Conferencia del eje 3 (resumen...

Liste des éditeurs (Éds)

Évolutions contemporaines du rapport aux mathématiques et aux autres savoirs à l’école et dans la

société (pp. xx-yy)

IVe congrès international sur la TAD (Toulouse, 21-26 avril 2013)

Axe 3. Entre visite des œuvres et questionnement du monde

Maison d’édition, année

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Modificación de las praxeologías didácticas

del profesorado: un programa de desarrollo profesional

en torno al aprendizaje por investigación

Fco. Javier García García

Departamento Didáctica de las Ciencias, Universidad de Jaén, España

Conferencia del eje 3 (resumen provisional)

El proyecto europeo PRIMAS tiene por objetivo promover una evolución

de las prácticas docentes del profesorado de matemáticas y ciencias, hacia

metodologías orientadas a la investigación (inquiry-based learning). Con

este fin se ha diseñado, y se está implementando, un ambicioso programa

de desarrollo profesional. En este artículo analizamos y cuestionamos el

diseño de dicho programa con el objetivo de determinar, a priori, hasta

qué punto puede cumplir con su objetivo. Para ello, en primer lugar,

llevamos a cabo una revisión de literatura relevante en torno al desarrollo

profesional del profesorado y a la efectividad del mismo, introduciendo

tres modelos ideales de desarrollo profesional: transmisivo, transicional y

tranformativo. En segundo lugar, esbozamos brevemente las

características del programa de desarrollo profesional de PRIMAS. En

tercer lugar, llevamos a cabo una reformulación del modelo de desarrollo

profesional, a partir del que se ha diseñado el programa PRIMAS, en

términos de la teoría antropológica de lo didáctico, como una extensión

del paradigma del cuestionamiento del mundo en el ámbito de la

formación del profesorado. Esta reformulación nos permitirá analizar y

cuestionar dicho programa de desarrollo profesional. A modo de

conclusión, procederemos a discutir el potencial impacto que dicho

programa puede tener en la evolución de la praxeologías profesionales

del profesorado participante.

Liste des éditeurs (Éds) Évolutions contemporaines du rapport aux mathématiques et aux autres savoirs à l’école et dans la société (pp. xx-yy) IVe congrès international sur la TAD (Toulouse, 21-26 avril 2013) Axe 3. Entre visite des œuvres et questionnement du monde Maison d’édition, année

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La relatividad institucional de las organizaciones didácticas: adaptaciones de un REI a nivel universitario

Berta Barquero Farràs Departamento de Didáctica de las CCEE y la Matemática

Universidad de Barcelona. Barcelona (España)

Abstract. This work focuses on extending the problem of the mathematical modelling « ecology » in university teaching. We highlight an essential feature of the problem: the institutional relativity of didactic organizations. We propose the design of study and research courses (SRC) as ideal didactical devices for the teaching of mathematical modelling. We present a SRC based on the questions surrounding a bike-sharing system. We show the successive transformations of the SRC to deal with two different institutional environments with their own conditions and constraints. Resumen. Este trabajo se centra en extender el problema de la « ecología » de la modelización matemática en la enseñanza universitaria, subrayando un aspecto esencial de dicha problemática: el de la relatividad institucional de las organizaciones didácticas. Se propone el diseño de los recorridos de estudio e investigación (REI) como dispositivos didácticos ideales para la enseñanza de la modelización matemática. Presentamos un REI basado en las cuestiones que se plantean en torno a un sistema de uso compartido de bicicletas. Mostramos las sucesivas transformaciones que sufre para adaptarse a dos entornos institucionales con sus condiciones y restricciones propias. Résumé. Ce travail aborde le problème de l’« écologie » de la modélisation mathématique dans l’enseignement universitaire, en soulignant un aspect essentiel : celui de la relativité institutionnelle des organisations didactiques. Nous partons de la création de parcours d’étude et de recherche (PER) comme dispositifs didactique idéaux pour l’enseignement de la modélisation mathématique. Nous présentons un PER autour d’un système d’usage partagé de vélos. Nous montrons ensuite les transformations suivies pour s’adapter à deux environnements institutionnels avec ses propres conditions et contraintes.

Berta Barquero

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1. Antecedentes de la investigación: El problema de la ecología de la modelización matemática

El punto de partida de este trabajo es el de seguir indagando en el problema de la integración y difusión de la actividad de modelización matemática en la enseñanza universitaria. Más concretamente, el trabajo se focaliza en el problema de la «ecología» de la modelización matemática en estas instituciones docentes, esto es, el estudio del conjunto de condiciones que puedan favorecer y de las restricciones que previenen (o impiden) su desarrollo normalizado y a gran escala.

El problema que abordamos requiere llevar a cabo un análisis epistemológico riguroso y preciso de la «modelización matemática», para situarla dentro de un modelo epistemológico general de la actividad matemática. En el ámbito de la teoría antropológica de lo didáctico (TAD), se propone describir los procesos de modelización como procesos de reconstrucción y articulación de organizaciones matemáticas de complejidad creciente (puntuales, locales, regionales) a partir de cuestiones problemáticas que se plantea una comunidad de estudio y para las que se propone aportar respuestas (García, 2005 y Barquero, 2009). En realidad, estas cuestiones constituyen la «razón de ser» de las organizaciones matemáticas que se van a (re)construir en la elaboración de las respuestas. La modelización matemática así interpretada constituye un instrumento de articulación de la actividad matemática escolar, siempre y cuando se considere la modelización intramatemática como un caso particular de la actividad de modelización. Desde el punto de vista de la TAD la modelización matemática debe formar parte integrante de cualquier proceso de estudio de las matemáticas puesto que la actividad de modelización se considera como sinónimo de actividad matemática funcional en contraposición a la actividad matemática formal.

Una vez explicitado qué concepto de «modelización matemática» asumimos, el problema didáctico que abordamos es el de la «ecología» de esta actividad en los actuales sistemas de enseñanza, es decir el estudio de sus condiciones de «vida» (génesis, desarrollo, relación con otros problemas, desaparición, etc.) y «difusión» en las distintas instituciones

La relatividad institucional de las organizaciones didácticas

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consideradas. Tomar en consideración la dimensión ecológica del problema de la modelización matemática significa asumir la existencia de condiciones y restricciones que, con independencia de la voluntad de los sujetos, inciden sobre la vida institucional de la modelización matemática. Entre ellas destacamos en primer lugar las condiciones y restricciones transpositivas que aparecen cuando las matemáticas son «manipuladas» y «transformadas» para poder ser enseñadas bajo un conjunto dado de condiciones institucionales (figura 1).

Figura 1. Etapas en el proceso de transposición didáctica

Llegados aquí, el problema de investigación didáctica de la modelización matemática puede ser formulado en los siguientes términos, incorporando de manera esencial las dimensiones epistemológica y ecológica:

¿Qué limitaciones y restricciones dificultan o impiden que la modelización matemática sea globalmente integrada en los actuales sistemas de enseñanza universitarios? ¿Qué condiciones podrían ayudar a su integración generalizada?

Otra posible formulación del problema, más concreta, se centraría en encontrar los medios (dispositivos didácticos) que permitirán esta enseñanza y estudiar su ecología o sus condiciones de vida y desarrollo:

¿Qué tipo de dispositivos didácticos posibilitarían una integración global (más allá de una experimentación local) de la modelización matemática en los sistemas de enseñanza universitaria? ¿Cuál es la ecología de estas organizaciones didácticas?

Hemos visto en investigaciones anteriores (Barquero 2009; Barquero, Bosch & Gascón 2011a) que los recorridos de estudio e investigación (REI), introducidos por Yves Chevallard (2006), son un buen dispositivo didáctico para la integración de la modelización matemática. Como describe Y. Chevallard (2012), el principal objetivo de los recorridos recae en la necesidad de introducir una nueva epistemología que

Berta Barquero

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provoque un cambio en el paradigma didáctico dominante en los sistemas de enseñanza actuales: pasar del viejo paradigma de la «visita de obras» a un nuevo paradigma basado en el «cuestionamiento del mundo».

En investigaciones anteriores (Barquero et al. 2010 y 2011b) se ha abordado el problema de la ecología de la modelización matemática en el caso especial de la enseñanza universitaria de las matemáticas para las ciencias experimentales (CCEE). Para ello, por un lado, se han diseñado, experimentado y analizado los REI como dispositivo didáctico para facilitar la inclusión de la modelización matemática y, más concretamente, para situar explícitamente los problemas de modelización matemática en el centro de los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Dichas experimentaciones y su análisis han permitido, además del diseño de un REI que cubría un curso anual de matemáticas, empezar a constatar diversas restricciones que aparecen cuando estos dispositivos se introducen en los sistemas de enseñanza. Por otro lado, hemos mostrado el grado de influencia e impacto que tiene el modelo epistemológico dominante en las instituciones docentes universitarias sobre las condiciones de vida de los REI y, por extensión, de la modelización matemática en dichas instituciones. Esta influencia se materializa en un conjunto de restricciones que se derivan de la forma de interpretar las relaciones entre las matemáticas y las CCEE y del papel que se otorga a las matemáticas en la enseñanza de las CCEE.

En este trabajo nos proponemos dar un paso más para seguir abordando el problema de la ecología de la modelización matemáticas en la enseñanza universitaria de las matemáticas, considerando una doble experimentación realizada a partir de un mismo REI impartido en dos instituciones docentes distintas. Con ello podemos empezar a abordar los efectos ligados a la relatividad institucional de las organizaciones didácticas y a analizar el alcance de algunas de las restricciones detectadas en investigaciones anteriores, como son los modelos epistemológicos y pedagógicos dominantes en las instituciones universitarias.


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2. La relatividad institucional de las organizaciones didácticas: algunas cuestiones cruciales

Una de las consecuencias más importantes de la teoría de la transposición didáctica (Chevallard 1985) está en reconocer la relatividad institucional del saber matemático (Sierra 2006, p. 37). Como recuerdan M. Bosch y J. Gascón (2007), es aquí donde se descubre el terrible secreto de la no identidad entre el saber sabio, el saber por enseñar, el saber «enseñado» y el saber «efectivamente aprendido» (ver figura 1):

Para que cierto conocimiento sea enseñado en la escuela es necesario un trabajo transpositivo que haga posible que algo que no fue creado para la escuela sufra los cambios necesarios para poder ser reconstruido dentro de la escuela. El proceso de transposición didáctica comienza lejos de la escuela, en la elección de los cuerpos de conocimiento que se desea transmitir. Una vez realizada la elección, se genera un tipo de trabajo claramente creativo –no una mera «transferencia», adaptación o simplificación–, que se puede describir como un proceso de deconstrucción y reconstrucción de los diferentes elementos de esos conocimientos, con el objetivo de hacerlos «enseñables», preservando su potencia y funcionalidad. (Ibid, p. 210 )

Esta relatividad debe ser interpretada como una relatividad institucional simultánea (y recíproca) entre la estructura y dinámica de las organizaciones matemáticas (OM) enseñadas y de las formas posibles de organizar el estudio de las mismas, esto es, de las organizaciones didácticas (OD). Así, como una consecuencia de la transposición didáctica, la relatividad del saber matemático constituye un aspecto esencial de la determinación recíproca o codeterminación entre lo matemático y lo didáctico: las diferentes OD son las que provocan los cambios, adaptaciones y creaciones de las OM de una institución a otra. En particular, las restricciones y condiciones específicas que cada institución I impone sobre la reconstrucción en I de una OM determinada, y sobre la OD correspondiente, provoca la aparición de distintas relaciones institucionales RI(OM) a una «misma» OM, esto es, diferentes sistemas de prácticas matemáticas (y didácticas) que pueden llevar a cabo

Berta Barquero

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los sujetos de I con los componentes de la OM en cuestión. En esta misma dirección, Chevallard (2007, p. 710-711) añade:

L’approfondissement de la rupture amorcée par la notion de transposition va passer d’abord par l’introduction de la notion de rapport – d’une personne x à un objet o, R(x, o), ou d’une institution I à cet objet, ou plus exactement des sujets (idéaux) de l’institution I en position p dans I à cet objet o, RI(p, o) […] On aperçoit aisément, je pense, que, par le sentiment de relativité des contenus et des formes de la connaissance qui l’inspire et qu’elle nourrit, l’analyse en termes de rapports, de sujets, de personnes met en danger les passions institutionnelles exclusives et, positivement, porte à prendre ses distances plus encore par rapport à la vision du monde que tend à imposer à ses sujets telle institution donnée – en l’espèce l’École et l’enseignement des mathématiques qui s’y donne […].

Como explica Sierra (2006, pp. 39-40), esta relatividad institucional simultánea de lo matemático y lo didáctico también puede ser interpretada como sigue: habitualmente la RI(OM) incluye la manera cómo es interpretada OM en I, esto es, el modelo epistemológico específico de OM dominante en I. Este modelo suele ser transparente para los sujetos de I y, dado que éste es el modelo que sustenta la OD espontánea asociada a OM en I, es decir, la forma espontánea de organizar en I el proceso de estudio de OM, es obvio que las restricciones que emanen de la RI(OM) se transmitirán directamente sobre restricciones que afectan a las posibles formas de estudiar OM en I, es decir RI(OD). Recíprocamente, el modelo docente espontáneo en I, que forma parte de RI(OD), puede llegar a modificar la relación institucional RI(OM) y, en consecuencia, transformar la manera como los sujetos de I interpretan OM.

Así, por ejemplo, si en una institución docente determinada, por ejemplo la universitaria, se restringe enormemente la forma de interpretar la modelización matemática, entendiéndola como una mera «aplicación» del conocimiento matemáticos previamente construido por el profesor, o, en su caso más extremo, como una simple «ejemplificación» de las herramientas matemáticas en ciertos contextos extra-matemáticos


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artificialmente construidos1, entonces se estará dificultando que los estudiantes puedan desarrollar un trabajo autónomo donde puedan proponer, construir y desarrollar distintos modelos matemáticos, dar sus propias respuestas provisionales a ciertas cuestiones problemáticas, explorar entre distintas posibilidades en base a su propio trabajo, etc.

Recíprocamente si, por economía didáctica, en una institución docente determinada no se supone necesario para la comunidad de estudio validar la pertinencia ni relevancia de las respuestas propuestas por el profesor, potenciando así el encuentro «cultural-mimético» con las OM,2 entonces es muy difícil que los estudiantes puedan llevar a cabo determinadas tareas de planificación, gestión y evaluación del propio proceso de estudio. En particular, es muy difícil que aparezca la reformulación de nuevas cuestiones, la evaluación de las repuestas provisionales que van apareciendo y muchos otros gestos del estudio que resultan imprescindibles para la integración de la modelización matemática (Barquero, Serrano y Serrano 2013).

Nos proponemos así analizar distintos aspectos de la relatividad institucional de las organizaciones matemático-didácticas que siguen poco estudiados hasta la fecha (como ya apuntaba Sierra 2006). El primero está relacionado con las condiciones y restricciones que se derivan de los modelos epistemológicos y pedagógicos dominantes en las instituciones docentes, en nuestro caso, las instituciones universitarias.

Al margen de esta primera problemática, aunque estrechamente relacionada con ella, nos planteamos abordar el problema de cómo estudiar los efectos en la ecología y la economía de los REI de la variación de la institución docente en la tienen lugar.

Para ello, hemos experimentado un mismo REI en dos instituciones docentes distintas, en el grado de matemáticas en la University of 1 Estas características corresponden (a grandes rasgos) a la caracterización del “aplicacionismo” como uno de los principales componentes de la epistemología dominante en la enseñanza universitaria de las matemáticas para las CCEE y que aparece en la forma concreta de interpretar, describir y conceptualizar la relación entre las matemáticas y las CCEE (Barquero at al. 2010). 2 Ésta es una de las características de la “pedagogía” dominante a nivel universitario que aparece como una de las restricciones para la modelización matemática (Barquero et al. 2011b).

Berta Barquero

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Copenhagen (curso 2008/09) y en la Universitat Autònoma de Barcelona (curso 2009/10). Cabe destacar que actualmente (curso 2012/13) se está desarrollando una variante de este mismo REI en una tercera institución universitaria, la del grado en administración y dirección de empresas de IQS School of Management de la Universitat Ramon Llull de Barcelona.

Para poder abordar adecuadamente las problemáticas presentadas deberemos situarnos en una posición que posibilite lo que Y. Chevallard (2007, p. 705) denominaba la «emancipación epistemológica e institucional de la posición del didacta y de la ciencia didáctica que este produce respecto de las instituciones que sirven de hábitat a sus objetos de estudio». Es desde esta posición «exterior» a las instituciones desde donde se debe estudiar la ecología de los REI y las modificaciones que sufren. En particular, vamos a describir primeramente el diseño matemático de un posible REI sobre el flujo de bicicletas para estudiar y analizar posteriormente la vida intra- e inter-institucional de este dispositivo.

3. Diseño de un REI en torno al estudio de la evolución de la distribución de bicicletas

Partiremos de una cuestión en torno al estudio de la evolución del flujo de bicicletas en una ciudad que servirá de hilo conductor de todo el proceso didáctico. Propondremos responderla a partir de la construcción de un primer modelo matemático que permitirá delimitar inicialmente la problemática y ampliarla progresivamente a partir de la construcción de nuevas organizaciones matemáticas de complejidad creciente.

3.1. La cuestión generatriz del «proyecto Bicing»

Bicing3 es el nombre de un servicio público de uso compartido de bicicletas que se inició en Barcelona en marzo de 2007. Este servicio, promovido por el servicios municipales de la ciudad, no es un sistema de uso turístico de bicicletas, si no que tiene como objetivo cubrir pequeñas y medianas rutas diarias de los ciudadanos de Barcelona para usarlo como servicio complementario al transporte público tradicional. Dos años después de su inicio (con 200 bicicletas y 15 estaciones), las cifras

3 Para más información sobre Bicing, se puede consultar : https://www.bicing.cat/


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desbordaron totalmente toda previsión posible, la red dispone actualmente de 400 estaciones (figura 2) donde recoger y devolver una flota total de 6000 bicicletas distribuidas en todo el sistema.

Figura 2. Mapa de las estaciones de Bicing distribuidas en toda la ciudad

El éxito inicial del sistema se vio rápidamente afectado por numerosas quejas pocos meses después de su inicio: bicicletas averiadas, estaciones vacías o llenas, anclajes insuficientes o desconectados, robos de bicicletas eran, entre otros, algunos de los problemas más habituales. La complejidad del sistema presenta muchas cuestiones que requieren un estudio profundizado. Los encargados de la gestión de Bicing encargaron diversos estudios con el objetivo de que se describiera y estudiara cómo se podían proponer mejoras en la distribución de bicicletas dentro del sistema. Nos proponen así centrarnos en estudiar la siguiente cuestión inicial (y generatriz) del estudio :

Q0: Dada la demanda actual, ¿cómo podemos mejorar la distribución de bicicletas dentro del sistema?

El estudio de esta cuestión generatriz puede desglosarse en dos subcuestiones que corresponden a dos posibles fases del estudio:

Q0 (A): ¿Cómo podemos describir el flujo de bicicletas que hay diariamente entre estaciones? ¿Cuál sería la evolución natural del sistema si fuera autogestionado (sin reposición de bicicletas)? Q0 (B): ¿Cómo podemos predecir las necesidades de reposición de bicicletas? ¿Qué cambios se deberían introducir para que el sistema tuviese más capacidad de mover el material necesario en el menor tiempo posible? 4

4 En este trabajo nos centramos en describir el posible desarrollo de la cuestión Q0(A), aunque es importante enunciar Q0(B) que representa la segunda fase del estudio de Q0.

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Después de un primer análisis (que la empresa nos ha facilitado) del tráfico de bicicletas entre estaciones se decide agrupar las estaciones por áreas o zonas de la ciudad según el patrón de comportamiento de estas. Finalmente se consideraron seis zonas principales (ver figura 3). Además, Bicing nos facilita la siguiente tabla que representa la matriz origen-destino (matriz OD) que indica el número potencial de viajes diarios5. Los datos se obtuvieron después de un estudio, durante varios meses, de la demanda de los usuarios de Bicing. Cada dato representa el promedio del número total de viajes realizados diariamente que parten de una determinada zona (columnas, j) y llegan a otra al final del día, o se quedan en la misma zona (filas, i).

Figura 3. Agrupación de las estaciones en las seis zonas y matriz OD de viajes diarios

Si denotamos con s(k) el número total de salidas que ha tenido una zona k al inicio de funcionamiento del sistema y como l(k) la cantidad de llegadas en esta misma zona al final de la jornada, podemos empezar por analizar, por ejemplo, la tasa absoluta variación: l(k) - s(k) para tener una primera aproximación de las zonas que, diariamente, tienen déficit o exceso de bicicletas.

Aunque para avanzar en el estudio de la cuestión Q0(A) debemos ir más allá del estudio descriptivo de los datos. Esto nos conducirá a la construcción de modelos basados en sucesiones recurrentes de orden d > 1 reducibles a sucesiones recurrentes vectoriales del tipo X n+1 = f (X n) donde Xn es el vector de la distribución de bicicletas en las distintas zonas en tiempo n. El estudio de Q0(A), y de sus cuestiones derivadas, nos llevará a la construcción de modelos matriciales y, en función de la formulación de hipótesis que describiremos a continuación,

5 Consideramos como “diario” la franja en que el servicio Bicing está activo, este es, de domingo a jueves de las 5h. de la mañana a medianoche y 24h. los fines de semana.


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nos puede llevar al problema del cálculo de la potencia n-ésima de una matriz. A continuación presentaremos, de forma resumida, las hipótesis sobre el sistema (Hi), las cuestiones problemáticas a tratar (Qi) derivadas de Q0(A), la descripción de la construcción de posibles modelos (Mi) que aparecen como herramientas imprescindibles para responder a Qi y las sucesivas respuestas provisionales (Ri) a dichas cuestiones.

3.2. Del análisis descriptivo de la matriz OD a las matrices de transición

Si suponemos que, en el instante inicial (n = 0), conocemos cuál es la distribución inicial de bicicletas en las distintas zonas que tenemos predefinidas, podemos denotar por X (0) al vector cuya componente xi (0) corresponde al número de bicicletas que hay en este instante inicial en la zona i. Así, X (0) = (x1 (0), x2 (0), …, x6 (0)) contiene la distribución inicial de bicicletas en las seis zonas del sistema. Para estudiar la evolución de la distribución de bicicletas, nos proponemos estudiar cómo evolucionará el vector: X (n) = (x1 (n), x2 (n), …, x6 (n)) que contiene la distribución del total de bicicletas en tiempo n.

H(A)1: Podemos suponer que no hay reposición (ni desaparición) de bicicletas en el sistema y que el tráfico de bicicletas entre las estaciones cada día se mantiene el mismo. Q(A)1.1: Si por la mañana, al iniciarse el sistema, situamos diferentes distribuciones iniciales de bicicletas en cada estación, ¿cuántas bicicletas habrá al final del día? ¿Cuál será la distribución de bicicletas después de 2, 3, 4, …, 30 días, etc.?

Ante el problema de previsión descrito por Q(A)1.1, y apartir de la formulación de las primeras hipótesis, podemos construir un primer modelo matemático (M1). A partir de la información que nos proporciona la matriz OD (figura 3) se puede calcular el porcentaje de transición entre dos zonas, como: el número potencial de viajes diarios que salen de j y llegan a i [OD ij] dividido entre el total de salidas en la zona j [s (j)], pudiéndolo calcular para toda componente de la matriz OD:

Berta Barquero

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Figura 4. Transformación de la tabla o matriz OD a la matriz de transición

La matriz resultante es en realidad la denominada matriz de transición asociada a la matriz OD que tiene las siguientes características:

1) Los elementos de la matriz de transición: M = (mij) son las probabilidades de transición entre dos zonas. Cada elemento mij es la probabilidad de que una bicicleta que en el instante t = n está en la j-ésima zona, en el instante siguiente t = n + 1 haya cambiado a la i-ésima zona. 2) Los elementos de la k-ésima columna, mik con 1 ≤ i ≤ d, nos describen cómo se distribuyen porcentualmente las bicicletas que en el instante t = n estaban en el k-ésimo grupo entre las 6 zonas en el instante t = n + 1. Así, las columnas de la matriz M nos indican el “estado anterior”, en el sentido de la distribución en tiempo t = n, mientras que sus filas nos dan la información sobre el “estado siguiente”, esto es, cómo se ha distribuido la flota de bicicletas entre los distintos grupos con el paso de una unidad de tiempo, de t = n a t = n + 1. 3) Como consecuencia de las dos primeras propiedades, la suma de los elementos de cada k-ésima columna será igual a 1.

Una vez introducida la notación necesaria con la que vamos a trabajar y las propiedades básicas de las matrices de transición, podemos describir la evolución de la distribución de bicicletas en periodos de tiempo consecutivos con la siguiente ecuación o relación matricial: X (n) = M · X (n - 1). Si suponemos además que los porcentajes de transición se mantiene constantes con el paso del tiempo n, entonces la relación descrita equivale a la expresión:

X(n) = M ⋅ X(n −1)↔ X(n) = M n ⋅ X(0) para n > 0 (1)

Con el uso de este primer modelo podemos dar respuesta a Q(A)1.1 a través de la simulación de la trayectoria de X(n) con cualquiera de les expresiones equivalentes descritas en (1). A partir de las simulaciones realizadas con diferentes distribuciones iniciales de bicicletas, se pueden plantear nuevas cuestiones y respuestas:


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Q(A)1.2: Dada la matriz de transición M que hemos definido y distintas distribuciones iniciales X(0), ¿qué características podemos destacar de la trayectoria de la sucesión vectorial X(n) definida por (1)? R(A)1.2: Sea M una matriz de transición y X (0) la distribución inicial de bicicletas dentro del sistema, la trayectoria de la sucesión X (n) parece siempre tender a un vector fijo o distribución estable o de equilibrio que podemos denotar por Xe.

Esta exploración nos permite formular nuevas conjeturas e hipótesis referentes al sistema que estamos estudiando y seguir formulando cuestiones de carácter cada vez más matemático:

Q(A)1.3 : ¿Cómo podemos demostrar la existencia de vectores fijos X e hacia los cuales parece tender toda trayectoria de X (n) generada por la ecuación matricial (1) con M una matriz de transición? ¿Toda trayectoria de X (n) converge a este vector fijo X e? En caso que existan, ¿cómo podemos calcular Xe a priori (sin necesidad de simularlo numéricamente)? ¿Cuál es la dependencia entre X e, M y X (0)? Q(A)1.4 : ¿Qué relación hay entre Xe y las propiedades de la potencia n-ésima de la matriz M?

No vamos a dar más detalles aquí de la descripción del desarrollo matemático necesarios para dar respuestas a Q(A)1.3 y Q(A)1.4. Las respuestas R(A)1.3 y R(A)1.4 son parecidas a los desarrolladas en C. Fonseca (2010) y B. Barquero (2009, pp. 138-167) sobre las propiedades de las matrices de transición. Aunque sí debemos presentar la formulación de Q(A)1.5 que nos llevará a destacar limitaciones de este primer modelo y nos conducirá a la reformulación de hipótesis y construcción de un segundo modelo:

Q(A)1.5 : ¿Cuáles son las limitaciones de este primer modelo en relación a las previsiones sobre la evolución del flujo de bicicletas? ¿Qué hipótesis se están asumiendo (implícitamente) en la construcción y uso del primer modelo?

3.3. Hacia un modelo con restricciones sobre la demanda y la disponibilidad de bicicletas

En la construcción del primer modelo, se está asumiendo implícitamente diversas características muy importante: (1) En cada cálculo del iterado X(n+1) respecto X(n) representa que ha transcurrido todo un día de

Berta Barquero

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servicio y, (2) una “transición” significa la probabilidad de cambio de posición (de una zona a otra, o en la misma), cuando una bicicleta hace solamente un viaje. Al explicitar estas hipótesis es cuando vemos que no tiene mucho sentido, la matriz OD ya nos decía que había un número de viajes diarios bastante superior al número total de bicicletas de las que dispone el sistema (un total de 41584 viajes diarios con una flota cerca de 6000 bicicletas). Por ello nos planteamos una nueva cuestión que nos va a llevar a la reformulación de las hipótesis y, con ello, a la construcción y desarrollo de un modelo más completo y complejo:

Q(A)2 : ¿Cómo podemos describir la evolución del flujo de bicicletas cada 30 minutos (tiempo promedio que tarda una bicicleta en completar un viaje), añadiendo el hecho de que no todas las bicicletas (6000 en total) no se mueven en cada franja de 30’? H(A)2 : Vamos a suponer que: (1) cada viaje de una bicicleta es de 30’; (2) El total de la flota de bicicletas (6000 en total) no se mueve cada fracción de 30’; (3) El número total de bicicletas que finalmente se mueve en el instante de tiempo t va a depender de: (a) la demanda potencial de bicicletas cada 30’, y (b) el total de bicicletas disponibles en el instante de tiempo t.

Vamos a definir que nuestra variable tiempo t describe las sucesivas franjas de 30 minutos (tiempo promedio de uso de una bicicleta dentro del sistema) que tiene una jornada de servicio de Bicing. Si definimos Bi (t) como el número de bicicletas que hay en cada zona en la franja de tiempo t, podemos definir el vector total de bicicletas como B (t) = (B1(t), B2(t), B3(t), B4(t), B5(t), B6(t)). Si definimos además Si (t) como la cantidad de salidas de bicicletas de la zona i en tiempo t, podemos describir el vector salidas como S (t) = (S1(t), S2(t), S3(t), S4(t), S5(t), S6(t)) y, finalmente, si definimos Li (t) como la cantidad de llegadas de bicicletas a la zona i, el vector llegadas es L (t) = (L1(t), L2(t), L3(t), L4(t), L5(t), L6(t)). Entonces el total de bicicletas en cada zona en tiempo t puede estimarse como:

(2)

Pero, ¿cómo podemos predecir el total de salidas que habrá en cada zona, S (t), y el total de llegadas en la franja de tiempo siguiente, L (t + 1)? De acuerdo con lo propuesto en H(A)2, podemos asumir que el número total de bicicletas que finalmente se mueve en el instante de tiempo t


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depende de: (a) la demanda potencial de bicicletas cada fracción de 30’ [demanda_viajes(30’)] y (b) del total de bicicletas disponibles en el instante de tiempo t. El total de salidas se puede definir entonces como:

(2.1)

donde para calcular la demanda potencial de bicicletas cada franja de 30’ debemos utilizar la información de la matriz OD que nos describir la demanda potencial diaria de bicicletas. Debemos así añadir nuevas suposiciones, entre ellas, la más sencilla es la de suponer que esta demanda se distribuye uniformemente a lo largo de todas las franjas de 30’ de un día de servicio, por tanto, podemos dividir los datos de la matriz OD entre tantas franjas de 30’ tenga un servio de Bicing para estimar cuál sería esta demanda potencial cada franja de tiempo. Por ejemplo, si se ofrecen 18 horas de servicio diariamente, tendremos 36 franjas de 30’.6

Por otro lado, el total de llegadas se define como: (2.2)

donde M es una la matriz de transición con las probabilidades de transición (cada 30’) que una bicicleta se traslade de una zona i a j. Esta matriz de transición es exactamente la misma que en el primer modelo, y sería exactamente la misma aunque quisiéramos describir las transiciones en intervalos de tiempo más pequeños.

Una vez construido este segundo modelo podemos plantear muchas nuevas cuestiones para guiar su proceso de estudio:

Q(A)2.1 : Usando este segundo modelo, y dando diferentes distribuciones iniciales de bicicletas B (0), ¿Cuál será la distribución de bicicletas después de 2, 3, 4, …, 30 días, etc.? Q(A)2.2 : ¿Qué características podemos destacar de la trayectoria de la sucesión vectorial B(t) definida por la ecuación matricial (2)? ¿Existen también vectores fijos o distribuciones estables?

6 Aquí podrían aparecer numerosas modificaciones y ampliaciones de estas hipótesis. Se está describiendo el caso más sencillo, una distribución uniforme de la demanda, pero podríamos pensar en suposiciones más complejas: la existencia de horas “punta” en las que la carga de flujo fuese superior al promedio o en la necesidad de considerar diferentes matrices origen-destino a lo largo de día, etc.

Berta Barquero

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Q(A)2.3 : ¿Qué relación hay entre n-ésima de la matriz M y la posible convergencia de B(t)?, etc. Q(A)2.4 : ¿Qué relación hay entre el primer modelo y el segundo? ¿Y a las conclusiones a las que se llegan? ¿Hasta qué punto el segundo modelo llega a superar limitaciones que se habían destacado del primero? ¿Podemos mejorar en algún sentido los modelos construidos?, etc. Por cuestiones de espacio no vamos a extendernos más aquí. Sólo

destacar que el primer modelo (M1) es un caso particular de este segundo modelo (M2), el cual ha pasado a incorporar restricciones sobre la demanda y la disponibilidad de bicicletas. Esto es, si en este segundo modelo consideramos que siempre hay suficientes bicicletas en el sistema para cubrir las necesidades de la demanda de los usuarios, entonces nos reducimos al estudio con M1. En la siguiente figura se describe, a modo resumen, se describe la propuesta del posible desarrollo de la cuestión inicial Q 0(A):

Figura 5. Esquema del posible desarrollo de Q(A)0 en términos de sus (Q(A)i, R(A)i)7

4. Experimentación, evaluación y desarrollo de un REI a nivel universitario

La experimentación del ‘proyecto Bicing’ se realizó en dos ocasiones durante el curso 2008/09 con estudiantes del grado de matemáticas. 7 Las cuestiones Q(A)1.4 y Q(A)2.3 aparecen separadas del resto ya que son origen de la construcción y desarrollado de una OM en torno a la diagonalización de matrices y el cálculo de sus potencias n-ésimas (ver más detalles en B. Barquero, 2009).


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Ambas experimentaciones se realizaron bajo condiciones que podrían considerarse “excepcionales” (en comparación a las desarrolladas en Barquero (2009) en el caso de la enseñanza de las matemáticas para los primeros cursos universitarios de CCEE): nos situamos en asignaturas con estudiantes del grado de matemáticas dedicadas exclusivamente a la enseñanza de la modelización matemática y su papel dentro de las matemáticas. Muchas de las restricciones que habíamos tenido que aceptar (y saber convivir) en investigaciones previas quedan aquí muy atenuadas: la rigidez de los dispositivos didácticos tradicionales “teoría-ejercicios-examen”, el papel secundario otorgado a la modelización, el examen final como único dispositivo de evaluación, la estructura “tradicional” de los programas en términos de contenidos matemáticos, entre otras (Barquero et al. 2011a). Aunque debemos destacar, antes de empezar con la breve descripción de ambas experimentaciones, que los cursos plantearon propuestas docentes bastante antagónicas.

4.1. Primera experimentación: El «Bicing project» en la Universidad de Copenhagen

La primera de las experimentaciones se realizó en la Universidad de Copenhagen (UC)8 donde desde hacia más de cinco años se impartía un curso optativo en el 3r curso del grado de matemáticas. El curso «MathMod» 9 se concentraba en 7 semanas de clase, más dos semanas adicionales al final para preparar el proyecto final de la asignatura. Cada semana se realizaban tres sesiones de dos horas, en general: la primera siempre se dedicaba a una clase «teórica» por parte del profesor, la siguiente a la resolución de algunos ejercicios prácticos y la tercera a trabajo en grupo, normalmente en la sala de informática y trabajando con Mapple, para avanzar en las distintas entregas del curso. La propuesta docente del curso se basaba en la realización de cuatro «mini-proyectos», junto con algunos listados adicionales de problemas. Estos proyectos consistían principalmente en poner en prácticas algunos modelos bastante 8 Esta experimentación se realizó durante la estancia predoctoral de la autora en la Universidad de Copenhagen con el Dr. Carl Winslow y colaborando con el Dr. Kjeld Bagger Larsen, profesor de la asignatura «MathMod». 9 El programa del curso y los enunciados de los proyectos se encuentran disponibles en : http://isis.ku.dk/kurser/index.aspx?kursusid=27370&xslt=simple6&param1=199049&param8=false

Berta Barquero

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conocidos en torno al estudio de la dinámica de poblaciones que en la sesión inaugural de teoría se presentaban como ya construidos, por ejemplo: «Mini-projecto1 - Predicción del crecimiento de una población con los modelos maltusiano y logístico» o «Mini-projecto4 – Modelos predador-presa».

Aprovechando la estancia predoctoral que la autora de este trabajo realizó en la UC, el profesor encargado del curso ofreció la generosa posibilidad de incorporar un quinto proyecto que sería, en este caso, el «Bicing project». Este ocupó finalmente dos semanas completas (6 sesiones de 2 horas) combinando presentaciones por parte de la profesora-investigadora o de los grupos de estudiantes, sesiones de trabajos en grupos y sesiones en la sala de informática. Al finalizar cada bloque de tres sesiones, cada grupo tuvo que entregar un informe con la síntesis de su trabajo realizado.

Figura 6. Resumen del proceso de estudio de Q0 en la experimentación de la UC

Durante la primera semana, una vez presentada la cuestión generatriz y centrándonos primeramente en Q0(A), se desarrolló casi todo el estudio referente a la construcción del primer modelo basado en matrices de transición (descrito en el apartado 3.2). Con la gran ventaja que en el segundo «mini-projecto» ya habían estudiado las propiedades de la potencia n-ésima de las matrices de Leslie y matrices de transición, hecho que facilitó mucho el estudio de Q(A)1.3 y Q(A)1.4. La segunda semana, nos centramos en explicitar las limitaciones del primer modelo y reformular las nuevas hipótesis y cuestiones: H(A)2 y Q(A)2, aunque no se pudo avanzar mucho más allá de la construcción del segundo modelo, por limitaciones de tiempo, y solo se trató Q(A)2.1. Finalmente, se pidió a los grupos que incluyeran en el informe final, además del trabajo realizado,


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algunas sugerencias a Bicing de cómo mejorar su política de distribución de bicicletas, Q 0(B).

4.2. Segunda experimentación: Primera adaptación del REI

Unos meses después se realizó la segunda experimentación del REI en la Universitat Autònoma de Barcelona (UAB). Por primera vez se inauguraba una asignatura obligatoria en el grado de matemáticas llamada: “Taller de modelización matemática” de 2º curso, 2º semestre. En este caso, la propuesta docente del curso era completamente diferente. Como nos describe el programa10, la principal componente del curso es el desarrollo de un proyecto que los estudiantes, distribuidos en grupos, escogen por votación durante una sesión del curso. Esta tarea es supervisada por los profesores aunque, en general, nunca intervienen de forma directa en el desarrollo del proyecto. Paralelamente, se intercalan algunos ejemplos para desarrollar las “ideas” generales sobre modelización matemática. Durante el curso 2008/09, hubo dos profesores encargados del curso (uno de los cuales es la autora del trabajo). El proyecto Bicing sirvió para inaugurar el curso y acabó por ocupar 5 semanas del curso, con dos sesiones de dos horas por semana. Se pidió que los estudiantes, distribuidos en grupos, entregaran semanalmente un informe parcial con la síntesis del trabajo realizado (en base a: cuestiones abordadas, respuestas dadas y nuevas cuestiones) y, al terminar el proyecto, un informe final como síntesis de todo el estudio desarrollado.

El proceso de estudio generado a partir de Q0(A) no se diferencia excesivamente del que se desarrolló en la primera experimentación (y que se describe en el apartado 3) aunque en esta ocasión no se entró a hacer ninguna propuesta sobre Q0(B), ni tampoco se plantearon ni estudiaron las cuestiones relativas a las propiedades de las potencia n-ésimas de las matrices de transición involucradas: Q(A)1.4 ni Q(A)2.3 ya que simplemente los estudiantes no las plantearon. Una novedad importante fue que se pidió si la empresa disponía de matrices OD más «fragmentadas» distinguiendo el comportamiento del flujo entre la mañana y la tarde. Los estudiantes habían estado analizando el sistema real y veían que

10 El programa del curso «Taller de modelització matemàtica» está disponible en : http://mat.uab.cat/guiadocent/assignatures/fitxa_no_layout/assignatura_id:21

Berta Barquero

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claramente habían comportamientos diferentes en estas dos franjas horarias. Así que se les entregó dos nuevas matrices origen-destino, basadas en datos reales, para distinguir los distintos comportamientos de la mañana (05:00h-14:30h) y la tarde (14:30h-00:00h). Podemos decir que el estudio se extendió hacia un tercer modelo M3 que, construido en base a los dos modelos anteriores M1 y M2 y bajo nuevas hipótesis H3, distinguía la matriz OD utilizada según la franja horaria.

Figura 7. Resumen del proceso de estudio de Q0 en la experimentación de la UAB

5. Conclusiones sobre la relatividad institucional de los REI A pesar de que ambas experimentaciones fueron muy ricas y se ajustaron bastante a su diseño previsto, tanto los estudiantes como los profesores encargados de los cursos manifestaron diversas resistencias que sacaron a la luz algunas restricciones importantes. En lo que se refiere a los estudiantes, las reacciones fueron bastante diferentes, debidas sin duda a una diferencia esencial entre ambas experimentaciones: en la UC la experimentación del REI se realizó al final del curso «MathMod» en el que el contrato didáctico ya estaba bien establecido y los estudiantes ya tenían cierta práctica de lo que, según el enfoque del curso, significaba desarrollar una actividad de «modelización matemática». Esperaban por lo tanto que fuera el profesor quien propusiera los modelos que había que utilizar y los problemas y sistemas para estudiar. Pero también disponían de un vocabulario para referirse a la actividad de modelización, habían


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cogido el hábito de trabajar en grupo, de redactar informes, discutirlos, defenderlos, etc. Al contrario, en la UAB, la experimentación tuvo lugar al inicio del curso, y los estudiantes manifestaron muchas de las resistencias que eran predecibles al toparse con unas propuestas completamente atípicas dentro de unos estudios de matemáticas, resistencias que se debían principalmente a los cambios bruscos en el contrato didáctico tradicional y a la nueva organización docente del curso.

Si nos centramos en la primera experimentación en la UC, podemos considerar que algunas de las restricciones que surgieron específicamente aquí fueron consecuencia (o manifestación) del impacto que tiene el modelo epistemológico espontáneo subyacente en las posibles formas de desarrollar el conjunto de prácticas de modelización matemática. Creemos que dicho modelo epistemológico comparte fuertes rasgos «aplicacionistas» (Barquero et al 2011b), por ejemplo, el asumir una distinción neta entre las matemáticas y sus posibles «intrusiones» en los sistemas extra-matemáticos, donde las primeras preexisten a los últimos. En esta concepción, la actividad de modelización se restringe a la ejemplificación puntual de ciertos modelos preestablecidos. Como consecuencia, la estructura y dinámica del curso siempre presentaba una misma distribución: una primera sesión en la que se el profesor enseñaba los modelos ya definitivos que posteriormente se «aplicarían» a distintas situaciones extra-matemáticas; el ejercicio del uso de estos modelos en casos prototípicos sencillos; finalmente un uso más complejo en proyectos para realizar en grupo. En otras palabras, el modelo docente subyacente tiende, en coherencia con el modelo epistemológico espontáneo del «aplicacionismo», a potenciar un «encuentro cultural-mimético» (Chevallard, 1999) con los modelos previamente existentes.

En este contexto, no es de extrañar que, al iniciarse el proyecto Bicing, los estudiantes de la UC presentaran mucha resistencia a tener que asumir nuevas responsabilidades que hasta el momento habían quedado en manos del profesor: formulación de hipótesis, construcción de modelos «imperfectos», uso de los modelos para dar respuestas a cuestiones, planteo de nuevas cuestiones, limitaciones y evolución de los modelos iniciales, etc. Ahora bien, a pesar del desconcierto de la primera

Berta Barquero

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sesión, y del intento fracasado de utilizar todos los modelos que tenían en sus apuntes (maltusiano, logístico, predador-presa, etc.) y ver que nada funcionaba, poco a poco los estudiantes fueron entrando en el desarrollo del estudio.

Centrándonos ahora en la segunda de las experimentaciones, en este caso las restricciones más claras no fueron manifestadas por los estudiantes sino por el profesor responsable del curso. A pesar de que dejó total libertad a la investigadora para organizar las sesiones, en sus comentarios expresaba que el proceso seguido durante la experimentación del REI había sido muy largo, demasiado guiado, con demasiadas entregas y puestas en común y que se debía dejar más tiempo a los estudiantes para que trabajaran solos, sin interferir demasiado en su trabajo y dejarles explicar su propuesta final. Reacciones bastante contrarias a las presentadas en la experimentación anterior, donde el profesor danés consideraba que el problema era demasiado abierto y los estudiantes pedían constantemente ayuda sobre qué modelos utilizar.

En el caso de la UAB, la organización didáctica que el profesor quería implementar, y que describía mediante sus comentarios, corresponde a un modelo docente espontáneo que tiene un fuerte componente modernista (Gascón 2001). Este modelo es compatible con un modelo epistemológico que, entre otras características, considera la creación como un proceso individual o, en todo caso, privado y tiende a hacer desaparecer los espacios compartidos donde se pueda construir, cuestionar y acordar colaborativamente herramientas y estrategias para desarrollar el propio proceso de modelización. En este modelo, y como la propuesta del curso completo puso después en evidencia, la actividad de modelización matemática tiende a ser interpretada como el estudio y resolución de un conjunto de problemas aislados y suficientemente «abiertos» como para requerir una elaboración «creativa» informal, privada e inenarrable. Se tiende así a eliminar todos aquellos dispositivos didácticos que puedan dar espacio a un trabajo compartido sobre la propia actividad de creación y contraste de los modelos. Tampoco aparecen, de forma institucionalizada, muchas de las nociones, conceptos, discursos –elementos de la tecnología matemática, en el sentido de la TAD– necesarios para poder hablar del trabajo de modelización, como las


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propias nociones de «sistema», «modelo», «hipótesis que modifican el sistema», etc.) y poder institucionalizarlo. Todo ocurre como si, en el contrato didáctico establecido, el proceso de construcción de los modelos y de las respuestas derivadas del trabajo con estos modelos quedara siempre en la esfera de lo privado y fuera del trabajo compartido entre el profesor y los alumnos en el aula; como si el propio contrato se encargara de ocultar lo didáctico, haciendo invisible el proceso de producción de conocimientos matemáticos nuevos.

El problema de la ecología de la modelización matemática, y su problema correlativo de la introducción y difusión de los dispositivos didácticos necesarios para sustentar nuevas organización didáctica para una enseñanza funcional de las matemáticas, en nuestro caso, la propuesta de los REI, requiere hoy en día de grandes esfuerzos e investigación para pasar de un «estadio experimental» a una «práctica generalizada». Nos encontramos frente a una gran «aventura» que va a requerir generar nuevas condiciones que «superen» restricciones que son muy difíciles de abordar puesto que se enraízan en las concepciones más profundas de qué son las matemáticas, en qué consiste el proceso de construcción de matemáticas nuevas y qué condiciones facilitan el desarrollo de este proceso. Todo un desafío que seguro sobrepasa el ámbito de actuación de la TAD, e incluso el ámbito de actuación de la didáctica de las matemáticas en general, requiriendo la cooperación de toda la comunidad escolar.

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Berta Barquero

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On teaching Instrumentation in Mathematics using Reseach and Study Courses (pp. xx-yy) IV e congrès international sur la TAD (Toulouse, 21-26 avril 2013)


Maison d’édition, 2013

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On teaching Instrumentation in Mathematics using Research and Study Course

Rosie C. Lopez-Conde College of Science Education, Caraga State University,

Butuan City, Philippines Resumen. Este documento se centra en la enseñanza instrumentación en matemáticas en las nociones de la teoría antropológica de la didáctica (ATD). Este nuevo curso Didáctica de las matemáticas puede ser una alternativa eficaz en la mejora del conocimiento de la enseñanza entre los futuros maestros matemáticas que puede ser considerado como parte de la pre-servicio programa de formación de docentes en Filipinas. El estudio es de carácter cualitativo que es un estudio fenomenológico donde un grupo de los quince (15) Licenciado en Ciencias de la Educación Secundaria (BSED) principales en las matemáticas los estudiantes fueron observados en el Colegio de la enseñanza de las Ciencias de Caraga Universidad Estatal - Campus Ciudad de Butuan, Filipinas. Esta nueva herramienta didáctica ha contribuido eficazmente en la enseñanza instrumentación en matemáticas que crea entre los estudiantes una conexión entre conceptos matemáticos y el estudio de la problemática cuestión en proceso de estudio. Résumé. Ce document met l'accent sur l'enseignement des mathématiques dans les Instrumentation des notions de la théorie anthropologique du didactique (ATD). Ce Didactique de nouveaux cours de mathématiques peut être une alternative efficace pour améliorer les connaissances en matière d'enseignement des professeurs de mathématiques futures qui peuvent être considérés comme faisant partie du programme d'études pré-service professeur d'éducation aux Philippines. L'étude est de nature qualitative, qui est une étude phénoménologique où un groupe de quinze (15) Baccalauréat ès sciences dans l'enseignement secondaire (BSED) majeur étudiants en mathématiques ont été observées au Collège de l'enseignement des sciences de l'Université d'Etat Caraga - Butuan City Campus, Philippines . Ce nouvel outil didactique contribué efficacement en instrumentation enseignement en mathématiques chez les élèves qui ont créé un lien entre les concepts mathématiques et l'étude des questions problématiques dans le processus d'étude. Abstract. This paper focuses on teaching Instrumentation in Mathematics within the notions of the anthropological theory of the didactic (ATD). This new Didactics of Mathematics Course may be an effective alternative in improving knowledge in teaching among future math teachers which may be considered as part of the pre-service teacher education curriculum in the Philippines. The study is qualitative in nature which is a phenomenological study where a group of fifteen (15) Bachelor of Science in Secondary Education (BSED) major in Mathematics students were observed at the College of Science Education of Caraga State University – Butuan City Campus, Philippines. This new didactic tool effectively helped in teaching Instrumentation in Mathematics which created among students a connection between mathematical concepts and the study of problematic question in the study process.

Rosie Conde

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1. Introduction As mandated by the Commission on Higher Education in the

Philippines, secondary teacher preparation in Mathematics includes the following major subjects which are compulsory for student teachers. These major courses in the field of mathematics include Advanced Algebra, Plane Geometry, Trigonometry, Analytic Geometry, Calculus, Probability, Number Theory, Elementary Statistics, Linear Algebra, Seminar of Problem Solving in Mathematics, History of Math and Instrumentation in Mathematics. Instrumentation in Mathematics is a 3-units course (54 hrs) within a semester (4 months). This course is designed to train student teachers to develop visual aids, manipulative materials and models with accompanying activity sheets that will aid students’ understanding of abstract or difficult concepts in Mathematics and make the study of the subject more appealing to students. As an output of the course the students will improvise/design instructional devices or manipulatives using available low cost materials or indigenous materials.

It is in this light that the researcher wanted to introduce a design which is a more effective way of teaching Instrumentation in Mathematics through research and study course (RSC) in the notion of anthropological theory of the didactic (ATD) for students to efficiently design more appropriate teaching and learning equipments to aid high school students. The course is made up of classroom discussions on the current issues of mathematics education, workshop on questioning the world and problem posing, didactics in mathematics and ATD related seminar series, as well as about mathematics anxiety and misconceptions with the highlight on designing manipulatives, presentation, discussions and highschool class immersions using these manipulatives. The study is qualitative in nature which is a phenomenological study where a group of fifteen (15) Bachelor of Science in Secondary Education (BSED) major in Mathematics students were observed at the College of Science Education of Caraga State University – Butuan City Campus, Philippines. The course started with the construction of a main generating problem on addressing high school students’ difficulties in the basic concepts of mathematics. Solving the generating questions and finding answers to the questions involve developing and constructing praxeologies most commonly within each group. In order for the students to have focus on a specific area of study the researcher grouped the class into 5 groups with 3 students in each group. From the main generating problem the group made generating questions to come up with sets of problems which can produce answers to aid them in the design of the manipulatives. The researcher used in the analysis of data the interview, portfolio, lesson

On Teaching Instrumentation in Mathematics using Research and Study Course

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plans, classroom presentations, immersion observations and discussions/feedbacking sessions as well as the reports submitted containing the pretest and post test and the filled survey questionnaire from the highschool students.

2. Background

According to Chevallard, the research and study course (RSC) is the newest development in the field of ATD which is directed to an efficient form of school study from the French ‘parcours d’étude et de recherche’ (PER) and in the Spanish, ‘Recorrido de Estudio e Investigacíon’ (REI). In this course, a group of students will study a generative question, in which the group output will create a rich succession of more problems that they will have to solve in order to reach a valuable answer to the question being studied.

This paper uses the notions of the anthropological theory of the

didactic (ATD) in the light of research and study course (RSC) and praxeologies. Solving the generating questions and finding answers to questions involve developing and constructing praxeologies most commonly within a group. The focus will be on the notion of praxeologies which are described by the two main parts which is the praxis or “know-how” and logos or “thinking-reasoning” about the praxis. The students will be acquainted with the praxis which refers to the types of tasks and techniques that are available for them to solve the task on addressing high school students’ difficulties and designing manipulatives and teaching materials that may aid in teaching. They will also be taught with the logos which refers to technology that describes and explains the techniques and the theory.(Bosch & Gascón, 2006). Chevallard (2004 & 2006 as cited by Barquero) commenced this concept as a model for designing and analyzing study processes. The RSC allow in retaining the relationship between questions and answers which is used in the formulation of scientific knowledge as a result of this process. Through this study process, the students were able to live the experiences which help them to create hypothesis, develop more generating questions, compare their outputs and chose relevant literature and mathematical concepts.

This didactic organization seemed very effective in teaching

Instrumentation in Mathematics since the students can start with generative questions with corresponding possible answers makes the main generative questions “alive”. One of the functions of RSC in the course is to be able to allow students magnify their beliefs and compare results in the feedbacking sessions and classroom discussions provided by

Rosie Conde

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the teacher to come up with more appropriate manipulatives within each group. During the RSC, the design activity progressively achieved the status of a (mathematical) study object farther from the status of being a (didactic) tool to study a number of mathematical organisations needed to come up with the desired output. The students take the responsibilities usually assumed by the teacher. They individually formulate questions instead related to mathematical and didactical techniques within each group.

The researcher would like to offer a Didactics of Mathematics

course such as this research and study course (RSC) in Instrumentation in Mathematics which is a newly developed approach which is in line with notions from the ATD framework. This study will also seek to successfully relate the frameworks of didactical transposition and ATD to be able to define the innate characteristics of this course. The focus will be on the notion of praxeologies which are described by the two main parts which is the praxis or “know-how” and logos or “thinking-reasoning” about the praxis (Bosch, 2007). The students were acquainted with the praxis which refers to the types of tasks and techniques that are available to solve certain tasks given to them. They were also taught with the logos which refer to technology that describes and explains the techniques and the theory that explains the technology. 2.1 Main Research Problems This study sought to answer the following problems: 1. Does this research and study course (RSC) add something to the mathematical knowledge and organization among students? 2. How do the students develop new mathematical praxeologies in creating teaching and learning equipments (manipulatives) and activities to be used in teaching basic concepts in mathematics? 3. How did the design of the manipulatives and activities transform to study problematic questions and articulate the contents of the course during the study process? 3. BODY

To address the main research problems, the data collected from the interview of the student teachers, the pretest and posttest of the highschool students were evaluated, reanalyses and re-visitation was done


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by the researcher from the submitted research reports, portfolio and lesson plans of the students participants taking up SciEd 5 (Instrumentation of Mathematics) course and in the interview responses (students teachers and highschool students). Artefacts from pictures, interview and filled survey questionnaire were also reanalyzed. The teaching design of the study process of the course is shown in the following figure.

Figure. 1. Teaching Design of the course

The teaching design is based on ATD notion of research and

study course (RSC) build upon the generating questions for students to address high school students difficulties, problems and misconceptions in the five areas in mathematics namely Measurement and Geometry, Numbers, Probability and Statistics, Geometry, Algebra and Trigonometry. In each of these groups, the project formulations were conceived by formulating generating questions and make the main generating question, Q0 “alive” which developed to more generating questions as follows: Q0: What are some of the difficulties, problems and misconceptions in this area that can be addressed using manipulatives? (main generating problem)

Q1: Given those specific areas, which of the topics is most problematic? Q2: What possible manipulatives can be designed in these topics?

Q2,1: What are those possible didactical games and activities that can be constructed using these manipulatives? Q2,2: How can activity sheets be made using these manipulatives with some basic concepts in that area?

Q3: Does it make a difference to high school students?

Q3,1: What are students’ perceptions regarding the manipulatives with the specific areas? Q3,2: What are the experiences of these high school students with the created manipulatives?

Rosie Conde

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The formulation of the generating questions from the main generating question is shown in the schematic diagram as follows.

Figure 2. Schematic diagram of the construction of generating questions

The intended mathematical knowledge of this RSC are the basic

concepts in Measurement and Geometry, Numbers, Probability and Statistics, Geometry, Algebra and Trigonometry. Five groups composed of three students each group were assigned to study and make researches on the misconceptions and problems among these areas of study. The students were regularly checked with respect to the developments of possible answers to the their generating questions like: What are your possible answers to the generating questions? What have you done to answer these questions? What else are your plans in order to have more concrete answers to the questions?

The researcher documented some meaningful and good

observations on how well students carry the obstacles that come their way and was able to observe that RSC was able to provide good experiences to students which enhanced their teaching and learning on the basic concepts of mathematics. In an interview from a representative of the group, Marvin, said that “we have made many investigations and instrumentation that make us develop a better understanding of mathematics. These factors make us follow the great arithmetic and logic which enable us to input much of the significance of mathematics in our lives. Much of the learnings’ we gained developed our hidden talents, we have received much of learnings’ which improve our problem solving skills and analytical skills that we can use for further studies and for our future profession”. The RSC’s allowed the members of the group to be able to question what was initially designed and this questioning became the driving force of the entire project design that enable the group to redesign, restructure, correct activity sheets and come up with a more appropriate and more practical designs. After undergoing planning, discussions and several trials the students’ successfully made the following manipulatives under different areas in Measurement and Geometry, Numbers, Probability and Statistics,


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Geometry, Algebra and Trigonometry. These were experiences from them and from high schools students of CSU-Laboratory High School.

Lets measure game Math Spin the Wheel APH Protractor

Figure 3. Group 1 on Measurement and Geometry

Double Block Pattern Block 100’S board

Figure 4. Group 2 on Numbers

Rosie Conde

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Snake and Ladder EPI-INFO Experimentation Experimental Probability

Figure 5. Group 3 on Probability and Statistics G.A.T. Boards Tangrams Pattern Blocks

Figure 6. Group 4 on Geometry Point Locators Discover the BINGO’s X and Y Styrograph

Figure 7. Group 5 on Algebra and Trigonometry

Before the students came up with designs of their outputs they made some researches and discussions on origins of didactical games using manipulatives, mathematics misconceptions, the relations between


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mathematical concepts and manipulatives, the effectiveness of the created manipulatives to address preliminary questions and the scope and limitations of those created manipulatives. Thus, students did not only learn how to design manipulatives but at the same time they learned about mathematical knowledge and organization needed to address the main generating problem. The student teachers were given ample time to discuss within each group possible generating questions to address some difficulties regarding highschools’ learning mathematics. After thourough discussions within their respective groups they were given chances to present those constructed generating questions by the teacher facilitating in each presentations and discussions. In the presentations, the students did feedbacking regarding the constructed generating questions, designs and finalizations of the manipulatives and activities. From time to time the teacher required them to give answers to their generating questions by then they were able to present a more flawless and better designs of manipulatives and activities with the hypothesis that these manipulatives and activities will increase CSU-highschool students scores in the post test and enjoy the given activities.

In solving for the generating questions and finding answers to

these questions, the students developed and constructed praxeologies most within each group. These development in math praxeologies helped in the success of the research and study course (RSC). The students were able to do among each group the more appropriate design of manipulatives and were able to independently constructed problems and activities using the manipulatives. They were able to device procedures among their group mates through research, planning and discussions on how to address and design these manipulatives as well as researching their basis in books and internet and the “thinking-reasoning” was done using classroom discussions, presentation and dry run. The students became very familiar with the types of tasks and techniques that are available for them to solve the task on addressing high school students’ difficulties, designing manipulatives and teaching materials that may aid.

The CSU-highschool students where given pretest and post test and

after the activity they were given a survey questionnaire for them to express their ideas regarding the manipulatives, activities and in the learning of some concepts in mathematics. Observations were also recorded and the class interaction was audiotaped.

4. Conclusion

The result of the research and study course was overwhelming. The groups of students were very engrossed with solving their genrating

Rosie Conde

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questions on addressing misconceptions. Mathematical concept organization was developed among students as well as in designing manipulatives to address these problems. Other groups had difficulties in designing the manipulatives as well as in constructing activity sheets for the didactical activities.

With this RSC, some adequate conditions to formulate some

generative questions were done by students concerning the origins of didactical games using manipulatives, the relations between mathematical concepts and manipulatives, the effectiveness of the created manipulatives to address preliminary questions and the scope and limitations of those created manipulatives. 5. Connections between SRC and Instrumentation in Math

Instrumentation in Mathematics was designed to train student

teachers to develop visual aids, manipulative materials and models with accompanying activity sheets that will aid students’ understanding of abstract or difficult concepts in Mathematics. Designing RSC’s in teaching Instrumentation in Mathematics not only produced an output which are improvised or originally made instructional devices using available low cost materials or indigenous materials but also trying to utilize such to study more generative questions. Using RSC’s the contents expected from the course were very well articulated during the study process. The students did not only finished the course as expected but they were able also to concretize their plans and ideas. In fact, they were even so thankful that the SciEd 5 course (Instrumentation in Math) was transformed to a more challenging and interesting convergence of ideas among their peers.

As in the design phase of each group, it has been verified that the

content of the course was covered as well as some important ideas were included in the study process. The event was more efficient since the students were learning not only within the bound of the course content which is ideal for a mathematics course. RSC is a very important didactical tool in which the current statute should consider. The researcher believed that allowing the students to experience the “live” moments allowed the students to hypothesize, experiment, think, formulate more live questions and choose relevant mathematical organization and concepts. The didactic process allows the students to stay in the didactic contract: group discussions, presentations and on their defense regarding the design as well as to take hold of the openness to more generative questions that might arise even in the final presentation and utilization of the high school students at CSU-Laboratory High


11

School. These crucial stages of the study process may not be present in the traditional curriculum and methods in teaching Instrumentation of Mathematics but indeed very instrumental for students not only to cover the intended curriculum but more importantly helped in the process of acquiring necessary knowledge as well as in the criticism, study limitation and links in the design with the assigned topics.

Instead of being the giver and provider of the knowledge, the

teacher took the role to facilitate students: course orientation which includes scheduling, helped in selecting mathematical concepts needed for the group assignment, helped in problem posing for generative questions within each of the groups, facilitated in the planning and discussions among each group, helped in the evaluation of outputs presentation and observer in the class’ trial and high school students utilization and more specially evaluate results for the analysis. Thus, the idea of “monumentalism” was taken out for the entire study process. 6. Study and Research Courses as a new teaching paradigm

This most recent development in anthropological theory of the didactic (ATD) may go as far more promising way in teaching mathematics. This new paradigm may cause encounter of some parts (maybe all parts) of the contents but can maintain a high degree of widening as compared to other existing study processes. Instead of starting from the set of intended contents set by the discipline or a body of knowledge, RSC is commenced by a generating question, Q0. This is a very powerful question which maybe able to generate more questions with potential answers leading to various bodies of knowledge to teach. This didactic framework is motivated by the intent to answer generating questions which is not in a prearranged way but a plan guided by the contents of the course and the necessity to give rightful answers. Chevallard postulated that RSC would allow to substitute the “thematic confinement” that the students and teachers usually do at school because of its inherently co-disciplined nature. For the didactic contract to exist, the students should have enough knowledge on how to start the study and deal with the initial generating question. The students must be allowed to obtain ways which are fundamentals which allow self-evaluation of their answers and solutions. (Bosch, 2007). Unlike any other usual scenario inside the classroom , in RSC, it is the student who take the full responsibility to answer the questions posed and majority of the decision making. In RSC the teacher will act as the director of the study making the students spend suitable study moments by giving the students due attention and appropriate time to interact. But the metacognitive activities

Rosie Conde

12

such as planning, regulating and evaluating should also been taken cared of and regulated to possibly overcome constraints.

References

Barquero, B., Bosch, M., and Gascón, J. (2007). Using Research And

Study Courses for teaching Mathematical Modelling at University Level. CERME 5. (pp. 2050-2059).

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transposition, ICMI Bulletin, 58, 51-63.

Chevallard, Y. (2012). Teaching mathematics in tomorrow's society: A

case for an oncoming counterparadigm. Paper presented at the 12th

International Congress on Mathematical Education, Seoul, Korea.

Goldhaber, D., & Anthony, E. (2007). Can Teacher Quality Be Effectively Assessed? National Board Certification as a Signal of Effective Teaching. The Review of Economics and Statistics, 89(1), 134-150. Retrieved May 6, 2010, from ABI/INFORM Global. (Document ID: 1233345341).

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Countries – from the Perspective of Pedagogical Content Knowledge. Seoul, Korea: Hongik University. http://math.ecnu.edu.cn/earcome3/PL/EARCOME3(teacher%20education).doc

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Some examples and principles of its use in the study of mathematics education. 117-138 in M. Bosch, J. Gascón, A. Ruiz Olarría, M. Artaud, A. Bronner, Y. Chevallard, G. Cirade, C. Ladage & M. Larguier (Eds.), Un panorama de TAD. CRM Documents 10. Bellaterra (Barcelona): Centre de Recerca Matemàtica.







1

A la recherche du didactique sur internet :

un outil de formation [et de recherche] en didactique

à l’université

Caroline Ladage

Aix-Marseille Université, EA 4671 ADEF, ENS de Lyon, IFE, 13248,

Marseille, France

Abstract. Completing a didactic analysis is a learning task which goal is to discover that

the didactic is all around us in society (and not only in “classical” educational

institutions). We study an experiment with students in educational sciences in the task of

achieving a didactic analysis of a didactic situation they have to find by themselves. The

story of their research and the didactic analysis they produced are analysed in the light of

the study of the conditions and constraints of the introduction of the study mode based on

questioning the world, highlighting the need to learn to identify, to see, to spot and

ultimately to fully analyse the didactic to improve its social efficiency.

Resumen.

Résumé. L’analyse didactique est un type de tâches dont l’objectif est d’apprendre à

découvrir qu’il y a du didactique tout autour de nous, au sein de la société (et pas

seulement dans les institutions scolaires « classiques »). Nous étudions un dispositif

expérimental auprès d’étudiants en sciences de l’éducation dans la réalisation d’une

analyse didactique d’une situation didactique qu’ils devaient rechercher par eux-mêmes.

Le récit de leurs recherches et les analyses didactiques produites sont analysés à la

lumière de la réflexion sur les conditions et contraintes de l’introduction du mode d’étude

de questionnement du monde, mettant en évidence la nécessité d’apprendre à repérer, à

voir, à identifier et, finalement, à analyser pleinement le didactique afin d’en améliorer

l’efficacité sociale.

Caroline Ladage

2

1. Introduction

Dans cette communication nous proposons d’étudier une ingénierie

didactique qui pose le problème de l’analyse didactique dans le cadre

d’un enseignement de didactique fondamentale à l’université, en licence

et en master de sciences de l’éducation.

L’analyse didactique y est travaillée comme enjeu didactique principal

intimement associé à l’analyse praxéologique. L’objet de l’analyse

didactique est une situation du monde évoquée dans un texte ou visible

dans une séquence filmée, dans laquelle du didactique est repérable.

Pour analyser le didactique dans une situation il faut pouvoir y

observer quelqu’un, ou quelque instance y, qui fait quelque chose, pour

que quelqu’un, ou quelque instance x, apprenne quelque chose. Si par

exemple on observe une situation didactique dans laquelle l’instance x

qui apprend quelque chose est absente, cette situation est incomplète (par

exemple parce qu’elle ne s’est pas encore déroulée). Elle n’est donc

qu’une partie d’un système didactique potentiel dont on ne peut faire que

l’analyse a priori en se demandant comment elle va par exemple

fonctionner pour qui est censé apprendre. L’enjeu didactique de l’analyse

d’une situation « complète » est donc de pouvoir repérer les prises de

décisions de y et de x dans le travail du groupe engagé dans l’étude. Un

exposé porté par une intention didactique qu’une instance y assumerait

seul, tel un scénario de leçon, de séquence, etc., ne montre donc pas la

situation didactique elle-même.

Yves Chevallard suggère que « la capacité à engager et à approfondir

une analyse didactique a un intérêt beaucoup plus large qu’on ne le croit

généralement : un intérêt “citoyen” » (Chevallard, 2011, p. 14). Travailler

sur l’analyse didactique avec un groupe d’étudiants ne concerne pas ici

un travail d’analyse d’une situation didactique donnée. Le travail proposé

aux étudiants a pour objectif de les mettre en contact avec le didactique

présent autour d’eux et de leur proposer des outils théoriques pour en

comprendre les rouages. L’enjeu d’un tel enseignement n’est donc pas

d’enseigner l’analyse didactique en soi, avec son lot de gestes techniques

normalisés appliqués à des situations didactiques disciplinaires que l’on

ne serait autorisé à réaliser qu’à condition d’être un spécialiste ou au

moins un étudiant du domaine considéré. L’enjeu est de faire émerger au

A la recherche du didactique sur internet : un outil en didactique

3

cœur du travail tout d’abord la question de la rencontre de témoins de

situations didactiques complètes, faisant apparaître de façon plus ou

moins explicite le travail de collectifs réunis en un ou plusieurs systèmes

didactiques autour de questions ou d’enjeux didactiques également plus

ou moins difficiles à repérer. Comme nous le verrons dans cette étude, ce

repérage ne va en effet pas toujours de soi dès l’instant où l’on quitte

l’enceinte des institutions éducatives pour chercher le didactique dans des

configurations didactiques disponibles dans la société.

La recherche du didactique ainsi formulée se propose de contribuer à

changer le regard porté sur la nature des exposés disponibles dans la

société, non pas en en faisant une étude formelle, mais en partant à sa

rencontre sous la forme d’une recherche de situations, dont il faudra faire

l’analyse didactique, sans savoir a priori le type d’outil dont il faudra

pouvoir se servir pour accomplir cette tâche. La démarche de recherche

ainsi mise en œuvre de façon expérimentale trouve toute sa justification

théorique dans les notions bien connues en TAD du paradigme de la

visite des œuvres et de celui du questionnement du monde.

Nous proposons dans un premier temps d’approfondir l’approche

théorique dans lequel s’inscrit ce travail de quête et de questionnement de

situations didactiques pour identifier ensuite les notions théoriques utiles

aussi bien à la réalisation de l’analyse didactique elle-même qu’à la

compréhension du travail réalisé, ici avec un groupe de 89 étudiants de

licence et de master en sciences de l’éducation.

2. Les outils de la TAD sollicités

Comment analyser le didactique présent dans une situation qui nous est

donnée à connaître soit par l’observation directe, soit par une description

orale ou écrite, plus ou moins allusive, plus ou moins précise de cette

situation ?

Nous étudierons brièvement dans ce qui suit les notions au cœur de

l’analyse didactique, étude dont les frontières sont difficiles à tracer tant

l’analyse didactique, et son approfondissement dans l’analyse

praxéologique, sollicitent la théorie anthropologique du didactique dans

ses développements les plus récents.

Caroline Ladage

4

Pour comprendre le complexe des gestes de l’analyse didactique telle

qu’elle a été élaborée et enseignée par Yves Chevallard nous nous

appuyons sur un ensemble de leçons qu’il a élaborées à l’intention de ses

étudiants en licence et en master en sciences de l’éducation. Le matériau

essentiel du bref rappel théorique qui suit se trouve de ce fait consigné

principalement dans les Leçons de didactique du cours de Didactique

fondamentale de l’année 2011-2012 (Chevallard, 2012), ainsi que dans

différentes notes à l’intention des étudiants pour la réalisation de leur

analyses didactiques, mais aussi dans le journal du séminaire TAD/IDD

(Chevallard, 2011 ).

Pour démarrer la recherche de didactique, commençons par rappeler la

définition donnée aux étudiants de la notion de situation didactique :

On dira que, dans une situation sociale donnée, il y a du didactique

lorsque quelqu’un ou, plus généralement, quelque instance (personne ou

institution) envisage de faire (ou fait) quelque chose afin de faire que

quelqu’un ou quelque instance apprenne quelque chose. Tous les mots

sont importants dans cette formulation. La définition proposée est en fait

très large. Lorsqu’une situation sociale contient du didactique, on dira

pour faire court que c’est une situation didactique. (Chevallard, 2012,

p. 4)

Rappelons aussi que la structure de la situation didactique (son modèle

didactique de référence) ainsi repérée est formalisée dans la notion de

système didactique, notée : S(x ; y ; ♥).

L’analyse didactique démarrera alors par l’identification, dans les

situations sociales examinées, de systèmes didactiques, réalités sociales

qui rassemblent ces trois entités : un « élève » x, un « professeur » y et un

enjeu didactique ♥. Les mots « élève » et « professeur » sont mis entre

guillemets pour souligner le fait que la notion de système didactique S(X ;

Y ; ♥) s’applique bien au-delà de l’institution scolaire ordinaire.

Le premier moment du travail de l’analyse didactique avec les

étudiants est donc d’apprendre à chercher le didactique autour de soi et de

l’analyser dans les situations sociales où il se dissimule. Cette tâche n’est

pas aisée dans une société marquée, comme le dit Chevallard, par un

refoulement culturel du didactique : « Il est vraisemblable que le préjugé

défavorable qui frappe traditionnellement l’adjectif didactique est lié au


5

refoulement culturel du didactique : l’un et l’autre apparaissent comme

des traits de civilisation corrélés, pérennes, ubiquitaires. » (Chevallard,

2012, p. 12) Ce refoulement du didactique se traduit par le fait que

« l’immense majorité des discours et des textes qui parlent du monde

social ignorent le didactique ». Si on trouve bien des discours sur l’école

ou sur le pédagogique, peu de place est laissée au didactique. Chevallard

en donne l’explication suivante :

Ce refoulement apparaît, à l’analyse, lié aux deux « quelque chose »

mentionnés dans la définition du didactique. Tout se passe en vérité

comme s’il n’était convenable de parler ni du « quelque chose » que y

prétend aider x à apprendre (le contenu de savoir qui est l’enjeu de

l’interaction didactique), ni du quelque chose que y fait pour cela (les

« gestes » didactiques qu’il accomplit à propos de ce contenu). Les deux

« manques » sont en fait liés. S’agissant du second « quelque chose » –

que le symbole ♥ représente –, on n’en parle généralement que « du bout

des mots », comme si la chose était inconvenante, déplacée, impudique.

Quand on a ainsi indiqué grossièrement la « matière » du projet

didactique, on ne dit mot, généralement, de la façon dont ce projet

prendra forme concrète. Tout se passe, de fait, comme si l’on ne pouvait

parler du premier « quelque chose » – l’interaction didactique, les

« gestes » didactiques à accomplir – qu’à la condition d’expulser le

second « quelque chose ». Ce faisant, on réduit les pratiques didactiques

(et leurs principes organisateurs), ainsi évidées des contenus qu’elles

visaient, à une structure abstraite : le pédagogique. À la place de la

didactique, le refoulement des contenus de savoir installe ainsi la

pédagogie, qui ne saurait pourtant, à elle toute seule, rendre compte de la

vie du didactique au sein de la société. C’est en ce point que la didactique

se sépare de l’idée d’une pédagogie qui se suffirait à elle-même pour

expliquer le didactique et fonder l’action didactique. (p. 11)

Une fois que l’on a repéré dans une situation sociale le schéma de base

d’un système didactique observable dans sa complétude, l’analyse

didactique s’appuie sur deux outils théoriques centraux en TAD :

l’échelle des niveaux de codétermination didactique (pour étudier les

conditions et contraintes pesant sur la formation et le déroulement de la

situation didactique), et le schéma herbartien.

Caroline Ladage

6

En commençant par le premier de ces outils et sans pouvoir

commenter chacun de ses niveaux dans le cadre de la présente étude,

notons à titre d’exemple son intérêt pour identifier la complexité de

l’économie et de l’écologie du didactique causant la fragilité d’un

système didactique « de la vie quotidienne » dans sa capacité de donner à

voir quelques-unes des incertitudes qui pèsent sur sa formation et sur son

fonctionnement. Le niveau de l’école dans l’échelle de codétermination

peut ainsi révéler que l’environnement dans lequel un système didactique

a émergé peut être à l’origine de sa fragilité dès l’instant où elle ne

bénéficie pas d’une certaine reconnaissance par la société, d’une

« puissance d’investiture sociale » que Chevallard appelle, en s’inspirant

de Guy Brousseau (2003), « mandante à l’endroit de S(X ; Y ; ♥) »

(Chevallard, 2012, p. 15). Dans les cas où l’instance mandante s’avère

autre que les institutions du système scolaire son identification n’est pas

aisée mais revêt tout son intérêt dès lors qu’on étudie par exemple les

situations didactiques professionnelles.

Identifier les deux « quelque chose » contenues dans la situation

didactique suppose d’être capable de repérer la chaîne des intentions et

des gestes didactiques qui s’y jouent. C’est à ce stade que le schéma

herbartien développé (reproduit ci-après) servira d’outil pour identifier

les composants du milieu M.

[S(X ; Y ; Q) { R◊1, R

◊2, …, R◊

m, Om+1, Om+2, …, On }] R.

Le travail se poursuit par une série ouverte de questions. Quel est le

didactique présent dans la situation ? Quels sont les systèmes didactiques

présents ou évoqués par les acteurs de la situation ? Dans la construction

de la réponse R,

qu’apprend-on ? Quels gestes didactiques sont-ils

accomplis ou sont-ils envisagés ? Quels types de tâches, techniques,

technologies, théories sont incorporées dans la situation ?

C’est au moment où le travail de l’analyse didactique en arrive à

l’analyse de l’enjeu didactique du système didactique considéré que le

besoin d’un approfondissement va émerger. L’analyse didactique de

débouche ainsi sur une analytique didactique que Chevallard (2012,

pp. 29-30) explique de la manière suivante :


7

L’analytique didactique, c’est-à-dire d’une opération analysant –

découpant – l’œuvre à étudier, O, en parties, sous-parties, etc., dont

l’étude est regardée (par y, par X, par l’institution mandante, etc.) comme

participant authentiquement et légitimement de l’étude de O, voire – thèse

plus forte – comme épuisant l’étude de O.

Chevallard propose alors comme prolongement de l’analyse didactique

une analyse praxéologique de l’enjeu didactique avec comme objectif de

contribuer à reproblématiser les praxéologies qui y sont visées.

Faire de la didactique exige que l’on se rende apte à découper, à « lire »

dans le flux toujours en mal de naturalisation de l’activité humaine – que

celle-ci soit mathématique, culinaire ou autre – des combinaisons parfois

hétéroclites, souvent complexes d’innombrables types de tâches, et que

l’on y recherche les indices et les signes de la mise en jeu de techniques

déterminées. Types de tâches et techniques, même stabilisés, même

naturalisés, témoignent en effet toujours, à qui sait les regarder,

d’apprentissages éventuellement anciens et oubliés, et constituent presque

à tout coup les vestiges d’interactions didactiques souvent effacées de la

mémoire personnelle ou institutionnelle : ils sont ainsi les restes d’une

réalité qui fut un jour problématique et que le didacticien doit apprendre à

reproblématiser. (p. 40)

L’analyse praxéologique est bien évidemment indispensable à l’analyse

didactique. Non pas une analyse praxéologique « en soi et pour soi »,

mais « une analyse praxéologique finalisée par l’analyse didactique

poursuivie […] L’analyse didactique de S(X ; Y ; ) appelle l’analyse

praxéologique de . » (Chevallard, 2011, p. 2)

Le dispositif que nous étudions dans ce qui suit s’en tient à une

analyse didactique comme premier exercice pratique dans le déroulement

de l’enseignement de didactique fondamentale. Notons que l’analyse

praxéologique fera ensuite l’objet de l’examen final.

Caroline Ladage

8

3. Le dispositif de recherche : la quête d’une situation

didactique

3.1. Le dispositif

Nous étudions les devoirs réalisés dans le cadre d’un travail dirigé d’une

unité d’enseignement de didactique fondamentale en sciences de

l’éducation à l’université d’Aix-Marseille. L’enseignement est donné

sous forme de cours magistral dans un amphithéâtre. Un espace de cours

est ouvert sur la plateforme pédagogique de l’université, avec pour

objectif de mettre le cours écrit à la disposition des étudiants, d’offrir un

espace d’échanges à l’aide d’un forum, ainsi qu’un espace de dépôt des

devoirs.

Pour le contrôle continu de l’enseignement une analyse didactique

devait être réalisée d’une situation didactique que l’étudiant devait

trouver par lui-même. Le travail demandé se déclinait en deux temps. La

première tâche de l’étudiant était de réaliser une recherche autour de lui

pour trouver un document (écrit ou filmé) présentant une situation

didactique. Une fois la situation trouvée, l’étudiant devait la soumettre

pour validation par l’enseignant, en le déposant sur le forum de la

plateforme pédagogique. La régulation réalisée était ainsi partagée avec

l’ensemble des étudiants et permettait du même coup de vérifier si la

situation choisie n’avait pas déjà été retenue par un autre étudiant.

Cette première étape du travail a rapidement mis en évidence que le

type de situation recherché n’était pas facile à trouver, car alors qu’à

première vue la tâche de trouver des situations didactiques semblait aisée

pour les étudiants – pour eux il n’y avait qu’à regarder sur Internet pour y

découvrir une quantité inestimable de ressources pédagogiques et de

« didacticiels » –, la recherche demandée allait rapidement s’avérer plus

longue que prévu. Il ne s’agissait en effet pas de trouver un quelconque

exposé témoignant d’une intention didactique de son auteur, mais de

trouver des documents témoignant de la présence réelle ou à créer de

l’ensemble des acteurs d’un système didactique, soit au moins une

instance d’aide à l’étude y et une instance étudiante x réunis autour d’un

enjeu didactique identifiable. Le traitement didactique de documents

dans lesquels x n’était pas clairement identifiable risquant de se révéler


9

difficile pour des étudiants débutants, ce choix avait été exclu de travail à

réaliser. Pour les guider dans la quête d’un document témoignant d’une

situation didactique réunissant les deux instances, l’étude de différents

types de situations a été réalisée en cours et a donné lieu aux précisions

suivantes :

Le premier type de documents est fait de documents proposant une

narration (par un auteur z) d’une situation particulière réellement

observée, où, par exemple, un formateur y tente d’obtenir de personnes en

formation x qu’elles réalisent une certaine tâche t. Un tel texte peut être

ainsi la narration (par z) d’un stage réalisé au sein d’une institution de

loisir ou de formation. Notez que l’on peut avoir en certains cas y = x : le

document décrit alors la personne x tentant – en s’aidant elle-même − de

réaliser une certaine tâche t.

Un deuxième type de documents est constitué de documents où un

auteur z, jouant en quelque sorte le rôle de formateur de formateurs, décrit

à un formateur y hypothétique une situation didactique impliquant des

personnes en formation x hypothétiques, [situation] qu’il s’agirait de créer

(ou qui pourrait advenir, tout simplement). Dans ce cas, l’utilisateur y

visé par l’auteur z du texte est censé extraire de celui-ci une certaine

organisation didactique en vue de la réaliser en quelque institution auprès

de personnes x hypothétiques. À nouveau, on peut avoir ici y = x.

Un troisième type de documents décrit une certaine organisation

praxéologique présentée comme enjeu didactique possible d’un certain

type de systèmes didactiques ou autodidactiques. En ce cas, le document

ne décrit pas une situation didactique observée ou à créer : il est un

exposé E relatif à une organisation praxéologique face à laquelle il se

situe comme une aide à l’étude possible d’une étude possible.

À propos du document du troisième type l’exemple suivant a été étudié :

Considérons un document où une dentiste explique « comment bien se

brosser les dents » (http://www.youtube.com/watch?v=UQ1gest6j4U). On

y voit cette personne, y, visible sur la capture d’écran ci-dessous, parler à

un x supposé, qui visionnerait sa vidéo :

Caroline Ladage

10

Figure 1. Capture d’écran.

Pour passer d’un document du troisième type à un document du premier

type, il faudrait que, dans la vidéo, cette dame, y, explique par exemple à

un jeune garçon x comment faire pour se brosser les dents ; et qu’on

aperçoive à cette occasion quelques interactions entre y et x (par exemple

on verrait y corriger la manière de faire de x, commenter cette manière de

faire, on verrait x interroger y, etc.). Faute de cela, on ne peut qu’imaginer

ce que x pourrait faire : pour y parvenir de façon réaliste, il faut sans

doute avoir une connaissance de ce type de tâches – l’analyse didactique

d’un document du troisième type − qui n’est pas requise à ce niveau de

formation didactique.

Le travail de recherche réalisé par les étudiants a généré 83 messages sur

le forum du cours de licence et 25 sur celui du master. Un total de 89

analyses didactiques a été déposé, comprenant 65 travaux d’étudiants en

licence et 24 travaux d’étudiants en master. Avant d’étudier la qualité des

analyses obtenues, nous nous arrêtons dans un premier temps sur la

manière dont les étudiants ont déclaré avoir cherché puis trouvé leurs

situations didactiques.

3.2. Le récit des recherches

Le travail à réaliser comportait une première section dans laquelle

l’étudiant devait expliciter de façon concise mais informative le

déroulement de sa recherche d’une situation didactique, pour expliquer :

1) comment la situation sélectionnée a été trouvée (elle peut ainsi avoir

été trouvée par une recherche par mots clés sur Google ou sur un site

particulier ; ou alors par souvenir d’un passage dans un livre ou dans un


11

manuel ; ou encore cette situation pouvait être une situation authentique

filmée par ses soins, etc.) ; 2) où le récit (écrit ou filmé) de la situation a

été trouvée (il pouvait par exemple s’agir de la référence d’un livre ou

d’une vidéo).

L’analyse des praxéologies déclarées dans cette première section

comprenant les récits du déroulement de la recherche d’une situation

didactique, permet une série de constats et de conjectures à deux

niveaux : d’abord celui des techniques de recherche d’information mises

en œuvre (le niveau de la praxis), ensuite celui des discours sur ces

techniques (le niveau du logos). L’analyse révèle également les

conditions et contraintes énoncées dans la réalisation du type de tâches

« Rechercher une situation didactique d’un certain type ». Enfin le corpus

donne à voir toute la difficulté d’accomplir le type de tâches « Rédiger le

déroulement de sa recherche ».

Notons d’abord quelques caractéristiques générales des déclarations

étudiées. Sur les 65 travaux de licence, 4 étudiants n’incluent pas la

première section du travail et 5 déclarent avoir décidé de filmer une

situation par leurs propres soins, sans juger utile de préciser comment ils

ont fait le choix de leur situation. Sur les 24 travaux de master, ils sont 3

à ne pas préciser comme ils ont réalisé leur recherche. La taille moyenne

de cette section (pour laquelle aucune limitation de volume de mots

n’avait été donnée) est de 133 mots pour le groupe de licence et de 138

mots pour celui de master, ce qui correspond approximativement au

volume du présent paragraphe. En licence le texte le plus court est de 36

mots, le plus long de 350, en master le plus court contient 16 mots et le

plus long 417 (correspondant à une page).

À part quelques textes d’au moins une demi-page (il n’y a guère plus

que 4 étudiants à avoir écrit un texte de plus de 200 mots en licence, et 3

en master), les étudiants consacrent peu de place à expliquer le

déroulement de leur recherche.

Une praxis peu explicitée. Cette pauvreté purement quantitative est

confirmée par l’analyse qualitative que fournit le repérage des

praxéologies énumérées par les étudiants. Les gestes de recherche cités

sont principalement des recherches sur Internet. Quelques étudiants

déclarent avoir cherché dans leur mémoire, une seule dans sa

Caroline Ladage

12

bibliothèque et vidéothèque (« J’ai, dans un premier temps, fait appel à

mes souvenirs en examinant minutieusement ma bibliothèque et ma

vidéothèque »). Le démarrage de la recherche s’est fait pour 55 étudiants

sur Internet, le reste se partageant entre le souvenir précis d’un film (6),

d’un livre (4) ou d’une émission de télévision (1). Un petit nombre

déclare avoir commencé par réfléchir pour essayer de se rappeler des

situations didactiques dans des films ou des livres. Un seul déclare avoir

consulté le forum du cours pour s’inspirer des propositions des autres

étudiants.

Nous notons que peu de précisions sont données quant aux outils

utilisés pour réaliser les recherches. Sur l’ensemble des 89 récits de

recherche, 25 déclarent avoir utilisé Google, dont seulement 8 étudiants

précisent « le moteur de recherche Google », alors qu’un autre parle du

« navigateur Google ». 53 étudiants déclarent avoir utilisé YouTube, 19

l’appellent « le site YouTube », 9 parlent du « site internet Youtube », et

on trouve des occurrences uniques pour les appellations suivantes : « la

plateforme Youtube », « le moteur de recherche Youtube », « les sites

d’hébergement de vidéos comme You tube », « le site communautaire de

partage de vidéos YouTube ».

Les recherches par mots clés, sur le moteur de recherche Google ou

sur le site Internet YouTube, ont été la technique de recherche la plus

partagée : 39 étudiants la citent. Le choix des mots clé a été précisé dans

30 cas, dont 22 pour nommer des mots clés spécifiques à un domaine (la

danse, le tennis, la langue, les mathématiques…) et 8 pour donner des

mots clés génériques, comme on peut le lire dans la liste des mots clés

comprenant l’ensemble des suites de mots clés cités, reproduite ci-après :

situation didactique, cours de, leçon de, séquence didactique, apprendre à,

démonstration de / situation d’apprentissage / classe qui apprend /

professeur, leçon, élèves / stage de, formation de, cours de, comment… ?

apprendre à / dialogue professeur enfant / Comment faire pour

enseigner...? / Freinet / cours de langue, leçon d’anglais, école / cours de

tennis, professeur de tennis / cours de danse zumba / cours musique,

initiation, masterclass / cours de danses exotiques / apprentissage basket /

cours de danse (2) / cour [sic] de poterie / enregistrement cours, cours de

français / leçon de ski, de planche à voile / Français langue étrangère /


13

mots clés sur le thème du sport / première leçon de / Théorème de Thalès,

Théorème de Pythagore / cours de…, cours de français en maternelle,

langage en maternelle / cours en classe filmé, cours de français, maths,

anglais, élèves qui apprennent les percussions / cours de calligraphie /

danse classique / lecture / séance, type, d’anglais / apprendre à jouer du

piano, tutoriel de guitare, leçon de violon dans une classe / vidéo cours de

pâte à sucre.

On peut se demander si le récit de recherche a été fabriqué a posteriori

pour répondre à la consigne de préciser comment la situation a été

trouvée, le parcours de recherche détaillé, les mots clés tapés et les liens

cliqués étant certainement dans beaucoup de cas oubliés, alors même que

la consigne était donnée au départ de les recenser. On note que certains

étudiants se donnent la peine d’écrire une suite de mots clés, alors que

d’autres s’en tiennent à une expression vague, supposant qu’elle seule a

suffi pour trouver la situation recherchée. D’autres recherches

apparaissent surprenantes et invraisemblables, comme en témoigne la

déclaration suivante : « En tapant sur le moteur de recherche Google les

mots clés “ professeur ”, “ leçon ”, “ élèves ”, j’ai trouvé mon texte. Ce

texte est donc un extrait du livre “ La leçon ” d’Eugène Ionesco. » Une

chose apparaît clairement à la lecture des récits : ils ne pourront qu’à de

rares occasions servir à reproduire la recherche réalisée. Ils n’ont

certainement pas été rédigés dans l’intention de servir de modèle

opérationnel, mais le manque de soin quasi général donné à leur rédaction

peut être vu comme le témoin, soit d’une réelle difficulté à rédiger des

notes de ce type, soit d’une naturalisation des techniques de recherche,

dont le compte-rendu ne nécessiterait pas une élaboration particulière.

Tout se passe comme si ce type de tâches allait de soi et que parler de sa

recherche ne présentait aucun intérêt dans le travail réalisé (certains

étudiants ont d’ailleurs omis d’écrire cette section). Nous retrouvons ici le

déni de problématicité étudié en TAD, que nous avions déjà observé dans

l’étude des pratiques de recherche d’informations sur Internet (Ladage,

2008) : « On tend à s’en tenir aux tâches qui n’apparaissent pas a priori

problématiques, en y renonçant dès lors que la problématicité de la tâche

envisagée devient évidente, en “ oubliant ” ensuite de tels épisodes »

(p. 53).

Caroline Ladage

14

Un logos lacunaire. On note dans les déclarations des étudiants un grand

nombre de manifestations de difficultés, qui s’expriment sous les formes

suivantes (où nous avons choisi de ne pas corriger les diverses

défectuosités affectant la forme du propos) :

La situation sélectionnée pour l’analyse didactique a été trouvé

difficilement. Après plusieurs recherches sur Google dans la

section vidéo, en tapant des mots clés du type « situation

d’apprentissage », « cours.. », « apprendre à... », je n’avais

toujours pas trouvé ce que je voulais. Il est extrêmement

difficile, d’après mes recherches, de trouver sur internet des

vidéos de cours où quelqu’un apprend quelque chose à

quelqu’un d’autre.

Concernant la recherche de mon texte cela a été un réel périple.

En effet, j’ai dû utiliser différentes ressources, ainsi que

différents types de taches et techniques pour le trouver.

La recherche d’une situation didactique n’a pas été facile.

La « quête de l’analyse didactique » ne fut pas aussi aisée que ce

que je l’avais imaginé en premier lieu.

J’ai fait une recherche par mots clefs (« situation

d’apprentissage ») en cherchant longuement une séquence où

l’on pouvait voir le professeur et son élève en même temps.

La recherche d’une situation didactique a été longue, en effet, il

était important de trouver une situation qui me plaisait, me tenait

à cœur.

Après de longues heures de recherches, et de nombreux sites

visités, j’ai trouvé une situation didactique.

Dans le cadre d’une analyse didactique, il nous a été demandé de

rechercher une situation didactique. Cela semblait aisé en

théorie, mais dans la pratique ce sont quelques heures et un peu

de chance qui nous ont permis de trouver un document à la fois

adéquat et intéressant.

La situation didactique présentée ici a fait l’objet d’une

recherche minutieuse.

Pour trouver cette situation il m’a fallu un peu de temps.


15

Pour mon analyse didactique, il m’a fallu partir à la recherche

d’une situation à analyser, tâche qui n’a pas été des plus faciles.

J’ai choisi de prendre comme support un mini-film pour créer

mon analyse didactique. Je me suis donc tourné vers le site

YouTube pour essayer de trouver une vidéo illustrant une leçon

de surf. Après avoir essuyé de nombreux visionnages, je suis

tombé sur celle que je vais vous présenter.

La recherche d’une situation didactique n’a pas été une mince

affaire.

Un jour à force de chercher je finis par trouver cette vidéo, mais

je ne me souviens plus en quoi tapant.

J’ai trouvé cette vidéo par hasard sur le site TFL (Télé Formation

Lecture) dédié à l’université Paris 5.

Après de longues heures de recherches, et de nombreux sites

visités, j’ai trouvé une situation didactique.

Après pas mal de recherches, nous sommes donc tombé sur un

document Pdf. avec comme titre « Livret-accueil-HG2 ».

On note que les difficultés sont rarement explicitées, on ne sait que peu

de choses sur les techniques mises en œuvre, encore moins sur la

justification des techniques. Les récits livrés par les étudiants ne

permettent pas, dans la grande majorité des cas, de comprendre

précisément ce qui a été fait, comment ça a été fait et pourquoi ça a été

fait ainsi. La description des recherches réalisées se limite pour cette

population d’étudiants au schéma simplifié suivant : je vais sur Internet

(ou sur Google ou sur YouTube) et je tape des mots clés. Ce qui se passe

après semble alors être un parcours long et difficile, mais sur lequel nous

ne savons que très peu de chose. Le geste technique que les étudiants

racontent n’est que rarement accompagné d’un développement

technologique. On y retrouve ce que Chevallard constate quand il écrit

qu’« on observe même fréquemment un phénomène d’amuïssement

technologique : le discours technologique devient inaudible ; la

technologie se fait silencieuse » (p. 67).

Rares sont donc les récits d’étudiants dans lesquels une véritable

enquête peut être détectée. De ce point de vue, le travail d’un étudiant a

attiré notre attention. Le rapport de sa recherche de didactique est parmi

Caroline Ladage

16

les plus riches de l’ensemble des travaux produits. Il ne parle pas de

difficultés, mais note une série de problèmes et de frontières rencontrées

et fait part des stratégies de recherche qu’il a mises en œuvre. Voici ce

qu’il écrit :

La « quête de l’analyse didactique » ne fut pas aussi aisée que ce que je

l’avais imaginé en premier lieu. Je me suis heurté à plusieurs problèmes ;

le premier, et non des moindres, fut mon entêtement à chercher une

situation dans le domaine de la musique. Je cherchais désespérément une

master-classe de violon sur internet. En effet la probabilité que ce genre

d’événement soit filmé est plus grande que celle qu’une classe

traditionnelle ne le soit. Je pensais de plus qu’il serait intéressant de voir

des cours de professionnels qui sont à priori plus musiciens solistes

reconnus plutôt que pédagogues entraînés. Enfin, il m’est venu à l’esprit

que je pourrais profiter de cette « enquête » pour bénéficier

d’informations pouvant me servir dans mon propre apprentissage de la

musique, je ne manquais alors pas de motivation !

Cependant je m’aperçus très vite que toutes ces vidéos de master-classes

de violon, du moins celles que j’ai trouvé, étaient en Anglais et ce, même

pour des professionnels français ; ce qui n’est à priori pas un obstacle,

mais qui le devient malgré tous les traducteurs quand notre niveau anglais

est vraiment faible, et que la qualité de vidéo ne permet pas toujours

l’écoute par une oreille trop peu entraînée.

Je me suis alors lancé dans la recherche de toutes sortes d’instruments à

cordes frottées où le résultat fut soit le même, soit des extraits aguicheurs

dont le but ne fut autre que l’achat d’un DVD.

Je me résous finalement à étendre ma recherche internet à une seule

expression : « master-classe » (car après tout il n’y a pas que les cordes

frottées dans ce beau monde). Je trouvai alors facilement une vidéo d’une

master-classe de harpe d’un peu plus d’une heure ou l’enseignante

donnait un cours particulier à plusieurs étudiants à tour de rôle. Il ne me

restait alors plus qu’à visionner la vidéo et choisir le passage qui me

semblait le plus intéressant, ce qui ne fut pas aisé non plus car sur une si

longue vidéo, il y a multitude de passages se prêtant à l’analyse

didactique.


17

Alors que ce récit fournit bien un parcours d’enquête, on note ici aussi

que les techniques utilisées ne sont que très discrètement évoquées. Ce

n’est par exemple qu’à la fin du récit que l’auteur de ce texte confie s’être

résolu à « étendre [sic] sa recherche internet à une seule expression », ce

qui laisse supposer que quand il annonçait s’être « lancé dans la

recherche de toutes sortes d’instruments à cordes frottées », il a bien là

aussi réalisé des recherches sur Internet à l’aide de requêtes par mots clés

formulés sur un moteur de recherche ou sur un site de partage de vidéos.

Notons en passant que nous ne sommes pas tombée sur une master-classe

de harpe avec la seule expression « master-classe » : là encore, malgré la

longueur du récit proposé, la mise en mots opérationnelle de la technique

utilisée fait défaut.

Une dernière observation mérite d’être mentionnée : la difficulté à

trouver une situation didactique réunissant une instance étudiante et une

instance d’aide à l’étude serait pour certains davantage le fait de la

recherche dans des textes. La quête d’un support vidéo ou d’une séquence

de film a d’ailleurs été majoritairement adoptée. Plusieurs étudiants

décident de justifier ce choix : la vidéo est ainsi déclarée « plus simple »,

« plus intéressant », « plus ludique » :

Avant de me mettre à chercher ma situation didactique, j’avais

déjà opté pour l’étude d’une vidéo plutôt qu’un texte. En effet,

durant mes deux premières années de faculté, j’ai été habituée à

travailler sur des textes. Je trouvais donc plus intéressant pour

mon travail de me pencher, cette fois-ci, sur une vidéo. La vidéo

permet d’étudier correctement une situation didactique tout en

étant plus ludique qu’un texte.

Mon choix pour trouver une situation didactique c’est porter

[sic] sur une vidéo, cela me semblait plus simple de travailler sur

un support vidéo, que sur des extraits de texte.

Lors ma recherche d’une situation didactique, j’ai pu remarquer

quelques difficultés à trouver un extrait de texte adéquat, je me

suis donc dirigé vers une vidéo.

Une analyse didactique m’ayant été demandée, j’ai voulu

concentrer mes recherches sur une vidéo qui montre davantage

Caroline Ladage

18

les interactions entre deux ou plusieurs individus plutôt que sur

un texte.

Enfin si filmer soi-même a séduit plusieurs d’entre eux comme technique

pour trouver du didactique, filmer soi-même une situation didactique est

aussi regardé comme un type de tâches difficile, comme en témoigne les

extraits suivants :

Au début de ma recherche de situation didactique, il me semblait

bien plus simple de filmer moi-même une situation, plutôt que

d’en emprunter une. Malheureusement, après de longs essais

dans le lycée où j’effectue un stage, la qualité de ma vidéo était

insuffisante, et le contenu de mes situations trop ténus.

L’idée de départ était donc de travailler sur une vidéo filmée par

mes soins, mais après plusieurs essais, la spontanéité n’était pas

forcément au rendez-vous, la présence de la caméra déstabilisait.

J’ai filmé un de ses cours donnée au troisième année [sic] de

journalisme sur « l’étymologie des mots ». Ces séquences furent

riches et intéressantes. Or mon principal problème fut de

sélectionner la partie de vidéo qui me sembler la plus pertinente

pour mon analyse. Après mures réflexions et d’autres recherches

sur Internet via le moteur de recherche Youtube j’ai trouvé une

vidéo qui me semblait plus intéressante d’analyser en tapant

comme mots clé « cours de théâtre » (car je suis passionné de

théâtre) j’ai trouvé une vidéo plus courte, plus intense et plus

riche à analyser.

Certains vont ainsi jusqu’à abandonner le film qu’ils ont réalisé pour

préférer le travail filmé disponible sur Internet. On constate là la

difficulté d’être en contact direct avec la situation didactique, de capter et

ensuite de faire le choix d’une séquence traduisant l’intention didactique

et mettant en jeu de façon claire la situation didactique.

On peut se demander si la difficulté est bien du côté de l’objet recherché,

ou si le manque de techniques pour la chercher ne contribue pas à nourrir

l’idée d’une mission impossible. L’ouverture de la recherche de situations

didactiques à des supports filmés mis en ligne sur Internet contribue

certainement à améliorer la diffusion des phénomènes didactiques, à


19

condition d’être capables de les trouver, ce qui ne devrait pas toujours

aller sans reconsidérer son équipement praxéologique utile pour la

recherche d’information. À la décharge des étudiants, il faut noter que

régulièrement, les noms donnés aux séquences filmées sont loin de

traduire la spécificité du type de situation didactique recherché. Nous

pouvons voir là encore un témoin d’un déni de problématicité : le soin

d’un nommage davantage partagé des ressources mises en ligne sur

Internet ne semble pas encore être considéré comme un savoir utile à

toute personne déposant des ressources sur Internet.

3.3. La mise en œuvre d’une analyse didactique

La deuxième partie du travail demandé aux étudiants portait sur la

réalisation d’une analyse didactique de la situation trouvée. Cette section

s’intitulait Éléments d’analyse. Elle devait comporter, dans toute la

mesure du possible – ce qui dépendait des informations disponibles ou

raisonnablement conjecturables à partir du document examiné –, une

analyse construite à partir d’une liste de questions étudiée en cours, que

nous reproduisons ci-après :

0. Quelle est l’institution mandante de S(X ; Y ; ♥) ?

1. Qu’est-ce que X ?

2. Qu’est-ce que Y ?

3. Qu’est-ce que ?

4. Que font X et Y pour que X « apprenne » ?

5. Qu’est-ce que X aura-t-il pu apprendre, à court ou moyen terme, du

fait du fonctionnement de S(X ; Y ; ) ?

6. Qu’est-ce que Y et certains environnements éventuels de S(X ; Y ; )

auront-ils pu apprendre, à court ou moyen terme, du fait du

fonctionnement de S(X ; Y ; ) ?

7. Quels changements le fonctionnement de S(X ; Y ; ) a-t-il pu

apporter dans les conditions et les contraintes gouvernant son

fonctionnement ultérieur ?

Il était également précisé dans les consignes que :

Pour espérer pouvoir répondre à ces questions, on devra identifier (et

l’écrire dans l’analyse à rendre) les principaux « paquets » de conditions

et contraintes qui rendent possibles, facilitent ou au contraire interdisent

Caroline Ladage

20

(ou, du moins, gênent) la survenue de tel ou tel état des systèmes

didactiques examinés, ce pour quoi on se réfèrera à l’échelle des niveaux

de codétermination didactique qui a été étudié en cours.

Ajoutons enfin que le travail devait être rendu dans un délai de deux mois

et que les éléments théoriques utiles à la réalisation de l’analyse avaient

été étudiés avant la fin de cette période.

Nous ne pouvons étudier dans le détail le type d’analyses réalisés par les

étudiants. Nous en proposerons donc quatre traits saillants, mettant en

évidence les conditions et contraintes pesant sur l’accomplissement d’une

analyse didactique dans le cadre de l’étude du didactique à l’université.

1) Une multiplicité d’enjeux didactiques. L’étude des enjeux didactiques

identifiés par les étudiants montre une grande disparité d’objets et de

niveaux d’approfondissement analytique. Nous en livrons ci-après

quelques exemples (les expressions sont celles choisies par les

étudiants) :

langue des signes / écrire le français / s’exprimer correctement en français

/ enrichir le vocabulaire en relation avec le coin cuisine et les aliments /

réaliser un service au tennis / améliorer la technique du saut et du grand

saut en danse classique / faire du vélo sans stabilisateur / un soin en

esthétique / le grip décalé en basketball / les passage de vitesse dans une

voiture / développer la conscience phonologique / harpe (apprendre la

bonne position des doigts et l'assouplissement des poignets et du haut du

corps) / enseigner l'anglais à l'oral pour le cycle 3 / interpréter le

personnage de Phèdre / réaliser de jolis petits cupcakes pour la soirée du

nouvel an / découvrir le violoncelle / fumer de la marijuana / tenir sur une

planche à voile / la date en maternelle / le Théorème de Thalès /

apprendre à faire un poirier / cinq nouveaux enchaînements de karaté /

apprendre à ne pas avoir l’air d’être étonné / les gestes de premiers

secours / la soustraction / Human Beat Box (l'art de reproduire des sons

musicaux avec son corps et plus particulièrement avec sa bouche) / la

calligraphie / le swing en golf / les différentes parties du corps du poney /

se préparer à l’accouchement / Agir et s’exprimer avec son corps /

Interpréter de façon théâtrale un texte portant sur une femme qui a marqué

l'histoire / utiliser un thermomètre / le lancer d’un mini-boomerang…


21

Une lecture attentive permet de mesurer la difficulté pour certains à

exprimer l’enjeu didactique précis d’une séance donnée. On observe ainsi

souvent que l’enjeu est défini au niveau de l’œuvre dans sa globalité sans

que des parties ou des sous-parties de l’œuvre aient pu être repérées.

2) Une analytique du didactique avancée. La liste d’enjeux didactiques

présentée ci-dessus montre que, malgré la similitude apparente de

certains choix de situations portant sur l’apprentissage d’une même

œuvre O, ceux-ci ne portaient que rarement sur la même partie ou sous-

partie de l’œuvre. La confrontation des choix de situations de chaque

étudiant sur le forum a ainsi mis en lumière, pour certaines œuvres, une

variété d’enjeux didactiques partiels pouvant tous contribuer à l’étude

d’une œuvre O.

3) Une certaine prégnance du syndrome rétroactif. Alors qu’en cours il a

été fortement conseillé de ne pas chercher une situation dans un domaine

qui leur était familier, certains étudiants affirment spontanément dans le

récit de leur recherche s’être laissé guider dans leur choix par leur vécu

ou leur « passion » pour l’œuvre étudiée. Nous avions observé ce

comportement auprès d’un autre groupe d’étudiants de sciences de

l’éducation dans l’étude d’un dispositif d’enquête sur des questions de

développement durable, dans laquelle l’on pouvait observer que « d’une

manière générale, l’étudiant ne s’affronte ainsi qu’à ce qu’il est censé

connaître par avance : on parlera à cet égard de mode d’étude rétroactif. »

(Chevallard & Ladage, 2011, p. 335).

4) Une profondeur d’analyse inégale. Le groupe d’étudiants de master a

dans l’ensemble réalisé des analyses plus poussées que le groupe de

licence. Il faut préciser que les conditions pédagogiques du cours de

master ont largement contribué à engager les étudiants dans un mode

d’étude davantage proactif : leur nombre plus réduit (le groupe de master

comptait 24 étudiants pour 64 étudiants en licence) a favorisé les

régulations en cours. Celles-ci ont même pu déboucher sur la réalisation

collective de recherches sur Internet grâce au fait que les étudiants

apportaient leurs ordinateurs personnels. C’est ainsi par exemple que

l’analyse didactique d’une situation sur l’apprentissage du lancer d’un

mini-boomerang a engendré des enquêtes réalisées avec le groupe

Caroline Ladage

22

d’étudiants présents, passant du même coup dans l’analyse praxéologique

et permettant la découverte par certains d’une multiplicité de techniques

de lancer, pendant que d’autres étudiaient le principe de rotation en

physique.

4. Conclusion

Les résultats que nous avons obtenus grâce à cette expérience mettent en

évidence que le fait de se lancer dans un mode d’étude procognitif semble

aujourd’hui ne pas pouvoir se faire sans heurts ni sans la construction

d’un dispositif didactique particulier. Un certain nombre de difficultés

méritent d’être soulignés. Notons tout d’abord la prégnance du mode

d’étude rétrocognitif, qui fait que l’étudiant ne se lancera pas

spontanément dans la recherche d’une situation didactique dont l’enjeu

serait une œuvre dont il ignorerait tout ou presque. La pédagogie de

l’enquête mise en œuvre dans le cadre d’un atelier d’enquêtes sur Internet

avec des élèves de collège (Ladage & Chevallard, 2011), témoigne

pourtant qu’il est possible d’aborder des questions en apparence

complexes avec un public jeune.

Notons ensuite l’usage que les étudiants déclarent faire d’Internet,

montrant leur incapacité de rendre compte de façon effective de la

manière dont ils ont réalisé leur recherche, ce qui offre un témoignage de

plus à ce que nous avions constaté en 2011, à savoir qu’« il existe tout un

ensemble d’obstacles, liés plus spécifiquement à l’intégration de

“ l’univers Internet ” dans la culture dominante, qui gênent l’avènement,

la diffusion et la popularisation d’une pédagogie de l’enquête. » (Ladage

& Chevallard, 2011, p. 86)

Une dernière difficulté qui mérite d’être soulignée concerne le temps

nécessaire à l’instance d’aide à l’étude y pour accompagner les étudiants

dans la réalisation de leurs enquêtes et de leurs analyses. C’est ainsi que

la régulation sur le forum numérique du cours a certainement pu enrichir

le travail des étudiants, mais nous sommes convaincue qu’un moyen plus

opérationnel de diffusion de ce que y fait pour que x apprenne à réaliser

des analyses didactiques et praxéologiques, reste à mettre au point. Il n’en

reste pas moins qu’il est donc possible de faire découvrir à des étudiants

de sciences de l’éducation 1) qu’il y a du didactique tout autour de nous,


23

au sein de la société (et pas seulement dans les institutions scolaires

« classiques »), 2) que ce didactique tend à se dérober au regard non

didactiquement éduqué, 3) qu’il faut ainsi apprendre à le repérer, à le

voir, à l’identifier et, finalement, à l’analyser pleinement, afin même

d’avoir quelque chance d’en améliorer l’efficacité sociale.

Références

Brousseau, G. (2003). Glossaire de quelques concepts de la théorie des

situations didactiques en mathématiques.

http://daest.pagesperso-orange.fr/guy-

brousseau/textes/Glossaire_Brousseau.pdf

Chevallard, Y. (2011). Journal du séminaire TAD/IDD. Théorie

Anthropologique du Didactique & Ingénierie Didactique du

Développement. Disponible en ligne :

http://yves.chevallard.free.fr/spip/spip/IMG/pdf/journal-tad-idd-2010-

2011-7.pdf

Chevallard, Y. (2012). Didactique fondamentale. Module 1 : Leçons de

didactique. Université Aix-Marseille.

http://yves.chevallard.free.fr/spip/spip/IMG/pdf/DFM_2011-

2012_Module_1_LD_.pdf

Ladage, C. (2008). Étude sur l’écologie et l’économie des praxéologies

de la recherche d’information sur Internet. Une contribution à la

didactique de l’enquête codisciplinaire. Thèse de doctorat. Aix-

Marseille université, France.

Ladage, C. & Chevallard, Y. (2011). Enquêter avec l’Internet. Études

pour une didactique de l’enquête. Éducation & Didactique, 2(5), 85-

115.

http://daest.pagesperso-orange.fr/guy-brousseau/textes/Glossaire_Brousseau.pdf

http://daest.pagesperso-orange.fr/guy-brousseau/textes/Glossaire_Brousseau.pdf

http://yves.chevallard.free.fr/spip/spip/IMG/pdf/journal-tad-idd-2010-2011-7.pdf


http://yves.chevallard.free.fr/spip/spip/IMG/pdf/DFM_2011-2012_Module_1_LD_.pdf

http://yves.chevallard.free.fr/spip/spip/IMG/pdf/DFM_2011-2012_Module_1_LD_.pdf







1

PER autour d’une éclipse totale de soleil

Eric Laguerre

UMR EFTS, Université Toulouse 2, France

Abstract. In this research we ask the question of the mathematical modeling within the

framework of the anthropological theory of didactic. We are more specifically interested

in the modeling of problems pulled by the material reality by working within this

theoretical frame and by giving an approach of the fact that could be such a reality. We

illustrate our comments from the conception and from implementation of a PER

connected to the modeling of a total eclipse of sun then an AER intended to introduce the

notion of tangent in fourth year of high school in France.

Resumen. En esta investigación nos planteamos la cuestión de la modelización

matemática en el marco de la teoría antropológica de didáctica. Nos interesamos más

específicamente por la modelización de problemas tirados de la realidad material

trabajando en el seno de este marco teórico y dando un enfoque de lo que podría ser tal

realidad. Ilustramos nuestras intenciones a partir del concepción y a partir de la puesta en

ejecución de un PER atadoa la modelización de un eclipse total de sol luego de un AER

destinado a introducir la noción de tangente en clase de tercera en Francia.

Résumé. Dans cette recherche nous nous posons la question de la modélisation

mathématique dans le cadre de la théorie anthropologique du didactique. Nous nous

intéressons plus spécifiquement à la modélisation de problèmes tirés de la réalité

matérielle en travaillant au sein de ce cadre théorique et en donnant une approche de ce

que pourrait être une telle réalité. Nous illustrons nos propos à partir de la conception et

de la mise en œuvre d’un PER lié à la modélisation d’une éclipse totale de soleil puis

d’une AER destinée à introduire la notion de tangente en classe de troisième en France.

Eric Laguerre

2

1. Introduction :

Dans cette recherche, nous nous intéressons à la modélisation intra et

extra-mathématique au sein de la TAD puis, toujours dans ce cadre

théorique, à la modélisation du réel et plus spécifiquement celle d’une

éclipse totale de soleil avec pour visée de mettre en relation ce

phénomène avec des mathématiques enseignées au collège. Pour cela,

nous illustrons notre approche en prenant appui sur la conception puis la

mise en œuvre d’un parcours d’étude et de recherche qui est construit

dans le but, du point de vue des élèves, de tenter de s’approprier le

phénomène. Ce PER est prolongé par une activité d’étude et de recherche

ayant pour objectif d’introduire la notion de tangente en classe de

troisième.

Dans un premier temps, nous définissons la modélisation en général

en prenant appui sur la TAD et la modélisation du réel en nous appuyant

sur une approche philosophique du réel.

Dans un second temps, nous construisons puis mettons en place dans

une classe de 3e d’un collège un parcours d’étude et de recherche qui

relève de la question générale que les élèves devront se poser : vue de la

terre, pourquoi la lune peut-elle parfois cacher totalement le soleil ? Nous

nous proposons d'étudier la question de la topogénèse au cours de cette

situation de modélisation au sein d'une organisation mathématique mixte,

c’est-à-dire portant à la fois sur des questions externes aux

mathématiques et d’autres qui leur seront internes.

2. Méthodologie

Comme annoncé nous nous interrogeons au sujet de la modélisation dans

le cadre de la TAD. Nous complétons cette approche par une définition

de la modélisation de problèmes tirés de la réalité matérielle. Pour cela,

nous nous posons les questions suivantes : que pouvons-nous entendre

par modélisation dans le cadre de la TAD d’un point de vue interne et

externe aux mathématiques ? Puis nous nous demandons : quel sens est-il

possible de donner au concept de réalité ? Nous nous appuyons sur

l’approche proposée par Rosset (2000) qui se décline en termes de

situation et d’événement.

Pour ce qui est de la conception du PER, nous effectuons, en premier

lieu, une analyse a priori de la situation. Du point de vue culturel, un tel

Un PER autour d’une éclipse totale de soleil

3

PER peut-il susciter un intérêt auprès des élèves ? Quelle est l’approche

initiale des élèves au sujet des éclipses de soleil ? Nous nous interrogeons

également, tant du côté des élèves que du côté de l’expérimentateur, au

sujet des phases de modélisation des éclipses totales de soleil que nous

proposons et nous étudions plus particulièrement la question de la

topogénèse : quelle est la part de la modélisation du phénomène qui peut

être assumée par les élèves et celle qui sera prise en charge partiellement

voire totalement par l’enseignant ?

Du point de vue du contenu, quelle analyse praxéologique pouvons-nous

faire de la situation ? Quels sont les types de tâches, les tâches et les

objectifs précis alloués aux élèves ?

En second lieu, nous procédons à une analyse a posteriori de la mise en

œuvre du PER en particulier en nous interrogeant au sujet de

l’engagement des élèves dans les différents moments de l’étude.

Enfin nous cherchons à mettre en évidence l’organisation

mathématique qui serait générée par l’AER permettant d’introduire la

notion de tangente dans un triangle rectangle.

3. La modélisation dans le cadre de la théorie anthropologique

du didactique

3.1. La modélisation mathématique au sein de la TAD

Dans le cadre théorique en question, la modélisation est perçue comme

un ensemble de processus de reconstruction et d’articulation

d'organisations mathématiques de complexité croissante (ponctuelles,

locales, régionales) qui partent des raisons d'être initiales de ces

organisations qui peuvent être incarnées au départ par des modélisations

extra-mathématiques. A partir d’un certain palier, le processus de

modélisation cesse d’être décrit dans le cadre de tels modèles et se

caractérise par des liens instaurés entre diverses praxéologies (Garcia et

al., 2007).

La modélisation intra-mathématique dans le cadre de la TAD concerne

l’articulation de différents niveaux d’organisation mathématique. Même

si nous allons nous intéresser à cet aspect, notre objectif premier est

d’étudier la modélisation de problèmes tirés de la réalité qui constituent

des raisons d’être extra-mathématiques de ces organisations. Avant de

Eric Laguerre

4

parler de modélisation du réel, encore faudrait-il savoir ce que nous

pourrions entendre par réalité.

3.2. La modélisation de problèmes tirés de la réalité

Nous considérons, à l’instar de Dapueto et Parenti (1999), que la réalité

n’est pas toujours un objet ou un phénomène naturel mais qu’elle peut

être représentée sous une forme modélisée. L’idée que nous nous faisons

est le fait qu’un modèle apparaissant à un certain niveau de la

modélisation du réel constitue une nouvelle réalité. Mais nous éprouvons

le besoin de cerner un peu plus ce concept. Pour cela, nous nous orientons

vers une approche philosophique. Dans son ouvrage, Thirion (1999) cite

C. Rosset qui conçoit la réalité comme un certain niveau de notre rapport

au monde en tant qu’il est envisagé selon les catégories de l’événement et

de la situation.

Dans le cadre de notre PER, nous allons partir de raisons d'être

initiales d’organisations qui seront incarnées au départ par des

modélisations extra-mathématiques tirées de la réalité. La réalité que

nous prenons en compte est donc définie à présent selon le binôme

situation/événement.

Nous entendons par événement la donnée d’un espace, d’un temps et

d’une interprétation de faits observés. Nous comprenons le vocable

situation en tant qu’il est décrit par des objets, du matériel et des actions

menées à partir des objets et/ou du matériel. Nous précisons alors qu’une

modélisation correspond une dialectique établie entre une situation et les

événements qui lui sont rattachés et qui sont observés, et leurs

représentations respectives à travers diverses étapes qui correspondent à

autant de modèles. A partir d’une situation tirée de la réalité et

d’événements liés à ce dernier, un déplacement s’effectue de modèle à

modèle pour créer une nouvelle interprétation de la réalité initiale ou une

nouvelle réalité. Dans notre travail, la modélisation porte sur la situation

(objet/matériel/action) et/ou sur l’événement (lieu/temps/interprétation de

fait). Nous illustrons ces définitions à partir du phénomène d’éclipse

totale de soleil.


5

4. Analyse a priori du PER autour d’une éclipse totale de

soleil

4.1. Analyse culturelle et épistémologique des éclipses.

Même s’ils n’ont pas assisté à une éclipse ou même s’ils en ont encore

moins le souvenir, nous pouvons penser que l’attrait pour ce phénomène

existe chez les élèves de collège. Afin de procéder à notre analyse

culturelle, nous nous attardons tout d’abord sur le savoir à enseigner en

sciences physiques au collège puis nous nous intéressons à une approche

épistémologique du phénomène.

Les programmes de physique.

Les éclipses et la propagation de la lumière sont travaillées en physique

en 5e. En ce qui concerne la propagation de la lumière les élèves doivent

acquérir les connaissances suivantes :

La lumière se propage de façon rectiligne. Le trajet rectiligne de la lumière

est modélisé par le rayon lumineux. (BO 28 août 2008)

Ils doivent être aussi capables de faire un schéma du rayon lumineux en

respectant les conventions.

Pour ce qui est des éclipses, les connaissances sont les suivantes :

Description simple des mouvements pour le système Soleil-Terre-Lune.

Phases de la Lune, éclipses. (ibid)

Ils doivent être amenés à comprendre que la lune, éclairée par le Soleil,

diffuse de la lumière vers la Terre : la partie de la Lune que l'on voit

correspond à une phase. Les élèves doivent pouvoir :

Interpréter le phénomène visible par un observateur terrestre dans une

configuration donnée du système simplifié Soleil-Terre-Lune. (ibid)

Ils doivent concevoir que les éclipses de Soleil se produisent lorsque le

Soleil, la Lune et la Terre sont alignés dans cet ordre. Ces phénomènes ne

sont plus abordés après la 5e.

Nous pouvons conclure que les élèves de troisième sont censés savoir

qu’il y a une éclipse de soleil lorsque la lune passe entre le soleil et la

terre et que cette éclipse est totale dans un cas particulier pour lequel les

programmes ne donnent pas d’autres précisions. C’est ce cas particulier

Eric Laguerre

6

d’une éclipse totale de soleil que nous modélisons en travaillant la

situation dans le méso-espace.

Analyse épistémologique.

Une éclipse de soleil est totale lorsque plus aucun rayon du soleil ne peut

converger vers une région de la terre du fait de la présence de la lune

entre la terre et le soleil, à une certaine distance de la terre. En deçà de

cette distance, l’éclipse est totale, au-delà, elle ne l’est plus.

Du point de vue de la modélisation du phénomène en physique, il est

nécessaire de représenter les rayons de lumière et les astres. Il serait

possible de construire des situations permettant de modéliser la lumière et

les astres Terre-Lune-Soleil mais cela relève du programme de 5e. Il

serait intéressant de produire ce type de situations à ce niveau mais cela

n’est pas l’objet de notre étude. D’un autre côté, en classe de 3e, il paraît

artificiel de proposer une construction de modèles que les élèves sont

censés avoir acquis les années précédentes.

Les éclipses totales de soleil peuvent être rapprochées de la notion

d’angle de vue. Une éclipse totale de soleil se produit, après alignement

T-L-S, lorsque, depuis un endroit de la terre, l’angle de vue de la lune est

supérieur ou égal à l’angle de vue du soleil.

Du point de vue mathématique, une éclipse de soleil est totale lorsque la

terre T, la lune L et le soleil S sont alignés dans cet ordre et lorsque :

L

S

R d(T-L)

R d(T-S)

1ce qui se traduit aussi par :

SLRR

d(T-L) d(T-S). Plus

précisément, il y a éclipse totale de soleil lorsque : L

S

Rd(T-L)

d(T-S) Rou

alors : SL

RR

d(T-L) d(T-S)ce qui signifie ainsi que la tangente du demi

angle de vue de la lune est supérieure à la tangente du demi angle de vue

du soleil. Ces analyses nous incitent à transposer le phénomène du

macro-espace au méso-espace grâce à un instrument de visée qu’est la

lorgnette. L’analyse épistémologique des éclipses totales de soleil nous

montre la place importante que peuvent y trouver certains concepts

1

LR représente le rayon de la lune et d(T-L) la distance de la terre au soleil.


7

mathématiques tels que l’égalité de rapports de mesures de longueurs, les

représentations à l’échelle, les angles égaux et la définition de la tangente.

4.2. La question de la topogénèse liée la situation de modélisation

Nous savons à présent que les élèves de troisième sont censés savoir qu’il

y a une éclipse de soleil lorsque la lune passe entre le soleil et la terre et

que cette éclipse est totale dans un cas particulier non déterminé. Notre

travail consiste à étudier ce cas. Mais nous pouvons considérer d’ores et

déjà que certains modèles de la réalité physique sont difficiles à

construire par les élèves eux-mêmes.

Ces liens entre objets du monde des sensations perceptives et objets

conceptuels de la physique, pour évident qu’ils puissent paraître au

physicien, sont à construire pour l’élève. Les analyses du savoir de la

physique et les difficultés des élèves déjà connues nous conduisent à

considérer que ces liens ne sont évidents ni à construire ni à utiliser pour

décrire et/ou prédire. (Tiberghien & Vince, 2000, p.340)

Les auteurs émettent plusieurs hypothèses d’apprentissage au sujet de la

modélisation dans l’enseignement des sciences physiques.

Nous considérons que l’activité de modélisation menée par l’élève doit

mettre en jeu, pour favoriser l’apprentissage et la construction de sens :

des concepts et des règles compréhensibles ; des supports manipulables,

impliquant des représentations externes multiples ; des objets et des

événements observables avec ou sans instruments. (Tiberghien & Vince,

2000, p.342)

Dans le cadre de notre recherche, passer du macro-espace au méso-espace

pour comprendre le phénomène d’éclipse totale de soleil est une difficulté

aussi importante que celle que les auteurs cités ci-dessus mettent en

évidence dans leur article à travers le fait de rendre des phénomènes

acoustiques liés au son visibles aux élèves par une modélisation physique.

Dans les deux cas, la difficulté des apprenants réside dans le fait qu’ils

n’ont pas de représentation directement accessible du phénomène

d’éclipse ou de celui du son ce qui ne leur permet pas d’amorcer la

modélisation au plus tôt. C’est la raison pour laquelle Tiberghien et Vince

conçoivent un logiciel qui favorise l’activité de modélisation chez les

étudiants en simulant des phénomènes sonores simples. Dans le même

Eric Laguerre

8

ordre d’idée, nous montrons aux élèves le modèle du macro-espace qui

est celui de la pièce de 2 € tenue à bout de bras pour viser la lune, ce qui

n’est toujours pas probant quant à la compréhension du phénomène mais

assure la transition entre le phénomène des éclipse et le second modèle

qui suit. Nous leur proposons alors d’étudier le phénomène des éclipses

totales dans le cadre d’une situation du méso-espace qui consiste à viser

une mire avec des lorgnettes ce qui correspond à un second modèle. Ces

deux premiers niveaux de modélisation sont de la responsabilité de

l’expérimentateur. Cette idée qui consiste à penser, en sciences

expérimentales, qu’il est parfois nécessaire d’imposer à un moment ou à

un autre un modèle d’un phénomène dans le cadre d’un processus de

modélisation de ce dernier, est partagé par d’autres chercheurs :

C’est pourquoi, en général, un apport extérieur s’avère indispensable à

une étape ou à une autre du processus, apport qui non seulement guide ou

réoriente les élèves, mais modifie radicalement le cadre de leur réflexion.

Il s’agit alors de faire passer sous la gestion des élèves des modélisations

avancées par le professeur. (Johsua & Dupin, 1993, p.337)

4.3. Analyse praxéologique de la situation de modélisation

Préambules : les pré-requis mathématiques de cette situation sont les

représentations à l’échelle et le concept d’angles égaux. Les élèves ont

déjà travaillé sur les échelles en classe de 6e en mathématiques et en

technologie en 4e. Ces connaissances font partie de leur culture.

Avant d’entrer dans la situation proprement dite, les élèves auront eu à

chercher des informations sur les éclipses totales de soleil. La place nous

étant comptée, nous ne donnerons pas les détails de cette acticité mais

seulement l’esprit. Les réponses obtenues des élèves au sujet de ce

phénomène relèvent de l’idée qu’il y a une éclipse de soleil lorsque la

lune passe entre le soleil et la terre sans préciser que cette éclipse est

totale dans un cas particulier, objet de notre étude. En premier lieu, la

situation décrite succinctement ci-dessus avec la pièce de 2 € a pris place.

Elle a été suivie par un travail préalable sur les conditions de visée avec

des lorgnettes : être en face et à une certaine distance. La situation ci-

dessous du méso-espace utilisant ces lorgnettes lui a alors succédé.


9

Analyse a priori de la situation générale de visée

Le matériel : quinze lorgnettes sont construites à partir de boîtes

parallélépipédiques toutes différentes. Chacune est percée d'un trou de

visée et d'une fente. Une mire de 1,50 m est fixée sur support. Afin de

faciliter la visée qui va suivre, le milieu et les extrémités de la mire sont

représentés par trois traits et le milieu de la fente d’une lorgnette est

matérialisé par un morceau de ficelle. Ces lorgnettes sont fabriquées de

telle façon qu'à la fin de la séance apparaissent trois lieux de visées.

En ce qui concerne le type de tâches qui constitue la raison d’être initiale

(extra-mathématique), il s’agit de déterminer le lieu de visée d’un objet

avec une lorgnette.

Tâche première : déterminer le lieu de visée de la mire avec une lorgnette

donnée. Nous abordons trois techniques :

Avec les lorgnettes dans la cour, il s’agit de faire coïncider les extrémités

et le milieu de la mire avec les extrémités et le milieu de la fente de la

lorgnette. Les binômes matérialisent le lieu avec un carton identificateur.

Cette technique a été travaillée par les élèves au cours d’une séance

précédente. Pour exécuter totalement la tâche, les élèves doivent mesurer

la distance approximative des lorgnettes d’un même tas à la mire. Le

constat qu’il y a trois lieux de visées représentés par trois rassemblements

distincts de cartons doit être fait.

Avec les lorgnettes modélisées dans le micro-espace, on modélise

l’action de visée dans le micro-espace. Cela relève d’une autre tâche

secondaire (mathématique) qui est : de modéliser les lorgnettes dans le

plan. Pour cela, il faut modéliser les objets et le matériel.

Puis enfin, par anticipation, avec le calcul de la tangente de l’angle de

visée. Nous entrons alors dans l’AER qui prolonge le PER. Il s’agira,

après avoir mis en évidence de façon pratique dans le micro-espace que

certains rapports de longueurs des lorgnettes équivalentes sont égaux, de

définir la tangente et de légitimer cette définition grâce, par exemple, au

théorème de Thalès vue en quatrième. L’anticipation d’un lieu de visé

s’effectue alors par le calcul de la tangente du demi-angle de visée de la

lorgnette.

Environnement technologico-théorique : il est lié au fait que les

lorgnettes qui ont le même lieu de visée ont le même angle de visée et

Eric Laguerre

10

donc la même tangente. Mais cela fait l’objet de la modélisation qui

suivra plus tard.

En ce qui concerne l’organisation didactique, 15 binômes sont constitués.

L’objectif est de comprendre comment fonctionne la visée d’un objet

avec une lorgnette afin de l’étendre ensuite aux éclipses de soleil.

La tâche est de déterminer le lieu de visée d’un objet avec une lorgnette.

Le moment de la première rencontre avec la tâche s’est effectué au cours

d’une séance que nous ne détaillerons pas et qui a été mise en place afin

que les élèves trouvent d’eux-mêmes les conditions optimales de visée

avec une lorgnette. Ils ont collectivement pris conscience qu’il faut être

bien en face de l’objet à viser et qu’il est nécessaire de faire coïncider les

extrémités de la fente et de la mire.

Le deuxième moment de l’étude correspond à l’élaboration de techniques

de détermination d’un lieu de visée, tout d’abord dans le méso-espace, et

au premier constat à ce sujet.

Viennent ensuite l’élaboration de deux techniques dans le micro-espace

(modélisation à l’échelle, puis par le calcul).

La première revient à représenter les lorgnettes utilisées dans l’espace à

trois dimensions par un dessin plan qui constitue une modélisation qui est

loin d’être évidente. Un second écueil est en rapport avec le statut de ces

représentations. Il s’agit, dans le cadre de la modélisation proposée, de

produire un objet spatio-graphique pour lequel les imperfections de tracé

sont fondamentales contrairement aux dessins géométriques.

Dans le cadre de l’élaboration de l’environnement technologico-

théorique, il s’agit de justifier dans le micro-espace ce qu’il se passe dans

le méso-espace par superposition des lorgnettes du micro-espace. Nous

développons plus précisément cette partie dans le premier paragraphe qui

va suivre.

La seconde technique du micro-espace revient à anticiper une visée du

méso-espace par le calcul.

Enfin, l’institutionnalisation a pour objet de préciser :

- Les éléments qui, tout en ayant contribué à sa construction seront

laissés de côté. Les élèves ont gardé une trace écrite des étapes de la

modélisation des lorgnettes et de la visée dans le micro-espace puis de

l’émergence de la conjecture qui concerne l’égalité de rapports liées à


11

l’équivalence des lorgnettes, mais cela ne rentre pas définitivement dans

l’organisation.

- Les éléments qui entreront de manière définitive dans l’organisation

sont, du point de vue mathématique, la définition de la tangente et de sa

justification mathématique obtenue grâce au théorème de Thalès. Pour ce

qui est du PER, le but est de retenir qu’une éclipse totale de soleil

s’obtient avec l’alignement des trois astres mais qu’une condition de

distance doit également être vérifiée.

Analyse a priori de la représentation plane à l’échelle des lorgnettes

et de la visée

Première tâche : représenter les lorgnettes.

Seconde tâche : procéder à une visée dans le micro-espace. La mire est

représentée par un segment qui n’est pas à la même échelle que les

lorgnettes pour la même raison que celle rencontrée pour les astres. Une

autre difficulté est liée au fait que des trajets lumineux immatériels

doivent être tracés afin de matérialiser la visée dans le micro-espace.

Organisation didactique : une première phase de travail en neuf binômes

puis une phase collective sont tout d’abord mises en place en ce qui

concerne la schématisation qui doit permettre aux apprenants d’imaginer

une façon de représenter la lorgnette ainsi que les longueurs qui sont

retenues pour la modélisation ultérieure. Une fois les lorgnettes

représentées, chaque binôme procède à une visée de la mire dans le

micro-espace.

L’objectif pour les apprenants est d'aboutir à une représentation plane et à

l’échelle des lorgnettes par des rectangles en papier calque sur lesquels

sont indiqués la fente et le trou de visée. Cette représentation doit

permettre, d’une part, la matérialisation d’une visée du micro-espace et,

d’autre part, d’aboutir à une première procédure d’anticipation d’une

visée du méso-espace dans le micro-espace. Ainsi, les élèves, après

argumentation, doivent se mettre d’accord, dans un premier temps, sur le

fait qu’une représentation plane suffit et, dans un second temps, sur les

longueurs qui sont retenues pour cela. Ensuite ils procèdent à une visée

dans le micro-espace pour obtenir une première anticipation de cette

visée.

Analyse a priori de l’équivalence des lorgnettes

Eric Laguerre

12

Les neuf binômes sont conservés afin de percevoir les champs de visées

identiques par superposition des lorgnettes équivalentes. Dans un second

temps, sont également conservées consignées au tableau et pour chaque

lorgnette, les mesures des longueurs de la fente, de la longueur et de la

largeur de la lorgnette mais également celles de la mire ainsi que les

distances dans le méso-espace des trois lieux de visée à la mire. C’est à

partir de ce contexte que les élèves doivent conjecturer une seconde fois

au sujet de l’équivalence des lorgnettes.

L’analyse épistémologique des contenus mathématiques permet de dire

que les élèves doivent avoir travaillé sur l’égalité des angles et sur

l’égalité de fractions, ce qui a été fait en classe de sixième pour les angles

et dans les classes de sixième à troisième pour les fractions.

La représentation de la situation de visée doit permettre la mise en

évidence, d’une part, de l’équivalence des lorgnettes à partir de la

superposition de leur calque et, d’autre part, du fait que les lorgnettes qui

appartiennent à la même catégorie ont leurs rapports fente/longueur

lorgnette égaux. Les contraintes incitent à particulariser les lorgnettes

d’une catégorie qui sont telles que nous pouvons supposer que le rapport

peut être facilement identifié (largeur fente/longueur lorgnette = 1/10). La

définition de la tangente complète le tout.

5. Analyse a posteriori du PER

Le processus de modélisation

Evénement perceptible initial : dans la cour, (le lieu), après que tous les

binômes ont procédé à la visée en ayant marqué l’emplacement de cette

dernière (l’instant), certains élèves remarquent que les cartons

identificateurs sont regroupés en trois tas (1e interprétation perceptive du

fait : équivalence des lorgnettes) et d’autres rajoutent que des lorgnettes

différentes, sans préciser en quoi elles le sont, peuvent avoir le même lieu

de visée (2e interprétation perceptive du fait : équivalence des lorgnettes).

Ils ont procédé à la mesure de la distance de visée pour chaque tas.

Nous aurions pu nous attendre à l’apparition d’un événement

mathématique initial : dans la cour, (le lieu), après que tous les binômes

ont procédé à la visée en ayant marqué l’emplacement de cette dernière

(l’instant), certains élèves auraient pu dire que des lorgnettes de


13

dimensions distinctes peuvent malgré tout avoir la même distance de

visée (interprétation mathématique du fait : équivalence des lorgnettes),

ce qui n’a pas été le cas.

La modélisation du contexte passe par la modélisation des objets, du

matériel et des actions menées à l’aide de ces supports. Sont apparus des

modèles perceptibles du contexte matériel : quelques élèves sont tentés de

schématiser la visée dans l'espace à trois dimensions. D’autres produisent

des schémas hybrides relevant à la fois du plan et de l'espace. Mais pour

deux binômes la représentation rectangulaire plane est proposée assez

rapidement. Après échanges, les autres binômes se rangent du côté de la

représentation plane.

Finalement, dans la salle organisée en ateliers, les apprenants

représentent les lorgnettes par des rectangles à l’échelle sur papier calque

avec la fente et le trou de visée bien centrés. Il s’agit d’une modélisation

perceptible à l’échelle du matériel lié au contexte car nous modélisons

une chose effectivement visible dans le monde palpable. En effet, des

rectangles de même type percés d’un point de visée et fendus d’un

segment représentant les lorgnettes dans le plan peuvent aussi apparaître

dans le contexte matériel si nous procédons à une découpe en long des

lorgnettes parallélépipédiques suivant le plan défini par le trou et la fente.

Pour pouvoir matérialiser la visée dans le plan, les élèves tracent le

champ de visée de leur lorgnette. Le modèle à l’échelle du matériel en

rapport avec le contexte initial est ici imaginable car les champs sont

réels mais impalpables dans le contexte initial.

Après avoir modélisé une lorgnette et son champ de visée, l’action de

visée d’une mire est modélisée, ce qui correspond à un modèle

imaginable du contexte (action). Dans le plan, les milieux de la mire et de

la fente sont placés sur la bissectrice de l’angle de visée et leurs

extrémités respectives sont situées sur les côtés de cet angle. C’est un

premier exemple qui illustre le fait que la modélisation constitue une

interface entre deux interprétations de la réalité. Ce rôle de médiation est

en effet apparent grâce au lien établi entre, d’une part, le fait qu’il fallait,

pour viser correctement dans la cour, être de face et que les extrémités et

les milieux des deux objets devaient coïncider et, d’autre part, l’idée que

Eric Laguerre

14

dans le modèle, les extrémités et les milieux en question se situent

respectivement sur la bissectrice et les côtés de l’angle de visée.

Le modèle imaginable du contexte correspond à une nouvelle réalité et

donne lieu à l’apparition d’un événement perceptible dans cette nouvelle

réalité : dans la salle de classe (lieu), après avoir représenté les lorgnettes

à l’échelle sur papier calque (instant), les élèves constatent d’eux-mêmes

par superposition des calques la coïncidence de cinq angles. Les objets

sont ici dans l’espace physique et sont manipulés de façon pratique ce qui

génère le fait que les validations sont perceptives. Elles permettent la

mise en place de la modélisation de l’événement initial. L’événement

perceptible précédent peut aussi être interprété comme étant un

événement imaginable dans le modèle lié à l’événement initial : dans la

salle de classe (lieu), après avoir représenté les lorgnettes à l’échelle sur

papier calque (instant), les élèves constatent que l’équivalence des

lorgnettes correspond au fait qu’elles ont le même champ de visée. (1ère

interprétation « imaginable » dans le modèle du fait « équivalence des

lorgnettes »). Il s’agit d’un deuxième exemple qui permet de stipuler que

la modélisation est une interface entre un événement lié au modèle

(même champ de visée) et un autre en rapport par exemple avec le

contexte initial (équivalence des lorgnettes).

Mais nous avons vu que le contexte des lorgnettes constitue également

un modèle. Aussi, c’est par des allers et retours entre différents méta-

niveaux d’interprétation de la réalité, dont les divers modèles sont une

des composantes, que la modélisation se met en place. Un tel événement

peut être rattaché à une interprétation mathématique d’un fait perceptible

: dans la salle de classe (le lieu), après avoir énoncé que les champs de

visée sont équivalents (l’instant), des élèves ont dit « Les lorgnettes

équivalentes ont des angles de visée égaux » (2e interprétation

mathématique d’un fait perceptible). C’est le troisième exemple qui nous

permet de dire que la modélisation est une interface entre différents types

d’interprétations de la réalité car un retour au contexte initial est

important si nous voulons que l’idée de l’équivalence de deux lorgnettes

en termes de champ de visée soit dépassée. C’est ce qui s’est produit :


15

Exp : « A partir de ce travail sur feuille, vous êtes arrivés à la

conclusion que des lorgnettes équivalentes avaient des angles de visée

égaux. Mais dans la cour, en quoi les lorgnettes sont-elles différentes ? »

Elèves C : « C’est toutes des boîtes mais elles n’ont pas les mêmes

longueurs ».

Exp : « Exactement. Mais malgré tout, est-ce qu’il n’y aurait pas

quelque chose qui serait conservée par rapport à ces mesures de

longueurs des lorgnettes équivalentes ? »

Elève : « L’endroit de la visée, c’est une longueur ».

Exp : « Oui, c’est une distance par rapport à la mire. Les lorgnettes

sont différentes du point de vue de leurs dimensions mais on voit que du

point de vue du lieu de visée elles peuvent avoir le même. N’y aurait-il

pas quelque chose de constant par rapport à certaines dimensions ? Pour

vous aider, j’ai gardé au tableau les longueurs que vous avez retenues.

J’ai mis les longueurs des lorgnettes à 5/100e près »

Les dimensions n’ont pas été effacées du tableau :

Tableau 1. – Dimensions des quinze lorgnettes avec répartition par

groupe.

Elèves B : « La taille de la fente c’est la longueur divisée par 10. »

Exp : « Est-ce que c’est vrai tout le temps. »

Elève B : « C’est pour le groupe B que ça se voit. »

Exp : « Et pour les autres groupes ? »

Après un certain temps :

N° lorgnette 1 2 3 4 5 6 7 8

Largeur fente 2,75 6,1 1,55 5,2 6,4 2,55 4 3,5

Longueur 27,5 18,3 15,5 15,7 19,2 16 25 22

Largeur 19 11,5 13 9,5 7,5 13 9 14,5

Catégorie B C B C C A A A

N° lorgnette 9 10 11 12 13 14 15

Largeur fente 7,7 1,8 3 4,2 2,5 1 1,3

Longueur 23 18 19 12,7 25 12,5 13

Largeur 8,5 12,5 12 9,5 9,5 13 9

Catégorie C B A C B A B

Eric Laguerre

16

Elèves groupe B : « Quand on divise la longueur de la lorgnette par

celle de la fente pour les A on trouve toujours à peu près 6,25. »

Exp : « Et pour le groupe C ? »

Elèves groupes C : « …On trouve presque trois à chaque fois. »

Evénement mathématique dans le modèle lié à l’événement initial :

dans la salle de classe (le lieu), après avoir énoncé que les champs de

visée sont équivalents (l’instant), des élèves finissent par dire : « Quand

on divise la longueur d’une lorgnette par la fente de la lorgnette on trouve

à peu près la même chose pour des lorgnettes équivalentes.» (3e

interprétation mathématique d’un fait perceptible). Une fois cette étape

franchie, nous poursuivons la modélisation du contexte et d’événements

initiaux mais dans le cadre des mathématiques puisqu’il s’agit alors de

définir un nouvel objet : la tangente d’un angle (confer AER) et de

vérifier par le calcul l’égalité des angles de visée pour des lorgnettes

équivalentes pour finalement parvenir à anticiper une visée à partir des

caractéristiques d’une lorgnette (mesures de la longueur et de la fente par

rapport à la distance de visée et à la longueur de la mire). La justification

du fait que nous travaillons avec des triangles rectangles a été trouvée par

un binôme « On vise de face donc c’est perpendiculaire. » Nous sommes

au niveau de la modélisation théorique obtenue à l’aide de modèles ne se

référant plus au contexte initial et pour laquelle les événements, détachés

de la situation de départ, sont mathématiques.

Un retour dans le macro-espace a eu lieu.

Exp : « Avec ce que nous venons de faire durant toutes ces séances,

comment expliquer le phénomène d’éclipse totale de soleil ? »

Elèves : « Voir la tangente de l’angle, voir si c’est la même. »

Exp : « Oui, nous allons calculer quoi alors ? »

Elèves : « Le rayon sur la distance à la terre. »

Exp : « Le rayon de quoi ? »

Elèves : « Le rayon de la lune puis le rayon du soleil. »

Exp : « Sur la distance à la terre de quoi ? »

Elèves : « De la lune puis ensuite du soleil. »

Les élèves ont procédé aux calculs en question.


17

6. Analyse a priori de l’AER

A partir de schémas de visée dans le micro-espace produits par les

élèves, nous définissons la tangente. Dans le triangle AOB rectangle en

B, la tangente de l’angle AOB qui est le demi-angle de visée est égale,

par définition, à : tan (AOB) = AB/OB

Figure 1. –La tangente dans cette figure

L’an dernier, en classe de quatrième, les élèves ont abordé le cosinus

d’un angle dans un triangle rectangle. Dans un triangle ABC rectangle en

B le cosinus de l’angle A est égal à la longueur du côté adjacent à l’angle

A sur la longueur de l’hypoténuse. Soit encore : cos A = AB/AC. Nous

allons avoir à présent une nouvelle définition : dans un triangle ABC

rectangle en B la tangente de l’angle A est égale à la longueur du côté

opposé à l’angle A sur la longueur du côté adjacent à l’angle A.

Autrement dit : tan A = BC/AB (figure 2). L’objectif est de démontrer

maintenant que cela est indépendant du triangle rectangle choisi dans la

figure 3. Les élèves ont abordés en 4e le théorème de deux droites

sécantes coupées par deux droites parallèles qui permet décrire : AM/AB

= AN/AC = MN/BC. Si nous gardons l’égalité AM/AB = MN/BC on

obtient BC/AB = MN/AM. Au niveau de l’organisation mathématique

que nous pouvons considérer comme étant régionale, la tangente est

légitimée par le Théorème de Thalès qui lui est démontré grâce au

théorème des milieux dans un triangle puis appliqué à un trapèze, au

moins dans le cas rationnel. L’idée est de montrer aux élèves que dans le

cas irrationnel, comme dans un rapport de 2 pour lequel les élèves

savent et ont même démontré qu’il ne s’agit pas d’un rationnel, la

démonstration doit être admise. Le théorème des milieux est démontré à

partir de propriétés du parallélogramme qui sont elles mêmes déduites de

propriétés de la symétrie centrale. Il est évident que le cosinus pourrait de

même être légitimé avec le théorème de Thalès, mais ce dès la 4e.

Figure 2. –La tangente dans un triangle rectangle

O

C

A

B

A C

B M

N

Eric Laguerre

18

7. Conclusion

Nous pouvons mettre en évidence deux approches de la modélisation.

D’une part en termes d’organisation praxéologique et, d’autre part, en

termes de production de modèles concrets d’objets et d’actions menées

avec ces objets.

Au départ, la détermination du lieu de visée de la mire avec une lorgnette

en travaillant dans la cour relève d’une organisation ponctuelle. Puis

ensuite, nous sommes passés à la modélisation du matériel et des actions

dans le micro-espace, ce qui relève d’autres tâches et d’un autre

environnement technologico-théorique. Nous sommes au niveau local.

Puis par le calcul de la tangente et l’insertion de cette notion dans une

organisation plus vaste, nous arrivons au niveau régional. En mettant en

évidence la place de la trigonométrie, dans l’édifice, nous parvenons à

une organisation globale.

La modélisation au sein de la TAD relève aussi des passages en va et

vient du bloc pratico-technique au bloc technologico-théorique. Une

partie des techniques (modèle à l’échelle, visée par superposition des

calques) peuvent servir d’appui à la technologie pour voir par exemple

que certains rapports sont égaux.

Références

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Liste des éditeurs (Éds) Parcours d’étude et recherche dans l’école secondaire: une étude longitudinale (pp. xx-yy) IVe congrès international sur la TAD (Toulouse, 21-26 avril 2013) Axe 3. Entre visite des œuvres et questionnement du monde Maison d’édition, année

Parcours d’étude et de recherche dans l’école secondaire : une étude longitudinale

Viviana Carolina Llanos Núcleo de Investigación en Educación en Ciencia y Tecnología

(NIECyT), Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires (UNCPBA), 2Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y

Técnicas (CONICET), Argentina

María Rita Otero1,2 y María Paz Gazzola1 1Núcleo de Investigación en Educación en Ciencia y Tecnología

(NIECyT), Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires (UNCPBA), 2Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y


Abstract. This research presents some results of introducing a research and study courses (RSC) at the secondary school in Argentina. In this communication the mathematical organization of reference (MOR) and the results obtained along a longitudinal study, both are described. The characteristics of the mathematical organization reconstructed with relation to the mathematical activity that is developed in the RSC, is analyzed. Résumé. Cette recherche présente quelques résultats d’introduire un parcours d'étude et recherche (PER) dans l´école secondaire Argentine. Dans cette communication nous décrivons l'organisation mathématique de référence (OMR), et les résultats obtenus le long d'une étude longitudinale. Nous analysons les caractéristiques de l'OM reconstruite par rapport à l'activité mathématique qui se développe dans le PER. Resumen. Esta investigación presenta algunos resultados de introducir un recorrido de estudio y de investigación (REI) en la escuela secundaria en Argentina. En esta comunicación se describe la organización matemática de referencia (OMR), y los resultados obtenidos a lo largo de un estudio longitudinal. Se analizan las características de la OM reconstruida con relación a la actividad matemática que se desarrolla en el REI.

Viviana Carolina Llanos, María Rita Otero y María Paz Gazzola

1. Introduction Dans ce travail on présente des résultats d’une recherche qui essaie d’introduire d’une manière locale et expérimentalement contrôlée, la pédagogie de l’enquête et du questionnement du monde (Yves Chevallard, 2004, 2011, 2012) dans les classes habituelles de l’école secondaire en Argentine, au moyen du développement de PER (Chevallard, 2009).

On a proposé un PER, en partant de la question génératrice Q0 : comment effectuer des opérations avec n'importe quelles courbes, si l’on connaît seulement leur représentation graphique et l'unité sur les axes ? L'élaboration d'une réponse à cette question engendre des parcours qui permettent une couverture relativement complète des programmes des trois dernières années de l'école secondaire en Argentine (14-18 ans). Dans l'Annexe I nous avons placé le programme d'étude de 4éme, 5éme et 6éme Anée, en particulier les blocs Algèbre et Étude des Fonctions et Géométrie et Algèbre d'où quelques notions fondamentales sont récupérées dans le développement de même.

On décrit ici les questions possibles dérivées de Q0, et les réponses obtenues dans la dernière partie du parcours pour la question : Comment effectuer le quotient des fonctions polynômiales, si l’on connaît seulement leur représentation graphique et l'unité sur les axes ? La réponse Qd permet de reconstruire l’OM des fonctions rationnelles (María Rita Otero, Viviana Carolina Llanos, María Paz Gazzola, 2012).

Le travail essaie de répondre aux questions : Quelles organisations mathématiques pourrait-on reconstruire dans le PER proposé ? Quelles caractéristiques des fonctions rationnelles liées à l’organisation de référence, ont été possibles de reconstruire? Quelles sont les caractéristiques de l’activité mathématique dans le PER développé ?

2. Méthodologie On a développé une étude exploratoire longitudinale, qualitative et ethnographique pour introduire un PER dans des classes de l’école secondaire obligatoire en Argentine, dans un contexte particulier. Il s’agit

2

PER dans l’école secondaire : une étude longitudinale

d’une étude longitudinale pendant deux ans consécutifs, avec les mêmes étudiants.

Description du contexte L’éducation secondaire en argentine a une durée de six ans. En raison des caractéristiques de la question génératrice, ce parcours s’est développé dans les trois dernières années. Le PER pourrait couvrir partiellement le programme des trois dernières années du secondaire (4e, 5e et 6e année). Notre recherche a commencé au début de la quatrième année du secondaire et a continué pendant l'année suivante, c'est-à-dire pendent la cinquième année. Le projet a été réalisé avec deux cohortes, dans la première, il y avait 59 étudiants qui ont tous terminé l’année. Dans la deuxième cohorte, 56 étudiants ont commencé et 53 ont terminé. Dans les quatre mises en œuvre réalisées, 112 étudiants ont participé à l’étude longitudinale. Ils ont travaillé en groupes de quatre personnes au maximum, et il y avait huit groupes dans la même salle. Les groupes n’ont pas été formés par l’enseignant, par contre, chaque étudiant devait choisir ses collègues de travail dans la salle. Toutes les mises en œuvre ont été développées par les enseignants de l’équipe de recherche.

Sur la collecte et l’analyse des données Les protocoles écrits de chaque étudiant ont été recueillis dans toutes les classes. Les classes ont été enregistrées en audio, parce que les enregistrements vidéo sont interdits par les autorités scolaires. Des prises de notes en classe ont été réalisées par les observateurs.

3. Analyse a priori et introduction du PER dans la classe Le PER part de la question la génératrice Q0 : comment effectuer des opérations avec n'importe quelles courbes si l'on connaît seulement leurs représentations graphiques et l'unité sur les axes ? (M. R. Otero, V. C. Llanos, 2011). L'analyse a priori des questions possibles dérivées de Q0, par rapport aux opérations et aux courbes, a montré que Q0 permettrait de reconstruire les caractéristiques principales des fonctions algébriques. Ainsi, on a proposé une organisation praxéologique de référence, composée de quelques OML que l’on pourra rencontrer pendant le parcours, et de plus, ces organisations font partie du curriculum des trois dernières années de l’école secondaire en Argentine (voir figure 1).

3


4

Les différentes OM invoquées par la même question Q0, seront à la fin déterminées par le choix des courbes et de l'opération à réaliser entre elles, quand on connaît seulement la représentation graphique des courbes et l'unité sur les axes. Les OM reconstruites ont ainsi été établies à partir des courbes et des opérations que les étudiants ont choisies.

Figure 1. Représentation des OM possibles

Parmi les réponses données par les étudiants à Q0 prédominent principalement les opérations : adition, soustraction, produit, quotient, racine et puissance avec des droites. Ainsi, selon le choix des élèves, des OM différentes sont relatives à :

ÉTUDE DE FONCTIONS

OM fonctions exponentielles

Qii: MULTIPLICATION Qiii: QUOTIENT Qiv: PUISSANCE

FONCTIONS ALGÉBRIQUES

Qi: SOMME / RESTE

OPÉRATIONS AVEC COURBES

OM asymptotes

OM fonctions symétriques et antisymétriques

OM fonctions rationnelles

OM fonctions polynomiales de deuxième dégrée

construction géométrique de n'importe quelle courbe

Q0: commente effectuer des opérations avec n'importe quelles courbes, s’on connaît seulement sa représentation

graphique et l'unité sur les axes?

Qv: RACINE

OM fonctions potentielles

OM fonctions aux tronçons

OM fonctions polynomiales du premier degré

OM fonctions constantes

OM limite

Opération et

géométrique, graphique fonctionnelle.

OM triangles semblables

OM Théorème deTales

OM fonctions trigonométriques

OM fonctions logarithmiques

FONCTIONS TRANSCENDANTES

Opération algébrique

EQUATION ET INEQUATION

dans chaque

et

fonction algébrique

OM opérations avec fonctions

OM fonction valeur absolue

OM fonction partie entière

OM fonction signe

OM fonctions homographiques

OM fonctions radicales

OM fonctions polynomiales


- l’adition et la soustraction entre des droites, qui permet de reconstruire l'OM des fonctions polynomiales de premier degré ou constantes ; - la multiplication de deux droites, qui permet de reconstruire l'OM des fonctions polynômiales du deuxième degré ; - la multiplication de trois droites, ou des paraboles et des droites, ou entre paraboles, qui permet de reconstruire l'OM des fonctions polynomiales ; - la division entre des fonctions polynomiales qui permet de reconstruire l'OM des fonctions rationnelles.

En particulier, la multiplication de deux droites conduit à l'OM des fonctions polynomiales du deuxième degré, qui se trouve dans le programme d’études de la 4e année. D'autres possibilités comme la multiplication de plus de deux droites ou la division qui est aussi proposée par les étudiants comme réponse à Q0, s'étudieront plus tard. L'addition et la soustraction des droites ne sont pas considérées, parce qu'elles conduisent aux notions connues par les élèves, puisque les fonctions affines, constantes et linéaires sont déjà étudiées auparavant. Dans cette recherche, l'OM des fonctions polynomiales du deuxième degré, l'OM des fonctions polynomiales et l'OM des fonctions rationnelles se sont retrouvées dans cet ordre, bien qu'il s'agisse de possibilités parmi d'autres dans le parcours proposé. Dans la figure 2, on peut voir les parcours qui ont été générés dans la classe à partir de la question Q0 :

5


6

Figure 2. Les PER développés

Le PER développé dans ce cas, répond aux questions dérivées de Q0 : Q1, Q2 et Q3. Les techniques développées dans une partie du parcours peuvent s’étendre dans d’autres parties. On décrit tout de suite quelques résultats de la dernière partie du PER (P3) relative à l’étude du quotient des fonctions polynomiales ; qui permet de reconstruire l’OM des fonctions rationnelles. La première partié du PER (P1) a été analysée dans V. C. Llanos y M. R. Otero (2013). La deuxième (P2) est brièvement décrit ensuite.

3.1. P2: L’OM des fonctions polynomiales

Dans la deuxième partie du PER, l’activité est générée par Q2 : Comment effectuer la multiplication de plus de deux droites ou de droites et de paraboles ou de paraboles, si l'on connaît seulement leur représentation graphique et l'unité sur les axes ? On peut construire les courbes à partir des droites et des paraboles que l’on propose de multiplier, et les caractéristiques de p sont construites en utilisant des techniques développées par les étudiants pendant l’année précédente.

Les fonctions f, g et j ou f et h sont données par les graphiques de la figure 5. La fonction p est telle que : , ou jgf ⋅⋅=p p hf ⋅=

OMFPD OMFP OMFQ

Q1: Comment effectuer la multiplication de deux droites, si l'on

connaît seulement sa représentation

graphique et l'unité sur

Q2: Comment effectuer la multiplication de plus de deux

droites ou droites et des paraboles ou des paraboles, si

l'on connaît seulement sa représentation graphique et

l'unité sur les axes?

Q3: Comment effectuer la division entre des

fonctions polynomiales, si l’on connaît seulement

ses représentations graphiques et l'unité sur

les axes?

OMFP Fonctions

polynomiales

OMFPot. Fonctions

potentielles

OMFL Fonctions polynomiales du premier degré

OMFQ Fonctions

rationnelles

OMFPD Fonctions

polynomiales de deuxième degré

OMOGC Opérations géométriques avec n'importe quelle courbe

OMFC Fonctions constantes

Q0: Comment effectuer des opérations avec n'importe quelles courbes, si l’on connaît

seulement sa représentation graphique et l'unité sur les axes?


7

Figure 5. Graphiques des courbes f, g, j et h

a) Quels sont les ponts sûrs et les signes de p ?ble pour p ? Quelles

tialement basée

gure 6) illustre l’utilisation des tec

b) Quelle serait le graphique le plus probacaractéristiques du graphique de p pourrais-tu justifier ? Pour répondre à Q2 les élèves continuent avec l'étude inisur les points sûrs : les zéros, « les uns », « les uns négatifs ». Au préalable, ils analysent le signe du produit - en employant le zéro - cette action est très utile pour ceux-ci quand ils essaient d'obtenir la courbe de p. Les élèves reprennent de l'année antérieure la technique du calcul géométrique pour obtenir des points de la courbe qui ne sont pas liés aux points remarquables ou aux multiples de l'unité. Ainsi la deuxième partie du PER, P2, est basée sur une généralisation de techniques développées dans la première partie (P1).

Le protocole de l’élève A11 (voir fihniques construites auparavant. La reprise de la technique pour obtenir

des points pour n’importe quelle abscisse, permet aux élèves d’analyser le comportement des branches infinies de p. Il est évident que la puissance des techniques géométriques pour obtenir n’importe quelle courbe résulte d’autres techniques déjà connues.


Figure 6. Protocole de l’élève A11.

En reprenant Q0, on a posé aux étudiants le problème d’effectuer la division entre les fonctions polynomiales, si l’on connaît seulement leurs représentations graphiques et l'unité sur les axes (M. R. Otero, M. P. Gazzola, V. C. Llanos, 2012). Dans ce travail on décrit principalement des résultats obtenus dans la dernière partie du PER relative à l’OM des fonctions rationnelles.

8


3.2. P3: l’OM des fonctions rationnelles

Dans la troisième partie du PER, P3, on étudie la question dérivée de Q0, Q3 : Comment effectuer la division entre les fonctions polynomiales, si l’on connaît seulement leurs représentations graphiques et l'unité sur les axes ? (Otero, Gazzola, Llanos, 2012)

L’accent est mis sur l’obtention d’une courbe acceptable pour q, où

rpq = et p et r sont des polynômes avec . Dans les deux cas on

cherche à construire un graphique pour les fonctions rationnelles q en partant des questions introduites par l’enseignant :

0≠r

Les fonctions f, g et h sont données par les graphiques de la figure. La fonction q est telle que : ou respectivement.

gfq =

hfq =

y f

x 1

1

h

1 1

f

x

g

y

Figure 7. Représentation graphique des courbes f, g et h

(a) Quelle serait le graphique le plus probable pour q? (b) Quelles caractéristiques du graphique de q pourrais-tu justifier? (c) Est-ce- que q est une fonction? Les étudiants obtiennent une courbe pour q, ils identifient les points sûrs et les signes de q en utilisant les zéros, l’intersection des fonctions représentées ; les points où l’ordonnée prend la valeur 1. Pour obtenir d’autres points ils adaptent et modifient pour le cas du quotient, la technique qu’ils maîtrisent déjà pour la multiplication. De plus, ils sont arrivés à la nécessité d’analyser une caractéristique fondamentale des fonctions rationnelles : le cas où le diviseur prend la valeur zéro. Ils identifient ces points et ils analysent le comportement de la fonction et de son graphique pour les points proches du « zéro du dénominateur ». Ils considèrent aussi le cas où le dividende et le diviseur prennent la valeur zéro simultanément, ce qui permet entre autres choses, d’étudier

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l’existence de q et de ses asymptotes. Le graphique qu’ils ont pu construire correspond à la représentation graphique d’une fonction rationnelle, si l’on exclut du domaine les valeurs qui annulent le dénominateur. Dans le cadre analytique, ils étudient des caractéristiques des fonctions rationnelles, en adaptant les techniques pour les fonctions polynomiales qu’ils connaissent déjà.

Les OM possibles dérivées de Q3 sont résumées dans la figure 8.

( ) ( )( )xjxpxq = , p(x) y j(x)

fonctions polynomiales, j(x)≠0

Représentation graphique Représentation analytique

Q3.1: Quelle serait la graphique plus raisonnable

qui résulte d´effectuer le quotient entre des fonctions

polynomiales, si l’on connaît seulement ses

représentations graphiques et l'unité sur les axes?

Q3.2: Quelle est la représentation analytique qui résulte du quotient de fonctions polynomiales?

Q3.1.1: Quelles caractéristiques de q est-il possible reconstruire ?

- C+ y C-

- Points remarquables - Construction géométrique de n'importe quel point de q - Domaine et image - Indétermination

Q3.1.1.2: Quels sont les zéros de q ?

Q3.1.1.1: Quels sont les signes de q ?

Équations et inéquations rationnelles

- Asymptotes verticales - Asymptotes horizontales - Asymptotes obliques - Points de discontinuité

Q3.2.3: Comment faire des opérations avec des

fonctions rationnelles? Q3.2.2: Comment calculer

les asymptotes?

Q3.1.1.3: Qu'est-ce qui passe dans les points dans lesquels il n'est

pas possible de réaliser le quotient ?

Q3.1.2: Quelle est la graphique plus raisonnable

qui résulte de réaliser le quotient entre droites ?

Calcul de limites - Limites latérales - Limite dans un point - Limite dans l'infini - Limites indéterminées

Q3: Comment effectuer la division entre des fonctions polynomiales, si l’on connaît seulement ses représentations graphiques et l'unité sur les axes?

OM fonctions rationnelles

OM fonctions homographiques

OM Asymptotes

Q3.2.1: Pourquoi j(x)≠0?

OM opérations avec fonctions rationnelles

OM limite

Figure 8. Description des questions dérivées et des OM que l’on peut rencontrer dans le

PER

L’étude de l’Organisation Mathématique des Fonctions Rationnelles (OMFQ) commence par le quotient des courbes des fonctions polynomiales. La figure 9 montre comment l’élève A68 a adapté les

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techniques pour multiplier des courbes, au cas du quotient entre des fonctions polynomiales. Il a construit q à partir des signes, des points remarquables et de l’intersection des courbes ; il a pris aussi les cas où le dénominateur prend les valeurs 2 ou 4, pour trouver en utilisant la médiatrice des segments, la moitié, le quart, etc. L’étudiant A68 a analysé et adapté la technique qui permet de construire un point ayant une ordonnée quelconque à la courbe de q. Ce protocole a été choisi pour mettre en évidence que les étudiants peuvent récupérer toutes les techniques déjà étudiées, les réadapter, et utiliser seulement celles qui sont pertinentes dans la situation étudiée. La classe a analysé le cas où le dénominateur prend la valeur zéro, en donnant comme conclusion que le graphique de q n’avait pas une ordonnée déterminée. Ce problème a été repris et approfondi dans le cadre analytique.

Figure 9. Protocole de l’élève A68

Le problème antérieur est repris dans le cadre analytique pour étudier les caractéristiques des fonctions rationnelles, quand l’on connaît les coordonnées sur les axes et quand il est possible d’obtenir une représentation algébrique de q.

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L’étudiant A61, a trouvé les représentations algébriques de f et g et de

gfq = et de

fgr = . Ainsi, il a pu obtenir les points ayant n’importe

quelle ordonnée pour q, les équations des asymptotes verticales (en analysant les zéros du dénominateur) et les asymptotes horizontales (en utilisant l’algorithme de la division et en évaluant des valeurs de la fonction q avec de très grandes valeurs des abscisses). Cela a permis aux étudiants de mieux comprendre et de mieux préciser le comportement de la courbe et d’obtenir une représentation graphique plus précise, comme le montre la figure 10.

Dans le cas du quotient entre une parabole et une droite, les étudiants ont aussi utilisé l’algorithme de la division et ils ont trouvé des asymptotes obliques, mais, seulement d’une manière graphique. Dans les expérimentations réalisées, le parcours n'a pas été orienté vers l'OM de la limite pour calculer les asymptotes, même quand les étudiants ont posé le problème des asymptotes, après avoir analysé les caractéristiques des courbes rationnelles. Il s’agit d'une difficulté du côté de l’enseignant pour mener la dialectique du sujet et du hors-sujet, reconnue a posteriori. L’enseignant devait accompagner les étudiants, au lieu de stopper leurs initiatives ; mais, il ne l'a pas fait, il n’a pas pris le risque d’aller explorer l’OM des limites, ou le risque de s’engager dans tel chemin ouvert par telle question sur les asymptotes, il a eu peur de « perdre le contrôle » de la classe et de dilater le temps scolaire, avec ses conséquences pour l'accomplissement du programme scolaire. Cela est arrivé, même quand l’enseignant était aussi le chercheur, qui avait analysé au préalable le potentiel de la situation. Cependant, il a choisi de continuer avec les opérations concernant les fonctions rationnelles, au lieu d’aborder l'OM des limites..

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Figure 10. Protocole de A61

Dans la dernière partie du parcours, ont été étudiées les opérations avec des fonctions rationnelles. Les étudiants ont construit et ont justifié des techniques pour réaliser l’adition, la différence, la multiplication et la

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division avec des fonctions rationnelles en utilisant des analogies avec les techniques employées pour réaliser les opérations avec des fractions.

Au préalable, quand ils ont étudié la multiplication de deux droites, les étudiants sont partis de la forme factorisée en obtenant tout de suite les formes polynomiale et canonique. De la même manière, dans la deuxième partie du parcours, les étudiants ont trouvé initialement la représentation analytique des fonctions polynômiales dans la forme factorisée (par le fait de commencer par le produit des courbes) et tout de suite ils ont trouvé l'expression générale développée. Cela permet non seulement d'étudier en donnant du sens, des formes différentes pour représenter la même fonction ; mais aussi pour établir des liens forts entre les représentations analytiques et graphiques. Le fait de commencer par les expressions factorisées semble avoir contribué aux résultats obtenus à la fin du parcours, surtout par rapport au travail des techniques de simplification et des opérations avec des fonctions rationnelles et ses propriétés. Les résultats obtenus à la fin du parcours sont soutenus par les constructions faites tout au long des deux ans du PER. L'étude des questions dérivées de Q3 relatives au quotient de courbes a permis :

- d’obtenir le graphique de q en utilisant la technique du calcul géométrique, - d’identifier les points remarquables, les signes, et analyser le comportement de la fonction dans les points proches des asymptotes verticales, horizontales et obliques.

Dans le même temps il a été possible de construire des représentations équivalentes pour q au moyen du calcul algébrique du quotient de polynômes. Toutes les caractéristiques qui ont été obtenues dans la dernière partie du parcours, résultent d'une adaptation des techniques utilisées auparavant. Cela justifie l'importance du développement d’un PER pour les mêmes étudiants, pendant deux ans consécutifs.

4. Quelques conclusions partielles Dans cette recherche a été développé un PER finalisé, mono disciplinaire et viable dans le contexte de l'enseignement secondaire en Argentine. Le parcours a permis de retrouver des différents OML à partir de Q0, lesquels se trouvent dans le programme d'étude de l'école secondaire : des

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fonctions polynomiales de deuxième degré, des fonctions polynomiales et des fonctions rationnelles.

Pour faire la mise en œuvre dans la classe, il a été nécessaire d'introduire des gestes de la pédagogie de l’enquête et du questionnement du monde, complètement différents de l'activité habituelle des élèves, on a rencontré des difficultés surtout au niveau de la topogenèse et de la chronogenèse. Si l’on considère la redistribution des responsabilités adoptée par l’enseignant et les élèves dans la classe, il existe entre la première et la troisième partie du PER des différences remarquables. Au commencement, les étudiants avaient une attitude nettement retro cognitive, ils se refusaient à faire face aux questions, mais peu à peu et progressivement, ils ont assumé ces « nouvelles » responsabilités. L’enseignant a reçu des demandes constantes, parce que selon les critères des élèves, il devait leur expliquer, et il ne le faisait pas. L’attitude persévérante de l’enseignant et la négociation avec les étudiants, pour garantir aux élèves qu’il n’y avait pas de risques avec cette nouvelle manière de travail pour leur réussite scolaire, ont permis de réduire l'opposition initiale. Qualitativement, il est possible d'affirmer qu'au bout de deux ans, les étudiants n'ont plus peur de faire face aux questions.

Cette expérience s’est déroulée sur une longue durée, pendant laquelle on a essayé de faire vivre certains gestes de la pédagogie de l’enquête et du questionnement du monde. Cela a contribué au développement de certaines attitudes fondamentales, mais l’expérience n'a pas été suffisante pour que cette pédagogie s’exerce pleinement. D’une certaine manière les élèves se sont comportés de façon pro cognitive, mais, plus par le principe d'obéissance à l’enseignant que par leur propre volonté, ils ont accepté les questions de l’enseignant et ils ont essayé de construire des réponses, et parfois, ils ont proposé des questions nouvelles.

Les étudiants répondent aux questions en agissant sur le milieu et ils l'ont fait positivement, mais, étant donné qu'ils disposent des instruments développés dans les autres parties du PER. Bien qu'il s'agit d'un PER finalisé, la classe dispose de tout pour répondre aux questions. Il n'est pas nécessaire de recourir aux autres médias.

Bien que nous partagions la nécessité d'introduire une attitude Herbartienne dans les parcours proposés, nous ne réussissons pas à le

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réaliser dans les conditions actuelles de l'école secondaire en Argentine. Cependant, nous considérons que l’essai de faire vivre ce type de projet dans l'école secondaire, avec la pédagogie de l’enquête et du questionnement du monde, est déjà un progrès remarquable. Nous sommes conscientes qu’il y a des limitations pour aller au-delà d'un PER finalisé, comme celui qui a été proposé dans ce travail. Mais si nous faisons la comparaison entre ce que nous avons réussi à réaliser et les résultats de la pédagogie dominante, il faut reconnaitre qu’il s’agit d’une avance très importante.

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16

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17

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Annexe I

4ème 5 ème 6 ème Géométrie et Algèbre

Ressemblance des figures planes. Théorème de Thales. Trigonométrie. Lieu géométrique. · Parabole.

Ressemblance Raison entre aires et volumes de corps semblables Lieu géométrique. · Hyperbole. Ellipse

Équation vectorielle de la droite Notion de fractale

Algèbre et étude des fonctions

Équations et inéquations. · les équations du deuxième degré. Concept de fonctions. · Lecture de graphiques et domaine. Fonctions quadratiques. · différentes expressions. Polynômes. · Expressions. factorisation. Théorème de Ruffini. Théorème de Gauss. Utilisation de software pour l'étude des fonctions.

Fonctions polynomiales Zéros. Graphique Composition. Fonctions homographiques Fonctions exponentielles Fonctions logarithmiques. Utilisation de software pour l'étude des fonctions.

Fonctions trigonométriques Concept de limite Dans l'infini Dans un point Continuité Dérivée Dérivée d'un point Fonction dérivée Étude complète de fonctions simples Intégrales

Liste des éditeurs (Éds) Parcours d'étude et recherche autour des opérations avec courbes: l'organisation mathématique des fonctions polynomiales de deuxième degré (pp. xx-yy) IVe congrès international sur la TAD (Toulouse, 21-26 avril 2013) Axe 3. Entre visite des œuvres et questionnement du monde Maison d’édition, année

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Parcours d'étude et de recherche autour des opérations avec des courbes : l'organisation mathématique des fonctions

polynomiales de deuxième degré

Viviana Carolina Llanos Núcleo de Investigación en Educación en Ciencia y Tecnología

(NIECyT), Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires (UNCPBA), Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y


María Rita Otero Núcleo de Investigación en Educación en Ciencia y Tecnología

(NIECyT), Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires (UNCPBA), Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y

Técnicas (CONICET), Argentina Abstract. This work presents some results of introducing a RSC in the secondary school in Argentina. The RSC it allows to “cover” the program of mathematics of last three years of the secondary school, but in this work the results of the first report, which allows reconstructing the OM of the polynomial functions of the second degree are described. The characteristics of the OMER and the mathematical activity that is developed in the some RSC are analyzed. Résumé. Ce travail présente quelques résultats pour introduire les PER dans le secondaire en Argentine. Le PER permet de « couvrir » le programme de mathématiques des trois dernières années du secondaire, mais dans ce travail nous décrivons seulement les résultats de la première partie, qui permet de reconstruire l´OM des fonctions polynomiales du deuxième degré. On analyse quelques caractéristiques de l'Organisation Mathématique de Référence (OMER) et de l'activité mathématique qui s’est développée dans le PER.

Viviana Carolina Llanos y María Rita Otero

Resumen. Este trabajo presenta resultados de introducir los REI en la secundaria en Argentina. El REI permite “cubrir” el programa de matemática de los últimos años de la secundaria, pero en este trabajo describimos los resultados de la primer parte, que permite reconstruir la OM de las funciones polinómicas de segundo grado. Se analizan algunas características de la OMER y la actividad matemática que es desarrollada en el REI.

1. Introduction

Cette recherche propose d'introduire d'une manière expérimentale et contrôlée, la pédagogie de l’enquête et du questionnement du monde, au moyen des parcours d'étude et de recherche (PER) (Yves Chevallard, 2004, 2009) dans l´école secondaire en Argentine. Le PER inclut les organisations mathématiques qui intègrent le programme des trois dernières années de l'école secondaire. Le programme implique tant l´étude de courbes comme des fonctions, mais l'accent est mis sur les études des fonctions et dans cette recherche il trouve son origine dans la question Q0 : Comment effectuer des opérations avec n’importe quelles courbes si l’on connait seulement ses représentations graphiques et l’unité sur les axes? Les réponses possibles à cette question peuvent générer des différents parcours, cela dépend des courbes choisies et des opérations à faire entre les fonctions.

La recherche est mise en œuvre dans les classes habituelles de mathématiques, et commence avec des élèves de la 4e année (14 et 15 ans) de l’école secondaire en Argentine, pour cette raison, les PER sont développés avec l’intention de « couvrir » le programme d'études (Viviana Carolina Llanos, María Rita Otero, 2012a, 2012b ; Otero, Llanos, 2011). Dans ce travail sont décrites les réponses initiales proposées par les élèves à Q0, consécutives à l’introduction du PER.. Nous analysons et nous justifions les caractéristiques d’un PER qui dans sa première phase, nous a amené á étudier l'organisation mathématique des fonctions polynomiales de deuxième dégré dans l'école secondaire, à partir de la question Q1 : comment faire le produit de deux droites, si l’on connaît seulement leur représentation graphique et l'unité sur les axes ?

À partir des résultats obtenus dans six cours différents nous pourrons répondre à la question : Quelles sont les caractéristiques de l'OM

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PER autour des opérations avec courbes

effectivement reconstruite par la classe et l´activité mathématique qui est développée dans le PER?

2. Méthodologie

La recherche propose une étude qualitative, exploratoire et ethnographique. Nous nous proposons de décrire les modifications qui se produisent quand on introduit un enseignement par PER dans l'école secondaire. Les enquêteurs ont sélectionné les cours où les implémentations ont été réalisées. Les cours correspondent à la 4e année du secondaire du même établissement. Les élèves qui participent à la recherche ont entre 14 et 15 ans. Chaque cours est formé par à peu près 30 élèves et l’enseignant / chercheur. Deux implémentations simultanées ont été réalisées chaque année, pendant trois ans consécutifs, et 163 élèves ont participé au total. Chaque mise en œuvre a permis d'améliorer l’analyse a priori et les conditions d'étude ce qui permet d'établir des évolutions remarquables.

Pendant la mise en œuvre réalisée le chercheur a un caractère d'observateur participant et aussi il y a observation non participants à partir de la collaboration de collègues de l'équipe de recherche. Les classes ont été enregistrées en audio. Des notes ont été prises par l’enseignant. Nous avons récupère les protocoles écrits de chaque élève, tous les travaux ont été scannés et rendus au cours suivant. Cela permet d'obtenir tous les protocoles écrits des élèves durant chaque expérimentation.

Pour décrire les caractéristiques de l'Organisation Mathématique effectivement reconstruite (OMER) et des changements dans l'organisation didactique, nous analysons les modifications mesogénétique, chronogénétique et topogénétique de chaque situation, pour chaque "année" de l’expérimentation.

3. L´insertion du PER à l´école secondaire: réponses et parcours possibles.

L’enseignant introduit la question génératrice Q0 : comment effectuer des opérations avec n'importe quelles courbes, si l’on connaît seulement leur représentation graphique et l'unité sur les axes ? Les élèves proposent

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des réponses possibles à la question selon les courbes choisies, et aussi, des opérations qu'ils souhaitent réaliser. Notamment, ils proposent des opérations entre deux ou plusieurs droites, et seulement dans quelques cas exceptionnels, ils proposent d'agir avec des courbes qu'ils ne connaissent pas. Parmi la variété des résultats obtenus, quelques réponses ont été sélectionnées :

Représentation des courbes et des opérations proposées par les élèves.

Les élèves ont proposé les justificatifs suivants :

1

2

1 Nous choisissons droites puisque c'est une forme facile de représenter et de calculer un problème. 2 Nous choisissons droites parce que c'était les uniques que nous avons vu des années antérieures et, par conséquent, les uniques que nous savions. Nous choisissons la somme, la multiplication, la division et l´enracinement parce que ce sont les opérations que nous plus manions.


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3

Les droites sont les courbes les plus disponibles pour les élèves de 4e année. Parmi les opérations, ils considèrent l'addition, la soustraction, la multiplication et la division et aussi des opérations combinées. Le problème d'élever au carré ou d’extraire la racine carrée d'une droite, apparaît seulement dans quelques cas. En plus des droites, quelques groupes choisissent d'autres courbes qui ne correspondent pas à des fonctions connues :

Représentation des autres courbes et des opérations proposées par les élèves.

Quand ce problème a été introduit, et quand le potentiel de réponses possibles a été analysé, nous avons décidé de commencer par la multiplication de deux droites, ce qui conduit à l'OM des fonctions polynomiales du deuxième degré, qui se trouve dans le programme d’études de la 4e année. D'autres possibilités comme la multiplication de plus de deux droites ou la division qui est aussi proposée par les élèves comme réponse à Q0, s'étudieront plus tard. L'addition et la soustraction des droites ne sont pas retenues, parce qu'elles conduisent aux notions connues par les élèves, puisque les fonctions affines, constantes et linéaires ont déjà été étudiées précédemment.

Le problème consiste à multiplier les droites quand seules leur représentation graphique et l'unité sont connues , en obtenant la représentation graphique d'une parabole. La question dérivée Q1 : 3 Nous avons fait l'élection de droites parce que nous avons uniquement vu le contenu de fonction linéaire et aussi nous croyons que résoudre des problèmes avec droites est plus facile, celui que tu courbes. Les opérations que nous utilisons ont été les basiques (+ ; - ; x ; %) parce qu'elles sont plus simples de résoudre.


comment faire le produit de deux droites, si l’on connaît seulement leur représentation graphique et l'unité sur les axes ? donne le lieu pour la reconstruction de l´OM des fonctions polynomiales du deuxième degré. L’enseignant propose les questions suivantes dans le commencement du parcours :

Q1: Les fonctions f et g sont données par les graphiques des figures. Toutes les droites A, B, C et D sont parallèles et sont perpendiculaires à l’axe x. La fonction h est telle que : gfh ⋅=

Figure 1. Graphiques des fonctions f et g

Q1.1: Quelle serait le graphique le plus probable pour h ? Quelles caractéristiques du graphique de h pourrais-tu justifier ? Q1.2 : Pour toutes les valeurs xa et xb équidistantes des zéros de chaque fonction, les segments qui se forment BDCA = . Est-ce vrai que ( ) ( )ba xhxh = ? Pourrais-tu justifier ?

Q1.3 : Quels triangles faudrait-il construire pour calculer la multiplication entre f(x) et g(x) sur l’axe de symétrie, en utilisant pour l’un des cotés d’un des triangles, l’unité ? Les situations permettent de construire un graphique approché pour

, en principe, à partir de l´identification des points

remarquables (les zéros, les valeurs de l’ordonnée égales à 1) et les signes de h (C+ et C-). Dans cette partie le processus de démonstration de la symétrie de la courbe et la construction géométrique du sommet sont remarquables. Cette dernière technique permet aux élèves de développer une adaptation qui est très utile pour augmenter la quantité des “points sûrs”. La technique est basée sur la construction de triangles semblables, qu’ils doivent choisir d’une manière appropriée en même temps qu’ils utilisent l’unité. Les élèves utilisent la technologie du théorème de Thales

gfh ⋅=

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et la proportionnalité des segments pour expliquer la technique qu’ils ont développée.

Les différences selon les différentes années de l’expérimentation, par rapport à la construction de la parabole quand seules sont connues les représentations des droites et l’unité sur les axes, sont décrites au moyen des concepts didactiques de topogènese, chronogènese et mesogènese et sont synthétisées dans le tableau 1. Dans la dite description, on utilise plus (+) entre les différentes années, pour indiquer les caractéristiques qui s'ajoutent, par rapport à celles obtenues l'année antérieure.

Tableau 1 Mise en œuvre

Niveaux Année I

Mise en œuvre 1 et 2

Année II Mise en œuvre 3

et 4

Année III Mise en œuvre 5

et 6 Niveau mesogénétique

On obtient une courbe approchée obtenue pour h à partir de : les signes, zéros et 1, la preuve de la symétrie de la courbe est réalisée, l'axe est construit et les points symétriques sont identifiés. Le graphique obtenu pour h est acceptable.

+ Les élèves introduisent la nécessité de connaître l'ordonnée de h pour les axes de symétrie, mais c'est le professeur qui propose la construction de la technique. Amélioration des caractéristiques du graphique de h.

+ Les élèves construisent le sommet à partir des triangles semblables et obtiennent la généralisation de la technique pour n'importe quel point de h. Ils construisent un graphique très précis pour h.

Niveau topogénétique

Les étudiants construisent un graphique pour h basé principalement sur l'identification des points « sûrs ».

+ Les élèves proposent la nécessité de construire le sommet de la parabole. Le professeur réalise la dite construction et

+ Les élèves résolvent par eux- mêmes la construction géométrique du sommet. De plus ils proposent une généralisation de la technique

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L’enseignant gère les réponses.

l´élève la reproduit.

construite.

Niveau chronogénétique

Il est nécessaire d'étendre - un peu plus que prévu - le temps pour obtenir un graphique pour h. La plus grande augmentation se produit par rapport à la preuve pour la symétrie.

+ Même quand le professeur introduit la construction du sommet, les étudiants ont besoin de temps de réflexion, pour pouvoir la reproduire et construire d'autres points.

+ La construction du sommet de h réalisée par les élèves, requiert une prolongation du « temps scolaire », grâce aux discussions générées sur cette construction et la généralisation de la technique pour n'importe quel cas.

Table 1. Description des fonctions mésogenèse, topogenèse et chronogenèse pour chaque année d’expérimentation.

Les protocoles des étudiants A22 (voir figure 2), A64 (voir figure 3) et A136 (voir figure 4) ; montrent des différences relative à la situation dans le cas où il s’agit de multiplier deux droites donnant une fonction ayant un minimum. Dans la figure 2, A22 obtient une construction de h très approximative, seulement à partir du zéro et des 1 et de l'analyse des signes. Le sommet est une inférence. Ce protocole montre comment les étudiants obtiennent un graphique approximatif pour h quand seuls sont connus le zéro et les uns et la preuve de la symétrie réalisée pour obtenir les points symétriques.

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Figure 2. Protocole de l’élève A22. Mise en œuvre 1 (Année 1)

Pour les deuxième et troisième années (mises en œuvre 3 à 6), le sommet est obtenu par une construction. La figure 3, montre comment A64 obtient par construction le sommet de la parabole, technique qui est introduite par le professeur. L´élève justifie aussi la symétrie de la courbe, et il a compris l'analyse des angles pour vérifier que les triangles sont semblables. À partir des points « sûrs » : les zéros, uns et deux, les constructions des symétriques et du sommet construit, le graphique h est obtenu. La différence entre la première et la deuxième année est relative à la construction du sommet. L'étudiant A136 dans la figure 4 identifie : des signes, zéros, uns ; il réalise la preuve de la symétrie et aussi la construction du sommet. Pour réaliser la dite construction, la classe a discuté des résultats qui s'adaptent davantage à la réponse du item c) du problème. Ils proposent de déplacer aussi l'une des droites pour que le zéro coïncide, et A136 représente la courbe comme h2. Cet étudiant augmente de plus la quantité de points sûrs à partir de la généralisation de la technique construite pour le sommet, résultat qui est exclusivement la dernière année.

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En plus des caractéristiques de la représentation graphique des fonctions polynomiales du deuxième degré, le parcours a permis de reconstruire différentes façons de représenter analytiquement ces fonctions, à partir de la multiplication des droites ; quand ils ont connus en plus des unités, quelques points sûrs par eux-mêmes. L´insertion de Q1 a permis de :

- Construire une représentation graphique de la parabole, justifier chaque point remarquable, et analyser les différences entre les différentes représentations obtenues. - Analyser le rôle qu’acquièrent les points remarquables quand seule l'unité sur les axes est connue, et celui de l'analyse des signes. La relation entre les zéros et le changement ou non d'un signe est remarquable dans ce processus.

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- Construire et justifier le sommet et la symétrie de la courbe, à partir du problème qui demande de changer de cadre vers la géométrie. On a aussi obtenu la généralisation de la technique pour construire le sommet, ce qui permet de construire n'importe quel point du graphique. - Commencer par la multiplication des droites, cela conduit facilement à la forme factorisée des fonctions polynomiales du deuxième degré, quand quelques points sûrs des droites qui se multiplient sont connus. - Obtenir la forme polynomiale comme résultat de la multiplication des droites. Le passage de la forme factorisée à la forme polynomiale ne présente pas de difficultés ; bien que l'inverse si. - Analyser l’infinité de paires de droites qui étant multipliées, permettent dóbtenir la même parabole. On met en évidence quúne fonction nést pas réductible à son expression analytique et quíl y a beaucoup de représentations analytiques de la même fonction. - Analyser les cas des fonctions polynomiales de deuxième degré qui ne s’obtiennent pas par le produit de deux droites, parce qu’elles nónt pas de zéros. On a modifié l’OM pour répondre à cette dernière question. Elle est formulée au moyen du passage de la forme polynomiale à la forme factorisée (laquelle n’existe pas). - La relation établie entre les différents formes est remarquable : polynomiale, factorisée et canonique ainsi que la représentation graphique des fonctions polynomiales du deuxième degré.

Les résultats montrent la portée et les limitations entre les différentes années d’expérimentation. Pour chaque année, différents résultats ont été obtenus, même si les caractéristiques des groupes sont similaires. Les différences dans les caractéristiques des graphiques, les représentations analytiques équivalentes et les résultats qui peuvent être reconstruits comme conséquence de la multiplication de deux droites, ont été principalement déterminés par les décisions relative à la mésogenèse, topogenèse et chronogenèse entre les différentes années de l’étude.

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Les résultats obtenus permettent de justifier que les décisions dans la distribution de responsabilités entre le professeur et les étudiants, dans la gestion du système didactique déterminent l'écologie du PER.

4. Quelques résultats

Dans ce travail nous avons présenté quelques résultats relatifs à l’introduction d’un PER dans l'école secondaire. La question génératrice Q0 permet de reconstruire lÓM des fonctions, et à partir de Q1 : comment faire le produit de deux droites, si l’on connaît seulement leur représentation graphique et l'unité sur les axes ? Nous avons proposé de reconstruire lÓM des fonctions polynomiales du deuxième degré. Les résultats obtenus justifient la reconstruction des caractéristiques de lÓM des fonctions polynomiales de deuxième degré.

Lúne des plus grandes difficultés a été la résistance initiale des étudiants, principalement pour accepter et assumer la responsabilité de proposer d'autres questions et réponses à la question dérivée Q1 ; problème qui a diminué peu à peu avec le temps. Ce problème sálimente de l'incertitude générée quand la réponse au problème n'arrive pas, cette

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difficulté n’a pas toujours été bien gérée par l’enseignant. L´évolution entre les six implémentations, organisées pour chaque année, montre comment les enseignants et les responsables de la gestion de la classe ont parfois sous-estimé la capacité des élèves, ce qui a affecté quelques résultats.

Cette recherche permet d´affirmer que les décisions adoptées au niveau topogénétique semblent "fixer" les caractéristiques du PER grâce à l'étroite relation avec le processus mesogénétique. Les différences identifiées entre les différentes années, ne sont pas attribuables à l'intelligence des derniers groupes à l'égard des premiers, ni à eux des moyennes disponibles ; puisque les caractéristiques des cours sont similaires dans tous les cas. La question et sa générativité n'ont pas non plus changé, l’enseignant a toujours été le même. Les modifications seraient relatives aux décisions que le professeur a prises pour respecter le topos des élèves ; et aussi l'attitude des étudiants pour faire face aux dites questions. Cela a permis l'enrichissement du milieu et la construction d'une réponse valide à partir des instruments de la classe.

Bien que dans les mises en œuvre la pédagogie de l’enquête et du questionnement du monde ne vive pas d’une manière pleine, quelques gestes ont étés introduits, et nous avons développé la première partie d'un parcours qui permettrait de couvrir le programme concernant les fonctions des trois dernières années du secondaire. La réalisation a été tout a fait possible et positive du coté des étudiants, leur capacité à construire des réponses est très probant comme nous l’avons montré avec les données proposées dans ce texte.

Références

Chevallard, Y. (2004). Vers une didactique de la codisciplinarité. Notes sur une nouvelle épistémologie scolaire. http://yves.chevallard.free.fr/

Chevallard, Y. (2009). La notion de PER: problèmes et avancées. http://yves.chevallard.free.fr/

Llanos, V. C.; Otero, M. R. (2012a). Las funciones polinómicas de segundo grado en el marco de un Recorrido de Estudio y de Investigación (REI): alcances y limitaciones. Revista Iberoamericana de Educación Matemática UNIÓN, 31, 45-63.

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14

Llanos, V. C.; Otero, M. R. (2012b). La pédagogie de l’enquête et du questionnement du monde: une étude longitudinale dans l’école secondaire argentine. Review of Science, Mathematics and ICT Education. Re SM TICE, vol. 7. ISSN: 1792-3999 (electrónico), 1791-261X (impreso). Universidad de Patras. En prensa desde el 12-11-2012.

Otero, M. R.; Llanos, V. C. (2011). Enseñanza por REI en la Escuela Secundaria: desafíos, incertidumbres y pequeños logros al cabo de seis implementaciones. Actas del I CIECyM y del II ENEM. NIECyT, Facultad de Ciencias Exactas. UNCPBA. 15-23. http://iciecymiienem.sites.exa.unicen.edu.ar/actas

La modelización funcional y la razón de ser del cálculo

diferencial elemental en la enseñanza secundaria

Catarina Lucas1

Departamento de Matemática Aplicada I, Universidad de Vigo (España)

Cecilio Fonseca

Departamento de Matemática Aplicada I, Universidad de Vigo (España)

Josep Gascón

Departamento de Matemáticas, Universitat Autònoma de Barcelona,

(España)

Abstract. We present a doctoral thesis project that emerges from the results of a study of

the didactic phenomenon of disarticulation, atomization and rigidity of the school

mathematics praxeologies in Spain and Portugal (Fonseca 2004, Lucas 2010). To deepen

the study of this phenomenon in the field of elementary differential calculus we propose

criteria to build an epistemological model of reference that interprets this field of

mathematical activity such as the development of functional modelling (in the sense of

Ruiz-Munzón 2010) and postulates that its “raison d' être” in secondary education is more

related to the operatory economy that with conceptual needs. Dialectically, we formulate

the problem of didactic research in terms of the ecology of the mathematical praxeologies

that we propose.

Résumé. Nous présentons un projet de thèse de doctorat qui se dégage des résultats d’une

étude sur le phénomène didactique de désarticulation, atomisation et la rigidité des

praxeologías mathématiques scolaires en Espagne et au Portugal (Fonseca 2004, Lucas

2010). D’approfondir l’étude de ce phénomène dans le domaine de calcul différentiel

élémentaire nous proposons critères pour construire un modèle épistémologique de

référence qui interprète ce domaine d’activité mathématique comme le développement de

la modélisation fonctionnelle (dans le sens de Ruiz-Munzón 2010) et a postulé que la

raison d’être dans l'enseignement secondaire est plus liée à l'économie opératoire avec

1. Financiada por la beca de doctorado ref: SFRH/BD/77335/2011 de la Fundação para a

Ciência e a Tecnologia (Portugal).


Évolutions contemporaines du rapport aux mathématiques et aux autres savoirs à l’école et dans la société (pp. xx-yy)




Lucas, Fonseca & Gascón

2

conceptuel doit. Dialectiquement, nous formulons le problème de la recherche en termes

de l’écologie des praxeologías mathématiques que nous proposons.

Resumen. Presentamos un proyecto de tesis doctoral que parte de los resultados de un

estudio del fenómeno didáctico de la desarticulación, atomización y rigidez de las

praxeologías matemáticas escolares en España y Portugal (Fonseca 2004, Lucas 2010).

Para profundizar en el estudio de este fenómeno en el ámbito del cálculo diferencial

elemental proponemos criterios para construir un modelo epistemológico de referencia

que interpreta este ámbito de la actividad matemática como el desarrollo de la

modelización funcional (en el sentido de Ruiz-Munzón 2010) y postula que su razón de

ser en la enseñanza secundaria está más relacionada con la economía operatoria que con

las necesidades conceptuales. Dialécticamente, formulamos el problema de investigación

didáctica en términos de la ecología de las praxeologías matemáticas que proponemos.

1. Problemática de base

Este trabajo se sitúa en el contexto de un proyecto de tesis doctoral que se

está desarrollando en el ámbito de la Teoría Antropológica de lo

Didáctico (TAD). Parte del estudio de un fenómeno didáctico-matemático

complejo que se manifiesta en la desarticulación de los contenidos

matemáticos que constituyen el programa oficial de la enseñanza

secundaria española y en la consiguiente rigidez de las praxeologías

matemáticas escolares. Tomando como punto de partida los resultados de

la tesis de Cecilio Fonseca (2004), y con la intención de constatar si el

referido fenómeno es generalizable más allá de las instituciones escolares

españolas, en la memoria de investigación (Lucas 2010) presentamos los

resultados experimentales obtenidos al contrastar cinco aspectos de la

rigidez de las praxeologías matemáticas que se estudian en la enseñanza

secundaria tomando en este caso como base empírica los manuales

escolares y los diseños curriculares de este nivel de enseñanza tanto en

Portugal como en España, así como una muestra de estudiantes de ambos

países.

Esta investigación preliminar permitió poner de manifiesto el alcance

del fenómeno didáctico de la rigidez de la actividad matemática escolar,

ligado a la falta de interdisciplinaridad y a la ausencia del

cuestionamiento de las técnicas matemáticas escolares, a la fragilidad y a

las limitaciones en el dominio de validez de estas y a la carencia de un

discurso matemático adecuado que permita interpretarlas y justificarlas.

Y, lo que es más importante, volvimos a confirmar, en un ámbito

La MF y la razón de ser del CDE en Secundaria

3

empírico más amplio, la desaparición de las cuestiones problemáticas a

las que la matemática escolar responde. En definitiva, nuestra

investigación reveló claramente la pérdida de la razón de ser de la

matemática enseñada en ambos países, lo que constituye una clara

manifestación del “monumentalismo” y de la primacía del paradigma de

la “visita de las obras” (Chevallard 2005, 2006).

Con el objetivo de profundizar en el estudio de este fenómeno, nos

centraremos en un ámbito concreto de la matemática escolar inicialmente

delimitado en torno del cálculo diferencial elemental (CDE) y partiremos

del problema docente (Gascón 1999, 2011) relativo a dicho ámbito que

suele formularse mediante cuestiones como las siguientes: ¿Qué tengo que enseñar a mis alumnos y cómo tengo que

enseñarlo en relación al CDE en Secundaria? ¿Cómo se puede

introducir el concepto de derivada en Secundaria? ¿Qué técnicas

de derivación debo enseñar a mis alumnos y cómo debo

presentarlas? ¿Cómo se pueden utilizar las TIC a fin de potenciar

la visualización en dicho ámbito?

El proyecto de tesis que aquí presentamos tiene por objetivo inicial,

como ya hemos indicado, el de profundizar en el estudio del fenómeno de

la desarticulación de la actividad matemática escolar en torno al CDE y la

consiguiente ausencia (o desaparición) de la razón de ser de este ámbito

de la actividad matemática en la enseñanza secundaria española y

portuguesa. Para ello partiremos del citado problema docente del CDE y

nos basaremos principalmente en los resultados obtenidos previamente en

las dos líneas de investigación citadas y desarrolladas por nuestro grupo:

(1) Los trabajos de Fonseca (2004) y Lucas (2010) ya citados, en los

que se estudia el fenómeno didáctico general de la rigidez de la actividad

matemática escolar, la incompletitud de las praxeologías matemáticas

escolares y la consiguiente pérdida de la razón de ser de la matemática

enseñada.

(2) La tesis doctoral de Noemí Ruiz Munzón en la que se propone un

modelo epistemológico de referencia (MER), esquematizado en figura 1,

que caracteriza tres niveles progresivos de modelización algebraico-

funcional (MF) como completación de las etapas del proceso de

algebrización elemental y en la que se sugiere el papel que

potencialmente podría jugar la MF como ámbito en el que surgen las


4

cuestiones problemáticas que constituyen la razón de ser del CDE en la

enseñanza secundaria (Ruiz-Munzón 2010).

Figura 1. Esquema del MER de modelización algebraico-funcional

En esta comunicación nos proponemos únicamente mostrar algunos

aspectos del estado actual de nuestra investigación y apuntar los

desarrollos previsibles de la misma. En concreto, empezaremos por

describir la forma como se interpreta en la TAD la modelización

matemática y, en particular, la modelización funcional y continuaremos

formulando las diez conjeturas que proponemos para caracterizar el

modelo epistemológico, dominante en Secundaria, relativo al CDE y la

MF. Mostraremos a continuación la incidencia recíproca entre la

formulación del problema de investigación didáctica y la construcción del

modelo epistemológico de referencia (MER) que postulamos para el

ámbito de la actividad matemática involucrado en nuestro problema y


5

acabaremos proponiendo algunos criterios para la construcción efectiva

del citado MER así como una primera formulación del problema de

investigación didáctica que estudiaremos.

2. ¿Cómo se conceptualiza la modelización matemática y, en

particular, la modelización funcional en la TAD?

Teniendo en cuenta el papel que la TAD asigna a la modelización

matemática como prototipo de actividad matemática genuina

(Chevallard, Bosch & Gascón 1997) y los resultados de Ruiz-Munzón

(2010) ya citados sobre el papel que postulamos jugará la modelización

funcional (MF) como completación de la modelización algebraica

elemental y como ámbito en el que surgirá la razón de ser del CDE en la

enseñanza secundaria, es necesario precisar la forma como se interpreta

en la TAD la modelización matemática en general y, en particular, la MF.

Esta interpretación difiere en algunos aspectos de las interpretaciones

habituales (Blum 2002, Blum & Leiß 2007) tal como esquematizamos a

continuación.

(a) La TAD incluye la modelización intramatemática en la noción de

“modelización”

Se considera la modelización matemática de sistemas matemáticos

(esto es, la modelización intramatemática como, por ejemplo, la

modelización algebraica de un sistema numérico o topológico y la

modelización diferencial de un sistema geométrico) como una parte

esencial de la actividad de modelización que, además, es inseparable de la

modelización de sistemas extra-matemáticos. Aunque el proceso de

modelización parta de un sistema extramatemático como sistema a

modelizar (por ejemplo, de un sistema proveniente de las ciencias de la

salud), el progresivo desarrollo de la actividad de modelización incluye

rápidamente etapas en las que interviene la modelización intra-

matemática. Esta ampliación de la noción clásica de modelización

matemática es coherente con el desarrollo histórico de las matemáticas y

permite considerar la modelización como un proceso de matematización

progresiva de un sistema en el cual el primer modelo pasa a jugar el papel

de sistema (matemático) y así sucesivamente lo que conduce a trabajar

con “modelos de modelos” del sistema inicial (carácter recursivo de la


6

actividad de modelización matemática). Además la modelización

intramatemática pone de manifiesto el carácter reflexivo de esta, puesto

que el sistema puede hacer el papel de modelo de su modelo. Un ejemplo

histórico de este proceso nos lo proporciona la modelización mutua entre

las geometrías euclidiana y cartesiana, puesto que cada una de ellas puede

ser considerada como modelo de la otra.

(b) La TAD asigna estructura praxeológica a los sistemas y a los

modelos matemáticos

El modelo epistemológico general de las matemáticas que sustenta la

TAD no permite considerar la modelización de “conceptos” ni de

“técnicas” ni de “problemas” aislados. Dada la naturaleza dinámica de las

praxeologías y la profunda interrelación que hay entre sus componentes,

no podemos hablar de modelización de un componente de la praxeología

independientemente del resto de sus elementos. Se postula que toda

modelización matemática presupone la modelización de una praxeología

en su totalidad.

(c) Relación entre el sistema y el modelo

La TAD propugna que no debemos caer en la ingenuidad de pensar

que un modelo es una copia o reproducción fotográfica del sistema que

modeliza, sino que es un añadido a dicho sistema, una construcción

artificial. La principal función del modelo no es la de “parecerse” al

sistema que modeliza, sino la de aportar conocimientos sobre él y hacerlo

de la forma más económica y eficaz posible. Debemos substituir, como

propone Chevallard (1992), la metáfora “representacionista” del modelo

como imagen del sistema por la metáfora “funcional” del modelo como

máquina que permite producir conocimientos relativos al sistema

modelizado mediante un proceso de ajustes sucesivos del modelo al

sistema. A lo largo de este proceso no se va comparando la relativa

adecuación de diferentes modelos a un sistema supuestamente invariante,

sino que el propio sistema también se va transformando (o

reconstruyendo).

(d) La TAD interpreta la modelización matemática como un instrumento

de articulación de praxeologías matemáticas de complejidad creciente


7

Los procesos de modelización parten de cuestiones problemáticas que

se plantea una comunidad de estudio y que constituyen la “razón de

ser” de las sucesivas praxeologías que construye la comunidad

como respuestas a dichas cuestiones. La forma como se conceptualiza la

complejidad creciente de las praxeologías es la siguiente: las praxeologías

matemáticas más elementales se llaman puntuales y están constituidas

alrededor de lo que en determinada institución es considerado como un

único tipo de tareas. Cuando una praxeología se obtiene por integración

de cierto conjunto de praxeologías puntuales, tales que todas ellas

aceptan un mismo discurso tecnológico, diremos que tenemos una

praxeología local caracterizada por dicha tecnología. Análogamente, se

habla de praxeología regional cuando esta se obtiene por integración de

praxeologías locales y está caracterizada por una teoría y hasta de

praxeología global cuando incluye toda una disciplina.

(e) La TAD estructura en tres niveles inclusivos los tipos de modelización

funcional

Siguiendo a Ruiz-Munzón (2010), se denomina primer nivel de MF de

un sistema el que se materializa en modelos que se expresan mediante

funciones aisladas de una única variable y las correspondientes

ecuaciones (e inecuaciones) asociadas. Este tipo de modelización, incluye

en cierta forma la modelización algebraica (en el sentido de Bolea, Bosch

& Gascón 2001), y viene a responder a cuestiones que hacen referencia a

la variación de una magnitud del sistema en función de otra. Su puesta en

marcha requiere, más allá de las técnicas puramente algebraicas, el uso de

nuevas técnicas (que llamamos “funcionales” y “gráficas”) que incluyen

las relativas al estudio de la variación de magnitudes, crecimiento,

decrecimiento, ritmo de variación, extremos, etc. Se trata, en definitiva,

de técnicas que permiten el estudio elemental de las relaciones internas

entre los elementos de una función y el análisis del comportamiento

global de la misma.

Denominamos segundo nivel de MF de un sistema el que se

materializa en modelos que se expresan precisamente mediante familias

de funciones de una variable y las correspondientes ecuaciones (e

inecuaciones) paramétricas asociadas.


8

En este segundo nivel de modelización se distingue todavía entre

“parámetros” y “variables” de tal forma que sus papeles no se consideran

intercambiables. Se trabaja, por lo tanto, con familias de funciones de una

variable pero todavía no con funciones de varias variables.

Denominamos tercer nivel de MF de un sistema el que se

materializa en modelos que se expresan mediante familias de

funciones de dos o más variables y las correspondientes fórmulas

asociadas. En este tercer nivel de modelización el papel de los

“parámetros” y de las “variables” es intercambiable. Se estudia

cómo repercute la variación conjunta de dos o más variables sobre

la variación de una función, tarea esta que aunque puede plantearse

a partir de los modelos trabajados en el segundo nivel, requiere

para su resolución completa de técnicas que no existían en aquel.

Estos tres niveles de MF se esquematizan en la figura 1

considerándolos como desarrollo del proceso de algebrización que,

a su vez, se articula en tres etapas de modelización algebraica.

3. Modelo epistemológico dominante en Secundaria en torno al

cálculo diferencial elemental

En la investigación preliminar llevada a cabo en la memoria de

investigación (Lucas 2010) presentamos una comparación de los

resultados experimentales obtenidos en España y Portugal mediante la

contrastación empírica de cinco aspectos de la rigidez de las praxeologías

matemáticas que se estudian en la Enseñanza Secundaria y que aparecen,

de manera más o menos fragmentada, en los manuales escolares y en los

diseños curriculares correspondientes a este nivel de enseñanza en ambos

países. Dicha comparación estaba sustentada sobre el análisis de cinco

conjeturas formuladas previamente en Fonseca (2004) y que pueden

describirse brevemente mediante las siguientes etiquetas: C1. Las técnicas matemáticas dependen fuertemente de la

nomenclatura

C2. La aplicación de una técnica no implica la interpretación del

resultado obtenido

C3. Cada tarea está asociada a una técnica privilegiada

C4. No hay reversión de las técnicas para realizar la tarea

matemática “inversa”

C5. Ausencia de situaciones abiertas de modelización


9

Se aplicó un cuestionario, con diversos ítems para cada una de las

conjeturas, a una muestra de estudiantes de ambos países. Los resultados

obtenidos fueron analizados y contrastados con los que se obtuvieron a

partir del análisis de los libros de texto y de los currículos oficiales. Esta

investigación preliminar permitió poner de manifiesto, como ya hemos

indicado, el fenómeno de la rigidez y de la incompletitud de la actividad

matemática escolar y, en definitiva, la pérdida de la razón de ser de la

matemática enseñada.

A partir de estos resultados, efectuamos un recorte del ámbito de la

actividad matemática escolar para concentrarnos en la que se lleva a cabo

en torno al CDE. Una vez situados en este ámbito, pretendemos

contrastar empíricamente diez conjeturas para empezar a caracterizar el

modelo epistemológico dominante en la enseñanza secundaria portuguesa

en torno al CDE, lo que nos proporcionará respuestas provisionales a

algunas de las cuestiones que forman parte de la dimensión económica

del problema del CDE y, a su vez, nos servirá de base para formular

nuestro problema didáctico de investigación.

Las diez conjeturas que pretendemos contrastar empíricamente se

agrupan en dos bloques de cinco conjeturas cada uno: en el primero de

ellos se sitúan las especificaciones de las conjeturas C1-C5 cuando se

delimita el ámbito de la práctica matemática escolar al del CDE. Así, por

ejemplo, la conjetura C4 se reformularía como sigue:

C4 (CDE). En el ámbito de la matemática escolar en torno al

CDE no hay reversión de las técnicas para realizar la tarea

matemática “inversa”.

Se puede constatar, por ejemplo, que en la enseñanza secundaria

portuguesa son muy escasas las tareas matemáticas que proponen calcular

las primitivas de una función dada (considerando las técnicas del cálculo

de primitivas como “técnicas inversas de las correspondientes técnicas de

derivación”) y, mucho más escasas, las tareas que parten de un modelo

matemático funcional y plantean la búsqueda de sistemas (matemáticos o

extramatemáticos) que pueden ser modelizados mediante dicho modelo.

La contrastación empírica de este primer bloque de conjeturas pretende

profundizar en el análisis del fenómeno de la rigidez y atomización


10

general de las praxeologías matemáticas escolares en el caso particular

del CDE.

En el segundo bloque se sitúan cinco nuevas conjeturas que,

junto con las anteriores, constituyen la hipótesis que proponemos

para el modelo epistemológico dominante en Secundaria del ámbito

de la actividad matemática que está en juego. Esto significa que los

resultados de la contrastación empírica de estas conjeturas nos

proporcionarán una primera caracterización de la manera de

interpretar, describir y utilizar la matemática escolar en torno al

CDE por parte del propio sistema portugués de enseñanza

secundaria. Este modelo epistemológico dominante incidirá

fuertemente sobre la manera de interpretar la enseñanza de este

ámbito de la matemática escolar en la institución en cuestión

(Gascón 2001). Proponemos a continuación la formulación de las

conjeturas de este segundo bloque.

C6 (CDE). La definición de derivada (como límite de la tasa de

variación media) no juega ningún papel relevante en la enseñanza

secundaria. Podría afirmarse que dicha definición, en cuanto a su

incidencia en las técnicas matemáticas escolares, es meramente

“decorativa”.

Postulamos que si bien pueden existir algunas tareas elementales,

relativas al cálculo de la derivada de una función elemental (lineal o

cuadrática) en un punto utilizando la propia definición de derivada como

técnica, estas tareas serán excepcionales y prácticamente irrelevantes en

el desarrollo posterior de la actividad matemática escolar.

C7 (CDE). La representación de la gráfica de una función (y de la

función derivada cuando aparece) se considera en la enseñanza

secundaria como un objetivo en sí mismo y no se les da ningún

tipo de funcionalidad técnica. En particular la gráfica de una

función no se utiliza como modelo gráfico-funcional de un sistema.

Postulamos que muy raramente se utilizará la gráfica de una función

(y, mucho menos la gráfica de la función derivada) como instrumento

técnico para responder cuestiones relativas a un sistema modelizado por

dicha función.

C8 (CDE). El significado del signo de la función derivada

segunda raramente se interpreta en términos del sistema

modelizado, esto es, como ritmo o velocidad de variación de la


11

función. En consecuencia nunca se interpretan los puntos de

inflexión en términos del sistema modelizado.

Postulamos que la función derivada segunda está prácticamente

ausente como herramienta de modelización funcional, salvo para obtener

los intervalos de concavidad/convexidad y los puntos de inflexión cuando

el objetivo consiste únicamente en representar la gráfica de una función

sin ninguna otra finalidad.

C9 (CDE). Las funciones se suelen estudiar en forma aislada, no

se estudian sistemáticamente familias de funciones ni, en

consecuencia, la relación entre la variación de los parámetros y la

posición y la forma de las gráficas de las funciones de una familia.

En particular no se utilizan las familias de funciones (ni, mucho

menos, sus derivadas) como modelos de sistemas matemáticos o

extramatemáticos.

Postulamos que el estudio sistemático de familias de funciones está

prácticamente ausente salvo, a lo sumo, en el caso de las funciones

lineales y cuadráticas. Sólo en casos muy excepcionales podemos

encontrar una familia de funciones (con uno o más parámetros) jugando

el papel de modelo de un sistema. C10 (CDE). No existe una actividad sistemática en torno a la tasa

de variación media de una función. En consecuencia nunca se

trabajan las técnicas de resolución de ecuaciones en diferencias

finitas lo que impide constatar que se trata de técnicas poco

“económicas” y evita que surja la necesidad de substituirlas por

otras técnicas más potentes y económicas como las que

proporciona el cálculo infinitesimal elemental.

Postulamos que la tasa de variación de una función en un intervalo

juega esencialmente un papel preparatorio para la definición de la

derivada de una función en un punto. Al no utilizarse como modelo de un

sistema, no aparece el problema de resolver ecuaciones elementales en

diferencias finitas ni, por lo tanto, las dificultades técnicas que estas

entrañan.

Paralelamente a la contrastación empírica de estas conjeturas,

pretendemos también efectuar un análisis de la evolución histórica del

CDE en la enseñanza secundaria portuguesa, definiendo y describiendo

diferentes etapas históricas y mostrando la incidencia de determinados

fenómenos transpositivos sobre el estado actual del CDE en el


12

currículum. Se trata de un aspecto del proyecto de tesis doctoral que no

trataremos en esta comunicación.

4. Dialéctica entre la formulación de un problema didáctico y la

construcción de un modelo epistemológico-didáctico de

referencia asociado

La formulación de un problema didáctico (en el sentido de problema de

investigación en didáctica de las matemáticas) presupone siempre, de

manera más o menos explícita, una interpretación del ámbito de la

actividad matemática que está en juego. Así cuando en el enunciado de

un problema didáctico se habla de la enseñanza, del aprendizaje, de la

difusión, etc., del concepto de derivada, de la geometría analítica, de los

sistemas de numeración, o de la proporcionalidad, se está sustentando

inevitablemente una interpretación (un modelo, aunque sea muy

impreciso) de la actividad matemática que se supone que acompaña a

dicha noción en la institución en cuestión.

Desde la TAD postulamos, por una parte, que la explicitación de

dicho modelo, que denominamos modelo epistemológico de referencia

(MER), es imprescindible para poder formular el problema didáctico con

precisión y como un auténtico problema científico. Por otra parte, la

construcción del MER demanda cierta formulación previa, aunque sea

transitoria, del problema didáctico, puesto que el MER puede

considerarse como una respuesta provisional (que debe contrastarse

experimentalmente) a las cuestiones que forman parte de una dimensión

básica o nuclear del problema didáctico en cuestión, la dimensión

epistemológica que condiciona toda la problemática2. En realidad el

MER constituye únicamente la base sobre la que se sustenta la respuesta

al problema didáctico de partida porque este, cuando se plantea en el

ámbito de la TAD, contiene siempre algunas de las cuestiones que

forman parte de su dimensión ecológica (Gascón 2011).

2 El MER debe interpretarse como una hipótesis o conjetura provisional y, por lo tanto,

susceptible de ser completado, modificado y revisado constantemente. Un MER es una

hipótesis científica creativa que debemos someter a la prueba de la contingencia.


13

Para hacer compatibles los dos principios metodológicos citados es

necesario que, en la práctica efectiva de la investigación didáctica, la

construcción del MER y la progresiva formulación del problema de

investigación avancen en paralelo, dialécticamente. A medida que

vayamos perfilando las características del MER será posible formular con

más precisión algunas de las cuestiones que formarán parte del problema

didáctico (e incluso podrán formularse cuestiones nuevas) y,

recíprocamente, al ir avanzando en la formulación del problema didáctico

será posible avanzar en el detalle de los componentes de un MER

asociado a dicho problema.

En general, la estructura de los MER que construye la TAD toma la

forma de una red de praxeologías matemáticas cuya dinámica comporta

ampliaciones y completaciones progresivas (Bolea 2002, Sierra 2006,

Barquero 2009, Ruiz-Munzón 2010). Una manera alternativa y

relativamente equivalente de describir un MER es mediante una red de

cuestiones y respuestas donde las respuestas tienen una estructura

praxeológica (son precisamente estas praxeologías-respuesta las que

forman la red de praxeologías cada vez más amplias y completas).

Podemos afirmar, además, que el papel que juega la actividad de

modelización matemática en la construcción de un MER es crucial puesto

que las praxeologías matemáticas que estructuran un MER suelen cumplir

la siguiente condición: cada nueva praxeología no sólo amplía y completa

relativamente (en el sentido de Bosch, Fonseca & Gascón 2004) a la

praxeología anterior, sino que además puede considerarse en muchos

casos como un modelo matemático de esta.

Dado que la TAD interpreta la actividad matemática como una

actividad humana institucionalizada, un MER se elabora siempre en

relación a una institución. Pero las instituciones no son compartimentos

estancos y las cuestiones problemáticas se desarrollan a medida que se

van estudiando, de manera que es posible concebir un MER que,

potencialmente, pueda sustentar procesos de estudio situados

parcialmente en dos o más instituciones que pueden abarcar dos o

más niveles educativos diferentes3.

3 En este trabajo nos centramos en la enseñanza secundaria de España y Portugal. En

España la enseñanza secundaria consta de dos etapas: la Enseñanza Secundaria


14

Digamos para precisar un poco más el papel de los MER en la

formulación de los problemas didácticos, que también es importante

situar cada MER en relación a otros MER de los que de alguna manera

depende y, en especial, de los MER más amplios que lo contienen. En

nuestro caso, debemos precisar la relación entre el MER en torno al CDE

(que pretendemos construir) y otros MER más amplios. Remarquemos

que el diseño matemático que pretendemos construir, no es más que una

pequeña parte de un MER mucho más amplio que recubrirá desde la

introducción del álgebra elemental y su desarrollo hacia la MF con

parámetros, hasta la razón de ser del CDE en Secundaria y los primeros

desarrollos del cálculo diferencial en la Universidad, y que esta

completación la haremos a partir del MER elaborado en Ruiz-Munzón

(2010) y esquematizado en la figura anterior. Pues bien, dentro de ese

MER global, en este trabajo nos situamos en el momento en que, en el

ámbito de la modelización algebraico-funcional, surge la necesidad de

utilizar las técnicas básicas del CDE.

Entre los objetivos del trabajo de tesis (que, obviamente, quedan fuera

de esta comunicación) y para contrastar empíricamente que, tal como se

postulará en el MER, las cuestiones problemáticas que constituyen la

razón de ser del CDE surgen efectivamente en el ámbito de la MF y están

más relacionadas con la economía operatoria que proporciona el cálculo

diferencial que con presuntas necesidades conceptuales, será necesario

diseñar, experimentar y evaluar un proceso de estudio en torno al paso,

en el sistema de enseñanza portugués, de la MF al CDE. Dicho proceso,

sustentado en el MER que queremos contrastar, tendrá lugar en un

contexto institucional concreto, con una historia y unas condiciones

particulares.

En el momento de decidir la forma más adecuada para organizar

dicho proceso de estudio, esto es, el modelo didáctico más apropiado para

nuestros fines, la investigación didáctica, de manera análoga a lo que

Obligatoria o ESO (alumnos de 12 a 16 años) y la enseñanza secundaria postobligatoria o

Bachillerato (alumnos de 16 a 18 años). En el caso de Portugal, el tercer ciclo de la

enseñanza básica está compuesto por tres años de escolaridad (alumnos de 12 a 15 años) y

la enseñanza secundaria por otros tres (alumnos de 15 a 18 años). Desde 2009, en base a

la Ley número 85/2009, de 27 de Agosto, la enseñanza secundaria portuguesa se tornó

universal, gratuita y obligatoria.


15

sucedía con los modelos epistemológicos, no puede conformarse con

utilizar los modelos didácticos “espontáneos” sino que tiene necesidad de

construir modelos didácticos propios, a modo de modelos didácticos de

referencia (MDR), que servirán para analizar los modelos didácticos

actualmente existentes y para diseñar otros nuevos que sean

potencialmente más adecuados para responder a los problemas didácticos

que están en el origen de toda investigación.

La TAD propone tomar como MDR los que denomina recorridos de

estudio e investigación (REI) cuya estructura general puede describirse

mediante el esquema herbartiano propuesto en Chevallard (2007). Los

REI están caracterizados por ser procesos en los que el objetivo del

estudio no viene definido como un conjunto de saberes designados de

antemano, sino como un conjunto de cuestiones a las que la comunidad

de estudio se propone aportar una respuesta. En este tipo de procesos se

deben movilizar todos aquellos recursos (medios, saberes y respuestas

disponibles) que sean necesarios para poder construir una “buena

respuesta” a la pregunta inicial. La puesta en práctica de un REI puede

entonces describirse como la gestión y desarrollo en una institución

determinada de la estructura arborescente de cuestiones y respuestas que

constituye el MER en el que se sustenta.

5. Criterios para construir un modelo epistemológico-didáctico

de referencia asociado al problema didáctico

Partiendo de los resultados obtenidos en los trabajos citados (Fonseca

2004, Lucas 2010 y Ruiz-Munzón 2010), hemos elaborado un conjunto

de conjeturas que guían y sustentan implícitamente la formulación del

problema de investigación y, dialécticamente, la construcción del MER

que proponemos para sustentar una organización didáctica que aporte una

respuesta a dicho problema. Sintetizamos a continuación dichas

conjeturas:

(a) Diez conjeturas relativas al modelo epistemológico específico del

CDE dominante en la enseñanza secundaria portuguesa. Ya han sido

descritas en el apartado 2 de esta comunicación. La contrastación

empírica de estas conjeturas es un trabajo en marcha que no ha finalizado


16

todavía y que nos proporcionará un “retrato” del estado actual del CDE

en la enseñanza secundaria portuguesa, respondiendo así a una parte de la

dimensión económica del problema didáctico del CDE (Gascón 2011).

(b) Conjeturas relativas al modelo epistemológico de referencia

(MER) en torno al CDE en Secundaria.

(i) Postulamos, como ya hemos indicado, que este MER debe

articular la modelización algebraico-funcional (en el sentido de Ruiz-

Munzón 2010) con el ámbito de la matemática escolar que

tradicionalmente se considera como el CDE en la enseñanza secundaria y

que gira en torno de la noción de “derivada de una función”. De esta

manera el MER a construir presentará la introducción y el desarrollo del

CDE como culminación de la actividad de modelización algebraico-

funcional de sistemas que, en principio, pueden ser de naturaleza

matemática o extramatemática.

[…] la modelización funcional debería constituir la razón de ser del

cálculo diferencial del Bachillerato y primeros cursos universitarios. Pero

hemos de reconocer que se necesita un estudio más detallado para

contrastar empíricamente dicho postulado lo que requerirá, en particular,

desarrollar el MER propuesto para la modelización algebraico-funcional

de tal manera que integre la actividad matemática elemental en torno al

cálculo diferencial e integral. (Ruiz-Munzón 2010, p. 379, volumen 1)

(ii) El MER debe explicitar detalladamente el proceso de construcción

(y no sólo de utilización) de los modelos funcionales y las limitaciones de

las técnicas algebraicas, gráficas y funcionales para resolver algunas de

las cuestiones que aparecen en el proceso de construcción y de utilización

del modelo. Este proceso de construcción de modelos es muy poco

frecuente en la actividad matemática escolar que es posible llevar a cabo

en Secundaria.

(iii) El MER debe otorgar un papel importante a la tasa de variación

media relativa de una función en la construcción de los citados modelos

algebraico-funcionales.

(iv) La cuestión generatriz del MER debe ser suficientemente general

y relativamente ambigua en el sentido que debe ser una cuestión con

“parámetros” abiertos con el objetivo de asegurar su carácter fuertemente

generador de cuestiones derivadas.


17

(v) Postulamos que las cuestiones a las que responde el CDE en

Secundaria, esto es, su razón de ser en esta institución, están relacionadas

con las necesidades operatorias relativas a la resolución de los problemas

que surgen en el ámbito de la modelización algebraico-funcional y, en

especial, con las ventajas que proporciona la economía de las técnicas del

cálculo infinitesimal elemental.

Aceptando provisionalmente estos principios generales y al intentar

profundizar en la relación entre los modelos funcionales y el cálculo

diferencial a fin de seguir precisando ciertos componentes del MER,

surgen diversas cuestiones:

- ¿Por qué los modelos funcionales relativos a fenómenos físicos,

biológicos, económicos, geográficos, geológicos, químicos (o de

cualquier otro ámbito) se expresan mediante ecuaciones

diferenciales?

- ¿Por qué los científicos no trabajan directamente con los datos

brutos del fenómeno a modelizar e intentan interpolar una

función que los aproxime?

Una posible respuesta a estas cuestiones podría estar relacionada con

el hecho que la mejor forma de caracterizar una función es en términos

del tipo de variación que define.

- ¿Por qué aproximan la variación media mediante la derivada en

lugar de continuar trabajando con ecuaciones en diferencias

finitas?

Es razonable pensar que existen criterios de economía técnica que

aconsejan utilizar la derivada y el cálculo diferencial elemental, esto es,

mientras que trabajar con ecuaciones en diferencias finitas entraña

grandes dificultades técnicas, el cálculo diferencial y, en particular, las

ecuaciones diferenciales elementales4 que aparecen en muchos de los

modelos, requieren un trabajo técnico mucho más sencillo, casi

algorítmico.

Pero existen, además, razones intrínsecas a los propios fenómenos que

permiten caracterizar el tipo de funciones que aparecen cuando se trabaja

con la tasa de variación media relativa de un fenómeno físico, biológico,

económico, etc. Así, en la mayoría de los casos la tasa de variación media

4 El tipo de “ecuaciones diferenciales” que aparecerán serán resolubles mediante el

cálculo de la primitiva inmediata de una función elemental.


18

relativa se aproxima bien mediante una función elemental, mientras que

si tomamos los datos brutos la aproximación es mucho más problemática.

Este hecho, contrastado empíricamente en muchas investigaciones,

permite obtener mediante algún tipo de interpolación, una función

elemental que aproxima “bien” la tasa de variación media relativa de la

función incógnita. A continuación se identifica la ecuación en diferencias

finitas con una ecuación diferencial cuya resolución nos proporciona una

solución aproximada al problema.

Todo ello refuerza nuestra hipótesis básica según la cual la MF

constituye el ámbito en el que surge la razón de ser del CDE en la

enseñanza secundaria y en los primeros cursos universitarios. Más

concretamente, en el caso de la enseñanza secundaria, una de las razones

de ser del CDE postulamos que reside en su economía y operatividad

para construir los modelos funcionales y para responder a muchas de las

cuestiones que se plantean tanto en el sistema modelizado como en el

propio modelo.

Cumpliendo con las anteriores conjeturas quedan todavía muchos

grados de libertad en la elección de los componentes del MER. Podemos

elegir un sistema matemático o extramatemático cuya modelización

algebraico-funcional comporte la necesidad de utilizar técnicas del CDE.

Asimismo, en el caso de elegir un sistema extramatemático tenemos

diferentes opciones de sistemas concretos a estudiar y una vez elegido un

sistema concreto, la elección de la cuestión generatriz y la forma de

construir el modelo algebraico-funcional tampoco están determinadas de

antemano.

En nuestro caso elegiremos un sistema extramatemático del ámbito de

las ciencias de la salud y, más concretamente, estudiaremos la evolución

de una epidemia.

(1) Tomaremos como cuestión generatriz la siguiente: Q0: ¿Cómo

podemos estudiar la evolución de una epidemia?

(2) Utilizaremos inicialmente una epidemia cuya evolución está

determinada mediante hipótesis muy fuertes y, por tanto, simplificadoras

y cuyo estudio requiera una MF muy sencilla.

(3) Debilitaremos progresivamente la hipótesis sobre la evolución de

la epidemia lo que provocará la aparición de nuevos parámetros y nuevos


19

factores que harán más complejo el modelo y, por lo tanto, el estudio de

la citada evolución.

(4) Ensayaremos la posibilidad de tomar en consideración un esquema

hipotético de la construcción científica de algunos modelos funcionales

y, en particular, de los modelos de la dinámica de poblaciones (como, por

ejemplo, de los modelos que describen la evolución de una epidemia). Se

trata de una hipótesis atrevida que, desde luego, no pretendemos que sea

la única forma de construir los modelos funcionales. Dicho esquema

contiene las siguientes etapas:

- Se parte de ciertos valores obtenidos experimentalmente de la evolución de

una población como, por ejemplo, de la población de infectados en una epidemia

I(t) para ciertos valores discretos del tiempo t.

- Se elabora una tabla de la tasa de variación media (y de la tasa de variación

media relativa) de I(t) en una determinada serie discreta de intervalos de la

variable independiente.

- Se obtiene, mediante algún tipo de interpolación, una expresión analítica

aproximada de la “tasa de variación media relativa” de I(t), esto es, una ecuación

que iguala aproximadamente la tasa de variación media relativa de I(t) y una

función elemental.5

- Se identifica la ecuación aproximada citada con una ecuación diferencial cuya

incógnita es I(t).

- Se resuelve la ecuación diferencial resultante y se obtiene así una expresión

analítica aproximada de la función I(t) que, clásicamente, es una función

exponencial de base e.

En este esquema hipotético de construcción de un modelo funcional se

subraya la importancia de la economía técnica que proporciona el cálculo

infinitesimal elemental de resolución de ecuaciones diferenciales

elementales, en comparación al coste excesivo de la manipulación técnica

de la tasa de variación media que requeriría el uso de las técnicas de

resolución de ecuaciones en diferencias finitas. Se pone así claramente de

manifiesto que una posible “razón de ser” del CDE en la enseñanza

5 Los datos puntuales de la evolución de una población no se tratan directamente sino que

se transforman en datos de la evolución de la tasa de variación media relativa de dicha

población (en los sucesivos periodos de tiempo). Ello se debe a que empíricamente se ha

puesto de manifiesto, como ya hemos dicho, que la tasa de variación media se comporta

“mejor” (en el sentido que tiene una evolución más previsible) que los datos brutos. En

los casos más sencillos (teóricos) dicha tasa es constante o lineal y, cuando se utilizan

datos reales, se aproxima bien mediante una función polinómica. En todos estos casos la

evolución de la población estudiada sigue un comportamiento próximo al de una función

exponencial de base el número e.


20

secundaria está relacionada con las necesidades operatorias que surgen

en la resolución de problemas de MF, más que con la construcción

precisa de la noción de derivada o con la problemática del cálculo de la

tangente a la gráfica de una función.

Si en lugar de elegir un sistema extramatemático, como el de la

evolución de una epidemia, elegimos estudiar un sistema intramatemático

como, por ejemplo, el sistema geométrico definido por una curva plana C

= {(x, y)/ f (x, y) = 0} del que disponemos (por definición) de un modelo

funcional “exacto”, llegará un momento del proceso de estudio (a medida

que la función f (x, y) se hace más compleja) en el que las técnicas

algebraico-funcionales presentarán tales limitaciones para responder a las

cuestiones planteadas que se hará conveniente e incluso imprescindible el

uso de técnicas del cálculo infinitesimal elemental, confirmando así que

el CDE en la enseñanza secundaria viene a responder, en primera

instancia, no tanto a “necesidades conceptuales”, sino a necesidades de

economía operatoria.

6. Formulación del problema didáctico: el paso de la

modelización funcional al cálculo diferencial elemental

En este punto estamos en condiciones de avanzar en la explicitación del

problema didáctico que, en realidad, hemos ido construyendo

implícitamente a medida que precisábamos los criterios para construir el

MER. Mientras que las cuestiones que formaban parte del problema

docente de partida se enunciaban, inevitablemente, utilizando las

nociones existentes y las ideas dominantes en la institución escolar en

relación al CDE y su enseñanza-aprendizaje (ver infra, apartado 1), el

problema de investigación didáctica se formulará en términos del MER y

hará referencia a la economía y la ecología de las praxeologías

matemáticas y didácticas en torno al CDE en la institución de enseñanza

secundaria. En consecuencia, algunas de las cuestiones que forman parte

de nuestro problema de investigación, y cuyas respuestas están en

proceso de construcción, son las siguientes:

(a) ¿Qué papel juega la noción de “derivada” en la actual

organización matemática escolar de secundaria? ¿Cuáles son las

cuestiones a las que responde actualmente el CDE en la enseñanza

secundaria, esto es, cuál es su razón de ser?


21

(b) El actual modelo epistemológico dominante del CDE en la

enseñanza secundaria, ¿cómo condiciona la forma de organizar su

enseñanza en dicha institución?

(c) ¿Cuál es la amplitud del ámbito matemático más adecuada para

plantear el problema didáctico del CDE?

(d) ¿Por qué el CDE aparece en la enseñanza secundaria

relativamente aislado de la MF (en el sentido de Ruiz-Munzón

2010)? ¿Qué fenómenos de transposición didáctica (Chevallard

1985, 1991) permiten explicar el estado actual del CDE en la

enseñanza secundaria?

(e) ¿Qué condiciones se requieren para introducir el CDE en

Secundaria como desarrollo del proceso de MF?

(f) ¿En qué niveles de la escala de codeterminación didáctica

surgen las restricciones que dificultan la integración de la MF y el

CDE en la enseñanza secundaria?

(g) ¿Qué condiciones se requieren y qué restricciones impiden que

el CDE y, en particular, la noción de “derivada de una función”

aparezca inicialmente en Secundaria ligada a las necesidades

operatorias para construir y utilizar modelos funcionales, esto es,

como respuesta a una problemática de economía técnica, antes que

a una problemática conceptual?

(h) ¿Qué dispositivos didácticos se requieren para construir la

infraestructura didáctico-matemática necesaria para organizar el

estudio integrado de la MF y el CDE?

Para seguir avanzando en nuestra investigación, debemos contrastar

empíricamente las diez conjeturas relativas al modelo epistemológico

dominante en Secundaria sobre el CDE (ver apartado 3) y llevar a cabo

un análisis de la evolución histórica del CDE en la enseñanza secundaria

portuguesa. Con los datos obtenidos en estos estudios y utilizando los

criterios descritos anteriormente (ver apartado 5), debemos construir una

primera versión de un MER que articule la MF con el CDE y diseñar y

experimentar un REI sustentado en él. Analizando la reacción del sistema

ante dicha experimentación, podremos describir algunas de las

condiciones que se requieren y de las restricciones que dificultan que el

tipo de trabajo que proponemos en torno a la génesis y el desarrollo del

CDE pueda vivir con normalidad en la enseñanza secundaria portuguesa,

lo que constituirá un primer análisis ecológico del tipo de actividad

matemático-didáctica propuesta.


22

Referencias bibliográficas

Barquero, B. (2009). Ecología de la modelización matemática en la

enseñanza universitaria de las matemáticas (Tesis doctoral).

Departament de Matemàtiques. Universitat Autònoma de Barcelona.

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1

Médias – milieux, une frontière ténue au sein de

la problématique de base

Yves Matheron EA-ADEF, Aix-Marseille Univ.; ENS de Lyon, IFE, Marseille,

France Abstract. This paper presents the outline of a reflection on the concept of media in relation to the concept of milieu, appeared in the field of didactics relatively recent and from the ATD (Chevallard, 2008). Resumen. En este trabajo se presenta el esquema de una reflexión sobre el concepto de medios de comunicación en relación con el medio ambiente, apareció en el campo de la didáctica relativamente recientes y de la TAD (Chevallard, 2008). Résumé. Ce texte présente l’ébauche d’une réflexion sur le concept de média, en relation avec celui de milieu, apparu dans le champ de la didactique de manière relativement récente et depuis la TAD (Chevallard, 2008).

Yves Matheron

2

Cet article souhaite débattre de la distinction traditionnellement opérée en didactique entre milieu et média.

D’une part, la notion de milieu se rapporte en didactique à un système dénué d’intention. Les rétroactions qu’il retourne des actions exercées sur lui n’apparaissent portées par aucune intention… bienveillante, malveillante ou didactique : il peut être vu, d’une certaine manière, se comportant comme la nature.

D’autre part, le terme de média, apparu il y a une cinquantaine d’années en français1, désigne d’après le dictionnaire Larousse : « un procédé permettant la distribution, la diffusion ou la communication d’œuvres, de documents, ou de messages sonores ou audiovisuels (presse, cinéma, affiche, radiodiffusion, télédiffusion, vidéographie, télédistribution, télématique, télécommunication) ». A l’opposé d’un milieu, un média porte donc une intention : celle d’informer, de communiquer.

En première approche, les termes de milieu et de média diffèrent ainsi d’un point de vue cardinal en didactique, si l’on veut bien considérer le didactique comme ensemble de phénomènes traduisant une intentionnalité : celle de faire établir ou de modifier le ou les rapports de personnes ou d’institutions à des praxéologies ou des parties de praxéologies.

1. La question des médias pour l’étude à l’École

De nos jours, lorsqu’une personne ou une institution tentent d’apporter réponse à une ou des questions, il apparaît déraisonnable qu’elle se prive du recours à divers médias parmi une multitude devenue plus facilement accessible : ouvrages ou revues, Internet, radio ou presse audio-visuelle, films, documents, informations recueillies de la bouche de personnes auprès desquelles enquêter, etc.

1 Le dictionnaire en ligne du CNTRL fait remonter son apparition à 1964, en tant qu’abréviation de mass-media.

Eje …

Médias – milieux, frontière ténue

3

Pourtant, sous la forme scolaire dominante qui recourt à l’ostension déguisée (Berthelot & Salin, 1992), une organisation pédagogique assez générale confine les élèves en classe dans une position où ils sont dépourvus d’accès à des médias. Ils se retrouvent « aux mains nues » face aux problèmes qu’ils affrontent et qui leur sont proposés (Matheron & Noirfalise, 2011). Se lancer par la recherche dans l’étude en classe d’une question dont la réponse est censée faire avancer le temps didactique ne suppose guère plus que la mobilisation de ressources personnelles, éventuellement mutualisées au sein de petits groupes d’élèves. Ainsi, la réponse ne saurait être autrement construite qu’à partir de connaissances antérieures disponibles, intelligemment combinées. Leur accroissement pourrait éventuellement se nourrir de la prise en compte des rétroactions d’actions dirigées sur un certain milieu, commandées par la mobilisation des connaissances antérieures. Un tel système de conditions et contraintes didactiques afférentes à l’étude d’une question problématique est le produit de déterminations qui relèvent de différents niveaux, notamment de ceux propres à l’organisation de l’École et à la pédagogie que la société ou la civilisation souhaitent y voir mise en place. Je n’interrogerai pas davantage les contributions respectives des niveaux de codétermination didactique à cet état de fait. Mais je relève seulement le constat qu’une telle situation au sein de laquelle le recours aux médias « traditionnels » est soit impossible, soit empêché, est celle dans laquelle se trouvent en France, le plus souvent, les élèves des classes de mathématiques2, ainsi que de nombre de disciplines scolaires. La didactique a pu décrire les effets de contrat dont use

2 Le programme actuel du Collège (élèves de 11 à 15 ans) mentionne, p. 10 : « […] l’activité de chaque élève [qui] doit donc être privilégiée. Pour cela, et lorsque c’est possible, sont choisies des situations créant un problème dont la solution fait intervenir des « outils », c’est-à-dire des techniques ou des notions déjà acquises, afin d’aboutir à la découverte ou à l’assimilation de notions nouvelles. » Souligné par moi.

Yves Matheron

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l’enseignant sous ce régime didactique, et qui permettent d’entretenir aux yeux de tous, sous la forme didactique de l’ostension déguisée, la fiction que l’on rend néanmoins l’élève « activement constructeur » du savoir.

Ainsi donc, le schéma herbartien (Chevallard, 2008 & Chevallard, 2012) qui modélise une dialectique des médias et des milieux nécessaire à l’étude, ne semblerait guère vivre, en première approche et à quelques créations didactiques institutionnelles à la vie éphémère près (Travaux Personnels Encadrés en France, par exemple), qu’à l’extérieur du lieu traditionnellement dédié à l’étude des savoirs : l’École. Pour ceux qui la fréquentent, les moments consacrés à la consultation de médias, s’ils existent, relèvent de l’extérieur de la sphère temporelle et spatiale de la classe. C’est un temps non interrogé ; celui de l’étude personnelle privée laissée, au nom de l’autonomie, à la libre initiative de chacun, et sur lequel l’institution ne porte pas son regard : temps passé en bibliothèque scolaire, en consultation de manuels, en recherche d’aide auprès de personnes de son entourage proche3.

De retour dans les temps et lieu de la classe, se plaçant dans le cadre qui vient d’être sommairement décrit et dépourvu de médias, une question large apparaît : à l’aide de quels moyens commencer à étudier une question et lui apporter un embryon de réponse ? Ou encore, sur quoi s’appuyer pour se lancer dans l’ébauche d’une technique lorsque l’on a à résoudre une tâche problématique ? La réponse a été historiquement apportée en didactique par la notion de milieu (Brousseau, 1990 &

3 L’actuel programme de Seconde (élèves de 15 à 16 ans) indique p. 2, et dans une partie intitulée Diversité de l’activité de l’élève, quelques techniques du travail mathématique : la recherche et l’expérimentation à l’aide de logiciels, l’application de techniques et d’algorithmes, la recherche de résultats partiels, l’explication orale et la communication écrite. Et hors la classe : « les travaux écrits faits hors du temps scolaire permettent, à travers l’autonomie laissée à chacun, le développement des qualités d’initiative. » Souligné par moi.


5

Chevallard, 1992). Mais quelle réalité le terme de milieu recouvre-t-il ?

2. Quelques questions soulevées par le concept de milieu

2.1. Origine et évolution du concept de milieu en didactique

On connaît la définition originelle du milieu telle qu’on la trouve et telle qu’elle a diffusé à partir d’un article de Guy Brousseau (1990) : celle d’un système antagoniste du système-élève. La définition donnée m’apparaît avant tout fonctionnelle. C’est ce que semble confirmer G. Brousseau (1986a) lorsqu’il indique, dans sa thèse d’État, que la description des sous-systèmes, dont celui de milieu, n’est pas un objectif premier lorsqu’on modélise une situation d’enseignement : ce travail, dit-il, concerne avant tout l’étude des relations entre les sous-systèmes. Ainsi :

Modéliser une situation d’enseignement consiste à produire un jeu spécifique du savoir visé, entre les sous-systèmes : le système éducatif, le système élève, le milieu… etc. Il ne s’agit pas de décrire précisément ces sous-systèmes autrement que par les relations qu’ils entretiennent dans le jeu. (p. 326)

La modélisation du milieu sous forme de structuration, rendue publique par G. Brousseau en 1990, puis développée par d’autres en théorie des situations didactiques, semble poursuivre cette visée avant tout fonctionnelle : le processus didactique au cours duquel sont produites des connaissances nouvelles, progressivement instituées en savoir, est généré par un mécanisme temporel qui voit la situation de niveau inférieur devenir le milieu de la situation de niveau supérieur. La recherche d’un approfondissement du concept de milieu renvoie, comme on peut le constater, au concept de situation. Mais alors, qu’est-ce qu’une situation ? Au niveau le plus élémentaire il s’agit, en théorie des situations, du couple formé

Yves Matheron

6

par un sujet4 et un milieu – milieu dit matériel dans ce cas – sur lequel agit le sujet. Les définitions données pour situation et milieu bouclent alors sur elles-mêmes5. Au-delà d’une définition fonctionnelle et en compréhension, demeure ainsi ouverte la question d’une définition en extension de ce qu’est le (ou un) milieu en théorie des situations didactiques. La manière dont s’établissent les relations entre les sous-systèmes, et notamment entre les sous-systèmes élève et milieu, en est une autre.

Si l’on quitte en effet le niveau du milieu matériel sur lequel le sujet agit, pour aller vers les niveaux d’ordre supérieur, c’est-à-dire ceux des milieux objectif, de référence, d’apprentissage et didactique, ainsi que vers les situations qui les contiennent, les relations du sujet à ces milieux sont définies en évoquant la pensée, l’imagination, la représentation, la réflexion. C’est ce qu’explicite G. Brousseau (1986b), lors de la IVe école d’été de didactique des mathématiques. Dans l’extrait suivant du tapuscrit du cours qu’il donne, j’ai volontairement souligné en italique certains passages. L’observateur attentif des théorisations didactiques notera que les numérotations des milieux et des situations ont changé entre la IVe école d’été (cours de G. Brousseau) et la IXe (cours de C. Margolinas).

Un élève qui s’imagine agissant sur M4 se trouve dans la position S3. Les rapports de S4 et de S3 avec leurs milieux respectifs sont radicalement différents. Les premiers sont des rapports d’action, les seconds, plus réflexifs, se rencontrent dans des situations de formulation ou de preuve. Un élève peut se trouver dans une position S3 sans que la position S4 ait été

4 Le « sujet » évoqué est un élève générique, et non un sujet épistémique. 5 Cette définition a été récemment reprise dans le même sens par G. Brousseau : « Nous avons appelé “ situation ” (sous entendu mathématique) un modèle d’interaction d’un sujet avec un certain milieu qui détermine une connaissance donnée comme moyen, pour le sujet, d’atteindre ou de conserver dans ce milieu un état favorable. » (Education & Didactique, (6)2, 2012, p. 106)


7

réalisée ni même soit envisagée ; Dans ce cas, le sujet S3 observe M4 sans imaginer entrer en interaction avec lui ce qui peut limiter sensiblement ses possibilités de raisonnement.

Tenter de saisir ce que sont les milieux propres aux divers types de situations autres qu’objective suppose, dans la modélisation proposée par G. Brousseau, de recourir à ce qui est du domaine de la pensée ; et qui n’est donc pas nécessairement observable.

2.2. L’aspect malcommode du concept de milieu en didactique

Les tentatives de redéfinition du concept de milieu opérées ces dernières années par nombre de didacticiens m’apparaissent symptomatiques de l’aspect malcommode de ce concept, importé car venu d’autres champs scientifiques, lorsqu’on tente de l’opérationnaliser pour étudier l’établissement des rapports au savoir. C’est ainsi que tout en conservant une modélisation en termes de jeux et de stratégies gagnantes, spécifique de l’aspect relatif à l’apprentissage en théorie des situations, G. Sensevy (2007) est amené à parler de référence :

« Les normes pérennes du contrat didactique, plus ou moins spécifiques, vont faire partie de ce contexte cognitif commun, sur l’arrière-fond duquel les transactions didactiques vont pouvoir se dessiner. Ces significations communes, dans la construction d’une commune référence, sont indispensables à la production des stratégies gagnantes. »

Définition complétée en 2008 dans un article de F. Ligozat & F. Leutenegger qui voient « la référence » comme un : « monde supposé partagé par les instances de la relation didactique (même si ce n’est qu’une fiction) et c’est [la construction d’une référence commune] une des dimensions essentielles du travail du professeur ». On retrouve, dans leur article, une préoccupation partagée par beaucoup :

« Cette option permet de caractériser avant tout le système d’objets et de tâches auquel les élèves ont affaire et de ne pas

Yves Matheron

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poser a priori l’existence d’un milieu mathématique (au sens de Brousseau, 1990) qui aurait des caractéristiques a-didactiques (système antagoniste à l’action de l’élève) de nature à porter des phases d’action, formulation et validation. »

Lorsqu’on tente d’aller au-delà de l’analyse d’un milieu au sens « traditionnel » du terme – milieu dont les niveaux de la structuration, selon les schémas venus de la théorie des situations, seront le plus souvent « bancals » –, se pose la question des causes provoquant des phénomènes d’actions d’élèves. Celles-ci peuvent apparaître inattendues lorsqu’on les réfère à l’intention didactique ayant conduit à faire se confronter des élèves à une tâche problématique. Mais à la question « comment se fait-il que des élèves convoquent des moyens inappropriés ? », qui a pu être étudiée en didactique à partir de la notion de bifurcation, il m’apparaît plus fructueux de substituer celle-ci : « comment les élèves convoquent-ils des moyens ? »

3. Deux observations sur milieu et média Un retour sur deux observations anciennes montre, entre autres, que des phénomènes relatifs aux milieux et aux médias peuvent parfois être fortuitement constatés, sans qu’on ait eu l’intention de les provoquer ; ce qui donne matière à leur développement.

3.1. Où les ostensifs ne sont pas ceux que l’on croit6

Lors de la deuxième enquête internationale sur l’enseignement des mathématiques, au début des années 1980, un item voulant tester la connaissance du concept de similitude était proposé à des élèves de 13 à 14 ans. En 1982 – 1983, le problème était donc le suivant :

6 Il s’agit de la reprise d’une étude faite en 1994, pour mon DEA.


9

Le dessin ci-dessus montre comment Pierre utilise le petit arbre pour trouver la hauteur du grand. Quelle

hauteur va-t-il trouver ?

A 10 m B 12 m C 14 m D 17 m E 20 m

Figure 1. Item proposé en 1982 - 1983

Comme c’est souvent le cas dans ce type d’enquêtes, il est difficile d’accorder les items aux programmes effectivement enseignés d’un pays à l’autre lorsque l’on prend l’âge des élèves pour seul critère de passation. Aussi, cet item a-t-il été passé par des élèves français de 4e (élèves de 13 – 14 ans) avant que le savoir traditionnellement attendu pour sa résolution, le théorème de Thalès, leur soit effectivement enseigné : il relevait à cette époque en France du programme du 3e (élèves de 14 – 15 ans).

Sur les 27 élèves testés en 1982 – 1983, 25 trouvent la réponse exacte : 10 m. L’item est repris en 1993 – 1994, avec 64 élèves de 4e à qui le théorème de Thalès n’est pas encore enseigné, car toujours au programme de la classe suivante. Il s’agit désormais de huit problèmes comparables à celui-ci, utilisant les mêmes données numériques, mais pour lesquels l’habillage ou l’orientation de la figure varie. Contrairement à l’item de 1982, les diverses réponses possibles ne sont pas fournies, et les élèves doivent noter leurs calculs et raisonnements sur la feuille du problème. 70 % des élèves donnent la réponse exacte en utilisant un raisonnement de type proportionnel. Pour expliquer cette réussite que l’on peut

3m15m

2m

?

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considérer inattendue du point de vue institutionnel – une connaissance est disponible alors que le savoir n’est pas encore enseigné –, on aurait pu évoquer la mobilisation de connaissances antérieures formées dans des situations de similitude : connaissances sociales (les photographies, les images des panneaux publicitaires, constituent des occasions de rencontres avec des réductions ou des agrandissements) ou scolaires (échelles, reproductions sur feuilles de papier de figures dessinées au tableau, etc.) Cette connaissance s’exprimerait alors à partir de l’interprétation de l’ostensif représenté par la figure constitué des deux arbres. Cette explication s’est avérée erronée.

D’une part, lorsqu’on proposait aux élèves le problème avec les mêmes données numériques (2 m, 3 m, 15 m), dans une situation où les arbres représentés n’étaient pas parallèles, ils recherchaient néanmoins la hauteur manquante du grand arbre par les mêmes calculs et raisonnements que dans le cas d’une similitude, et annonçaient 10 m. D’autre part, lorsqu’on leur présentait le problème dans la situation des arbres parallèles, avec des données numériques exactes mais plus nombreuses que les seules trois valeurs 2 m, 3 m, 15 m, par exemple en donnant une valeur de l’angle et les distances du point de visée aux sommets des arbres, ils étaient incapables de répondre. Ainsi la variation du milieu matériel entre ces divers problèmes, ou plutôt des ostensifs contenus dans la représentation du milieu matériel, n’était pas perçue par les élèves à partir de l’observation de la figure elle-même, mais plutôt à partir de la donnée de trois nombres et de la recherche d’un quatrième. Par contrat, les ostensifs numériques et non pas graphiques associés à la question, étaient interprétés, pour y répondre, comme indiquant la nécessité de se replacer au sein d’un univers


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cognitif fait de rapports à des objets antérieurement étudiés au sein du secteur de la proportionnalité7.

3.2. Replacement et gestes de replacement

L’exemple précédent permet de retrouver un phénomène didactique mémoriel à portée anthropologique, qui s’appuie sur les résultats établis en sociologie de la mémoire (Halbwachs, 1925 & 1950) : en situation didactique, pour répondre à des besoins actuels, on se souvient et on mobilise un équipement praxéologique en se replaçant au sein d’un niveau de codétermination didactique antérieurement fréquenté et à partir duquel on pense trouver les aides praxéologiques nécessaires (Matheron, 2011).

L’effet mémoriel peut être provoqué par le professeur à partir de gestes de replacement (Araya, 2008). Par exemple, Garcia-Debanc & Sanz-Lecina (2008, p. 160) étudient des enseignantes débutantes dans des classes de primaire lors de séances de grammaire relatives à l’identification des sujets des verbes dans des phrases. Il se produit l’épisode suivant dans lequel M désigne la maîtresse et E un élève : « 246 M - […] on va mettre en place des/des choses qui vont nous aider à réussir pourquoi il était difficile à identifier ce sujet Jordan. 328 E – la méthode que j’ai donnée je la connais du CE1. 329 M – oui ce sont des méthodes qu’on connaît moi l’autre fois on avait parlé de quelque chose ensemble une méthode au début de l’année et aujourd’hui vous ne l’avez pas redonnée ».

Cet extrait d’interactions M / E ne permet pas de connaître la technique utilisée par l’élève, ni de savoir à propos de laquelle professeur et élèves « avaient parlé au début de l’année ». Mais néanmoins, l’élève qui prend la parole se replace au sein de la classe de CE1 (la classe observée est une classe de CM2, trois

7 Il est aussi possible, comme cela m’a été suggéré, que les longueurs entières données guident vers la recherche d’un entier qui devient alors rapport de proportionnalité.

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niveaux au-dessus du CE18) qu’il a fréquentée. La maîtresse s’appuie alors sur ce souvenir et sur cette technique mémorielle rendus publics pour tenter de replacer les autres élèves au sein d’un épisode d’enseignement de la grammaire, afin de faire advenir « une méthode » permettant la détermination du sujet : « oui ce sont des méthodes qu’on connaît […] l’autre fois on avait parlé de quelque chose ensemble ».

3.3. Les aléas liés à l’interprétation d’ostensifs

On revient dans ce court paragraphe sur une observation précédemment évoquée dans les actes du Ier Colloque international sur la TAD, à Baeza en 2005 (cf. Zarrouati & Matheron, 2007). Dans le but d’enseigner la mise en équations et la résolution des systèmes linéaires de deux équations du 1er degré à deux inconnues, les élèves d’une classe de 3e (élèves de 14 à 15 ans) ont à rechercher des problèmes mobilisant le même type de tâches afin de construire des techniques de résolution que l’on souhaite faire converger vers les techniques standard attendues. Par exemple, le premier problème est le suivant : « dans une clinique il n’y a que des chambres à un lit et à deux lits. 20 malades occupent tous les lits des 13 chambres. Combien de chambres à un lit et de chambres à deux lits y a-t-il ? »

Dans le film de la séance en classe, plusieurs indices montrent que la dévolution d’un niveau de codétermination didactique dans lequel se placer a effectivement opéré : celui du domaine des « Travaux numériques ». Une discussion a été enregistrée entre le professeur et deux des élèves qui ont tenté des réponses aux problèmes. Le professeur intervient : « Vous avez pensé aux problèmes d’arithmétique qu’on a vus en début d’année. Et avec le PGCD, ça marche ? Expliquez-moi un peu. » Ces deux élèves ont en effet utilisé l’algorithme dit « des différences successives » pour le calcul du PGCD de deux nombres, étudié quelques mois auparavant. Il se trouve que 8 En CM2, les élèves ont entre 10 et 11 ans. En CE1, ils ont entre 7 et 8 ans.


13

fortuitement, la recherche du PGCD de 20 et 13 en soustrayant tout d’abord 20 – 13 = 7, puis 13 – 7 = 6, revient à une soustraction membre à membre de la deuxième équation à la

première dans le système

€

x +2y = 20x + y =13⎧ ⎨ ⎩

qui modélise le

problème précédent. Ce qui donne immédiatement y = 7, puis en substituant y par 7 dans la deuxième équation : x = 6. La portée de cette technique, erronée quand on la rapporte au type de tâches à accomplir mais qui fournit pourtant un résultat satisfaisant dans le cas de ce problème, est mise en échec dès le deuxième problème pour lequel les coefficients n’autorisent plus ce rapprochement technique. La photographie ci-dessous est celle de la feuille rédigée par ces deux élèves et contenant les solutions qu’ils proposent ; sous le titre « 1er problème » se trouve la solution citée dans les lignes qui précèdent.

Figure 2. La feuille de travail des deux élèves

Pour ces deux élèves, les ostensifs identifiés dans l’énoncé du problème les ont conduits à se replacer au niveau du domaine du numérique. Ils jouent le rôle d’ostensifs de guidage vers une organisation mathématique ou l’un de ses éléments (Araya,

Yves Matheron

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2010). On retrouve en ce point le même phénomène didactique mémoriel que dans le cas discuté en 3. 1. Mais le premier embranchement vers un niveau de codétermination didactique plus spécifique, de l’ordre du secteur9, a été fatal. La donnée de deux nombres, 20 et 13, et la demande d’en rechercher d’autres, ont rappelé pour ces élèves la recherche du PGCD de deux nombres, et non le tâtonnement à l’aide de schémas représentant des lits et des chambres, comme on a pu l’observer dans cette classe. On peut encore inférer que l’interprétation de certaines clauses contractuelles a peut-être renforcé une orientation dans cette voie : par exemple la clause qui veut que l’on mobilise dans un problème des savoirs étudiés en cours d’année scolaire.

3.4. Quelle leçon tirer des exemples précédents ?

La position adoptée ici consiste à considérer que le « milieu » sur, contre ou avec lequel on agit pour parvenir à résoudre le problème, est constitué de rapports stables (Chevallard, 1992), ou encore en voie de stabilisation comme c’est le cas des deux élèves engagés dans la recherche erronée d’un PGCD. Des traces de cette instabilité apparaissent d’ailleurs dans leur comportement : ils se sont assurés d’une maîtrise convenable de la technique dite « des différences successives », en recherchant l’explicitation de son usage dans leurs cours. A défaut de pouvoir solliciter la mémoire du collectif constitué de la classe, qui jouerait alors le rôle d’un média, le cahier de cours s’y substitue en tant qu’objet porteur de mémoire externe pouvant ainsi suppléer d’éventuelles déficiences du souvenir personnel. Dans l’ordinaire de l’organisation scolaire et faute de disposer de médias, les rapports constitutifs du milieu – en reprenant la définition donnée par Y. Chevallard (1992) – ne peuvent être que les rapports de type cognitif, relatifs à des souvenirs de parties d’organisations praxéologiques, parfois incomplètes,

9 Rappelons que les divers types d’organisations praxéologiques peuvent être ordonnés selon une indexation allant du général au spécifique : domaine, secteur, thème, sujet.


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issues de domaines, secteurs, thèmes ou sujets, qui se convertissent en rapports pratiques, pour l’action.

La question qui se pose alors est celle des objets et des indices autorisant ce rappel mémoriel. Ces objets sont des ostensifs (Bosch, 1994 ; Bosch & Chevallard, 1999), parfois appelés « représentations » au risque de la polysémie du terme, dont la valence sémiotique est, dans le premier moment de la recherche d’un problème, celle qui s’exprime le plus fortement ; l’autre valence, instrumentale, n’étant pas nécessairement sollicitée à cet instant. Ainsi donc, la réalité sensible de certaines données des problèmes – trois nombres et la recherche d’un quatrième, et non pas l’ostensif graphique constitué de la figure dans le « cas Thalès » du 3. 1., ou la donnée de deux nombres dans le « cas des systèmes » du 3. 3. –, induit une certaine perception variable chez des sujets institutionnels soumis à des clauses contractuelles (disposer des connaissances anciennes permettant de s’attaquer à un problème nouveau est une clause du contrat didactique), qui conduit à son tour vers un replacement mémoriel au sein d’un niveau d’organisation du savoir. On retrouve en ce point la distinction classique opérée tant en philosophie qu’en psychologie cognitive entre sensation et perception ; cette dernière dépendant de l’apprentissage et du contexte institutionnel, facteurs qui influent sur l’interprétation des stimuli sensoriels.

La description qui vient d’être proposée et qui fait jouer un rôle important à la sensation et à la perception sous contrat s’accorde assez bien avec une des autres propositions de redéfinition du concept de milieu en didactique. Pour Sophie René de Cotret (2011) :

« Le milieu est défini, selon mon point de vue, comme ce à quoi est sensible l’élève (ou le sujet). Cette définition, bien que compatible au départ avec celle de Brousseau, qui définit le milieu comme le système antagoniste de l’élève, entraîne quelques distinctions. La principale consistant en l’obligation

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de se demander : le système antagoniste tel que vu par qui ? » Souligné par moi.

Ainsi, sous contrat, des objets constitutifs de la tâche problématique, ou si l’on veut du milieu, ce terme étant pris dans le sens « problème ou exercice », se transforment chez certains sujets institutionnels en indices perçus comme des médias auxquels on attribue des indications à suivre. La définition de médias comme « mise en représentation d’une partie du monde naturel ou social à l’adresse d’un certain public » (Chevallard, 2008) peut sans doute s’appliquer à ce cas si l’on considère que de tels médias possèdent la particularité d’être construits contractuellement par un public restreint qui les adresse… à lui-même. Une telle extension du concept de média ne semble pas tomber sous le coup d’un abus dans la mesure où tout média s’adresse à un public plus ou moins restreint : celui qui sait contractuellement, lire, entendre, voir, évaluer, se servir des informations et en définitive interpréter ce qu’on souhaite lui faire savoir. Dans une institution soumise à un contrat didactique, la frontière entre médias et milieux devient ténue pour certains de ses sujets.

4. Média – milieu et problématique de base Les observations précédentes ont été réalisées de manière fortuite. Un changement des conditions didactiques rend-il de telles observations plus faciles ? Ou encore, les ingénieries didactiques qui se placent dans le cadre de la problématique de base en didactique, ou les modifications institutionnellement décidées de certaines des conditions, nous fournissent-elles des moyens pour de telles observations et, dans ce cas, que nous apprennent-elles ? Rappelons la définition de la problématique de base en didactique, telle que donnée par Yves Chevallard (2011) lors de la XVe école d’été de didactique des mathématiques en 2009 : « Étant donné certaines contraintes pesant sur telle institution ou telle personne, sous quels ensembles de conditions cette institution ou cette personne


17

pourrait-elle intégrer à son équipement praxéologique telle entité praxéologique désignée ? »

4.1. Un exemple à partir de conditions modifiées par l’institution

Il arrive que les décideurs en charge d’un système éducatif choisissent d’apporter d’importantes modifications à certaines contraintes qui prévalent d’ordinaire au sein du système, et organisent la mise en place plus ou moins heureuse de conditions nouvelles. Ce fut ainsi le cas en France au tournant des années 2000, qui vit l’apparition, au cycle terminal des lycées (élèves de 16 à 18 ans), d’un dispositif nouveau : les travaux personnels encadrés. Des contraintes temporelles et pédagogiques étaient libérées et des conditions nouvelles mises en place. Sans entrer dans les détails, les élèves devaient, en petits groupes variant de deux à quatre, construire sur un temps assez long, de l’ordre du semestre, des éléments de réponses à une question inscrite au sein d’un thème. Les élèves avaient à s’engager dans une enquête et pour cela à consulter divers types de médias.

Il m’a été donné de suivre un trinôme d’élèves travaillant sur la question suivante : « jusqu’où la caulerpa taxifolia va-t-elle étendre son développement en mer Méditerranée ? » La question initiale surgissait d’une information sur la pollution en mer Méditerranée, délivrée par des médias. On y apprenait, au détour d’une question relative à la disparition de certaines espèces de poissons, que se développe sur les côtes françaises et italiennes une algue tueuse de l’herbier de posidonies : la caulerpa taxifolia.

Une telle information a incité ce groupe d’élèves à approfondir l’étude, à aller s’informer sur cette algue, ses effets, son mode de reproduction et sa vitesse de propagation, etc. Mais tout d’abord une question se posait : en quoi la destruction des posidonies cause-t-elle la disparition de poissons ? On voit ainsi que l’instruction de la question initiale ayant, dans un

Yves Matheron

18

premier temps, engagé dans la recherche de médias pouvant apporter une réponse, la rétroaction d’un média informant sur une partie de celle-ci peut, dans un second temps, être aussi considérée comme provenant d’un milieu. En fait, la recherche dans les médias indique que les posidonies sont des plantes à fleurs sous-marines dont se nourrissent certaines espèces de poissons, et qui servent de frayères et de nurseries. Leur disparition entraîne celle de poissons, non pas uniquement parce qu’ils se nourrissent de ces plantes, comme on pourrait tout d’abord le croire, mais parce qu’ils s’y reproduisent et que s’y développent les alevins.

Une telle rétroaction engage à son tour vers la recherche d’une mise à disposition d’autres médias fournissant des éléments de réponses permettant d’instruire la question initiale : jusqu’où cette destruction par extension de la plante tueuse, et ainsi de suite ? Cette quête passe, ou devrait nécessairement passer, par la recherche d’un milieu, en tant que système antagoniste dénué d’intentions, permettant la validation d’éléments de réponses recueillies dans les médias, puisque ceux-ci délivrent intentionnellement des informations dont il convient de vérifier la validité.

Telle que décrite dans les lignes qui précèdent, l’enquête menée pour répondre à la question posée suit un processus que Yves Chevallard (2008) a désigné par l’expression de « dialectique des médias et des milieux ». La libération de contraintes temporelles et de programme, le changement de rôle du professeur qui n’est plus seulement celui qui indique – en tant qu’enseignant – mais celui qui dirige, le topos élargi des élèves, etc., engagent vers un processus didactique de ce type. Les médias et les milieux constituent les deux pôles d’une dialectique dont le processus d’alternance assure par dépassement l’avancée dans la production d’éléments de réponses. Mais ces pôles sont-ils si aisément séparables dans d’autres ingénieries didactiques ? Un dernier exemple, bien connu, permet d’éclairer la question.


19

4.2. Retour sur l’agrandissement du puzzle

Les rares publications anglo-saxonnes présentant des concepts venus de la TSD, si l’on excepte G. Brousseau (1997), utilisent pour la notion de milieu l’exemple de la course à 20 (Warfield, 2006) ou du puzzle (Ruthven, Laborde, Leach & Tiberghien, 2009). Revenant à la source, on suivra la description de la séance 38 telle qu’exposée dans la brochure de 1987, Rationnels et décimaux dans la scolarité obligatoire, de Nadine et Guy Brousseau ; plus précisément on se reporte à la page 141 de la brochure. L’exposé de cette séance est repris de manière plus concise de Guy Brousseau, Théorie des situations didactiques, en 1998, page 239.

On sait que les élèves ont à agrandir les pièces d’un puzzle de manière qu’une longueur initiale de 4 cm devienne 7 cm dans l’agrandissement. Ils échouent dans un premier temps après avoir proposé soit d’ajouter 3 cm à toutes les longueurs des pièces, soit de les multiplier par 2 puis de soustraire 1 cm. Ils prennent conscience, par rétroaction du milieu matériel, que les pièces ainsi agrandies ne s’accordent pas, et ceci invalide les techniques qu’ils ont proposées. On est arrivé en ce point au début de la séance 38 au cours de laquelle « vous allez essayer de trouver les bonnes mesures qui permettront de réaliser le puzzle » dit le professeur.

Le déroulement de la séance est décrit à peu près dans les mêmes termes dans les ouvrages de 1987 et de 1998. Dans la brochure de 1987 : « 1°) Pour plus de facilité, l’enseignant (ou quelquefois un des enfants qui a réussi dans l’activité précédente) dispose les longueurs dans un tableau :

4 → 7 5 → 6 → 2 → 9 → 7 → »

Yves Matheron

20

Dans l’ouvrage de 1998 : « Lorsque les enfants admettent qu’il doit y avoir une autre loi et se mettent à la chercher, les choses vont beaucoup plus vite, surtout si l’un d’eux, ou le maître, dispose les longueurs dans le tableau (figure 10).

4 ⎯ 7 5 ⎯ 6 ⎯ 2 ⎯ 9 ⎯ 7 ⎯ » Les flèches de l’ouvrage de 1987 sont remplacées par des traits dans celui de 1998, mais le scénario est décrit de la même façon.

L’exposé de ce qui survient ensuite est intéressant. On se contente ici de mentionner l’ouvrage de 1997, plus explicite. « Aussitôt, il en est toujours un pour demander que l’on trouve l’image de 8 (qui ne sert pas, mais qu’ils ajoutent malgré tout dans le tableau) 8 → 14

Cette proposition, qui n’est pas rejetée, permet peut-être le surgissement presque instantané d’un autre modèle : “ il faudrait l’image de 1 ”. » Le fait de disposer dans un tableau la donnée connue (4 → 7) ainsi que celles recherchées, en les

ordonnant à l’aide de flèches ou de traits, induit l’engagement dans une technique relevant de la proportionnalité. Une question intermédiaire surgit alors, et qui n’a a priori aucun rapport avec les autres questions concernant 5, 6, 2, 9 et 7 : « à quoi correspond le double de 4 ? », à laquelle il est immédiatement répondu : « le double de 7 ». Les ostensifs constitués des nombres, des flèches, des places vides à compléter par des nombres au bout des flèches, de la disposition en tableau du problème, sont perçus comme « mise en représentation d’une partie du monde » à destination des élèves qui les conduit vers un replacement mémoriel au sein du thème de la proportionnalité antérieurement fréquentée, aussi bien


21

dans le monde scolaire que social. La modélisation de la situation, menée par le professeur aidé parfois d’un élève d’après la description donnée, joue le rôle de média. Dans un cadre soumis au contrat didactique, elle informe sur ce qu’il est possible de faire. Le seul milieu pour confirmer la validité de la technique mise en œuvre est celui rencontré ensuite par les élèves, lorsqu’ils constatent que les pièces du puzzle agrandies dans le rapport 7/4 s’accordent effectivement. Au moment où surgit la recherche de 8, le milieu, si l’on souhaite conserver ce terme, n’est fait que des rapports stabilisés à la proportionnalité, indiqué par les ostensifs dont la perception par les élèves équivaut à celle d’un média qui informe.

Arrivés en ce point, il nous faudrait s’engager dans des analyses d’une plus grande finesse pour percevoir la séparation éventuelle des pôles constitués par milieu et média, tant la frontière entre les deux semble ténue.

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Yves Matheron

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Yves Matheron

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1

La pédagogie de l’enquête et l’inquiry: une analyse depuis

l’enseignement des mathématiques et de la physique

María Rita Otero,

Núcleo de Investigación en Educación en Ciencia y Tecnología

NIECyT-UNCPBA

Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. CONICET

María de los Ángeles Fanaro, Viviana Carolina Llanos


NIECyT-UNCPBA

Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas. CONICET

Abstract In this paper we try to use the ideas of the pedagogy of the research and

questioning the world and the Study Research Paths (SRP) to analyze critically the

approach called Inquiry. We have realized a brief historical synthesis showing the

successive declines of the Inquiry approach when it has been adapted to the school

"reality". We establish our position in favor of the Anthropological Theory of the Didactic

(ATD) as a powerful theoretical frame to reinterpret the problems that the Inquiry tries to

solve, without success, because it lacks a didactic perspective and defined theoretical

foundations.

Resumen En este trabajo intentamos utilizar las nociones de pedagogía de la

investigación y del cuestionamiento del mundo y de PER para analizar críticamente el

enfoque genéricamente denominado inquiry y sus declinaciones. Realizamos una breve

síntesis histórica para mostrar las sucesivas declinaciones del inquiry para adaptarlo a la

“realidad” escolar. Adelantamos nuestra posición a favor de la solidez de la TAD como

marco teórico y su potencia para reinterpretar los problemas que el inquiry pretende

resolver, sin lograrlo, porque carece de una perspectiva didáctica y de fundamentos

teóricos definidos.

Résumé Dans ce travaille nous utilisons les notions de pédagogie de l’enquête et du

questionnement du monde et de parcours d’étude et recherche (PER) pour analyser d’une

manière critique l’approche génériquement nommé inquiry. Nous faisons une petite

synthèse historique, pour montrer les déclinaisons successives de l’inquiry pour l’adapter

à la "réalité" scolaire. Nous avançons notre position en faveur de la solidité et de la TAD

comme cadre théorique, ainsi que son pouvoir pour réinterpréter des phénomènes, et

aborder les problèmes et les difficultés que l'inquiry essaie de résoudre, sans réussir, parce

qu’il manque d’une perspective didactique explicite et des fondements théoriques définis.

María Rita Otero, María de los Ángeles Fanaro, Viviana Carolina Llanos

2

1. Introduction

Dans ce travaille nous utilisons les notions de pédagogie de l’enquête

et du questionnement du monde et de parcours d’étude et recherche

(PER) pour analyser d’une manière critique l’approche génériquement

nommé inquiry et ses déclinations (inquiry based science education

(IBSE) o inquiry based science teaching (IBST), inquiry based science

learning (IBSL), démarche d’investigation y démarche d’investigation

scientifique).

Nous essayons de considérer quelques filiations et ruptures de ces

points de vue, qui sont héritiers d'idées nées il y a plus ou moins 50 ans,

avec la pédagogie de l’enquête et du questionnement du monde et des

PER. Comme nous décrirons dans une petite synthèse historique, ces

précurseurs ont expérimenté des déclinaisons successives pour les adapter

à la "réalité" scolaire. L'analyse est aussi basée dans nos recherches où

nous avons fait la mise en œuvre dans la salle de classe de 19

implémentations de PER liés aux mathématiques, et 10 liés à la physique.

La pédagogie de l’enquête et du questionnement du monde a été

proposée par Chevallard dans le cadre de la TAD, elle se met en

exécution au moyen des parcours d’étude et de recherche (PER). Il est

fréquemment questionné, en parlant de la préséance dilatée dans le temps

de l’approche génériquement connu comme Inquiry: Quelle est la

nouveauté et l'originalité des PER?

Nous affirmerons ici, qu'il ne s'agirait pas en principe des positions

antagoniques, bien que de différentes filiations. Les deux ont surgi

comme des réponses possibles aux difficultés croissantes d'apprendre des

sciences et des mathématiques dans tout le monde. Cependant, la

philosophie sous-jacente, les objectifs, les diagnostics et les postures

théoriques adoptées seraient différentes. Nous avançons notre position en

faveur de la solidité et de la TAD comme cadre théorique, ainsi que son

pouvoir pour réinterpréter des phénomènes, et aborder les problèmes et

les difficultés que l'inquiry essaie de résoudre, sans réussir, parce qu’il

manque d’une perspective didactique explicite et des fondements

théoriques définis.

La pédagogie de l’enquête et l’inquiry: une analyse depuis l’enseignement des mathématiques et de la physique

3

Les recherches liées a l’enseignement des mathématiques réalisées par

notre équipe, essaient d'introduire localement et d'une manière

expérimentalement contrôlée, dans quelques écoles Argentines,

pédagogie de l’enquête et du questionnement du monde en partant des

PER. Les résultats mettent en évidence les restrictions, du niveau

différent (sociales, institutionnelles, pédagogiques et didactiques, etc.) qui

affectent les attitudes basiques pour l'existence de ce nouveau paradigme.

Cependant, il a été possible de développer dans des classes courantes de

l'école secondaire un ensemble des PER qui ont majoritairement les

caractéristiques et les limitations des PER finalisés.

En rapport à l’enseignement de la Physique, nos travails étudient

quelques notion basiques de la mécanique quantique au lycée (Fanaro,

Otero, Arlego, 2009, 2012 a y b) y de la Théorie spéciale de la relativité

TER (Otero, Arlego, Prodanoff, 2012). Cependant que l'IBSE soit très

répandu dans la recherche et l’enseignement des Sciences, les nôtres ne

sont pas inspirés dans ce point de vue, qui insiste plus à répandre la

science, ses caractéristiques, son importance sociale, etc., que sur le

savoir en lui-même.

2. Inquiry et ses antécédents

Autour de 1960 surgissent aux États-Unis des travaux qui synthétisent

une série de points de vue philosophiques et pédagogiques vers

l'enseignement. Ils fondent l'Inquiry-based learning (IBL) ou Inquiry-

based science (IBS) (Schwab, 1962). L'IBL est une méthode

d'enseignement basée sur le discovery learning, inspirée dans l'open

learning, dont le précurseur a été John Dewey. Il s'agit d'un apprentissage

ouvert, sans un but déterminé, où les étudiants doivent construire par eux-

mêmes le résultat d’un problème ou d'une expérience. L’enseignant les

guide à l'apprentissage désiré, mais sans exprimer le résultat du problème.

Bruner (1961) a proposé l'apprentissage par découverte, très éloignée

des formes orthodoxes de répétition et reproduction de la connaissance,

pour répondre à l'échec de l'enseignement traditionnel, qui était basé en

mémoriser des faits selon les instructions de l'enseignant.

Plus tardivement, dans tout le monde s’est produite une réflexion sur

le rôle des activités expérimentales dans l'enseignement des sciences. En


4

1990 surgissent les "nouveaux" curriculums - principalement anglo-

saxons, dont les objectifs principaux ont étés le développement d'une

culture scientifique et la diffusion d'une image plus riche et diversifiée

des processus scientifiques. Pour donner plus d’autonomie aux élèves, ils

se sont proposées des tâches plus ouvertes et des activités de plus haut

niveau cognitif. Ces idées se sont répandues vers le curriculum pour

l'enseignement des sciences (Harlen et Allende, J. 2009) comme le

reflètent les programmes de l'American Association for the Advancement

of Science1 AAAS (1993), le National Research Council

2 (NRC, 1996),

National Center for Education Statistics3(NCES, 1999), la National

Middle School Association4 (NMSA, 2002), la National Science

Teachers Association5 (NSTA, 2003), entre d’autres.

En Europe s’ont proposé des reformes liées au programme Eurydice6

(2006) et dans tout le monde se développent des changements dans les

programmes d’étude et se énoncent des stratégies pour faire face aux

difficultés de l’enseignement des sciences par investigation. Les projets

inquiry based science teaching (IBST), inquiry based education, inquiry

learning, pedagogy inquiry, etc, proposent d’enseigner au moyen

d’activités basées sur tâches plus ouvertes “d’un majeure niveau cognitif

1 La American Association for the Advancement of Science (AAAS) est un organisme

internacionelle pour l’avance de la science dans le monde. Elle publie le journal de la

Science, des bulletins des nouvelles scientifiques, des livres et des rapports.

http://www.aaas.org/aboutaaas/. 2 Le programe National Research Council (NRC) promeuve l'acquisition et la diffusion

de la connaissance dans des affaires relatifs à la science, l'ingénierie, la technologie et la

santé. http://nationalacademies.org/nrc/. 3 El National Center for Education Statistics (NCES) recueille et analyse des donnes liés

avec l’éducation dans le monde, pour servir à la recherche et l’éducation.

http://nces.ed.gov/. 4 La National Middle School Association (NMSA), depuis 2011 Association for Middle

Level Education (AMLE) mis en relation des maîtres, administrateurs, formateurs des

enseignants, des parents et membres de la communauté qui travaillent avec des étudiant

d’entre 10-15 ans, pour améliorer la qualité éducatif dans le monde ( il y en a 58 pays

associés). 5 La National Science Teachers Association (NSTA), fondée en USA à 1944, promeuve

l’excellence et l’innovation dans l’enseignement et l’apprentissage des sciences pour tous

La NSTA incluse des enseignants des sciences, des chercheurs, des représentants des

entreprisses et l’industrie, et d’autres gens compromises avec l’éducation scientifique. 6 Eurydice est un noyau crée par la Commission Européen en 1980 pour impulser la

coopération dans le domaine éducatif, et pour aider et faciliter la coopération et

l’apprentissage permanant. Elle informe sur les systèmes éducatifs et les politiques de 34

pays européens, en étudiant des problèmes communs aux systèmes éducatives.

http://www.aaas.org/aboutaaas/

http://nationalacademies.org/nrc/

http://nces.ed.gov/


5

y d’une majeure autonomie des étudiants”. Mais, la distinction entre des

tâches ouvertes et des tâches guidées n'est pas suffisant pour définir

l’enseignement basé sur l’investigation. Donc, pour évaluer ces

programmes il faut clarifier le concept même d’inquiry, plus loin des

différents manières de l’exprimer, parce que les idées autour de qu’est-ce-

que c’est l’investigation dans la salle de classe, ne sont pas uniformes.

Pour Howes, Lim et Campos (2008), la recherche dans la classe est

"faire comme les chercheurs fassent " cependant, pour Park Rogers y

Abell (2008) la recherche scientifique ne doit pas être confondue avec

l’apprentissage par investigation et non plus avec l’enseignement par

investigation. Ce point de vu est partagé par d’autres auteurs (Gengarelly

y Abrams, 2009, cités par Gueudet y al., 2009; Jorde, 2009) alors que,

certains auteurs ne semblent pas remarquer les énormes différences entre

la pratique scientifique et les pratiques des enseignants et des élèves dans

la salle de classe (Hofstein y Lunetta, 2004).

Le travail de synthèse de Minner, Jurist Levy et Century (2009) a

résumé les résultats de 138 recherches sur l’enseignement par

investigation, développes notamment aux Etas Unis entre 1984 y 2002. Il

a été cherché d’illuminer et spécifiquer qu’est-ce que c’est l’IBST et aussi

de décrire l’impact de cette type d’enseignement dans l’apprentissage

conceptuelle des étudiants du niveau K12 (éducation primaire et

secondaire aux Etas Unis, Canada, Philippine et Australie).

Plus de la moitié des 138 études s’expriment en faveur de

l'enseignement fondé sur l’investigation, surtout si on promeuve la pensée

active des étudiants et si on leur permet d'arriver aux conclusions à partir

des données. Ces résultats ne réussissent pas avec les politiques éducatifs

courantes, parce qu’elles promeuvent un curriculum surchargé de

concepts scientifiques en exigeant son évaluation dans les différentes

étapes de l'expérience éducative des étudiants. L'évaluation demande la

mémorisation des faits de la science, de ses concepts et de théories et, ce

qui oblige les enseignants à réduire son enseignement à l'information

factuelle et à la vérification expérimental, au lieu de donner la

responsabilité et la prise de décisions aux étudiants.

Minner et. à. (2009), reconnaissent que l'évidence des effets de l'IBST

n'est pas tout à fait positive, bien qu’ils remarquent les avantages d'un


6

enseignement basée sur le cycle de recherche: question, un dessin

expérimental, récolte des données, conclusion et communication. Si on

ajoute à cela la stimulation de la pensée l'active des étudiants et de sa

responsabilité pour apprendre, l'apprentissage de concepts scientifiques

pourrait améliorer.

Minner et. al. (2009, p. 5) défient l’investigation dans la classe selon

trois aspects : 1) la présence des contenues scientifiques, 2) l’engagement

des étudiants avec contenues scientifiques, et 3) la responsabilité, pensée

active et motivation de l’étudiant avec au moins un component du cercle

de la recherche.

Selon Park Rogers y Abell (2008) dans l’apprentissage pour

investigation scientifique les élèves devaient:

S’engager avec des questions scientifiquement orientées, en donnant

priorité à l'évidence, en leur permettant de développer et d'évaluer les

explications qui conduisent aux questions scientifiquement orientées;

formuler des explications et des preuves dirigées aux questions

scientifiquement orientées; évaluer ses explications à la lumière des

explications alternatives, en reflétant en particulier sa compréhension

scientifique; sa communication et sa justification des explications

proposées (p. 592).

Ces caractéristiques permettent de différencier entre le partial

inquiry ou version débile, lequel ne prend pas tous les aspects et le "full

inquiry”.

Pour l’équipe “Mind the Gap7: Learning, teaching, research and

policy in inquiry-based science education (IBSE)” la recherche est le

cœur de la méthode scientifique: «c'est ce que les scientifiques font quand

ils essaient de comprendre le monde naturel en formulant des questions

sur des systèmes d'objets, en reprenant des données, en faisant des

prédictions, en essayant et rejetant des idées » (Jorde, 2009, p. 1).

7 Mind the Gap (2008 y 2010) est un projet dirigé à utiliser s les principes de l’IBST pour

augmenter la quantité des jeunes dans les carrières des sciences et technologie. La

Norvège, le Danemark, l’Allemagne, l’Hongrie, le Royaume-Unis, l’Espagne et la France

ont fait partie du projet, et il inclut “paquètes du travail” pour les pratiques d’IBST dans

des différents contextes. Actuellement le projet s’appelle S-team.


7

Mais la science scolaire doit être distinguée de la pratique scientifique:

"ce que le scientifique fait n'est pas le même que la science scolaire"

(Jorde, 2009, p. 2). L’IBST aurait les quatre caractéristiques suivantes:

1. des activités d'apprentissage basées sur des problèmes authentiques, où il

n'y a pas de réponse correcte;

2. certaine quantité de procédés expérimentales, d'expériences et activités du

type "hands on", inclue la recherche d'information

3. des séquences d'apprentissage autorégulée où l'autonomie des étudiants est

soulignée

4. argumentation discursive et communication avec les paires ("talking

science"). (p. 4)

En France, les activités d'apprentissage arrivaient à la fin de 1990.

Selon Kahn (2000) ces activités, antipositivistes et anti empiristes

s'opposent à la vieille idée d'une progression du simple au complexe.

Inspiré par les idées de Bachelard, ce modèle priorise la problématisation

et les représentations des élèves (Orange et Plé, 2000). Mais les activités

d'apprentissage ne vivent pas beaucoup de temps, parce que les

changements institutionnels transforment l'école primaire en

«propédeutique de l'enseignement secondaire»

Le programme "La main à la pâte" est née en France pendant 1996, il

a été proposé par Charpak (le prix Nobel de Physique) qui s’est basé sur

l'expérience de Lederman à Chicago (Charpak, la Léna et Quéré, 2005).

En face de la décadence de l'enseignement des sciences dans l'école

(seulement une minorité de professeurs du primaire intègrent les sciences

dans ses pratiques), ce projet a essayé de transformer l'école primaire.

Charpak a obtenu des appuis institutionnels de l'Académie de Sciences et,

du Ministère d'éducation, et après une période d'expérimentation, le

projet s'est généralisé avec l’aide de l'INRP. Les repères donnés aux

enseignants illustrent les idées pédagogiques du programme:

Les enfants observent un objet ou un phénomène du monde réel, proche et

sensible, et expérimentent sur lui ;

Au cours de leurs investigations, les enfants argumentent et raisonnent,

mettent en commune discutent leurs idées et leurs résultats, construisent leurs

connaissances, une activité purement manuelle ne suffisant pas ;


8

Les activités proposées aux élèves par le maître sont organisées en séquences

en vue d’une progression des apprentissages. Elles relèvent des programmes

et laissent une large part à l’autonomie des élèves ;

Un volume minimal de deux heures par semaine est consacré à un même

thème pendant plusieurs semaines.

Une continuité des activités et des méthodes pédagogiques est assurée sur

l’ensemble de la scolarité ;

Les enfants tiennent chacun un cahier d’expériences avec leurs mots à eux ;

L’objectif majeur est une appropriation progressive, par les élèves, de

concepts scientifiques et de techniques opératoires, accompagnée d’une

consolidation de l’expression écrite et orale ;

Les familles et/ou le quartier sont sollicités pour le travail réalisé en classe ;

Localement, des partenaires scientifiques (universités, grandes écoles)

accompagnent le travail de la classe en mettant leurs compétences à

disposition ;

Localement, les IUFM mettent leur expérience pédagogique et didactique au

service de l’enseignant ;

L’enseignant peut obtenir auprès du site Internet des modules à mettre en

œuvre, des idées d’activités, des réponses à ses questions.

Un travail de l'Inspection générale (Sarmant, 1999) remarque les effets

positifs sur le comportement social et moral des élèves, sur l'amélioration

de l'esprit logique et des capacités d'expression et sur l'acquisition de

connaissances scientifiques. Mais, le rapport souligne l'apparition de

certaines déviations telles comme l’emphase excessive dans le

"méthodologique", ou dans le "technologique" ou dans le "relativisme"

qui ne considère pas le savoir de référence.

“La main à la pâte” serait la version française du programme IBSE,

dirigé à promouvoir l'intérêt des étudiants à la science.

En 2000 les classes préparatoires aux grandes écoles (CPGE)

introduisent les travaux d'initiative personnelle encadrés (TIPE). Ils

s'agissent d'un travail personnel où les élèves projettent les questions qui

leur intéresse d’étudier et ils proposent des nouveaux problèmes pour

faire des recherches; comme les scientifiques le font. Les TIPE évoluent

vers les travaux personnels encadrés (TPE), où une production

personnelle et autonome est réalisée, mais chaque projet articule plus


9

d'une discipline. Les sujets à étudier sont choisis par les enseignants et les

questions "servent" seulement comme un fil conducteur à l'activité de

l'élève, la "bidisciplinarieté " est aussi imposée à l'avance.

Le projet «Real Science » développé par le National Endowment for

Science, Technology and the Arts en UK (NESTA, 2005) considère que

l'apprentissage par investigation scientifique est une forme éducative

scientifique, où les élèves formulent des questions et des hypothèses, les

soumettent à une preuve et les révisent, ils se sont basés sur des

expériences et des observations, et ils présentent ses conclusions aux

autres. Cette pratique doit permettre aux élèves de comprendre les

méthodes, les résultats et les usages de la science bien que les activités ne

soient pas les mêmes que celles des scientifiques. L'idée générale est que

ce type d'enseignement développe une compréhension des pratiques

scientifiques et des connaissances scientifiques. Finalement, cela devrait

encourager les élèves à poursuivre des études scientifiques.

3. Recherches sur l’enseignement fondé sur l’investigation

Beaucoup des recherches éducatives ont analysé les différents

programmes et les modifications introduites dans les pratiques

d’enseignement dans tous les niveaux. Sur la main à la pâte (Desbeaux-

Salviat, 2002; Jasmin, Queré, 2002); Léna, 2007; Pol, 2005); dans le

ligne de l’inquiry ou demarche d´investigación (Abd-El-Khalick et al.,

2004; Anderman & Sinatra, 2012; Boilevin, Morge, Delserieys, 2012;

Brickman, et. al., 2009; Calmettes & Boilevin, 2010; Gueudet, 2010;

Hammoud, Maréchal & Trouche, 2010; Haury, 1993; Hosson, Mathé,

Méheut, 2010; Minner, Levy & Century, 2009; Monod, et. al., 2010).

Toutes celles-ci essaient d’analyser et proposer des actions pour créer

une culture de la recherche et insérer des éléments de la recherche

scientifique dans les institutions éducatifs. Sur les travaux personnels

encadrés (TPE) les recherches de Blondel et al. (2004), Brochet &

Chatillon (1999), Corinne (2004); Rumelhard (2003), Schneeberger, P.

(2003), Schneeberger et al. (2004); Venturi, et al. (2004) ont analysé les

caractéristiques de la pratique expérimentale des TPE dans la salle.

Il y a aussi des recherches qu’introduisent et analysent des

caractéristiques de l’inquiry en Mathématiques et les changements


10

introduits dans les programmes des différents niveaux éducatifs et

contextes lesquels l’ont mis en œuvre (Aldon, 2010, Aldon & Durand-

Guerrier, 2009, Días & Durand-Gierrier, 2005, Schoenfeld, Herrmann &

Douglas (1982).

D’autres recherches comme celles-là d’Artigue & Robinet (1982),

Bettinelli (2006), Boule (2003), Colsaët (2004, 2005), Días (2004, 2005),

Kuntz (2004) proposent d’introduire un enseignement par investigation

dans les salles des mathématiques à l’école primaire. Les recherches de

Goos (2004); Goos et. al. (2003), Jaworski (2004, 2006), Jarrett (1997),

Kuntz (2005) présentent des résultats de recherches sur les proposés pour

la salle de classe de l’école secondaire avec des problèmes ouverts et de

recherche.

Depuis les années 60 jusqu’à l’actualité on a essayé d’introduire

l’enseignement fondé sur l’investigation dans la salle de classe, en faisant

des remarques liées aux modifications nécessaires des activités

d’enseignement et apprentissage. Initialement il a été souligné

l’importance des problèmes ouverts versus fermés. Tout de suite, depuis

les années 90, on a souligné des aspects liés aux procédures scientifiques

et à la formation de «étudiants chercheurs ». A l'heure de détacher

l'importance d'introduire l’enseignement fondé sur l’investigation dans

les classes de sciences, il a été donné beaucoup d’importance aux aspects

psychologiques et aux idées sur les sciences. Ils ont remarqué des

améliorations dans: la compréhension des concepts scientifiques et de la

nature de la science, dans la disposition à répondre aux questions et dans

les attitudes vers les sciences (Gengarelly et Abrams, 2009). Ainsi, pour

l’équipe « Mind the Gap » la recherche dans une classe n'est pas telle, si

elle n'améliore pas la compréhension et la pratique de la science.

Le rapport Eurydice (2006) recommande le développement d’un

raisonnement scientifique au moyen de la recherche:

« Le développement d'un raisonnement scientifique repose sur des

enseignements et apprentissages qui soulignent l'importance du

développement d'une compréhension holistique des activités, et après

d’avoir reflété des procédures scientifiques, un point de vu approchée aux

scientifiques professionnels. La recherche suggère que dans le niveau

secondaire, les sciences présentent parfois une vision plus "stéréotypée",


11

comme les activités pratiques (où les activités sont conçus pour

déboucher aux conclusions dictées ou évidentes). L’enseignement

primaire semble ouvert aux activités de recherche. (p. 78).”

En faisant une synthèse, on conclue que l'inquiry a provoqué le

développement de nouveaux plans d'étude, orientés vers ce qui

incorrectement a été appelée "alphabétisation scientifique"; c'est-à-dire,

vers l'introduction d'éléments de la "méthode scientifique" dans

l'éducation élémentaire, ou vers la formation « des petits scientifiques »,

et à proposer un enseignement basé sur des questions qu’il faut répondre

en utilisant la "méthode hypothétique - déductive" qui a été mentionné ci-

dessous comme le cycle de la recherche scientifique.

À notre avis, les définitions et les recommandations que nous avons

documenté ont une orientation plus ou moins positiviste et coupée en

biais autour de ce qui est faire science. Sur cela, ont été générées des

réformes et des recommandations aux enseignants (que selon le pays elles

sont plus ou moins restrictifs) pour installer et pour répandre un

enseignement basé sur les procédures scientifiques des sciences

expérimentales, en partant des questions et des problèmes plus ou moins

ouverts. Nous remarquons l'emphase donnée dans les définitions et dans

les recommandations des différents projets mentionnés, à l'importance

d'apprendre sur la science et ses méthodes, comme si ceux-ci étaient

évidents, ou universels. Comme prévu, cela a produit des résultats peu

désirables, comme la diffusion d'une vision stéréotypée de la science

aussi que certaine banalisation de "la méthode scientifique".

D'un autre côté, l'absence d'une conception systémique et

anthropologique a tourné, une fois encore, à charger les encres sur la

"mauvaise préparation des enseignants pour faire avancer les échanges",

ce qui s'est soutenu comme argument pour expliquer les déviations et les

déclinaisons de l'enseignement fondé sur l’investigation au long du

temps.

4. Résultats et difficultés de l’enseignement fondé sur

l’investigation

Les nouveaux curriculums introduisent l’investigation scientifique

dans la classe à la fois qu’ils demandent des modifications importantes

des pratiques enseignantes. D’autre côté, les recherches éducatives se


12

sont occupées à montrer les difficultés sérieuses des enseignants pour

réaliser les modifications requises, grâce au manque de formation

appropriée.

Crawford (2007) a souligné que les croyances sur ce que c'est la

science et sur comment elle doit être enseignée ont la plus grande

influence entre les divers facteurs qui influent le développement des

enseignants. Luft (2001) a étudié l'impact d'un programme

d'enseignement par investigation scientifique sur les conceptions et les

pratiques des enseignants débutants et expérimentés, il a vérifié que les

débutants modifient ses conceptions plus que ses pratiques, alors que le

phénomène est l’inverse pour les enseignants expérimentés.

Selon Windschitl, Thompson y Braaten (2008) les enseignants

débutants ne réussissent pas à abandonner une “vision mythique de la

méthode scientifique” qu’ils reproduisent dans la salle de classe avec ses

élèves.

Gyllenpalm et. al. (2010) considèrent que le développement d'une

culture scientifique requiert une compréhension de la recherche

scientifique et de la nature de la science. Cela suppose que les étudiants

de professorat pratiquent l'enseignement fondé sur l’investigation et

réfléchissent au processus. Selon ceux-ci, les enseignants sont plus

préoccupés par les aspects pédagogiques de la recherche, et par la

compréhension des produits de la science que par les processus de la

recherche scientifique, qu’ils ne considèrent pas comme une connaissance

conceptuelle, cette a dire, comme un savoir à enseigner.

Tang, Coffey, Elby et Levin (2010) marquent les tensions qui arrivent

dans la classe quand les enseignants donnent une importance excessive

aux étapes de la méthode scientifique au détriment des recherches

produites par les propres élèves.

L’importance de la formation scientifique des enseignants est

remarquée dans le rapport Eurydice 2006:

Les liens entre les connaissances et les compétences scientifiques des

professeurs, les manières comme ils apprennent des sciences, ainsi que les

conséquences pour les élèves, sont établies dans beaucoup d'études. Il a été

démontré que le niveau de connaissances des élèves est lié aux

compétences de ses enseignants dans la discipline relative. Cela montre


13

l'importance de la formation des enseignants et plus spécifiquement de sa

formation dans les processus scientifiques "(p. 78).

Pour Blanchard, Southerland y Granger (2009) l’un des plus grands

obstacles de l'IBSE se trouve dans le fait que peu d’enseignants ont des

expériences dans la recherche scientifique et ils possèdent des idées très

ingénues sur celle-ci. L'équipe "Mind the Gap" a étudié le développement

des enseignants de secondaire inférieure dans sept pays européens, par

rapport à l'enseignement de sciences fondé sur l’investigation (Lipowski

et Seidel, 2009). En particulier, ils considèrent prometteur le dispositif

SINUS (Ostermeier et al., 2009) développé en Allemagne, bien qu'il

aurait besoin des adaptations aux différents systèmes éducatifs, s'il avait à

servir du modèle.

À notre avis, le rôle "des croyances des enseignants sur la science", a

été surdimensionnée, en étant cela cohérent avec la définition qui est

adoptée d'inquiry.

5. La pédagogie de l’enquête et du questionnement du

monde comme surpassement de l'inquiry.

Les études des faiblesses et de la puissance des propositions de

l'inquiry déjà mentionnés, soulignent que la participation active des

élèves améliore son intérêt par les activités scientifiques scolaires et par

la science en général. Cela est cohérent avec les objectifs du ce point de

vue et avec ses fondements.

Mais ni les développeurs, ni les évaluateurs des résultats obtenus par

les projets basés dans l’inquiry remarquent explicitement où

problématisent les aspects didactiques et transpositives, bien qu'ils se

préoccupent par "la pauvre connaissance conceptuelle obtenue par les

élèves". Cela ne devrait pas surprendre, puisque ni dans les

recommandations, ni dans les évaluations des projets d’inquiry, le savoir

scientifique apparaît comme une des variables à considérer, dans un sens

fort, on dirait que le savoir semble transparent.

C'est-à-dire, on ne remarque pas comme nécessaire le processus de

construction d'une référence, ou d'une Organisation Praxéologique de

Référence (Chevallard, 2004, 2012b). Il n'existe pas alors, une analyse du

didactique, dans le sens proposé par la TAD. Cela est une différence


14

importante avec ce que le TAD propose comme pédagogie de l’enquête et

du questionnement du monde. A notre avis l’absence du didactique, fait

une différence importante en faveur de la TAD, laquelle de plus, permet

de comprendre les problèmes racontés par les projets d’inquiry (par

exemple : peu de connaissance conceptuelle des élèves).

Une autre contribution de la TAD, c'est la notion de PER et l'ensemble

d'instruments théoriques de ce que l'on dispose pour sa conception et son

pilotage. Les PER sont un corrélat naturel de la pédagogie de l’enquête et

du questionnement du monde, de la pédagogie qui jette les bases de pour

quoi il faut enquêter et de pourquoi l’enquête est nécessaire et quel est

son fondement. Cette nécessité pédagogique n'est pas exprimée ni

dessinée dans l'inquiry, encore après 50 ans de ses commencements.

Les fondements de la pédagogie de l’enquête et du questionnement du

monde ne résident pas dans la "alphabétisation scientifique", à laquelle

elle ne s'oppose pas, mais on ne cherche pas la formation de petits ou de

grands scientifiques dans la salle, ni on essaie de dire aux jeunes quel

chose doit leur intéresser, et moins prétendre les séduire pour la cause de

la science, comme il semblait être la préoccupation des projets d'IBST.

Moins encore, il s'agit de souligner le rôle de «la» méthode scientifique,

ou des procédures apparentées aux diverses manières de faire science.

Cela n'est pas nécessaire, puisqu'il est y compris dans la considération des

praxéologies de référence et dans l'analyse transpositive, propres de la

TAD.

Par contre, la formulation de la TAD donne le lieu à une question plus

radicale, même quand elle interpelle aux segmentations du savoir,

considérées artificielles pour la tyrannie des disciplines (Chevallard,

2012a). Les fondements se trouvent dans la formation de citoyens

vraiment démocratiques, avec des attitudes pro cognitive, herbartiene et

exotérique. Ils exécutent librement l'exercice de demander et de faire face

à n'importe quelle question, en avant, bien s’ils ne l'aient jamais écouté,

rapporté ou conçue à l’avance, et sans chercher quelqu'un qui

indéfectiblement l'ai fait et qu’il dit quoi répondre. D'un autre côté, il

s'agit de l'exercice d'interrogé à la culture, et aux œuvres qu'elle a proposé

pour élucider avec quel médias est-il ou non possible de construire une

réponse, avec quelle profondeur et quelle validité. Il s'agit de discuter


15

l'acceptabilité de la réponse et dans un cas affirmatif, de réaliser sa

diffusion.

Dans notre expérience personnelle avec la didactique des

mathématiques et la physique dans l'école secondaire en Argentine, nous

n’avons pas pu introduire que des PER finalisés. Bien que cela ne résout

pas le problème de la monumentalización, ces PER sont écologiquement

viables dans l'école secondaire et ils ont permis de faire vivre quelques

éléments de la pédagogie de l’enquête et du questionnement du monde.

Mais dans nos implémentations, surtout dans la physique, le milieu n'est

pas complètement "ouvert" et sa constitution est plus ou moins délimitée

a priori-. L'organisation du milieu a été plus une responsabilité de

l’enseignant que des élèves. En référence au cronogénesis, le temps

scolaire d'étude ne permet pas se rencontrer avec des OM variés, à moins,

qu’on puisse commencer le PER dans une année et continuer pendant le

suivant, ce qui a été possible dans le domaine des mathématiques, mais

pas dans le domaine de la physique.

Nous trouvons aussi des limitations dans le niveau de la topogenèse

puisque les questions sont régulièrement formulées par le professeur.

Bien que les élèves acceptent la dialectique des questions et des réponses,

ils sont pro cognitifs, ils font face aux questions et même ils les

proposent, mais ils rentrent difficilement à une attitude herbartiene. Dans

le niveau de la mésogenèse, nous trouvons des grandes et sérieuses

difficultés comme cela d'exécuter le dialectique milieu –media.

On pourrait dire que les PER finalisés produisent une rencontre réglée

avec certains (OML) en partant de l'étude d'une situation ou d’un

ensemble d'elles. La rencontre est réglée, dans les plus grandes mesures

pour l’enseignant que pour les étudiants-. Et encore, nous avons

beaucoup modifié le contrat didactique traditionnel de la secondaire et

cela permet de commencer à introduire quelques gestes de la pédagogie

de l’enquête et du questionnement du monde. C'est un gain important par

rapport à la situation habituelle dans l'école secondaire et un pas

important dans la récupération du sens.

Pour nous, la TAD a beaucoup apporté à l'enseignement de la

physique. L'analyse du savoir est essentielle chez la génération de

situations d'étude et de recherche dans le domaine de la physique, et


16

évidemment, le point de vue anthropologique surpasse cette manque

quand il est comparé aux projets d'inquiry. Chaque savoir physique qui

veut être appris, a des particularités et de propres difficultés- d’ici

l'importance de l'analyse transpositive toute fois qu’on essaie d’enseigner

physique. La reconstruction de l'organisation praxéologique de référence

pour la Mécanique Quantique (Fanaro, Arlego et Otero, 2012a, Fanaro,

Otero et Arlego, 2012b) nous a amené à adopter une formulation

alternative à la canonique comme c’est celle du Feynman, et d'analyser

les avantages, les particularités et les difficultés de sa diffusion et de son

enseignement dans la secondaire.

Alors que dans le cas des PER des mathématiques déjà mis en œuvre,

le groupe d'étude, et fondamentalement les étudiants ont un rôle principal

relatif a la génération du milieu, dans le cas de la mécanique quantique et

de la théorie spéciale de la relativité, le milieu semble plus contrôlé par le

professeur. C'est-à-dire, nous avons dû contrôler l'ouverture de la

question génératrice dans la MQ, par les dérivations conceptuelles que

cela peut générer. En conséquence, les dispositifs produisent des

rencontres beaucoup plus "réglées" avec le savoir, avec un milieu

contrôlé par l’enseignant. Alors, au moins dans cette partie de la

physique, très peu étudiée dans la secondaire, bien que majoritairement

prescrite par tous les programmes d'étude actuellement, sans succès, la

pédagogie de la recherche semblerait "vivre" en parlant strictement, plus

à partir de dispositifs du type AEI ou des PER finalisés que des PER en

général.

En synthèse et à notre avis, la raison la plus importante de notre choix

en faveur de la TAD et de la pédagogie de l’enquête et du

questionnement du monde, comme chemin et domaine de recherche dans

la didactique des sciences et des mathématiques, se trouve dans le fait de

sa puissance théorique, bien s’il y a beaucoup des sujets à développer. Du

côté de l’inquiry, il s’agit d’un ensemble d’idées et de propositions

intéressantes, qu’encore maintenant, elles manquent d’une base

théorique, et on connait le proverbe « si tu veux avancer, prend une

théorie ».


17

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1

Comment fonctionnent les dialectiques dans

l’implémentation d’un parcours d’étude et de recherche

autour d’un système économique?

Verónica Parra


(NIECyT), Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos

Aires (UNCPBA), Argentina

María Rita Otero, María de los Ángeles Fanaro



Aires (UNCPBA), Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y


Abstract. This paper proposes to introduce the pedagogy of research and questioning the

world in the classes of mathematics in the secondary school in Argentine (17-18 years

old). The aim is to design, to implement, to analyze and to evaluate possible study and

research courses (SRC) co-disciplinary related to the micro-economy (Parra, Otero,

Fanaro, 2011, 2012a, 2012b) facing the phenomenon of the monumental knowledge

(Chevallard, 2004). The implementations were realized in the years 2011 and 2012.

Resumen. Esta comunicación propone ingresar la pedagogía de la investigación y del

cuestionamiento del mundo en las clases de matemática de la escuela secundaria argentina

(estudiantes de 17-18 años). El objetivo es diseñar, implementar, analizar y evaluar

posibles recorridos de estudio e investigación (REI) codisciplinares a la microeconomía

(Parra, Otero, Fanaro, 2011, 2012a, 2012b) para enfrentar la monumentalización del saber

(Chevallard, 2004). Las implementaciones fueros realizadas en el año 2011 y 2012.

Résumé. Cette communication propose de mettre en place la pédagogie de la recherche

et du questionnement du monde dans des classes mathématiques de l’école secondaire

argentine (élèves de 17-18 ans). L’objectif est de créer, d’implémenter, d’analyser et

d’évaluer des parcours d’étude et de recherche (PER) codisciplinaires à la

microéconomie (Parra, Otero, Fanaro, 2011, 2012a, 2012b) pour faire face à la

Verónica Parra, María Rita Otero, María de los Ángeles Fanaro

2

monumentalisation des savoirs (Chevallard, 2004). Les implémentations ont été réalisées

durant les années 2011 et 2012.

1. Introduction

Ce travail fait partie d’une thèse de doctorat qui propose de mettre en

place la pédagogie de la recherche et du questionnement du monde dans

les classes des mathématiques de l’école secondaire argentine, à

l’intérieur des dispositifs habituels du système scolaire, c’est-à-dire, sans

créer de classes hors programme ou parallèles au cours. Les objectifs de

la thèse sont de créer, implémenter, analyser et évaluer des possibles

parcours d’étude et de recherche (PER) codisciplinaires à la

microéconomie pour faire face au phénomène de la monumentalisation

des savoirs qui est partout dans les écoles : certains éléments du travail de

recherche ont été publiés par Véronica Parra, Maria Otero et Maria

Fanaro (2011, 2012a, 2012b). On présente ici des résultats obtenus dans

les implémentations de l’un des parcours possibles réalisées pendant les

années 2011 et 2012. Une description bien détaillée du processus de

l’étude mis en place dans ces implémentations, pourra prochainement se

trouver dans un article de Véronica Parra, Maria Otero et Maria Fanaro

(2012b) dans la revue Bolema. On utilise la notion de PER et les

dialectiques introduites par Yves Chevallard (2001, 2004) dans le cadre

de la théorie anthropologique du didactique (TAD).

Les questions de départ du PER se rapportent au point d’équilibre

d’un système économique d’offre et de demande d’un seul produit, où les

équations qui composent le modèle dépendent uniquement du prix de ce

produit. Les questions ont été créées sous certaines hypothèses relatives

au système économique, nommées ici H0, H1 et H2. Nous considérons

ces hypothèses et pas d’autres parce qu’elles permettent de formuler des

questions qui passent par certains axes qui correspondent au programme

d’études proposé pour la dernière année du niveau secondaire en

Argentine1.

1 Le système éducatif argentin est composé de quatre niveaux: initial, primaire, secondaire

et supérieur. Dans le niveau secondaire, les programmes d’étude se développent selon

quatre axes: «géométrie et algèbre», «nombres», «algèbre et fonctions» et «probabilité et

de la statistique».

Dialectiques dans l’implémentation d’un PER

3

2. Méthodologie de la recherche

La recherche est qualitative, ethnographique, et son objectif est de décrire

comment se développe le processus d’étude d’un groupe d’élèves de

dernière année du niveau secondaire, à partir d’un enseignement par PER,

à l’intérieur du cours de mathématiques usuelles. Pendant les deux

implémentations – les années 2011 et 2012 – nous réalisons des

observations participantes, en prenant des notes de champ, en enregistrant

la totalité des séances de classe et en récoltant les productions des élèves.

Les classes étaient composées dans un cas de 28 élèves et dans l’autre,

34. Chaque classe a été organisée par groupes d’étudiants composés de

quatre à six élèves. À chaque groupe d’élèves (G) nous assignons un

nombre de 1 à 7 (G1, G2, G3, G4, G5, G6 et G7) et, à son tour, chaque

élève-membre (A) du groupe est identifié de A1 à A28. Les productions

présentées dans ce travail correspondent à celles des représentants

prototypiques des groupes.

Le professeur-enquêteur a initialement introduit les questions et

chaque groupe d’élèves avaient à apporter une réponse – en pouvant

accéder à différents médias, tels le Web, des livres de microéconomie,

des consultations auprès du professeur d’économie, etc. –, la

communiquer au reste de la classe et la défendre. Les questions qui

surgissaient dans les différents groupes d’élèves étaient considérées par la

communauté d’étude et les groupes devaient aussi leur apporter une

réponse.

Ensuite, nous présentons les points du programme de 6éme

année de

l’école secondaire (la dernière année) correspondant à la discipline

Mathématique (voir le tableau 1). Ces contenus sont proposés par la

Direction générale de Culture et l’Education de la Province du Buenos

Aires (Argentine) et sont communs à toutes les institutions

d’enseignement secondaire de toute la Province du Buenos Aires.

6éme

année de l’école secondaire

Géométrie et Algèbre. Équation vectorielle de la droite.

Notion de fractal.

Nombres et opérations Nombres complexes.

Concept.

Opératoire dans C.


4

Séries.

Concept.

Annotation et langage.

Use des calculatrices.

Algèbre et étude de fonctions Fonctions trigonométriques.

Concept de limite.

Limite dans l’infini.

Limite dans un point.

Continuité.

Dérivée.

Dérivée dans un point.

Fonction dérivée.

Étude complète de fonctions simples.

Intégrales

Probabilité et statistique Distribution Normale.

Distribution Binomial.

Use des calculatrices.

Tableau 1. Contenus de Mathématiques proposés pour 6éme année de l’école secondaire de

la Province du Buenos Aires (Argentine)

Le PER se propose d’étudier l’OM autour de la limite et la dérivée de

fonctions et de reconstruire – les élèves ils ont étudié des années

antérieures – l’OM sur les équations de droites.

3. Des hypothèses de départ et des questions du PER

Les hypothèses de départ, nommées ici H0, H1 et H2, sont les suivantes:

H0: L’état d’équilibre du marché existe et il est accessible.

H1: L’équilibre du marché s’obtient si et seulement si demande

excédentaire est égale à zéro, c’est-à-dire , où est la

fonction de demande (des quantités demandées) et est la fonction

d’offre (des quantités offertes).

H2: Les fonctions et sont linéaires et dépendent du prix d’un

unique produit.

Les questions proposées aux élèves sous ces hypothèses sont:

Q1: On souhaite élaborer un produit avec l’intention de le vendre et

recueillir de l’argent. D’un essai préalable de commercialisation, on a

obtenu l’information présentée dans les tableaux suivants:

Quantités Prix par Quantités Prix par


5

offertes

(en douzaines)

douzaine

($)

demandées

(en douzaines)

douzaine

($)

155 10 330 7

307 18 250 15

98 7 270 13

À quel prix par douzaine tout ce qui se produit se vend et tout ce qui est

demandé peut-il être satisfait? Quel modèle permettrait d’étudier le

comportement de l’offre et de la demande sur ce marché?

Q2: Comment pourrait-on étudier le comportement des lois de l’offre et

de la demande pour n’importe quelle paire de fonctions linéaires d’offre

et de demande? Comment pourrait-on trouver dans ce cas le point

d’équilibre?

Q3: Comment peut-on décrire les variations du point d’équilibre si on

modifie la valeur de l’ordonnée à l’origine de l’offre? Et si on modifie la

valeur de l’ordonnée à l’origine de la demande?

Q4: Comment décrire les variations du point d’équilibre si maintenant on

modifie la valeur de la pente de la fonction de demande ? Et si on modifie

la valeur de la pente de la fonction d’offre?

Q5: Pour le moment on a pu déterminer comment le prix et la quantité

d’équilibre changeront à partir des variations des pentes et des ordonnées

à l’origine des fonctions d’offre et de demande, mais de combien varie

exactement le point d’équilibre dans chaque cas?

4. Analyses de données

La question Q1 a été proposée aux élèves au début de l’année scolaire.

Pour y répondre, il a été nécessaire que les élèves inspectent des zones de

grande portée, non seulement en mathématiques mais aussi en

microéconomie, puisqu’ils ne savaient pas d’avance comment y répondre.

De cette façon, ils pouvaient faire fonctionner la dialectique du

parachutiste et du truffier. Les élèves ont enquêté sur les lois de l’offre et

de la demande, le point d’équilibre, la manière de le trouver (prix et

quantité d’équilibre) et sur la manière de construire le modèle de marché

d’un produit unique. Pour construire le modèle, il a été nécessaire de

trouver l’équation d’une droite qui passe par deux points et la façon de

résoudre un système de deux équations linéaires avec deux inconnues.

Ces actions peuvent être considérées comme faisant parties du


6

fonctionnement de la dialectique du sujet et du hors-sujet et aussi des

boîtes noires et des boîtes claires, puisque le groupe de classe a décidé

jusqu’où étudier – à quel niveau de «gris» s’arrêter – à propos des lois de

l’offre et de la demande, des droites et des systèmes d’équations linéaires.

Les modèles qui permettent de répondre partiellement à la première

question incluent la quantité demandée ( ) du produit, la quantité

d’offerte ( ), son prix ( ), et l’équation de l’équilibre du marché. Deux

modèles différents peuvent se construire avec les variables «quantité» et

«prix» et l’équation de l’équilibre: l’un considère que les fonctions de

l’offre et de la demande dépendent du prix; l’autre suppose que le prix

dépend de la quantité demandée et de la quantité offerte. Les modèles

auront, respectivement, la forme suivante:

{

( )

( )

( ) ( ) ou {

( )

( )

( ) ( )

Le point d’équilibre, comme nous le mentionnions déjà, est obtenu en

résolvant un système de deux équations avec deux inconnues qui, dans le

cas de nos implémentations, est linéaire. La solution du système est la

valeur (du prix et de la quantité du bien) pour laquelle la quantité

demandée est égale à la quantité d’offerte. La figure 1 et la figure 2

présentent les modèles construits par deux élèves dans le but de répondre

à la première question. L’élève A21 (voir figure 1) – et son groupe –

propose le modèle où l’offre et la demande dépendent du prix du bien:

Figure 1. Le modèle où l’offre et la demande dépendent du prix du produit


7

L´élève A21 écrit (voir figure 1) « quantité de douzaines

offertes, prix par douzaines» et « quantité de

douzaines demandées, prix par douzaines». Ensuite, il écrit

l’expression pour l’offre « ( ) » et l’expression pour la

demande « ( ) ». Puis, il écrit le modèle

{

( )

( )

( ) ( )

Finalement, il donne le point d’équilibre « ». L’élève

A24 (voir figure 2) – et son groupe – propose le modèle où le prix dépend

des quantités d’offre et de demande:

Figure 2. Le modèle où le prix dépend des quantités d’offre et de demande.

L´élève A24 écrit (voir figure 2) « quantité de douzaines

offertes, prix par douzaines,

,

» et «

quantité de douzaines demandées, prix par douzaines,

,

». Après, il écrit les expressions « ( )

» et

« ( )

». Finalement, il écrit le modèle:

{

( )

( )

( ) ( )


8

La construction de ces modèles n’a pas été immédiate. Les élèves ont

considéré qu’il était nécessaire de chercher des réponses préétablies

disponibles en microéconomie et aussi en mathématiques. Les réponses

de la microéconomie ont été cherchées sur Internet, dans des livres et par

des consultations auprès du professeur d’économie de la même

institution. Il en a été de même avec les réponses de mathématiques. Dans

les deux cas, ces recherches ont provoqué des études de notions

microéconomiques et mathématiques avec l’objectif d’être utiles pour

répondre aux questions. Ces réponses sont entrées dans la classe, elles ont

été construites et reconstruites pour apporter une réponse définitive à la

première question. Cette activité peut être considérée un indicateur du

fonctionnement de la dialectique des médias et des milieux parce que les

notions microéconomiques et mathématiques ont été cherchées par les

élèves dans différentes médias (Internet, livres de microéconomie et le

professeur d’économie de la même institution). Tout de suite, ces

réponses «préétablies» ont été «questionnée» dans les groupes et par

toute la classe. C’est-à-dire, les réponses partielles trouvées dans

différents médias ont été mises à une preuve, en acceptant certains et en

méprisant les autres.

Les deux modèles satisfont les lois de l’offre et de la demande : quand

le prix augmente, la quantité offerte augmente mais la quantité demandée

diminue. Les groupes d’élèves ont étudié et ont enquêté sur ce qui était

pertinent relativement à l’offre, la demande, les équations de droites,

variables, des paramètres, ordonnées à l’origine, la pente, et les systèmes

d’équations seulement à partir de la première question. Cela peut être

considéré comme un exemple du fonctionnement de la dialectique

dénommée de l’excription et de l’inscription. Les figures suivantes

présentent le matériel de l’élève A26. C’est l’un des matériels apportés

par les élèves pour faire des recherches et pour étudier à ce sujet. La

figure 3 et la figure 4 peuvent être interprétées comme l’excripción – une

extraction (voir figure 3) – et l’inscription, dans son dossier (voir figure

4), de réponses distinctes préétablies que l’élève A26 a considéré comme

éminentes et pertinentes.


9

Figure 3. Le matériel – l’extraction – de l’élève A26 issu de l’Internet.

Le matériel de la figure 3 rapporte la définition de la loi de l’offre et de la

demande, son postulat, sa théorie fondamentale et les graphiques

principaux que l’élève A26 a trouvé sur le site de Wikipedia. Les

informations pertinentes sont surlignées avec la couleur verte. Dans la

figure 4, on peut voir l’inscription dans le dossier de l’élève A26.


10

Figure 4. L’inscription de l’élève A26.

La figure 4 montre la production finale réalisée par l’élève A26 à partir

du matériel trouvé sur l’Internet. Ici, il a réécrit la définition de la loi

d’offre et de demande, ses postulats et l’un des graphiques.

La réponse à la deuxième question – Q2: Comment pourrait-on

étudier le comportement des lois d’offre et la demande pour n’importe

quelle paire de fonctions linéaires d’offre et de demande ? Comment

pourrait-on trouver dans ce cas le point d’équilibre? –implique de

construire le modèle pour deux droites quelconques. Ce modèle peut être

construit de deux manières différentes:

{

( )

( )

( ) ( ) ó ou {

( )

( )

( ) ( )

Où . Les paramètres doivent être positifs

puisque de cette façon les deux modèles vérifient les lois de l’offre et de


11

la demande. La fonction d’offre du premier modèle a une ordonnée à

l’origine négative ( ) puisque la droite d’offre a une intersection avec

l’axe des abscisses positive. En conséquence, le modèle satisfait la

condition stipulant que l’offre n’apparaît pas à moins que le prix ne soit

suffisamment positif et haut. La fonction d’offre du deuxième modèle a

une ordonnée à l’origine positive puisqu’elle vérifie la même condition

établie pour le premier modèle. En microéconomie, c’est le premier

modèle, dans lequel l’offre et la demande dépendent du prix du produit,

qui est utilisé plus communément. Dans cette instance du parcours, nous

considérons nécessaire de décider, avec les élèves, que le premier modèle

est le plus adéquat, puisqu’il est disponible dans différents médias tels les

livres de microéconomie, l’Internet, et d’autres sources d’information et

de diffusion. Après la construction du modèle, les solutions d’équilibre

ont été obtenues pour la quantité demandée, la quantité offerte et le prix,

dénotées par , respectivement. Les élèves ont étudié durant des

années antérieures comment résoudre ce type de systèmes d’équations.

De cette façon, l'organisation mathématique autour des systèmes

d’équations est une œuvre reconnue pour l’institution et est considère

dans le processus d’étude du PER comme l’une des R «poinçon » qu'ils

conforment le milieu didactique

Pour étudier comment un changement infinitésimal dans l’un de ces

paramètres affectera la valeur du prix et/ou la quantité d’équilibre, il

faudrait calculer les dérivées partielles. Ainsi, en déterminant le signe de

chaque dérivée partielle on peut connaître la direction du changement (du

prix et de la quantité) d’équilibre2. La question Q3 – Comment peut-on

décrire les variations du point d’équilibre si on modifie la valeur de

l’ordonnée à l’origine de la demande ? Et si on modifie la valeur de

l’ordonnée à l’origine de l’offre? – a été proposée par le professeur pour

étudier et pour analyser ces changements dans la valeur d’équilibre. Il

2 La formation du prix d’un bien dans un modèle de marché est réglée par la loi nommée

de l’offre et de la demande. Cette loi est basée sur la relation entre le prix d’un bien et les

ventes de même et assure que, sur un marché de concurrence parfaite, le prix s'établira à

un point, un point dénommé de l’équilibre. Dans ce point, tout le produit se vend et la

demande ne reste pas insatisfaite.


12

fallait utiliser une technique qui n’emploie pas les dérivées partielles,

puisque le programme d’étude ne les inclut pas.

La question Q3 est formée de deux sous-questions. La réponse à la

première sous-question est la suivante: quand nous augmentons la valeur

du paramètre a (cela revient à augmenter la valeur de l’ordonnée à

l’origine de la droite de demande puisque c’est a), le prix et la quantité

d’équilibre augmentent aussi. Cette conclusion est importante parce que

la relation de changement, entre le paramètre a et le point d’équilibre, est

directe. La réponse à la deuxième sous-question est la suivante : quand

nous augmentons la valeur du paramètre c (cela revient à diminuer la

valeur de l’ordonnée à l’origine de la droite d’offre puisque la valeur de

celle-ci est – ), le prix d’équilibre augmente mais la quantité d’équilibre

diminue. Ces réponses peuvent être obtenues par des méthodes

numériques, des méthodes graphiques ou les deux. La question Q3 et la

Q4 ont été abordées par les étudiants avec ces méthodes. Nous montrons

comment ils l’ont fait pour la question Q4 – Comment décrire les

variations du point d’équilibre si maintenant on modifie la valeur de la

pente de la fonction de demande ? Et si on modifie la valeur de la pente

de la fonction d’offre ? –.

La figure suivante montre le graphique réalisé dans le logiciel

GeoGebra® par l’un des groupes d’étude (G3). Ce groupe, tout comme

les autres, a représenté une même droite d’offre et différentes droites de

demande. Ces droites de demande avaient la même ordonnée à l’origine

mais des pentes différentes (proposées par les élèves). Après, ils ont

trouvé le point d’équilibre dans chaque cas et ont comparé les valeurs

obtenues (voir la fenêtre algébrique de la figure 5). Ils ont procédé d’une

manière analogue pour répondre sur les variations de la pente de la droite

de demande.


13

Figure 5. Le graphique réalisé dans GeoGebra par le groupe G3

Un autre groupe – le G5 – a confectionné, en plus des graphiques, un

tableau utile pour répondre à la question Q3 relative aux variations des

ordonnées. Dans ce tableau, il a placé les valeurs de l’ordonnée à

l’origine de la droite de demande et les valeurs de l’équilibre

correspondantes (voir figure 6). Les valeurs mises en relief dans la

couleur rouge correspondent à l’équilibre initial. Les autres valeurs du

tableau correspondent à l’équilibre obtenu après avoir modifié la valeur

de l’ordonnée.

Figure 6. Le tableau réalisé par le groupe G3 et ses conclusions.


14

Le tableau de la figure 6 a trois colonnes. Le titre de la première est

«ordonnée fonction de demande», le titre de la deuxième est «prix

d’équilibre» et la troisième, «quantité d’équilibre». Le point d’équilibre

initial est entouré par une ellipse bleue et à côté d’elle, figure «point

d’équilibre initial». Les élèves ont obtenu des conclusions à partir de ce

tableau et les ont notées au-dessous de celui-ci. Dans le rectangle de la

partie inférieure de la figure 6 il est écrit:

A) si la pente de la demande est plus grande, le point d’équilibre va

augmenter dans X et Y, et s’il est plus petit il va diminuer le point

d’équilibre dans X et Y. B) si la pente de l’offre augmente, X diminue et

Y augmente. Si la pente de l’offre diminue, Y diminue et X augmente.

Cette mise en tableau est entrée dans le milieu, elle a été validée par la

communauté d’étude et utilisée par d’autres groupes pour organiser les

données.

Bien que les questions antérieures ont été formulées dans des termes

de: «Comment…?», il est important de souligner que ce groupe d’élèves

(le G5) a donné une réponse quantitative. Cela a donné lieu à une

nouvelle question : «De combien variera le point d’équilibre dans chaque

cas?», formulée en termes de «Combien…?». Ainsi, on a formulé la

question Q5– De combien change exactement le point d’équilibre dans

chaque cas? –. Les différents groupes ont considéré le tableau réalisé par

le groupe G5 et ont confectionné leurs propres tableaux. La figure 7 et la

figure 8 montrent les tableaux réalisés et les conclusions obtenues par

l’élève A22 et son groupe. La figure 7 correspond au tableau réalisé pour

les variations de l’ordonnée à l’origine de la droite de demande. Les

conclusions obtenues par A22 et son groupe sont écrites au-dessous du

tableau.


15

Figure 7. Le tableau réalisé par A22 (et son groupe) et les conclusions obtenues pour les

variations de l’ordonnée à l’origine de la droite de la demande.

L’élève A22 (voir figure 7) a écrit l’équation de la droite de la demande

« ». Au-dessous de cette équation, l’élève a réalisé un

tableau avec quatre colonnes principales. La première correspond à «la

valeur de l’ordonnée de la demande». La deuxième correspond à «le prix

de l’équilibre». La troisième, «la quantité de l’équilibre qe» et la

quatrième, «la différence». Cette colonne est divisée en deux sous-

colonnes: l’une d’elles indique la différence entre les quantités

d’équilibre (l’initiale et la «nouvelle»); l’autre indique la différence entre

les prix d’équilibre (la valeur «initiale» et la «nouvelle» valeur). Au-

dessous de ce tableau, l’élève a écrit ses conclusions:

La quantité de l’équilibre varie de 0,43. Le prix d’équilibre varie de 0,14.

Quand augmente de 1 l’ordonnée à l’origine augmente de 0,14 le prix et

la quantité. Quand diminue de 1 l’ordonnée à l’origine diminue de 0,43 le

prix et la quantité.

La figure 8 correspond au tableau réalisé pour les variations de

l’ordonnée à l’origine de la droite d’offre. Les conclusions obtenues par

A22 et son groupe sont écrites au-dessous du tableau.


16

Figure 8. Le tableau réalisé par A22 (et son groupe) et les conclusions obtenues pour les

variations dans l’ordonnée à l’origine de la droite d’offre.

L’élève A22 (et son groupe) a réalisé le même procédé que dans le cas

précédent (voir figure 7). Ici (voir figure 8), il a écrit l’équation de la

droite d’offre, tout de suite il a réalisé le tableau (avec les mêmes

caractéristiques que l’antérieure) et il a écrit les conclusions suivantes :

La quantité de l’équilibre diminue de 0,57. Le prix de l’équilibre

augmente de 0,14. Quand augmente de 1 l’ordonnée à l‘origine, augmente

de 0,14 le prix et la quantité diminue de 0,57. Quand diminue de 1

l’ordonnée à l’origine, diminue de 0,14 le prix et la quantité augmente de

0,57.

Il est important de souligner que cet élève a obtenu la direction et la

grandeur du changement sans la nécessité de recourir à la notion de

dérivée. Il a conclu comment et combien le point d’équilibre varie si les

ordonnées à l’origine de la droite d’offre et de demande sont modifiées,

une à la fois. Tout de suite, les élèves ont demandé au professeur – avec

un peu de mécontentement – s’ils pouvaient obtenir ces conclusions sans

qu’il soit nécessaire de réaliser tout ce travail. Ainsi, le professeur a joué

le rôle d’un média et a institutionnalisé la notion de « dérivée » comme

un type particulier de limite, et comme une notion mathématique qui

permet de réaliser l’analyse de ces variations de manière directe. Il a été

nécessaire de reconstruire partiellement la praxéologie relative à la limite


17

de fonctions, puisque les élèves ont posé certaines questions par rapport à

la « limite ». On en trouvera certaines dans la figure 9.

Figure 9. Des questions formulées par un groupe d’élèves sur la notion de limite.

Ces questions sont les suivantes (voir figure 9):

«1. Quelle est l’idée intuitive de la limite ? 2. Soit ( )

avec ( ) . Si ( ) n’existe pas, cela implique-t-il que la

limite de ( ) quand x tend vers 1 n’existe pas ? 3. La limite d’une

fonction existe-t-elle toujours ? 4. Une fonction peut-elle avoir deux

limites différentes ? 5. Qu’est-ce que cela signifie qu’une fonction est

continue ? 6. Quelles sont les propriétés de la limite ? 7. Quelles sont les

limites infinies ? 8. Quelles sont les limites dans les infinis ? 9. Combien

d’indétermination trouvons-nous ? Comment peuvent-nous «sauver une

indétermination?»

L’étude de la limite de fonctions est un autre hors-sujet puisqu’il est

réalisé à partir de la définition de la dérivée de fonctions. Après avoir

étudié la limite de fonctions, le groupe a dû revenir et reprendre l’étude

de la dérivée et récemment alors répondre à la question. Il existe ainsi, un

hors-sujet (l’étude de la limite de fonctions) à l’intérieur d’un autre hors-

sujet (l’étude de la dérivée de fonctions), qui a considérablement

compliqué au groupe le retour pour apporter une réponse définitive à la

question Q5 (Combien change exactement le point de l’équilibre). Ce que


18

nous achevons de décrire, n’est pas une autre chose que le

fonctionnement de la dialectique du sujet et du hors-sujet et des questions

et les réponses, puisque la recherche d’une réponse a conduit à la

formulation de beaucoup d’autres questions.

Les élèves avaient étudié la limite de fonctions pendant l’année

antérieure, raison pour laquelle le professeur a proposé de les réviser et

d’apporter ses notes, dossiers, etc., pour les prochaines classes. La

reconstruction de la praxéologie autour de la limite de fonctions a été

réalisée à partir d’une liste de questions, certaines formulées par le

professeur et les autres, par les élèves eux-mêmes, en considérant les

propositions de la figure 9. Il est très important d’apprécier la mesure

dans laquelle la topogenèse a été modifiée pendant le PER et le «coût»

que cela a eu pour les étudiants. Nous ne présentons pas, ici, les résultats

relatifs aux réponses aux questions de la limite. Après avoir étudié la

limite de fonctions, le professeur a rappelé la question sur la dérivée. Ils

se sont étudiés, les cas élémentaires de dérivation, les règles et les

propriétés. Après avoir répondu aux questions relatives au limite de

fonctions, le professeur a institutionnalisé la dérivée comme la limite du

quotient incrémental. Les élèves ont caractérisé le calcul de cette limite

comme «peu économique» dans le temps et ils ont demandé au professeur

si n’existait pas une «manière» de faire «plus efficace et effective». Le

professeur a répondu cette question avec la notion de dérivée et a proposé

de chercher une information à ce sujet. Chaque groupe a apporté ses

recherches et dans l’ensemble, on a noté dans le tableau chacun des cas

élémentaires d’une dérivation, les règles et certains des propriétés.

Finalement, le professeur a proposé aux groupes d’élèves de réaliser une

synthèse de toutes les questions étudiées depuis le premier jour de classe.

La figure 10 présente la synthèse réalisée par le groupe trois (G3).


19

Figure 10. La synthèse réalisée par le groupe G3.

Cette synthèse (voir figure 10) permet de reconstruire le parcours

développé à partir des questions. Le groupe G3 écrit les lois de l’offre et

de la demande, ses postulats, comment calculer le point d’équilibre («par

l’équation» et «graphiquement») et les modèles linéaires. Ensuite, G3

écrit «le changement de valeurs des ordonnées et les pentes». Après, il

écrit «dérivée» et il écrit que «la dérivée mesure la rapidité avec laquelle

une grandeur a changé par rapport à l’autre». Depuis, il écrit la définition

de la dérivée en utilisant la limite et finalement, il annote «limite».

La dialectique des questions et les réponses – une dialectique centrale

dans un enseignement par PER–, la dialectique de la production et de

réception et celle de l’individu et du collectif se manifestent dans chaque

tronçon du parcours. Par exemple, la recherche de réponses à la question:

comment trouver le point d'équilibre? Conduit à formuler d’autres

questions comme: quel est le point d’équilibre? Comment un système

d’équations est-il résolu, a-t-il toujours une solution?, entre autres. La

production et la réception des réponses se présentent dans chaque mise

en commun. Chaque groupe doit communiquer sa réponse et la défendre.

Cette dialectique est étroitement liée à la dialectique de l’individu et du

collectif, ce qui conduit ici à ce que le travail dans la classe soit réalisé


20

avec des groupes d’élèves, où chacun doit participer à la recherche de

réponses coopératives.

5. Conclusions

Nous concluons qu’il a été possible de réaliser un enseignement par PER

dans l’école secondaire et de «couvrir» une part du programme d’étude

du cours, avec des questions de microéconomie: équation de la droite,

limite et dérivée de fonctions. On a pu identifier et décrire comment les

différentes dialectiques opèrent, en analysant le processus d’étude à partir

de celles-ci, exception faite du moment de l’accréditation scolaire3, qui ne

doit pas être confondu avec ce que l’on désigne par moment de

l’évaluation en TAD.

Le processus de gestion du PER demande des changements radicaux

dans leau niveau de la chronogenèse, de la topogenèse et de la

mésogenèse. En conséquence, cela modifie profondément la réalisation

des moments d’étude aussi. La première question a été proposée le

premier jour du cycle scolaire, en mettant abondamment en œuvre la

dialectique du parachutiste et du truffier. Cette dialectique celle de la

production et la réception et celle de l’individu et du collectif influent sur

la topogenèse en provoquant des changements radicaux dans l’effort pour

les étudiants. Ils ont dû répondre à des questions – en principe en

manifestant de la résistance –individuellement puis par groupe. Chaque

groupe d’élèves devaient, avec la collaboration de tous ses membres,

apporter une réponse aux différentes questions, les communiquer et les

défendre. Il est difficile pour le professeur de ne pas céder devant la

demande des étudiants, habitués à ce que le professeur soit dans une

position d’enseignant et non d’aide à l’étude. Cela conduit à une

difficulté supplémentaire pour installer un enseignement par PER lorsque

le professeur n’est pas familiarisé avec certains éléments de la TAD.

3 «Accréditation scolaire» signifie assigner à chaque élève une note numérique comprise

entre 1 et 10 points dont la valeur obtenue détermine si l’élève a réalisé d’une manière

satisfaisante ou non un examen. C’est une «valeur numérique» qui doit être assignée et

qui, nous considérons, agit dans beaucoup de cas comme une «restriction institutionnelle»

dans un enseignement par PER.


21

La dialectique des boîtes noires et des boîtes claires, de l’excription et

de l’inscription et des médias et des milieux ont influé de manière

prépondérante la mésogenèse. Le milieu didactique a été construit à partir

des réponses à différentes questions, des recherches sur Internet, dans des

livres de microéconomie, par des consultations auprès du professeur

d’économie.

Il a été nécessaire de déterminer le niveau de gris auquel faire entrer

certains savoirs dans le milieu, comme par exemple les lois de l’offre et

de la demande, et ce qu’il fallait conserver de l’étude de ces savoirs dans

les dossiers établis pendant le travail en classe.

La dialectique du sujet et du hors-sujet et la dialectique des questions

et des réponses, ont influé sur la chronogenèse, en dilatant

considérablement le temps d’horloge. Sur ce point, le professeur est

soumis à un certain nombre de contraintes: on peut citer la mesure dans

laquelle il a couvert le programme d’étude, il a réuni la quantité de

qualifications exigées pour chaque élève, etc.

Finalement, nous soulignons que le caractère exploratoire de cette

recherche laisse une variété de zones grises et de questions à approfondir

et à reconsidérer. On citera par exemple: Comment gérer l’incertitude que

le changement dans le topos (de l’élève et du professeur) génère un

enseignement par PER? C’est-à-dire: comment gérer l’incertitude qui

génère l’absence de l’enseignement traditionnel, dans lequel nos élèves

sont immergés? Comment favoriser les attitudes qu’Yves Chevallard

(2013) propose comme partie fondamentale de la pédagogie de la

recherche et du questionnement du monde? Quel est «le» niveau de

«gris» pertinent pour étudier les praxéologies mathématiques

reconstruites dans la classe? Comment faire dans un enseignement par

PER des démarches pour l’accréditation des étudiants? Comment

déterminer l’amplitude des programmes d’études pour qu’un

enseignement par PER puisse «les couvrir» ? Comment introduire la

pédagogie de la recherche et du questionnement du monde aux futurs

professeurs?


22

Références


sur une nouvelle épistémologie scolaire. Séminaire national de

didactique des mathématiques 2001.

http://yves.chevallard.free.fr/spip/spip/IMG/pdf/YC_2001_-

_Seminaire_national.pdf


sur une nouvelle épistémologie scolaire. Journées de didactique

comparée 2004, Lyon.

http://yves.chevallard.free.fr /spip/spip/article.php3?id_article=45

Chevallard, Y. (2013). Théorie Anthropologique du Didactique &

Ingénierie Didactique du Développement. Journal du seminaire

TAD/IDD 2013.

http://yves.chevallard.free.fr/spip/spip/IMG/pdf/journal-tad-idd-2012-

2013-1.pdf

Parra, V., Otero, M. R. & Fanaro, M. (2011). Los Recorridos de Estudio e

Investigación en la Escuela Secundaria: luces y sombras. I Congreso

Internacional de Enseñanza de las Ciencias y la Matemática (I

CIECyM). II Encuentro Nacional de Enseñanza de la Matemática (II

ENEM) 2011, Tandil.

Parra, V., Otero, M. R. & Fanaro, M. (2012a). Recorridos de estudio e

investigación codisciplinares a la microeconomía. Números. Revista

de Didáctica de las Matemáticas, 82, 17-35.

http://www.sinewton.org/numeros/numeros/82/Articulos_02.pdf

Parra, V., Otero, M. R. & Fanaro, M. (2012b). Los Recorridos de Estudio

e Investigación en la Escuela Secundaria: resultados de una

implementación. Revista Bolema. En prensa.

http://yves.chevallard.free.fr/spip/spip/IMG/pdf/YC_2001_-_Seminaire_national.pdf

http://yves.chevallard.free.fr/spip/spip/IMG/pdf/YC_2001_-_Seminaire_national.pdf



http://www.sinewton.org/numeros/numeros/82/Articulos_02.pdf







1

Parcours d’étude et de recherche: la dynamique de

l’équilibre du marché

Verónica Parra



Aires (UNCPBA), Argentina

María Rita Otero, María de los Ángeles Fanaro



Aires (UNCPBA), Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y


Abstract. The aim of this work is to show possible study and research courses (SRC)

which hypotheses and generational questions come from the microeconomic, specifically,

from the point of market equilibrium. Some examples of mathematical organizations

(MO) that these courses would allow to cover are presented. The theoretical reference

used is the notion of SRC, introduced by Chevallard (2004, 2005) in the frame of the

anthropological theory of didactic (ATD).

Résumé. L’objectif de ce travail est de présenter le dessin de différents parcours d’étude

et de recherche (PER) dont les hypothèses de départ et les questions génératrices

proviennent de la microéconomie, spécifiquement, du point d’équilibre du marché. On

présente aussi les organisations mathématiques (OM) qui pourraient être construites pour

répondre à ces questions. On utilise la notion de PER introduite par Chevallard (2004,

2005) dans la théorie anthropologique du didactique (TAD).

Resumen. El objetivo de este trabajo es presentar posibles recorridos de estudio e

investigación (REI) cuyas hipótesis de partida y cuestiones generatrices provienen de la

microeconomía, específicamente, del punto de equilibrio de mercado. Se presentan

algunos ejemplos de organizaciones matemáticas (OM) que estos recorridos permitirían

cubrir. Se utiliza como referente teórico la noción de REI introducida por Chevallard

(2004, 2005) en el marco de la teoría antropológica de lo didáctico (TAD).


2

1. Introduction

Dans l’économie, un marché est n’importe quel ensemble de transactions

ou accords d’échange de biens ou de services entre des individus ou des

groupes d’individus. Le marché ne fait pas de référence directe aux

entreprises, mais à l’accord mutuel dans le cadre des transactions. Le

marché doit interpréter comme l’institution ou organisation sociale à

travers de laquelle, ceux qui offrent (des producteurs et des vendeurs) et

ceux qu’ils demandent (des consommateurs ou des acheteurs) un bien

déterminé ou un service, commencent une relation commerciale pour

réaliser des transactions.

Il y a quatre éléments d’un marché : des biens ou des services (des

marchandises), des offres de biens ou de services, des demandes de biens

ou de services et prix des biens ou de services. La formation du prix des

biens ou de services est réglée par la loi dénommée de l’offre et de la

demande. Cette loi est basée sur la relation entre le prix et les ventes d’un

bien et elle assume que, dans un marché de concurrence parfaite, le prix

de marché s’établira à un point – un point dénommé de l’équilibre –.

Dans ce point, tout le produit se vend et il ne reste pas de la demande

insatisfaite (Schiller, 1994; Gould, Lazear, 2000; Chiang, 1987). La

relation entre l’offre et la demande implique trois postulats :

1. Quand, au prix standard, la demande excède l’offre, le prix tend

à augmenter. Inversement, quand l’offre dépasse la demande, le

prix tend à diminuer.

2. Une augmentation du prix tend à diminuer la demande et à

augmenter l’offre. Inversement, une diminution du prix tend à

augmenter la demande et à diminuer l’offre.

3. Le prix tend au niveau dans lequel la demande égale l’offre.

Dans un modèle économique, les variables dont les valeurs solution

nous calculons à partir du modèle sont connus comme variables

endogènes, puisqu’elles sont à l’origine de l’intérieur du modèle (Chiang,

1987). Par exemple, le prix et la quantité de l’équilibre. Le modèle

contient aussi des variables qui sont accepté comme données. Ces

variables se nomment variables exogènes puisqu’elles sont à l’origine

dehors du modèle. Par exemple, les paramètres du modèle. Il convient de

mentionner que le qualificatif de «endogène» ou «exogènes» est relatif

Parcours d’étude et de recherche: la dynamique de l’équilibre du marché

3

puisque une variable qui est endogène dans un modèle peut être exogène

dans l’autre. Nous nous rapporterons aux variables endogènes comme

variables, alors qu’aux exogènes variables comme paramètres.

Ce travail présente des parcours possibles d’étude et de recherche

(PER) dont les questions génératrices proviennent de la microéconomie,

spécifiquement, des modèles de l’offre et de la demande. Les parcours

possibles sont variés donc, en dépendant de la quantité de biens ou de

services qu’ils considèrent et en dépendant de la nature des fonctions de

l’offre et de la demande impliquées, les modèles à construire seront

différents. La construction de chacun de ces modèles permet d’étudier des

différentes organisations mathématiques (OM) autour des fonctions

impliquées et autres, telles que la limite et la dérivée. Nous

mentionnerons, sans donner beaucoup de détails, les hypothèses de

départ, les questions qui peuvent être formulées sous ces hypothèses et

les OM qui peuvent s’étudier pour apporter des réponses à ces questions.

Nous développerons un exemple concret d’un cas particulier d’OM

qui peut être construit pour donner la réponse à une question: l’OM

autour des dérivées. N’importe quels soient les hypothèses de départ, le

modèle à construire doit prendre en considération: (a) la quantité de biens

; (b) le prix des biens: , ; (c) la quantité

demandée du bien: ; (d) la quantité d’offre du bien: et (e) l’équation

de l’équilibre:

2. Les hypothèses de départ et des questions génératrices de

possibles PER

La notion d’équilibre dans un modèle de marché se classe selon

l’accessibilité: nous pouvons supposer d’avance que l’état de l’équilibre

puisse s’obtenir ou, nous pouvons ne rien supposer par rapport à son

accessibilité. Le premier cas donne lieu à deux types d’analyses

économiques: l’analyse statique et l’analyse statique-comparative.

L’analyse statique se concentre sur la recherche de l’état de l’équilibre,

précisément, trouver les valeurs des variables qui satisfait l’équilibre:

Comment trouverions-nous l’ensemble de valeurs des variables qui

satisferaient la condition de l’équilibre du modèle? L’analyse statique-

comparative compare des différents états de l’équilibre associés aux


4

différents ensembles de valeurs des paramètres et des variables du

modèle. Par cela, toujours un état de l’équilibre initial est assumer et tout

de suite on réalise un changement que déséquilibre le modèle – au moyen

d’une variation dans la valeur d’un paramètre. Par la suite, les deux états

des équilibres sont comparés: Comment et combien modifierait la

position d'équilibre dans la réponse à certain changement dans un

paramètre du modèle? Le deuxième cas, où rien ne se sait par rapport à

l’accessibilité de l’équilibre, donne lieu à l’analyse dynamique. Cette

analyse doit incorporer le «variable temps». En conséquence, il peut

arriver que, par l’instabilité inhérente du modèle, le nouvel équilibre ne se

rejoint jamais: le modèle tendra-t-il à atteindre la position de l’équilibre?

Dans les deux premiers cas, l’analyse statique et l’analyse statique-

comparative, l’état de l’équilibre peut être désirable ou indésirable. Par

exemple, quand une entreprise veut obtenir le bénéfice maximal, l’état de

l’équilibre est désirable. En revanche, un état de l’équilibre indésirable

arrive, par exemple, dans le niveau de l’équilibre du revenu national avec

le chômage. L’état désirable peut être finaliste ou non finaliste.

Supposons que des valeurs diverses de l’équilibre existent, alors nous

essaierons de choisir la meilleure option entre les possibles. Cela conduit

aux analyses de l’élection parfaite ou de l’équilibre. La meilleure option

dépendra de l’objectif que nous voulons atteindre. Les OM autour de

l’optimisation et la programmation mathématique donnent la réponse à ce

type de problèmes. Dans sa forme la plus simple, la question revient à

résoudre un problème de ce type:

Où est le vecteur des variables de décision, est

la fonction objective et Ω est l’ensemble de décisions ou les restrictions

du problème. Quand l’ensemble est représenté par des restrictions de la

forme , l’organisation mathématique (OM) à

construire correspond à l’optimisation mathématique. Quand l’ensemble

est formé par des restrictions de la forme ,


5

, ou ,

l’OM à construire correspond à la programmation mathématique.

Quand une valeur unique de l’équilibre existe, l’équilibre se nomme

non finaliste. Dans ce cas, il y a deux types d’équilibre: l’équilibre partiel

et l’équilibre général. Le premier consiste à considérer un marché formé

par un bien unique, ce qui fait que le modèle considérera le prix de ce

bien seul. Le deuxième considère le prix de n biens en étant

. Dans le cas de l’équilibre partiel, le modèle à construire aura les

équations suivantes: la fonction de l’offre ( ), la fonction de la demande

( ), les deux dépendantes du prix (p) du bien et l’équation de

l’équilibre:

{

Dans le cas de l’équilibre général, le modèle à construire aura les

équations suivantes : les fonctions de l’offre ( ), les fonctions de la

demande ( ) de chacun des biens i ( ), les prix ( ) du n

biens et les équations de l’équilibre. Le modèle reste construit de la

manière suivante :

{

Ce modèle a fonctions, lesquelles ne sont pas nécessairement

linéaires. Quand la condition de l’équilibre l’a ajouté, le modèle complète

avec un total de équations. Cependant, en substituant les fonctions

et dans l’équation de l’équilibre, le modèle peut réduire à un total de n

équations simultanées. En dénommant aux équations de l’équilibre,

l’ensemble antérieur d’équations peut être écrit comme:

En résolvant simultanément ces n équations, les n prix de l’équilibre

se détermineront. Tout de suite, les quantités de l’équilibre sont déduites


6

à partir de chacun des prix de l’équilibre. Cela donne lieu à l’OM de

l’algèbre matricielle.

Nous considérons maintenant que rien ne se sait par rapport à

l’accessibilité de l’état de l’équilibre. C’est-à-dire, nous considérons

l’analyse dynamique. Ce type d’analyse doit incorporer le variable

«temps». Il y a deux façons de le faire: considérer le «temps» comme

l’une variable continue ou comme l’une variable discrète. Dans le

premier cas, la variable expérimente un changement dans chaque point du

temps. Cela donne lieu à l’étude des techniques de l’OM du calcul

différentiel et intégral. Dans le deuxième cas, la variable expérimente des

changements seulement une fois dans chaque période. Cela permet

d’étudier les techniques de l’OM des équations aux différences finies.

Nous ne détaillerons pas ces cas ici donc puisqu’il semblerait trop long.

Le schéma suivant montre un résumé de ces classifications :

Schéma 1. Ce schéma montre un résumé des classifications de point de l’équilibre

L’EQUILIBRE DU MARCHE

Hypothèse : Il est supposé accessible

Hypothèse : Rien n’est supposé de son accessibilité

L’équilibre désirable

L’équilibre indésirable

L’équilibre finaliste L’équilibre non finaliste

OMoptimisation OMprogrammation

mathématique

L’équilibre du marché

(Des marchés avec n

biens)

Si n > 1: L’équilibre

est général. Des

marchés avec n biens.

Si n = 1: L’équilibre est

partiel. Des marchés avec

un unique bien.

L’incorporation du variable « temps »

Le temps continu Le temps discret

OMmatriciel OMfonctions

OMéquations en différences

OMcalcul différentiel et intégral

ANALYSE DYNAMIQUE

Question : Le modèle

tendra-t-il à atteindre la

position de l’équilibre ?

L’équilibre ne peut pas

finalement s’atteindre

OMlimite et dérivée

L’équilibre peut

finalement

s’atteindre.

L’équilibre

est-il stable ?

Comparer des états d'équilibre

distincts

L’ANALYSE STATIQUE-

COMPARATIF

Question : Comment et combien

modifierait la position d'équilibre dans

la réponse à certain changement dans

un paramètre du modèle ?

Chercher l’état d'équilibre

L’ANALYSE STATIQUE

Question : Comment trouverions-

nous l’ensemble de valeurs des

variables qui satisferaient la

condition de l’équilibre du modèle ?


7

Ensuite nous donnerons un exemple de comment ces hypothèses et des

questions sur la microéconomie permettrait de rentrer à l’étude de l’OM

de la dérivée.

3. Une analyse statique-comparative : un exemple du modèle

linéaire de l’offre et de la demande

Nous considérons comme les fonctions de l’offre et de la demande les

deux linéaires. Le modèle de marché aura la forme suivante :

{

Les paramètres doivent être positifs puisque de cette façon le modèle

vérifie les lois de l’offre et de la demande. La fonction de l’offre a une

intersection verticale négative, dans puisque, de cette forme, on

oblige à que la courbe de l’offre a une intersection horizontale positive,

dans , et en conséquence la condition satisfait que l’offre n’apparaît pas

à moins que le prix ne soit suffisamment positif et grand.

Quand le modèle a été construit, le pas suivant consiste à obtenir les

solutions de variables le prix et quantité qui satisfait l’équilibre. En

résolvant le système nous obtenons les solutions, dénommées des formes

réduites, qui correspondent au prix ( ) et la quantité de l’équilibre ( ):

et

. Graphiquement:


8

Figure 1. Le graphique du modèle linéaire.

Pour trouver comment un changement infinitésimal affectera dans l’un

des paramètres à la valeur du prix ( ) et la quantité de l’équilibre ( ),

nous avons différencié partiellement les formes réduites à l’égard de

chacun des paramètres. En déterminant le signe de la dérivée partielle, à

partir de l’information donnée relative aux paramètres, nous connaissons

la direction du changement. De la même manière, nous pouvons conclure

sur la quantité de l’équilibre. Ces dérivées partielles sont dénommé

dérivées statiques-comparatives. Nous réalisons un exemple seul avec .

Les quatre dérivées partielles, en utilisant la forme réduite

,

sont les suivantes:

;

;

;

Tous les paramètres sont positifs, alors on peut dire que :

;

Ces dérivées indiquent: (a) La relation de changement entre et le

paramètre a est directe : c’est-à-dire, si a augmente (ou diminue) alors

augmente aussi (ou diminue). Cela s’obtient puisque la dérivée de par

rapport à a est positive. Nous obtenons la même conclusion pour la


9

dérivée de par rapport à c. (b) La relation de changement entre et le

paramètre b est inverse : c’est-à-dire, si b augmente (ou diminue) alors

diminue (ou augmente). Cela s’obtient puisque la dérivée de par

rapport à b est négative. La même conclusion nous obtenons pour la

dérivée de par rapport au paramètre d. Il resterait à calculer les

dérivées de . Ces conclusions peuvent être obtenues graphiquement.

Par exemple, nous analysons seulement le cas dans lequel nous varions le

paramètre c.

Figure 2. Des variations au paramètre c.

De cette façon, pas seulement des conclusions sont obtenues sur les

variations mais aussi, on peut étudier le comportement de graphiques des

fonctions de l’offre et de la demande. C’est un exemple où les deux

fonctions sont linéaires, mais il est important de mentionner qu’elles

pourraient ne pas être. Les fonctions de l’offre et de demande peuvent

être de n’importe quel type. Il faut seulement veiller à ce qu’elles

vérifient la loi de l’offre et de la demande.

Par exemple, nous pourrions considérer une fonction de l’offre

polynomial de degré deux, avec son domaine égal aux nombres réels

positifs et avec son coefficient principal positif. Ainsi, la courbe de l’offre

vérifie la loi de l’offre : quand le prix augmente, l’offre aussi augmente.

La fonction de la demande pourrait aussi être une fonction polynomial de

degré deux, avec son domaine égal aux positifs réels et avec son


10

coefficient principal négatif. Ainsi, nous vérifions que quand le prix

augmente, la demande aussi. Après le modèle construit nous pouvons

étudier les variations des paramètres et évaluer les changements dans le

point d’équilibre, dans ce cas, qui correspond à l'intersection de deux

paraboles. Par exemple, le modèle pourrait être le suivant :

{

Les paramètres doivent être positifs, ici aussi, puisque de cette façon le

modèle vérifie les lois de l’offre et de la demande. La représentation de

ce modèle est la suivante (voir une figure 3) :

Figure 3. Le modèle polynomial de degré deux avec son domaine égal aux positifs réels.

Nous analysons les variations dans ses paramètres en utilisant des

méthodes graphiques et/ou numériques. Le graphique suivant (voir une

figure 4) présente les variations dans le terme indépendant de la courbe

de demande.


11

Figure 4. Des variations au terme indépendant.

L’élection des fonctions dépendra des fonctions qui veulent s’étudier ou,

des fonctions proposées à étudier dans les programmes d’études. Si le

programme d’études à couvrir n’inclut pas les dérivées partielles, cette

analyse peut être réalisée par la dérivée de fonctions d’une variable de la

manière suivante : on fixe trois des paramètres de modèles et l’un est

seulement varié à la fois. Nous voyons seulement un exemple. Nous

supposons que le modèle de l’offre et de demande soit le suivant :

{

Le point de l’équilibre de ce modèle est donné par .

Nous supposons que nous voulions déterminer comment et combien varie

exactement ce point de l’équilibre si l’ordonnée de la droite de demande

varie. Cette analyse peut être faite graphiquement mais si nous voulons

calculer combien varie exactement le point d’équilibre il sera nécessaire

d’utiliser la dérivée. En remplaçant dans les formes réduites les valeurs

des paramètres nous aurions que

y

. Nous ne remplaçons pas le paramètre

puisqu’il consiste en ce que nous varierons. En réalisant les calculs nous


12

obtenons que

et

. Ainsi, le prix et la quantité

de l’équilibre restent exprimés en fonction du paramètre c. En

calculant la dérivée de et nous avons que

et

.

Ainsi, nous concluons que quand le paramètre c augmente (diminue) une

unité, le prix de l’équilibre augmente (diminue)

unités (la dérivée est

positive) et quand le paramètre c augmente (diminue) une unité, la

quantité de l’équilibre diminue (augmente)

unités (la dérivée est

négative). La même analyse peut être réalisée pour tous les paramètres du

modèle.

Le cas que nous avons présenté en manière d’un exemple, a été partie

du parcours que nous avons mis en œuvre dans l’école secondaire durant

les années 2011 et 2012. Une description bien détaillée de chacun des

parcours possibles aussi, pourra se trouver dans un travail dans la Revue

Nombres.

4. Questions et réponses

Les questions et les réponses de différentes PER (voir schéma 2) sont les

suivantes:

Question Q0: Comment trouverions-nous l’ensemble de valeurs des

variables qui satisferaient la condition de l’équilibre du modèle ?

- Question Q0.1: Comment trouverons-nous le point de l’équilibre chez

un modèle de marché ?

o Question Q’0.1: Comment trouverons-nous le point de l’équilibre chez

un modèle de marché avec unique bien?

o Question Q’’0.1: Comment trouverons-nous le point de l’équilibre chez

un modèle de marché avec n biens?

- Réponse R♥

0.1: OM Matriciel

- Question Q0.2: ¿Cómo elegir la mejor opción de equilibrio entre varios

putos de equilibrio?

- Réponse R♥

0.2: OM Programmation Mathématique, OM optimisation

Mathématique.

Réponse R♥

0: R♥

0.1 et R♥

0.2


13

Question Q1: Comment et combien modifierait la position de l’équilibre

dans la réponse à certain changement dans un paramètre du modèle?

Réponse R♥

1: OM Limite et dérivée de fonctions.

Question Q2: Le modèle tendra-t-il à atteindre la position de l’équilibre ?

- Question Q2.0: Si le variable «temps» est «discret», le modèle tendra-t-

il à atteindre la position de l’équilibre ?

- Réponse R♥

2.0: OM Équations aux différences finies.

- Question Q2.1 : Si le variable «temps» est «continu», le modèle tendra-

t-il à atteindre la position de l’équilibre ?

- Réponse R♥

2.1: OM ecuaciones diferenciales

Réponse R♥

2: R♥

2.0 et R♥

2.1

Schéma 2: Questions et réponses de différents PER.

Le parcours mis en œuvre – générés par les questions Q’0.1 y Q1 – nous a

permis d’étudier les OM suivantes: la fonction linéale (les droites dans le

plan, les systèmes des équations) et la limite et la dérivée de fonctions du

point de vue de la variabilité.


14

5. Conclusions

Dans ce travail on a brièvement caractérisé les premières phases de

l’ingénierie didactique relatif à la construction de possibles parcours

d'étude et de recherche, dont les questions et hypothèse de départ

proviennent de la Microéconomie. On a présenté aussi les organisations

mathématiques qui pourraient être construites pour donner des réponses

aux questions. De plus, on montre, à partir d’un exemple, comment

pourrait s’étudier dans l’école secondaire, la dérivée de fonctions à partir

de la variabilité avec les équations de droites.

En utilisant le schéma herbartien développé proposé par Yves

Chevallard (2013), nous écrivons les PER de la manière suivante :

PER1: S(X, Y, Q0) {Q0.1, Q’0.1, Q’’0.1, Q0.2, OMFonctions, ROffre et demande}

{R♥

0.1, R♥

0.2}

PER2: S(X, Y, Q1) {OMFonctions, ROffre et demande, R

0.1, R

0.2}{ R♥

1}

PER3: S(X, Y, Q2) {Q2.0, Q2.1, OMFonctions, ROffre et demande, R

0.1, R

0.2,

R

1} {R♥

2.0, R♥

2.1}

Ces parcours ont l’objectif d’étudier des organisations mathématiques

comme conséquence d’une nécessité dans la construction et l’analyse du

modèle pour apporter des réponses aux questions distinctes qui peuvent

se poser. De cette façon on propose d’aborder le phénomène que

Chevallard (2004) a nommé monumentalisation des savoirs. Nous

essayons de favoriser des relations fonctionnelles avec le savoir

mathématique, en récupérant un sens et une raison d’être.

Références


sur une nouvelle épistémologie scolaire. Journées de didactique

comparée 2004, Lyon.

http://yves.chevallard.free.fr /spip/spip/article.php3?id_article=45


15

Chevallard, Y. (2005). La place des mathématiques vivantes dans

l’éducation secondaire : transposition didactique des mathématiques et

nouvelle épistémologie scolaire. Conférence donnée à la 3e Université

d’été Animath 2004, Saint-Flour.

http://yves.chevallard.free.fr/spip/spip/article.php3?id_article=48

Chiang, A. (1987). Métodos fundamentales de la economía matemática.

México: McGraw-Hill.

Gould, J. & Lazear, E. (2000). Teoría microeconómica. Buenos

Aires/México: Fondo de Cultura Económica.

Parra, V., Otero, M. R. & Fanaro, M. (2013). Recorridos de estudio e

investigación co-disciplianres a la microeconomía. Números. Revista

de Didáctica de las Matemáticas, 82, 17-35.

Schiller, B. (1994). Principios esenciales de la economía. Madrid:

McGraw-Hill.


Actividades didácticas basadas en modelación matemática


1

Actividades didácticas basadas en modelación matemática: elementos para el diseño

Avenilde Romo CICATA, Instituto Politécnico Nacional, México

Abstract. With the aim to have a resource to design didactical activities on mathematical modelling nearer to real context, a methodology was made. This methodology is founded in praxeological model extended (Castela and Romo, 2011). In this communication some elements of this model and the five phases of methodology are presented. Resumen. Con el objetivo de generar un recurso para el diseño de actividades didácticas de modelación matemática lo más cercanas a un contexto “real”, se realizó una metodología basada en el modelo praxeológico extendido (Castela y Romo, 2011). En esta comunicación se presentan elementos de este modelo y las cinco fases de la metodología. Résumé. Dans l’objectif d’avoir une ressource pour le design d’activités didactiques basées sur la modélisation mathématique, le plus proche à un contexte réel, une méthodologie a été proposée. Cette méthodologie est basée sur le modèle praxéologique élargi (Castela et Romo, 2011). Dans cette communication des éléments sur ce modèle et les cinq phases de la méthodologie proposée sont présentés.

1. Introducción

En esta comunicación se presentan elementos del modelo praxeológico extendido (Castela y Romo, 2011), que ofrece a diferencia del modelo clásico una explicitación de seis funciones tecnológicas prácticas relacionadas al uso de técnicas matemáticas. Este modelo fue considerado particularmente porque uno de los objetivos para el diseño de actividades didácticas es que éstas fueran cercanas a actividades de modelación matemática que tienen lugar en contextos “reales”. En estos contextos se considera que dos tipos de tecnologías son susceptibles de aparecer, las matemáticas relacionadas al modelo matemático y las prácticas relacionadas al uso del modelo matemático. Es decir, no se asume que conocer un modelo matemático permite utilizarlo en diferentes contextos sino que para utilizarlo es necesario conocer las condiciones y

Avenilde Romo Vázquez

2

restricciones del contexto de uso. Para diseñar, en este marco, actividades didácticas basadas en modelación matemática, se generó una metodología que tiene cinco fases y que se detalla en la cuarta sección de esta comunicación. Se considera necesario señalar que aunque la metodología surgió en un proyecto que tenía por objetivo generar actividades didácticas para una formación de futuros ingenieros, puede ser considerada para otro tipo de formaciones profesionales.

2. Modelo praxeológico extendido En el modelo praxeológico clásico propuesto por Chevallard (1999) se reconoce a la praxeología [T, τ, θ, Θ], como una unidad mínima de análisis de la actividad humana, sus cuatro componentes son: tipo de tarea T, técnica τ, tecnología θ y teoría Θ. La tarea es lo que se hace, la técnica es la manera en que se hace, la tecnología es un discurso que produce, justifica y explica la técnica, la teoría a su vez produce, justifica y explica la tecnología. El modelo praxeológico extendido (Romo y Castela, 2011) considera, a diferencia del clásico, dos componentes tecnológicas: teórica θth y práctica θp. Particularmente, la componente práctica es un discurso que tiene seis funciones que permiten, describir, validar, explicar, facilitar, motivar y evaluar el uso de técnicas matemáticas en referencia a instituciones usuarias, no necesariamente matemáticas. El modelo puede expresarse de la siguiente manera:

Donde P(S) designa la institución productora de saberes e Iu la institución usuaria de dichos saberes. Asumimos que para resolver tareas en contextos extra-matemáticos el uso de modelos matemáticos se hace mediante técnicas matemáticas validadas por saberes matemáticos θth. Mientras que el uso del conjunto de técnicas matemáticas asociadas al modelo matemático (reconocimiento de la naturaleza de la tarea, elección de la(s) técnica(s) más óptima, reconocimiento del contexto en el que se usa, adaptaciones de la(s) técnica(s) al contexto, etc.) es validado por saberes prácticos θp, legitimados por Iu.


3

3. Formación de ingenieros e instituciones asociadas En Romo-Vázquez (2009) se considera que en la formación de ingenieros intervienen tres tipos de instituciones, de producción P, de enseñanza E -responsables de la transmisión de los saberes- y de uso (o usuarias) Iu. Las instituciones de producción son las matemáticas P(M), vista como disciplina, y las disciplinas intermediarias P(DI) o también conocidas como Ciencias del ingeniero (resistencia de materiales, teoría de control, circuitos eléctricos, etc.). Las instituciones de enseñanza, de las matemáticas E(M) y de las disciplinas intermediarias E(DI) y finalmente la institución práctica Ipf, que representaba las prácticas profesionales que realizan los estudiantes en empresas en el curso de la formación y todos los dispositivos didácticos, que intentan acercarse al mundo laboral pero son desarrollados bajo condiciones escolares, como los proyectos de ingeniería. Asimismo se señala que una praxeología matemática inicial puede seguir diferentes recorridos transpositivos interinstitucionales, en los cuales todas sus componentes y en particular la tecnología y su componente práctica 𝝝p son susceptibles de modificarse. Los diferentes

recorridos institucionales que se reconocen para que una praxeología matemática pase de P(M) a Ip son tres y se esquematizan de la siguiente manera:

Figura 1. Recorridos institucionales de una praxeología matemática para pasar de P(M) a Ip

Los efectos transpositivos pueden ser tan grandes que una praxeología matemática en Ip no sea reconocible como matemática. La investigación de Hoyles, Noss y Pozzi (2000) muestra que en la práctica algunos

P(DI)

P(M)

E(M) E(DI)

Ifp


4

profesionales utilizan estrategias sustentadas en modelos matemáticos que funcionan implícitamente y los usuarios los han automatizado de tal manera que ya no los reconocen. Por otra parte, existe un discurso institucional en varias formaciones de ingenieros que afirma que la modelación matemática es una herramienta fundamental para la práctica profesional del ingeniero. Sin embargo, en algunos programas de matemáticas analizados (Macias, 2012; Soto, 2012) no aparece ningún dispositivo didáctico para abordar la modelación matemática en la clase de matemáticas. La pregunta que emerge es, ¿cómo hacer que los modelos matemáticos utilizados en la práctica de ingenieros Ip sean considerados en la enseñanza de las matemáticas E(M)? Dicho de otro modo, ¿qué tipo de actividades didácticas pueden generarse para que los modelos matemáticos utilizados en la práctica ingenieril Ip tengan un lugar en la enseñanza de las matemáticas E(M)?

Las actividades didácticas son entendidas como un conjunto de tareas (matemáticas y/o provenientes de la ingeniería) diseñadas para realizarse en E(M), pero intentando reproducir las técnicas de modelación matemática utilizadas en E(DI) y/o Ip. La modelación matemática en la práctica de los ingenieros Ip puede ser considerada según Bissell y Dillon (2000) como un proceso de afinación de modelos existentes que se realiza con base en la experiencia y la práctica, incluyendo lo que resulta de los fracasos de la modelación. La modelación según estos autores no es algorítmica sino subjetiva, se apoya regularmente en conocimientos implícitos y en saberes prácticos específicos de una disciplina o de un dominio.

Con el objetivo de poder reconocer los saberes y técnicas propios de la modelación matemática en la práctica ingenieril y adaptarlos para que los estudiantes puedan conocerlos/producirlos al enfrentar una actividad didáctica, se generó la metodología que se presenta en la siguiente sección.

4. Metodología para el diseño de actividades didácticas de modelación matemática

Esta metodología surge con el objetivo de propiciar un recurso para el diseño de actividades didácticas que se acerquen y/o inspiren en


5

actividades de modelación matemática que tienen lugar en contextos de ingeniería. La metodología de diseño que aquí se presenta constituye una segunda versión de la presentada en Macias (2012). La metodología considera cinco fases:

1. Elección del contexto extra-matemático 2. Descripción de la actividad de modelación en términos de

praxeologías mixtas 3. Elección y descripción del modelo matemático en uso 4. Descripción de las técnicas y tecnologías asociadas al uso del

modelo 5. Construir una organización mixta funcional

A continuación describiremos cada una de las fases:

1. Elección del contexto extra-matemático Las actividades didácticas basadas en modelación matemática pueden ser propuestas en contextos extra-matemáticos y en ese caso la elección dicho contexto es una fase medular en el diseño. Un contexto extra-matemático permite enfrentar al estudiante al proceso de modelación matemática, es decir a la construcción o adaptación de un modelo matemático para resolver una o varias tareas no matemáticas. Nos parece necesario subrayar que según Bissell (2002) en la práctica los ingenieros más que construir, adaptan modelos matemáticos. Es decir, se considera que adaptar un modelo matemático tipo (o conocido) para resolver determinada tarea es una actividad de modelación matemática. El contexto extra-matemático elegido debe ser cercano al estudiante, de manera que le permita asociar un significado contextual al modelo matemático en uso. Es decir, se asume que los conocimientos sobre el contexto podrían favorecer una adecuada adaptación y/o refinamiento del modelo matemático en uso. Más precisamente, podría decirse que la función Validar del modelo extendido entraría en juego para asegurar que el modelo elegido y la adaptación hecha es la óptima para resolver las tareas del contexto extra-matemático. Lo que implica generar una cercanía del estudiante al contexto extra-matemático al momento de realizar la actividad didáctica.


6

La elección del contexto extra-matemático debe hacerse considerando el nivel educativo para el cual las actividades didácticas sean diseñadas. Por ejemplo, si consideramos el nivel universitario donde las matemáticas se enseñan como una disciplina de servicio, tanto para la formación básica como para de especialidad -a menos que sea una formación de futuros matemáticos-, una alternativa es investigar sobre el uso de modelos matemáticos en las disciplinas de especialidad y/o en la práctica profesional. Una complejidad que tendría que enfrentarse es que las disciplinas de especialidad y la práctica profesional obedecen sus propias lógicas y por tanto es necesario comprenderlas, al menos en cierta medida, para en efecto poder comprender el uso que se hace de los modelos matemáticos. 2. Descripción de la actividad de modelación en términos de praxeologías mixtas Las actividades de modelación pueden estar conformadas por praxeologías matemáticas y/o praxeologías mixtas.

-Una praxeología matemática está compuesta por una tarea matemática (consigna), que se resuelve a través de una técnica matemática (manera de hacer/procedimiento), justificada por una tecnología matemática (lo que valida la manera de hacer) y ésta a su vez por una teoría matemática (que valida de manera más general la tecnología y por tanto la técnica). -Una praxeología mixta puede contener elementos matemáticos y no matemáticos. Por ejemplo, una tarea no matemática resuelta a través de una técnica matemática, lo que requerirá tanto validaciones matemáticas como no matemáticas, de tipo experimental por ejemplo o validaciones relacionadas al contexto en el que se inscribe la tarea. La componente tecnológica (justificación/explicación/validación) podrá ser teórica θth y/o práctica θp.

Dependiendo del tipo de praxeologías podrá explicitarse la componente teoría Θ relacionada a la tecnología teórica, la cual será una teoría de la disciplina matemática o bien de la matemática escolar. Asimismo, dependiendo del tipo de tarea y del contexto que la produce habrá una


7

instancia, no exactamente teórica (suficientemente estable para producir tecnologías, pero no a un nivel teórico formal como el de una disciplina científica), pero que valide de manera más general la tecnología práctica. Todas las componentes de una praxeología son igual de importantes y permiten, en el análisis de la actividad, considerar que la tarea, la técnica, la tecnología y la teoría están intrínsecamente relacionadas. Es decir, se asume que utilizar determinada técnica para realizar cierta tarea, tiene que ver tanto con la naturaleza de la tarea como con las técnicas disponibles para realizarla, las justificaciones de la técnica serán provistas por el contexto en el que se realiza y éstas serán a su vez sustentadas por justificaciones más generales. Asumimos por tanto que el tipo de tarea propuesto será, al menos en parte, determinante en el uso de modelos matemáticos. Describimos a continuación tres tipos de tareas que consideramos pueden solicitar el uso de modelos matemáticos.

-Tareas matemáticas Las tareas matemáticas son consignas que solicitan el uso de una técnica (resolución) y una validación matemática. Por ejemplo: Encontrar la inversa de una matriz A

-Tareas no matemáticas En este tipo de tareas la consigna no es matemática, por tanto puede requerir o no el uso de una técnica matemática para realizarla. Ejemplos:

Apagar una computadora Estudiar fuentes cerebrales

Analicemos brevemente el ejemplo de la primera tarea, consideremos dos técnicas posibles para realizarla, apretar el botón de apagado o quitar el cable de la corriente eléctrica. Las dos técnicas funcionan, pero una es más óptima que la otra, particularmente si deseamos que la computadora no se descomponga. La tecnología práctica que nos permitiría elegir una técnica de la otra, podría ser apagar la computadora sin que sufra descompostura y correspondería a la función Motivar. -Tareas matemáticas en contextos extra-matemáticos


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En este tipo de tareas aparecen en un contexto extra-matemático, la tarea que solicita una técnica matemática para su resolución no es necesariamente explícita. Por tanto, se requiere de un entendimiento del contexto para reconocer la necesidad de utilizar una técnica matemática para resolver la tarea en cuestión. Su resolución requerirá por tanto un conocimiento de la técnica matemática pero también del contexto, dicho de otra manera requerirá una adaptación de la técnica para realizar este tipo de tarea. Ejemplo: Simular señales electrofisiológicas (e.g. EEG) Esta tarea se inserta en el contexto de la ingeniería biomédica y para resolverla se utilizan técnicas del álgebra lineal. Las señales electrofisiológicas son vistas como vectores y determinado conjunto como una matriz. Esta modelación permite posteriormente generar técnicas matemáticas para tratar, analizar y separar las señales como es el método de Separación Ciega de Fuentes (Blind Separation Sources - BSS).

3. Elección y descripción del modelo matemático en uso En esta metodología se propone que una vez elegido el contexto extra-matemático se analicen los modelos matemáticos en uso a través de las funciones de la tecnología práctica: describir, validar, explicar, facilitar, motivar y evaluar. Describir el modelo en uso permitirá evidenciar las razones relativas al contexto por las cuales dicho modelo se ha elegido para resolver tareas del contexto extra-matemático. Interrogarse sobre los elementos que validan el uso del modelo y en cuáles condiciones, permitirá comprender qué elementos contextuales deben considerarse en el diseño de las actividades didácticas. Por ejemplo, muchos de los modelos matemáticos se usan en condiciones “ideales”, lo que permite resolver ciertas tareas con mayor facilidad, requiriendo luego la adaptación de las soluciones obtenidas a la realidad. Dicha adaptación es hecha en base a ciertos elementos que la validan y nos parece muy importante reconocer esos elementos para el diseño de la actividad didáctica y ver en qué medida pueden ser considerados para desarrollarla en el aula.


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Reconocer las explicaciones del uso, permite saber qué representa cada elemento del modelo, en qué medida el modelo utilizado permite modelar el contexto (o parte de éste). Analizar los elementos que facilitan el uso del modelo nos parece evidenciará elementos del proceso de modelación matemática, en el cual no sólo importa que el modelo matemático permita resolver un problema del contexto extra-matemático sino que dicha resolución sea la menos compleja. Por tanto, es importante reconocer los elementos que facilitan el uso y analizar la manera en que puedan ser considerados en el diseño de la actividad didáctica. Poner en evidencia qué motiva el uso del modelo, nos parece que es una fase medular para el diseño de las actividades didácticas. 4. Descripción de las técnicas y tecnologías asociadas al uso del modelo

En esta fase se considera necesario describir las técnicas que intervienen en el uso de modelos matemáticos analizados. Particularmente, se considera las técnicas matemáticas y las razones de uso para resolver las tareas en juego. Un elemento que consideramos de suma importancia en esta fase es describir las tecnologías matemáticas que sustentan las técnicas matemáticas utilizadas. Sin embargo, es necesario tener en cuenta que las tecnologías que serán utilizadas difícilmente serán “puramente matemáticas” ya que la actividad de modelación en un contexto extra-matemático siempre requerirá tecnologías prácticas asociadas a las tecnologías matemáticas. Por ejemplo, el uso de modelos lineales en contextos de ingeniería y más precisamente en el control automático atiende a tecnologías generadas por esta disciplina. En Pérez et. al. (2008) podemos encontrar una explicitación de elementos que deben considerarse para modelar sistemas físicos, cuyo comportamiento no es lineal, a través de “sistemas de control retroalimentados” lineales:

La mayoría de los sistemas de la vida real tienen características no lineales. Los sistemas de control realimentados son modelos ideales fabricados por el analista para simplificar el análisis y diseño. Cuando las magnitudes de las señales en un sistema de control están limitadas en intervalos en los cuales los componentes del sistema exhiben una característica lineal, (es decir que se puede aplicar el principio de


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superposición), el sistema es esencialmente lineal. Pero cuando las magnitudes de las señales se extienden más allá del intervalo de porción lineal, dependiendo de la severidad de la no linealidad, el sistema no se debe seguir considerando lineal. (p.18)

En esta cita se pueden apreciar una serie de elementos tecnológicos propios de la Teoría de Control que muestran en términos del sistema modelado cómo éstos pueden ser considerados en un modelo lineal o no lineal. Por supuesto en esta explicación muchas preguntas podrían emerger, ¿cuándo se reconoce que los componentes del sistema exhiben una característica lineal?, ¿qué elementos permiten validarla? ¿Los mismos que permiten validar la linealidad matemática? Otros elementos tecnológicos que aparecen en este documento hacen referencia a la Facilidad de uso de los modelos matemáticos lineales:

Por otro lado, los sistemas no lineales son difíciles de tratar en forma matemática, y no existen métodos generales disponibles para resolver una gran variedad de clases de sistemas no lineales. En el diseño de sistemas de control, es práctico, primero diseñar el controlador basado en un modelo de un sistema lineal despreciando las no linealidades. Entonces, el controlador diseñado se aplica al modelo del sistema no lineal para su evaluación o rediseño mediante simulación en computadora. (p.19)

En esta última cita podemos ver que los modelos matemáticos considerados son los “disponibles” o existentes, y no parece ser un objetivo del ingeniero o técnico construir un nuevo modelo, sino adaptar el modelo lineal “tipo” a la situación que modela. Este modelo lineal deberá luego ajustarse evaluando (interviene otra función tecnológica) y rediseñando con ayuda de la simulación en computadora. Este extracto nos permite evidenciar elementos tecnológicos y elementos de la técnica de modelación de sistemas de control retroalimentados, pues la fase de evaluar y rediseñar mediante una simulación en computadora es parte de la técnica-tecnológica. Una pregunta que podría ayudar a reconocer los elementos tecnológicos, tanto teóricos como prácticos, en juego es: ¿Qué elementos permiten decir que un cierto modelo no requiere más re-diseños?


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Aunado al análisis praxeológico, que permite evidenciar las técnicas y tecnologías asociadas a los modelos matemáticos en uso, debe realizarse un análisis desde un punto de vista didáctico. Es decir, en qué medida las técnicas y tecnologías analizadas pueden ser consideradas para la actividad didáctica que va a diseñarse. Para lo cual, deberá tenerse en cuenta el nivel educativo para el que las actividades se diseñarán, las técnicas y tecnologías disponibles o que puedan ser generadas. Así como también cómo la adaptación que requiere el contexto elegido para llevarlo al aula. Por supuesto, habrá elementos del análisis que desde una óptica didáctica no resulten pertinentes para la actividad diseñada.

5. Construir una organización matemática mixta “funcional” En esta fase se diseña la actividad didáctica que consideramos debe ser una organización matemática mixta “funcional” en el sentido de Ali Tatar et. al. (2010):

Constituir una organización matemática mixta “funcional” supone restituir al menos una parte del proceso de modelación en la organización del saber, ya sea desplazar la frontera entre lo didáctico y el saber, y eso al mismo tiempo desde el punto de vista matemático y desde el punto de vista del saber S con el cual se opera el carácter mixto. Se encuentra aquí una conversión concreta del condicionamiento de las organizaciones del saber por las organizaciones didácticas que permitieron producirlas.

Es decir, se busca lograr que las actividades producidas puedan ser organizaciones que involucren parte del proceso de modelación matemática pero bajo el condicionamiento de una organización didáctica. Para lo cual, es necesario explicitar el objetivo de cada tarea que conforma la actividad, la técnica que permite resolverla y sobre todo cuáles son los elementos que permiten validarla, explicarla y justificarla. Es importante considerar la naturaleza de las validaciones, pues éstas serán matemáticas (teóricas) para sustentar la técnica matemática asociada al modelo matemático, pero seguramente surgirán otro tipo de


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validaciones relativas a la adaptación de la técnica al contexto de la tarea y sobre todo a la actividad de modelar. Este análisis de las actividades permitirá anticipar lo que los estudiantes harán al resolver la actividad y de manera más general el lugar que puede ocupar en su implementación escolar. Se considera necesario señalar que estas actividades buscan hacer presentes las tecnologías no matemáticas que relacionadas con las matemáticas tienen lugar en la modelación matemática en contextos reales. Sin embargo, este objetivo involucra gran complejidad pues estas tecnologías difícilmente están disponibles en los estudiantes. Por tanto será necesario que las actividades permitan propiciarlas, al menos en parte.

5. Conclusión En esta comunicación se han presentado elementos del modelo

praxeológico extendido (Castela y Romo, 2011) y la metodología para el diseño de actividades didácticas basadas en modelación matemática que se basa en dicho modelo teórico. La metodología presentada, que consta de cinco fases, es una propuesta que surge con el objetivo de generar actividades didácticas que se inspiren en actividades de modelación matemática real. Inicialmente se consideró el caso de las formaciones de futuros ingenieros en las cuales existe una amplia formación matemática, que se dice, dota de herramientas para la formación de especialidad y para la práctica misma. Ante la pregunta de ¿Cómo generar un dispositivo didáctico que considere elementos de la actividad de modelación matemática en contextos de ingeniería para el aula? Se generó un proyecto de investigación en el cual se consideró necesario generar una metodología para el diseño de actividades didácticas basadas en modelación matemática. Las cinco fases que se han presentado constituyen una propuesta que todavía debe precisarse, profundizarse y probarse. Aunque en esta comunicación no se presentaron otras partes del proyecto, se considera necesario señalar que la primera fase de la metodología elección del contexto matemático ha sido puesta a prueba en un trabajo colaborativo con ingenieros biomédicos permitiendo analizar


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modelos matemáticos en uso, vectores y matrices, en el método de Separación Ciega de Fuentes (BSS, por sus siglas en inglés). La descripción de este método y una primera versión de la metodología fueron presentados en un curso de maestría de Matemática Educativa, cuyos participantes son profesores de matemáticas. En dicho curso se les solicitó diseñar una actividad didáctica utilizando tanto la descripción de la BSS como la metodología. Las actividades propuestas por los participantes del curso mostraron que constituyen una base para el diseño de actividades didácticas, pero no están listas para ser llevadas al aula (Romo et. al. 2012). Esto que antecede nos permiten considerar que tanto la reflexión teórica como la experimentación son necesarias para poder precisar y afinar la metodología aquí presentada.


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Referencias Ali Tatar, M.L., Artaud, M. y Sahraoui-Kaïd, L. (2007). Modélisation et

mise en place des organisations mathématiques mixtes. Actes du IIe Congrès International sur la Théorie Anthropologique du Didactique, Uzès, 31 octobre-2 novembre 2007.

Bissell, C. C. (2002). Histoires, héritages, et herméneutique : la vie

quotidienne des mathématiques de l'ingénieur. Annales des Ponts et Chaussées, 107(8), 4-9.

Bissell, C. C. y Dillon C. (2000). Telling tales: models, stories and

meanings. For the Learning of Mathematics, 20(3), 3-11. Chevallard, Y. (1999) La recherche en didactique et la formation des

professeurs : problématiques, concepts, problèmes. Actes de la X Ecole d’été de Didactique, 98-112. Académie de Caen, France.

Castela, C. et Romo-Vázquez, A. (2011). Des mathématiques a

l'automatique : étude des effets de transposition sur la transformée de Laplace dans la formation des ingénieurs. Recherches en Didactique des Mathématiques, 31(1). 79-130.

Macias, C. (2012). Uso de las nuevas tecnologías en la formación de

ingenieros (Tesis de maestría no publicada) CICATA-IPN, México. Noss, R., Hoyles, C., y Pozzi, S. (2000). Working Knowledge:

Mathematics in use. In Bessot, A. y Ridgway, J. (eds.), Education for Mathematics in the workplace, 17-35. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

Romo-Vázquez, A., Romo-Vázquez, R. y Vélez-Pérez, H. (2012). De la

ingeniería Biomédica al aula de Matemáticas. http://recibe.cucei.udg.mx/revista/biomedica.html


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Pérez, M., Pérez, A. y Pérez, E. (2008). Introducción a los sistemas de control y modelo matemático para sistemas lineales invariantes en el tiempo (Curso de Control I).

http://dea.unsj.edu.ar/control1b/teoria/unidad1y2.pdf Soto, S. (2012). La modelación matemática y su vinculación con el

entorno de la formación matemática de ingenieros. (Tesis de maestría no publicada) CICATA-IPN, México.


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Análisis ecológico de la modelización matemática en economía y propuesta didáctica

Lídia Serrano Institut Can Puig, Sant Pere de Ribes (Barcelona)

Marianna Bosch IQS School of Management, Universitat Ramon Llull, España

Josep Gascón Dt. Matemàtiques, Universitat Autònoma de Barcelona, España

Abstract. We present the main contributions of a Ph.D. research (Serrano 2013) on the ecology of mathematical modelling in university degrees of Economics and Management. The analysis has led us to propose a didactic organisation based on the study and research paths, which has been experimented during seven academic years in a Spanish university. Résumé. Nous présentons les principaux apports d’un travail de thèse (Serrano 2013) sur l’écologie de la modélisation mathématique dans l’enseignement universitaire de l’économie et du management. Cela nous a conduit à proposer une organisation didactique basée sur les parcours d’étude et de recherche qui a été expérimentée pendant ces sept dernières années académiques dans une université espagnole. Resumen. Presentamos las principales aportaciones de un trabajo de tesis doctoral (Serrano 2013) sobre la ecología de la modelización matemática en estudios universitarios de economía y empresa. El análisis ecológico nos ha llevado a proponer una organización didáctica basada en los recorridos de estudio e investigación que se ha experimentado durante estos últimos siete cursos académicos en una universidad española.

Serrano, Bosch y Gascón

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1. Hacia un cambio de paradigma

El punto de partida de nuestro trabajo de investigación es la problemática que plantea la enseñanza de las matemáticas en los estudios universitarios de economía, y que podríamos formular inicialmente como la cuestión de qué matemática es posible «hacer vivir» en un primer curso de matemáticas para economía y de cómo organizar esta enseñanza para hacerla lo más efectiva posible.

Actualmente, el currículum escolar, en todas sus etapas educativas, ha evolucionado hacia lo que, desde la teoría antropológica de lo didáctico se designa como monumentalismo epistemológico (Chevallard 2012), donde el conocimiento se presenta fragmentado en pequeños pedazos aislados que el estudiante debe conocer. Como consecuencia, se pierde la razón de ser de la matemática enseñada, esto es, se olvidan las cuestiones ya sean económicas, empresariales o incluso matemáticas que están en el origen de los distintos contenidos enseñados. Esta relación con el conocimiento, que invita a olvidarse de lo que uno aprende tan pronto se ha examinado del mismo, se sitúa en las antípodas de un enfoque funcional hacia la construcción del conocimiento, basado en la necesidad de responder a cuestiones problemáticas que surgen en diferentes ámbitos de la realidad, el llamado paradigma del cuestionamiento del mundo. Desde la TAD, postulamos que el cambio de paradigma debe basarse en una concepción de las matemáticas como herramienta de modelización de sistemas económicos, empresariales o matemáticos.

2. Problema de investigación

Nuestro problema de investigación se inscribe en lo que se entiende, en la TAD, como problemática ecológica: en lugar de empezar por intentar identificar lo que los alumnos aprenden y cuál es el mejor método de enseñanza, se plantea el estudio de las condiciones de posibilidad de realizar un cambio controlado y efectivo en el sistema universitario actual, las dificultades que pueden encontrar este cambio y las consecuencias previsibles del mismo. Nos preguntamos, en otras palabras, si es posible enseñar las matemáticas como herramienta de

Ecología de la modelización matemática en economía y empresa

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modelización matemática a través de los recorridos de estudio e investigación, cómo puede organizarse la enseñanza, qué condiciones se requieren y qué restricciones dificultan su implementación como actividad normalizada.

El estudio de la ecología de la modelización matemática en los estudios universitarios de economía requiere realizar un análisis previo del papel que juegan las matemáticas en dichos estudios y estudiar las restricciones transpositivas que operan sobre ellas y que permiten explicar la situación de su enseñanza. En el estudio de estas restricciones transpositivas, hemos destacado un fenómeno interesante en España en el ámbito de la transición entre la enseñanza secundaria y universidad: los llamados «cursos cero» o «cursos propedéuticos» que se impusieron hacia el año 2000 en la mayoría de universidades españolas para atenuar las dificultades de los estudiantes en las asignaturas de primer curso universitario. Estos cursos cero suponían para nuestra investigación un ámbito empírico interesante para el análisis ecológico en un doble sentido. Por un lado, nos ofrecía un terreno sin grandes restricciones para experimentar de forma puntual nuevas formas de organizar el estudio de las matemáticas centrándolo en actividades de modelización. Por otro lado, nos brindaba nuevo material experimental sobre la manera en que la institución universitaria diagnostica las dificultades de los estudiantes y el tipo de remediación que propone.

Una vez entrados en la enseñanza universitaria, el estudio realizado también aborda esta doble dimensión: por un lado, la observación naturalista de las propuestas de enseñanza tradicionales, con una ausencia de la modelización matemática como contenido de estudio; por otro lado, la experimentación de nuevas condiciones que faciliten la inclusión de este contenido, con el análisis de las nuevas restricciones que lo dificultan. En definitiva el estudio ecológico se nutre de la propuesta didáctica que, al modificar las condiciones iniciales, permite a su vez ampliar nuestro conocimiento sobre la ecología de la modelización matemática en los estudios universitarios de economía.

Así, podemos formular nuestro problema de investigación en torno a las cuatro cuestiones siguientes:


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Q1: ¿Qué papel juegan las matemáticas en los primeros cursos universitarios de economía y qué condiciones institucionales explican esta situación? Q2: ¿Cómo se puede describir e interpretar la respuesta institucional espontánea, que se materializa mediante los «cursos cero» de matemáticas, al problema de las discontinuidades matemáticas y didácticas entre la secundaria y la universidad? Q3: ¿Qué características diferenciales, en relación a la respuesta institucional espontánea, pueden presentar los «cursos cero» si se fundamentan en la teoría antropológica de lo didáctico? Q4: ¿Qué condiciones se requieren y qué restricciones dificultan que el estudio universitario de las matemáticas en las instituciones responsables de la enseñanza de las ciencias económicas se organice en torno a la modelización matemática de sistemas económicos?

3. La enseñanza de las matemáticas para las ciencias

económicas en España

Para responder a nuestra primera cuestión, partiremos de los resultados obtenidos en la tesis doctoral de Berta Barquero (2009) donde se postula que el estado actual de la enseñanza universitaria de las matemáticas para las ciencias experimentales se puede explicar en gran medida como una consecuencia del modelo epistemológico dominante, al que denomina «aplicacionismo», donde se supone que las matemáticas y las ciencias siguen procesos de evolución independientes y que las matemáticas, una vez construidas, se «aplican» a las ciencias experimentales sin «contaminarse» por ellas. B. Barquero estableció una serie de indicadores que le permitieron contrastar empíricamente hasta qué punto prevalece el aplicacionismo en dicha institución. Los indicadores son los siguientes:

I1: Las matemáticas se mantienen independientes de las otras disciplinas. I2: Las herramientas matemáticas que se utilizan para resolver problemas científicos forman parte de una formación matemática básica común. I3: La enseñanza de las matemáticas sigue la lógica deductivista.


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I4: Dado que las «aplicaciones» vienen después de una formación matemática básica, se destaca una proliferación de cuestiones aisladas con origen en distintos sistemas y que se mantienen fijas. I5: La enseñanza de las herramientas matemáticas básicas siempre es anterior al estudio de su aplicación. I6: Se podrían enseñar los sistemas sin modelos matemáticos.

Dado el gran número de similitudes existentes entre el caso de las matemáticas para las ciencias experimentales y el de las matemáticas para la economía, hemos retomado estos indicadores con el objetivo de describir el estado actual de la enseñanza universitaria española de las matemáticas para la economía.

En nuestro estudio hemos considerado los tres ámbitos empíricos siguientes: el sistema de enseñanza universitario español, la enseñanza secundaria y la institución sabia. En el caso de la enseñanza universitaria, hemos seleccionado una muestra de más de cuarenta programas de la asignatura de matemáticas que aparecen publicados en las respectivas páginas web de las universidades de economía españolas, con la intención de valorar los contenidos, las competencias y la bibliografía recomendada. Hemos completado este estudio con los enunciados de exámenes realizados en cinco de estas universidades que corresponden a doce asignaturas diferentes de grados del ámbito de la economía. Y hemos contrastado la situación actual con el programa de la asignatura de matemáticas que se utilizó en el primer curso universitario español de estudios de economía, en la entonces llamada Universidad de Madrid1, en el curso 1943/44. Ya en aquel momento las matemáticas eran una de las cinco asignaturas que conformaban el plan de estudios, situación que no parece haber evolucionado demasiado.

En el caso de la enseñanza secundaria, nos hemos centrado en el caso de la asignatura de Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales de segundo curso de bachillerato de la modalidad humanístico-social en Catalunya2. Hemos analizado el currículum oficial marcado por el Departament d’Ensenyament de la Generalitat de Catalunya, revisado los 1 Actual Universidad Complutense de Madrid. 2 En España las distintas comunidades autónomas tienen sistemas de enseñanza gestionados por sus respectivos gobiernos, con currículos propios.


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libros de texto más utilizados y todos los enunciados de exámenes de las pruebas de acceso a la universidad para esta asignatura desde el curso 1999/2000 hasta la actualidad.

En lo que refiere al análisis del saber sabio, hemos utilizado por un lado, la tesis doctoral de Michel Artaud (1993) sobre la matematización en la economía y por otro, el manifiesto del denominado «movimiento post-autista» que surgió en Francia en el año 2000, donde un grupo de estudiantes universitarios de economía reclamaba, entre otras reivindicaciones, el cese del uso incontrolado de las matemáticas en estos estudios.

El análisis de los tres ámbitos empíricos antes mencionados nos permite aportar los siguientes elementos de respuesta a nuestra primera cuestión:

Q1: ¿Qué papel juegan las matemáticas en los primeros cursos universitarios de Economía?

La mayoría de las universidades españolas responsables de la enseñanza de las matemáticas para la economía adoptan un programa estándar, similar al seguido en carreras científicas, en los que los contenidos se organizan en torno a la lógica interna de los conceptos matemáticos y no en torno a tipos de problemas económicos. La actividad de modelización matemática tiene un papel muy secundario y, cuando aparece, se interpreta como una mera aplicación de conocimientos matemáticos previamente construidos. Se confirma así el «aplicacionismo» también para el caso de la relación entre las matemáticas y la economía.

En el caso de los estudios de bachillerato y, más específicamente, en la asignatura matemáticas aplicadas a las ciencias sociales aparece el mismo fenómeno transpositivo que sucede a nivel universitario, hasta el punto que la asignatura de matemáticas específica de la modalidad de ciencias sociales ha acabado siendo una versión reducida y simplificada de su análoga para la modalidad de ciencias y tecnología, cuyos contenidos parecen paradójicamente más afines a los de las asignaturas de matemáticas de las carreras de economía.


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4. Las matemáticas para la economía en el paso de secundaria

a universidad

Una vez delimitado el estado actual de las matemáticas en primer curso de economía y en su etapa previa, la del bachillerato, nos situaremos justamente en la transición entre ambas instituciones. Para ello, partiremos de los resultados obtenidos en la tesis doctoral de Cecilio Fonseca (2004) en los que pone en evidencia la atomización de las praxeologías matemáticas que se enseñan en secundaria, lo que representa una restricción fundamental para la vida de la modelización matemática.

Como hemos comentado anteriormente, en la transición entre la secundaria y la universidad aparece en España un fenómeno interesante, el de los «cursos cero». La llegada a la universidad de los alumnos que habían estudiado bajo la nueva reforma educativa (LOGSE) aumentó la distancia entre la nueva secundaria y una universidad acostumbrada a una élite social e intelectual muy seleccionada por el antiguo bachillerato. Como respuesta, desde las universidades empezaron a ofrecer unos «cursos cero» cuya duración no suele exceder de tres semanas y se acostumbran a realizar a principios de septiembre, antes de iniciar las clases en la universidad. Su principal objetivo es facilitar el tránsito de los alumnos entre las dos instituciones, completando los contenidos matemáticos que se estudian en secundaria con aquellos que se consideran imprescindibles para el inicio de la universidad.

La tendencia de los últimos años apunta a su presencia habitual en casi todos los grados donde en el primer curso universitario se imparte la asignatura de matemáticas, y de hecho en muchas universidades ya se trata de un dispositivo institucionalizado plenamente, que últimamente ha adoptado nuevas formas gracias a las plataformas on-line de soporte a la docencia. Ante esta realidad hemos querido analizar cómo están diseñados estos cursos y hemos buscado información sobre diferentes aspectos, como por ejemplo, el origen de su implantación del curso, su relación con el del «curso académico» habitual, su relación con las matemáticas estudiadas en secundaria y con las que se estudiarán en la universidad, así como su efecto en el «rendimiento» de los alumnos


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durante el primer año de estudios en la universidad y las nuevas responsabilidades –tanto matemáticas como didácticas– que debe asumir el alumno en estos cursos en relación a las que asumía en secundaria.

Para ello, durante el periodo 2005-2009 llevamos a cabo un estudio pormenorizado de distintos dispositivos (Serrano 2007) que nos permitieron delimitar el estado de los «curso cero» que se estaban realizando en diferentes universidades españolas, de diferentes ámbitos. Entre ellos, destacamos:

- Entrevistas con los diseñadores de los cursos, tanto «cursos cero» como «académicos»;

- Entrevistas con profesores responsables de impartir los dos tipos de cursos;

- Observación de tres tipos distintos de cursos; - Análisis de los apuntes y materiales, tanto de profesores como de

alumnos; - Análisis de encuestas pasadas al final del curso a los alumnos; - Entrevistas con los alumnos.

A partir del curso 2010, una vez todos los estudios universitarios habían pasado a formar parte del Espacio Europeo de Educación Superior se volvió a hacer un estudio sobre la oferta de los cursos «cero» en los que tan solo se tuvo en consideración los programas ofrecidos.

En base al estudio antes detallado, podemos dar respuesta a nuestra segunda cuestión:

Q2: ¿Cómo se puede describir e interpretar la respuesta institucional espontánea, que se materializa mediante los «cursos cero», al problema de las discontinuidades matemáticas y didácticas entre la secundaria y la universidad?

La respuesta institucional que la universidad ofrece al problema de las discontinuidades matemáticas y didácticas con las que se encuentran los estudiantes al pasar de secundaria a universidad se materializa en unos cursos cuyo objetivo es trabajar, durante un corto periodo de tiempo, una gran cantidad de organizaciones matemáticas poco conectadas entre sí con una organización didáctica que no activa todos los momentos del proceso de estudio. Este doble hecho tiende a favorecer, y podría incluso


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agravar, el aislamiento y la desarticulación de las praxeologías matemáticas estudiadas en secundaria porque impide integrar las organizaciones matemáticas escolares en organizaciones más amplias y completas. Por todo ello, estos «cursos cero» no parecen facilitar la integración de la modelización matemática en los cursos universitarios de economía.

Ante el fenómeno de la atomización y rigidez de las praxeologías matemáticas, el problema didáctico que nos propusimos fue el de diseñar un «curso cero» fundamentado en la TAD cuyo objetivo general es la articulación unas cuantas praxeologías matemáticas estudiadas en secundaria que los alumnos no son capaces de conectar espontáneamente y que son centrales en el programa universitario y en el trabajo de modelización funcional de sistemas económicos (análisis de oferta y demanda; funciones de ingresos, costes y beneficios, etc.). Dicha articulación se realizaba como respuesta a una cuestión inicial con interés y «sentido» para los alumnos. Además, en el diseño se tenían en cuenta los diferentes momentos del proceso de estudio.

Un curso con estas características se viene experimentando en el grado de Administración y Dirección de Empresas en IQS School of Management (Universitat Ramon Llull) desde el curso 2004/05. Se ha realizado siempre en septiembre justo antes del inicio del curso académico. En cada una de las experimentaciones se ha utilizado una cuestión generatriz diferente, dando siempre más énfasis al trabajo de modelización de sistemas económicos reales mediante herramientas algebraicas y funcionales, así como a la presentación oral y escrita de los resultados. Presentamos, a modo de ejemplo, una de las cuestiones generatrices utilizadas en uno de los cursos. En ella se parte de unos datos reales, facilitados por la firma española de moda Desigual, donde se pide hacer previsiones a corto plazo sobre las ventas de determinados productos:

A pesar de la situación de crisis en la que nos encontramos y el estancamiento del consumo, algunas empresas han conseguido desafiar las no muy alentadoras previsiones. Puede resultar interesante iniciar un estudio sencillo, para una de estas empresas que se encuentran en pleno auge, acerca de las posibles claves de su éxito y analizar algunas de las


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actividades económicas desempeñadas. Nos centraremos en la firma de moda Desigual, una empresa española en expansión internacional. El objetivo de este ejercicio, que se irá desarrollando a lo largo del curso introductorio, será realizar un estudio simplificado de algunas de las características empresariales y económicas de esta firma de moda a través de modelos y razonamientos matemáticos, utilizando datos reales orientativos proporcionados por la propia empresa e información que los alumnos deberán ser capaces de encontrar de forma autónoma. Con todo ello se realizará una predicción de la situación a la que podría llegar esta empresa a corto plazo, creando debates de las ventajas y los inconvenientes de las magnitudes económicas que constituyen los modelos utilizados y razonando acerca de la viabilidad de estas predicciones.

Desigual nos ha facilitado información que representa, de forma orientativa, la evolución de algunas características empresariales y económicas relevantes para la empresa. A modo de ejemplo, presentamos:

Tienda en Barcelona Pº Gràcia,

47 Ramblas,

136 R.de

Catalunya, 140 c. Arcs, 10

Sem

ana

S1 21570 52500 25000 21550 S2 22000 25250 25450 21975 S3 25000 25000 26750 24790 S4 26750 26750 28800 23980 S5 32000 28790 31300 27500 S6 37500 31300 35050 37450 S7 42000 35000 34995 41900 S8 45500 34990 40975 45555 S9 55000 41000 43700 56700 S10 67500 43550 45973 - S11 75000 45570 - -

Tabla 1. Ingresos semanales en diferentes tiendas durante el año 2010


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En base a la experimentación de los diferentes «cursos cero» fundamentados en la TAD, podemos aportar elementos de respuesta a la cuestión:

Q3: ¿Qué características diferenciales, en relación a la respuesta institucional espontánea, pueden presentar los «cursos cero» si se fundamentan en la teoría antropológica de lo didáctico?

Los «cursos cero» fundamentados en la TAD parten de una cuestión generatriz con suficiente poder generador e interés económico como para requerir, mediante el uso sistemático de la modelización matemática, la articulación de praxeologías matemáticas puntuales que aparecen aisladas en la matemática escolar de secundaria. Pero resultan insuficientes para resolver el problema de la transición entre secundaria y universidad.

Por tanto, deberemos abordar el problema didáctico desde un nivel superior de actuación. Vemos dos posibles vías en este sentido. En primer lugar existiría la posibilidad de hacer más propuestas dando lugar a un abanico de «cursos cero» que, en su conjunto podrían presentarse como la «estrategia de articulación» de las matemáticas de secundaria. O bien, actuar sobre las matemáticas que se enseñan en un primer curso universitario. Esta segunda opción parece más económica porque en la universidad hay más autonomía docente que en secundaria y porque los cambios que haría falta proponer afectan a menos grupos de alumnos, a menos profesores por centro y a alumnos que ya tienen —o tendrían que estar adquiriendo— más recursos didácticos.

5. Recorridos de estudio e investigación en un primer curso

universitario de matemáticas para la economía

Nos situaremos en un primer curso universitario, con el objetivo principal de realizar un análisis ecológico de la modelización matemática. Para ello, partiremos de las respuestas ya aportadas a las preguntas Q1 y Q2, que muestran que el entorno universitario no ofrece, de forma espontánea, unas condiciones apropiadas para la enseñanza de la modelización matemática. Además, hemos comprobado que se confirman los resultados de Barquero sobre la incidencia del aplicacionismo.


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Por otro lado, el estudio de Q3 también sugiere algunos criterios para diseñar e implementar recorridos de estudio e investigación en un primer curso de economía. La experimentación de estos REI aportará elementos de respuesta para la cuestión que todavía nos queda pendiente, Q4.

La respuesta al problema didáctico de la modelización matemática que propone la TAD se sustenta en un nuevo dispositivo didáctico, los recorridos de estudio e investigación, que se lleva experimentando desde el curso 2006/07 en la asignatura de matemáticas impartida en los estudios de Administración y Dirección de Empresas de IQS School of Management (URL). Dicha asignatura es de carácter anual con una frecuencia de cuatro horas y media a la semana. Se imparte en dos sesiones semanales de clase magistral con explicaciones y resoluciones de problemas por parte del profesor en la pizarra, y una donde se desarrolla lo que se designa como «taller de modelización matemática», centrado en el estudio de una cuestión relacionada con la economía, y con el temario del trimestre y que se organiza en forma de recorrido de estudio e investigación. Acoge entre 150 y 200 estudiantes repartidos en tres grupos clase. Su programa se divide en tres grandes ámbitos que corresponden a los tres trimestres del curso: álgebra lineal, cálculo diferencial en una variable y cálculo diferencial en varias variables, que se organizan alrededor de grandes tipos de problemas y no de conceptos.

A continuación mostramos una tabla con la relación de recorridos de estudio e investigación que se han realizado desde el curso 2006/07 hasta el 2011/12 en IQS School of Management: Curso Trimestre Descripción REI

2006/07 Primero REI sobre movilidad (versión 1) Segundo REI sobre previsión (versión 1)



2009/10 Primero REI sobre optimización 1 Segundo REI sobre optimización 2

2010/11 Primero REI sobre evolución de poblaciones. Caso discreto Segundo REI sobre evolución de poblaciones. Caso continuo Tercero REI sobre evolución de poblaciones. Caso matricial


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2011/12 Primero REI sobre venta de camisetas. Ingresos y costes Segundo REI sobre venta de camisetas. Estudio de la demanda Tercero REI sobre venta de camisetas. Gestión de stocks

Tabla 2. Recorridos de estudio e investigación experimentados

5.1. Organización general de los talleres de modelización

Para el diseño de cada recorrido de estudio e investigación hemos utilizado una metodología similar que se inicia elaborando un análisis matemático a priori de la cuestión generatriz que guía el REI y un análisis a priori de la organización didáctica en la que se encarnan.

A continuación detallaremos el funcionamiento general de un taller. Los alumnos se distribuyen en grupos de cuatro personas y trabajan en grupo durante todo el taller. Cada clase está así formada por entre 10 y 15 grupos de alumnos. El trabajo en el taller se presenta como el de una asesoría matemática que recibe encargos de distintas empresas. El profesor actúa como responsable de la asesoría y se reparte el trabajo entre los grupos para elaborar, entre todos, tanto las respuestas parciales que se deben entregar cada dos semanas como la respuesta final. En la primera sesión se presenta a los alumnos el conjunto de cuestiones que plantea la empresa junto con los datos proporcionados. Se lee el encargo, se reparten los datos entre los grupos y se formulan las cuestiones que parecen posibles de responder inicialmente. Se deja a los grupos que trabajen de forma autónoma, se hace una puesta en común con las aportaciones de todos los grupos y se decide el camino a seguir. En la siguiente sesión, cada grupo debe entregar por escrito un «informe de avance» y algunos grupos lo presentan oralmente para su discusión. Esta puesta en común plantea generalmente nuevas cuestiones o retos para avanzar en la siguiente sesión, de trabajo en grupo. La pauta sesión-de-presentación y sesión-de-trabajo-en-grupo se repite cada dos semanas, hasta el final del taller, que dura entre seis y ocho semanas, según el trimestre. Una vez acabado, cada estudiante debe redactar un informe individual de tres hojas con una síntesis de los resultados obtenidos.

En las sesión de presentación, aparece una figura nueva, la del «secretario de la clase», cuya responsabilidad es la de elaborar un informe con una síntesis de las discusiones y los acuerdos tomados en las


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puestas en común de cada sesión, informe que se pone a disposición del resto de la clase mediante una plataforma virtual.

Respecto al alumnado, las condiciones de realización han sido análogas en todas las experimentaciones: los talleres son una actividad obligatoria para todos los estudiantes de matemáticas de primer curso del grado de Administración y Dirección de Empresas. Los profesores responsables han cambiado: en las primeras experimentaciones eran tres investigadoras en didáctica de las matemáticas pero, a partir del tercer año, pasó a ser una única profesora, ajena al grupo de investigación, la responsable de todos los grupos clase. De todos modos, nuestro grupo de investigación ha colaborado con la profesora en todo momento, especialmente en el diseño de los talleres y, obviamente, en la recogida de información.

Al final de cada taller se ha pasado un breve cuestionario a los alumnos, cuyos resultados están pendientes de análisis en la actualidad. Al final del curso 2010/11 se realizaron entrevistas tanto a una muestra de alumnos como a la profesora responsable.

5.2. Ejemplo de trabajo de modelización en un taller

A modo de ejemplo, mostraremos brevemente el desarrollo de uno de los talleres, concretamente el correspondiente al segundo trimestre del curso 2006/07, poniendo especial atención en el papel de la modelización matemática (Serrano 2009 y 2010).

La cuestión generatriz, muy similar en los primeros talleres de cada curso, consiste en una petición de previsión a partir de una serie temporal. En este caso, la empresa presenta unos datos relativos a las ventas trimestrales de distintos productos. El encargo concreto es el siguiente:

La empresa de software educativo TAD (Tecnologías Aplicadas a la Docencia) lleva un registro de las ventas trimestrales de siete de sus principales productos durante los últimos tres años. Nos encarga un informe sobre las cuestiones siguientes: P1: ¿Qué ventas se pueden prever durante los próximos trimestres para cada producto? ¿Y para los próximos meses? Presentar una fórmula que


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permita calcular las previsiones y justificarla explicando las garantías y limitaciones de cada propuesta. P2: ¿Para qué productos se prevén unas ventas con un crecimiento mayor al 10% trimestral? ¿Para cuáles se prevé un decrecimiento mayor al 12% anual?

Donde los datos facilitados fueron: TRIMESTRE P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7

Marzo 2003 1890 1050 1375 1300 300 750 250 Junio 2003 1940 1100 1100 1105 800 740 270 Septiembre 2003 1970 1120 920 940 1050 735 290 Diciembre 2003 1980 1160 790 800 1200 730 315 Marzo 2004 1990 1200 690 680 1250 720 340 Junio 2004 1995 1250 610 580 1300 710 370 Septiembre 2004 2000 1300 550 490 1330 700 400 Diciembre 2004 2001 1360 500 420 1350 685 430 Marzo 2005 2004 1420 460 350 1370 670 460 Junio 2005 2015 1490 420 300 1380 650 500 Septiembre 2005 2030 1550 390 260 1390 635 540 Diciembre 2005 2060 1640 370 220 1400 615 580 Marzo 2006 2100 1720 340 185 1410 590 630 Junio 2006 2170 1810 325 160 1415 570 680 Septiembre 2006 2250 1900 310 135 1420 545 730 Diciembre 2006 2365 2000 290 115 1425 520 790

Dic

cion

ario

Es

paño

l ing

les

Jueg

o si

mul

ació

n em

pres

aria

l

Tuto

rial d

e pr

ogra

mac

ión

Vid

eos

ci

enci

as

natu

rale

s

Prog

ram

a ho

rario

s cen

tro

Cal

cula

dora

gr

áfic

a nu

mér

ica

Cal

cula

dora

si

mbó

lica

A partir de los datos correspondientes a las ventas trimestrales de varios productos se pide a los alumnos hacer una previsión a corto plazo, sin ninguna orientación más. Estos datos forman el sistema inicial (S1). El primer gesto de los alumnos es representar los datos gráficamente para tener información sobre la tendencia de la serie, lo que constituye un primer modelo del sistema (M1). Este modelo no permite aportar una «buena» respuesta sobre el sistema inicial. Hay que considerar un nuevo sistema formado por el conjunto de datos y gráfico, al que llamaremos sistema gráfico-numérico (S1’). Este nuevo sistema se puede modelizar mediante diferentes modelos funcionales (M1i’), observando las tendencias gráficas de los datos (funciones lineales, parabólicas, exponenciales, etc.). Por tanto, la primera decisión es fijar la familia de funciones que parece reproducir la dinámica observada en los datos a partir de la representación gráfica de los datos en Excel.


16

S1’

MG1

0

500

1000

1500

2000

2500

0 5 10 15 20

Una vez elegida la familia de funciones a partir de la forma del gráfico, se necesita un criterio para calcular, dentro de la familia, la función que parece más apropiada a la dinámica observada, lo que constituye un tercer modelo M1”. Una posibilidad es calcular el menor error medio, ya sea el error absoluto o cuadrático. De este modo se obtiene una primera matematización del ajuste entre el modelo considerado M1” y el sistema S1.

El criterio del menor error medio permite siempre determinar el mejor modelo dentro de una familia de funciones, pero no es siempre un buen criterio para comparar funciones de distinto tipo, por ejemplo cuando los errores medios cometidos con una parábola y una exponencial dan valores parecidos. Se plantea así la necesidad de introducir un nuevo criterio para determinar cuál es el mejor modelo. Una posibilidad es introducir en el sistema la serie de las variaciones de las ventas, que lleva implícita la noción de derivada: si un modelo ajusta las ventas, entonces la derivada del modelo debería ser un buen ajuste para las variaciones de las ventas.

Tomaremos el caso del producto 2 a modo de ilustración:

Figura 1. Sistema gráfico-numérico de las ventas

Consideramos el sistema formado por S1 y MG1: el sistema gráfico-numérico S1’. La tendencia creciente de los valores S1 observada en el gráfico MG1 puede hacer pensar en un comportamiento lineal (M1L’),

S1 1050

1100

1120

1160

1200

1250

1300

1360

....

1810

1900

2000


17

S2’

MG2

0

500

1000

1500

2000

2500

0 5 10 15 20

exponencial (M1E’) o parabólico (M1P’). Mediante el uso de la técnica gráfica —previamente explicada en clase—, los alumnos pueden encontrar de forma aproximada, expresiones analíticas que parecen ajustar bien los valores.

El uso de la herramienta de Excel, solver (que actúa como una caja negra para los alumnos), permite encontrar la expresión analítica de cada familia que mejor aproxima a los valores iniciales. En nuestro caso:

M1L’: f(x) = 60,923x + 973,027;

M1E’: f(x) = 326,95·1,095x;

M1P’: f(x) = 2,46·(x + 5,17)2 + 995,013

Una vez se ha encontrado la función que mejor aproxima dentro de cada familia, necesitamos de un criterio que nos permita decidir cuál de las tres familias aproxima mejor. Consideramos el promedio de la diferencia entre el valor real (S1) y el aproximado (M1i’) en valor absoluto, al que llamamos error medio (E1i). Se obtiene:

E1L = 40,65; E1E = 6,98; E1P = 3,71

Este criterio nos permite descartar una de las funciones, la lineal, ya que el error medio cometido es muy grande respecto el cometido por las otras dos funciones. Pero no es concluyente sobre las otras dos. Necesitamos otro criterio adicional que vendrá dado por la consideración de un nuevo sistema obtenido al considerar la variación trimestral de las ventas, S2:

Figura 2. Sistema gráfico-numérico de las variaciones de las ventas

S2 50

20

40

40

50

50

60

60

....

90

90

100


18

Con el sistema S2 y el modelo gráfico MG2, consideramos el nuevo sistema gráfico-numérico S2’ en el que volvemos a utilizar el mismo razonamiento anterior. La tendencia gráfica de los nuevos datos sugiere una aproximación lineal (M2L’) o exponencial (M2E’). De nuevo la técnica gráfica permite a los alumnos encontrar de forma aproximada, expresiones analíticas que ajustan los valores. Y con la ayuda de solver se obtienen las expresiones analíticas de cada familia que mejor aproxima a los valores iniciales. En nuestro caso:

M2L’: f(x) = 5x + 25 M2E’: f(x) = –0,99·1,27x

De nuevo se considera el criterio del error medio, cuyos valores obtenidos son: E1 = 5,66; E2 = 16,92 La familia lineal es la que menor error medio comete al aproximar las variaciones de las ventas. A su vez, esta expresión analítica coincide prácticamente con la derivada de la expresión analítica de la familia parabólica encontrada para las ventas trimestrales. Y justamente este será el criterio para determinar cuál es el mejor modelo: si un modelo ajusta las ventas, entonces la derivada del modelo debería ser un buen ajuste para las variaciones de las ventas.

Con este ejemplo hemos querido ilustrar el tipo de trabajo que se realiza en el taller y que los grupos de alumnos habrán ido redactando y presentado en forma de informes parciales e informes finales, siempre tomando como interlocutor la hipotética «empresa-cliente». Para completar esta breve descripción, cabe añadir que durante las otras dos sesiones semanales de clase que tienen los alumnos, organizadas en forma de clases magistrales de teoría y problemas, los contenidos que se estudian son precisamente las familias de funciones elementales, la derivación e integración, dentro de un problemática global de utilización de las funciones para resolver problemas de modelización de situaciones empresariales o económicas, algunas muy similares a las encontradas en el taller.


19

5.3. Resultados de las experimentaciones

Tras seis experimentaciones consecutivas de los talleres de modelización matemática en IQS School of Management podemos aportar elementos de respuesta a nuestra última cuestión:

Q4: ¿Qué condiciones se requieren y qué restricciones dificultan que el estudio universitario de las matemáticas en las instituciones responsables de la enseñanza de las ciencias económicas se organice en torno a la modelización matemática de sistemas económicos?

Se ha adoptado un dispositivo didáctico para la enseñanza de las matemáticas como herramienta de modelización basado en los llamados recorridos de estudio e investigación. Se han diseñado y experimentado tres recorridos de estudio e investigación durante más de cinco cursos académicos consecutivos en la asignatura de matemáticas de primer curso de Administración y Dirección de Empresa en IQS School of Management.

El análisis clínico de estas experimentaciones ha dado lugar a dos grandes tipos de resultados. Por un lado, se confirman los resultados obtenidos por Barquero (2009) que los recorridos de estudio e investigación son un dispositivo didáctico apropiado para facilitar la integración de la modelización matemática en los estudios universitarios. Se han ampliado estos resultados en dos sentidos. En primer lugar se incorpora el ámbito educativo de los estudios universitarios de economía al de las ciencias experimentales. En segundo lugar se muestra por primera vez la posibilidad ―y la fecundidad― de integrar los recorridos de estudio e investigación en la organización didáctica global de la asignatura, en lugar de introducirlos como un dispositivo complementario.

Por otro lado, el diseño, experimentación y análisis de los recorridos de estudio e investigación ha permitido avanzar en el estudio de la ecología de este dispositivo didáctico y, por extensión, de la enseñanza de la modelización matemática en un primer curso universitario.

En lo que se refiere a las principales condiciones que se requieren para integrar los recorridos de estudio e investigación en la enseñanza


20

universitaria de las matemáticas como un dispositivo didáctico normalizado, destacamos lo siguiente:

- Los recorridos de estudio e investigación deben constituir el núcleo en torno al cual se organizan los contenidos y actividades de la asignatura de matemáticas, incluyendo el proceso de evaluación de las mismas. No basta con que aparezcan como «complementos» a la organización didáctica tradicional. Para ello es necesario un importante trabajo de ingeniería matemática que permita la elaboración de nuevas organizaciones curriculares centradas en el trabajo de modelización.

- Para diseñar los recorridos, se deben tomar como punto de partida cuestiones empresariales «reales» o «realistas» suficientemente generativas, en el sentido que su estudio requiera la utilización de una gran parte de los modelos matemáticos elaborados con las herramientas de lo que constituye un primer curso universitario de matemáticas para la economía.

- La implementación de los recorridos de estudio e investigación requiere incorporar nuevos dispositivos didácticos a la enseñanza universitaria tradicional, encaminados por un lado a facilitar que los estudiantes compartan responsabilidades que el contrato didáctico imperante asigna en exclusiva al profesor y, por otro lado, a hacer vivir en el aula algunas de las dialécticas que están en la base del funcionamiento de los recorridos. Se han experimentado algunos de estos dispositivos y analizado su funcionalidad y condiciones de existencia. Se ha mostrado que su funcionamiento también requiere la renuncia por parte del profesor de un gran número de «gestos profesionales» y la creación de nuevas técnicas y tecnologías didácticas.

Sobre las restricciones que dificultan el funcionamiento normalizado de los recorridos de estudio e investigación —y que inciden, al mismo tiempo, en la posibilidad de la enseñanza de las matemáticas como herramienta de modelización—, nuestra investigación ha puesto en evidencia las siguientes, que atribuimos a los rasgos fuertemente teoricistas y tecnicistas de la organización didáctica universitaria tradicional y al aplicacionismo característico de la epistemología dominante:


21

- Dificultad para situar las cuestiones problemáticas generadoras de los recorridos en el núcleo del programa de estudios, permitiendo que las necesidades «prácticas» precedan a la introducción de recursos «teóricos», en lugar de partir de un listado de contenidos establecido de antemano en el que las cuestiones problemáticas ocupan una posición subsidiaria.

- Dificultad para que los problemas abordados en clase permanezcan abiertos durante un largo periodo de tiempo, dado que el avance del tiempo didáctico se mide en términos de la aparición formal de conocimientos teóricos y no de necesidades prácticas o aporte y validación de respuestas a problemas.

- Carácter excesivamente dirigido de la actividad escolar tradicional, que dificulta que los estudiantes asuman de forma autónoma la resolución de cuestiones problemáticas, así como que el profesor delegue en ellos responsabilidades esenciales del proceso de estudio.

- Ausencia de un cuestionamiento de la pertinencia del saber enseñado que se supone transparente y no problemático, concomitante con una alarmante escasez de medios para poner a prueba la validez de las respuestas «oficiales» a las cuestiones planteadas.

Resulta, en definitiva, que la implantación y el desarrollo generalizado de los REI en el sistema de enseñanza universitario plantean la necesidad de superar, no sólo la epistemología «aplicacionista» imperante, sino también las restricciones que impone la ideología pedagógica dominante en el sistema de enseñanza universitaria. Para ello será necesaria la introducción de nuevos dispositivos y «gestos» didácticos que hasta ahora permanecían recluidos en el ámbito privado de la investigación y que no tienen una entrada fácil en el contrato didáctico habitual.

6. Problemas abiertos

El análisis empírico de las matemáticas que se enseñan actualmente en los estudios universitarios de economía y empresa muestra que el proceso transpositivo no parece haber partido de las necesidades matemáticas que surgen en el trabajo en ciencias económicas, o en los ámbitos profesionales directamente vinculados a estos estudios. Los obstáculos


22

con que se encuentra hoy día una enseñanza funcional de las matemáticas para las ciencias económicas es, en gran parte, una consecuencia de esta falta de trabajo transpositivo que se puede atribuir al predominio del aplicacionismo como epistemología dominante en la enseñanza universitaria. Se plantea así el problema de estudiar con mayor detalle y sistematicidad la naturaleza de esta epistemología dominante y cómo se relaciona con el papel que ha jugado desde el inicio el proceso de matematización no solo en el desarrollo sino también en la constitución de las ciencias económicas. Para abordar este problema, no se puede obviar la existencia de una relación controvertida entre las ciencias económicas y las matemáticas, ni omitir el gran desconocimiento que existe hoy día sobre las necesidades matemáticas en los ámbitos de estudio, investigación y desarrollo profesional al mundo de la economía. Creemos que el futuro de la enseñanza universitaria no puede prescindir de abordar este problema social cuyo componente didáctico es primordial.

El objetivo principal de nuestra propuesta didáctica, fundamentada en un análisis ecológico de los REI, es el de hacer posible que los estudiantes lleven a cabo una actividad matemática funcional vinculado al ámbito científico y profesional de la economía. En consecuencia, si se pretendiese evaluar el «rendimiento» o, más en general, el efecto de esta modalidad de enseñanza sobre las praxeologías personales de los estudiantes, se deberían utilizar instrumentos de evaluación apropiados. Nuestra investigación no ha abordado de forma sistemática esta dimensión, por otra parte fundamental, del problema de enseñanza dado que, por cuestiones metodológicas, consideramos que la dimensión ecológica es previa. A partir de los resultados obtenidos y del material empírico recogido a lo largo de las experimentaciones, se pueden plantear múltiples cuestiones relacionadas con esta dimensión como las siguientes:

- Estudio estadístico sistemático de las respuestas a los cuestionarios y entrevistas para conocer mejor la percepción de los estudiantes sobre el trabajo realizado en los REI y su evolución a lo largo del curso académico, así como su visión de las matemáticas y de su relación con las ciencias económicas.


23

- Relación entre las respuestas al cuestionario y el rendimiento académico de los estudiantes, tanto en el propio taller como en la asignatura de matemáticas y también en otras asignaturas relacionadas como, por ejemplo, la microeconomía, la informática, etc.

- Relación entre el rendimiento de los estudiantes en el taller y en la asignatura de matemáticas.

- Incidencia de los talleres en la visión que tienen los estudiantes sobre las matemáticas y su función en el entorno económico.

La investigación que hemos realizado está circunscrita a un ámbito institucional muy concreto y los resultados obtenidos en cuanto a la ecología de los REI en la enseñanza universitaria no pueden extrapolarse más allá de este nivel local. El problema de la difusión de los REI como dispositivo didáctico para la enseñanza universitaria de la modelización matemática requiere nuevos estudios que aborden aquellas particularidades que no siempre se pueden reproducir en otros ámbitos institucionales. Por ejemplo, mientras que en nuestro caso el equipo de profesores siempre contaba con investigadores en didáctica, cabría estudiar qué papel tiene la variable profesor en la ecología de los REI. Del mismo modo, la organización a nivel escolar y pedagógico de IQS School of Management cuenta con unas características específicas que no sabemos cómo han podido incidir en el funcionamiento de los REI: centro de una universidad privada, grupos con un número reducido de estudiantes, dedicación del profesorado e importancia otorgada a la docencia, nivel socio-económico de los estudiantes, atención personalizada, recursos pedagógicos disponibles, etc.

El recorrido de estudio e investigación que ha dado lugar a esta memoria se inició a partir de un problema docente muy práctico sobre qué matemáticas enseñar en los estudios universitarios de economía cómo organizar dicha enseñanza. La problematización de esta cuestión en el marco de la teoría antropológica de lo didáctico provocó la necesidad de elaborar un análisis epistemológico de la matemática escolar y, especialmente, del papel que tiene la modelización matemática en el estudio de problemas vinculados a la economía. Este estudio nos condujo al análisis de las condiciones de posibilidad de nuevos dispositivos


24

didácticos que faciliten la vida de una actividad matemática funcional centrada en la modelización de sistemas económicos. La experimentación de estos dispositivos ha puesto en evidencia rasgos importantes de su ecología institucional que delimitan un espacio de posibilidades y condiciones para la renovación de la enseñanza universitaria de las matemáticas. Las cuestiones que se abren al final de este recorrido exceden ampliamente tanto el margen de acción de la propia práctica docente, como el ámbito institucional en el que surgía la cuestión inicial. De hecho, nos conduce a un problema de epistemología general y de gestión social de la transmisión del conocimiento relativo a la función de las matemáticas como herramienta en las prácticas sociales relacionadas con las distintas ciencias y su papel en la evolución de las mismas. No debería sorprender que este problema tenga un fuerte componente didáctico y que pueda —y deba— abordarse con las herramientas que proporciona la ciencia didáctica.

7. Referencias

Artaud, M. (1993). La mathématisation en économie comme problème didactique. Une étude exploratoire. Thèse doctorale. Université d’Aix-Marseille II.

Barquero, B. (2009). Ecología de la modelización matemática en la

enseñanza universitaria de las matemáticas. Tesis doctoral. Universitat Autónoma de Barcelona.

Chevallard, Y. (2012). Teaching mathematics in tomorrow’s society: A

case for an oncoming counterparadigm. Regular lecture presented in the 12th International Congress on Mathematical Education (ICME-12). 8 July – 15 July, 2012, COEX, Seoul, Korea.

Fonseca, C. (2004). Discontinuidades matemáticas y didácticas entre la

enseñanza secundaria y la enseñanza universitaria. Tesis Doctoral, Departamento de Matemática Aplicada, Universidad de Vigo.


25

Serrano, L. (2007). La modelització matemàtica en els estudis de Ciències Econòmiques i Socials: disseny d'organitzacions didàctiques per a l'articulació curricular entre l'ESO, el Batxillerat i la Universitat. Memoria de investigación, Diploma de Estudios Avanzados, Universitat Ramon Llull. Facultat d'Economia IQS.

Serrano, L., Bosch, M. & Gascón, J. (2009). Fitting models to data: the

mathematising step in the modelling process. En D. Pitta-Panzati & G. Philippou (Eds.), Proceedings of the Fifth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (pp. 2186-2195). Nicosia: University of Cyprus. Disponible en: http://www.inrp.fr/publications/edition-electronique/cerme6/wg11-15-serrano.pdf.

Serrano, L., Bosch, M. & Gascón, J. (2010). «Cómo hacer una previsión

de ventas»: propuesta de recorrido de estudio e investigación en un primer curso universitario de administración y dirección de empresas. En Bronner, A., Larguier, M., Artaud, M., Bosch, M., Chevallard, Y., Cirade, G., Ladage, C. (Éds) Diffuser les mathématiques (et les autres savoirs) comme outils de connaissance et d’action (pp. 835-857). Montpellier: Université de Montpellier.

Serrano, L. (2013). La modelización matemática en los estudios

universitarios de economía y empresa: análisis ecológico y propuesta didáctica. Tesis doctoral. Universitat Ramon Llull.

http://www.inrp.fr/publications/edition-electronique/cerme6/wg11-15-serrano.pdf

http://www.inrp.fr/publications/edition-electronique/cerme6/wg11-15-serrano.pdf







1

Mise en œuvre d’un PER dans trois écoles secondaires:

une étude des difficultés

Patricia Sureda


(NIECYT)- UNICEN

María Rita Otero


(NIECYT)- UNICEN

Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Tecnológicas

(CONICET)

Angel Donvito

Abstract In this work the viability of an SRC developed about the savings plans in three

secondary schools is described and analyzed. Two institutions, the attitude of the students

corresponds with an attitude retro-cognitive as has been named by Chevallard (2012).

This has affected directly the managing of the SRC and particularly it has influenced very

much the mathematical organizations that have been constructed. The work also shows

that the proper gestures of this new paradigm are acquired slowly. This largely exceeds

the time of the implementation.

Resumen En este trabajo se describe y analiza la viabilidad de un REI desarrollado en

tres escuelas secundarias, alrededor de los planes de ahorro. La actitud de los alumnos en

dos instituciones se corresponde con lo que Chevallard (2012) ha denominado actitud

retro cognitiva. Esto ha afectado directamente el pilotaje del REI y particularmente ha

influenciado mucho las praxeologías matemáticas que han sido construidas. El trabajo

también muestra que los gestos propios de este nuevo paradigma, son adquiridos

lentamente lo que excede largamente la duración de la implementación

Résumé Dans ce travail, on décrit et on analyse la viabilité d’un PER développé dans

trois écoles secondaires autour des plans d'épargne. L’attitude des élèves dans deux

institutions correspond à ce que Chevallard (2012) a nommé l’attitude rétro-cognitive. Ce

phénomène a directement affecté le pilotage du PER et, notamment, a fortement influencé

les praxéologies mathématiques qui ont été construites. Le travail montre aussi que les

gestes propres à ce nouveau paradigme sont lentement acquis, ce qui fait que la durée de

la mise en œuvre excède largement la durée prévue.

Diana Patricia Sureda, María Rita Otero, Angel don Vito

2

Introduction

Il faut redonner ici quelques éléments de contextes pour

comprendre les objectifs qui sont énoncés ci-après.

On décrit et on analyse des difficultés trouvées dans la mise en

œuvre d’un PER réalisé dans trois institutions différentes (I1, I2 et

I3), autour des problèmes de rente financière. L'institution (I1) est

une école secondaire de gestion privée où on étudie des secteurs

urbains moyens. On y a travaillé dans deux cours de la cinquième

année (élèves de 16-17 ans). Les élèves de cette institution ont

travaillé avec la pédagogie de l’enquête et du questionnement du

monde pendant deux ans consécutifs. L'institution (I2) est une école

secondaire privée où étudient des secteurs urbains moyens et demie

- haute, ici, on a travaillé dans un cours de la cinquième année

(élèves de 16-17 ans). L'institution (I3) est une école publique où on

étudie des secteurs urbains moyens - bas. Le cours correspond à la

dernière année de l'école secondaire des adultes où il y a des gens

qui ont repris ses études secondaires négligées des années

précédents. Il s’agit d’un groupe hétérogène entre 16 et 60 ans, ils

ont des métiers variés (un policier, une femme de maison, un

ouvrier, etc.).

Schéma 1: OM prévues

LE PER Q0: Quel est le meilleur plan d’épargne pour obtenir les majeurs revenus sans risques?

Q1: Comment épargner de l'argent au moyen des comptes à

terme?

OMF1: Capitalisation O1,1: Capitalisation à l’intérêt simple

O1,2: Capitalisation à l’intérêt composé

O2: Taux

Q2: Comment fonctionnent des comptes à terme à l’intérêt simple?

Q3,1: Comment fonctionnent des comptes à terme à l’intérêt

composé?

Q3,2: Est-ce le terme fixe à l’intérêt composé une fonction? Quelle?

OM2: Fonction OM1: F. linéaire OM3 : F. Exponentielle

Q5: Comment fonctionnent

des plans d’épargne réels?

Q4:Comment résoudre des équations exponentielles?

OMF2: Annuités

(constantes et variables)

Q6:On obtiendrait plus d’argent si les périodes de

capitalisation ont quelque fois une mineure durée

avec la même TNA? Combien? OM4

O4: Numéros (Logarithme)

OM5 O5: Limite

et Numéro e

Q7: Comment calculer des revenus des plans d’épargne si l’on ajoute un quota fixe dans chaque période?

Q7,1: Comment calculer des revenus des plans d’épargne variables avec quotas versés en fin de période?

Q7,2: Comment calculer des revenus des plans d’épargne variables avec quotas versés en début de période?

OM6 O6: Successions et Séries OMF2 Annuités

Mise en œuvre d’un PER dans trois écoles secondaires : étude des difficultés.

3

Le travail essaie de répondre aux objectifs suivants: 1) comment les

contraintes liées à l'institution et au système didactique ont affecté

le pilotage du PER? 2) Quelles praxéologies mathématiques peut-

on rencontrer dans chaque institution?

Toutes les classes ont été enregistrées en audio, l’enseignant-

chercheur a fait de l’observation participante et tous les travaux des

étudiants ont été récoltés.

Analyse des donnés et présentation des quelques résultats

Institution [I1]

Les étudiants de l'institution [I1] veulent réunir de l’argent pour

leur frais de voyage et de fête de fin de cours. Ils ont obtenu peu de

gains dans des ventes et des évènements réalisés. Cette

problématique nous a permis d'organiser un PER autour de la

question génératrice Q0: quel est le meilleur plan d'épargnes pour

générer la plus grande quantité de revenus sans risque? On a

demandé aux élèves de formuler des questions pour les aider à

comprendre Q0, et on a classé les questions en deux groupes: des

questions bancaires (liées au fonctionnement de la banque et des

comptes à terme) et des questions mathématiques (voir tableau 1).

Questions bancaires Questions mathématiques

Quel est le minimal capital à

déposer ? Quelle est la période

minimal et maximum ?

Quel est le revenu d’un dépôt à

terme en dépendant du montant

initial, du temps, des types de

capitalisation et des taux?

Quelle banque offre les majeurs

revenus ? Quel est le plus

convenant ?

Il existe une expression

mathématique pour calculer les

revenus d’une annuité? Quel est-t-

elle ?

Qu'est-ce un compte à terme? Pour

quoi sert-il ?

Comment dépendent les revenus

de la quantité d'argent investi et du

temps d’investissement ? Tableau 1: Questions des étudiants

Ces actions servent à étudier Q0 pour chercher une réponse

précieuse et lier la connaissance scolaire avec sa réelle utilité dans


4

le monde, et pourraient correspondre à une attitude procognitive

(Chevallard, 2012).

Comme il n’y avait pas une connexion à internet dans la salle, on a

demandé aux élèves d’observer, d’analyser et d’évaluer des

possibles réponses R aux questions bancaires chez eux, ils

devaient formuler une réponse R pour la diffuser et la défendre

dans la salle de classe. De plus on a préparé un texte relatif aux

fonctions et équations exponentielles (OM4) à l’aide des contenus

du programme. Ensuite, on a repris la question Q0: quel est le

meilleur plan d'épargne pour générer les plus grands revenus sans

risque. Au commencement le groupe possédait un capital de

$3877, 65, et ils avaient la possibilité d’additionner un quota

mensuel de $660.

Figure 1: Développement du plan d’épargne


5

Les élèves ont proposé un compte à terme à taux fixe à l’intérêt

composé, avec capitalisation mensuelle, où ils additionnent chaque

mois un montant constant. La figure 1 montre les calculs et les

procédés réalisés par les élèves. D'abord, ils ont calculé de manière

récurrente la capitalisation et ils ont formulé l'expression

algébrique .

Ils ont finalement utilisé l'expression pour calculer les premiers

mois, mais il ne semble pas qu’ils aient évalué et comparé les

résultats avec ceux obtenus avec le calcul par récurrence. Les

étudiants ont utilisé les cinq gestes de base, observer comment le

capital augmentait récursivement, analyser, proposer et évaluer une

formule, et ils ont formulé leur réponse, puis ils l’ont défendue face

aux critiques des autres étudiants de la salle. De plus, au lieu de

refuser de résoudre des problèmes inconnus, ils effaçaient les

questions, et, chaque fois qu’il était possible, ils ont lutté avec elles

Quand les élèves n’ont pas pu trouver la formule, ils ont énoncé la

question Q2,x: comment calculer les revenus si l’on ajoute un

montant constant dans chaque période? Il a été nécessaire aller en

dehors du sujet, et étudier d’abord les successions et séries

géométriques (OM5). Cela a constitué une difficulté après la

récupération de la question Q2,x car les élèves l’avaient oubliée!

Donc la dialectique du sujet et du dehors du sujet est restée confuse

dans les synthèses. Les élèves d'I1 ont montré des attitudes

relativement pro-cognitives, et herbartiennes. Ces caractéristiques

seraient attribuables à l’expérience des élèves avec les PER.

Institution [I2]

En prenant en compte la question géneratrice Qo « Quel est le

meilleur plan d’épargne pour générer les majeurs revenus sans

risque ? » on a proposé aux élèves de générer un million de pesos

seulement avec les intérêts d’un compte à terme . La figure 2

montre qu’ils ont utilisé la formule de l’intérêt simple

pour calculer l’argent qu’ils devaient déposer pour obtenir

$1.000.000 dans cinq ans avec un taux de 25%. Ils sont arrivés à la

conclusion qu’ils avaient besoin de $800.000. Les élèves ne sont

pas restés surpris pour le montant, ni pour la grandeur du taux, très

éloigné des offres des banques. De plus, ils n’ont pas pris en

compte que les banques utilisent le système de capitalisation

composé. Ces objections réalisées par l'enseignant, ont provoqué


6

l'étude de la capitalisation simple et composée. Ainsi, les élèves

ont seulement résolu la tâche pour des motifs institutionnels, sans

considérer ce savoir comme utile pour vivre dans le monde. Cette

réponse est cohérente avec la tradition scolaire fortement installée

dans le système didactique de cette institution.

Figure 2: Calcul du Montant initial

Quand les élèves ont étudié les deux systèmes de capitalisation, ils

ont lié la capitalisation simple avec la fonction linéaire, et la

capitalisation composée avec la parabole, qu’ils connaissent de

l’année précédente. Les élèves ont dit que la capitalisation

composée se représente au moyenne d’une parabole (voir figure 3),

parce que: « une parabole est le lieu géométrique des points d’un

plan qui sont équidistants d’une droite, nommée directrice, et d'un

point extérieur nommé foyer ».

Figure 3: relation entre l’intérêt composé et la parabole

Ce travail a permis de mettre en évidence que les élèves n’ont pas

évalué la pertinence des réponses R

qu'ils aient trouvé sur

l’internet. Analyser et valider des réponses pour répondre à la

question Q ne faisait pas partie des tâches habituelles des élèves.

Ils n’observent, n’analysent et n’évaluent pas les réponses R

existantes, par contre, ils développent et diffusent une nouvelle

réponse R qu’ils ne peuvent pas défendre.


7

La classe analyse des différences entre une parabole et la

capitalisation composée, pour conclure qu’il s’agit d’un cas

particulier de la fonction exponentielle. Comme les élèves n’ont

pas questionné le pourquoi ils n'ont pas été intéressés. L'OM4

(fonctions et équations exponentielles) a été conduite à part entière

par l’enseignant, qui devait compléter le programme. À la fin, la

désaffection des élèves et les examens de la fin de l’année ont fait

avorter la question Q0. La mise en œuvre correspond aux attitudes

propres de la pédagogie traditionnelle. Ce qui met en évidence des

difficultés d’abandonner des anciennes attitudes.

Institution 3 [I3]

On a proposé aux élèves de génèrer un million de pesos avec les

intérêts d'un terme fixe, en rapport à Q0: quel est le meilleur plan

d'épargnes pour générer la plus grande quantité de revenus sans

risques? Ils devaient formuler des questions pour comprendre Q0.

Cependant, les élèves ont seulement formulé des questions pour

résoudre la tâche dans une forme immédiate. Par exemple: Q1,x

«qu'est-ce qui est un compte a terme?», Q2,x «qu'est-ce qui est un

intérêt?» et Q3,x «si on augmente le temps, l'intérêt est-il plus

grand?». Comme il n’y avait pas de connexion à Internet,

l’enseignant a apporté un matériel pour répondre aux questions

proposées, et pour répondre à la question Q0. Dans la Figure 4 on

voit comment les étudiants ont proposé une capitalisation simple

pour obtenir $1.000.000 dans dix ans, bien que, dans le tableau, ils

ont pris quatre ans.

Figure 4: Capitalisation simple et composée


8

Ils n'ont pas remarqué cette contradiction. De plus, ils ont choisi

une somme irréelle et volumineuse $ 200.000 à 50 % d'intérêt, en

sachant que les taux en vigueur sont entre 6 % à 22 %. C'est-à-dire,

qu’ils n'ont pas analysé la question relativement au contexte réel.

Cela a conduit à étudier la capitalisation simple et composée, celles

que les élèves ont liées avec la fonction linéaire en s'en remettant

dans une forme exclusive à la connaissance déjà étudiée. On a

récupéré l'OM2 étudiée au début de l'année, et à partir d'elle, on a

partiellement étudié la fonction exponentielle (OM4). La question

Q0 a été reprise au moyen d'une situation dans laquelle ils devaient

prévoir un plan d'épargne qui leur permettait de laisser à ses

enfants le plus grand héritage possible. Les élèves (tous parents)

ont placé de l'argent à un taux de 10 % d'intérêt, pour vingt ans.

Après leur avoir demandé pourquoi ils ne choisissaient pas d’autres

taux, ou pourquoi ils n'ajoutaient pas d'argent chaque année, ils ont

répondu que, incorporer de l'argent et choisir un taux différent à 10

% cela leur compliquait les comptes. Ces réponses montrent qu’ils

étaient seulement préoccupés à résoudre une tâche scolaire,

puisque même en étant parents, ils se sont refusé à étudier la

question relativement à des fins réelles.

Comparaison

Dans le schéma 2, on trouve les parcours qui ont été effectivement

réalisés dans chaque institution autour de la question Qo,y : quel est

le meilleur plan d'épargne pour générer la plus grande quantité de

revenus sans risque ? Conformément à la dialectique des boîtes

claires et obscures, le niveau de petit-gris des boîtes essaie de

représenter la profondeur avec laquelle on a étudié chaque

organisation.

Dans les institutions deux et trois [I2 et I3] la question Qo,y est

restée sans réponse, puisque les élèves arrivent à construire

seulement une réponse partielle [R3] relative au fonctionnement de

l'intérêt composé et de sa capitalisation. Dans la première

institution [I1] le groupe d'élèves a réussi à prévoir un plan

d'épargne qui lui permet de générer la plus grande quantité de

revenus [R♥]. Ainsi, dans l’institution I1 le développement de la

question a permis d'étudier presque la totalité des OM prévues;

dans I2 et I3, les élèves ont dirigé le PER vers les organisations


9

qu'ils connaissaient le plus, c'est-à-dire les fonctions du premier et

du deuxième degré, en laissant à la charge du professeur l'entrée

dans l'étude des fonctions exponentielles, pour s'acquitter du

programme.

Schéma 2: PER dans chaque institution

Considérations finales

Les résultats suggèrent que les élèves d'I1 présentent des attitudes

herbartienne et pro-cognitive. Les élèves, qui connaissaient

seulement la pédagogie traditionnelle, n'ont pas modifié leurs

attitudes pendant les quatre mois de la durée du PER. Les élèves de

[I1] ont formulé des questions pour comprendre le problème dans

son contexte réel, et ont suggéré des œuvres importantes pour

l'étude de la question génératrice, les élèves de [I2] et [I3], ont

seulement cherché à résoudre rapidement et simplement la tâche

scolaire. La difficulté principale dans les institutions I2 et I3 a été la

résistance à abandonner l’applicationisme. Autant les jeunes élèves

que les adultes se sont refusés à étudier une question Q

profondément, en se limitant à formuler des réponses aux critiques,

en attendant que la validité provienne de l'enseignant. Cependant,

les élèves n'étaient pas passifs dans la salle de classe, ils ont

cherché des informations, ont discuté, ont consulté le professeur,


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etc., mais non pour construire une réponse estimée, mais plutôt

pour formuler une réponse qui satisfasse l’enseignant. Cette

manière de fonctionner est consistante avec une attitude rétro-

cognitive. Ces difficultés ont directement impacté le pilotage du

PER et en particulier au niveau des praxéologies mathématiques

reconstruites dans les institutions [I2] et [I3], où on a étudié une

petite partie des praxéologies mathématiques prévues.

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Encadrés : un cadre d’analyse didactique pour un changement

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