droite sur SO(3). La réduction par les vari-ables de Serret-Andoyer décrit une métrique riemannienne 2D qui peut s’écrire sous la formenormale de Darboux g = dϕ2+m(ϕ)dθ 2.L’analogie avec l’ellipsoide de révolution oblat permet un premier pas vers le calcul des lieuxconjugué et de coupure pour des métriques invariantes à droite sur SO(3).

-K HkL

Α

K HkL

Αj0-j0

j

1

A�B

A�C

2 A

z Hj0L

VHjL

Potentiel2pi 3pi 4pi 5pi

0

pi/2

pi

x

y

Lieu conjugué

[·] B. Bonnard, O. Cots & N. Shcherbakova, The Serret-Andoyer Riemannian metric and Euler-Poinsot rigidbody motion, Math. Control Relat. Fields, to appear. Pdf.

[·] B. Bonnard, O. Cots, J.-B. Pomet & N. Shcherbakova, Riemannian metrics on 2d-manifolds related to theEuler-Poinsot rigid body motion, to submit. Pdf.

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ELLIPSOIDE DE RÉVOLUTION : OBLAT VS. PROLAT

Oblat (aplati) Prolat (allongé)

−1−0.5

00.5

1

−1

0

1

−0.5

0

0.5

xy

z

−10

1

−1

0

1

−1

−0.5

0

0.5

1

xy

z

Dra

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OBLAT VS. PROLAT : COURBURE DE GAUSS

Oblat (aplati) Prolat (allongé)

0 pi/2 pi0.5

1

1.5

2

φ

G G(ϕ)

0 pi/2 pi0.5

1

1.5

2

φ

G

ϕ

θ

max

min

Directionsprincipales

ϕ

θ

max

min

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OBLAT VS. PROLAT : FONCTION RETOUR

Oblat (aplati) Prolat (allongé)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 12.2

2.4

2.6

2.8

3

3.2

pθ

∆ θ

∆θ(pθ)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 13

3.5

4

4.5

pθ

∆ θ

0 pi/2 pipi/2

pi

θ

φ

0 pi/2 pi 3pi/2pi/2

pi

θ

φ

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OBLAT VS. PROLAT : GÉODÉSIQUES EN (θ ,ϕ) ET EN 3D

Oblat (aplati) Prolat (allongé)

0 pi/2 pi0

pi/2

pi

θ

φ

−pi 0 pi0

pi/2

pi

θ

φ

−1−0.500.51

−1

0

1

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

yx

z

−1

−0.5

0

0.5

1

−10

1

−101

x

zy

Dra

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OBLAT VS. PROLAT : GÉODÉSIQUES, LIEUX CONJUGUÉ ET DE COUPURE

Oblat (aplati) Prolat (allongé)

−pi −pi/2 0 pi/2 pi0

pi/2

pi

θ

φ

−pi −pi/2 0 pi/2 pi 3pi/20

pi/2

pi

θ

φ

−10

1−1−0.500.51

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

yx

z −1

−0.5

0

0.5

1

−1

0

1

−1

0

1

x

z

y

Dra

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OBLAT VS. PROLAT : DOMAINE D’INJECTIVITÉ

Définition. (Rappel) Le domaine d’injectivité de x0 est défini selon

I(x0) = {t p0, t ∈ [0, tcut(x0, p0)] , H(x0, p0) = 1/2}.

On a d’après (Caillau–Royer [2013]) et (Bonnard–Caillau–Rifford [2010]) (rappel : θ(0) =0) les deux résultats suivants :

Théorème 2. Il existe une fonction non décroissante ϕ0 7→ ε(ϕ0), [0,π/2]→ R telle queI(ϕ0) d’un ellipsoide oblat (ε ≤ 1) est convexe si et seulement si ε ≥ ε(ϕ0). On a de plusε(0) = 0 (pôle) et ε(π/2) = 1/

√3 (équateur).

Conjecture. Cas prolat. ∀ϕ0 ∈ [0,π/2], ∀ε > 1, I(ϕ0) est convexe.

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

ε = 1/√

2

ϕ0 = π/2

−0.5 0 0.5

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

ε = 1/√

4

Dra

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ELLIPSOIDE GÉNÉRAL

−1−0.5

00.5

1

−0.5

0

0.5

−0.5

0

0.5

zx

y

Dra

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ELLIPSOIDE GÉNÉRAL : DOUBLE REVÊTEMENT 1/2

• Ellipsoide général E : x21

a1+

x22

a2+

x23

a3= 1, a1 > a2 > a3 > 0.

• Double revêtement : (θ1,θ2) ∈ T 2 = S1×S1→ E:

x1 =√

a1 cosθ1

√(1−β )cos2 θ2+ sin2

θ2

x2 =√

a2 sinθ1 sinθ2

x3 =√

a3 cosθ2

√β cos2 θ1+ sin2

θ1

où β = (a2−a3)/(a1−a3) ∈ (0,1).

• Les coordonnées (θ1,θ2) sont reliées aux coordonnées elliptiques (λ1,λ2) par

λ1 = a1 sin2θ1+a2 cos2 θ1

λ2 = a2 cos2 θ2+a3 sin2θ2.

• Les quatre points ombiliques dans les coordonnées (θ1,θ2) (modulo π) sont

{(0,0),(0,π),(π,0),(π,π)}.

Dra

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ELLIPSOIDE GÉNÉRAL : DOUBLE REVÊTEMENT 2/2

−1−0.5

00.5

1

−0.5

0

0.5

−0.5

0

0.5

zx

y

• Points ombiliques.

Remarque 6. On a n’importe quelle symétrie axiale d’axe donnée par un segment horizontalou vertical en (θ ,ϕ) composé de deux points ombiliques.

Dra

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ELLIPSOIDE GÉNÉRAL : MÉTRIQUE, HAMILTONIEN, INTÉGRABILITÉ

•Métrique : g = (λ1−λ2)

(λ1

λ1−a3dθ1

2+λ2

a1−λ2dθ2

2).

Elle peut se mettre sous la forme de Liouville : g = (F1(u1)+F2(u2))(du2

1+du22).

• Hamiltonien (H = 1/2) :

2H =1

λ1−λ2

(λ1−a3

λ1p2

θ1+

a1−λ2

λ2p2

θ2

)

• Intégrale première quadratique en p :

c =1

λ1−λ2

(λ1−a3

λ1(a2−λ2)p2

θ1− a1−λ2

λ2(λ1−a2)p2

θ2

).

Dra

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ELLIPSOIDE GÉNÉRAL : COURBURE

• Courbure de Gauss en coordonnées elliptiques :

G(λ1,λ2) =a1a2a3

λ 21 λ 2

2, (λ1,λ2) ∈ [a2,a1]× [a3,a2].

θ1

θ2

0 pi/20

pi/2

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

Courbure de Gauss en (θ1,θ2)

θ1

θ2

max

min

Directions principales

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ELLIPSOIDE GÉNÉRAL : CAS LIMITES ET FLOTS GÉODÉSIQUES DU CAS GÉNÉRAL

• Cas limite a1 = a2 > a3 : métrique du cas oblat avec (θ1,θ2) ≡ (θ ,ϕ) et on a c ≥ 0. Lagrande ellipse devient l’équateur.

• Cas limite a1 > a2 = a3 : métrique du cas prolat avec (θ1,θ2) ≡ (ϕ,θ) et on a c ≤ 0. Lapetite ellipse devient l’équateur.

• Flot géodésique du cas général : réunion des cas oblat et prolat.

- Si 0 < c < a2−a3, alors θ1 est monotone et θ2 oscille.

- Si −(a1−a2)< c < 0, alors θ1 oscille et θ2 est monotone.

- Les géodésiques telles que c = 0 passent par les points ombiliques.

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ELLIPSOIDE GÉNÉRAL : PARAMÉTRISATION DES GÉODÉSIQUES

• On fixe (θ1(0),θ2(0)). On paramétrise les géodésiques par η ∈ S1, tel que :

ν(η) = cosηe1+ sinηe2,

où (e1,e2) est une base orthonormée et ν(η) est le vecteur tangent initial à la courbe.

• La relation entre c et η est donnée par :

c(η) =(a2−λ2(θ2(0))

)cos2

η

−(λ1(θ1(0))−a2

)sin2

η

et on note η0 l’unique η tel que c(η0) = 0,0≤ η0 ≤ π/2.

0 pi/2 pi 3pi/2 2pi

−(a1−a2)

0

a2−a3 η

0

c(η)

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ELLIPSOIDE GÉNÉRAL : PARAMÉTRISATION DES GÉODÉSIQUES (SCHÉMA)

θ1

θ2

e1

e2

c=0

Grande ellipse

Petite ellipse

c > 0

c < 0

c > 0

c < 0

•0

•π

•π

•

•

• Points ombiliques• Point initial

Dra

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ELLIPSOIDE GÉNÉRAL : RÉSULTATS SUR LES LIEUX CONJUGUÉ ET DE COUPURE

Résultats ellipsoide général (Itoh–Kiyohara [2004]) : le lieu de coupure d’un point non om-bilique est un sous-arc de la ligne de courbure antipodale et le lieu conjugué a 4 cusps.

⇒ On retrouve bien avec HAMPATH ce résultat.

Dra

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ELLIPSOIDE GÉNÉRAL : GÉODÉSIQUES ET POINT DE COUPURE

Pour tout η ∈]0,2π[, les géodésiques γη et γη , η = 2π−η , s’intersectent au même temps etle point d’intersection est un point de coupure.

0 pi/2 pi 3pi/2 2pi

0

pi/2

pi

ν2

π−ν2

π−θ2(0)

θ2(0)

T T/2

c > 0, η ∈ [0, η0)

θ1

θ1(0)

θ2

Comme oblat : (θ1,θ2)≡ (θ ,ϕ)

−2pi −pi 0 pi 2pi 3pi

0

pi/2

pi

ν1

π−ν1

θ1(0)

T T/2

π+θ2(0)

c < 0, η ∈ (η0, π/2]

θ2

θ2(0)

−π+θ2(0)

T/2 T

θ1

Comme prolat : (θ2,θ1)≡ (θ ,ϕ)

Dra

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ELLIPSOIDE GÉNÉRAL : LIEUX DE COUPURE ET CONJUGUÉ

−pi −pi/2 0 pi/2 pi 3pi/2

−pi

−pi/2

0

pi/2

pi

3pi/2

2pi θ1(0) π−θ1(0)

θ2(0)

π−θ2(0)

π+θ2(0)

−π+θ2(0)

θ1

θ2

Dra

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ELLIPSOIDE GÉNÉRAL : LIEUX DE COUPURE ET CONJUGUÉ

−pi −pi/2 0 pi/2 pi 3pi/2

−pi

−pi/2

0

pi/2

pi

3pi/2

2pi θ1(0) π−θ1(0)

θ2(0)

π−θ2(0)

π+θ2(0)

−π+θ2(0)

θ1

θ2

Dra

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ELLIPSOIDE GÉNÉRAL : ZOOM DES LIEUX DE COUPURE ET CONJUGUÉ

pi

pi/2

θ1

θ2

Dra

ft

ELLIPSOIDE GÉNÉRAL : LIEUX DE COUPURE ET CONJUGUÉ RECOLLÉS

−1 −0.5 0 0.5 1−0.50

0.5

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

x1x2

x3

Dra

ft

ELLIPSOIDE GÉNÉRAL : DOMAINE D’INJECTIVITÉ

Définition. (Rappel) Le domaine d’injectivité de x0 est défini selon

I(x0) = {t p0, t ∈ [0, tcut(x0, p0)] , H(x0, p0) = 1/2}.

−0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

(a1,a2,a3) = (1.0,0.8,0.2), (θ1(0),θ(0)) = (π/3,2π/5).

Dra

ft

ELLIPSOIDE GÉNÉRAL : DOMAINE D’INJECTIVITÉIci on fixe a1 = 1, (θ1(0),θ2(0)) = (π/3,π/2). On se place sur la grande ellipse.On réalise des séries de tests :- un test consiste à calculer pour a2 et a3 fixés, le minimum de la courbure du domained’injectivité aux deux points pϕ(0) = 0.- une série consiste à fixer a2 et faire varier a3.- l’expérience globale consiste à répéter les séries en faisant varier a2.⇒ au dessus de la courbe bleue, le domaine d’injectivité est convexe.

0.2 0.4 0.6 0.8 10.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

a2

a3/a

2

Dra

ft

PROBLÈME DES TROIS SPINS AVEC ISING

• Le problème est défini par la métrique quasi-riemannienne sur S2 :

g =(cos2θ + k2 sin2

θ)dϕ2+

(k2−1)sin2ϕ sinθ cosθ dϕ dθ + sin2ϕ(sin2

θ + k2 cos2 θ)dθ 2

cos2 ϕ,

où k2 est un paramètre.

• Le hamiltonien associé est :

H =1

2k2 sin2ϕ

(p2

ϕ sin2ϕ(sin2

θ + k2 cos2θ)+ p2

θ cos2ϕ(cos2

θ + k2 sin2θ)−

2(k2−1)pϕ pθ sinϕ cosϕ sinθ cosθ

).

Dra

ft

PROBLÈME DES TROIS SPINS AVEC ISING

Lemme 3. Pour k = 1H =

12(

p2ϕ + p2

θ cot2 ϕ),

ce qui correspond à la métrique dit de Grushin g = dϕ2 + tan2 ϕ dθ 2. Dans ce cas, lestrajectoires sont telles que θ est monotone et ϕ oscille périodiquement. Pour un point initialsur l’équateur, le lieu de coupure est l’équateur moins le point initial et le lieu conjugué enforme de double coeur possède 4 cusps.

Lemme 4. La famille de métrique g dépendant de k possède une singularité fixe en l’équateurϕ = π/2 et les symétries suivantes :

• H(ϕ, pϕ) = H(π−ϕ,−pϕ) (réflection par rapport à l’équateur);

• H(θ , pθ) = H(−θ ,−pθ) (réflection par rapport au méridien).

Dra

ft

PROBLÈME DES TROIS SPINS AVEC ISING

- On fixe la condition initiale : ϕ(0) = π/2, θ(0) = 0.

- On étudie le lieu conjugué en fonction de k.

- Au point initial, le hamiltonien vaut H = p2ϕ/2, et en se restreignant au niveau H = 1/2, on

peut paramétriser les géodésiques par pϕ =±1, pθ ∈ R.

- Par symétrie, on fixe pϕ =−1 et considère pθ ≥ 0 : un quart du lieu conjugué.

Dra

ft

PROBLÈME DES TROIS SPINS AVEC ISING : LIEU CONJUGUÉ POUR k > 1

0 pi/2 pi0

pi/2

pi

θφ

0 pi/2 pi0

pi/2

pi

θ

φ

0 pi/2 pi0

pi/2

pi

θ

φ

Déformation de la branche pϕ = −1 et pθ ≥ 0, du lieu conjugué par rapport au paramètrek ∈ [1,1.5]. (haut) k = 1.0, 1.05. (gauche) k = 1.1, 1.2. (droite) k = 1.3, 1.4.

Dra

ft

PROBLÈME DES TROIS SPINS AVEC ISING : TRAJECTOIRES POUR k > 1

−pi −pi/2 0 pi/2 pi

0

pi/2

pi

θ

φ

−pi −pi/2 0 pi/2 pi

0

pi/2

pi

θ

φ

−pi −pi/2 0 pi/2 pi

0

pi/2

pi

θ

φ

−pi −pi/2 0 pi/2 pi

0

pi/2

pi

θ

φ

Les quatre types de trajectoires qui clarifient l’évolution du lieu conjugué.

Dra

ft

LIEU CONJUGUÉ ET TRAJECTOIRES POUR k < 1

0 pi/2 pi

0

pi/2

pi

θ

φ

0 pi/2 pi

0

pi/2

pi

θ

φ

0 pi/2 pi

0

pi/2

pi

θ

φ

0 pi/2 pi

0

pi/2

pi

θ

φ

Lieu conjugué avec 15 trajectoires pour k = 0.8,0.5,0.2,0.1 de haut-gauche à bas-droite.

Dra

ft

PROBLÈME DES TROIS SPINS AVEC ISING : FONCTION RETOUR

0 10

pi/2

pi

1/(1+pθ)

∆θ

Fonction retour pour différentes valeurs de k ∈ [0.1,50]. En rouge pour k = 1.

Dra

ft

DÉFORMATION DU LIEU CONJUGUÉ SUR LA SPHÈRE

Moitié du lieu conjugué sur la sphère. Pour k = 1.0 en magenta et k = 0.8, 1.15 en rouge.

Dra

ft

DÉFORMATION DU LIEU CONJUGUÉ SUR LA SPHÈRE

Moitié du lieu conjugué sur la sphère. Pour k = 1.0 en magenta et k = 1.2, 1.25 en rouge.

Dra

ft

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