Содержание Поправки к фридмановской модели, вносимые петлевой квантовой космологией 3 М.Л. Фильченков, Ю.П. Лаптев Киральные волны плотности в двумерной модели Намбу‐ Йона‐Лазини 6 Н.В. Губина, В.Ч. Жуковский, К.Г. Клименко, С.Г. Курбанов, Д.Эберт Инклюзивный распад τ ‐лептона: эффекты адронизации 10 А.В.Нестеренко Космическая экзотика на Большом адронном коллайдере 12 Л.И.Сарычева, Д.В.Скобельцын Получение точной β‐функции в N = 1 СКЭД, регуляризо‐ ванной высшими производными, с помощью прямого сум‐ мирования диаграмм Фейнмана 16 К.В.Степаньянц

1. Сингулярности в моделяхмодифицированной гравитации

Е.В. Арбузоваa, А.Д. Долговb

aКафедра высшей математики, университет "Дубна 141980 ДубнаbИнститут теоретической и экспериментальной физики, 113259 МоскваbDipartimento di Fisica, Universita degli Studi di Ferrara, I-44100 FerrarabIstituto Nazionale di Fisica Nucleare, Sezione di Ferrara, I-44100 Ferrara

aarbuzova@uni-dubna.ru, bdolgov@fe.infn.it

Аннотация

Наблюдаемые проявления моделей модифицированной грави-тации, предложенных для объяснения ускоренного космологиче-ского расширения, анализируются для гравитирующих систем сплотностью материи, зависящей от времени. Показано, что еслиплотность материи растет со временем, то система приходит в син-гулярное состояние с бесконечным скаляром кривизны. Соответ-ствующее характерное время значительно меньше космологическо-го времени. Добавление R2-члена в действие позволяет избежатьсингулярности.

Современные астрономические данные убедительно показывают, чтов настоящее время вселенная расширяется с ускорением. Одним из воз-можных путей объяснения этого ускоренного расширения является пред-положение о существовании новой компоненты в космологической плот-ности энергии, так называемой темной энергии.

Конкурирующей возможностью для создания космологического уско-рения служит модификация самой гравитации путем введения дополни-тельных членов в обычное действие общей теории относительности [1, 2]:

S =m2

Pl

16π

∫d4x

√−g(R + F (R)) + Sm, (1)

где mPl = 1.22 · 1019 ГэВ - масса Планка, R - скаляр кривизны, Sm - дей-ствие материи. F (R) - дополнительный член, изменяющий гравитациюна больших расстояниях и отвечающий за космологическое ускорение.

В пионерских работах [1] рассматривалась функция F (R) = −µ4/R,где µ - малый параметер с размерностью массы. Однако, как было пока-зано в [3], такой выбор F (R) ведет к сильной экспоненциальной неста-бильности вблизи массивных объектов.

3

Различные виды функции F (R), обеспечивающие ускоренное космо-логическое расширение и лишенные отмеченной выше нестабильности инекоторых других проблем, были рассмотрены в статьях [4, 5, 6, 7, 8].В представленной работе [9] мы исследуем интересную модель модифи-цированной гравитации с функцией F (R), предложенной в [5]:

F (R) = λR0

[(1 +

R2

R20

)−n

− 1

]. (2)

Здесь λ > 0, n - положительное целое число. R0 - постоянная, имеющаяпорядок средней кривизны вселенной в настоящее время, R0 ∼ 1/t2U , гдеtU ≈ 4 · 1017 сек - возраст вселенной.

Космология с гравитационным действием (2), также как и некоторыедругие сценарии с модифицированной гравитацией, были проанализиро-ваны в работах [2, 10, 11, 12]. В [9] мы рассматриваем физическуюситуацию, отличную от тех, что обсуждались в цитируемых статьях.А именно, мы изучаем поведение астрономических объектов с плотно-стью материи, растущей со временем, и показываем, что кривизна, R,становится бесконечно большой за время, которое мало по сравнению скосмологической временной шкалой. Эта сингулярность не может бытьликвидирована подбором начальных условий.

Другим возможным путем предотвравщения сингулярности являетсявведение в действие R2-члена:

δF (R) = −R2/6m2 , (3)

где m - постоянный параметр с размерностью массы.Учитывая ограничение m > 10−2.5 эВ, которое следует из лаборатор-

ных гравитационных тестов [13], мы нашли n ≥ 6. В работе [2] пред-ставлено более сильное ограничение, m≫ 105 ГэВ. В этом случае n ≥ 9.Естественное значение m ∼ mPl и, соответственно, n ≥ 12.

Итак, мы показали, что влияние рассмотренных выше версий моди-фицированной гравитации на системы с плотностью материи, зависящейот времени, в современной вселенной может быть катастрофическим, ве-дущим к сингулярности R → ∞ за конечное время в будущем. Это времязначительно меньше, чем космологическое время. Проблема может бытьустранена добавлением R2-члена, если степень n достаточно велика.

Список литературы[1] S. Capozziello, S. Carloni, A. Troisi, RecentRes. Dev. Astron. Astrophys.

1, 625 (2003); S.M. Carroll, V. Duvvuri, M. Trodden, M.S. Turner,

4

Phys.Rev. D 70, 043528 (2004).

[2] S.A. Appleby, R.A. Battye, A.A. Starobinsky, JCAP 1006, 005 (2010).

[3] A.D. Dolgov, M.Kawasaki, Phys. Lett. B 573, 1 (2003).

[4] S. Nojiri, S. Odintsov Phys. Rev. D 68, 123512 (2003).

[5] A.A. Starobinsky, JETP Lett. 86, 157 (2007).

[6] W.Hu, I. Sawicki, Phys. Rev. D 76, 064004 (2007).

[7] A.Appleby, R. Battye, Phys. Lett. B 654, 7 (2007).

[8] S. Nojiri, S. Odintsov, Phys. Lett. B 657, 238 (2007); S. Nojiri, S.Odintsov, Phys. Rev. D 77, 026007 (2008); G. Cognola, E. Elizalde,S. Nojiri, S.D. Odintsov, L. Sebastiani, S. Zerbini, Phys. Rev. D 77,046009 (2008); G. Cognola, E. Elizalde, S.D. Odintsov, P. Tretyakov, S.Zerbini, Phys. Rev. D 79, 044001 (2009).

[9] E.V. Arbuzova, A.D. Dolgov, Phys. Lett. B 700, 289 (2011).

[10] S.A. Appleby, R.A. Battye, JCAP 0805, 019 (2008).

[11] A. Dev, D. Jain, S. Jhingan, S. Nojiri, M. Sami, I. Thongkool, Phys.Rev. D 78, 083515 (2008); I. Thongkool, M. Sami, R. Gannouji, S.Jhingan, Phys. Rev. D 80, 043523 (2009); I. Thongkool, M. Sami, S.Rai Choudhury, Phys. Rev. D 80, 127501 (2009).

[12] A.V. Frolov, Phys. Rev. Lett. 101, 061103 (2008).

[13] D.J. Kapner, T.S. Cook, E.G. Adelberger, J.H. Gundlach, B.R. Heckel,C.D. Hoyle, H.E. Swanson, Phys. Rev. Lett. 98, 021101 (2007).

5

2. Эффекты связанные с конечнымиразмерами пространства в моделиГросса–Неве с учетом изотопического ибарионного химических потенциалов

Жуковский В.Ч., Клименко К.Г., Хунджуа Т.Г., Эберт Д.Кафедра теоретической физики, физического факультета МГУ,

119992 Москва, Воробьевы горы, Адрес электронной почты:gtamaz@gtamaz.com

Аннотация

В данной работе исследованы свойства безмассовой моделиГросса–Неве в (1+1)-размерном пространстве R1 × S1 с учетомконечных размеров пространства а также ненулевых значений ба-рионного и изотопического химических потенциалов µI , µ. Иссле-дование проводилось в пределе большого количества фермионныхцветов Nc.

Показано, что при L→ ∞ (L длина компактификации S1) фа-за пионной конденсации (ПК) с с нулевой кварковой плотностьюобразуется при любом ненулевом значении µI и малом значении µ.Для любых конечных значений L фазовый портрет модели содер-жит фазу ПК с ненулевой кварковой плотностью (в случае пери-одических граничных условий). Таким образом конечные размерысистемы могут служить фактором, способствующим образованиюфазы ПК в кварковой материи с ненулевой барионной плотностью.С другой стороны, фаза с нарушенной киральной симметрией мо-жет существовать только при очень больших значениях L.

Введение

В последнее время исследования фазовых портретов КХД в терминахбарионного и изотопического химичсеких потенциалов вызывают повы-шенный интерес. Причина в том, что плотность барионной материи в экс-периментах по столкновению тяжелых ионов имеет изоспиновую асим-метрию. К тому же, плотность адроной/кварковой материи в компакт-ных звездах также испытывает изотопическую асимметрию. Для объяс-нения выше перечисленных экспериментальных данных при низкой ба-рионной плотности часто используются непертурбативные эффективныетеории, в особенности модель Намбу–Йона-Лазинио [1] (НЙЛ). Однако

6

очевидно, что (3+1)-размерная модель НЙЛ зависит от параметра обре-зания, таким образом ее результаты применимы только к низким энер-гиям, температуре и плотности. По этой причине в настоящее времявсе больший интерес вызывают эффективные (1+1)-размерные теории,такие как модель Гросса–Неве (ГН) [2].

Настоящая работа посвящена обсуждению эффектов пионной кон-денсации при учете влияния конечных размеров пространства. Пробле-ма была частично решена в [3]. Однако в этих работах барионный хи-мический потенциал не учитывался, а учитывался только изотопическийхимический потенциал (µ = 0, µI = 0). Мы сделали заключение, что про-блема заслуживает дальнейшего изучения и обобщения на случай обоихненулевых химических потенциалов (µ = 0, µI = 0). Главным образомэто мотивировано ненулевыми значениями барионной и изотопическойплотности кварковой материи в экспериментах по столкновению тяже-лых ионов.

Описание модели

Мы рассматриваем (1+1)-размерную модель ГН с двумя ароматами(u и d кварки), которая возникает при рассмотрении столкновений тя-желых ионов. Лагранжиан модели имеет следующий вид:

Lq,q = q[γν i∂ν + µγ0 +

µI

2τ3γ

0]q +

G

Nc

[(qq)2 + (qiγ5−→τ q)2

], (4)

где каждое кварковое поле q(x) ≡ qiα(x) является дублетом по ароматам(i = 1, 2 или i = u, d) и Nc-плетом по цветам (α = 1, . . . , Nc). Таким обра-зом подразумевается суммирование по спинорным 1, цветовым и арома-товым индексам. τk(k = 1, 2, 3) - матрицы Паули. Химический потенциалµ в (4) ответственен за ненулевую барионную плотность кварковой ма-терии, тогда как изотопический химический потенциал µI отвечает завозникновение ненулевой изотопической плотности (в этом случае плот-ности u и d кварков различные).

Обсудим симметрии лагранжиана. Если µI = 0, лагранжиан (4) име-ет не только SU(Nc) симметрию, но также инвариантен относительнокиральной SUL(2)× SUR(2) группы. Однако если µI = 0, симметрия со-кращается до группы UI3L(1)× UI3R(1), где I3 = τ3/2 третья компонентаизоспинового оператора. Очевидно, эта группа может быть также пред-ставлена как UI3(1)×UAI3(1), где UI3(1) изоспиновая подгруппа, а UAI3(1)аксиально изоспиновая подгруппа. При действии этих подгрупп кваркипреобразуются следующим образом q → exp(iατ3)q и q → exp(iαγ5τ3)q.

1Гамма матрицы Дирака выбраны в следующем виде: γ0 = σ1; γ1 = iσ2; γ

5 = σ3.

7

Линеаризованный вид лагранжиана (4), который содержит составныебозонные поля σ(x) и πa(x)(a = 1, 2, 3), имеет следующий вид:

Lσ,π = q[γν i∂ν + µγ0 +

µI

2τ3γ

0 − σ − iγ5πaτa

]q − Nc

4G[σσ + πaπa] , (5)

где бозонные поля: σ(x) = −2 GNc(qq); πa(x) = −2 G

Nc(qiγ5τaq).

Исходя из (5), можно получить термодинамический потенциал (ТДП)модели в приближении среднего поля, т.е. разложение по 1/Nc:

ΩµµI(σ, πa) =

σ2 + π2a

4G+iTrsf

∫d2p

(2π)2ln(γp+µγ0+

µI

2τ3γ

0−σ−iγ5πaτa), (6)

где поля σ и πa не зависят от пространственной координаты x. Следу-ет отметить, что ТДП (6) зависит только от двух комбинаций бозонныхполей (π2

1 + π22) и (π2

3 + σ2), которые инварианты относительно группыUI3(1) × UAI3(1). В этом случае, без потери общности можно положитьπ2 = π3 = 0, и изучать ТДП (6) как функцию только двух переменныхM ≡ σ и ∆ ≡ π1. Далее мы накладываем на модель условия ограничен-ности пространства следующим образом 0 ≤ x ≤ L. Это означает, что мыисследуем модель (1) в пространстве с топологией R1×S1, а на квантовыеполя накладываем следующие граничные условия q(t, x+L) = eiπαq(t, x),где 0 ≤ α ≤ 2, L длина окружности S1. Далее мы будем рассматриватьтолько два значения параметра α : α = 0, периодическое граничное усло-вие, и α = 1 для антипериодического. Итак, после всех расчетов можнополучить ТДП в следующем виде:

ΩLµµI(M,∆) = VL(ρ)− 1

L

∞∑n=−∞

E+

L∆n + E−L∆n − 2

√ρ2 + π2

L2 (2n+ α)2

+(µ− E+L∆n)θ(µ− E+

L∆n) + (µ− E−L∆n)θ(µ− E−

L∆n), (7)

где ρ =√M2 +∆2,

E±L∆n =

√√√√(√M2 +π2

L2(2n+ α)2 ± ν

)2

+∆2 (8)

и

VL(ρ)− VL(0) = −ρ2

πln

(M0L

4π

)− ρ2γ

π− 2

L2

√ρ2L2 + π2α2 +

2πα

L2

− 2

L2

∞∑n=1

[√π2(2n+ α)2 + L2ρ2 +

√π2(2n− α)2 + L2ρ2 − 4nπ − ρ2L2

2nπ

], (9)

8

гдеν = µI

2M0и γ = 0.577... константа Эйлера. ТДП (7) уже перенормиро-

ван. Подробный вывод (9) и описание техники перенормировки прове-дены в [3]. Для дальнейшего исследования нам также потребуется вы-ражение для кварковой плотности nqL в пространстве R1 × S1, кото-рое может быть легко получено из ТДП (7) путем дифференцированияnqL ≡ −∂ΩLµµI

∂µ. Кроме того, удобно пользоваться обезразмеренными ве-

личинами: λ = πLM0

, µ = µM0, ν = ν

M0≡ µI

2M0, m = M

M0, δ = ∆

M0.

Фазовая структура модели

Для дальнейшего изучения исходной модели ГН необходимо решитьсистему уравнений (уравнения щели): ∂ΩµµI

(m,δ)

∂m= 0;

∂ΩµµI(m,δ)

∂δ= 0. Ко-

ординаты m и δ точки глобального минимума (ТГМ) термодинамическо-го потенциала (7) являются параметрами (щелями), которые пропорци-ональны вакуумному среднему величин < qq > и < qiγ5τ1q > соответ-ственно. Результаты численного решения уравнений щели для ТДП (7)представлены на Рис.1 и Рис.2 для периодического и антипериодическогослучая (λ = 0.1). Симметричная фаза соответствует симметрии группыUI3(1) × UAI3(1) (точка глобального минимума m = 0, δ = 0). Фаза IIотвечает симметрии UI3(1) (т.е. симметрия UAI3 нарушена m = 0, δ = 0).В этой фазе кварки массивны и кварковая плотность nqL ненулевая. Вотличие от случая с λ → 0 (L = ∞) который обсуждался в статье [4],в случае λ = 0 фаза II занимает конечную область фазовой диаграм-мы и полностью исчезает при λ > λp ≈ 0.16(0.66) для периодических(антипериодических) граничных условий.

Также можно видеть, что в случае периодических граничных условий(Рис. 1) существует две фазы пионной конденсации PC и PCd. Главноеразличие между этими фазами в том, что в PC фазе плотность кварковойматерии nqL = 0, тогда как в фазе PCd nqL = 0. В случае антипериоди-ческих граничных условий фазы PCd не существует (Рис.2).

9

1 2 3

3

2

1

0

PC

II

ν

μ

Симметричная фаза

1 2 3

3

2

1

0

PC

II

ν

μ

Симметричная фаза

Рис. 1. Периодический случай:фазовый портрет в переменных(ν, µ) при λ = 0.1. ОбозначенияPCd и PC соответствуют фазампионной конденсации с нулевойи ненулевой кварковой плотно-стью соответственно. Фаза II -отвечает состоянию нарушеннойкиральной симметрии.

Рис. 2. Антипериодический слу-чай: фазовый портрет в перемен-ных (ν, µ) при λ = 0.1. Обо-значение PC соответствуют фа-зе пионной конденсации с нуле-вой кварковой плотностью. ФазаII - отвечает состоянию с нару-шенной киральной симметрией.

10

Список литературы[1] Y. Nambu and G. Jona-Lasinio, Phys. Rev. D 112, 345 (1961).

[2] D.J. Gross and A. Neveu, Phys. Rev. D 10, 3235 (1974).

[3] D. Ebert, K.G. Klimenko, A.V. Tyukov and V.C. Zhukovsky, Phys. Rev.D 78, 045008 (2008).

[4] V. C. Zhukovsky, K. G. Klimenko and T. G. Khunjua, Moscow Univ.Phys. Bull. 65, 21 (2010).

11

3. Алгоритм Дирака и физика элементарныхчастиц

Олег КосмачевОбъединенный Институт Ядерных Исследований, ЛФВЭ ,

141980 Дубна Московской области, Адрес электронной почты:kos@theor.jinr.ru

Аннотация

Алгоритм Дирака это совокупность необходимых и достаточ-ных условий для формулировки волновых уравнений всего лептон-ного сектора. Все уравнения были получены при строгом ограниче-нии принятыми предположениями. Общность и строгость предло-женного метода позволяют ставить вопрос о его распространениина адронный сектор.

Вступление

Алгоритм Дирака это совокупность необходимых и достаточныхусловий для формулировки волновых уравнений всего лептонного секто-ра при строгом ограничении рамками зафиксированных предположений.Алгоритм был установлен на основе исчерпывающего анализа уравненияДирака. Предположения таковы.

1) Инвариантность и ковариантность уравнений относительно одно-родной группы Лоренца с учетом четырех компонентов связности.

2) Формулировка уравнений на основе неприводимых представленийгрупп, определяющих каждое лептонное уравнение.

3) Сохранение 4-вектора тока вероятности и положительно опреде-ленный четвертый компонент тока.

4) Величина спина лептонов предполагается равной 1/2.

5) Каждое лептонное уравнение должно редуцироваться к уравнениюКлейна-Гордона.

Всестороннее и максимально полное использование дискретных симмет-рий как рабочего инструмента было затруднено из-за отсутствия в фи-зической литературе явной формы (P )-, (T )-, (PT )-сопряженных компо-нентов связности однородной группы Лоренца.

12

Требование неприводимости в данном подходе является эквивален-том принципа наименьшего действия на групповом языке.

Удовлетворять уравнению первого порядка по четырем производным(∂/∂t, ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z.) это требование - описывать релятивистскую ча-стицу. Возможность при этом редукции к уравнению Клейна-Гордонаозначает обладать волновыми свойствами независимо от наличия илиотсутствия массы и величины спина.

Лептонный сектор

Нами был получен полный и замкнутый набор групп для формули-ровки волновых уравнений как стабильных, так и нестабильных лепто-нов [2], [3]. Полнота и замкнутость означают, что в рамках принятыхпредположений нет возможности получить дополнительные уравнениясверх найденных, а для формулировки каждого из них достаточно че-тырех компонентов связности однородной группы Лоренца или их неко-торой комбинации.

Очевидным и важным следствием выполненных построений являетсяналичие в каждом уравнении без исключения своего собственного соста-ва, т.е. набора тех или иных компонентов связности группы Лоренца.По определению [4] это позволяет говорить о своем собственном набореквантовых чисел в каждом случае.

Совокупность исходных предположений вместе с известнымитеоретико-групповыми ограничениями и требованиями позволяют полу-чить пять и только пять типов групп для формулировки пяти волновыхуравнений по образу и подобию уравнения Дирака, т.е. групп уравненийстабильных лептонов. Их структурный состав т.е. набор соответствую-щих подгрупп dγ, fγ, bγ, cγ, на которых реализуются все четыре компонен-та связности неприводимых представлений группы Лоренца, выглядяттаким образом:

1) Уравнение Дирака — Dγ(II):структурный состав dγ, bγ, fγ.In[Dγ(II)] = −1.

2) Уравнение для дублета массивных нейтрино — Dγ(I):структурный состав dγ, cγ, fγ.In[Dγ(I)] = 1.

3) Уравнение для квартета безмассовых нейтрино — Dγ(III):структурный состав dγ, bγ, cγ, fγ.In[Dγ(III)] = 0.

13

4) Уравнение для безмассового (T )-синглета — Dγ(IV ):структурный состав bγ.In[Dγ(IV )] = −1.

5) Уравнение для безмассового (PT )-синглета — Dγ(V ):структурный состав cγ.In[Dγ(V )] = 1.

Здесь дублет означает систему частица-античастица. Каждая из группимеет порядок 32 и порождается четырьмя генераторами. Однако, опре-деляющие соотношения для каждой группы свои собственные и различ-ные. Если все четыре генератора антикоммутируют, то получаются урав-нения для массивных частиц: Dγ(II) -уравнение Дирака [1] и Dγ(I) -уравнение Майораны для массивного нейтрино [5]. Если четвертый гене-ратор группы коммутирует с тремя первыми, то получаются уравнениядля безмассовых нейтрино:Dγ(III),Dγ(IV ),Dγ(V ). ГруппаDγ(III) свя-зана с уравнением для двухкомпонентного нейтрино, не сохраняющегопространственную четность. Впервые уравнение было получено Паули[6]. Уравнения Dγ(IV ) и Dγ(V ) можно связывать с истинно нейтральны-ми безмассовыми двухкомпонентными нейтрино.

Группы нестабильных лептонов получаются при расширении группдля стабильных массивных лептонов (Dγ(II), Dγ(I)) с помощью пятогоантикоммутирующего генератора. Если он таков, что (Γ5)

2 = ±I (I- еди-ничная матрица), то получается три и только три не изоморфных группы∆1,∆2,∆3, допускающих формулировку волновых уравнений, удовлетво-ряющих тем же требованиям. Структурный состав групп при этом вы-глядит более сложно. В каждой и них можно выделить подструктурыизоморфные группам стабильных лептонов. Структурный состав не по-вторяется. Точные выражения таковы.

∆1Dγ(II), Dγ(III), Dγ(IV ). (10)

∆3Dγ(II), Dγ(I), Dγ(III). (11)

∆2Dγ(I), Dγ(III), Dγ(V ). (12)

Можно показать, что первые две группы связаны с уравнениями длязаряженных частиц, а последняя - с уравнением для нейтральной неста-бильной частицы.

Заключение

Весь комплекс результатов по лептонному сектору открывает новыевозможности для формирования структур с различными характеристи-

14

ками, включая такие, которые не могут быть связаны с реально наблю-даемыми частицами типа составляющих адронов (партоны, кварки). Вчастности, не имеется принципиальных запретов для обобщения предло-женного метода на адронный сектор так, чтобы внутренние структурыформировались на основе лоренц-инвариантных объектов (таковыми яв-ляются группы, реализующие все четыре компонента связности группыЛоренца). Растущая при этом структура объектов в целом будет опре-делять те самые симметрии, которые мы сейчас связываем с унитарны-ми. В таком подходе лептоны и адроны будут описываться на единойрелятивистской основе. При этом устраняется противоестественное по-ложение, когда из основательной классификационной схемы (унитарныесимметрии) целиком и полностью выпал лептонный сектор.Причина мо-жет заключаться в том, что членение адронов на составляющие явля-ется более крупным, чем это допустимо для описания лептонов. Крометого, в самом лептонном секторе отпадает необходимость удивляться т.н.(µ− e− τ)−универсальности. Ее просто не имеется в силу структурныхразличий. Понятно, что реализация такой программы будет означатьсближение сильных и электрослабых взаимодействий.

Список литературы[1] P.Dirac, Proc.Roy. Soc. A vol.117,610 (1928).

[2] A.Гусев, О.Космачев, Письма ЭЧАЯ. T.5, N2, 26 (2008).

[3] О.Космачев, Письма ЭЧАЯ. 2010. T.7, N2, 149 (2010).

[4] Г.Вейль, Теория групп и квантовая механика,(Наука, Москва), 161986.

[5] E.Majorana, Il Nuovo Cimento v.14, 171 (1937).

[6] В.Паули, Общие принципы волновой механики, (ГТТЛ, Москва) 2541947.

15

4. Построение профилей изгибногоизлучения пульсаров

В.А.Бордовицын, E.A.НемченкоКафедра теоретической физики, физический факультет TГУ,

634050 Томск, пр. Ленина 36, Адрес электронной почты: rector@tsu.ru

Аннотация

Предлагается техника построения профилей излучения пуль-саров на основе мгновенной индикатрисы углового распределениямощности излучения релятивистских заряженных частиц (дже-тов), движущихся по заданной траектории в магнитосфере ней-тронной звезды. Данный метод иллюстрируется вычислением про-филей излучения на примере модели изгибного излучения пуль-саров. Получено хорошее согласие с наблюдаемыми профиляминекоторых пульсаров.

Введение

Открытие пульсаров, сделанное группой кембриджских радиоастро-номов под руководством Э. Хьюиша [1] в 1967 году, существенным об-разом повлияло на дальнейшее развитие астрофизических исследованийкосмического радиоизлучения. Было установлено, что пульсары пред-ставляют собой источники импульсного космического радиоизлучения сочень большой стабильностью периода. Они излучают в широком спек-тральном диапазоне - от метровых до сантиметровых волн включи-тельно, а в ряде случаев - даже в оптическом, рентгеновском и гамма-диапазонах. Возможные механизмы излучения пульсаров продолжаютинтенсивно обсуждаться в научной литературе (см., например, [2, 3]).Пульсары открывают новые широкие возможности для применения тео-рии излучения релятивистских частиц [4].

Кинематический метод построения профилей излуче-ния пульсаров

В нашей работе [3] был предложен универсальный кинематическийметод построения профилей излучения пульсаров на основе точной про-странственной индикатрисы (углового распределения) мощности реля-тивистского излучения (см. [4]). Идея этого метода состоит в том, чтопрофиль излучения пульсара находится как сечение вращающейся ин-дикатрисы излучения неподвижным в пространстве лучом зрения.

16

Для идентификации с наблюдаемыми экспериментально профилямиизлучения предлагается использовать целый набор параметров: угол на-клона магнитной оси пульсара относительно оси его вращения η, углы,образованные лучом зрения с осью вращения пульсара ζ и с направле-нием его магнитной оси µ, угол α между скоростью и ускорением реля-тивистской частицы (см. рис. 1).

Рис. 3. Идентификация профилей излучения наблюдаемых (ср. [5]) пуль-саров с параметрами α, β, µ, ζ соответственно: a) 25, 0.99, 12, 15; б)10, 0.99, 14, 11; в) 15, 0.95, 22, 10; г) 20, 0.99, 10, 15; д) 20, 0.99,7, 0; е) 40, 0.991, 8, 10.

Кроме того, можно варьировать параметры самого излучения, такиекак энергия электронов (γ - фактор), напряженность магнитного поляH,радиус кривизны траектории электронов R, а также число излучающихчастиц в плазменных сгустках и т. д.

Заключение

Мы показали, что наша теория позволяет с большей точностью опи-сывать наблюдаемые профили излучения пульсаров, причем эти резуль-таты могут быть улучшены за счет более тщательной подборки парамет-ров. Кроме того, можно использовать и некоторые дополнительные усло-вия. Например, малые колебания параметров могут привести к часто на-блюдаемой в экспериментах тонкой структуре профилей пульсаров. Это

17

условие может быть связано с тем, что релятивистские электроны дви-жутся в поле излучения других электронов, испущенных ранее. Крометого, дополнительную информацию о параметрах источников излученияв магнитосфере пульсаров могут дать профили поляризованного излу-чения пульсаров, для которых применима та же методика, что и длярассмотренных здесь профилей полного излучения. Совсем недавно бы-ла обнаружена возможность визуального наблюдения первых гармониксинхротронного излучения (см. [4]). В связи с этим в перспективе пред-ставляет большой интерес построение в этом диапазоне частот профилейболее мощного когерентного излучения пульсаров.

Данная работа поддержана федеральной целевой программой "Науч-ные и научно-педагогические кадры инновационной России контракт NoП789.

Список литературы[1] А.Hewish, S.J.Bell, Nature 217, 709 (1968).

[2] Р.Манчестер, Дж. Тейлор, "Пульсары", (Мир, Москва) 1980.

[3] V.Bordovitsyn, V.Epp, V.Bulenok, in "Kinematic Projecting of PulsurProfiles" (Proceedings of the 9th Lomonosov Conference on ElementaryParticle Physics, September 20-26 1999, Moscow, Russia), ed. byA.Studenikin, World Scientific Singapore, 187, 2001.

[4] В.Г.Багров, Г.С.Бисноватый-Коган и др., "Теория излучения реля-тивистских частиц" под ред. В.А. Бордовицына, (ФИЗМАТЛИТ,Москва) 2002.

[5] A.D.Kuzmin, V.A.Izvekova et al., Astron. Astrophys. Suppl. Ser. 127,355 (1998).

18

5. Изучение рождения тяжҷлых кварков вэксперименте АТЛАС

Сергей СивоклоковОт имени Сотрудничества АТЛАС

НИИЯФ МГУ, 119992 Москва, Ленинскиие горы, РоссияSerguei.Sivoklokov@cern.ch

АннотацияВ работе представлен обзор новых результатов по физике тя-

жҷлых кварков (b и с) полученных в эксперименте АТЛАС наБольшом Адронном Коллайдере. Изучение процессов рождениятяжҷлых ароматов на адронных коллайдерах даҷт возможностьпроникновения в суть процессов КХД. Детектор АТЛАС обеспе-чивает получение физических данных при больших поперечныхимпульсах и в более широком интервале быстрот, чем достигну-тые когда-либо раньше. Сечения рождения чармония и боттониябыли измерены в протон-протонных соударениях при энергии 7ТэВ в разных интервалах поперечных импульсов и быстрот. Такжебыл реконстроируван ряд эксклюзивных распадов B и D-мезонов.Результаты сравнивались с теоретическими предсказаниями неко-торых КХД моделей.

Введение

АТЛАС - это экспериментальная установка широкого назначения, ра-ботающая на Большом Адронном Коллайдере в Европейской лаборато-ии ЦЕРН в Женеве, Щвейцария. Хотя основной целью экспериментаявляется поиск Хиггс-бозона и явлений за рамками Стандартной Моде-ли, программа исследований также включает в себя изучение широкогокруга явлений физики ароматов. Эти процессы также являются оченьполезным инструментом для понимания свойств установки (при изме-рении хорошо изученных В- и D-адронов, J/ψ и Υ - мезонов) и про-верки предсказаний КХД. При достижении интегральной светимости внесколько фб−1 будет возможен поиск непрямых проявлений эффектовновой физики в редких распадах В-мезонов и явлениях CP-нарушений.

Детектор АТЛАС

Детектор АТЛАС [1] имеет стандартную для коллайдерных экспери-ментов цилиндрическую конфигурацию и содержит внутренний треко-вый детектор, калориметры и мюонный спектрометр. Внутренний Детек-тор обеспечивает прецизионное измерение треков заряженных частиц.

19

Он состоит из кремниевых пиксельных (3 слоя) и микростриповых (4слоя) детекторов и детектора переходного излучения, помещенных в маг-нитное поле сверхпроводящего соленоида напряженностью 2Т и позво-ляет измерять импульсы частиц с точностью σ(pT )/pT < 0.5% в областипсевдобыстрот |η| < 2.5. Мюоны являются самым удобным и чистымсигналом распада частиц с тяжҷлыми кварками, поэтому свойства мю-онной системы (наряду с трекингом) являются ключевыми для изученияфизики тяжҷлых ароматов. Мюонный спектрометр содержит несколькотипов камер для измерения мюонных треков и находится в магнитномполе тороидальной сверхпроводящей системы (средней напряжҷнностьюоколо 0.5Т). Он обеспечивает измерение импульсов мюонов в области|η| < 2.7 с точностью меньше 10% вплоть до импульсов ∼ 1 ТэВ. Триг-герная система АТЛАСа служит для отбора событий с определҷннымифизическими сигнатурами (например, мюонами с большими поперечны-ми импульсами) и содержит три уровня. Триггер первого уровня реа-лизован аппаратно и использует сигналы мюонного спектрометра, кало-риметра или специальных сцинтиляционных счҷтчиков (Minimum BiasTrigger Scintillator). Триггеры 2-го уровня и 3-го (т.н. Фильтр Событий)реализованы программно и составляют триггер высокого уровня (HighLevel Trigger). По мере возрастания светимости ускорителя степень отбо-ра событий постоянно увеличивается для сохранения приемлемого дляобработки и сохранения уровня потока данных, что требует тщательно-го контроля триггерных условий и порогов регистрации для коррекциивозможного сдвига измеряемых величин.

Рождение J/ψ и Υ

Реконструкцию узких состояний кваркония с хорошо известнымимассами, cc и bb, распадающихся на два мюона, очень удобно использо-вать для изучения характеристик детектора (разрешения по массе, вза-имной юстировки частей детектора). На Рис.1 показаны распределенияпо инварианьной массе µ+µ− пар, полученные при анализе данных 0.24фб−1 интегральной светимости, набранных в 2011 году. Показаны обла-сти масс между 2.6 и 4 ГэВ (область J/ψ и ψ(2S) состояний) и между8 и 12 ГэВ (Υ(1S, 2S, 3S) мезоны ). Мюоны пары должны иметь общуювершину, пройти ряд критериев по качеству восстановленныхо трекови быть зарегистрированными триггером. Реконструированные значенмямасс находятся в хорошем согласии со среднемировыми значениями. Де-тали анализа в [2, 3].

20

[GeV]µµm

2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4

Di-m

uon

Can

dida

tes

/ (0.

01 G

eV)

0

50

100

150

200

250

300310×

Data 2011Signal FitBackground Fit

6 10× 0.002) ± = (2.208 ψJ/N 0.003 GeV±= 3.094 ψJ/m

1 MeV± = 60 ψJ/mσ

ATLAS Preliminary

-1 0.24 fb≈ L dt ∫

= 7 TeVs

[GeV]µµm

8 9 10 11 12

Eve

nts

/ ( 0

.1 G

eV )

0

20

40

310×

ATLAS Preliminary-1

0.24 fb≈ L dt ∫ = 7 TeV s

Data 2011

Signal fit

Background fit

Barrel + Barrel

0.001 GeV±) = 0.119 1S

Υ(σ

3 10× 0.5) ±) = (74.1 1SΥN(

Рис. 4. Димюонные спектры инвариантных масс в области J/ψ и ψ(2S) (слева) иΥ(1S, 2S, 3S) мезонов (справа)

Сечения рождения кваркониев

Состояния кваркония интересны не только с методической точки зре-ния. Процессы их рождения, особенно в новой области энергий, представ-ляют интерес для теории. Используя значительное количество событийс восстановленными J/ψ и Υ, АТЛАС измерил дваждыдифференциаль-ные сечения рождения этих мезонов в нескольких областях быстротыy и поперечного импульса pT мезонов. Анализ производился на основеданных 2010 года, когда относительно невысокая светимость ускорителяпозволяла использовать наименее строгий триггерный отбор и получитьнаибольшую статистику при малых поперечных импульсах. Для восста-новления истинного числа событий в каждом интервале, для каждого со-бытия вычислялся вес, который зависел от кинематического аксептанса(вероятности того, что мюоны с данными характеристиками могут бытьзарегистрированы в детекторе), коэффициента, учитывающего размы-тие измеренного импульса мюона относительно истинного, эффективно-стей восстановления трека во внутреннем детекторе и в мюонном спек-трометре и эффективности триггерной системы для регистрации двухмюонов (с разным знаком заряда). Кинематический аксептанс зависитот спиновой выстроенности рождҷнных мезонов относительно оси ре-акции и ориентации плоскости распада. Эти параметры для LHC ещҷне измерены, поэтому на основе Монте-Карло моделирования были изу-чены все возможные варианты выстроенности и наибольшие вариацииучитывались как систематические неопределҷнности (т.н. spin-alignmentenvelope). На Рис.2 показано сечение рождения J/ψ в зависимости отpT мезона для одного из 4-х изученных интервалов быстрот из рабо-ты [2] (показаны также данные CMS-коллаборации). На Рис.3 аналогич-ное распределение для Υ из [3] вместе с предсказаниями NLO вычис-

21

лений. J/ψ могут рождаться через два механизма: прямое рождение вpp-соударениях и распадах более тяжҷлых состояний чармония, и в рас-падах b-адронов, рождҷнных в столкновении. Распады прямых мезоновпроисходят очень близко к первичной венршине, тогда, как b-адроны,имея значительное время жизни, распадаются вдали от неҷ. Измеряяраспределение расстояния точки распада J/ψ от первичной вершины,можно определить пропорции мезонов, родившихся через каждый ме-ханизм и их характеристики. На Рис.4 и 5 показаны сечения рождениянепрямых и прямых J/ψ в зависимости от pT совместно с теоретически-ми предсказаниями ряда моделей.

[GeV]T

ψJ/p7 8 910 20 30 40 50

dy [n

b/G

eV]

T/d

pσ2

)d- µ+ µ→

ψB

r(J/

-310

-210

-110

1

10

210

ATLAS

-1L dt = 2.2 pb∫= 7 TeVs

|<0.75ψJ/

|yATLAS |<1.2

ψJ/|yCMS

Spin-alignment envelope

Inclusive cross-section

Рис. 5. Сечение рождения J/ψ в зави-симости от pT для |y| < 0.75

[GeV](1S)ϒT

p

0 5 10 15 20 25 30

) [p

b/G

eV]

- µ + µ →

(1S

) ϒ

BR

(×

dy

T/d

pσ2 d

-110

1

10

210

Data 2010

NRQCD, Pythia8

CSM NLO(direct only)

|<1.2(1S)ϒ

|y

>4 GeVµ

T|<2.5, pµη|

ATLAS

-1 Ldt=1.13 pb∫=7 TeV, s

Рис. 6. Сечение рождения Υ(1S)в зави-симости от pT для |y| < 1.2

[GeV]T

ψJ/p10

dy [n

b/G

eV]

T/d

pno

n-pr

ompt

σ2)d- µ+ µ

→ψ

Br(

J/ -510

-410

-310

-210

-110

1

10 |<0.75ψJ/

|yATLAS

Spin-alignment envelopeXψ J/→FONLL B

ATLAS

Non-prompt cross-section

-1L dt = 2.2 pb∫= 7 TeVs

Рис. 7. Сечение рождения непрямыхJ/ψ в зависимости от pT для |y| < 0.75

[GeV]T

ψJ/p0 10 20 30 40 50 60 70

dy [n

b/G

eV]

T/d

ppr

ompt

σ2)d- µ+ µ

→ψ

Br(

J/ -510

-410

-310

-210

-110

1

10|<0.75

ψJ/|yATLAS

Spin-alignment envelopeColour Evaporation ModelNLO Colour SingletNNLO* Colour Singlet

ATLAS

Prompt cross-section

-1L dt = 2.2 pb∫= 7 TeVs

Рис. 8. Сечение рождения прямых J/ψв зависимости от pT для |y| < 0.75

Рождение очарованных мезонов

В эксперименте АТЛАС также изучалось рождение D-мезонов [4].D+

s реконструировался в канале D+s → ϕπ → (KK)π и D+ в канале

22

D+ → Kππ. Также реконструировался D∗+. На Рис.6 показаны диффе-ренциальные сечения рождения D∗±-мезонов как функция pT и псевдо-быстроты η в сравнении с NLO КХД вычислениями.

) [GeV]±(D*T

p5 10 15 20 25 30 35 40

b/G

eV]

µ)

[±

(D*

T/d

pσd

-110

1

10

210

) [GeV]±(D*T

p5 10 15 20 25 30 35 40

b/G

eV]

µ)

[±

(D*

T/d

pσd

-110

1

10

210

ATLAS Preliminary = 7 TeVs -1 = 1.1 nbintL

Data 2010POWHEG-PYTHIA

POWHEG-HERWIG

MC@NLO

)|±(D*η|0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

b]µ)|

[±

(D*

η/d

|σd

0

50

100

150

200

250

300

)|±(D*η|0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

b]µ)|

[±

(D*

η/d

|σd

0

50

100

150

200

250

300ATLAS Preliminary = 7 TeVs -1 = 1.1 nbintL

Data 2010

POWHEG-PYTHIAPOWHEG-HERWIGMC@NLO

Рис. 9. Дифференциальные сечения рождения D∗± в зависимости от pT (слева) ипсевдобыстроты (справа)

Эксклюзивные каналы распада В-мезонов

Реконструкция отдельных каналов распада В-мезонов также важ-ный этап в понимании методических особенностей установки и необ-ходимая составляющая дальнейших исследований в области изученияCP-нарушений и редких распадов b-адронов. Были реконструированыраспады B± → Jψ(µµ)K± , B0 → Jψ(µµ)K∗(Kπ) B± → Jψ(µµ)ϕ(KK)(См. пример реконструкции на Рис. 7 и подробно в [5, 6]).

(MeV)*0KψJ/m

5100 5200 5300 5400 5500

Eve

nts

/ ( 2

0 M

eV )

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000 MeV(stat.) 1.3± = 5278.6

d0B

m

MeV(stat.) 2.0± = 36.8 σ MeV(stat.) 150± = 2680

d0B

N

cutτNo

ATLAS Preliminary = 7 TeVs

-1 L dt = 40 pb∫

(MeV) KKψJ/m

5200 5300 5400 5500 5600

Eve

nts

/ ( 1

8 M

eV )

0

20

40

60

80

100

120 MeV(stat.) 1.4± = 5364.0 SBm

(stat.) 22± = 358 SBN

> 0.40 psτ MeV(stat.) 1.5± = 26.6 σ

ATLAS Preliminary = 7 TeVs

-1 L dt = 40 pb∫

Рис. 10. Сигналы B0 → Jψ(µµ)K∗(Kπ) (лев.) и B± → Jψ(µµ)ϕ(KK) (прав.)

Заключение

Уже в первый год набора данных эксперимент АТЛАС представилряд интересных результатов также и в области физики тяжҷлых кварков

23

- дифференциальные сечения рождения состояний кваркония измереныв прежде недоступной области кинематических переменных, определеныдоли прямых и непрямых J/ψ, рождҷнных в рр-соударениях при 7ТэВ.Сечения рождения прямых мезонов демонстрируют некоторое различиес предсказаниями теории. Несклько важных каналов распада D и В-мезонов измерены. В ближайшем будущем будут завершены измерениявремҷн жизни этих состояний, начато изучение процессов CP-нарушенийв их распадах и поиск явлении Новой Физики в редких распадах В-мезонов на основе быстро растущего объҷма данных 2011 года.

Список литературы[1] ATLAS Collaboration, JINST 3, S08003 (2008)

[2] ATLAS Collaboration, Nucl.Phys. B 850 (2011) 387.

[3] ATLAS Collaboration, arXiv:1106.5325v1 [hep-ex], accepted forpublication Phys.Lett. B.

[4] ATLAS Collaboration, ATLAS-CONF-2011-017,http://cdsweb.cern.ch/record/1336746.

[5] ATLAS Collaboration, ATLAS-CONF-2011-050,http://cdsweb.cern.ch/record/1341815.

[6] ATLAS Collaboration, ATLAS-CONF-2010-098,http://cdsweb.cern.ch/record/1307530

24

6. Струи на Tevatron и LHCМ.В.Токарев, Т.Г.Дедович

Объединенный институт ядерных исследований,141980 Дубна, Московская область, Россия

tokarev@jinr.ru

Аннотация

Изучается самоподобие рождения струй в pp и pp взаимодей-ствиях в рамках теории z-скейлинга. Анализируются спектры рож-дения струй, измеренные коллаборациями CDF и D0 на Tevatronи коллаборациями CMS и ATLAS на LHC. Обсуждаются новыерезультаты, подтверждающие асимптотическое поведение скей-линговой функции ψ(z) и представляющие интерес для изученияфрактальной структуры импульсного пространства на малых мас-штабах.

Введение

Струи традиционно рассматриваются как наиболее адекватные проб-ники для изучения взаимодействия адронных конституентов при высо-ких энергиях. Интерес вызывает как само рождение струй c большимипоперечными импульсами, так и рождение новых частиц, идентифици-руемых с помощью струй и рассматриваемых в качестве сигнатур новойфизики. Новые данные об инклюзивных сечениях рождения струй в ppстолкновениях при энергии

√s = 7000 ГэВ на LHC [1, 2] анализируются

в рамках теории z-скейлинга [3]. Полученные результаты сравнивают-ся с данными по рождению струй в pp взаимодействиях при меньшихэнергиях

√s = 630, 1800, 1960 ГэВ на Tevatron [4, 5, 6, 7].

z-Скейлинг

Метод феноменологического описания (z-скейлинг) инклюзивныхспектров рождения частиц с большими поперечными импульсами, раз-виваемый в работах [3, 8] применен для анализа новых данных [1, 2] порождению струй в pp столкновениях на LHC. Он базируется на прин-ципах локальности, самоподобия и фрактальности, отражающих свой-ства структуры частиц, взаимодействия их конституентов и механизмаадронизации. Предполагается, что столкновение адронов выглядит какансамбль самоподобно взаимодействующих конституентов.

Структура сталкивающихся объектов (адронов, ядер) с массами M1 иM2 характеризуется параметрами (фрактальными размерностями) δ1 и

25

δ2. Взаимодействующие конституенты несут доли x1, x2 импульсов стал-кивающихся частиц P1, P2. Инклюзивная частица с массой m1 уносит им-пульс p. Элементарный подпроцесс рассматривается как бинарное столк-новение конституентов (x1M1) и (x2M2), приводящее к рождению части-цы (m1) и системы с массой (MX) в конечном состоянии. Предполагается,что для подпроцесса выполняется закон сохранения импульса

(x1P1 + x2P2 − p)2 =M2X , (13)

где MX = x1M1 + x2M2 +m2 масса системы, балансирующая рождениеинклюзивной частицы. Это уравнение выражает локальность взаимодей-ствия адронов на конституентном уровне.

Параметры δ1, δ2 связаны с долями x1, x2 импульсов степенной функ-цией

Ω(x1, x2) = (1− x1)δ1(1− x2)

δ2 . (14)

Величина Ω пропорциональна относительной доле таких конституент-ных взаимодействий, которые приводят к рождению данной инклюзив-ной частицы, и определяется долями x1 и x2. В данном анализе мы ис-пользуем соотношения δ1 = δ2 ≡ δ, M1 = M2, и m2 = m1 ≡ 0, есте-ственные для рождения струй как в pp, так и в pp взаимодействиях. Вработе [3] установлено, что параметры δ1 и δ2 постоянны (не зависят откинематических переменных). Они интепретируются как фрактальныеразмерности сталкивающихся частиц в пространстве долей импульсовx1, x2.

Скейлинговая переменная z представима в виде z = z0Ω−1. Величи-

на z0 выражается через поперечную кинетическую энергию подпроцессаs1/2⊥ , необходимую для рождения частиц (m1) и (m2) и плотность множе-

ственности dN/dη|0 при η = 0.Скейлинговая функция, записанная в виде

ψ(z) = − πs

(dN/dη)σinJ−1E

d3σ

dp3, (15)

выражается через инклюзивное сечение Ed3σ/dp3, плотность множе-ственности dN/dη и полное неупругое сечение σin. Величина

√s - энергия

столкновения в системе центра масс, J - якобиан перехода от переменныхpz, pT к переменным z, η. Функция ψ(z), нормированная на едини-цу, имеет физическую интерпретацию плотности вероятности рождениячастицы с данным значением величины z.

26

Самоподобие рождения струй на LHC

Инклюзивное сечение рождения струи определяет вероятность ее на-блюдения в адрон-адронном столкновении. Рождение струи рассматри-вается как прямое указание на взаимодействие адронных конституентов(кварков и глюонов) с большой передачей импульса.

В данной работе новые данные [1, 2], по инклюзивным сечениям рож-дения струй в pp столкновениях при энергии

√s = 7000 ГэВ, полученные

на LHC, анализируются в рамках теории z-скейлинга и сравниваются саналогичными данными [4, 5, 6, 7], полученными в экспериментах CDFи D0 на pp коллайдере Tevatron. Эти данные позволяют изучить энер-гетическую зависимость скейлинговой функции ψ(z) в широкой областиэнергий

√s = 630− 7000 ГэВ.

a) b)

Рисунок 1. Сечения рождения инклюзивной струи в pp столкнове-ниях при энергии

√s = 7000 ГэВ и в pp столкновениях при

√s =

630, 1800, 1960 ГэВ и θ ≃ 900, измеренные коллаборациями CMS [1], D0[4, 5] (a) и CDF [6, 7] (b) в z-представлении.

На рисунке 1 показано z-представление спектров струй, измеренныхколлаборациями CMS на LHC, D0 (a) и CDF (b) на Tevatron. Данныедемонстрируют энергетическую независимость скейлинговой функции вцентральной области псевдобыстрот. Наблюдается степенной поведениеψ(z) в широкой области z. Из рисунка видно, что функция ψ(z) изменяет-ся больше чем на двенадцать порядков. Пунктирная линия соответству-ет асимптотическому поведению ψ(z). Отклонение от асимптотическогоповедения наблюдается при z < 102. Данные CMS, используемые дляопределения сечений, соответствуют интегральной светимости 34 пб−1.

27

a) b)

Рисунок 2. Спектры рождения инклюзивной струи в pp столкновенияхпри энергии

√s = 7000 ГэВ в различных интервалах по псевдобыстроте

η в z-представлении. Экспериментальные данные, полученные коллабо-рациями CMS и ATLAS, взяты из [1, 2].

Спектры струй восстановлены до pT ≃ 1000 ГэВ/с. Отметим, что ми-нимальное значение ψ(z) при z ≃ 7 · 103 достигнуто на Tevatron приимпульсе pT ≃ 600 ГэВ/с и энергии

√s = 1960 ГэВ.

На рисунке 2 приведены инклюзивные спектры струй [1, 2], рожден-ных в pp столкновениях при энергии

√s = 7000 ГэВ и охватывающие

область поперечных импульсов pT = 20 − 1350 ГэВ/с и псевдобыстрот|η| < 4.4 в z-представлении. Из рисунка видно, что данные демонстри-руют угловую независимость ψ(z). Скейлинговая функция описывает-ся степенным законом ψ(z) ∼ z−β с постоянным значением параметранаклона β. Результаты проведенного анализа данных LHC находятся вхорошем согласии с результатами угловой независимости ψ(z), установ-ленной ранее при анализе данных CDF и D0 [9].

Коллаборация ATLAS для анализа спектров струй использовала ста-тистику, соответствующую интегральной светимости 37 пб−1. Спектрыизмерены в области pT = 25 − 1350 ГэВ/с. Достигнуто максимальноезначение величины z ≃ 104. Полученные результаты подтверждают са-моподобие рождения струй до масштабов 10−4 Фм.

В работе [9] установлено, что предсказания в следующим за лидиру-ющим порядком КХД инклюзивных спектров струй при больших попе-речных импульсах демонстрируют драматическое отклонение от асимп-тотического поведения ψ(z), найденного в рамках z-скейлинга. Это по-ведение не воспроизводиться КХД эволюцией сечений с используемыми

28

феноменологическими партонными распределениями [9]. Мы полагаем,что асимптотическое степенное поведение ψ(z) могло бы быть использо-вано как дополнительное ограничение на глюонную функцию распреде-ления при глобальном КХД анализе, включающем новые данные LHCпо рождению струй при энергии

√s = 7000 ГэВ.

Заключение

Новые данные по спектрам инклюзивных струй, полученные колла-борациями CMS и ATLAS на LHC, вплоть до самых больших поперечныхимпульсов, достигнутых в настоящее время на ускорителях, подтвер-ждают энергетическую и угловую независимости функции ψ(z), уста-новленную ранее при энергиях Tevatron. Степенное поведение скейлин-говой функции интерпретируется как проявление локальности, самопо-добия и фрактальности адронных взаимодействий при высоких энерги-ях на конституентном уровне. Мы полагаем, что проверка асимптотиче-ского поведения ψ(z) ∼ z−β в рождении струй при больших импульсахpT > 2000 ГэВ/с могла бы дать информацию о фрактальной структуреимпульсного пространства.

Список литературы[1] C. Dragoiu (for CMS Collab.), XIX Int. Workshop DIS2011, April 11-15,

2011, Newport News, VA, USA; http://conferences.jlab.org/DIS2011/;arXiv:1106.0208v1 [hep-ex] 1 Jun 2011.

[2] J. Zhang (for ATLAS Collab.), XIX Int.Workshop DIS2011, April 11-15,2011, Newport News, VA, USA; http://conferences.jlab.org/DIS2011/

[3] M.V. Tokarev, T.G. Dedovich, Int.J.Mod.Phys. A 15, 3495 (2000).

[4] B. Abbott et al., Phys.Rev.Lett. 82, 2451 (1999); Phys.Rev. D 64, 032003(2001).D. Elvira, Ph.D Thesis Universodad de Buenos Aires, Argentina (1995).V.M. Abazov et al., Phys.Lett. B 525, 211 (2002); Phys.Rev.Lett. 101,062001 (2008).

[5] M. Begel et al. (D0 Collab.), hep-ex/0305072.M. Voutilainen (for D0 Collab.) XIV Int.Workshop DIS2006, April 20-24, 2006, Tsukuba, Japan; http://www-conf.kek.jp/dis06/J. Commin (for D0 Collab.) XV Int. Workshop DIS2007, April 16-20,2007, Munich, Germany; http://www.mppmu.mpg.de/dis2007/

29

[6] F. Abe et al., Phys.Rev.Lett. 77, 438 (1996).T. Affolder et al., Phys.Rev. D 64, 032001 (2001).

[7] A. Abulencia et al., Phys.Rev.Lett. 96, 122001 (2006); Phys.Rev. D 74,071103 (2006); Phys.Rev. D 75, 092006 (2007).

[8] I. Zborovsky, M.V. Tokarev, Phys.Rev. D 75, 094008 (2007).

[9] M.V. Tokarev, T.G.Dedovich, in Relativistic Nuclear Physics andQuantum Chromodynamics (Proceedings of the XIX InternationalBaldin Seminar on High Energy Physics Problems, September 29 -October 4, 2008, Dubna, Russia), eds. by A.N.Sissakian, V.V.Burov,A.I.Malakhov, S.G.Bondarenko, E.B.Plekhanov, JINR, Vol.2, pp.187-197, 2008.

30

7. Ондуляторное излучение в периодическоммагнитном поле с постояннойсоставляющей

К.В. ЖуковскийКафедра оптики и спектроскопии, физический факультет МГУ,

119992 Москва, Воробьевы горыАдрес электронной почты: zhukovsk@phys.msu.ru

Аннотация

Представлено аналитическое исследование влияния постоянно-го магнитного поля на излучение плоского ондулятора с использо-ванием обобщенных специальных функций. Изучается поведениеинтенсивности и спектра излучения как на оси ондулятора, таки вне ее в составном магнитном поле. Аналитически вычисляет-ся критическая величина напряженности постоянной составляю-щей магнитного поля, оказывающая заметное влияние на движе-ние электронов в ондуляторе. Рассмотрены примеры несколькихплоских ондуляторов, проведена оценка влияния земного магне-тизма на спектр их излучения, даны практические рекомендациипо уменьшению этого влияния.

В течение последних 50 лет свойства синхротронного (СИ), ондулятор-ного излучения (ОИ) – высокая интенсивность пучка и локализация вузком конусе Џ являлись решающими для многих приложений и дляпоявления и развития лазеров на свободных электронах ЛСЭ [1]. Раз-витие теории излучения электронов в магнитных полях различных кон-фигураций [1, 2, 3, 4] и разработка новых конфигураций этих устройств[4, 5], а также источников излучения – лазеров на свободных электро-нах (ЛСЭ) – определяет повышенный интерес к исследованию излученияультрарелятивистских зарядов, движущихся во внешних магнитных по-лях. Повышаются требования к качеству ОИ, которое сильно зависит отприсутствия непериодических компонент и искажений магнитного по-ля в ондуляторе. Они могут быть присущи самому ондулятору ввиду,например, конструкции магнитов, ошибок намагничивания и неидеаль-ности гармонического поля, связанной с условиями выполнения уравне-ний Максвелла (см., например, [6]). Из-за присутствия магнитного поляЗемли, по всей длине ондулятора практически всегда присутствует по-стоянная компонента магнитного поля Bd.

Мы приняли во внимание оба явления – как однородное, так и неодно-родное уширение спектральных линий ОИ и представили аналитический

31

метод расчета излучения электрона, движущегося в ондуляторе, где по-стоянная компонента магнитного поля Bd = κB0 наложена на периоди-ческое поле ондулятора B0 (см. также [7]). В этом случае электрон дви-жется по гораздо более сложной траектории, меняется спектр излучения,частоты, ширина и форма спектральных линий. Полученные выражениядля резонансных частот на оси включают угол отклонения θH , которыйзависит только от суммы квадратов компонент постоянной компонентымагнитного поля, образующими его напряженность. Показано как эф-фект постоянного поля накапливается вдоль оси ондулятора с каждымпериодом и что он зависит от их числа N . Интенсивность излучения наоси при условии слабого постоянного магнитного поля определяется ря-дом резонансных частот, записанных через обычные функции Бесселяи обобщенные функции Эйри. Метод обобщенных функций позволяетполучить аналитические решения с использованием обобщенных функ-ции Бесселя четырех аргументов также и при сравнимых напряженно-стях постоянного и периодического полей. Постоянная компонента поляBd приводит к появления четных гармоник в спектре и модифицируетнечетные гармоники. Замечателен тот факт, что интенсивность излуче-ния четных гармоник определяется только модулем напряженности по-стоянного поля, а не ее направлением. Отсюда следует, что исключитьих можно, только ориентировав ось ондулятора по направлению постоян-ного поля, и никаким другим вращением устранить это влияние нельзя.Физическая причина изменения спектра излучения — не в отклоненииэлектронов в каком-то определенном направлении от оси, а в расстройкекогерентности осцилляций электронов в ондуляторе при прохожденииэлектронами постоянного магнитного поля. Исследование уширения ос-новной гармоники ондулятора как на оси, так и вне ее, с использованиемобобщений функции Эйри S(α, β, ε) иллюстрирует влияние постоянно-го магнитного поля. Продемонстрирован сдвиг резонансной частоты иуменьшение высоты максимума. Показано, что влияние индуцирован-ного угла изгиба θH на интенсивность гармоники сильнее, чем влияниеотклонения от оси на такой же угол. С использованием нового выраже-ния для спектра ондулятора с дополнительным постоянным магнитнымполем получено условие применимости хорошо известной формулы дляосновной частоты излучения ωR0 плоского ондулятора при наложениислабого постоянного поля. Анализ ОИ дополнен рассмотрением эффек-тов неоднородного уширения спектральных линий, эффективно отвеча-ющего за разного рода потери при распространения пучков в ондулято-рах и отклонения формы периодического поля от синусоидальной, чтобыудовлетворялись уравнения Максвелла. Учет влияния постоянного маг-нитного поля через соответствующий параметр κ на форму спектральной

32

линии ондулятора со 100 периодами показывает, что эффект постояннойкомпоненты магнитного поля в ондуляторе пренебрежимо мал, пока зна-чение κ < 10−4. Заметное искажение спектральной линии происходит вдипольном поле напряженности Bd > 1.5× 10−4B0. Ситуация значитель-но изменяется с увеличением числа периодов ондулятора N . Так, дляондулятора с 200 периодами в присутствии постоянного магнитного поляBd = 1×10−4B0 искажения спектральной линии появляются уже при от-ношении напряженностей постоянного и переменного полей κ ∼ 5×10−5.Более того, максимальная разумная напряженность постоянной компо-ненты магнитного поля Bd для такого ондулятора составляет 7×10−5B0.Тогда очевидно, что искажения спектральной линии ондулятора с 200периодами при Bd = 1 × 10−4B0 очень значительны. Так как магнитноеполе Земли имеет как раз такой порядок относительно периодическогополя в ондуляторе, то в рассмотренном случае нужно принимать все ме-ры по тщательному экранированию постоянной компоненты поля или еекомпенсации внешними катушками с током.

Итак, нами проведен анализ излучения плоского ондулятора и вли-яния постоянного магнитного поля на излучение как на его оси, так ипод произвольным углом к ней, с применением техники функций Бессе-ля многих переменных. Для учета постоянной компоненты магнитногополя развита техника обобщенных функций Эйри. Использование обоб-щенных форм специальных функций многих переменных позволило по-лучить аналитические выражения для спектра и интенсивности ОИ, атакже критической величины постоянного магнитного поля, при кото-рой начинаются значительные искажения спектра, формы спектральнойлинии и пространственного распределения излучения ондулятора, зави-сящие только от величины постоянного поля. Разработанный нами под-ход позволяет получить аналитическое решение задачи с периодически-ми полями необычных и сложных составных конфигураций. Становитсялегко доступным физический смысл полученных решений и их анализ.Компактная аналитическая форма решений позволяет провести анализвклада каждой из компонент поля и учет искажений спектра и уши-рения спектральных линий, имеющих место в реальных устройствах сзаданным числом периодов и другими характеристиками.

Список литературы[1] I.M. Ternov, V.V.Mikhailin, V.R.Khalilov “Synchrotron Radiation and

its Applications” (in Russian), (Moscow University, Moscow), 1980.

33

[2] V.A. Bordovitsyn (Ed.) “Synchrotron Radiation theory and itsdevelopment” (in the memory of I.M.Ternov), (World Scientific.Singapore), 1999.

[3] E.E. Koch (Ed.) “Handbook of Synchrotron Radiation”, (North Holland.Amsterdam), 1983

[4] A.A.Sokolov, D.V.Galtsov, V.Ch.Zhukovsky Zh. Tekhn. Fiz. , N 43, 682(1973)

[5] G.Dattoli, V.V.Mikhailin, P.L.Ottaviani, K.Zhukovsky Journal ofApplied Physics , 100, 084507 (2006).

[6] D.F.Alferov, Yu.A.Bashmakov, P.A.Cherenkov Usp. Fiz. Nauk, N3, 389(1989).

[7] G.Dattoli, V.V.Mikhailin, K.V.Zhukovsky Journal of Applied Physics ,104, 124507 (2008).

34

8. Численное исследование решеточноймодели Вайнберга - Салама

М.А.ЗубковИнститут Теоретической и Экспериментальной Физики,

117218 Россия, Москва ул. Большая Черемушкинская, 25 , Адресэлектронной почты: zubkov@itep.ru

АннотацияРешеточная модель Вайнберга - Салама без динамических фер-

мионов исследована численно при значении угла Вайнберга θW ∼30o, и затравочной постоянной тонкой структуры α ∼ 1

150 . Рас-сматривается модель при затравочной массе Хиггса в районе 150ГэВ. Мы исследуем явления, возникающие в окрестности фазово-го перехода между физической Хиггсовской фазой и нефизическойсимметричной фазой решеточной модели. Это именно та областьфазовой диаграммы, где предполагается искать переход к непре-рывной физике. Мы находим указание на то, что при энергиях мас-штаба 1 ТэВ непертурбативные явления могут быть существенны.

Введение

Физическая шкала фиксируется нами, используя массу Z-бозонаMphys

Z ∼ 90 ГэВ. Тогда длина ребра решетки равна a ∼ [90GeV]−1MZ , гдеMZ - это масса Z бозона в решеточных единицах. Внутри физическойфазы теории линии постоянной физики (ЛПФ) определяются как соот-ветствующие постоянным перенормированным физическим постоянным.(постоянная тонкой структуры α, угол Вайнберга θW , и отношение мас-сы Хиггса к массе Z-бозона η =MH/MZ). Точки ЛПФ параметризуютсядлиной ребра решетки. При увеличении ультрафиолетового обрезанияпри движении вдоль ЛПФ, соответствующей реалистическим значениямα, θW , и η происходит приближение к фазовому переходу между физи-ческой фазой и нефизической фазой.

Ниже используются следующие решеточные переменные: 1. Калиб-ровочное поле U = (U, θ), где U ∈ SU(2), eiθ ∈ U(1), определенноена линках решетки. 2. Скалярный дублет Φα, α = 1, 2. Действие мырассматриваем в следующем виде

S = β∑

plaquettes

((1− 12TrUp) +

1

tg2θW(1− cos θp)) +

−γ∑xy

Re(Φ+UxyeiθxyΦ) +

∑x

(|Φx|2 + λ(|Φx|2 − 1)2), (16)

35

Затравочная постоянная тонкой структуры α выражается через β и θWкак α = tg2θW

πβ(1+tg2θW ). Также имеют место следующие древесные оцен-

ки: v =√

2γ−γcλ

;MH = v√

8λγ;MZ = v

√γ

β cos2θW; γc = 1−2λ

4; Λ = π

a=√

π2λβ2γ(γ−γc)

[80GeV].При λ < 1/2 древесные оценки предсказывают, что ультрафиолетовое

обрезание возрастает вдоль ЛПФ с уменьшением γ, причем в точке пе-рехода она становится бесконечной. Тем самым древесное приближениепредсказывает существование фазового перехода второго рода. Однако,благодаря непертурбативным эффектам эта картина может модифици-роваться. А именно, фазовый переход, может вырождаться в кросовер.

Численные результаты

В нашем исследовании мы фиксируем затравочный угол Вайнбергаравным 30o, кроме того мы фиксируем β = 12, что соответствует зна-чению постоянной тонкой структуры в районе 1/150, затравочное зна-чение λ = 0.0025 используемое нами соответствует массе Хиггса ∼ 150ГэВ. Таким образом, единственным параметром является γ. При боль-ших значениях этого параметра система находится в физической фазе,где скалярное поле сконденсировано. При уменьшении γ система пере-ходит в симметричную фазу, где конденсат отсутствует. Приближение кнепрерывной физике в рамках решеточной модели осуществляется приприближении к фазовому переходу. Симуляции производились на решет-ках размера 83 × 16, 123 × 16, 164. Также производилась проверка рядарезультатов на решетке 163 × 32.

Данные линковой части действия 14N

∑xy Φ

+xUxye

iθxyΦy (часть дей-ствия наиболее чувствительная к изучаемому фазовому переходу) де-монстрируют отсутствие сигнала двух состояний, что говорит о том, чтомы не имеем дело с фазовым переходом первого рода. Также эти дан-ные указывают, что в точке, близкой к γ′c ∼ 0.25775 имеет место разрывпроизводной термодинамических потенциалов, что говорит о том, что вэтой точке на решетках бесконечного размера может иметь место фазо-вый переход второго рода.

Наши данные показывают, что Λ = πa= (π × 91 GeV)/MZ медленно

растет с уменьшением γ при любом фиксированном λ. Мы исследовалиболее подробно окрестность фазового перехода для λ = 0.0025 и β = 12.Было обнаружено, что при γ > γ′c значение Λ на решетках вплоть доразмера 164 не превышает величины в несколько ТэВ. В то же времяпри γ ≤ γ′c решеточная масса Z - бозона не может быть вычислена из -

36

за больших статистических ошибок в корреляторе.Ультрафиолетовый эффективный потенциал меняет свою форму в

точке γc = 0.26 [3]. Плотность монополей Намбу как функцию от γ приλ = 0.0025, β = 12 растет с уменьшением γ. Значение плотности монопо-лей при γc = 0.26 - около 0.1. В этой точке значение ультрафиолетовогообрезания Λ ∼ 1.2±0.2 ТэВ. В соответствии с классическими представле-ниями размер монополя Намбу - порядка M−1

H . Тогда для a−1 ∼ 400 ГэВи MH ∼ 150 ГэВ ожидаемый размер монополя - около 2-х решеточныхединиц. Среднее расстояние между монополями, таким образом, меньше,чем длина ребра решетки и невозможно вообще говорить о данных кон-фигурациях как о представляющих физический монополь Намбу. Приγ = γc2 ∼ 0.262 плотность монополей Намбу - около 0.03. Среднее рас-стояние между монополями, таким образом, - примерно две длины ребрарешетки или ∼ 1

160Gev. Мы видим, что при этом значении γ среднее рас-

стояние между монополями Намбу - порядка их размера.Суммируем указанные наблюдения. Внутри Флуктуационной Обла-

сти (ФО) при γ′c < γ < γc2 рассматриваемые конфигурации не пред-ставляют отдельно расположенных монополей Намбу. Вместо этого, онидолжны рассматриваться как представляющие собрание плотно распо-ложенных монополей. С другой стороны, при γ >> γc2 рассматрива-емые конфигурации представляют отдельно расположенные монополи,поскольку их размеры в этой области существенно меньше средних рас-стояний между ними. Другими словами, вне ФО вакуум представляетсобой разреженный газ монополей Намбу, а внутри ФО - жидкость, со-ставленную из монополеподобных объектов.

Внутри Z - струны, соединяющей монополи Намбу, а равно и внутрисамих монополей |Φ| = 0. Это означает, что монополь Намбу вместе сZ - струной может рассматриваться как зародыш нефизической фазывнутри физической. Мы видим, что плотность этих зародышей растетпри приближении к точке перехода. Внутри ФО две фазы перемешаны,что связано с большим значением монопольной плотности.

Таким образом, мы приходим к выводу, что динамика решеточноймодели Вайнберга - Салама внутри ФО не имеет ничего общего с обыч-ной теорией возмущений. Это значит, что разложение вокруг тривиаль-ного вакуума (калибровочное поле равно нулю, скалярное поле равно(ϕm, 0)

T ) не должно применяться внутри ФО.

Список литературы[1] W. Langguth , I. Montvay, , P. Weisz, Nucl.Phys.B277:11,1986.

37

[2] M.A. Zubkov, Phys.Lett.B684:141-146,2010

M.A. Zubkov, Phys.Rev.D82:093010,2010

[3] "Effective constraint potential in lattice Weinberg - Salammodel M.I.Polikarpov, M.A.Zubkov, Physics Letters B 700 (2011)pp. 336-342, [arXiv:1104.1319]

[4] Y. Nambu, Nucl.Phys. B 130, 505 (1977);Ana Achucarro and Tanmay Vachaspati, Phys. Rept. 327, 347 (2000);Phys. Rept. 327, 427 (2000).

[5] M.N. Chernodub, JETP Lett. 66, 605 (1997)

[6] M.I. Polikarpov, U.J. Wiese, and M.A. Zubkov, Phys. Lett. B 309, 133(1993).

[7] Peter Arnold, Olivier Espinosa, Phys.Rev.D47:3546,1993; Erratum-ibid.D50:6662,1994

Z. Fodor, A. Hebecker, Nucl.Phys. B432 (1994) 127-146

[8] A.I. Veselov, and M.A. Zubkov, JHEP 0812:109 (2008) ;

[9] I. Montvay, Nucl. Phys. B 269, 170 (1986).

[10] W. Langguth, I. Montvay (DESY) Z.Phys.C36:725,1987

38