Contre Ve Tement

7/22/2019 Contre Ve Tement

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1

L L E E C C O O N N T T R R E E V V E E N N T T E E M M E E N N T T

Source: www.almohandiss.com



2

Introduction…………………………………………………………………p4

Chapitre I : les systèmes de contreventement

I- Le contreventement par voiles :…………………………………………p6

II- Le contreventement par portiques :…………………………………...p6

III - Le contreventement par noyaux :…………………………………....p7

Chapitre II : le contreventement par voiles

I - Définition :……………………………………………………………….p8

II- Les types de contreventement par voiles :…………………………….p9

III - Contreventement par éléments ne présentant pas de rigidité à la

torsion :

1- Contreventement par refends parallèles (une seul direction) :………p10

1-1 Modélisation du problème :…………………………………………...p10

2-1 Etude de cas :…………………………………………………………...p11

3-1 Recherche de centre de flexion:……………………………………...p12

4-1- Répartition de l’effort extérieur entre les différents refends ……...p16

5-1 Distribution des contraintes normales :…………………………….....p17

2- Contreventement dans les deux directions :……………………………p19

1-2 Répartition des efforts :………………………………………………...p19

2-2Quelque cas particuliers :………………………………………………p23

IV- Méthode pratique de calcul……………………………………………p24

1- Détermination du centre de torsion ……………………………………p24





3

2- Effort repris par chaque poteau ………………………………………..p25

1-2 Effort engendrées par translation …………………………………….p25

2-2 Effort engendrées par la rotation :…………………………………....p26

Chapitre III : Contreventement par noyaux

I – Définition …………………………………………………………….....p28

II- Rigidité de torsion :…………………………………………………. p29

1- Section ouverte…………………………………………………………..p29

2- Section fermée à parois minces :………………………………………..p30

3- Section rectangulaire……………………………………………………p31

4- Etude d’un cylindre……………………………………………………...p31

III - Centre de flexion et répartition des efforts : ………………………..p33

Chapitre IV : Contreventement par portique

I- Définition :………………………………………………………………..p36

II – Types de portiques :……………………………………………………p36

1- Classification selon le type de nœud :…………………………………...p36

2- Classification selon la composition ……………………………………..p37

1-2 Portiques simples ………………………………………………………p37

2-2 Portiques multiples ……………………………………………….........p37

III- Distribution des efforts horizontaux :………………………………...p39

1- Décomposition d’un bâtiment en plusieurs portiques élémentaires …p39

2- les efforts repris par chaque portique élémentaire ……………………p39

IV- La position du centre de torsion :…………………………………….p40





4

V- Les sollicitations dans les portiques :…………………………………..p41

1- Poteaux :………………………………………………………………….p41

2- Poutres :…………………………………………………………………..p41

1-2 Méthodes exactes :……………………………………………………..p42

2-2 Méthodes approchées :………………………………………………...p42

VI – Etudes des portiques en acier :………………………………………p42

1- Utilisation des portiques en aciers :…………………………………….p42

2- Palées de triangulation :………………………………………………...p44

3- Une structure auto contreventée :……………………………………...p47

Bibliographie……………………………………………………………….p49





5

La forme des bâtiments est l'élément le plus important car elle peut éviter des

désordres graves voir la ruine totale de l'ouvrage même si les règles de calcul

( NV65 ou RPS 2000 , etc ) ont été respectées.

La forme devrait être aussi simple, symétrique et régulière que possible pour

éviter des contraintes dues à la torsion qui reste bien souvent un facteur majeur

de ruine. Il est souhaitable que les variations de rigidité soient progressives en

plan et en élévation.

Les bâtiments en forme de L entraînent des concentrations de contraintes

locales dans les angles qui peuvent être très néfastes.

La position du centre de gravité devrait être la plus bas possible avec une

distribution uniforme des masses.

Le choix du système porteur et de sa disposition ; un choix judicieux va

permettre de minimiser les coûts de la protection parasismique qui pour un

ouvrage neuf ne devrait pas excéder 5% du prix du gros œuvre.

Celui qui fait le plus de victimes dans le monde reste encore l'ossature

poteaux poutres en béton armé avec un remplissage en maçonnerie de briques ou

de parpaings. Sa fragilité est accrue surtout quand le ferraillage est insuffisant,

quand le rez-de-chaussée est transparent pour installer des petits commerces et

quand il n'y a pas de noyau de contreventement. C'est malheureusement le plus

répandu car très économique, on le rencontre fréquemment en Algérie, au

Maroc, en Turquie, en Espagne, au Portugal, en Inde et même en France…





6

Structure à ossature poteaux poutres

avec remplissage en maçonnerie.Cisaillement des poteaux du rez-de-chaussée

transparent et effondrement en mille-feuilles.

Le contreventement permet d'assurer une stabilité horizontale et verticale de la

structure sous l’action d’efforts horizontaux à savoir séisme, vent, etc.

Ca nous amène à se poser des questions sur les systèmes de contreventement,leur composition, leurs méthodes de calcul, etc.





7

Le contreventement d’une construction est constitué de l’ensemble des

éléments structuraux qui concourent à sa résistance aux actions autres que

gravitaires, principalement horizontales telles que le vent, les séismes, la

poussée des terres.

Le contreventement peut être réalisé par :

Voiles Noyaux

Portiques

I- Le contreventement par voiles :

Il est généralement très rigide ce qui présente l’avantage de limiter à des

valeurs très petites les déformations imposées aux éléments non structuraux(remplissages, cloisons, fenêtres,….).

Fig 1 : Coupe transversal d’un bâtiment avec voiles en façade

II- Le contr eventement par porti ques :

Il est beaucoup plus souple que le contreventement par voile, il impose donc

des déformations importantes aux éléments non structuraux, ce qui peut

compromettre leur tenue, par contre, il a une meilleure ductilité et il conduit à

des efforts sismiques plus faibles.





8

Fig 2 : Portique à deux étages

III - Le contreventement par noyaux :

Il est souvent utilisé pour les immeubles de grande hauteur. Les noyaux qui

correspondent aux cages d’escaliers ou d’ascenseurs peuvent être combinés avecdes éléments de contreventement situé en façade.

Cage d’escaliers

Fig 3 : Coupe transversal d’un bâtiment comportant une cage d’escalier

Les systèmes de contreventement doivent être conçus pour résister, non

seulement aux efforts horizontaux, mais aussi aux moments de torsion qui sont

dus à :

Les excentricités « théoriques », c'est-à-dire les écarts entre centre

d’inertie et le centre de torsion aux différents niveaux du bâtiment

Les excentricités « accidentelles » résultant, par exemple, de la

dégradation de certaines raideurs pour les éléments dont le comportement

devient inélastique ou d’une distribution particulière de sur charges.

Les déphasages dans l’excitation sur l’étendue de la fondation du bâtiment

pour les ondes sismiques dont la longueur d’ondes sont comparables aux

dimensions de la fondation.





9

I - Définition :

Vus en plan, les murs en béton ont la plupart du temps une géométrie basée

sur des assemblages de panneaux rectilignes. Par exemple, un mur en forme de

L (en plan) est constitué de deux panneaux rectilignes solidaires au niveau de

l'arête du L.

Généralement, un voile est fondé en pied de bâtiment et monte verticalement

dans le bâtiment, avec éventuellement des changements de section à certains

niveaux.

Les cas de chargements possibles sont :

Compression sans flexion

Une charge verticale dans le plan du voile en plus de l’action du vent

perpendiculaire à sa surface (flexion verticale, flexion horizontal).

Les refends pleins transmettent également les charges verticales aux

fondations. Dans la pratique, compte tenu de l’hypothèse d’élasticité linéaire, les

différents effet de flexion, torsion, compression sont étudiés séparément.

L’effet des charges verticales est généralement estimé d’une manière simple

.les résultats ainsi obtenus sont suffisamment proches de la réalité et un calcul

plus fin, tenant compte des différentes phases de la construction (fluage ,retrait),

ne s’impose qu’au niveau de l’exécution pour des structures exceptionnelles .

En ce qui concerne les sollicitation horizontales, le problème est le suivant :

connaissant les efforts extérieurs, déterminer leur répartition entre les différents

éléments de contreventement qui peuvent être étudiés comme des systèmes

isolés. Les contraintes sont obtenues par les formules habituelles de la résistance

de matériaux.





10

II- Les types de contreventement par voiles :

Le contreventement par voiles peut être :

Interne : refends internes, cage escaliers, noyau central

Fig 4 : Voiles intérieurs cages d’escalier , d’ascenseur, noyau central

Externe : Voiles de façades ( Pignon )

a ) Voiles de pignon – coupe horizontal b) Contreventement en X

Fig 5

On peut considérer deux types de voiles

Voiles simples rectangulaires (droit ou en I ) d’épaisseurs e et de hauteur

h

Refends composés de plusieurs voiles simples en forme de T U L H Z

assemblé de façon à former un ensemble rigide.





11

Fig 6 : Formes de voiles

Remarque : la rigidité à la torsion augmente dans le sens de la flèche

III - Contreventement par éléments ne présentant pas de rigidité à

la torsion :

1- Contreventement par refends paral lèles (une seul e direction) :

1-1 M odélisation du problème : Deux refends internes

a b

Fig 7 : a – Coupe longitudinal d’un bâtiment sous l’effet du vent, b – Coupe

transversal

Ce cas se rencontre fréquemment dans les bâtiments d’habitation d’une

dizaine étages. Le déplacement de l’ensemble est constitué d’une rotation et

d’une translation si la force extérieure w n’est pas appliqué à une demi distance

des 2 voiles. On peut négliger la rigidité à la torsion des voiles.

On peut modéliser le schéma de la figure7 et on se retrouve en présence d’une

poutre horizontale ( la façade ) sur deux appuis élastique ( les deux voiles ),soumise à une charge répartie Py .

P





12

Façade

2 Refends parallèles

Fig 8 : Façade soumise à une charge uniforme de vent et appuyé sur deux

refends

2-1 Etude de cas :

Soient n voiles parallèles d’inertie Ii .Chaque voile à son axe situé à une distance

donné par rapport à un repère O x y.

Soit l’abscisse xi l’a bscisse de la force extérieure Py

Pour un effort PY parallèle à Oy, le déplacement du plancher en un point

donné peut se décomposer en une translation parallélle à Oy et une rotation

autour du point O.

On cherche la répartition des efforts crées par la charge horizontales py(z)

entre les différents refends.

X

Y

py

b b

Py

O

Fig 9 : Contreventement par refends parallèles





13

Py(z) : la charge horizontal P est dirigé dans la direction de Oy à un z donné

L’étude est menée en modèle continu avec les hypothèses particulières

suivantes :

Les refends sont d’inertie constante et sont encastrés à la base dans un

fondation rigide ( Présence d’encastrement parfais).

Les refends ne se déforment pas en distorsion. ???????

La rigidité à la torsion pure les refends est négligeable.

Notation

Le bâtiment étant étudié dans la direction Y.

H

z

dz z p z )()( : effort tranchant à la cote z

)( z vi : flèche du refend i

)( z T i : effort tranchant sollicitant le refend i

i EI )( : rigidité flexionnelle du refend i

i : implantation du refend i dans le système OXY

3-1 Recherche de centre de flexion:

Compte tenu des hypothèses, la relation déformation effort du i-éme refend est :

)()(

)(dz

vi(z)d*EI : a

2

2

z T dz

z dM

z M On

)(*)(

3

3

z Tidz

vid EI i (1)

L’équilibre des efforts à la cote z s’écrit, avec les conventions de signes

adoptées :

)()( z z Ti (2) Par projection sur OY

)()( z b z T ii (3) Pour les moments autour de OZ

L’hypothèse sur la rigidité des planchers se traduit par :

ii V v (4)





14

tg ( θ) = V’/λi , θ est petit donc θ = V’/λi

Fig 10 : translation + rotation du refend

La relation déformation – effort tranchant devient alors :

)()*dz

d(*EI )(

dz

)*(dEI :obtienton(4)et1)(

3

3

3

3

3

3

z Tidz

d i

V z Ti

iV De

(5)

On introduisant la relation (5) dans l’équation d’équilibre n° (2) on a :

)()*(* )()( 3

3

3

3

z Tidz

d

idz

V d

EI z z Ti

)()()(3

3

3

3

z EI dz

d EI

dz

V d iii

(6)

On introduisant la relation (5) dans l’équation d’équilibre n° (3) on a :

)()()(2

3

3

3

3 z b EI

dz d EI

dz V d

iiii (7)

Si la résultante de la charge appliquée passe par le centre de flexion, l’effet de

torsion est négligé ceci implique :

0)( ii EI (8)

On effectue un changement de variable par les paramètres suivant :

i

ii

EI

EI

)(

)(

Y

XV

i

O

viV’





15

iir

ba En remplaçant ( 8) dans (6) :

)()(3

3

z EI dz V d i

(9)

En remplaçant ( 8) dans (7) :

ri = λi –α , )()(*)())(*)((

2

3

3

z b z ari EI dz

d i

ri = λi parceque α = 0 suivant la relation n° (8)

)()()(2

3

3

z z a EI r dz

d ii

(10 )

Lorsque la sollicitation extérieure est rapportée au centre de flexion, les

effets de la flexion et de la torsion peuvent être étudier indépendamment l’un de

l’autre.

Remarque : dans ce qui procède, les refends n’ont de rigidité que dans

le sens OY donc le centre de flexion n’est défini que par son abscisse.

Exemple d’application :

Un bâtiment est contreventé par trois refends parallèles suivant, le schéma ci

après : aeaea

eaa

eaa

7,0

12

2

12

812

412

3

33

33

Fig 11

3a 3a

3a

a

a

a

2a

Y

X

e

e

e

(z)





16

On effectuera une translation suivant OX de +0,7a et on étudiera les deux

systèmes suivants :

Fig 12 : Cas de la flexion seul

Et on aura à étudier la torsion seul (voir figure 12 ).

Fig 13 : Cas de la torsion seul

4-1- Répartition de l’effort extérieur entre les différents refends :

1-4-1- Réparti tion des efforts hor izontaux entr e les voile" proport ionnellement

aux inerties" :

Une autre conséquence de l'identité des déformées pour les voiles d'une même

file est que la répartition des efforts horizontaux externes entre les voiles d'un

bâtiment fléchi va se faire "proportionnellement aux inerties".

Y

Y

X

X

(z)

1.3a(z)





17

Les guillemets sont là pour indiquer que les choses sont en pratique un peu

plus compliquées que cela, mais cette vision simplificatrice aide à fixer des

ordres de grandeurs lors de l'étude d'un bâtiment.

Imaginons par exemple deux voiles plans voisins, alignés et de même épaisseur,

l'un deux fois plus large que l'autre : le premier reprendra environ 8 fois plus

d'efforts que le second.

On suppose que l’axe OY coïncide avec le support du centre de flexion et que

par conséquent 0)( ii EI r

2-4-1 Ef fet de f lexion :

)()(3

3

z EI dz

V d i

(9)

V vi (Pas de torsion puisqu’on étudie dans un premier temps) :

i

ii

EI

T

dz

vd

)(

13

3

(1)

De l’équation (1) et (9) on aura :

)()(

)(1 z

EI

EI T

i

ii

(11)

Donc, en flexion pure (sans torsion) les efforts tranchants sollicitant les

refends sont proportionnelles aux rigidités.

3-4-1 Effet de la torsion :

)()2

3

3

z EI r dz

d ii

(10)

ii r v (pas de flexion puisqu’on étudie la torsion seul dans un deuxième

temps)

i

ii

EI

T

dz

vd

)(

23

3

(1)

De l’équation (1) et (10) on aura :





19

- A partir de 15,16,17 on a :

- Contraintes dues à la flexion seule

)(

)(

)(

)(

)( z m

EI

yE dz z

EI

EI

I

y

i

i

H

Z i

i

i

i

- Contraintes dues à la torsion fléchie :

)()(

)()(

)(22

z B EI r

E yr dz z

EI r

EI r

I

y

ii

ii

H

Z ii

ii

i

i

B

I r

yr m

I

y

ii

i

i

i .

)(

.

)(2

On voit sur cette expression que la contrainte due à la flexion plane se

distribue suivant une loi linéaire alors que la contrainte de torsion fléchie est

proportionnelle au double de l’aire i PG d’où le mot « sectoriel »rencontré

dans tous les problèmes de flexion – torsion.

y

Fig 14 : Contrainte de flexion

G

P

Fig 15 : Contrainte de torsion fléchie





20

2- Contreventement dans les deux directions : 1-2 Répar ti ti on des effor ts : Pour simplifier, nous supposerons que tous les éléments de contreventement ont

leurs axes principaux parallèles aux axes OXY .les hypothèses précédentes sont

conservées :

éléments d’inertie constante sur toute la hauteur, encastrés dans une

fondation rigide.

Pas de déformation en distorsion et torsion négligée

Fig 16 : refends dans les deux directions

Soient (EIX)iet (EIY)i les rigidités flexionnelles ,TXi et TYi les efforts tranchants,

vXi et vyi les déformées du i-éme élément de contreventement.

Les relations déformation- effort, s’écrivent par similitude avec (1):

i y

xi xi

EI T

dz vd

)(3

3

(16) ;i x

yi yi

EI

T

dz

vd

)(3

3

(17)

Les relations d’équilibre s’écrivent :

0)( z T xi Projection sur OX

y yi z T )( Projection sur OY

y xi yi yi xi bT T )( Moment/O

b

Xi

Yi

.

X





21

La compatibilité des déplacements (rigidité des planchers) s’exprime par :

yi x xi V v (18)

xi y yi V v (19)

A partir de (16) , (18) et la première équation d’équilibre on a :

0)))*(d

(*(-(EI)i 0)(*)(3

3

3

3

yivxidz

zTxidz

vxid i EI

0)()(3

3

3

3

i yi yi y x EI

dz d EI

dz V d

(20)

A partir de (17) , (19) et la deuxième équation d’équilibre on a :

y xi EI xiVydz

d )(*)*(

3

3

yi x xii x

y EI

dz

d EI

dz

V d

)()(

3

3

3

3

(21)

A partir de (16) , (17) et la dernière équation d’équilibre , on a :

yi y yii x xii y yi x

i x xi

yb EI EI

dz

d EI

dz

V d EI

dz

V d

))()(()()( 22

3

3

3

3

3

3

si on fait un changement d’axes défini par la translation (,)

i y

i y yi

EI

EI

)(

)(

et on fait un changement de variables avec les paramètres suivant :

xi xir ; yi yir

yb )(

i x

i x xi

EI

EI

)(

)(





22

i x x EI E )( ; i y y EI E )(

))()(( 22

i y yii x xi EI r EI r E

Si la résultante de la charge appliquée passe par le centre de flexion, l’effet

de torsion est négligé ceci implique : 0)( ii EI

A partir de (20) et avec l’hypothèse précédente on a : 0)(3

3

yi EI dz

Vxd

donc :

0*3

3

dz

V d E x

y (22)

y y

xdz V d E 3

3

* (23)

))(*)()(*)(( 22

3

3

yi EI ryi xi EI rxidz

d

))(*)()(*)(( 22

3

3

yi EI ryi xi EI rxidz

d

(24)

3

3

dz d E

(25)

.)(

E

EI r T

i y yi

xi

(26)

A partir de (17) on a :

)*

**

(*)(

)*()(*)( 3

3

3

3

3

3

w E rxi

x E

y xi EI Tyi

xidz d

dz Vyd xi EI

dz Vyid xi EI Tyi

.*

)(.

*

)(

w E

x EI r

E

EI T i xi

y

x

i x yi

(27)





23

Remarque : On constate que bien que la sollicitation soit parallèle à OY

les refends travaillent suivant OX : ils reprennent une partie du couple de

torsion.

Le cas de trois refends plans : les trois efforts se déterminent à partir des troiséquation de la statique.

On peut déterminer les efforts tranchants en écrivant l’équilibre des moments

successivement autour des points A, B, C.

2-2 Quelque cas particuliers :

Deux refends parallèles :

Fig 18

21

21

r r

ar T

(28)

21

2

1

r r

ar T

(29)

)( 2211 I r I r

On retr ouve l’expression des réactions d’appuis d’une poutre sur deux appuis

simples.

Deux refends dans deux directions perpendiculaires :

r1 r2

I1

I2

a

Centre de

torsion





24

Le système est instable.

En effet 0])()([ 22 i x xii y yi EI r EI r (30 ) d’où

IV- Méthode pratique de calcul :

1- Détermination du centr e de torsion :

Soit la structure représenter dans la figure 17.

(2)(((kkdkkk (3)

(1)

Fig 19

Afin de simplifier l’étude, les refends rectangulaires dont un côté est nettement plus grand que l’autre seront considérés comme linéaires. C'est-à-dire l’inertie

par rapport à leur propre centre de gravité sera :

0Iy, 12

* 3

hb

Ix

Les refend en forme de profilés (refend 2) pourront être pris en considération,

soit en décomposant celui-ci en refends linéaire indépendants, soit dans on

ensemble.

Remarque :Dans le cas ou le refend en U joue un rôle prépondérant, il

convient de le prendre dans l’ensemble et dont déduire les rigidités à la

flexion Ix et Iy par rapport à ces propres axes passant par son centre de

torsion .

(2)

O

x

y

yo

P

e

xo

y





25

Les rigidités transversales Ixy des refends sont nulles, et de ce fait le centre de

torsion peut être considérées comme le centre de gravité des moments d’inerties

des refends.

Par rapport aux axes principaux (Ox) et (Oy) , on a :

yi

yi*Iyi

y0

*

0

n

1i1

Ixi

xi Ixi

x

n

i (31)

Avec : n c’est le nombre de refend, Ixi et Iyi , inerties du refend i par r apport à

un axe passant par le centre de gravité de celui-ci et parallèle respectivement aux

axes (Ox) et (Oy) de calcul.

Xi et yi sont les coordonnées du centre de gravité du refend i par rapport aux

axes de calcul.

Remarque : Dans le cas ou on se retrouve aces des refends inclinés on les

remplace par deux refends fictifs perpendiculaires et donc parallèles auxaxes.

2- Ef for t repri s par chaque poteau :

Comme on a vue dans les paragraphes précédents, on peut étudier la

translation à part et la torsion à part.

1-2 Effort engendrées par tr anslation :

Tous les refends subissent le mêmes de déplacement horizontal et de ce fait

l’effort repris par chacun est proportionnelle à son inertie.





26

En étudiant la translation seulement ,on ramène l’effort horizontal P au centre

de torsion C de coordonnées (xo,yo).

Un refend quelconque j reprend un effort :*

1

n

i

Ixi

Ixj P Ryj (32)

Dans le cas ou l’effort P serait dirigé suivant l’axe (Ox) chaque refend

reprendrait un effort :

n

i

Iyi

Iyj Px Rxj

1

* (33)

2-2 Effort engendrées par la rotation :

On va étudier l’effet de torsion à part. Le couple de torsion est égale au produit

de l’effort horizontal P par sa distance du centre de torsion.

Le déplacement de chaque refend est proportionnel à l’angle de rotation.

y

x

P

Fig 20





27

L’effort repris par chaque refend j est :

Iyj xj K Rxj

Ixj xj K Ryj

***

***

D’après l’équilibre de l’ensemble on : e P yi Rxi xi Ryi *** (34)

En remplaçant (32 ) et (33 ) dans (34 ) on aura :

e P Iyi yi K Ixi xi K ******* 22

Iyi yi Ixi xi

Iyj yje P Rxj

Iyi yi Ixi xi

Ixj xje P Ryj

**

***

**

***

22

22

(35)

Remarque :

- L’effort que reprendra chaque refend sera une sommation de l’effort

engendré par translation et de l’effort engendré par rotation.

- Dans le cas ou les refends présentent des ouvertures, on utilise les même

méthodes déjà vue mais en substituant les refend réelles par les refends fictifs

( il y a aura des distinction entre des ouvertures faibles grades , une seul file,

plusieurs files).





28

I – Définition :

Plus on s’éloigne des refends simples plus on se retrouve avec des éléments

présentant une résistance à la torsion importante ( la forme en L, en U, etc).

Généralement dans les bâtiments, les éléments qui présentent une résistance à

la torsion importante c’est les cages d’ascenseur et les cages d’escaliers.

Du fait de la torsion du bâtiment, chaque plancher d'étage subit une rotation

dans le plan horizontal, qui provoque la mise en flexion des voiles(particulièrement des voiles périphériques) autour de la zone centrale du

bâtiment :

Fig 1

Lorsque ce voile est soumis à une torsion, ses panneaux constitutifs

fléchissent : le voile oppose ainsi une résistance propre à la torsion, due à la

flexion de ses panneaux constitutifs.

Cette résistance propre à la torsion est renforcée par le fait que les panneaux

du voile sont liaisonnés entre eux à leurs extrémités : ils s'appuient les uns sur

les autres dans leur mouvement de flexion.





29

II- Rigidité à la torsion :

Dans les cas traités précédemment la rigidité à la torsion pure a été négligée.

Les éléments soumis à la torsion sont généralement circulaires ( axe pleins ou

tube à paroi minces ) dans les systèmes mécaniques et prismatiques dans le cas

des structures.

1- Section ouverte àparoi mince :

En fait, pour les contreventements à profil ouvert, elle a pour expression :

3

3 Le

k K

(1)

Avec :L = longueur développée de la torsion

e = épaisseur

k= coefficient correcteur dépendant de la forme

k Type de profilé

1 Cornières

1.1 Fer en U et T

1.25 Double T

G est calculé à partir du coefficient de poisson υ et le module d’élasticité

longitudinal noté E .

L= L1+ L2

Fig 2 : Exemple de contreventement à profiler ouvert

L1

L2

max)ntcisaillemedecontrainte:max,altransversélasticitéd'module:G( e**Gmax

torsion)demomentleMtavecrotationdeangle( C

Mt

lle)torsionnerigiditéla( *

G K C





30

En première approximation, il est légitime de négliger la torsion pure des

éléments de contreventement à profil ouvert et ce, d’autant plus que le bâtiment

est bas. Pratiquement on pourra toujours négliger la rigidité torrentielle des

profils ouverts devant celle des profils fermés.

2- Section fermée àparois minces :

Les contraintes sont tangentielles aux contours internes et externes et les

hypothèses sont :

- e est faible devant les dimensions de la section

- La distribution des contraintes est uniforme dans une section donnée

On sait que la rigidité à la torsion pure d’un profil fermé unicellulaire est donnée

par la formule de Bredt-Leduc :

e

ds

GS

Mt ds

GeS

Mt

**4***422

on peut mettre cette équation sous la forme :

e

ds

G

C

Mt *S*4 C avec

2

et on a C = K*G

e

ds K

2

(2)

double de l’aire formé par la ligne moyenne.Dans le cas ou l’épaisseur e est constante et l la longueur du contour on a :

l

e

eGS

l Mt *S*4 K avec

***4

* 2

2 (3)

e(s)





31

3- Section r ectangulair e :

b

h dedépendC1 b*h*C1K et* b*h*C1Cou

* b*h*C1

Mt

**

b

hrapportdudépend:

**

33

33

2

GGbh

Mt B

bh

Mt A

Quelques valeurs de α , C1 et β sont données dans le tableau ci-dessous :

h/b 1 1.5 2 3 4 ∞

α 0.208 0.231 0.246 0.267 0.282 0.333

C1 0.141 0.196 0.229 0.263 0.281 0.333

β 0.208 0.270 0.309 0.354 0.379 0.449

Dans la section carrée on se retrouve avec :33

3 b*h*1/3K oud' * b*h*1/3C avec

**

*3 G

Gbh

Mt (4 )

4- Etude d’un cylindre : Les hypothèses suivantes :

Le matériau est homogène, isotrope et élastique.

Les sections planes restent planes après déformations.

Les rayons tracés dan une section restent rectiligne après

déformation.

Les déformations sont petites.

Les déformations sont proportionnelles aux contraintes.

Soit une éprouvette de section circulaire de rayon R et de longueur l

sollicité en torsion on découpe dans celle-ci un cylindre coaxiale de rayon r < R

et de longueur dx.

AA

B

B Fig 3





32

Fig 4

On note par α l’angle de rotation de la section passant par l’axe de symétrie de

l’éprouvette et dα l’angle de rotation par rapport au l’axe de symétrie de cylindre

(de rayon r et de longueur dx).

Si γ l’angle de cisaillement et ε la contrainte de cisaillement qui est

proportionnelle à γ :

.G (5)

Lorsque on pose : dx

d

Donc : ..r G

Avec G le module d’élasticité transversale.

On a ppliquant le principe d’équivalence on a :

dsrGdM t (6 )

Donc à partir de l’équation 6 :

dsr GdsGr M S s

t 22

Par conséquent :

P t I G M (7)

Avec

2

4 R I p

(moment d’inertie polaire)





33

On a donc de l’équation 7 : p

t

I

M G

. et

p I

MtRmax

La torsion pure telle qu’elle a été définie se rencontre rarement dans les

structures du Génie Civil mais on rencontre assez fréquemment des pièces

soumises à la fois à la flexion et à la torsion. Ceci produit chaque fois qu’une

charge concentrée agissant sur la structure.

I I I - Centre de flexi on et réparti tion des efforts :

Comme précédemment, nous supposerons les divers éléments de section

constante et encastrés rigidement au niveau des fondations (z=0). Les

déformations par la distorsion ne seront pas prises en compte.

Pour simplifier, nous supposerons que les axes principaux d’inertie sont tous

parallèles entre eux et parallèles a OXY.

Fig 5

Remarque : on aura à suivre les mêmes étapes déjà vue dans la

répartition des efforts dans le cas de refend dans les deux directions

mais la différence c’est qu’on doit ajouter la rigidité torsionnelle

(G*K) en plus de la rigidité flexionnelle (E*I).

y

x

b

τy

λyi

λxi

Txj

Tyi





34

Les relations déformations – efforts s’écrivent :

xi xi

i y T dz

vd EI

3

3

)( (8) ; yi

yi

i x T dz

vd EI

3

3

)( (9) ; ii

i C dz

dvGK )( (10)

Les conditions d’équilibre s’écrivent :

0)( z T xi

y yi z T )(

yi xi yi yi xi bC T T )(

Centre de flexion : lorsque la résultante des efforts extérieurs passe par lecentre de flexion ),( le bâtiment ne subit pas de torsion et donc tous les Ci

sont nuls. On montre facilement que les coordonnées de sont données par :

i x

i x xi

EI

EI

)(

)(

i y

i y yi

EI EI )(

)(

Répartition des efforts : une translation des axes au centre de flexion permet

d’écrire les équations d’équilibre sous la forme :

0)( z T xi

y yi z T )(

)( i xi yi yi xi C T r T r

on effectue un changement de variables avec les paramètres suivant :

xi xir

yi yir





35

yab )( (5)

En appelant Vx et Vy les composantes du déplacement de les relations de

compatibilité s’expriment par :

i

xi x xy

yi x xi

r V v

r V v

( 11)

En portant ces relations dans les équations d’équilibre et en tenant compte des

relations déformations- efforts, on aboutit au système :

0)(3

3

dz V d EI x

i y

( 12)

y

y

i xdz

V d EI 3

3

)((13)

dz

d GK

dz

d EI r EI r ii y yii x xi )())()((

3

322

(14)

En posant :

i x x EI E )( ; i y y EI E )(

))()(( 22

i y yii x xi EI r EI r E

iGK GK )(

Le système donnant les déplacements s’écrit facilement :

0*3

3

z

V d x E x

(15)

y

y

dz

V d y E

3

3

(16)

dz

d GK

dz

d E

3

3

(17)

Les équations de flexion et de torsion sont indépendantes. L’équation de torsionmontre que la torsion est reprise :





36

d’une part en torsion pure de St Venant :

dz

d GK

*

(18)

d’autre part en torsion fléchie :

3

3

dz

d E

(19)

Les efforts sont alors donnés en utilisant les équations de compatibilité :

3

3

3

3

)()(dz

d EI r

dz

V d EI T i y yi

xi x xi

(20)

3

3

3

3

)()(dz

d EI r

dz

V d EI T i x xi

y

i y yi

(21)

dz

d GK C ii

)(

(22)

Il est donc nécessaire de résoudre l’équation différentielle du second ordre

donnant l’angle de torsion et par conséquent connaître les conditions aux limites.

Celle – ci sont obtenues en tenant compte de :

la nature de l’encastrement (rigide, élastique …)

l’absence de contrainte normale de flexion au sommet.

Avec les hypothèse admises plus haut, ces conditions se traduisent par :

Par :

0 i yx xi vv Pour z=0

0dz

d

dz

dv

dz

dv i yi xi





37

Donc : 0 y x V V

0dz

d

dz

dV

dz

dV y x Z=0

Au sommet

0 yi xi M M

Donc :

et par conséquent compte tenu des conditions compatibilité :

02

2

2

2

2

2

dz

d

dz

V d

dz

V d y x (23) pour z=H

Remarques :

En ce qui concerne l’action du vent, il faut utiliser avec prudence la notion

de construction abritée par une autre construction, car cette dernière peut

être démolie .

Rechercher une structure de contreventement dont l’excentricité soit la

plus faible possible et essayer de respecter la symétrie.

Pour le calcul au séisme il faut rester dans le cadre des bâtiments réguliers

si non on va se retrouver avec le centre de torsion en dehors du bâtiment

ce qui est vivement déconseillé en calcul parasismique.

On préférera les tubes fermés, cages d’escaliers ou d’ascenseurs avec

linteaux au droit des ouvertures.

On évitera de disposer des éléments rigides aux extrémités du bâtiment

pour limiter la contrainte s de traction due au retrait.

Dans le cas des voiles tout concourant la résistance à la torsion est nulle

même si le centre de torsion est situé au point de concours des voiles,

l’équilibre est instable.

02

2

2

2

dz

vd

dz

vd yi xi





38

Les formes complexes de bâtiment (s’il y a une droite joignant 2 points

quelconques du bâtiment coupe le contour extérieure) , sont à éviter parce

qu’ils peuvent engendrer des moments de torsion non négligeables en plus

ça coûte chère .

Si on se retrouve devant l’obligation de choisir un bâtiment de forme

complexe, Il convient de le transformer en forme simple en prévoyant des

joints de ruptures .

Les bâtiments courants ne sont pas réguliers ! Les voiles changent de

section, ils sont reliés par des linteaux, etc. Le comportement des

bâtiments courants, soumis à des actions de vent ou des séismes, est

complexe, mais les notions vues précédemment continuent à être utiles

pour comprendre leur fonctionnement.

Les éléments de stabilité verticaux sensible à la torsion, doivent être

disposé suivant deux directions non parallèle et dans trois plans au moins.

Dans la mesure du possible on doit veiller à une répartition homogène à

chaque niveau, au moins trois contreventement autour du bâtiment. Ainsi

les efforts agissant suivant les deux axes principaux du bâtiment peuvent

être repris ( direction x et y ) par 2 éléments : le troisième crée avec l’un

des deux premiers un couple résistant à la torsion

Mmm





39

I- Définition :

Un portique est une structure située dans un même plan vertical et constituée

d’éléments appelés barres, c’est-à-dire dont deux dimensions sont petites par

rapport à leur longueur.

Le portique le plus simple est un élément de structure composé de deux

poteaux et d’une poutre. Deux de ces éléments permettent de supporter un

élément de toiture ou un plancher.

Pour comprendre l’idée du contreventement, imaginons un cube construit avec

des allumettes. Il se déforme lorsque vous poussez sur un coin. Pour éviter cette

déformation vous pouvez intercaler un élément diagonal sur trois des côtés.

II – Types de portiques :

1- Classification selon le type de nœud :

On peut classer les portiques en deux catégories :

Les portiques à nœuds déplaçables, le contreventement sont assurée par

des éléments raides tels que les voiles de contreventement, murs en

maçonnerie.

Voile Palée de contreventement

Fig 1 : Portiques à nœuds déplaçables





40

Les portiques à nœuds déplaçables reprenant directement les efforts

horizontaux.

Remarque : les portiques en béton armé à nœuds déplaçables sont peu

utilisés, car le contreventement est assuré de façon onéreuse et avec des

déplacements pas toujours compatibles avec les déformations que peuvent

supporter sans désordre les remplissages ( se référer à l’article B.8.1,2 du

BAEL ).

2- Classification selon la composition :

1-2 Portiques simples :

Les portiques simples sont des portiques composés d’un seul étage.

Fig3 : Exemples de portiques simples

2-2 Portiques multiples :

Contrairement au portique simples les portiques multiples se composent de

plusieurs étages et on les décompose en plusieurs portiques élémentaires pour

déduire la partie de l’effort repris par chacun d’entre eux.





41

Fig 4 : Exemple de portique multiple

Dans les conditions, ou la solution portique est onéreuse, on constitue souvent

des pans verticaux de contreventement dont la rigidité est assurée par des

triangulations ou des remplissages.

Fig 5 : Exemple de portique avec remplissage en maçonnerie

La figure 5 qui représente un bâtiment à trois étages et dans laquelle on a placé

des remplissages en maçonnerie.

On a alors on ce qui concerne les forces horizontales, un système triangulé

dont les diagonales comprimées sont constituées par des bielles de maçonnerie.

F1

F2

F3





42

III- Distribution des efforts horizontaux :

1- Décomposition d’un bâtiment en plusieurs portiques élémentaires :

Un bâtiment est composé de plusieurs portiques dans l’espace appelée

portiques élémentaires. Chaque portique est étudié comme un système à deux

dimensions et on se retrouve avec des portiques de rives et des portiques

intermédiaires.

2- les effor ts repris par chaque porti que élémentaire :

Les portiques élémentaires sont parallèles entre eux et suivant la direction de

l’effort horizontal considéré.

En admettant l’hypothèse de l’indéformabilité des planchers chaque portique

élémentaire subit le même déplacement. De ce fait chaque portique ou plan de

contreventement reprendra un effort proportionnel à son inertie.

I1 I2 I3

(Plan de contreventement i )

Fig 6 : Décomposition d’une structure en plan de contreventement

Soit la structure représenté dans la figure 6 . Les efforts horizontaux seront

repris par les portiques 1, 2 et 3 avec I1 , I2 et I3 les inerties de ces portiques.

On note par Pi l’effort repris par chaque plan de portique :

n

j

Ij

IiT Pi

*(1)

l

P

Pi





43

Avec n le nombre de plans de contreventement.

Dans le cas de la figure 6 et si on suppose que I1=I3=I2/2 on a :

2I3I2I1

I2*P P2 4

321

1*31 P P

I I I

I P P P

(2)

Lorsque la résultante générale de l’effort horizontal ne passe pas par le centre

de torsion, les planchers sont soumis à une rotation autour de ce même point

d’où la nécessité de connaître sa position.

IV- La position du centre de torsion :

Fig7 : Emplacement du centre de torsion

X0 et y0 sont les coordonnées du centre de torsion C dans le repère OXY

n

1i

n

1i

1

1

Iyi

yi*Iyi

yo

*

n

i

n

i

Ixi

xi Ixi

xo (3)

Ixi et Iyi représentent les inerties des divers poteaux par rapport à un axe

parallèle à xx et yy et passant par le centre de gravité de l’élément.

C

xo

x

y

y0





44

V- Les sollicitations dans les portiques :

Puisque les portiques sont un assemblage de poteaux et poutres, déterminer les

sollicitation dans un portique ça se ramène à leur détermination au niveau des

poteaux, poutres.

1- Poteaux :

Dans le cas ou la raideur des poutres est supérieure au 1/5 de la raideur du

poteau le plus raide on peut admettre que les poteaux des étages courants sont

encastrées au niveau de chacun des planchers et articulées à mi hauteur de

l’étage.

Les efforts horizontaux agissant sur une file de poteau (plan de

contreventement)

Se répartissent proportionnellement à l’inertie de chaque poteau, sauf pour les

poteaux de rive ou leur inertie est multi lié par un coefficient égale à 0.8

I1*0.8 I2 I3 I4*0.8

Fig 8 : Effort Tranchant sur poteaux

2- Poutres :

Pour l’évaluation des moments et des efforts tranchant dans les poutres, il y a

plusieurs méthodes approchées et exactes.





45

1-2 Méthodes exactes :

Elles comportent les méthodes de la RDM (3 moments), méthode des foyers,etc.

2-2 Méthodes approchées :

Ces méthodes distinguent le cas des charges modérées et le cas des charges

élevé (méthode de Caquot).

VI – Etudes des portiques en acier :

1- Uti l isation des porti ques en aciers :

Les portiques métalliques sont très utilisés pour les constructions industrielles,

plus rarement pour les bureaux et les habitations.

Avantages Inconvénients

- Légèreté

- Préfabrication facile surtout en

atelier

- Faible encombrement

- Montage rapide sur chantier

- Déformation plus grands sous

charges appliquées

- Sensibilité au feu

- Risque de corrosion élevé

- Barres comprimés sensible au

flambement

Les portiques en aciers peuvent être auto contreventé (assez déformable sous

l’effet de vent ou séisme), soit contreventé par des diagonales métalliques ou des

voiles en béton armé ou non armé.





46

F ig 9 :Por tiques en Constructi on Métall ique. sur une structure en voi les en béton armé:

F ig 10 :Porti ques en Construction Métall ique. sur une structure en voiles en béton armé:





47

F ig 11 : Structure en Construction Métall ique au dernier n iveau d'une structure en voi les béton armé:

2- Palées de tr iangulation :

C’est le moyen le plus économique et le plus simple pour les bâtiments de

faible hauteurs.

Pour s’opposer à la déformation, cette solution utilise une ou plusieurs barres

métalliques formant une triangulation dans une partie de l’ossature dans le plan

vertical.

Les palées de triangulation peuvent être réalisé par des profilées ( cornières) ,

tubes,etc ( voir figure 14,15 et 16 ).





48

Fig 12 : diagonale tendue, diagonale comprimée

Il faut noter que le vent par exemple change de direction et en présence d’une

seul diagonale (écharpe) cette dernière tendue peut être comprimée une fois et

tendue une autre fois.

Les barres ne sont soumises qu’à des efforts normaux de traction ou

compression et f orment ce qu’on appelle des palées de stabilité.

Ces palées peuvent transmettre les efforts horizontaux sur un ou plusieurs

étages.

Fig 13 : Exemples de palées de triangulations :





49

Fig 14 : barres de tr iangulation par cornières

Fig 15 : barres de tri angulation par un fer plat sur gousset

Fig 16 : barres de tr iangulation par tubes





50

Remarque : L’ossature métallique peut être stabilisé par es tubes

verticaux réalisé en béton, c’est cages servent à abriter les circulation

verticales (escaliers, ascenseurs).

Les poutres et dalles de plancher doivent être rendue solidaires du noyau

3- Une str ucture auto contr eventée :

Trois procédé permettent d’avoir une structure auto stable et auto contreventé :

- L’encastrement à la base des éléments verticaux porteurs

- L’association d’éléments linéaires ou bidirectionnelles articulées





Techniques de l’ingénieur – Volume C – Partie C 3290

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Conception et calcul des structures de bâtiment - Henry Thonier -

( Tome4 – Tome 3)

Cours de l’Ecole Nationale des Ponts et Chaussées- Morgan Laredo

Béton armé – Tome 3 – J.Perra , J. Tusset , J.L. Bosc


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