Conjecture de type de Serre et formes compagnons pour GSp4

J. reine angew. Math. 676 (2013), 1—32

DOI 10.1515/CRELLE.2011.190

Journal fur die reine undangewandte Mathematik( Walter de Gruyter

Berlin � Boston 2013

Conjecture de type de Serre et formescompagnons pour GSp4

Par Florian Herzig a Princeton et Jacques Tilouine a Villetaneuse

Abstract. We present a Serre-type conjecture on the modularity of four-dimensionalsymplectic mod p Galois representations. We assume that the Galois representation is irre-ducible and odd (in the symplectic sense). The modularity condition is formulated using theetale and the algebraic de Rham cohomology of Siegel modular varieties of level prime to p.We concentrate on the case when the Galois representation is ordinary at p and we givea corresponding list of Serre weights. When the representation is moreover tamely ramifiedat p, we conjecture that all weights of this list are modular, otherwise we describe a sub-set of weights on the list that should be modular. We propose a construction of de Rhamcohomology classes using the dual BGG complex, which should realise some of theseweights.

1. Introduction

Dans cet article, on presente une conjecture de type de Serre sur la modularite d’unerepresentation galoisienne modulo p de rang 4 a valeurs dans le groupe symplectique

r : G ¼ GalðQ=QÞ ! GSp4ðFpÞ:

Nous supposons la representation irreductible et motiviquement impaire (c’est-a-dire, quep ¼ 2 ou bien que les espaces propres pour l’action de la conjugaison complexe pour lesdeux valeurs propres 1 et �1 sont des plans lagrangiens). Nous proposons une conjecturesur les poids, mais nous n’abordons pas la question des niveaux de la variete de Siegel dansla cohomologie de laquelle r apparaıt.

La question de la modularite d’une telle representation, au moins lorsque rjIpest

supposee ordinaire et de Fontaine–Lafaille de poids p-petits, a ete posee par l’un des au-teurs en 1995 ([28] et Section 4 ci-dessous). Dans sa these, le premier auteur a formulepour GLn=Q une conjecture de modularite de type de Serre, en donnant la liste complete

Le premier auteur est partiellement soutenu par la NSF (grant DMS-0902044 et accord DMS-0635607). Le

deuxieme auteur est partiellement soutenu par le Projet Blanc ANR-10-BLAN 0114.

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des poids reguliers possibles lorsque rjIpest semi-simple. Le formalisme qu’il a developpe

est valide pour des groupes reductifs plus generaux. Il produit des systemes locaux enFp-vectoriels associes a des Fp-representations irreductibles de GLnðFpÞ sur les espaceslocalement symetriques de niveau premier a p dans la cohomologie desquels devraientexister des classes propres pour le systeme de valeurs propres de Hecke associe a r. Cessystemes locaux, appeles poids de Serre, remplacent le poids kðrÞ de la conjecture de Serre[25].

Nous discutons maintenant quelques conjectures et resultats dans le cas de GSp4=Q

qui expliquent plusieurs poids de cette conjecture de type de Serre. On formule la conditionde modularite en utilisant la cohomologie etale et la cohomologie de de Rham algebriquedes varietes de Siegel de niveau premier a p, et on se concentre sur le cas ou r est ordinaireen p. Dans le cas ou rjIp

est de plus moderement ramifiee, nous explicitons les poids deSerre predits. En general, notre liste compte vingt elements. Parmi ceux-ci, huit ont une in-terpretation en termes de formes compagnons ( p-ordinaires). Ils correspondent de manierenaturelle a des twists de r par des puissances convenables du caractere cyclotomique mo-dulo p comme pour les formes compagnons dans la conjecture de Serre [14]. Quant auxdouze autres poids on peut au moins exhiber, dans le cas ou la restriction rjDp

a tout legroupe de decomposition est totalement decomposee, des relevements cristallins avec lespoids de Hodge–Tate correspondants (voir la Proposition 4.17 ci-dessous).

Par ailleurs, lorsque r est p-ordinaire non necessairement moderee, d’exposants

i0 ¼ 0e i1 < i2 e i3 < p� 1;

nous conjecturons l’existence d’une forme cuspidale holomorphe propre p-ordinaire depoids ðk; lÞ pour l ¼ i1 þ 2 et k ¼ i2 þ 1, de niveau premier a p et de representation galois-ienne residuelle r. Sous des hypotheses de decomposabilite partielle de rjIp

, il y a trois twistsde r pour lesquelles nous conjecturons qu’ils sont associes a des formes cuspidales cohomo-logiques (holomorphes ou de Whittaker) de niveau premier a p et ordinaires en p. Il y aquatre autres twists de r pour lesquels nous conjecturons aussi qu’ils sont associes a desformes cuspidales cohomologiques ordinaires, mais qui dans notre approche geometriquesemblent moins accessibles.

Comme on le decrira avec plus de details dans la Section 5, ces quatre premiers twistscorrespondent de maniere naturelle aux representants de Kostant dans le groupe de Weylde GSp4 modulo le groupe de Weyl du sous-groupe de Levi du parabolique de Siegel.Dans un travail recent [30], le deuxieme auteur demontre l’existence d’une forme cuspidalep-adique (et conjecturalement classique) dans le Cas 1, sous certaines hypotheses globales.La methode consiste a generaliser le travail de Faltings–Jordan en utilisant le complexeBGG dual (introduit par [8], et etudie dans [22] et [24]). Il se peut que les deux autres casnon-triviaux puissent se demontrer avec la meme methode, mais avec des di‰cultes tech-niques supplementaires.

Cependant, notons que, apres une version anterieure de cet article, notre conjecturepour les huit poids qu’on vient de mentionner a ete recemment etablie par Gee et Geraghty[11] par une methode de relevement automorphe d’une representation galoisienne residuellemodulaire.

2 Herzig et Tilouine, Conjecture de type de Serre et formes compagnons pour GSp4



Notons que [35] etudie une question prealable a des generalisations ulterieures de laconjecture de type de Serre : etant donne H reductif sur Qp et GalðQ=QÞ ! HðQpÞ un ho-momorphisme « geometrique », quel est le meilleur groupe reductif G=Q sur lequel chercherune representation automorphe p et une representation r : LG ! H telles que r ¼ r � rp (rpassociee a p par la correspondance de Langlands). Par exemple, pour nous si H ¼ GSp4, lareponse est G ¼ GSp4 et r ¼ spin.

Le plan de l’article est le suivant. Dans la Section 2 on introduit les notations liees augroupe GSp4 et on discute la condition d’ordinarite dans la Section 3. Puis on enonce lesconjectures de type de Serre dans la Section 4, on donne une explicitation de la liste despoids et on decrit les relevements cristallins correspondants dans le cas totalement decom-pose. Ensuite on etudie dans la Section 5 en detail les twists de r qui correspondent a desformes compagnons et enonce les conjectures correspondants. Finalement, en Section 6 onesquisse la methode, utilisant le complexe BGG dual, qui fournit une forme compagnon(modulo p puis un relevement p-adique) dans le premier cas.

Remerciements. Le premier auteur tient a remercier Matthew Emerton, Toby Gee etDavid Geraghty pour des discussions utiles, ainsi que l’I.H.E.S., l’Universite de Paris 7 etl’IAS ou une partie de ce travail a ete realisee. Le second auteur remercie Kyoto University,Columbia University et l’Academia Sinica de Taipei ou une partie de ce travail a ete reali-see, pour leur hospitalite. Les auteurs remercient enfin le rapporteur dont les remarques ontameliore la qualite de cet article.

2. Notations

Soit ðV ;cÞ un Z-module symplectique unimodulaire de rang 4, de base ðe1; e2; e3; e4Þavec cðe1; e4Þ ¼ cðe2; e3Þ ¼ 1 et cðei; ejÞ ¼ 0 si ie j autres que ð1; 4Þ et ð2; 3Þ. La matricede c dans cette base est

J ¼

0 0 0 1

0 0 1 0

0 �1 0 0

�1 0 0 0

0BBB@

1CCCA:

Soit G ¼ GSp4ðV ;cÞ ¼ fX A GL4 : tXJX ¼ n � Jg le schema en groupes reductif connexesur Z des similitudes de ðV ;cÞ. Le facteur de similitude n definit un caracterensim : G ! Gm ; son noyau est le Z-schema en groupes Sp4.

Soit

s ¼ 0 1

1 0

� �; s 0 ¼ 0 1

�1 0

� �; et 12 ¼

1 0

0 1

� �:

On note B ¼ TN, resp. Q ¼MU , P ¼M1U1 les decompositions de Levi standard du sous-groupe de Borel B de G stabilisateur du drapeau he1iH he1; e2i, du parabolique de SiegelQ stabilisateur du plan isotrope he1; e2i, resp. du parabolique de Klingen P stabilisateur dela droite he1i. On a

3Herzig et Tilouine, Conjecture de type de Serre et formes compagnons pour GSp4



T ¼

t1 0 0 0

0 t2 0 0

0 0 n � t�12 0

0 0 0 n � t�11

0BBB@

1CCCA

8>>><>>>:

9>>>=>>>;;

N ¼

1 x � �0 1 � �0 0 1 �x

0 0 0 1

0BBB@

1CCCA

8>>><>>>:

9>>>=>>>;XG;

Q ¼ A C

0 D

� �� XG;

M ¼ A 0

0 D

� �: tAsDs ¼ n � 12

� �;

U ¼ 12 C

0 12

� �: sC sym�eetrique

� �;

P ¼a � �0 A �0 0 det A � a�1

0B@

1CA : A A GL2

8><>:

9>=>;XG:

Notons que dans cette notation certaines etoiles (resp. certains zeros) representent des ma-trices 1� 2 ou 2� 1. De meme, avec ces notations, on a

M1 ¼a 0 0

0 A 0

0 0 det A � a�1

0B@

1CA : A A GL2

8><>:

9>=>;;

U1 ¼

1 x y �0 1 0 y

0 0 1 �x

0 0 0 1

0BBB@

1CCCA

8>>><>>>:

9>>>=>>>;:

Soit WG ¼ NGðTÞ=T le groupe de Weyl de ðG;TÞ. Son action sur le groupe des ca-racteres est donnee par w � lðtÞ ¼ lðw�1twÞ. Il est engendre par (les classes de)

s0 ¼s 02

02 s

� �et s1 ¼

1 0 0

0 s 0 0

0 0 1

0B@

1CA:

Il admet la presentation

WG ¼ hs0; s1; s20 ; s

21 ; ðs0s1Þ4i:

Le groupe de Weyl WM de M est engendre par s0. On a un systeme de representantsde Kostant de WMnWG donne par W M ¼ f14; s1; s1s0; s1s0s1g.




Soit X ðTÞ (resp. YðTÞ) le groupe des caracteres (resp. cocaracteres) de T . On identifieX ðTÞ au reseau de Z3 des triplets ða; b; cÞ A Z3 avec c1 aþ b ðmod 2Þ par la formule

l : t ¼ diagðt1; t2; nt�12 ; nt�1

1 Þ 7! ta1 tb

2nðc�a�bÞ=2:

Notons qu’on a alors l�diagðz; z; z; zÞ

�¼ zc. Avec ces notations, notre choix des racines

simples de G est a0 ¼ ð1;�1; 0Þ et a1 ¼ ð0; 2; 0Þ ; a0 est la racine courte. De plus, le facteurde similitude nsim : G ! Gm defini le poids de coordonnees ð0; 0; 2Þ. Notons

X ðTÞþ ¼ fða; b; cÞ A XðTÞ : af bf 0g

l’ensemble des poids dominants. Les ai correspondent aux reflexions si. L’element s1s0,resp. s1s0s1, envoie ða; b; cÞ sur ðb;�a; cÞ, resp. sur ð�b;�a; cÞ.

Soit ðGG; BB; TTÞ le groupe reductif dual de ðG;B;TÞ, determine a isomorphisme pres.Fixons un isomorphisme entre les donnees radicielles basees c0ðGGÞGc0ðGÞ

�. Alors le

groupe WG s’identifie canoniquement au groupe de Weyl WGG ¼ NGGðTTÞ=TT de GG.

Fixons de plus des epinglages de ðG;B;TÞ et de ðGG; BB; TTÞ. Alors l’isomorphisme

spin : GG GG

respecte ces epinglages et induit un certain isomorphisme c0ðGGÞGc0ðGÞ sur les donneesradicielles basees, ce qui le caracterise. On donne une formule explicite pour ce dernierisomorphisme dans la Section 4, equation (2). L’isomorphisme spin applique le groupe deWeyl WGG isomorphiquement sur WG ¼ NGðTÞ=T . Le compose

i : WG ¼WGG �!spin

WG

induit un automorphisme qui echange les deux generateurs s0 et s1. Notons que ceciest compatible avec l’invariance de la presentation de WG par echange de s0 et s1. Voir[22] pour les details. Ainsi, via i, s1s0 agit par ða; b; cÞ 7! ð�b; a; cÞ, et s1s0s1 agit parða; b; cÞ 7! ð�a; b; cÞ.

3. Ordinarite

Considerons une representation cuspidale p de GSp4ðAÞ dont la composante a l’infiniest dans la serie discrete holomorphe de parametre de Harish-Chandra ðaþ 2; bþ 1; aþ bÞavec af bf 0 ; en posant k ¼ aþ 3 et l ¼ bþ 3, la construction de Harish-Chandra per-met de lui associer des formes modulaires holomorphes de poids ðk; lÞ avec k f lf 3. Onfixe une telle forme, que l’on note f .

Soit G ¼ GalðQ=QÞ ; fixons un nombre premier p et considerons la representationgaloisienne

rp;p ¼ rf ;p : G! GSp4ðQpÞ




non ramifiee hors de RamðpÞW fp;yg et telle que le polynome caracteristique du Frobe-nius arithmetique fl en l3 p, l B RamðpÞ soit le polynome de Hecke Pp;lðXÞ, c’est-a-direle polynome tel que Pp;lðl�sÞ soit l’inverse du facteur d’Euler en l de la fonction L spino-

rielle de p decalee dek þ l� 3

2. On note aussi Pf ;lðX Þ ¼ Pp;lðXÞ.

L’existence de cette representation resulte des travaux de R. Taylor [27], Laumon [20]et Weissauer [32], [33], dont la derniere reference etablit la symplecticite.

Soit Hq la Z-algebre de Hecke spherique de G en q (c’est le Z-module des fonctionsa support compact sur GðQqÞ, biinvariantes par GðZqÞ). On note Tq;1, Tq;2, resp. Tq;0 lesgenerateurs de Hq associes a diagð1; 1; q; qÞ, diagð1; q; q; q2Þ, resp. diagðq; q; q; qÞ.

Pour tout premier q ou p est non ramifiee, on definit les valeurs propres aq; i des ope-rateurs de Hecke Tq; i (i ¼ 1; 2).

Definition 3.1. Supposons que p est non ramifie en p. On dit que p est ordinaire en p

(ou p-ordinaire) si l’une des conditions equivalentes suivantes est satisfaite :

� ordpðap;1Þ ¼ 0 et ordpðap;2Þ ¼ b ¼ l� 3.

� On peut ordonner les racines du polynome de Hecke

Pp;pðXÞ ¼ Pf ;pðXÞ ¼ ðX � aÞðX � bÞðX � gÞðX � dÞ

de sorte que ordpðaÞ ¼ 0, ordpðbÞ ¼ l� 2, ordpðgÞ ¼ k � 1 et ordpðdÞ ¼ k þ l� 3.

L’equivalence provient de la formule

Pf ;pðX Þ ¼ X 4 � ap;1X 3 þ�

pap;2 þ 2pkþl�3hðpÞ�X 2 � pkþl�3ap;1hðpÞX þ

�pkþl�3hðpÞ

�2;

ou h designe le caractere de Dirichlet donnant la partie finie du caractere central de p (onl’appelle aussi le Nebentypus de f ) ; pour cette formule, voir [26], Section 3.5. On dit aussique la forme f est p-ordinaire.

Remarque 3.2. Les valuations des racines de Pf ;pðX Þ sont deux a deux distinctes parla condition k f lf 3. De plus, ap;1 1 a ðmodm

ZpÞ.

Soit O un anneau de valuation discrete fini et plat sur Zp contenu dans Qp su‰sam-ment grand pour que r soit definie dessus, c’est-a-dire qu’il existe un O-reseau L stable parr. Soit $ un parametre uniformisant de O, k ¼ O=ð$Þ et soit rf ;p : G! GSp4ðkÞ la repre-sentation de G sur L=$L.

Soit Dp un groupe de decomposition en p dans G ; soit Ip HDp son sous-grouped’inertie. Soit e, resp. o le caractere cyclotomique p-adique, resp. modulo p. Pour toutnombre u ( p-adique ou mod p) on note nrðuÞ le caractere non-ramifie de Dp qui envoie leFrobenius arithmetique sur u. Si p est ordinaire en p ([16], [29]), on a par [31] :




rf ;pjDp@

ekþl�3 nrd

pkþl�3

� ��

0 ek�1 nrg

pk�1

� ��

0 0 el�2 nrb

pl�2

� ��

0 0 0 nrðaÞ

0BBBBBBBBBBB@

1CCCCCCCCCCCA;

donc

rf ;pjIp@

ekþl�3 � � �0 ek�1 � �0 0 el�2 �0 0 0 1

0BBB@

1CCCA

et aussi

rf ;pjIp@

okþl�3 � � �0 ok�1 � �0 0 ol�2 �0 0 0 1

0BBB@

1CCCA:

4. Conjecture de type de Serre pour GSp4

Soit S un ensemble fini de places de Q contenant p et y. Pour chaque l A S, on fixeun sous-groupe d’inertie Il HG. Soit k un corps fini de caracteristique p. Fixons une foispour toutes un isomorphisme Qp !@ C.

Soit r : G! GSp4ðkÞ une representation S-ramifiee, c’est-a-dire un homomorphismecontinu tel que rðIlÞ ¼ 1 pour tout nombre premier l B S. Supposons que r soit absolu-ment irreductible. Dans [26], l’un des auteurs a conjecture que, sous l’hypothese que r estmodulaire (c’est-a-dire provient d’une forme cuspidale cohomologique p non ramifiee en p

pour GSp4ðAÞ) et que sa restriction a Dp est triangulaire superieure avec des caracteres surla diagonale deux a deux distincts, il en est de meme pour ses deformations de meme type(un ordre des caracteres de la diagonale etant fixe).

Il a introduit ([28], Section 9) une condition necessaire de modularite pour r, appeleel’imparite motivique : r est dite motiviquement impaire si p ¼ 2 ou nsim � rðcÞ ¼ �1 (pourune conjugaison complexe c) ou, de maniere equivalente si

rðcÞ@

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 �1 0

0 0 0 �1

0BBB@

1CCCA;

la conjugaison ayant lieu dans GSp4.




Il a pose la question suivante (Cours au Tata Institute, 1995, non publie) : si la repre-sentation r est absolument irreductible, motiviquement impaire et p-ordinaire d’exposantsi0 e i1 e i2 e i3 (voir l’equation (1) ci-dessous) ou les ij sont deux a deux distincts aveci3 � i0 < p� 1, provient-elle d’une representation cuspidale de GSp4ðAÞ avec py dans laserie discrete ?

On peut formuler une conjecture legerement plus generale et plus precise. Supposonsque la representation r est p-ordinaire. On a donc a conjugaison pres dans GL4 :

rjDp@

o i3 nrðu3Þ � � �0 o i2 nrðu2Þ � �0 0 o i1 nrðu1Þ �0 0 0 o i0 nrðu0Þ

0BBB@

1CCCA:ð1Þ

Apres torsion par une puissance de o, on peut supposer que les exposants satisfonti0 ¼ 0e i1 e i2 e i3 et ij e jðp� 2Þ pour j ¼ 1; 2; 3. On a necessairement i0 þ i3 ¼ i1 þ i2.Cette relation est evidente sous l’hypothese i3 < p� 1, mais en fait, elle est toujours satis-faite car on peut toujours supposer que la conjugaison (1) a lieu dans GSp4, comme nousl’a fait remarquer D. Prasad (lettre a l’un des auteurs).

Notons que ce choix d’entiers croissants ij A Z n’est pas unique en general, meme sion impose ij e jðp� 2Þ. Une fois un tel ordre fixe, supposons en outre que i1 < i2 ; il existealors un couple unique d’entiers ðk; lÞ avec k f lf 2 tel que i1 ¼ l� 2 et i2 ¼ k � 1. Side plus les ij sont deux a deux distincts, on a meme lf 3 de sorte qu’il existe ða; bÞ avecaf bf 0 tel que i1 ¼ bþ 1 et i2 ¼ aþ 2, et k ¼ aþ 3, l ¼ bþ 3.

Nous appelerons ðk; lÞ le poids modulaire du couple�r; ðijÞj¼1;...;3

�constitue de la

representation p-ordinaire r et de la suite ordonnee ð0; i1; i2; i3Þ des exposants.

Definition 4.1. On dira que les exposants sont p-petits si apres torsion par une puis-sance de o, on a 0 ¼ i0 e i1 e i2 e i3 < p� 1.

Dans ce cas, le couple d’entiers ðk; lÞ satisfait la condition k þ l� 3 < p� 1.

Conjecture 0. Soit�r; ðijÞj

�un couple constitue d’une representation irreductible mo-

tiviquement impaire et p-ordinaire et d’un ordre des exposants avec i0 ¼ 0, i1 < i2. Supposons

ces exposants p-petits. Soit ðk; lÞ son poids modulaire. Supposons que r soit de Fontaine–

La¤aille en p (de poids dans ½0; p� 2�) ; il existe alors une forme cuspidale holomorphe f

de poids ðk; lÞ, p-ordinaire et de niveau premier a p, associee a r, au sens que rf ;p est iso-

morphe a r.

Remarque 4.2. On peut montrer que lorsque les exposants sont deux a deux dis-tincts, la representation r est de Fontaine–La¤aille en p de poids dans ½0; p� 2�, en brefFL½0;p�2�, si et seulement si les etoiles de la premiere surdiagonale de rjDp

sont peu ramifieesau sens de Serre. Cette condition se produit toujours, sauf s’il existe j tel que ijþ1 ¼ ij þ 1et ujþ1 ¼ uj (lorsqu’aucun tel j n’existe, on peut trouver la construction d’un relevementcristallin dans le Lemme 7.6.7 de [11], par exemple). Ainsi la condition FL½0;p�2� est « gene-riquement satisfaite ».




Preambules a la theorie des poids de Serre. Lorsque r est de Fontaine–La¤aille en p,la forme f conjecturale intervient dans la cohomologie de de Rham de la variete de SiegelX de niveau premier a p, a coe‰cients dans le fibre a connexion associe a la representationVl de GSp4 de plus haut poids l ¼ ða; b; aþ bÞ dans les notations de [8], Chapitre VI. Cetteremarque est en accord avec la terminologie de [29], par exemple, ou l’on dit qu’un poidsðk; lÞ avec k f lf 3 est cohomologique.

Par des theoremes de comparaison classiques, le systeme de valeurs propres de Heckede f intervient aussi dans la cohomologie etale H 3

�eet

�X nQ;VlðQpÞ

�du systeme local asso-

cie a la representation Vl. Lorsque la representation residuelle r est absolument irreduc-tible, pour tout choix fixe d’un Zp-reseau stable Vl, il en resulte que la reduction modulop du reseau

Im�H 3

�eet

�X nQ;VlðZpÞ

�! H 3

�eet

�X nQ;VlðQpÞ

��contient la contragrediente r4 de r.

On se propose de donner dans ce qui va suivre une formulation de la question de lamodularite cohomologique de r purement en caracteristique p, sans aborder la questionde l’existence d’un relevement automorphe classique en caracteristique zero. Il faut cepen-dant a priori distinguer la question de l’existence d’une classe de cohomologie de de Rhammodulo p ou d’une classe de cohomologie etale a coe‰cients dans des systemes locaux enFp-vectoriels, qui represente r. On dit qu’une classe de cohomologie de de Rham c repre-sente r si elle est propre pour les correspondances de Hecke pour tout l B S W fpg premier,et que le polynome de Hecke Pc;lðX Þ est le polynome caracteristique de l’image du Frobe-nius (geometrique) par la contragrediente r4.

La comparaison entre les deux formulations, celle en termes d’une classe de cohomo-logie de de Rham, et celle en termes d’une classe de cohomologie etale, repose sur la vali-dite du theoreme de comparaison etale–cristallin modulo p ([7]) de Faltings. Les poids per-mis a priori pour ce theoreme de comparaison modulo p, sont les ðk; lÞ tels que k f lf 3avec k þ l� 3 < p� 1 qui correspondent, comme on le verra, a des points entiers de l’al-cove fondamentale, alors que la conjecture ci-dessous qui donne les poids de Serre possiblespour une representation residuelle r fait intervenir des poids p-restreints qui peuvent etreneanmoins hors de cette alcove. Pour ces poids, la comparaison modulo p n’est pas valable,a moins que ces classes ne se relevent en caracteristique nulle car la limitation sur les poidspour le theoreme de comparaison disparaıt alors.

Le travail recent d’un des auteurs [15], a permis de formuler une conjecture presquecomplete dans le cas de GLn lorsque la representation galoisienne residuelle est moderee enp. Elle est exprimee en termes de classes de cohomologie singuliere a coe‰cients dans dessystemes locaux en Fp-vectoriels, et non pas en termes de cohomologie etale, puisqu’il n’y apas en general d’action de Galois sur la cohomologie des espaces localement symetriques,non algebriques, associes a GLn.

Dans le cas de G ¼ GSp4, l’objet de la presente section est de specifier, sous des hypo-theses similaires, les systemes locaux etales en Fp-vectoriels sur la variete de Siegel sur Q

de niveau premier a p dans la cohomologie desquels la contragrediente r4 intervient. Cessystemes locaux sont associes a des representations irreductibles du groupe fini GðFpÞ sur Fp




qu’on appelera poids de Serre. A posteriori, on peut interpreter la question de 1995 commecelle de l’existence de l’une d’entre elles, de plus haut poids ða; b; aþ bÞ. Nous donnonsici la liste complete des poids de Serre reguliers (voir Definition 4.6) pour r p-ordinairemoderee.

Nous commencons en posant la definition suivante.

Definition 4.3. Un poids de Serre est une representation irreductible du groupe finiGðFpÞ sur Fp, a isomorphisme pres.

Cette notion apparaissait implicitement dans [2] pour GL2 puis a ete utilisee systema-tiquement dans [1] et [5].

Jusqu’a la Proposition 4.11 on considerera G comme groupe sur Fp. Pour l A XðTÞdominant, le G-module dit de Weyl dual est defini par l’induction algebrique

W ðlÞ ¼ IndGB��FpðlÞ

�¼ f f A MorðG;A1Þ : f ðbgÞ ¼ lðbÞ f ðgÞ Eg A G; b A B�g

ou B� designe le Borel oppose de B. Le plus grand G-sous-module semisimple

FðlÞ :¼ socG W ðlÞ

est isomorphe au G-module simple de plus haut poids l ([18], II.2.4).

Definition 4.4. On introduit le sous-ensemble X1ðTÞ de X ðTÞ des poids p-restreints,

X1ðTÞ ¼ fl A XðTÞ : 0e hl; a4i i < p Eig

¼ fða; b; cÞ A XðTÞ : 0e a� b < p; 0e b < pg;

ainsi que le sous-groupe

X 0ðTÞ ¼ fl A XðTÞ : hl; a4i i ¼ 0 Eig

¼ fð0; 0; cÞ : c A 2Zg:

Comme G 0G Sp4 est simplement connexe, on a par une generalisation simple d’untheoreme classique de Steinberg (voir [15], Proposition 1.3 dans l’appendice)

Proposition 4.5. Tout poids de Serre est la restriction aux points Fp-rationnels d’un

G-module simple FðlÞ avec l A X1ðTÞ. Si l; l 0 A X1ðTÞ on a FðlÞGFðl 0Þ comme represen-

tation de GðFpÞ si et seulement si l� l 0 A ðp� 1ÞX 0ðTÞ.

Definition 4.6. Un poids de Serre F est dit regulier si F GFðlÞ avec

0e hl; a4i i < p� 1 pour i ¼ 1; 2.




On dit de meme qu’un tel l est p-regulier et on note Xr�eegðTÞHX1ðTÞ l’ensemble des poidsp-reguliers.

En particulier, il y a p2ðp� 1Þ poids de Serre dont ðp� 1Þ3 sont reguliers.

Soit X le modele canonique, defini sur Q, de la tour ðXKÞK des varietes de Shi-mura pour G dont le niveau K parcourt l’ensemble des sous-groupes ouverts compactsde

GðZZÞ ¼ GðZZpÞ � GðZpÞ

de la forme K ¼ K p � GðZpÞ pour un K p arbitraire de niveau premier a p. Soit f : A! X

la variete abelienne universelle principalement polarisee avec structure de niveau premier ap. En fixant un point geometrique x de X , on obtient une representation continue

fx : p1ðX ; xÞ ! GSpðAx½p�4ÞGGðFpÞ

associee au faisceau etale localement constant R1f�Z=p. Pour toute representation ðW ; rÞ deG definie sur Fp, la composee r � fx fournit par la theorie du p1 un faisceau etale localementconstant WX sur X .

Definition 4.7. On dit que r est modulaire de poids de Serre FðlÞ si sa contragre-diente r4 intervient comme sous-representation du G-module H �

�eet

�X �Q;FðlÞX

�. On note

WðrÞ l’ensemble de ces poids de Serre, et Wr�eegðrÞ le sous-ensemble de ceux qui sont regu-liers.

Supposons maintenant que r soit moderement ramifiee en p. Pour enoncer la con-jecture, on va definir une representation VðrjIp

Þ, de dimension finie sur Qp, du groupe

fini GðFpÞ, ainsi qu’un operateur R envoyant les poids de Serre vers les poids de Serrereguliers.

Commencons par l’operateur R. Soient ~rr ¼ ð2; 1; 3Þ A XðTÞ la demi-somme des raci-nes positives a translation par X 0ðTÞ pres, et w0 ¼ ðs0s1Þ2 l’element le plus long de WG. Siw A WG et m A XðTÞ on note

w � m ¼ wðmþ ~rrÞ � ~rr:

Pour tout m A X ðTÞ on definit FðmÞr�eeg de la maniere suivante : on choisit m 0 A Xr�eegðTÞ telque m� m 0 A ðp� 1ÞX ðTÞ et on pose FðmÞr�eeg ¼ Fðm 0Þ. Il est facile de verifier que c’est inde-pendant du choix de m 0. Finalement on definit

R�FðlÞ

�:¼ F

�w0 � ðl� p~rrÞ

�r�eeg:

Passons a VðrjIpÞ. Dans ce qui suit, on utilisera le groupe dual GG (sur Fp), identifie

avec GSp4 par l’isomorphisme spin (voir fin du §2). Pendant les paragraphes suivantson utilisera le langage classique pour les groupes algebriques, donc on ecrira G a laplace de GðFpÞ, etc. On note Fr le morphisme de Frobenius sur G ou GG. On a une dualiteentre les couples ðT; yÞ constitues d’un tore maximal rationnel THG et d’un caractere




y : TFr ! Q�p et les couples ðTT; sÞ constitues d’un tore maximal rationnel TTH GG et d’un

element s A TTFr. De tels couples en dualite sont dits maximalement deployes si le rang ra-tionnel de TT est maximal parmi tous les tores maximaux rationnels de GG qui contiennent s([6], §5).

L’application V est alors definie par le diagramme suivant [15], §6.4 (utilisant que le

centre ZðGÞGGm est connexe). Ici l’action de GGFr, resp. de GFr, est donnee par conjugai-son. Les bijections verticale a gauche et horizontale en bas dependent du choix d’un gene-rateur du groupe d’inertie modere I mod

p , mais l’application V est independante de ce choix.La representation Ry

T associee a un couple ðT; yÞ est celle definie par Deligne–Lusztig [6] :

Gn t : Ip ! GGðFpÞ mod�eer�eeesqui s’�eetendent �aa Dp

� �repr�eesentations virtuelles

de GFr sur Qp

� �=Gx??y

��L RyT

GGFrn couples ðTT; sÞ; s A TTFr

max: deploy�ees

� � ��! ��dualit�ee couples ðT; yÞ; y : TFr ! Q�pmax: deploy�ees

� �=GFr:

K��!V

Remarquons que ð�1Þ3�rgFpT

VðtÞ est toujours une representation e¤ective [6], 10.10. Lesclasses de GFr-conjugaison de tores maximaux rationnels sont parametrees par les classesde conjugaison de W (voir par exemple [6], 1.14, ou [15], §4.1). En utilisant la preuve de

[6], 10.10, on peut verifier que ð�1Þ3�rgFpT

VðtÞ est l’induite d’un caractere de BðFpÞ, resp.l’induite parabolique d’une representation cuspidale de MðFpÞ, resp. l’induite paraboliqued’une representation cuspidale de M1ðFpÞ, resp. une representation cuspidale de GðFpÞ si Test un tore de type f1g, resp. fs0; s1s0s1g, resp. fs1; s0s1s0g, resp. fs0s1; s1s0g ou fw0g.

Pour r moderement ramifiee en p posons

W?ðrjIpÞ ¼ R

�JH

�VðrjIp

Þ��:

Conjecture 1. Soit r : G! GSp4ðFpÞ une representation irreductible et motiviquement

impaire. Alors,

(i) l’ensemble WðrÞ des poids de Serre de r est non-vide et son sous-ensemble Wr�eegðrÞdes poids reguliers est contenu dans W?ðrjssIp

Þ,

(ii) si de plus r est moderement ramifiee en p, on a

Wr�eegðrÞ ¼W?ðrjIpÞ:

Remarque 4.8. La determination des poids de Serre irreguliers semble pour le mo-ment hors d’atteinte. On s’attend neanmoins a ce que dans le cas ou rjIp

est moderee etgenerique, WðrÞ ne contienne aucun poids irregulier.

Remarque 4.9. L’inclusion predite dans la partie (i) de la conjecture est analogue ala propriete de WpðrÞ dans la conjecture de Buzzard–Diamond–Jarvis pour les representa-tions de degre deux d’un corps totalement reel ([5], §3.2).




Remarque 4.10. Cette conjecture ne necessite pas la condition de p-ordinarite derjIp

. Cependant dans la determination explicite qui suit de l’ensemble W?ðrjIpÞ, on se limi-

tera au cas p-ordinaire. Desormais, on suppose donc que r est p-ordinaire.

Pour cette determination, la notion d’alcove [18], II.6, sera essentielle. On note Ci

(0e ie 3) l’ensemble des ðx; y; zÞ � ~rr A X ðTÞnR tel que, respectivement,

C0 : x > y > 0; xþ y < p;

C1 : xþ y > p; y < x < p;

C2 : x� y < p < x; xþ y < 2p;

C3 : y < p; xþ y > 2p; x� y < p:

Ce sont les seules alcoves pertinentes ici car X1ðTÞ ¼ X ðTÞþXS3i¼0

Ci.

Si m A XðTÞGYðTTÞ, on notera m A YðGSp4Þ le copoids qui correspond a m par l’iso-morphisme spin. Rappelons que si m ¼ ða; b; cÞ A XðTÞ, alors m est donne par

m : t 7!

tðaþbþcÞ=2

tða�bþcÞ=2

tð�aþbþcÞ=2

tð�a�bþcÞ=2

0BBB@

1CCCA A YðGSp4Þ:ð2Þ

Pour m A X ðTÞ definissons alors la representation moderee du groupe d’inertie,

tð1; mÞ ¼ m � o : Ip ! GSp4ðFpÞ;

ou le « 1 » signifie qu’il s’agit d’une somme directe des puissances du caractere fondamentalde niveau un.

Soit r : G! GSp4ðFpÞ une representation p-ordinaire et moderee, il est facile de voirqu’il existe m A XðTÞ tel que rjIp

G tð1; mÞ.

Pour la definition de l’ordre partiel " sur XðTÞ, qui est plus grossier quee, on renvoiea [18], II.6. Mais dans tous cet article il su‰t de savoir que la restriction de " aux poidsWCi XXðTÞ est l’ordre partiel minimal satisfaisant la condition suivante. Pour chaquel A Ci XXðTÞ (i ¼ 0; 1; 2) et ri la reflexion a‰ne par rapport au mur entre les alcoves Ci

et Ciþ1, on a l " riðlÞ. En particulier, pour n’importe quels 0e ie j e 3 et pour chaquel A Ci XXðTÞ il existe un unique poids l 0 A Cj XXðTÞ tel que l " l 0.

Proposition 4.11. Soit t ¼ tð1; mÞ une representation de Ip comme ci-dessus. Alors

� on a VðtÞG IndGðFpÞBðFpÞ ð~mmjTðFpÞÞ ou ~mm : TðFpÞ ! Q�p est le relevement de Teichmuller de

m : TðFpÞ ! F�p ,




� et l’ensemble W?ðtÞ est donne par

W?ðtÞ ¼ fFðnÞ : n A Xr�eegðTÞ; bn 0 " n; n 0 þ ~rr dominant et tG tð1; n 0 þ ~rrÞg:ð3Þ

Remarque 4.12. Dans la Figure 1, on a indique les plus hauts poids n A XðTÞ despoids de Serre FðnÞ predits pour t generique (comparer avec Corollaire 4.15). Les pointsnoirs correspondent aux cas n ¼ n 0 dans (3), et les points blancs aux autres cas.

y

C3

C1 C2

C0

x� y

a1

a0�~rr

Figure 1. Les vingt poids predits (situation generique).

Remarque 4.13. L’analogue de ce resultat est valable pour n’importe quelle repre-sentation t moderee et generique qui admet un prolongement a Dp (voir [15], Proposition6.28).

Demonstration. Le couple ðT; yÞ associe a t est ðT ; ~mmjTðFpÞÞ par definition [15], §6.4.Comme T HB on obtient ([6], 8.2)

VðtÞG IndGðFpÞBðFpÞ ð~mmjTðFpÞÞ:

On va utiliser la formule de Jantzen pour calculer JH�VðtÞ

�[15], Theoreme 3.4 dans

l’appendice (voir aussi [15], §5.1). Par un calcul elementaire on determine d’abord les cons-

tantes g 0w1;w2A Z½X ðTÞ�WG qui interviennent dans la formule et on verifie qu’elles sont conte-

nues dans X 0ðTÞ si w1 ¼ w2 ou ðw1;w2Þ A fðp; s1s0pÞ; ðs1s0s1p; s1pÞ : p A hs0s1s0ig et sontnulles dans les autres cas. Rappelons que la definition de WðlÞ, considere comme elementdu groupe de Grothendieck des representations de G, s’etend a tout l A X ðTÞ (pas neces-sairement dominant) [18], II.5.7. Si m ¼ ðx; y; zÞ, on obtient alors que VðtÞ est egale a




W�2ðp� 1Þ � x; p� 1� y; zþ p� 1

�þWðxþ p� 1; p� 1� y; zÞ

¼W3;A ¼W3;B

þWðyþ p� 1; x; zþ p� 1Þ þW ðyþ p� 1; p� 1� x; zÞ¼W2;A ¼W2;B

þWðp� 1� y; x; zþ p� 1Þ þW ðp� 1� y; p� 1� x; zÞ¼W1;A ¼W1;B

þWðp� 1� x; y; zþ p� 1Þ þW ðx; y; zÞ¼W0;A ¼W0;B

þWðp� 2� y; x� 1; zþ p� 1Þ þWðp� 2� y; p� 2� x; zÞ¼W1;A 0 ¼W1;B 0

þWðp� 3� x; y; zþ p� 1Þ þW ðx� 2; y; zÞ¼W0;A 0 ¼W0;B 0

dans le groupe de Grothendieck des representations de G sur Fp (on a donne un nom achaque terme pour simplifier les notations dans ce qui suit).

Pour decomposer ces modules de Weyl on utilise les formules suivantes. Puisque

Wðw � lÞ ¼ sgnðwÞWðlÞ Ew A WGð4Þ

[18], II.5.9 (1) on peut se ramener d’abord au cas ou l est dominant et en fait p-restreint.Pour un tel poids l A X1ðTÞ, on a

WðlÞ ¼ FðlÞ þ F�s1s0s1 � lþ pð2; 2; 0Þ

�si l A C3;ð5Þ


�si l A C2;ð6Þ


�si l A C1;ð7Þ

WðlÞ ¼ FðlÞ si l A C0:ð8Þ

Remarquons que si l A Ci avec 1e ie 3, les composants de WðlÞ sont dans Ci et Ci�1. Si

l A X1ðTÞnS3i¼0

Ci, WðlÞ est irreductible sauf si hlþ ~rr; a40 i ¼ p et p=2 < hlþ ~rr; a41 i < p,

ou p ¼ 2 et l est de la forme ð1; 1; �Þ. Dans ces cas exceptionnels WðlÞ se decompose selon(5) ([17], §7). (Bien que les resultats soient enonces pour Sp4 dans cet article de Jantzen, ilssont encore valables pour GSp4 parce que son groupe derive est Sp4.)

Nous allons maintenant etudier le membre de droite de l’egalite (3). En utilisantl’equivalence

tð1; mÞG tð1; m 0Þ , m 0 A WGmþ ðp� 1ÞXðTÞ;ð9Þ

nous pouvons supposer dorenavant que

x� yf 0; yf 0; xe ðp� 1Þ=2:ð10Þ




Observons que pour G ¼ GSp4, pour tout poids n p-regulier et pour tout poids n 0 A X ðTÞtel que n 0 þ ~rr soit dominant et n 0 " n, on a

0e hn 0 þ ~rr; a4i i < p Ei:

(Cette propriete est particuliere a la geometrie des alcoves de GSp4.) Il resulte donc facile-ment de (9) que les n 0 dans le membre de droite de (3) sont precisement

n 00;A ¼ ðx; y; zÞ � ~rr; n 00;B ¼ ðp� 1� x; y; zþ p� 1Þ � ~rr;

n 01;A ¼ ðp� 1� y; p� 1� x; zÞ � ~rr; n 01;B ¼ ðp� 1� y; x; zþ p� 1Þ � ~rr;

n 02;A ¼ ðyþ p� 1; p� 1� x; zÞ � ~rr; n 02;B ¼ ðyþ p� 1; x; zþ p� 1Þ � ~rr;

n 03;A ¼ ðxþ p� 1; p� 1� y; zÞ � ~rr; n 03;B ¼ ð2p� 2� x; p� 1� y; zþ p� 1Þ � ~rr;

a ðp� 1ÞX 0ðTÞ pres. (Cette liste est valable meme si x ¼ y ou y ¼ 0.)

Commencons a comparer les deux membres de l’equation (3). On dira qu’unn 0 A X ðTÞ explique une representation W de GðFpÞ sur Fp si

fFðnÞ : n A Xr�eegðTÞ; n 0 " ng ¼ R�JHðWÞ

�:ð11Þ

Alors

n 00;X explique W3;X lW1;X 0 si n 00;X A C0;ð12Þ

n 01;X explique W2;X lW0;X 0 si n 01;X A C1;ð13Þ

n 02;X explique W1;X si n 02;X A C2;ð14Þ

n 03;X explique W0;X si n 03;X A C3;ð15Þ

ou « X » signifie soit « A » soit « B ». En particulier, si ces huit conditions sont satis-faites simultanement, la proposition est prouvee. Dans une premiere etape on va etendre lapreuve aux cas ou n 0i;X A Ci pour chaque 0e ie 3. Avec cette hypothese, le meme raison-nement que precedemment s’applique pourvu que hn 0i;X þ ~rr; a4j i3 0 pour chaque i, j. Sihn 01;X þ ~rr; a40 i ¼ 0, l’equation (13) n’est plus valable parce qu’un poids de Serre manquea la gauche de l’equation (11) ; mais ca ne pose pas un probleme car c’est Fðn 03;Y Þ (ou« Y » est ou « A » ou « B » mais pas egale a « X »). Un argument similaire s’applique sihn 00;X þ ~rr; a40 i ¼ 0, auquel cas il manquent en general deux poids au membre de gauche, ousi hn 00;X þ ~rr; a41 i ¼ 0. (Les poids qui manquent au membre de gauche de (11) dans tous cescas correspondent aux « discontinuites » de R, i.e., aux poids l ou w0 � ðl� p~rrÞ B Xr�eegðTÞ ;il y a alors toujours un autre n 0 qui explique le poids qui manque parce que tð1;�Þ est con-stant sur n 0 þ ~rrþ ðp� 1ÞX ðTÞ.)

Remarquons ensuite que (15) est vraie meme si n 03;X A C2 (meme argument que pourn 02;X ).




Il reste a traiter les cas ou x ¼ y ou y ¼ 0. Si y ¼ 0 et x3 y, tout marche commen 02;X ¼ n 01;X A C1 et W2;X ¼W1;X .

Si x ¼ y et 0 < y < ðp� 1Þ=2, les equations (12)–(15), sauf (13) quand X ¼ B, sontsatisfaites. Comme n 01;B ¼ n 00;B A C0 et W2;B ¼W3;B il su‰t de montrer que W0;B 0 ne contri-

bue pas a R�JH

�VðrjIp

Þ��

, c’est-a-dire ne change que les multiplicites des composants. SoitF1;B 0 (resp., F3;A) le composant de W1;B 0 (resp., W3;A) avec plus haut poids dans C0 (resp.C2). Alors, en e¤et, W0;B 0 ¼ �F1;B 0 et RðF1;B 0 Þ ¼ RðF3;AÞ. Si x ¼ y et y ¼ ðp� 1Þ=2, ontraite en plus le cas (13) pour X ¼ A de la meme maniere.

Supposons finalement que x ¼ y ¼ 0. Observons que n 02;A ¼ n 03;A ¼ n 01;A A C1,W1;A ¼W0;A ¼W2;A et n 02;B ¼ n 01;B ¼ n 00;B A C0, W1;B ¼W2;B ¼W3;B. Les equations (12),(13) si X ¼ A et (15) si X ¼ B sont satisfaites. Il ne reste qu’a constater que W1;B 0 ¼ 0.On verifie aisement que l’argument de ce paragraphe est encore valable si p ¼ 2 (et c’estl’unique cas qui peut arriver si p ¼ 2). r

Lemme 4.14. On a

W?ðtnocÞGW?ðtÞn ncsim Ec A Z;

ou nsim : G ! Gm est le facteur de similitudes de G. De meme,

WðrnocÞGWðrÞn ncsim Ec A Z:

Demonstration. Pour la premiere assertion, on observe que

nsimjT ¼ ð0; 0; 2Þ A XðTÞGY ðTTÞ

correspond par l’isomorphisme spin au cocaractere central z : z 7! diagðz; z; z; zÞ de Gm

vers G (voir (2)). Puisque nsim et z sont invariants par conjugaison et Ry~nnsim

T GRyT n ~nnsim

([6], 1.27), on a VðtnocÞGVðtÞn ~nncsim. Finalement, on utilise que

RðF n nsimÞGRðFÞn nsim.

Pour la deuxieme assertion, rappelons la construction du systeme local FX associea une representation ðF ; rF Þ de GðZ=pZÞ. Soit f : A! XQ le schema abelien universel etsoit fx : p1ðXQ; xÞ ! GSpðAx½p�4ÞGGðZ=pZÞ la representation du groupe fondamentalde X �Q (pour un point geometrique fixe), associee au faisceau etale localement constantR1f�Z=p. Le systeme local FX est associe a la representation rF � fx du groupe fondamen-tal. Soit rx : p1ðXQ; xÞ ! GSpðAx½p�ÞGGðZ=pZÞ la representation associee au revetementetale A½p� ! XQ des points de p-torsion. Comme la forme symplectique sur Ax½p� est don-nee par l’accouplement de Weil, on a pour tout P;Q A Ax½p� :

hPs;Qsi ¼ hP;Qinsim�rxðsÞ ¼ hP;QioðsÞ.

On trouve donc nsim � rx ¼ o ce qui implique nsim � fx ¼ o�1. Il s’ensuit que

H��eet

�X �Q;FðlÞX n nc

sim;X

�¼ H

��eet

�X �Q;FðlÞX

�no�c:

Le resultat en decoule. r




La preuve de la Proposition 4.11 donne le corollaire suivant, qui fournit une descrip-tion explicite de W?ðtÞ dans la plupart des cas, a torsion pres.

Corollaire 4.15. Supposons que t : Ip ! GSp4ðFpÞ est donnee par

t@

okþl�3 0 0 0

0 ok�1 0 0

0 0 ol�2 0

0 0 0 1

0BBB@

1CCCA@ t

�1; ðx; y; xþ yÞ

�;

ou k > l > 3, k þ l < pþ 1 et x ¼ k � 1, y ¼ l� 2. Alors W?ðtÞ consiste en les 20 poids

de Serre FðnÞ avec nþ ~rr A Xr�eegðTÞ þ ~rr parcourant :

C0 ðx; y; xþ yÞ; ðp� 1� x; y; xþ yþ p� 1Þ;

C1 ðp� 1� y; p� 1� x; xþ yÞ; ðp� 1� y; x; xþ yþ p� 1Þ;C0 ! C1 ðp� y; p� x; xþ yÞ; ðp� y; xþ 1; xþ yþ p� 1Þ;

C2 ðyþ p� 1; p� 1� x; xþ yÞ; ðyþ p� 1; x; xþ yþ p� 1Þ;C1 ! C2 ðyþ pþ 1; p� 1� x; xþ yÞ; ðyþ pþ 1; x; xþ yþ p� 1Þ;C0 ! C2 ðyþ p; p� x; xþ yÞ; ðyþ p; xþ 1; xþ yþ p� 1Þ;

C3 ðxþ p� 1; p� 1� y; xþ yÞ; ð2p� 2� x; p� 1� y; xþ yþ p� 1Þ;C2 ! C3 ðxþ pþ 1; pþ 1� y; xþ yÞ; ð2p� x; pþ 1� y; xþ yþ p� 1Þ;C1 ! C3 ðxþ pþ 1; p� 1� y; xþ yÞ; ð2p� x; p� 1� y; xþ yþ p� 1Þ;C0 ! C3 ðxþ p; p� y; xþ yÞ; ð2p� 1� x; p� y; xþ yþ p� 1Þ:

Ici la notation « Cj ! Ci » pour j < i, resp. « Ci », veut dire que les n correspondants sont

situes dans l’alcove Ci et qu’ils sont obtenus en commencant par un n 0 A Cj, resp. par n 0 ¼ n,dans la description de W?ðtÞ de la Proposition 4.11. Il y a une seule exception : si k � l ¼ 1ou k þ l ¼ p, un n de la rangee « C3 » se trouve sur la frontiere entre C2 et C3.

Remarque 4.16. Supposons que r ¼ rf ;p avec f de poids ðk; lÞ et k > l > 3 etk þ l < pþ 1 telle que rjIp

est p-ordinaire moderee. Notons

l ¼ ða; b; aþ bÞ ¼ ðx; y; xþ yÞ � ~rr

le « poids fondamental ». Alors les huit poids n des rangees « Ci » se repartissent endeux sous-ensembles. Le premier est le sous-ensemble des poids p-reguliers parmiw � lþ Zðp� 1; p� 1Þ ou w A W M parcourt l’ensemble des representants de Kostantdans WG, et le second est le sous-ensemble des poids p-reguliers parmi w � lþ Zðp� 1; 0Þpour w A WGnW M . Les poids de Serre correspondants s’appellent les poids compagnons def (ou de son poids fondamental).

Remarquons que sous la condition plus faible k f lf 3 et k þ l� 3 < p� 1, quiprovient de la theorie de Fontaine–La¤aille, on a toujours ces huit poids compagnonsdu poids fondamental. Ils sont tous p-restreints mais peuvent se situer sur des murs ousur des alcoves contigues a celles de la liste ci-dessus. On y reviendra dans la prochainesection.




En ce qui concerne les douze poids dans les rangees « Cj ! Ci », on peut justifier leurpresence dans la liste par la proposition suivante. On dira qu’une representationrp : Dp ! GSp4ðQpÞ est cristalline a poids de Hodge–Tate x A Y ðTÞ si | � rp est cristallinea poids de Hodge–Tate | � x (qui s’identifie a un multiensemble de quatre entiers), ou| : GSp4 ,! GL4 est l’inclusion canonique.

Proposition 4.17. Supposons que la representation locale rp : Dp ! GSp4ðFpÞ est to-

talement decomposee. Alors pour chaque m A Xr�eegðTÞ þ ~rr tel que Fðm� ~rrÞ A W?ðrpjIpÞ il exi-

ste une representation cristalline rp : Dp ! GSp4ðQpÞ a poids de Hodge–Tate m A YðTÞ qui

releve rp.

Remarque 4.18. (i) Cet enonce fournit un indice de nature locale pour l’existencepour chaque poids m A W?ðrpjIp

Þ, d’une representation automorphe cuspidale p telle que

l’on ait (globalement) : rp ¼ r. En e¤et, la representation galoisienne associee a une repre-sentation cuspidale cohomologique de poids m� ~rr (donc dont la composante a l’infini estde parametre de Harish-Chandra mþ ð0; 0; 3Þ) et de niveau premier a p est cristalline depoids de Hodge–Tate m.

(ii) L’analogue de la proposition pour GLn=Q est predit par une conjecture de Gee[10], §4.3, meme sans supposer que rjIp

est moderee et que le poids de Serre est regulier.La generalisation de cette conjecture a beaucoup d’autres groupes reductifs (incluyantGSp4=Q) sera le sujet de [12].

Demonstration. Pour a A F�p notons ~aa le relevement de Teichmuller de a.

La representation rp etant totalement decomposee, il existe des entiers xf yf 0 et z

avec xþ ye p� 1 et des a; b; g; d A F�p avec ad ¼ bg tel que

rp @

oxþy nrðaÞ 0 0 0

0 ox nrðbÞ 0 0

0 0 oy nrðgÞ 0

0 0 0 nrðdÞ

0BBB@

1CCCAnoz:

(On utilise les equations (9), (10).) Notons d’abord que l’enonce depend seulement de m

modulo ðp� 1ÞX 0ðTÞ, et donc de Fðm� ~rrÞ, puisqu’on peut tordre rp par enðp�1Þ avecn A Z sans changer sa reduction. Egalement, apres torsion nous pouvons supposer quez ¼ 0.

Commencons par exhiber un relevement cristallin a poids de Hodge–Tate m pourchaque element m de la liste du Corollaire 4.15 (n’importe que la restriction sur ðx; yÞ estplus faible ici). Puis on verifiera que l’on a obtenu ainsi (au moins) un relevement pourchaque poids de Serre dans W?ðrpjIp

Þ. En fait on peut deduire facilement de la preuvequ’aucun des relevements que l’on a decrit ne correspond a un poids de Serre regulier quin’est pas predit.

Considerons les quatre expressions suivantes pour rp :




oxþy nrðaÞlox nrðbÞloy nrðgÞl nrðdÞ;ð16Þ

op�1 nrðdÞlox nrðbÞloy nrðgÞloxþy�pþ1 nrðaÞ;ð17Þ

oyþp�1 nrðgÞloxþy nrðaÞl nrðdÞlox�pþ1 nrðbÞ;ð18Þ

oxþp�1 nrðbÞloxþy nrðaÞl nrðdÞloy�pþ1 nrðgÞ:ð19Þ

Dans chaque cas il y a un relevement cristallin evident obtenu en remplacant o par e eta; . . . ; d par leurs relevements de Teichmuller. Les poids m correspondants sont ceux desrangees « Ci » qui sont situes a la gauche.

Regardons l’equation (19). Puisque 2p� 2þ x� yf 2p� 2 et xþ p� 1f p� 1 lesous-lemme ci-dessous montre qu’il existe des representations cristallines si (0e i e 2) tel-les que :

poids de HT reduction

s0 fxþ p; y� pg oxþp�1 nrðbÞloy�pþ1 nrðgÞs1 fxþ p;�1g oxþp�1 nrðbÞl nrðdÞs2 fxþ pþ 1; y� p� 1g oxþp�1 nrðbÞloy�pþ1 nrðgÞ

Pour i ¼ 0; 2 on obtient le relevement cristallin exþy nrð~aaÞl si l e�x�y nrð~aa�1Þ det si dontl’image est contenue dans le Levi M1 de Klingen. Egalement on obtient le relevement cris-tallin s1 l exþy nrð~aa~ddÞ � s � ts�1

1 � s dont l’image est contenue dans le Levi M de Siegel. (Voirla Section 2 pour les notations.) Le meme argument s’applique aux expressions (18) pourie 1 et (17) pour i ¼ 0. Les poids m correspondants sont ceux des rangees « Ci ! Cj » quisont situes a la gauche.

Ainsi on a obtenu dix relevements cristallins qui correspondent aux poids m a gauchedans le tableau. Comme rp peut aussi etre ecrite sous la forme

rp @

ox 0þy 0 nrðgÞ 0 0 0

0 ox 0 nrðdÞ 0 0

0 0 oy 0 nrðaÞ 0

0 0 0 nrðbÞ

0BBB@

1CCCAnop�1�x 0 ;

avec ðx 0; y 0Þ ¼ ðp� 1� x; yÞ satisfaisant les memes inegalites que ðx; yÞ, on obtient dix re-levements cristallins correspondant aux poids m a droite.

Demontrons maintenant que l’on a exhibe su‰sament de relevements. Par la preuvede la Proposition 4.11, les poids de Serre predits sont precisement les FðnÞ ou n 0i;X " navec n A Xr�eegðTÞ. (Les n 0i;X ont ete definis dans la demonstration de cette proposition.)La symetrie ðx; yÞ $ ðx 0; y 0Þ permet de nous ramener a un seul X A fA;Bg pour chaque0e ie 3.

Commencons par i ¼ 0, et prenons n 00;A. Comme on a n 00;A A C0, les poids

nþ ~rr A Xr�eegðTÞ þ ~rr




pour lesquels n 00;A " n sont precisement les poids de Xr�eegðTÞ þ ~rr qui figurent dans les quatrerangees « C0ð! CiÞ » de gauche dans la liste. On a deja decrit un relevement cristallin danschacun de ces cas.

Pour i ¼ 1 prenons n 01;B. Quand x > y, on a n 01;B A C1 et tout marche comme dans lepremier cas en utilisant les poids dans les trois rangees « C1ð! CiÞ » a droite. Quand x ¼ y

on a n 01;B ¼ n 00;B, donc ce cas a deja ete discute (a cause de la symetrie entre les cas « A » et« B »).

Pour i ¼ 2 prenons n 02;B. Quand y > 0, on a n 02;B A C2 et tout marche comme dans lepremier cas en utilisant les poids des deux rangees « C2ð! CiÞ » a droite. Quand y ¼ 0 on an 02;B ¼ n 01;B, donc ce cas a deja ete discute.

Finalement pour i ¼ 3 prenons n 03;A. Quand x > yþ 1 on a n 03;A A C3 et tout marchecomme dans le premier cas en utilisant le poids de la rangee « C3 » a gauche. Quandx ¼ yþ 1 on est ramene au cas i ¼ 0 car n 03;A est egale au poids dans la rangee « C0 ! C2 »a gauche. Quand x ¼ y on a n 03;A ¼ n 02;A, donc ce cas a deja ete discute.

Sous-Lemme 4.19. Soient a; b A F�p .

(i) Supposons que k f pþ 2. Alors il existe une representation cristalline de Dp de di-

mension 2 a poids de Hodge–Tate f0; k � 1g et de reduction ok�2 nrðaÞlo nrðbÞ.

(ii) Supposons que k f 2pþ 3. Alors il existe une representation cristalline de Dp de

dimension 2 a poids de Hodge–Tate f0; k � 1g et de reduction ok�3 nrðaÞlo2 nrðbÞ.

Pour demontrer le sous-lemme, fixons d’abord un isomorphisme CGQp. Soit K uncorps de nombres quadratique imaginaire qui est deploye en p, et fixons un plongementK ! C. Soit lf 1 un entier. Nous commencons par construire une forme parabolique detype CM, f , de niveau premier a p et de poids l telle que rf jDp

@ol�1 nrðaÞl nrðbÞ.

Notons p et p les ideaux premiers divisant p, tel que p correspond au plongementK ! CGQp. Supposons donne un caractere de Hecke w : K�nA�K ! C� tel que (a) le

conducteur f de w est premier a p, (b) wðzÞ ¼ z1�l pour z A CGKy, (c) wðpÞp1�l ¼ a etwðpÞ ¼ b, et (d) w3 w � c, ou c est l’unique element non-trivial de GalðK=QÞ. Alors laforme de type CM associee ([21], Theoreme 4.8.2),

f ðzÞ ¼P

apOK

ða; fÞ¼1

wðaÞqNðaÞ;

est la forme cherchee.

On va meme construire pour n’importe quelles racines de l’unite a, b un caractere wsatisfaisant (a), (b), (d) et (c 0) wðpÞp1�l ¼ a, wðpÞ ¼ b. En tordant par un caractere satisfai-sant (a) et (b) on est reduit au cas l ¼ 1 (le seul cas d’ailleurs ou la condition (d) n’est pasautomatique). Puisqu’il existe des caracteres de Dirichlet (c’est-a-dire sur Q) de conducteurpremier a p de n’importe quelle valeur d’ordre fini en p, on peut remplacer la condition (c 0)par (c 00) : wðpÞ=wðpÞ ¼ d :¼ a=b.




Soit nf 1 minimal tel que ðp=pÞn ¼ xOK est principal. En considerant les extensions

possibles d’un caractere K�nK�cOKOK�K�y ! C� a K�nA�K , on peut remplacer (c 00) par (c 000) :

wðxðpÞÞ ¼ e :¼ d�n ou on note xðpÞ A cOKOK� l’idele qui est triviale en p et y et qui coıncide

avec x dehors.

Alors il su‰t de construire un caractere h : ðOK=fÞ� ! C� tel que hðxðpÞÞ ¼ e et telque h soit trivial sur l’image de O�K . En remplacant e par une 12eme racine de e et en pren-ant la 12eme puissance de h a la fin, on peut abandonner la condition que hjO�K soit triviale(puisque O�K est fini d’ordre divisant 12). Sans perte de generalite on peut supposer quel’ordre de e est de la forme qr ou q est premier. Il su‰t donc de trouver un ideal f premiera p tel que l’ordre de xðpÞ dans ðOK=fÞ� est un multiple de qr. Soit h le nombre de classes deK . On va montrer qu’il existe un entier if r et un ideal f premier a p tel que fF x12hqr�1 � 1mais f j x12hqi � 1. Choisissons p A OK tel que ph ¼ pOK . Alors il su‰t de montrer que lesnormes des ideaux ðp12nqi � p12nqiÞOK (qui sont premiers a p) ne sont pas bornees. C’estun argument elementaire utilisant que p=p n’est pas une racine de l’unite.

Jusqu’ici on a construit un caractere w satisfaisant (a), (b) et (c). Il su‰t maintenantde construire un caractere w 0 satisfaisant (a), (b), (c) et (d) dans le cas a ¼ b ¼ 1 (et tou-jours l ¼ 1). Comme ci-dessus on reduit a construire un caractere h : ðOK=fÞ� ! C� tel quehðxðpÞÞ ¼ 1 et tel que h3 h � c. Soient qF 6 et q1 3 q2 des nombres premiers tels queqi 1 1

�mod q discðKÞ

�. Alors les qi sont decomposes dans K=Q. Choisissons qi j qi des

ideaux premiers de OK et posons f ¼ q1q2. Puisque pour chaque element d’un espace vecto-riel de dimension deux il existe un element non-trivial de l’espace dual qui l’annule, il existeh : ðOK=fÞ� ! C� d’ordre exactement q tel que hðxðpÞÞ ¼ 1 ; evidemment on a h3 h � c.

Cela termine la construction du caractere de Hecke w.

La forme parabolique f sur Fp, la reduction de f modulo p, satisfait

rfjDp

@ol�1 nrðaÞl nrðbÞ:

Alors la forme g ¼ yf est propre et parabolique de meme niveau, de poids lþ pþ 1 et telleque rg @ r

fno ([14], §4). Par le lemme de Deligne–Serre, il existe une forme parabolique

et propre g en caracteristique nulle de meme poids et niveau et tel que

rgjDp@ rgjDp

@ol nrðaÞlo nrðbÞ

(notons que le poids est maintenant au moins deux). Puisque la forme g est de niveau pre-mier a p et de poids lþ pþ 1, on sait que rgjDp

est cristalline a poids de Hodge–Tateflþ p; 0g.

La partie (i) du sous-lemme se demontre en prenant l ¼ k � ðpþ 1Þ, et la partie (ii)en prenant l ¼ k � 2ðpþ 1Þ et en appliquant y deux fois. Bien sur, on pourrait appliquer yplusieurs fois et obtenir des resultats analogues pour k f 3p, etc.

Remarquons qu’une preuve locale du sous-lemme s’ensuit de [23], Theoreme 8.6(avant c’etait connu quand k e 2p ([3], §3.2)). Une preuve globale, plus sophistiquee maisvalable en toute generalite, resulte aussi du travail de Kisin sur la conjecture de Breuil–Mezard, au moins si p > 3 ([19], Corollaire 2.3.4). r




Dans certains cas (comme dans le travail de l’un des auteurs sur la conjecture de mo-dularite des surfaces abeliennes), il peut etre utile de formuler des conjectures sur l’existencede classes compagnons en cohomologie de de Rham modulo p (et meme de classes de deRham classiques ou p-adiques relevant ces classes) sous des hypotheses de decomposabilitepour rjIp

moins fortes que la decomposabilite totale. Nous formulons de telles conjecturesci-dessous pour chacun des huit poids compagnons.

5. Decomposabilite partielle et formes compagnons

Soit r ¼ rf ;p : G! GSp4ðkÞ, supposee absolument irreductible, la representation resi-duelle associee a une forme cuspidale holomorphe p-ordinaire f , de poids ðk; lÞ, k f lf 3.En particulier, r est motiviquement impaire. Dans tout ce qui suit, on fait l’hypothese quek þ l� 3 < p� 1. Soit k ¼ aþ 3 et l ¼ bþ 3 ; la representation r admet donc le poids deSerre FðlÞ ¼WðlÞ ou l ¼ ða; b; aþ bÞ A C0.

Dans la formulation ci-dessous generalisant la theorie des formes compagnons dans lecontexte de la conjecture de Serre pour GL2=Q (voir par exemple [14]), on va introduire destwists par des puissances du caractere cyclotomique modulo p de la representation globaler et formuler une conjecture d’existence de formes compagnons pour ces twists sous deshypotheses de decomposabilite partielle. On pourrait proceder exactement de la meme ma-niere avec la representation p-adique elle-meme et des twists par des puissances du carac-tere cyclotomique p-adique sous des hypotheses analogues pour la representation p-adiquerf ;pjDp

, mais alors, les formes compagnons dont l’existence est egalement conjecturee se-raient p-adiques (voir [4] pour GL2=Q).

Cas 1. Supposons qu’on ait

rjIp@

okþl�3 0 � �0 ok�1 � �0 0 ol�2 0

0 0 0 1

0BBB@

1CCCA:

On forme dans ce cas r1 ¼ rno2�l, qui est toujours motiviquement impaire. Onvoit qu’apres conjugaison par s0 ¼ iðs1Þ, on a

ðs0 � r1 � s0ÞjIp¼

ok�lþ1 0 � �0 ok�1 � �0 0 o2�l 0

0 0 0 1

0BBB@

1CCCA:

En posant ðk 0; l 0Þ ¼ ðk þ p� 1; 4� lþ p� 1Þ, on obtient un poids cohomologique :k 0fl 0f3 ; nous conjecturons alors qu’il existe une representation cuspidale p 0 de ce poids,avec p 0y de type holomorphe de parametre de Harish-Chandra ðk 0 � 1; l 0 � 2; k 0 þ l 0 � 6Þet telle que

rp 0;p G rno2�l:




Le poids de Serre correspondant est Fðl 0Þ pour l 0 ¼ ðaþ p� 1; p� 3� b; aþ bÞ qui estsitue dans l’alcove C3 si a� b > 1. Remarquons que l’existence de p 0 n’implique pas touta fait que Fðl 0Þ A WðrÞ, mais seulement (essentiellement) que r4HH 3

�eet

�X �Q;Vl 0 ðFpÞ

�.

Rappelons que le systeme local Vl 0 ðFpÞ est reductible en general puisque l 0 B C0 (voir(5)–(8) ci-dessus).

Nous verrons dans la section suivante comment ceci peut etre demontre en partie (lesdetails paraıtront dans [30]). Les deux ingredients-cle sont : le theoreme de comparaisonetale–cristallin modulo p de Faltings [7], le calcul de la cohomologie de de Rham et de safiltration de Hodge a l’aide d’un complexe filtre, dit « le Bernstein–Gelfand–Gelfand dual »introduit par Faltings–Chai [8], qui est quasi-isomorphe au complexe de de Rham logarith-mique muni de sa filtration de Hodge. Ce Cas 1 est celui qui intervient dans l’etude de laconjecture de Yoshida ([34] et [29]).


rjIp@

okþl�3 � 0 �0 ok�1 0 0

0 0 ol�2 �0 0 0 1

0BBB@

1CCCA:

On forme dans ce cas r2 ¼ rno1�k. On voit qu’apres conjugaison par s0s1 ¼ iðs1s0Þ,on a

ðs0s1 � r2 � s1s0ÞjIp¼

ol�k�1 0 � 0

0 ol�2 � �0 0 o1�k 0

0 0 0 1

0BBB@

1CCCA:

En posant ðk 0; l 0Þ ¼ ðl� 1þ p� 1; 3� k þ p� 1Þ, on obtient un poids cohomo-logique : k 0f l 0f 3 ; nous conjecturons alors qu’il existe une representation cuspi-dale p 0 de ce poids, avec p 0y de type Whittaker avec parametre de Harish-Chandraðk 0 � 1; l 0 � 2; k 0 þ l 0 � 6Þ et telle que

rp 0;p G rno1�k:

Le poids de Serre correspondant est Fðl 0Þ pour l 0 ¼ ðbþ p� 2; p� 4� a; aþ bÞ qui estsitue dans l’alcove C2 si b > 0.

On conjecture donc que la representation p 0 intervient dans le terme gradue de degrek 0 � 1 pour la filtration de Hodge de la cohomologie de deRham logarithmique (considereecomme module de Hecke) :

grk 0�1 H 3ldRðX=Zp;Vl 0 Þ ¼ H 1ðX ;ok 0;4�l 0 Þ:

Ici X designe une compactification toroıdale arithmetique de X sur Zp (voir Chapitre IV de[8]).





rjIp@

okþl�3 0 0 0

0 ok�1 � 0

0 0 ol�2 0

0 0 0 1

0BBB@

1CCCA:

On forme dans ce cas r3 ¼ rno3�k�l. On voit qu’apres conjugaison par

s0s1s0 ¼ iðs1s0s1Þ;

on a

ðs0s1s0 � r3 � s0s1s0ÞjIp¼

o3�k�l 0 0 0

0 o2�l � 0

0 0 o1�k 0

0 0 0 1

0BBB@

1CCCA:

En posant ðk 0; l 0Þ ¼ ð3� lþ p� 1; 3� k þ p� 1Þ, on obtient un poids cohomolo-gique : k 0f l 0f 3 ; nous conjecturons alors qu’il existe une representation cuspidalep 0 de ce poids, avec p 0y de type Whittaker avec parametre de Harish-Chandraðk 0 � 1; l 0 � 2; k 0 þ l 0 � 6Þ et telle que

rp 0;p G rno3�k�l:

Le poids de Serre correspondant est Fðl 0Þ pour l 0 ¼ ðp� 4� b; p� 4� a; aþ bÞ qui estsitue dans l’alcove C1 si aþ b < p� 5.

On conjecture donc que la representation p 0 intervient dans

grl0�2 H 3

ldRðX=Zp;Vl 0 Þ ¼ H 2ðX ;ol 0�1;3�k 0 Þ:

Il y a quatre autres cas, pour lesquels la methode de demonstration que nous propo-sons dans la section suivante ne s’applique probablement pas. Des discussions avec E.Urban et L. Clozel suggerent que les poids de Serre predits ci-dessous donnent lieu a desclasses c de cohomologie de de Rham modulo p obtenues par reduction de formes compa-gnons p-adiques ordinaires.

Notons que seuls les quatre representants de Kostant w A W M ont la proprieted’envoyer un poids G dominant sur un poids M-dominant par l 7! w � l ; or les carac-teres M-dominants ðc; d; eÞ de T sont ceux pour lesquels il existe un entier f tel queð f þ c; f þ d; eÞ soit G-dominant. Ces quatre autres cas sont :

Cas 0O. Si

rjIp@

okþl�3 � � �0 ok�1 0 �0 0 ol�2 �0 0 0 1

0BBB@

1CCCA;




la representation r 00 ¼ r satisfait

ðs1 � r 00 � s1ÞjIp¼

okþl�3 � � �0 ol�2 0 �0 0 ok�1 �0 0 0 1

0BBB@

1CCCA:

On pose ðk 0; l 0Þ ¼ ðl� 1þ p� 1; k þ 1Þ avec k 0f l 0f 3. Le poids de Serre corres-pondant est Fðl 0Þ pour l 0 ¼ ðbþ p� 2; aþ 1; aþ bþ p� 1Þ qui est situe dans l’alcove C2

si b > 0.

Cas 1O. Si

rjIp@

okþl�3 0 � 0

0 ok�1 � �0 0 ol�2 0

0 0 0 1

0BBB@

1CCCA;

la representation r 01 ¼ rno2�l satisfait

ðs1s0 � r 01 � s0s1ÞjIp¼

ok�lþ1 � 0 �0 o2�l 0 0

0 0 ok�1 �0 0 0 1

0BBB@

1CCCA:

On pose ðk 0; l 0Þ ¼ ð3� lþ p� 1; k þ 1Þ avec k 0f l 0f 3. Le poids de Serre corres-pondant est Fðl 0Þ pour l 0 ¼ ðp� 4� b; aþ 1; aþ bþ p� 1Þ qui est situe dans l’alcove C1

si a > b.

Cas 2O. Si

rjIp@

okþl�3 � 0 0

0 ok�1 0 0

0 0 ol�2 �0 0 0 1

0BBB@

1CCCA;

la representation r 02 ¼ rno1�k satisfait

ðs1s0s1 � r 02 � s1s0s1ÞjIp¼

ol�k�1 � 0 0

0 o1�k 0 0

0 0 ol�2 �0 0 0 1

0BBB@

1CCCA:

On pose ðk 0; l 0Þ ¼ ð2� k þ p� 1; lÞ avec k 0f l 0f 3. Le poids de Serre correspon-dant est Fðl 0Þ pour l 0 ¼ ðp� 5� a; b; aþ bþ p� 1Þ qui est situe dans l’alcove C0.




Cas 3O. Si

rjIp@

okþl�3 0 0 0

0 ok�1 0 0

0 0 ol�2 0

0 0 0 1

0BBB@

1CCCA;

la representation r 03 ¼ rno3�k�l satisfait

ðs0s1s0s1 � r 03 � s1s0s1s0ÞjIp¼

o3�k�l 0 0 0

0 o1�k 0 0

0 0 o2�l 0

0 0 0 1

0BBB@

1CCCA:

On pose ðk 0; l 0Þ ¼�2� k þ 2ðp� 1Þ; 4� l þ p� 1

�avec k 0f l 0f 3. Le poids de

Serre correspondant est Fðl 0Þ pour l 0 ¼ ð2p� 6� a; p� 3� b; aþ bþ p� 1Þ qui est situedans l’alcove C3 si aþ b < p� 6.

6. Complexe BGG dual coherent

Dans cette section on esquisse une strategie pour construire une forme compagnondans le Cas 1 qui utilise le complexe BGG dual. Pour l’instant cette strategie ne fournitqu’une forme p-adique du poids souhaite. Les details se trouvent dans un travail du deu-xieme auteur [30].

Posons k ¼ aþ 3 et l ¼ bþ 3, af bf 0 avec aþ bþ 3 < p� 1 et l ¼ ða; b; aþ bÞle poids de G associe. Soit X une variete de Shimura pour G, de niveau N premier a p

et net. Soit Vl le fibre a connexion associe a la ZðpÞ-representation de G de plus haut poidsl (voir [24], 1.9, pour l’unicite d’un tel modele entier sur ZðpÞ lorsque l A C0, ce qui est lecas ici). Soit p une representation cuspidale cohomologique de GðAÞ intervenant dansH 3

ldRðX ;VlÞnZð pÞ C ; p definit alors une forme modulaire de poids ðk; lÞ soit holomorphesoit admettant un modele de Whittaker ; notons que p possede des vecteurs non nuls par lesous-groupe de congruences principal de niveau N. On fixe un plongement Q! Qp et unanneau de valuation discrete OHQp fini sur Zp et contenant les valeurs propres de p pourles operateurs de Hecke Tq; i pour tous les nombres premiers q ne divisant pas le niveau N

(on inclut donc q ¼ p). On notera $ une uniformisante de O et k son corps residuel.

On remplace X et Vl par ses changements de base a Zp. Soit X une compactificationtoroıdale lisse de X sur Zp. Le complexe BGG dual pour G est un complexe filtre K

�l

contenu comme facteur direct dans le complexe de de Rham logarithmique Vl nW�XðlogÞ

sur X (filtre par la filtration convolee de la filtration bete de W�XðlogÞ et de la filtration de

Hodge de Vl). Il est constitue de faisceaux localement libres de rang fini. Nous renvoyonsa [24] et [22] pour une description detaillee de sa structure entiere sur Zp. L’inclusionK

�l ,!Vl nW

�XðlogÞ est un quasi-isomorphisme filtre ([22], Section 5, Theoreme 6). Pour

tout triplet d’entiers ðu; v; tÞ avec uf v, considerons le faisceau ou; vðtÞ sur X des sectionsdu fibre automorphe associe a la representation Symu�v n detv Z2

pðtÞ du sous-groupe deLevi GL2 �GL1 du parabolique de Siegel, l’action du facteur GL1 etant donnee par la




puissance t-ieme du facteur de similitudes. On peut alors ecrire les termes du complexe K�

l ;ils sont places en degre w, wþ 1, wþ 2 et wþ 3, ou w ¼ aþ bþ 3 (le poids motiviquede p) :

o3�l;3�kðk þ l� 6Þ ! ol�1;3�kðk � 4Þ ! ok;4�lðl� 5Þ ! ok;lð�3Þ;

les morphismes etant des operateurs di¤erentiels induits par la connexion de Gauss–Manin.On sait que la connexion de Gauss–Manin commute aux correspondances algebriques : lesdi¤erentielles ci-dessus commutent donc aux operateurs de Hecke. Cependant si l’on ometles twists par des puissances du facteur de similitudes, il faut les reintroduire dans les for-mules de commutation.

Remarque 6.1. Les twists n’interviennent pas pour les considerations geometriquesqui suivent, mais sont cruciaux pour la description des valeurs propres de Hecke sur laforme compagnon qu’on veut construire.

La filtration de Hodge sur le complexe de de Rham induit sur le complexe BGG dualla filtration bete. On en deduit les gradues de H 3

ldRðX ;VlÞ :

gr0 H 3ldR ¼ H 3ðX ;o3�l;3�kÞ; grl�2 H 3

ldR ¼ H 2ðX ;ol�1;3�kÞ;

grk�1 H 3ldR ¼ H 1ðX ;ok;4�lÞ; grkþl�3 H 3

ldR ¼ H 0ðX ;ok;lÞ:ð20Þ

Les hypotheses de decomposabilite partielle des Cas 1, 2, 3 de la section precedente ont unetraduction via le theoreme de comparaison etale–cristallin de Faltings [7], en termes de sta-bilite par le Frobenius cristallin F de certains sous-quotients de la filtration de Hodge surle F-module filtre Mp associe a la representation contragrediente de rp;p. Par la theorie deFontaine–La¤aille, on a Mp ¼MpnO k ou Mp est le F-module filtre, libre de rang 4 surO, associe a la representation contragrediente de rp;p ; par [22], Mp est facteur direct duO-module H 3

crisðX =Fp;VlÞnO muni du Frobenius cristallin F et de la filtration convolee

decrite ci-dessus. Par ordinarite de rp;p, on a une suite exacte courte de F-modules filtres

0!M 0p !Mp !M 00

p ! 0

ou M 0p et M 00

p sont libres de rang 2 sur O ; et la surjection Mp!M 00p induit Filk�1 MpGM 00

p

et Filkþl�3 Mp GFilkþl�3 M 00p . Soit Pf ;pðXÞ ¼ ðX � aÞðX � bÞðX � gÞðX � dÞ le polynome

de Hecke en p. Ses racines sont ordonnees pour que a,b

pl�2,

g

pk�1,

d

pkþl�3soient des unites

p-adiques. Par [31], les valeurs propres de F sur Mp, resp. sur M 00p , sont a, b, g, d, resp. g, d.

Dans le Cas 1, on suppose que p est donnee par une forme cuspidale holomorphef ordinaire en p ; pour tout premier q ne divisant pas Np, on note aq; i les valeurs pro-pres des operateurs de Hecke Tq; i (i ¼ 1; 2). On considere la forme di¤erentielleof A H 0ðX ;ok;lÞnO associee a f . Cette forme definit une classe dans Filkþl�3 Mp. Soit½of � A Filkþl�3 Mp la classe de cohomologie de sa reduction modulo $. La traduction del’hypothese de scindage partiel du Cas 1 en termes de la theorie de Fontaine–La¤aille estque le F-module filtre M 00

p est scinde. C’est-a-dire que Filkþl�3 M 00p , le dernier cran non nul

de la filtration de Hodge de ce module, est stable par le Frobenius. C’est donc queF� d

pkþl�3annule Filkþl�3 M 00

p (un argument similaire a celui de [9] et [4]), et on en deduit




Lemme 6.2 ([30], Proposition 9.1). L’image parF� d

pkþl�3de ½of � est d’image nulle dans

M 00p .

Soit V , resp. V le lieu ordinaire de X , resp. X ; c’est le Zp-sous-schema formel ouvertdu complete de X le long de la fibre speciale, defini par la non-annulation modulo p del’invariant de Hasse H. L’endomorphisme de Frobenius associe au sous-groupe canoniqueagit sur le Zp-schema formel V . Son action sur la cohomologie log de de RhamH �

ldRðV ;VlÞ est compatible avec celle du Frobenius cristallin F.

On peut donc faire agirF� d

pkþl�3sur la restriction of jV de of A H 0ðX ;ok;lÞnO a V ;

un calcul de q-developpement facile montre

Lemme 6.3 ([30], Lemme 10.6). La forme xf ¼F� d

pkþl�3

� �of jV A H 0ðV ;ok;lÞnO

est non-nulle modulo $.

Soit X � la compactification minimale de X et notons p : X ! X � le morphismecanonique. Soit V 0 :¼ V � p�1ðX0Þ ou X0 HX � et l’ensemble fini de pointes. Soit HNp

l’algebre de Hecke abstraite hors de Np sur O et m l’ideal maximal engendre par $ et lesTq; i � aq; i. On sait que la di¤erentielle d : ok;4�lðl� 5Þ ! ok;lð�3Þ commute a l’actiondes correspondances de Hecke. La partie technique de la demonstration du theoreme prin-cipal consiste alors a etablir la proposition suivante.

Proposition 6.4 ([30], Theoreme 3). La localisation en m de la suite spectrale donnee

par la filtration bete sur le complexe BGG dual induit une suite exacte courte

0! H 0�V 0;ok;4�lðl� 5Þ

�m! H 0

�V 0;ok;lð�3Þ

�m! H wþ3ðV 0;K�

l Þm ! 0

dont la reduction modulo p reste exacte. De plus, le morphisme

Mp HH 3ldRðX ;VlÞm ¼ H wþ3ðX ;K

�l Þm ! H wþ3ðV 0;K�

l Þm

se factorise par la projection Mp !M 00p .

Notons que H 0ðV 0;o i; jÞ ¼ H 0ðV ;o i; jÞ ¼ H 0ðV ;o i; jÞ par le principe de Koecher.

Considerons alors l’ideal maximal ~mm de HNp engendre par $ et les Tq; i � q�iðl�2Þaq; i.Par definition du twist par l� 2, on voit que

H 0�V ;ok;4�lðl� 5Þ

�m¼ H 0

�V ;ok;4�lð�3Þ

�~mmðl� 2Þ:

Il resulte aisement de la proposition et du Lemme 6.2 que la reduction xf de xf mo-dulo $ est dans l’image du morphisme ok;4�lðVÞ ~mmðl� 2Þn k! ok;lðVÞmn k induit parla di¤erentielle d : Kwþ2

l !Kwþ3l du complexe BGG dual.

Ceci montre qu’il existe une forme og1antecedente de xf par d 2, vecteur propre gene-

ralise pour les operateurs de Hecke hors de Np et pour Up;2 (on ne sait cependant pas queg1 est vecteur propre generalise pour Up;1). La forme g2 ¼ g1H obtenue par multiplication




par l’invariant de Hasse H est de poids ðk 0; l 0Þ pour

k 0 ¼ k þ ðp� 1Þf l 0 ¼ 4� lþ ðp� 1Þf 3

est element de l’espace propre generalise H 0ðV ;ok 0;l 0 Þ ~mmn k. Comme cet espace est re-union croissante d’espaces de dimension finie stables par les operateurs de Hecke, ilcontient une forme propre g3. Soit �V ½ le tube rigide de l’ouvert V de la fibre speciale deX . Par une variante simple du Going-Down Lemma de Cohen–Seidenberg, le systeme devaleurs propres de g3 se releve en un systeme de valeurs propres en caracteristique zero, quidefinit une forme propre p-adique dans H 0ð�V ½;ok 0;l 0 ÞnO qui a les proprietes voulues :elle est propre pour les Tq; i (q premier a p) et pour Up;2 et ses valeurs propres lq; i sontcongrues modulo $ aux valeurs propres q�iðl�2Þaq; i pour q premier a Np, et lp;2 est congrue

aab

pl�2(elle est en particulier ordinaire pour Up;2). Voir [30], Section 10.3 pour les details.

Cette forme p-adique est conjecturalement ordinaire pour Up;1. Il est facile de voir, parexemple par la theorie de Hida, qu’elle serait alors classique. L’enonce contenu dans [30](voir Section 5) est le suivant

Theoreme 1. Soit N un entier sans facteurs carres et soient k, l deux entiers tels que

k f lf 3. Soit f une forme cuspidale holomorphe de poids ðk; lÞ de niveau N, propre pour

les operateurs de Hecke Tq;1, Tq;2 (q premier a N). Soit p premier tel que p� 1 > k þ l� 3,p ne divise pas N, et tel que f est ordinaire en p (voir Definition 3.1). Soit

rf ;p : GalðQ=QÞ ! GSp4ðOÞ

la representation galoisienne p-adique associee et r ¼ rf ;p sa reduction modulo l’ideal maxi-

mal ð$Þ de O. Supposons que

(i) l’image de r contient Sp4ðk 0Þ pour un corps fini k 0,

(ii) r est minimalement ramifiee en tout premier divisant N (cf. [13], Section 3),

(iii) les nombres a,b

pl�2,

g

pk�1,

d

pkþl�3sont deux a deux distincts dans le corps resi-

duel,

(iv) on est dans le Cas 1 pour la restriction de r a Ip.

Alors, il existe une forme g cuspidale p-adique de poids

ðk 0; l 0Þ ¼�k þ ðp� 1Þ; 4� lþ ðp� 1Þ

�et de niveau N, propre pour les operateurs de Hecke Tq;1, Tq;2 (q premier a pN), Tp;2-

ordinaire, telle que

rg;p ¼ rf ;p no2�l:

L’existence d’une forme compagnon classique dans le Cas 1 ainsi que pour les sixautres systemes de valeurs propres de Hecke (c’est-a-dire pour les huit premiers poids de




Serre), a ete etablie recemment par Gee–Geraghty [11] sous des hypotheses faibles, par untheoreme de modularite reposant sur des resultats nouveaux de relevement modulaire.

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Institute for Advanced Study, Einstein Drive, Princeton, NJ 08540, USA

e-mail: [email protected]

Departement de Mathematiques, UMR 7539, Institut Galilee, Universite de Paris 13,

93430 Villetaneuse, France

e-mail: [email protected]

Eingegangen am 9. Dezember 2008, in revidierter Fassung 28. Mai 2011




Conjecture de type de Serre et formes compagnons pour GSp4

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