Construction 4 de vecteurs - Decitre...Construction 4 de vecteurs Un ballon de basket a la forme...

4Construction de vecteurs

Un ballon de basket a la forme d’une boule. Sa masse m est 600 grammes.

La force Pur

, appelée poids, est due à la pesanteur terrestre. On considère qu’elle s’applique au centre du ballon.

Donner la droite d’action et le sens de la force – Pur

.L’intensité de cette force est donnée par la relation P = 9,8m où P est en new-tons et m en kilogrammes.

Calculer le poids P du ballon de basket, en newtons. –

Donner une représentation géométrique de – Pur

à l’aide d’une flèche. Pren-dre 1 cm pour représenter 2 newtons.

La mécanique est un des domaines où les vecteurs sont des outils indispensables :

par exemple, on représente une force par un vecteur.

49

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ditio

ns F

ouch

er

Est-ce que je sais… ?

Identifier un parallélogramme1. Parmi les phrases suivantes, lesquelles sont vraies ?

Si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère a) est un parallélogramme.

Si un quadrilatère a deux côtés opposés parallèles, alors c’est un parallélogramme.b) Si les diagonales d’un quadrilatère sont perpendiculaires, alors ce quadrilatère est c)

un parallélogramme.Si un quadrilatère non croisé a deux côtés parallèles et égaux, alors ce d)

quadrilatère est un parallélogramme.

Distinguer direction et sens2. On dit que deux droites parallèles ont la même direction.Sur ce dessin, les droites d1 et d5 sont parallèles, ainsi que les droites d3 et d4.

Combien de directions de droites a-t-on ?a) Mb) est un point de d1. Combien de sens de déplacement

le point M a-t-il sur la droite d1 ?

Qu’est-ce qu’un vecteur ?

Le funiculaire qui monte a platÀ Valparaiso en Amérique du Sud, les collines qui entourent la ville sont desservies par de vieux funiculaires colorés. Leur particularité est d’avoir une cabine qui reste horizontale pendant les montées et les descentes.Ouvrir le fichier « 04_funiculaire.pdf » et imprimer la page où sont schématisés cette cabine et un des rails de roulement.

Lorsque le point A de la cabine se déplace en A¢, les autres points de la cabine se déplacent dans la même direction, le même sens et de la même longueur. On note B¢, C¢… les points obtenus.

En utilisant le quadrillage, placer les points • B¢, C¢…Relier le point • B au point B¢ par une flèche. Faire de même pour les autres couples

de points : C à C¢, D à D¢…Dessiner en couleur la cabine du funiculaire en traçant les segments [• A¢B¢], [B¢C¢]…

La flèche de A vers A¢ représente le vecteur AA¢u ruuu

.

Le vecteur AA¢u ruuuu

est caractérisé par :– sa direction : celle de la pente, donc celle de la droite (xy) ;– son sens : le sens de la montée, donc de A vers A¢ ;– sa longueur ou norme : la distance de déplacement, donc la distance AA¢.

Activité Qu’est-ce qu’un vecteur ? Qu’est-ce qu’un vecteur ?1

Vecteurs égauxCette activité est la suite du travail précédent.

Comparer les éléments caractéristiques (direction, sens, norme) des vecteurs a)

et .Quelle est la nature du quadrilatère ABB¢A¢ ?On dit que les vecteurs et sont égaux.

Donner deux autres vecteurs égaux au vecteur b) .

Donner le vecteur d’origine E égal au vecteur .

Les vecteurs et sont-ils égaux ? Justifier.

On peut désigner les vecteurs égaux , , … par la même notation, par

exemple .

Somme de deux vecteurs

Un chien qui se mouilleLe chien Waterproof décide de traverser la rivière à la nage.La force du courant est représentée par

le vecteur et la force développée par Waterproof en nageant est

représentée par le vecteur .Ces deux forces s’ajoutent à chaque instant. On veut déterminer graphiquement leur somme qui est le

vecteur noté .Ouvrir le fichier « 04_waterproof.ggb ».

Cliquer sur le bouton a) en bas de l’écran pour que le logiciel construise la

somme pas à pas. Chaque clic montre une étape de la construction.

À l’aide du a., décrire cette méthode de construction du vecteur b) .

Déplacer l’extrémité du vecteur c) avec la souris. La méthode décrite est-elle valable pour

d’autres positions du vecteur ?Au milieu de la rivière, Waterproof d)

renonce à la traverser et décide de nager dans le sens du courant, toujours avec la même intensité.

Modifier en conséquence la position du vecteur • à l’écran.

Observer ce qui se passe pour le vecteur • .Mêmes questions si Waterproof décide de nager à contre-courant.e)

Activité

Activitéd3

d4 d1d5

d2

4 Construction de vecteurs50

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ns F

ouch

er

Vecteurs égauxCette activité est la suite du travail précédent.

Comparer les éléments caractéristiques (direction, sens, norme) des vecteurs a) AA′u ruuu

et BB′u ruu

.Quelle est la nature du quadrilatère ABB¢A¢ ?On dit que les vecteurs AA′

u ruuu

et BB′u ruuu

sont égaux.

Donner deux autres vecteurs égaux au vecteur b) AA′u ruuu

.

Donner le vecteur d’origine E égal au vecteur AA′u ruuu

.

Les vecteurs CC ′u ruuu

et EE ′u ruu

sont-ils égaux ? Justifier.

On peut désigner les vecteurs égaux AA′u ruuu

, BB′u ruu

, CC ′u ruuu

… par la même notation, par

exemple uur

.

Somme de deux vecteurs

Un chien qui se mouilleLe chien Waterproof décide de traverser la rivière à la nage.La force du courant est représentée par

le vecteur Cur

et la force développée par Waterproof en nageant est

représentée par le vecteur Wu ru

.Ces deux forces s’ajoutent à chaque instant. On veut déterminer graphiquement leur somme qui est le

vecteur noté C Wur u ru

+ .Ouvrir le fichier « 04_waterproof.ggb ».

Cliquer sur le bouton a) en bas de l’écran pour que le logiciel construise la

somme C Wur u ru

+ pas à pas. Chaque clic montre une étape de la construction.

À l’aide du a., décrire cette méthode de construction du vecteur b) C Wur u ru

+ .

Déplacer l’extrémité du vecteur c) Wu ru

avec la souris. La méthode décrite est-elle valable pour

d’autres positions du vecteur Wu ru

?Au milieu de la rivière, Waterproof d)

renonce à la traverser et décide de nager dans le sens du courant, toujours avec la même intensité.

Modifier en conséquence la position du vecteur • Wu ru

à l’écran.

Observer ce qui se passe pour le vecteur • C Wur u ru

+ .Mêmes questions si Waterproof décide de nager à contre-courant.e)

Activité Vecteurs égaux2

Activité Somme de deux vecteurs Somme de deux vecteurs3

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er

Multiplication d’un vecteur par un nombre

Le produit d’un vecteur uur

par un nombre k est le vecteur noté kuur

.

Par exemple, 1,5uur

est un vecteur. On va le définir par ses trois éléments caractéristiques : sa direction, son sens et sa norme.Ouvrir le fichier « 04_multiplication.ggb ».

On a construit a) AB uu ruu ur

et CD uu ruu ur

1 5, .

Comparer :

– la direction des vecteurs ABu ruu

et CDu ruu

, – leur sens,– leur norme. Les longueurs affichées sont données au centième.

Déplacer un ou plusieurs des points b) A, B et C.Les réponses à la question a. sont-elles modifiées ?

Changer le nombre c) k : le sélectionner dans la partie gauche de l’écran et le faire varier à l’aide des touches du pavé fléché ou des touches + et - .

Observer les modifications du vecteur CDu ruu

.Choisir d) k = - 0,8.

Comparer la direction, le sens et la norme des vecteurs uur

et - 0,8uur

.Choisir e) k = - 1.

Les vecteurs ABu ruu

et CDu ruu

sont alors dits opposés.

Les vecteurs ABu ruu

et CDu ruu

ont-ils :– même direction ?– même sens ?– même norme ?

Construire pour f) k = - 1, sur papier quadrillé ou à l’écran, le point E tel que

AE AB CDu ruu u ruu u ruu

+ .

Où est le point E ?Quel vecteur particulier obtient-on

pour le vecteur AEu ruu

?

Activité Multiplication d’un vecteur par un nombre4

Pour la construction à

l’écran du point E, taper sur la ligne Saisie,

en bas : E=A+u+v.

Définition d’un vecteur

Le vecteur est défini par ses trois éléments caractéristiques :sa • direction : celle de la droite (AB) ;son • sens : celui de son origine A vers son extrémité B ;

sa • norme ou longueur : la distance de A à B, notée ou AB.On représente un vecteur par une flèche.

Si l’extrémité B d’un vecteur est confondue avec son origine A, on a .

Un tel vecteur est le vecteur nul, noté .

Les caractéristiques du vecteur sont : direction horizontale, sens vers la droite, norme 2,4.

Vecteurs égaux

Il existe une infinité de vecteurs égaux au vecteur : ce sont tous les vecteurs qui

ont même direction, même sens et même norme que .

On peut les désigner par une notation particulière, par exemple .

On dit que , , sont des représentants du

vecteur . Le vecteur est le représentant

d’origine C du vecteur .

Si , alors ABDC est un parallélogramme.

Si ABDC est un parallélogramme, alors .

Addition de deux vecteurs

Quels que soient les points A, B et C, on a .C’est la relation de Chasles.Pour appliquer cette relation, l’extrémité du premier vecteur doit être égale à l’origine du deuxième.


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ouch

er

Définition d’un vecteur

Le vecteur ABu ruu

est défini par ses trois éléments caractéristiques :sa • direction : celle de la droite (AB) ;son • sens : celui de son origine A vers son extrémité B ;

sa • norme ou longueur : la distance de A à B, notée ABu ruu

ou AB.On représente un vecteur par une flèche.

Si l’extrémité B d’un vecteur est confondue avec son origine A, on a ABu ruu

0.

Un tel vecteur est le vecteur nul, noté 0ur

.

Exemple

Les caractéristiques du vecteur MSu ruu

sont : direction horizontale, sens vers la droite, norme 2,4.

Vecteurs égaux

Il existe une infinité de vecteurs égaux au vecteur ABu ruu

: ce sont tous les vecteurs qui

ont même direction, même sens et même norme que ABu ruu

.

On peut les désigner par une notation particulière, par exemple uur

.

Exemple

AB CD EF uu ruu u ruu u ru ur

On dit que ABu ruu

, CDu ruu

, EFu ru

sont des représentants du

vecteur uur

. Le vecteur CDu ruu

est le représentant

d’origine C du vecteur uur

.

Si AB CDu ruu u ruu

, alors ABDC est un parallélogramme.

Si ABDC est un parallélogramme, alors AB CDu ruu u ruu

.

Addition de deux vecteurs

Quels que soient les points A, B et C, on a AB + BC = ACu ruu u ruu u ruu

.C’est la relation de Chasles.Pour appliquer cette relation, l’extrémité du premier vecteur doit être égale à l’origine du deuxième.

1

Vecteurs égaux Vecteurs égaux2

Addition de deux vecteurs Addition de deux vecteurs3

A

B

M S

A

B

C

D

E

F

uur

uur

uur

A

D

B

C

A

B

C

uur

vur

u �ur

vur

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ouch

er

Exemple

D, G, H sont trois points quelconques. On a par exemple :

DG GH DHu ruu u ruu u ruu

+ ; GH HD GDu ruu u ruu u ruu

+ .

Règle du parallélogramme

A, B et C sont trois points quelconques.

AB + AC = ADu ruu u ruu u ruuu

où le point D est tel que ABDC est un parallélogramme.Pour appliquer cette relation, les deux vecteurs à ajouter doivent avoir la même origine.

Multiplication d’un vecteur par un nombre

Le produit d’un vecteur uur

par un nombre k est un vecteur noté kuur

.

Les vecteurs uur

et kuur

sont dits colinéaires.Deux cas possibles : k positif k négatif

uur

et kuur

ont même direction. uur

et kuur

ont même direction.

uur

et kuur

ont le même sens. uur

et kuur

ont des sens contraires.

ku k ur r

ku k ur r

-

Exemples

AB CDu ruu u ruu

2 AB EFu ruu u ru

- 2

AB = 2CD AB = 2EF

Si trois points A, B et C sont tels que AC kABu ruu u ruu

, alors les points A, B et C sont alignés (pas forcément dans cet ordre).

Si quatre points A, B, C et D sont tels que CD kABu ruu u ruu

, alors les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Exemples

Le point N est tel que MN MPu ruuu u ruuu

13

. On en déduit que

les points M, N et P sont alignés.

Les points D et E sont tels que DE MPu ruu u ruuu

- 0 5, . On en

déduit que les droites (MP) et (DE) sont parallèles.

Multiplication d’un vecteur par un nombre Multiplication d’un vecteur par un nombre4

A

B

C

D

uur

vur u �

urvur

A

B

C

DA

B

F

E

NM P

E D


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er

1 Comment reconnaître des vecteurs égaux ?

Énoncé

Le triangle ABC est isocèle en A. Le point I est le milieu du segment [AB]. Les points B, C, N sont alignés dans cet ordre. (AM) est parallèle à (BN) et (AC) est parallèle à (MN).Dire si les égalités suivantes sont vraies ou fausses :

➀ AC = MNu ruu u ruuu

➁ AM = NCu ruuu u ruu

➂ AB = ACu ruu u ruu

➃ AI = ABu ru u ruu

Solution

➀ Le quadrilatère AMNC est un parallélogramme car ses côtés opposés

sont parallèles deux à deux. Donc AC MNu ruu u ruuu

.

➁ Les vecteurs AMu ruuu

et NCu ruu

ont même direction et même norme, mais ont des sens contraires. Ils

sont opposés et non pas égaux. Donc AM NCu ruuu u ruu

.

➂ Les vecteurs ABu ruu

et ACu ruu

ont la même norme, mais n’ont pas la même direction.

Donc AB ACu ruu u ruu

.

➃ Les vecteurs AIu ru

et ABu ruu

ont même direction, même sens, mais n’ont pas la même norme.

Donc AI ABu ru u ruu

.

2 Comment construire un vecteur à partir de ses éléments caractéristiques ?

Énoncé

On donne trois points A, B et C non alignés. Construire le vecteur d’origine A égal

au vecteur BCu ruu

.

Solution

On construit le point E tel que AE BCu ruu u ruu

. Tracer la droite (d) parallèle à (BC) et passant par A.

Mesurer la distance BC à la règle ou la prendre au compas.

Reporter cette distance sur (d) à partir de A, dans le sens de B vers C.

On utilise la propriété caractéristique du parallélogramme vue dans L’essentiel.

On regarde si les deux vecteurs ont les mêmes éléments caractéristiques : – même direction, – même sens, – même norme.

A

B C N

M

I

B

E

A

C

(d)

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ouch

er

3 Comment construire la somme de deux vecteurs ?

Énoncé

On donne uur

et vur

, deux vecteurs qui n’ont pas la même direction, et A un point du plan.

Construire le représentant d’origine A du vecteur uur

+ vur

.

Solution

Ouvrir le fichier « 04_somme_1.ggb » pour voir les différentes étapes de cette construction.Le fichier « 04_somme_2.ggb » montre une autre méthode de

construction de la somme u vur r

+ ; elle utilise la relation de Chasles.

4 Comment construire le produit d’un vecteur par un nombre ?

Énoncé

Le triangle isocèle DEF est tel que DE = DF = 2,6 cm.

Placer le point a) M tel que DM = DEu ruuu u ruu

1,5 .

Placer le point b) N tel que EN = DFu ruu u ruu

- 0,5 .

Solution

Les points a) D, E, M sont alignés.

k = 1,5 ; k est positif. Donc DMu ruuu

et DEu ruu

sont de même sens.DM = 1,5 ¥ DE = 1,5 ¥ 2,6 = 3,9 cm

Les droites (b) EN) et (DF) sont parallèles.

k = - 0,5 ; k est négatif. Donc DFu ruu

et ENu ruu

ont des sens contraires.EN = 0,5 ¥ DF = 0,5 ¥ 2,6 = 1,3 cm

Construire le représentant de uur

d’origine A.

Construire le représentant de vur

d’origine A.

Construire le point D tel que ABDC soit un parallélogramme.

Indiquer la direction du vecteur à construire.

Indiquer son sens.

Calculer sa norme.

Faire des clics successifs sur le bouton

pour dérouler la construction.

A

B

D

C

uur

uur

vur

vur

u �ur

vur

D

F

N

M

E


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GEoGEBRA

Ajouter des forces

La caravane a l’arretUne caravane de masse 816 kg accrochée à une voiture est à l’arrêt sur une pente comme indiqué sur le schéma.Trois forces s’exercent sur la caravane :

– son poids Pur

(en newtons) qui s’applique en G ;

– la force de traction Tur

exercée par la voiture sur la caravane : elle s’applique en A et sa droite d’action est parallèle au sol ;

– la force Sr

exercée par le sol : elle s’applique en B et sa droite d’action est perpendiculaire au sol.On va construire la somme de ces trois forces.Ouvrir le fichier « 04_caravane.ggb ».

Les forces Tur

et Sr

sont déjà représentées sur le dessin.

Indications sur les outils de GeoGebra à utiliser :Sélectionner le troisième outil de la barre d’outils, puis cliquer sur la petite flèche en bas à droite.Dans la liste qui apparaît, sélectionner :– l’avant-dernière option pour le tracé de la question 1. b. ;

– la dernière option pour les tracés des questions 2. a. b. et c.

1 Représentation du poids Puru

Calculer, en newtons, l’intensité de la force a) Pur

. Prendre g = 9,8 N/kg.

On veut représenter b) Pur

sur le dessin du logiciel.Donner son point d’application, sa droite d’action, son sens.

Avec l’outil vecteur du logiciel, représenter Pur

par une flèche, sachant que 1 carreau représente 2 000 newtons.

2 Somme des trois forcesEn partant du point H de la figure, on va représenter les trois forces bout à bout.

Construire le point a) K tel que HKu ruu

soit égal à Pur

.

Construire le point b) L tel que KLu ruu

soit égal à Tur

.

Construire le point c) M tel que LMu ruu

soit égal à Sr

.Qu’a-t-on construit en faisant cette représentation ?d)

Que constate-t-on pour les points H et M ?

À quel vecteur particulier semble être égale la somme P T Sur ur r

+ + ?

>

La construction peut présenter une légère imprécision.

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er

Conjecturer, puis démontrer

1 Chercher avec le papier et le crayonABC est un triangle quelconque. Le point M est le milieu du segment [AC]. Le point D est tel que

BM MDu ruuu u ruuu

. Le point E est tel que CE BDu ruu u ruu

.Construire la figure sur une feuille de papier.• Que peut-on dire des points • A, D et E ?

Essayer de prouver cette conjecture.

Les parties 2 et 3 qui suivent permettent de vérifier la construction et donnent un fil conducteur pour la démonstration.

2 Conjecturer avec le logicielOuvrir le fichier « 04_triangle.ggb ».

Comparer le dessin sur papier avec celui affiché à l’écran.a) Analyser les erreurs s’il y en a. Appeler le professeur si nécessaire.

Que peut-on dire des points b) A, D et E ?Déplacer les points A, B et C avec la souris. La conjecture faite se confirme-t-elle ?

3 DémontrerAprès avoir conjecturer, il faut prouver.Recopier et compléter la démonstration suivante :

JustificationLe point • M est le milieu de [AD].

On sait aussi que M est le milieu de …… Donc le quadrilatère ABCD est un ……………………

On en conclut que BCu ruu

= ………

On sait que • BD CEu ruu u ruu

. Donc le quadrilatère ………… est un ……………………

On en conclut que BCu ruu

= ………..

Puisque• BC ADu ruu u ruu

et BC DEu ruu u ruu

, alors

º ºu ru u ru

Donc le point …… est le milieu de ………. et les points ……………… sont alignés.

BM MDu ruuu u ruuu

•

Si les diagonales d’un quadrilatère se • …………………………………………………………

Propriété caractéristique • du parallélogramme

Propriété caractéristique • du parallélogramme

Définition du milieu d’un segment•

Reproduire les dessins sur du papier quadrillé.Imprimer le fichier « 04_papier_quadrille.pdf » pour obtenir une feuille de papier quadrillé.

Construire un vecteur égal à un vecteur donné

1

Construire le point a) M tel que .

Construire le représentant d’origine b) H du vecteur .

Construire le point c) P tel que .

Construire le point d) K tel que .

Donner tous les vecteurs égaux au vecteur e) .

2

Construire le point a) H¢ tel que et le point

M¢ tel que .Parmi les quadrilatères suivants, lesquels sont des b)

parallélogrammes ?LHH¢M ; MH¢HM¢ ; LHH¢M¢ ; M¢H¢HM.

Si I est le milieu de [AB], alors AI = IB

uru uru

.

Si AI = IBuru uru

, alors I est le milieu de [AB].

Si AIururu uur

le milieu de [AB].

Les mathématiques, c’est aussi du français !


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Exercices avec réponses en fin d’ouvrage

Exercices plus difficiles*/**

3 On donne deux points E et F.

Construire le point a) G tel que FG EFu ruu u ru

.Parmi les quatre phrases suivantes, une seule est b)

vraie. Laquelle ?

➀ Les points E, F, G ne sont pas alignés.

➁ G est le milieu de [EF].

➂ F est le milieu de [EG].

➃ E est le milieu de [FG].

4 ABCD est un rectangle de centre O.

B A

C

O

D

Construire le point a) M tel que CM OBu ruuu u ruu

.

Construire le point b) N tel que DN ACu ruu u ruu

.

Construire le point c) P tel que DP ADu ruu u ruu

.

Construire le point d) R tel que OR ABu ruu u ruu

.

* 5

uur

Tracer un vecteur a) vr

égal au vecteur uur

.

Tracer un vecteur b) wuru

opposé au vecteur uur

: même direction, même norme, mais sens contraire.

Tracer un vecteur c) zur

de même direction que uur

, de sens contraire et de norme différente.

Tracer un vecteur d) tr

de même norme que uur

, mais de direction différente.

Reproduire les dessins sur du papier quadrillé.Imprimer le fichier « 04_papier_quadrille.pdf » pour obtenir une feuille de papier quadrillé.

Construire un vecteur égal à un vecteur donné

1

B

A

H

G E

uur

Construire le point a) M tel que EM ABu ruuu u ruu

.

Construire le représentant d’origine b) H du vecteur uur

.

Construire le point c) P tel que AB PGu ruu u ruu

.

Construire le point d) K tel que GK EHu ruu u ruu

.

Donner tous les vecteurs égaux au vecteur e) uur

.

2

L

H

M

Construire le point a) H¢ tel que HH LM′u ruuu u ruu

et le point

M¢ tel que MM HH′ ′u ruuuu u ruuu

.Parmi les quadrilatères suivants, lesquels sont des b)

parallélogrammes ?LHH¢M ; MH¢HM¢ ; LHH¢M¢ ; M¢H¢HM.

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er

Reconnaître des vecteurs égaux

6

B

A E

M

Construire le point a) F tel que MA EFu ruuu u ru

.

Construire le point b) G tel que BM GAu ruuu u ruu

.

Tracer en bleu les vecteurs égaux à c) AMu ruuu

, en vert les

vecteurs égaux à EMu ruuu

, en rouge les vecteurs égaux à BEu ruu

.Citer tous les parallélogrammes de la figure.d)

7 Trouver tous les vecteurs égaux de la figure suivante :

aur

bur

cur d

ur

eur

fur

gur

hur i

ur

jur

kur

8 ABCDEF est un hexagone régulier. Il est inscrit dans un cercle de centre I.

AB

C

D E

FI

Donner tous les vecteurs de la figure égaux à a) BCu ruu

.

Donner tous les vecteurs de la figure égaux à b) IEuru

.

9 Le quadrilatère MRST est un parallélogramme. Ses diagonales se coupent en O.Recopier et compléter les égalités suivantes par un vecteur de la figure (lorsque c’est possible) :

RMu ruuu

º ; MTu ruuu

º ; OTu ruu

º ; MSu ruu

º ; SOu ruu

º

10 ABC est un triangle équilatéral de côté 4 cm.Construire le point a) D symétrique du point A par

rapport à la droite (BC).Montrer que ABDC est un losange.

Construire le point b) E tel que AE BCu ruu u ruu

.

Construire le point F tel que DF BCu ruu u ruu

.

Citer tous les vecteurs égaux à c) ABu ruu

.

Citer tous les vecteurs égaux à d) ACu ruu

.

*11 Construire deux a) parallélogrammes ABCD et ADFE.

Démontrer que b) BCFEest un parallélogramme.

12 Soient D et G deux points.Construire le point a) S symétrique du point D par

rapport au point G.Écrire deux égalités vectorielles.b)

13 ABCD est un parallélogramme.Le point K est le symétrique de A par rapport à B. Le point M est le symétrique de C par rapport à D.

Construire la figure.a)

Écrire tous les vecteurs égaux à b) CDu ruu

.

Écrire tous les vecteurs égaux à c) AMu ruuu

.Citer tous les parallélogrammes de la figure.d)

Construire la somme de deux vecteurs

14 On donne deux vecteurs quelconques uur

et vr

et un point A.

Construire le point a) B tel que AB uu ruu ur

.

Construire le point b) C tel que BC vu ruu r

.Parmi les égalités suivantes, lesquelles sont vraies ?c)

AB BC CAu ruu u ruu u ruu

+ ; BC CA BAu ruu u ruu u ruu

+ ;

AB BC ACu ruu u ruu u ruu

+ ; BA CA BCu ruu u ruu u ruu

+ ; CA BC ABu ruu u ruu u ruu

+ .

* 15 FGHK est un parallélogramme de centre I.

F

H

K

I

G

Calculer les sommes suivantes (en n’utilisant que les lettres du dessin) :

KF FGu ruu u ruu

+a) ; KF KHu ruu u ruu

+ ; KF FKu ruu u ruu

+ ;

KF FHu ruu u ruu

+b) ; FG GHu ruu u ruu

+ ; HI IFu ru uru

+ ;

KI GIu ru u ru

+c) ; FG FKu ruu u ruu

+ ; IG FIu ru uru

+ .

16 et sont deux vecteurs quelconques, F et G sont deux points.

Construire le représentant d’origine a) F de la somme

u vur r

+ .Construire le représentant d’origine b) G de la somme

v ur ur

+ .

Comparer les vecteurs c) et .

17 Construire la somme dans chacun des cas.

18 est un vecteur, A et B sont deux points.

Construire le représentant d’origine a) A du vecteur

- , c’est-à-dire l’opposé du vecteur .Construire le représentant d’origine b) B de

la somme .

Quelle est l’autre écriture du vecteur ?

Les sommets

A et D sont communs aux deux

parallélogrammes.


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ouch

er

10 ABC est un triangle équilatéral de côté 4 cm.Construire le point a) D symétrique du point A par

rapport à la droite (BC).Montrer que ABDC est un losange.

Construire le point b) E tel que .

Construire le point F tel que .

Citer tous les vecteurs égaux à c) .

Citer tous les vecteurs égaux à d) .

*11 Construire deux a) parallélogrammes ABCD et ADFE.

Démontrer que b) BCFE est un parallélogramme.

12 Soient D et G deux points.Construire le point a) S symétrique du point D par

rapport au point G.Écrire deux égalités vectorielles.b)

13 ABCD est un parallélogramme.Le point K est le symétrique de A par rapport à B. Le point M est le symétrique de C par rapport à D.

Construire la figure.a)

Écrire tous les vecteurs égaux à b) .

Écrire tous les vecteurs égaux à c) .Citer tous les parallélogrammes de la figure.d)

Construire la somme de deux vecteurs

14 On donne deux vecteurs quelconques et et un point A.

Construire le point a) B tel que .

Construire le point b) C tel que .Parmi les égalités suivantes, lesquelles sont vraies ?c)

; ;

; ; .

* 15 FGHK est un parallélogramme de centre I.

Calculer les sommes suivantes (en n’utilisant que les lettres du dessin) :

a) ; ; ;

b) ; ; ;

c) ; ; .

Construire des vecteurs colinéaires

19 ABC est un triangle quelconque.

Construire le point a) M tel que BM BCu ruuu u ruu

2 .

Construire le point N tel que AN BCu ruuu u ruu

- 0 5, .

Les vecteurs b) MCu ruuu

et BMu ruuu

sont-ils colinéaires ?

Les vecteurs ANu ruuu

et CMu ruuu


20 On donne quatre vecteurs : uur

, vr

, wuru

, zur

.

uur

wur v

ur

zur

Les vecteurs a) uur

et vr


Même question pour les vecteurs b) uur

et wuru

.

Même question pour les vecteurs c) uur

et zur

.Peut-on citer deux vecteurs opposés sur ce dessin ?d)

Ajouter des forces

21 Un solide est soumis à deux forces horizontales :

– l’une H1

u ru

, orientée vers la droite, d’intensité 100 N ;

– l’autre H2

u ru

, orientée vers la gauche, d’intensité 80 N.

Représenter a) H1

u ru

et H2

u ru

par un vecteur en prenant

1 cm pour représenter 20 N.

Construire la somme b) H H1 2

u ru u ru

+ .

Dans quelle direction et quel sens se déplace le c) solide sous l’action de ces deux seules forces ?

22 Même exercice si H2

u ru

est orienté vers la droite, les

autres données étant inchangées.

23 Le point M représente un corps soumis à deux

forces F1

ur

et F2

uru

. On a F1

ur

= 200 N ; F2

uru

= 150 N.

Représenter les forces a) F1

ur

et F2

uru

en prenant 1 cm pour 50 N.

Construire la somme b) F F1 2

ur uru

+ .

16 uur

et vr

sont deux vecteurs quelconques, F et G sont deux points.

F

G

vur

uur

Construire le représentant d’origine a) F de la somme

u vur r

+ .Construire le représentant d’origine b) G de la somme

v ur ur

+ .

Comparer les vecteurs c) u vur r

+ et v ur ur

+ .

17 Construire la somme u vur r

+ dans chacun des cas.

uur

uur

uur

uur

vur

vur

vur

vur

� �

�

�

18 uur

est un vecteur, A et B sont deux points.

uur

AB

Construire le représentant d’origine a) A du vecteur

- uur

, c’est-à-dire l’opposé du vecteur uur

.Construire le représentant d’origine b) B de

la somme u uur ur

+ .

Quelle est l’autre écriture du vecteur u uur ur

+ ?

61

© É

ditio

ns F

ouch

er

M

120°

Le dessinn’est pasà l’échelle

F2

uru

F1

uru

– son poids Pur

;

– la réaction Rur

de la table.

Calculer la valeur a) P du poids du téléviseur, en newtons (N).On donne P = mg où P est le poids en N, m la masse en kg ; g = 9,8 N/kg.

Donner la direction et le sens de la force b) Pur

.

Les forces c) Pur

et Rur

sont représentées par des vecteurs opposés.

Donner la direction, le sens et l’intensité de la force Rur

.

Représenter les forces d) Pur

et Rur

par deux vecteurs de même origine.Prendre 1 cm pour 100 newtons.

Problème 3

L’aiguille de la boussole Pour se repérer, des randonneurs utilisent une boussole. Elle comporte une aiguille aimantée qui s’oriente avec le champ magnétique de la Terre ; elle indique ainsi le Nord magnétique.Un champ magnétique peut être représenté par un vecteur.

Champ magnétique terrestre1. Le champ magnétique terrestre en un point M donné

est représenté par le vecteur BT

u ru

. Son intensité est 20 µT (microteslas).

Construire le vecteur BT

u ru

sur le dessin ci-dessous.

Prendre 1 cm pour 20 µT.

M

Nord

Ouest Est

Sud

Le corps est soumis à une troisième force c) Fur

,

opposée à F F1 2

ur uru

+ .

Construire le vecteur qui représente la force Fur

.

Calculer la somme d) F F F1 2

ur uru ur

+ + .

24 * Les vecteurs uur

et vr

représentent deux forces de même point d’application.

On a u vur r

20.

Calculer la norme du vecteur w u vuru ur r

+ dans chacune des situations suivantes :

a)

uur

vur

b)

60°

uur

vur

Problème 1

Tracer un parallélogramme a) DEFG.

Construire le point H tel que EH DEu ruu u ruu

.

Construire le point L tel que GL DGu ruu u ruu

.

Montrer que le quadrilatère b) EHFG est un parallélogramme.

En déduire que FH GEu ruu u ruu

.

Montrer que le quadrilatère c) GEFL est un

parallélogramme. En déduire que LF GEu ru u ruu

.

Déduire des questions b. et c. que les points d) L, F, H sont alignés.

Problème 2

Un téléviseur de 32 kg est posé sur une table.Le téléviseur sur la table est en équilibre sous l’effet de deux forces :

Champ magnétique créé par un aimant2. On place à proximité du point M un aimant droit. Il crée un champ magnétique représenté par le vecteur

BA

u ru

, de 45 µT au point M. Il est orienté du sud vers le

Nord de l’aimant.

Construire le vecteur sur le dessin ci-dessous.


Orientation de l’aiguille de la boussole3.

Construire sur le dessin ci-dessous, à partir du point a)

M, le vecteur , le vecteur et le vecteur champ

magnétique tel que . Prendre 1 cm pour

20 µT.


© É

ditio

ns F

ouch

er

– son poids ;

– la réaction de la table.

Calculer la valeur a) P du poids du téléviseur, en newtons (N).On donne P = mg où P est le poids en N, m la masse en kg ; g = 9,8 N/kg.

Donner la direction et le sens de la force b) .

Les forces c) et sont représentées par des vecteurs opposés.

Donner la direction, le sens et l’intensité de la force .

Représenter les forces d) et par deux vecteurs de même origine.Prendre 1 cm pour 100 newtons.

Problème

L’aiguille de la boussole Pour se repérer, des randonneurs utilisent une boussole. Elle comporte une aiguille aimantée qui s’oriente avec le champ magnétique de la Terre ; elle indique ainsi le Nord magnétique.Un champ magnétique peut être représenté par un vecteur.

Champ magnétique terrestre1. Le champ magnétique terrestre en un point M donné

est représenté par le vecteur . Son intensité est 20 µT (microteslas).

Construire le vecteur sur le dessin ci-dessous.


On place l’aiguille de la boussole au point b) M.Parmi les propositions de schémas ci-après, indiquer celle correspondant à la position prise par l’aiguille de la boussole.

Champ magnétique créé par un aimant2. On place à proximité du point M un aimant droit. Il crée un champ magnétique représenté par le vecteur

BA

u ru

, de 45 µT au point M. Il est orienté du sud vers le

Nord de l’aimant.

Construire le vecteur BA

u ru

sur le dessin ci-dessous.


NS M

Aimant droit

Orientation de l’aiguille de la boussole3.

Construire sur le dessin ci-dessous, à partir du point a)

M, le vecteur BT

u ru

, le vecteur BA

u ru

et le vecteur champ

magnétique Bur

tel que B B BT A

ur u ru u ru

+ . Prendre 1 cm pour

20 µT.

M NS

La boussoleLa boussole est une invention chinoise du xie siècle. Elle est apparue en Europe au xvie siècle.L’aiguille aimantée de la boussole indique le Nord magnéti-que, à ne pas confondre avec le Nord géographique. La dif-férence entre les deux directions en un lieu donné s’appelle la déclinaison magnétique.Il faut éviter d’utiliser la boussole près de métal ou de ligne haute tension ; la position de l’aiguille peut être perturbée par les champs magnétiques créés.

N

S M

NSM

NS

M

NS

M

�

�

�

�

NS

NS

NS

NS

63

© É

ditio

ns F

ouch

er

Sur le CD-Rom : – le QCM sous forme interactive et un autre QCM pour tester vos connaissances– des exercices supplémentaires pour vous entraîner.

A B C

1 Si DEFG est un parallélogramme, alors : DE FG

u ruu u ruu

DF EGu ruu u ruu

DE GFu ruu u ruu

2 Si CD FGu ruu u ruu

, alors :[CF] et [GD] se coupent

en leur milieu.

[CD] et [FG] se coupent

en leur milieu.

[CG] et [FD] se coupent

en leur milieu.

3 Si MNPQ est un parallélogramme, alors le vecteur d’origine N

égal au vecteur MQu ruuu

est :

le point P le vecteur NPu ruu

le vecteur NQu ruu

4 Si I est le milieu du segment [BD], alors : BI ID

uru u ru

BI DIuru u ru

BI BDuru u ruu

2

5 Si D, E, F sont trois points quelconques, alors la somme

DE EFu ruu u ru

+ est égale à :FDu ruu

DFu ruu On ne peut

pas savoir.

6 Si EFGH est un parallélo-gramme, alors la somme

EF EHu ru u ruu

+ est égale à :EGu ruu

HFu ruu On ne peut

pas savoir.

7 Le produit d’un vecteur uur

par un nombre k est :

un vecteur un nombre Cela dépend.

8 Si MN MPu ruuu u ruuu

- 0 5, , alors : MNu ruuu

et MPu ruuu

sont de même sens.

N est le milieu de [MP].

les points M, N, P sont alignés.

9 Si AB EFu ruu u ru

2 , alors : ABFE est un parallélogramme.

(AB) parallèle à (FE). ABu ruu

et FEu ru

sont de même sens.

10 Si M est le milieu du segment [EG], alors :

EM EGu ruuu u ruu

2 ME EGu ruuu u ruu

12

GM GEu ruuu u ruu

12

Faire des petits

dessins avant de répondre !

Pour chaque énoncé, indiquer la ou les bonnes réponses.


© É

ditio

ns F

ouch

er

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