C onsidérons un objet A qui estréunion d’objets plus petitsA1, A2, …, Ap qui sont chacun

des « réductions » de A. Formalisonsles choses en disant qu’il existe destransformations f1, f2, …, fp de l’espacedans lui-même qui transforment suc-cessivement A en A1, A2, …, Ap. Comme A = f1 (A) � f2 (A) � … � fp (A), on peut écrire : A1 = f1 (A) A1 = g1 (A1)� g2 (A1) � … � gp (A1) où gi = f1 � fi � f1

– 1.Autrement dit, les p objets A1, A2, …,Ap sont eux-mêmes réunions chacun dep objets réduits et ainsi de suite à l’in-fini. On retrouve ici la propriété dezoom des fractals : plus on zoome, etplus c’est pareil.

Poussons un peu plus la formalisation :considérons p transformations d’unespace euclidien E (�n pour simplifier)dans lui-même f1, f2, …, fp et asso-cions-leur la transformation f de l’en-semble des parties de E dans lui-même(autrement dit ce que nous avons appe-lé plus haut les objets) définie par : f (A) = f1 (A) � f2 (A) � … � fp (A).L’objet que nous recherchons doit toutsimplement vérifier f (A) = A, autre-ment dit être un point fixe de f.Il existe en mathématiques de nombreuxthéorèmes dits « du point fixe », quiénoncent sous certaines conditionsl’existence et/ou l’unicité d’un point fixepour certaines transformations. L’und’entre eux, dont l’énoncé précis se trou-ve dans tous les bons cours de spéciales,énonce que si l’espace est complet, et latransformation contractante (c’est-à-dire qu’elle réduit les distances), il y atoujours un point fixe unique et que deplus, en partant d’un élément quel-

Tangente Hors série n° 18. La magie des fractals

SAVOIRS par Robert Ferréol

Beaucoup d’objets naturels possèdent des parties semblablesau tout : une fleur de chou-fleur est un chou-fleur en réduc-tion, une branche d’arbre est un arbre miniature, etc. C’estcette remarque fondamentale qui va nous permettre deconstruire des objets fractals par une méthode simple due à J. E. Hutchinson (1970) et perfectionnée par Michael Barnsley.

Même dans des cas très simples, l’attracteur d’une famille de contraction

peut être fort complexe, et parfois très beau.

2

Construire des fractals

grâce aux AFC

L’éponge deMenger-Sierpinski.

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Hors série n° 18. La magie des fractals Tangente

DOSSIER : FRACTALS DÉTERMINISTES

3

conque et en itérant la transformation,on converge toujours vers ce point fixe.Ce théorème s’applique magnifique-ment ici. Si les p transformations f1, f2, …, fpsont toutes contractantes dans E (autre-ment dit : � x, y ∈ E d(f (x), f (y)) � k d (x, y)avec k constante � 1) alors la transfor-mation f est contractante dans l’en-semble des parties fermées et bornéesnon vides de E (les « compacts » de E)muni d’une distance appelée « distancede Hausdorff » (voir encadré à la pagexx) et on montre que cet ensemble estbien « complet ».D’où le théorème :Pour toute famille de contractions(f1, f2, …, fp) de E , il existe un uniquecompact non vide A vérifiant A = f1 (A) � f2 (A) � … � fp (A),appelé l’attracteur de la famille decontractions (nous abrégerons enAFC). De plus, partant, d’un com-pact non vide A0 quelconque, l’itéra-tion An = f (An – 1) converge toujoursvers A (au sens de la distance deHausdorff) (voir [5] pour unedémonstration).Dans les exemples que nous allons exa-miner, les contractions f1, f2, …, fpseront presque toujours de simplestransformations affines de déterminantstrictement inférieur à 1 en valeur abso-lue ; vous pourrez constater que mêmedans des cas très simples, l’attracteur Apeut être fort complexe, et parfois trèsbeau. Si les fi sont des similitudes derapport λi et si les fi (A) sont disjoints(sauf éventuellement en des points fron-tière), A est un fractal (en général - voirencadré sur la dimension topologique)de « dimension fractale » d définie par

�n

i � 1λi

d � 1.

Ce nombre d n’a pas été défini au

hasard, mais de façon à généraliser lanotion de dimension entière classique :chacun sait qu’une similitude de rap-port λ multiplie les longueurs descourbes (de “dimension” 1) par λ, mul-tiplie les aires des surfaces (de “dimen-sion” 2) par λ2 et multiplie les volumesdes solides (de “dimension” 3) par λ3.

Dimension topologique et notion de fractal

La dimension topologique d’une partiede Rn est un entier défini par récurrence quiexploite l’idée qu’un solide (dimension 3) a uncontour qui est une surface (dimension 2), etqu’une surface a un bord qui est une courbe(dimension 1) . Évidemment c’est plus compli-qué car il peut ne pas y avoir de contour (parexemple pour une sphère) et on est obligé dedéfinir la notion localement. De plus, ladimension peut ne pas être définie de façonunique ; pensons par exemple à la réuniond’une courbe et d’un solide (un ballon avecson fil !). La dimension topologique est unenotion topologique, ce qui signifie que deuxensembles homéomorphes ont même dimen-sion topologique (homéomorphe signifieintuitivement que les ensembles sont déduitsl’un de l’autre par étirement, sans coupure nirecollement) et elle est toujours inférieure ouégale à la dimension fractale. On peut mêmemontrer que c’est la borne inférieure desdimensions fractales des ensembleshoméomorphes à l’ensemble considéré.

Par exemple, la dimension topologique del’ensemble de Cantor est nulle, ainsi que celledu triangle de Cantor (dont la dimension frac-tale vaut 1), tandis que la dimension topolo-gique de la courbe de Koch est 1.

Mandelbrot a défini un fractal par le faitque sa dimension topologique soitstrictement inférieure a sa dimensionfractale.

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Une similitude de rapport λ devraitdonc multiplier la « mesure » d’unensemble de « dimension » d par λd. L’ensemble A vérifiant

A = f1 (A) � … � fp (A), sa « mesure » µ doit donc vérifier

µ � �n

i � 1λi

d µ,

ce qui donne bien �n

i � 1λi

d � 1.

Lorsque les similitudes sont toutes de

rapports , on obtient d � .

Auparavant, voici comment obtenir trèsrapidement, grâce à votre micro, uneimage de l’attracteur A.Puisqu’en partant de n’importe quelcompact non vide et en appliquant f àl’infini on aboutit toujours à A, il suffitde prendre comme compact de départun singleton, c’est-à-dire un point. Etau lieu de calculer à chaque étape lesimages des points par toutes les fi, cequi est beaucoup trop long, on en choi-sit une au hasard. Au bout de quelquescoups, le nuage obtenu donne une trèsbonne idée de A.

L’ensemble de Cantor

L’ensemble de Cantor est le premierAFC non trivial qui ait été étudié dansl’histoire des mathématiques. Mais ilne l’a pas été en tant que tel, car il pos-sède beaucoup de propriétés étrangesen plus de sa « fractalité ». On peut le définir comme l’attracteurde la famille des deux homothéties de� de rapport 1/3 et de centres 0 et 1. Le rapport 1/3 n’est pas choisi auhasard ! Tout d’abord, il doit être pluspetit que 1 pour que F soit contractan-te. Et si l’on prenait 1/2 l’on obtien-drait le très bête segment [0, 1] quin’est pas fractal...

Voici une vue de cet ensemble, que l’on acroisé avec [0, 1] pour obtenir une figureayant une épaisseur. Le véritable ensemble de Cantor est doncl’intersection de cette figure avec unedroite horizontale.

La dimension fractale de l’ensemble de

Cantor est � 0,63… ; mais ce quiavait motivé sa

construction par Cantor en 1883 est sapropriété d’être un ensemble fermésans point isolé tout en ayant un inté-rieur vide (c’est-à-dire qu’il necontient aucun intervalle de longueur� 0)Utilisons le théorème ci-dessus pourobtenir la construction classique del’ensemble de Cantor : on part du com-pact [0,1] et on applique F : on obtient

[0, �13

�] � [�23

�, 1]. On réitère le procédé :

le passage de l’étape n à l’étape n�1consiste à remplacer chacun des 2n seg-

ments de longueur �31n� par deux seg-

ments de longueur .

Le lecteur trouvera une foule de rensei-gnements sur la topologie de cetensemble fascinant dans [4].Mais voici pour le plaisir quelques pro-duits dérivés de l’ensemble de Cantorqui constituent des contre-exemples en

1�3 n � 1

ln 2�ln 3

ln n�ln m

1�m

Tangente Hors série n° 18. La magie des fractals4

SAVOIRS Les AFC

Il y a dans lenapperon de

Sierpinski uneinfinité de

copies de l’en-semble de

Cantor.

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topologie :

Le tartan de Cantor

Le teepee de Cantor

Le tapis de Sierpinski et ses généralisations

L’idée de l’ensemble de Cantor est decouper un segment en parties égales,d’enlever une de ces parties, et derecommencer. C’est cette idée qui pré-side aux tapis et éponges de Sierpinskique nous allons examiner. Un triangle est classiquement la réunionde 4 triangles 1/2-homothétiques (sépa-rés par les segments médians).Supprimons le triangle central, c’est-à-dire considérons uniquement les troishomothéties de rapport 1/2 centréesaux sommets.L’attracteur de cette famille est le « tri-angle (ou tamis) de Sierpinski », de

dimension fractale ln 3/ln 2 � 1,585....

Le triangle de Sierpinski

Un carré est la réunion de 9 carrés 1/3-homothétiques. Supprimons le carré cen-tral, c’est-à-dire considérons uniquementles 8 homothéties de rapport 1/3 centréesaux sommets et aux milieux des côtés.L’attracteur de cette famille est le tapis(ou carpette) de Sierpinski, de dimen-sion fractale

3 � 1,893...

Les diagonales et les médianes de cette

ln 2�ln 3

�

2

1

Hors série n° 18. La magie des fractals Tangente 5

DOSSIER : FRACTALS DÉTERMINISTES

AFCF.qxd 6/02/04 19:48 Page 5

carpette sont semblables à l’ensemblede Cantor.

Un cube est la réunion de 27 cubes 1/3-homothétiques (cf. le Rubik’s cube).Supprimons le cube central ainsi queles six cubes centrés sur les faces,c’est-à-dire considérons uniquementles 20 homothéties de rapport 1/3 cen-trées aux sommets et aux milieux desarêtes.L’attracteur de cette famille est l’épongede Menger-Sierpinski, de dimensionfractale ln 20/ln 3 � 2,727...Les faces de cette éponge sont destapis de Sierpinski.

Dans un hexagone, conservons unique-ment les 6 hexagones 1/3-homothé-tiques comme sur la figure suivante,c’est-à-dire considérons uniquementles 6 homothéties de rapport 1/3 cen-trées aux sommets.

La napperon de Koch

Nous avons dénommé l’attracteur, dedimension fractale ln 6/ln 3 � 1,631, lenapperon de Koch car la partie évidéecentrale est un flocon de Koch.Mais nous aurions pu tout aussi bienl’appeler napperon de Sierpinski pourson principe de construction, ou enco-re napperon de Cantor car il y a danscet ensemble une foule de copies del’ensemble de Cantor.

�

21

Tangente Hors série n° 18. La magie des fractals6

SAVOIRS Les AFC

La carpette deSierpinski.

�1 2

L’éponge deMenger-Sierpinski.

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Le lecteur aura à l’aide ces exemplescompris la généralité de la méthodeSierpinski : on détermine dans une figu-re n figures semblables à la figure dedépart qui ne se chevauchent pas, et onélimine le complémentaire de ces nfigures. Puis dans chacune de cesfigures, on réitère le procédé, ceci jus-qu’à l’infini. La figure limite est l’attrac-teur de la famille des n similitudes ayantservi à créer les n figures ci-dessus.À vous de créer de beaux fractals aveccette méthode !On peut aussi considérer l’attracteur

de n similitudes de rapport

centrées aux sommets d’un n-gone régu-lier. Nous l’avons baptisé polygone deKoch car ses “côtés” sont des courbesde Koch généralisées. Voici quelques vues des cas n = 5, 7 et 8.

La courbe de Koch et ses généralisations

On part dans le plan du segment [0, 1] del’axe des x que l’on remplace par 4 seg-ments de longueur 1/3 ainsi placés :

Et on réitère le procédé pour chacundes 4 segments.

On considère donc les images itéréesde [0, 1] par la famille formée des deuxhomothéties utilisées dans l’ensemblede Cantor et de deux similitudesdirectes de rapport 1/3 et d’angles �/3et – �/3. La courbe de Koch est l’at-tracteur de cette famille.

La courbe de Koch

Octogone de Koch

Pentagone de Koch

Heptagone de Koch

1�

4 cos2 ��

n�

Hors série n° 18. La magie des fractals Tangente 7

DOSSIER : FRACTALS DÉTERMINISTES

Cette courbe,dont la base

est l’ensemblede Cantor, a

été décrite par Von Koch en1904 comme

exemple de « courbe

continue sanstangente obte-

nue par uneconstruction géométrique

élémentaire ».

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Comme il y a 4 similitudes de rapport1/3, sa dimension fractale est le doublede celle de l’ensemble de Cantor, soit2(ln 2/ln 3) � 1,262. Cette courbe, dontla base est l’ensemble de Cantor, a étédécrite par Von Koch en 1904 commeexemple de « courbe continue sans tan-gente obtenue par une construction géo-

métrique élémentaire ».La figure formée de 3 courbesde Koch ainsi placées s’appel-le traditionnellement un floconde Koch.

On peut généraliser en pre-nant 4 similitudes de rapport1/m (2 � m � 4) de façon àobtenir encore la ligne brisée

continue :

On obtient ainsi la courbe de Kochgénéralisée qui peut prendre toutes lesdimensions entre 1 et 2 :

Le lecteur aura compris le principegénéral de la méthode Koch : le seg-ment initial est remplacé par une lignebrisée continue ayant les mêmesextrémités et formée de segments delongueurs strictement inférieures (qui

ne sont pas forcéments égales) et leprocédé est réitéré à l’infini. La « cour-be » limite est l’attracteur des simili-tudes directes envoyant le segment ini-tial sur chacun des segments de la lignebrisée.Nous avons mis le mot courbe entreguillemets car nous allons voir que cetattracteur peut avoir une dimension(même topologique) strictement supé-rieure à 1 ! L’exemple le plus simpleest celui de la courbe du C, dont lespremières étapes de construction sont :

La courbe limite est l’attracteur dedeux similitudes directes de rapport

et d’angles respectifs et – .

La dimension calculée par la formuled � ln n/ln m donne d = 2, maiscomme il y a ici des chevauchements,la dimension fractale en est inférieure.Une façon d’éviter les chevauchementsest de remplacer la première similitudepar la similitude indirecte transformantle segment initial en le premier seg-ment de la ligne brisée.Ce simple changement modifie com-plètement l’allure de l’attracteur quiprend alors habituellement le nom dedragon (ainsi baptisé en 1960 par lephysicien John Heighway).

��4

��4

1��2�

tape 0 tape 1 tape 2

m = 2

m = 4

m = 2 + 2

Tangente Hors série n° 18. La magie des fractals8

SAVOIRS Les AFC

Le flocon deKoch.

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La courbe du dragon

Voici une vue permettant de voir que ledragon est la réunion des deux sous-dragons images de lui-même par lesdeux simlitudes.

Cette propriété montre que les dragonspreuvent paver le plan. Un autre exemple classique, avec troissegments, est donné par les construc-tions :

L’étonnant est que la “courbe” limiteest le triangle de Sierpinski (qui s’ap-pelle donc pour cela aussi « courbede Sierpinski ») ; or la famille desimilitudes n’est ici pas la mêmeque celle utilisée pour le tri-angle. Parmi les trois homothétiesde rapport 1/2, deuxd’entre-elles ont étécomposée par unesymétrie axiale, cequi en fait des simi-litudes indirectes.Les symétries lais-sant le triangle globalementinvariant, l’attracteur final ne changepas.

tape 0 tape 1

tape 2 tape 3

tape 0

tape 3 tape 4

tape 1 tape 2

Hors série n° 18. La magie des fractals Tangente 9

DOSSIER : FRACTALS DÉTERMINISTES

La “courbe” du dragon est célèbre car ellepossède une construction étonnante : si l’onreplie n fois une feuille de papier sur elle-même, toujours dans le même sens et en mar-quant bien les plis, et qu’on la déplie enconservant les plis à 90°, on obtient, en regar-dant la tranche, la nième étape de construc-tion de la courbe du dragon. Évidemment, dans la pratique,l’épaisseur de la feuille fait qu’on dépasse difficilement la cinquième étape...

La courbe de Sierpinski

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Passons de 3 à 4 segments pour exami-ner l’exemple historique de la courbe dePéano binaire dont voici les premièresétapes de construction :

Il y a ici 4 similitudes de rapport 1/2 (2homothéties et 2 similitudes invdirectes),de sorte que la dimension fractale de l’at-tracteur est 2. Heureusement ! Car c’estun simple carré. Et c’est justementcomme exemple de courbe passant partous les points d’un carré que Peano aconstruit cette courbe en 1890.

Continuons de rechercher des courbesde dimension fractale 2. Si la ligne bri-sée possède n segments de même lon-gueur, cette longueur commune est for-cément 1/�n�.Pour n = 9, un exemple est la courbe dePeano ternaire dont voici les premièresétapes de construction :

La famille de contractions est forméede 9 similitudes directes de rapport 1/3et l’attracteur est aussi un carré.Pour n = 7, un exemple étonnant estdonné par la courbe de Gosper dont lespremières étapes de construction sont :

Il y a donc ici sept similitudes de rap-port 1\�7� et, comme dans le cas dudragon, l’attracteur fournit un modèleoriginal de pavage du plan.

tape 0 tape 1

tape 2

Tangente Hors série n° 18. La magie des fractals10

SAVOIRS Les AFC

tape 0 tape 1 tape 2

tape 3 tape 7

tape 1 tape 2 tape 3

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Les AFC “naturels” (arbres, fougères,feuilles…)

Pour modéliser un arbre, nous allonsconsidérer que chacune de sesbranches maîtresses (débutant à l’ex-trémité du tronc) est semblable àl’arbre entier. Autrement dit, considé-rer des similitudes transformant unsegment [A, B] en des segments pluscourts [B, Ci].Mais il ne faut pas oublier le tronc !Pour cela nous utiliserons une applica-tion qui transforme le plan en le seg-ment [A, B], ou mieux en un rectanglede médiane [A, B] pour que le tronc aitune certaine épaisseur. Pour écrire le pro-gramme il n’y a pas besoin de connaîtreune telle application (mais le problèmeest intéressant !) car nous prendrons enfait chaque fois un point au hasard dansle rectangle.En choisissant A(0, 0) et B(0, 1), lessimilitudes auront pour matrices com-plètes :

Voici une vue de l’attracteur pour un

tronc de largeur 1/20, �1 � – �2 � ��

8�,

�3 � 0 et ri � 0,8.

Ce qui est étonnant, c’est qu’on a l’im-pression qu’il y a des feuilles alorsqu’il n’y a que des branches qui s’en-

trecroisent. Mais cet arbre est trèsmathématique : y verrez-vous des spi-rales logarithmiques (approchées) ?Essayez de faire varier les paramètres�i et ri vous constaterez que l’arbrepeut prendre des formes très variées etparfois très réalistes.Est-ce parce que la fougère est un arbrepréhistorique que pour �1 = – �2 = 0,4�et �3 = ± 0,05, r1 = r2 =1/3 et r3 = 0,85on obtient un attracteur ressemblantfort à ce végétal ? Si l’on prend �1 = 0,05, la fougère seraincurvée vers la gauche, les feuilles degauche incurvées vers le bas, et lesfeuilles de droite incurvées vers le haut.

R. F.

r rr ri i i i

i i i i

cos( ) sin( )sin( ) cos( ) .

θ θθ θ

−

01

Hors série n° 18. La magie des fractals Tangente 11

DOSSIER : FRACTALS DÉTERMINISTES

Bibliographie[1] M. F. Barnsley,

Fractals eve-rywhere,Academic Press,1988. [2]http://www.mathcurve.com/fractals/afc/afc.shml[3] G. A. Edgar,Measure,topology andfractal,Springer-Verlag.[4] F. Guénard etG. Lelièvre,Complémentsd’analyse,volume 1,Cahiers deFontenay, 1985.

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