Conception sismique des murs de refend couplés, selon la norme canadienne Calcul des ouvrages en...

Conception sismique des murs de refend couples,selon la norme canadienne Calcul des ouvragesen beton 2004 et le Code national du batiment –Canada 2005

Tewfik Benazza et Omar Chaallal

Resume : Cet article presente une vue d’ensemble des dispositions nouvelles concernant la conception des murs de refendcouples en zones sismiques canadiennes. Il fait suite aux revisions majeures incorporees dans le Code national du bati-ment – Canada 2005 (CNBC 2005) et la norme canadienne Calcul des ouvrages en beton (CAN/CSA-A23.3-F04), lesquel-les etaient dues, en particulier, a l’adoption de la nouvelle carte canadienne du risque sismique. Cette etude a ete motiveepar les confusions recurrentes observees dans la pratique courante et par les difficultes exprimees dans l’application et l’in-terpretation des nouvelles prescriptions du CNBC 2005 et de la norme CAN/CSA-A23.3-F04. A cet effet, un organi-gramme de conception est propose comme guide pratique, decrivant pas a pas les verifications requises a chaque etape dudimensionnement des murs de refend couples. Finalement, pour demontrer l’applicabilite des nouvelles prescriptions, unexemple numerique est traite dans le detail, conformement au dit organigramme de conception.

Mots-cles : murs de refend couples, degre de couplage, beton arme, conception sismique, CNBC 2005, CAN/CSA-A23.3-F04, ductilite, amplification dynamique.

Abstract: This paper presents a comprehensive review of the new provisions for the design of coupled shear walls inCanadian seismic zones. It follows major revisions that were incorporated in the National Building Code of Canada 2005(NBCC 2005) and in the Canadian standard Design of concrete structures (CSA A23.3-04), which were due, in particular,to the adoption of a new Canadian map of seismic risk. The present study is intended to address recurring confusions incurrent practice and the difficulties expressed in the application and interpretation of the new NBCC 2005 and CSAA23.3-04 provisions. A design flowchart is thus proposed as a practical guide, describing, step by step, the required verifi-cations at each stage of coupled shear walls calculation. Finally, to demonstrate the applicability of these new provisions,a numerical example is detailed, following the presented design flowchart.

Key words: coupled shear walls, coupling degree, reinforced concrete, seismic design, NBCC 2005, CSA A23.3-04, ductil-ity, dynamic amplification.

IntroductionL’efficacite des systemes de murs de refend couples

(MRC) comme systemes de resistance aux forces sismiques(SRFS) est desormais etablie. Elle resulte de la conjonctiondes proprietes mecaniques de deux systemes structuraux ef-ficaces : (i) la rigidite laterale importante et la capacite ele-vee en cisaillement des murs de refend et (ii) la capaciteductile engendree par les poutres de couplage formant avecles murs de refend une structure resistant aux moments. Lagrande rigidite en plan des MRC controle la deflection des

batiments elances, limite les glissements interetages et offre,a la reprise de l’effort sismique, la capacite resistante neces-saire en cisaillement, en particulier a la base.

De nombreux travaux de recherche ont ete menes durantles dernieres decennies afin de mieux cerner le comporte-ment relativement complexe des MRC sous sollicitationssismiques (Fintel et Ghosh 1980; Paulay 1971; Wallace etMoehle 1992). Les resultats de ces louables travaux ainsique d’autres plus recents (Adebar et al. 2005; Bentz et Col-lins 2006; White et Adebar 2004) ont permis des mises ajour regulieres des codes et normes modernes, en particulierla derniere version du Code national du batiment – Canada2005 (Conseil national de recherches du Canada 2005), ci-apres notee CNBC 2005, et celle de la norme canadienneCAN/CSA-A23.3-F04, Calcul des ouvrages en beton (Asso-ciation canadienne de normalisation 2004), ci-apres noteeA23.3-F04.

D’autre part, les bases de donnees et les enseignements ti-res des evenements majeurs recents, dans diverses regionsactives du globe, ont permis le developpement de modelesstatistiques du risque sismique et le trace de cartes de plusen plus detaillees. Dans ce contexte, la Commission geolo-gique du Canada a elabore une nouvelle carte sismique ca-

Recu le 4 septembre 2007. Revision acceptee le 3 septembre2008. Publie sur le site Web des Presses scientifiques du CNRC,au rcgc.cnrc.ca, le 7 aout 2009.

T. Benazza et O. Chaallal1. Departement de genie de laconstruction, Ecole de technologie superieure, Universite duQuebec, 1100, rue Notre-Dame Ouest, Montreal, QC H3C 1K3,Canada.

Les commentaires sur le contenu de cet article doivent etreenvoyes au redacteur en chef de la revue avant le 30 novembre2009.1. Auteur correspondant (courriel : [email protected]).

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Rev. can. genie civ. 36 : 1221–1237 (2009) doi:10.1139/L08-100 Publie par les Presses scientifiques du CNRC

racterisee par des spectres de risque uniforme specifique achaque site (Adams et Atkinson 2003), et non pas zonauxcomme cela etait le cas dans les versions precedentes. Parailleurs, pour les analyses temporelles tant lineaires que nonlineaires, des enregistrements sismiques historiques ou gene-res artificiellement pour divers couples magnitude–distance(M, R) et compatibles avec les spectres de la nouvelle cartesismique (Atkinson et Beresnev 1998) sont egalement dispo-nibles.

Cet article presente (i) les principales revisions incorpo-rees dans le CNBC 2005 et la norme A23.3-F04, (ii) la nou-velle formulation du CNBC 2005 en ce qui concerne l’effortde cisaillement a la base et, enfin, (iii) les prescriptions etexigences relatives au dimensionnement des murs de refendductiles (couples ou partiellement couples) ainsi que la phi-losophie qui leur est sous-jacente. Pour demontrer l’applica-bilite des nouvelles prescriptions du CNBC 2005 et de lanorme A23.3-F04, un exemple numerique de dimensionne-ment d’un systeme de MRC sous charges sismiques esttraite pas a pas.

Prescriptions revisees incorporees dans leCNBC 2005

Les prescriptions revisees incorporees dans le CNBC2005 ont trait principalement aux points developpes dansles sections qui suivent, ou les references a des clauses,commentaires, figures et (ou) tableaux dont la designationdebute par le chiffre 4 referent a la partie 4, division B, duCNBC 2005, alors que celles dont la designation debute partout autre chiffre referent a la norme A23.3-F04. A noterque les designations de symboles peuvent differer de cellesdu Code ou de la norme A23.3-F04; considerer les defini-tions de la presente etude.

Mise a jour de la carte sismiqueLes spectres d’acceleration dans la nouvelle carte sis-

mique sont assimiles a des lignes brisees de sommets Sa(T)representant les accelerations spectrales pour des periodesde vibration T = 0,2, 0,5, 1,0 et 2,0 s (voir tableau C-2, an-nexe C du CNBC 2005); pour T ‡ 4,0 s, Sa(T) = Sa(2,0)/2.Sa(T) represente la reponse spectrale de l’acceleration au sol(spectre uniforme du risque sismique) avec un amortisse-ment de 5 %, exprimee par rapport a l’acceleration de la pe-santeur pendant une periode T, ou T est la periode devibration du mode fondamental (Ta) ou celle du premiermode (T1) du SRFS dans la direction consideree.

Choix de la methode de calculLe CNBC 2005 consacre les methodes dynamiques

comme methodes de reference a toute analyse sismique desstructures de batiment. L’effort de cisaillement a la base(Vbase) obtenu par de telles analyses doit, au minimum, satis-faire la relation enoncee par l’article 4.1.8.12 que l’on peutrepresenter comme suit :

½1� Vbase ¼ max Vebase;dyn

IE

RdRo

; aVbase; st

� �

ou

� Vebase;dyn est l’effort de cisaillement elastique a la base,

calcule a partir d’une analyse dynamique lineaire;

� Vbase; st (equation 6) est l’effort de cisaillement a la basecalcule a partir de la methode de la force statique equi-valente (article 4.1.8.11);

� IE est le coefficient du risque sismique de l’ouvrage; et� Rd et Ro sont les facteurs de modification de force relies,

respectivement, a la ductilite et a la surresistance (over-strength) du SRFS.

Par ailleurs, le facteur a prend la valeur 0,8, sauf en pre-sence d’irregularites structurales du SRFS (tableau 4.1.8.6),ou il vaut 1,0. Cependant, la methode de la force statiqueequivalente peut etre utilisee si l’une des conditions requisespar l’article 4.1.8.7 est rencontree.

Parametres fondamentaux de la force statiqueequivalente

Les sections ci-dessous explicitent les revisions substan-tielles incorporees dans le CNBC 2005.

Periode du mode fondamental de vibrationLes nouvelles formulations de Ta, la periode du mode fon-

damental de vibration laterale du batiment ou de la structuredans la direction consideree, ne tiennent plus compte (para-graphe 4.1.8.11.3) que de la hauteur hn de la structure, ou nest le niveau le plus eleve de la partie principale de l’ou-vrage par rapport a la base. Pour les SRFS composes demurs de refend (alinea 4.1.8.11.3.c),

½2� Ta ¼ 0;05h3=4n

Il est a noter qu’il est permis (alinea 4.1.8.11.3.d) de calcu-ler T1 par les methodes de la mecanique des structures(methode de Rayleigh, methode modale ou autres); nean-moins, pour les MRC, la valeur de la periode de calcul estlimitee a

½3� T ¼ minðT1; 2Ta; 2;0 sÞ

Cette limitation est justifiee par le fait que, generalement, lamodelisation neglige la contribution des elements non struc-turaux a la rigidite d’ensemble, car une surestimation de Tengendre une sous-estimation de Vbase.

Coefficients d’acceleration au sol et de vitesse au sol del’emplacement

Les effets de site, bien connus pour leur implication dansl’amplification des mouvements de sol, en particulier dansles sols meubles ou leur effet peut etre devastateur (p. ex., aMexico en 1986 et a Boumerdes en 2003), sont mieux ciblespar les coefficients d’acceleration au sol, Fa, et de vitesse ausol, Fv (Finn et Wightman 2003) (tableaux 4.1.8.4B et4.1.8.4C); ils permettent le calcul de l’acceleration de di-mensionnement :

½4� SðTÞ ¼ ½SaðTÞ�ðFa ^ FvÞ

Facteur d’amplification dynamique Mv (effet des modessuperieurs sur Vbase, st )

Le recours a la methode de la force statique equivalentesous-entend que les caracteristiques dynamiques de la re-ponse de la structure peuvent etre representees par le modefondamental uniquement, soit une repartition triangulaire in-versee des forces sismiques (la base du triangle au sommet

1222 Rev. can. genie civ. vol. 36, 2009

Publie par les Presses scientifiques du CNRC

de la structure). Cependant, cette hypothese simplificatriceest entachee d’erreurs : outre la repartition erronee des for-ces sismiques le long de la hauteur du batiment, elle pre-sente une sous-estimation de l’intensite de la force sismiquea la base en negligeant, en particulier, l’effet du aux modessuperieurs de vibration. Le CNBC 2005 introduit explicite-ment, dans la formulation de Vbase, st (equation 6), le facteurd’amplification dynamique Mv (Humar et Mahgoub 2003)(voir tableau 4.1.8.11).

Coefficient J de reduction du moment de renversement a labase

Le coefficient J de reduction du moment de renversementa la base (Humar et Mahgoub 2003), pour tenir compte del’effet des modes superieurs, n’est plus unique, mais depend(i) du site d’implantation, caracterise par le rapport des acce-lerations spectrales Sa(0,2)/Sa(2,0), et (ii) du type de SRFS(tableau 4.1.8.11).

Facteurs de modification de charge Rd et Ro

La philosophie de reduction de l’intensite de la force sis-mique elastique a la base est fondamentalement revisee. Lenouveau coefficient Ro qui accompagne Rd (tableau 4.1.8.9)introduit la notion du minimum garanti de reserve en capa-cite d’une structure concue conformement au CNBC 2005 eta la norme A23.3-F04 (Mitchell et al. 2003).

Prescriptions revisees dans la norme A23.3-F04

Les prescriptions revisees incorporees dans la normeA23.3-F04 concernent principalement les points suivants.

Critere de ductiliteLa conception ductile des MRC subit, pour sa part, une

mise a jour radicale. En effet, outre la reformulation de laductilite dans les murs de refend avec de nouveaux parame-tres, la verification de la capacite ductile aux extremites despoutres de couplage est dorenavant requise.

Ductilite dans les murs de refendUne etude recente menee par White et Adebar (2004) et

Adebar et al. (2005), dont les resultats sont repris dans lanorme A23.3-F04, montre que la capacite ductile des mursa la base est directement liee (inversement proportionnelle)a qw

id, la demande en rotation inelastique dans le mur (equa-tion 59); elle s’exprime par le rapport

½5� c

lw� 1

1þ 500qwid

� 0;33

ou

� lw est la longueur du mur, soit la longueur d’un mur derefend (le plus court, le cas echeant), sinon la longueurtotale du MRC; et

� c, la profondeur de l’axe neutre (voir fig. 1).

Ductilite dans les poutres de couplageLa verification de la capacite ductile aux extremites des

poutres de couplage est maintenant requise par l’article21.6.8.4. Il s’agit de comparer, aux extremites des poutresde couplage, la demande en rotation inelastique ðqb

idÞ a la ca-

pacite en rotation inelastique ðqbicÞ. Cette derniere est fixee a

0,04 lorsque la disposition de l’armature principale est dia-gonale, et a 0,02 lorsque celle-ci est conventionnelle (en ro-tation inelastique longitudinale) (White et Adebar 2004).

Rigidites effectives de conceptionLa reponse d’un MRC soumis a un evenement sismique

est generalement non lineaire eu egard au degre de fissura-tion qui peut affecter de facon significative les rigidites (enflexion, en cisaillement et axiale) de ses elements, apresquelques cycles de chargement. Par consequent, il est requisde considerer, lors des analyses structurales, les deforma-tions de flexion et de cisaillement pour les poutres de cou-plage versus les deformations axiales et de flexion pour lesmurs de refend (voir tableau 21.1).

Pour les poutres de couplage, seule la disposition de l’ar-mature est retenue : (i) lorsque celle-ci est diagonale (voirfig. N21.6.8.7), la poutre de couplage s’accommode mieuxdes fissures de cisaillement que de celles de flexion et elleest alors affectee d’une rigidite effective de cisaillement im-portante comparativement a celle de flexion; (ii) a contrario,lorsque la disposition est conventionnelle, la poutre de cou-plage est affectee d’une rigidite effective faible en cisaille-ment et d’une rigidite effective importante en flexion.

Par contre, pour les murs de refend, les rigidites axiale eten flexion sont affectees du meme coefficient de pondera-tion (aw). Ce dernier depend du taux de contrainte moyendans la section de beton, du essentiellement aux charges gra-

bw

lw

εcu��

εcu ��

hc

c

AN

twtw

( )a

( )b

Ach

Cadresfermés

Barres d’armatureconcentrée

Barres d’armaturede répartition

Fig. 1. (a) Vue en plan du ferraillage type d’un mur de refend cou-ple ou partiellement couple et (b) diagramme de la distribution desdeformations dans l’axe moyen longitudinal de la section transver-sale de beton, la zone comprimee a droite et la zone tendue agauche. Le grise represente les zones d’armature concentree a cha-cune des deux extremites du mur. Ach, section transversale de l’airede beton confine; AN, axe neutre; bw, epaisseur du mur; c, profon-deur de l’axe neutre; hc, profondeur de beton confine; lw, longueurtotale du mur de refend; tw, profondeur de la zone d’armature con-centree, delimitee par les armatures transversales de confinement;3cu, deformation ultime de la fibre extreme de beton comprime.

Benazza et Chaallal 1223


vitaires; la contribution (a l’effort axial) des charges sismi-ques laterales est negligee car celles-ci accroissent lacontrainte de compression dans le mur comprime et la redui-sent dans le mur « tendu » (le moins comprime).

Methode de la force statique equivalente duCNBC 2005

La methode de la force statique equivalente du CNBC2005 est basee sur l’hypothese que la structure repond prin-cipalement dans son mode fondamental de vibration. Elle re-pose sur les resultats d’analyses dynamiques lineairesmenees sur des structures elastiques a un seul degre de li-berte, pour lesquelles on ne s’interesse qu’aux reponsesmaximales.

Calcul de l’effort de cisaillement a la base du batimentLes structures candidates a la methode de la force statique

equivalente doivent, selon le paragraphe 4.1.8.11.2, etre ca-pables de resister, au minimum, a

½6� Vbase; st ¼ SðTÞMv

IE

RdRo

W

avec, d’apres le paragraphe 4.1.8.4.6,

½7� SðTÞ ¼

FaSað0;2Þ si T � 0;2 s

min½FaSað0;2Þ;FvSað0;5Þ� si T ¼ 0;5 s

FvSað1;0Þ si T ¼ 1;0 s

FvSað2;0Þ si T ¼ 2;0 s

FvSað2;0Þ=2 si T � 4;0 s

8>>>><>>>>:

ou S(T) est determine par interpolation lineaire des valeursintermediaires de T.

Par ailleurs,

� a defaut de valeurs specifiques aux MRC (tableau 4.1.8.11),Mv correspond au facteur d’amplification dynamique desossatures resistant aux moments lorsque le degre decouplage (DC) est egal ou superieur a 0,66, sinon ilcorrespond au facteur d’amplification dynamique desmurs de refend isoles. Le DC, dont l’importance sur lecomportement des MRC est documentee en particulierpar Paulay (1971), a ete introduit des la norme CAN3-A23.3-M84 (Association canadienne de normalisation1984); cependant, ce n’est que dans l’edition de 1994 dela norme (Association canadienne de normalisation 1994)que les limites du DC ont ete precisees davantage pourcaracteriser la capacite ductile des MRC.

� IE = 0,8, 1,0, 1,3 et 1,5 pour des risques respectivementfaible, normal (batiment d’importance normale), eleve(ecoles) et tres eleve (structures devant demeurer fonc-tionnelles apres un tremblement de terre : casernes depompiers, hopitaux, centrales telephoniques).

� Rd = 4,0 si DC ‡ 0,66, sinon 3,5; par contre, Ro = 1,7 entout temps (tableau 4.1.8.9).

� W = D + 0,25S designe le poids sismique total. Il com-prend (i) la charge permanente totale (D), due au poidspropre des elements structuraux et non structuraux, ycompris le poids des equipements permanents s’il y alieu, et (ii) 25 % de S, la charge due a la neige.

Repartition de l’effort de cisaillement a la base selon lahauteur du batiment

La force d’inertie Fx, a chaque niveau x du batiment,s’exprime comme suit :

½8� Fx ¼ ðVbase; st � FtÞWxhxXn

i¼1

Wihi

ou

� hi designe la hauteur au-dessus de la base du poids sismi-que Wi du niveau i;

� n est le nombre total d’etages; et� Ft est tel que defini en equation 9.

Neanmoins, pour tenir compte de l’effet des modes supe-rieurs sur la repartition des forces laterales, une partie deVbase, st, Ft, est concentree au sommet de la structure :

½9� Ft ¼ 0;07TVbase; st � 0;25Vbase; st

Ft peut etre neglige lorsque T £ 0,7 s.Par ailleurs, la sensibilite a la torsion d’etage (irregularite

de type 7, tableau 4.1.8.6) est evaluee par le coefficient B,defini par

½10� B ¼ maxdx;max

dx; ave

� �

ou

� dx; max et dx; ave designent le deplacement, respectivementmaximal et moyen, de l’etage aux extremites du plancherau niveau x dans la direction sismique consideree, produitpar les efforts sismiques Fx (equation 8) excentresde ±0,10Dnx par rapport au centre de gravite de chaqueplancher; et

� Dnx est la dimension en plan du plancher au niveau x,perpendiculaire a la direction sismique consideree.Dans le cas de B £ 1,7, la structure est reputee non sen-

sible a la torsion; l’effet de la torsion d’etage peut alors etrepris en compte par une analyse statique, en appliquant, achaque niveau x, le moment de torsion

½11� Tx ¼ Fxðex � 0;10DnxÞ

ou ex designe l’excentricite du centre de gravite par rapportau centre de rigidite au niveau x, perpendiculairement a ladirection sismique consideree.

Par contre, dans le cas de B > 1,7 et IEFaSa(0,2) < 0,35(zone de faible sismicite), la encore (alinea 4.1.8.11.10.b),l’effet de la torsion peut etre determine par une analyse sta-tique conformement a l’equation 11; sinon, une analyse dy-namique de la structure est requise.

Conception des murs de refend ductilescouples et partiellement couples, selon lanorme A23.3-F04

La conception des murs de refend ductiles couples et par-tiellement couples repose essentiellement sur la notion deconception en capacite (capacity design), requise pour le di-mensionnement des SRFS (sous-section 21.2.1). A noter quece qui suit est base sur l’hypothese que les murs de refendsont parfaitement encastres dans un massif de fondation ri-



gide et indeformable, capable de reprendre, outre les chargesgravitaires, la totalite du moment de renversement. Ceci re-vient a negliger l’effet de l’interaction sol–structure, quicontribue generalement a l’allongement de la periode de vi-bration du batiment (Chaallal et Ghlamallah 1996). Nean-moins, il convient de preciser qu’il est requis (article4.1.8.16) d’utiliser la valeur RdRo = 2 comme facteur de re-duction de force pour le dimensionnement des fondations,lorsque leur basculement est permis.

PredimensionnementPour des considerations de resistance mais aussi de stabi-

lite, en particulier dans les zones de rotules plastiques, lessections transversales des murs de refend et des poutres decouplage doivent repondre aux exigences minimales requisespar la norme.

Murs de refendLa sous-section 21.6.3 recommande, pour l’epaisseur du

mur de refend (bw), le maintien d’une valeur minimale cons-tante sur au moins c/2 (la demi-profondeur de l’axe neutre,mesuree a partir de la fibre la plus comprimee); soit :

½12� bw �hs

10

ou hs represente la hauteur libre entre etages. Au-dela de laprofondeur c/2, bw peut etre reduit a

½13� bw �hs

14

Par ailleurs, pour eviter l’instabilite du mur due a un elan-cement longitudinal excessif, il est recommande (Paulay etPriestley 1992) de limiter la longueur lw (des murs de refend) a

½14� lw � 1;6hs

Poutres de couplageL’article 21.3.1.1 fixe le minimum requis de largeur de

poutre (bb) et limite l’elancement des sections transversales(hb/bb) comme suit :

½15�bb � 250 mmhb

bb

� 3

8<:

ou hb est la hauteur de la section transversale de la poutrede couplage.

Conception des poutres de couplageDans les poutres de couplage, la disposition de l’armature

principale peut etre longitudinale (conventionnelle) ou diago-nale, selon (i) l’intensite de vb

f ; la contrainte de cisaillementponderee dans la poutre de couplage, et (ii) l’elancement lb/dbde la poutre de couplage. La disposition conventionnelle estpermise lorsque, dans la section transversale critique, aux ex-tremites de la poutre de couplage (article 21.6.8.5),

½16� vbf ¼

Vbf

bbdbV

� 0;1

�lb

db

� ffiffiffiffif 0c

pet

lb

db

� 4

sinon, la disposition diagonale est requise. En [16],

� Vbf est l’effort de cisaillement pondere dans la poutre de

couplage;� db

V; la hauteur effective de cisaillement dans la poutre decouplage;

� lb, la longueur libre (distance mur-a-mur) de la poutre decouplage;

� db, la hauteur utile de la poutre de couplage; et� f 0c , la resistance caracteristique du beton en compression a

28 jours.Afin d’eviter une congestion d’armature au niveau de la

jonction de la poutre de couplage avec le mur de refend,particulierement a l’intersection avec l’armature concentree(article 21.6.8.7), l’intensite de vb

f est limitee affiffiffiffif 0c

p.

Poutres de couplage avec armature diagonaleLorsque l’armature principale est disposee en diagonale,

elle reprend, a elle seule, la totalite des sollicitations internesagissant aux extremites de la poutre de couplage. Les effetsde Mb

f ; le moment de flexion pondere dans la poutre de cou-plage, et de Vb

f (article 21.6.8.7) peuvent etre reduits a

½17� Cs ¼ Ts ¼ fsAdiags fy

ou

� Cs et Ts sont, respectivement, les efforts axiaux de com-pression et de traction, sur les dites diagonales (fig.N.21.6.8.7);

� fs designe le coefficient de resistance de l’acier;� Adiag

s est l’aire des sections transversales d’armature dia-gonale; et

� fy est la contrainte limite elastique de l’acier d’armature.

Les resistances de la poutre de couplage en cisaillementðVb

r Þ et en flexion ðMbr Þ doivent alors verifier les relations

suivantes :

½18� Vbr � Vb

f ¼ 2Cs sin a

Mbr � Mb

f ¼ Csðhb � 2d0Þcos a

�

ou d’ est la distance entre le centre de gravite de l’armaturediagonale et le nu de la poutre de couplage, au droit de lajonction avec le mur de refend. Par ailleurs, a, l’angle d’in-clinaison de l’armature diagonale par rapport a l’axe moyende la poutre, peut etre determine par la relation trigonome-trique

½19� tan a ¼ hb � 2d0

lb

Adiags requis, tant en traction qu’en compression, est deter-

mine a l’aide de

½20� Adiags � Vb

f

2fs fy sin a

Cette armature doit(i) etre soutenue par des cadres fermes (armatures trans-

versales de confinement) ou une frette en spirale, d’espa-cement s tel que defini a l’article 21.6.8.7 :

½21� s � min ð6ddiagmin ; 24d cadre

min ; 100 mmÞ

ou ddiagmin et d cadre

min sont le diametre minimal, respectivement,de l’armature diagonale et des cadres; et



(ii) etre adequatement ancree dans le mur, sur une profon-deur minimale de 1,5ld, ou ld est la longueur de scellementdroit, telle que definie a la sous-section 12.2.3 :

½22� ld ¼ 0;45k1k2k3k4

fyffiffiffiffif 0c

p d

k1, k2, k3 et k4 sont des facteurs de modification respective-ment relatifs a la localisation de la barre, a son revetement,a la densite du beton et au diametre de la barre (d).

Outre l’armature diagonale, la poutre de couplage doitetre pourvue d’une armature peripherique secondaire, dite« armature de peau » (article 10.5.1.2), dont le role est depreserver l’integrite structurale du beton fissure en casd’evenement majeur et dont la quantite requise, en termesd’aire minimale de renforcement de la face laterale de lapoutre, est determinee comme suit :

½23� Ap�eriph�eriques;min ¼

0;2ffiffiffiffif 0c

pfy

bbhb

Poutre de couplage avec armature conventionnelleLe dimensionnement de la poutre de couplage avec arma-

ture conventionnelle requiert le calcul de Alongs ; l’aire des

sections transversales des armatures longitudinales resistanta Mb

f ; et de Atranss ; l’aire des sections transversales des arma-

tures transversales de confinement resistant a Vbf .

Resistance a la flexionAlong

s est calcule a l’etat limite ultime a partir de la courbeenveloppe des moments ponderes dans la poutre decouplage. L’armature qui la constitue doit comprendre qua-tre barres au minimum, soit deux superieures et deux infe-rieures (article 21.3.2.1), et doit respecter les valeurs limitesci-dessous :

½24� 2� 1;4bbdb

fy� Along

s � 0;025bbdb

Par ailleurs, en toute section le long de la poutre de cou-plage, il est requis (article 21.3.2.2) que les moments resis-tants en flexion, tant positifs ðMb

r;þÞ que negatifs ðMbr;�Þ,

soient au minimum egaux ou superieurs au quart du momentresistant maximal ðMb

r; max Þ. Aussi, au droit des joints, lemoment resistant positif ðMb; joint

r;þ Þ doit etre au moins egal,sinon superieur, a la moitie du moment resistant negatifðMb;joint

r;� Þ; soit, mathematiquement,

½25� Mbr;� �

Mbr;max

4et Mb; joint

r;þ �Mb; joint

r;�2

De plus, les chevauchements de barres ne sont autorises nidans les joints, ni sur une longueur inferieure a 2db a partirdu joint (article 21.3.2.3).

Resistance au cisaillementAtrans

s doit etre suffisant pour permettre l’ecoulement plas-tique de l’armature longitudinale (de flexion). Selon l’article21.3.4.1, Vb

r doit etre superieur ou egal a Vbmax; l’effort de

cisaillement maximal tolere dans la section transversale de

la poutre de couplage, soit a la plus petite valeur entre Vbpr;

l’effort de cisaillement probable engendre par le developpe-ment de la capacite probable en flexion ðMb

prÞ au droit desjoints, et Vb

e ; l’effort de cisaillement elastique obtenu a partirde la sollicitation sismique non reduite (RdRo = 1), ce qui seresume comme suit :

½26� Vbr � Vb

max ¼ minVb

pr ¼Mb

pr;þ þMbpr;�

lbþ wf lb

2

Vbe ¼ Vb

f RdRo

8><>:

ou

� Mbpr; tant positif et negatif, est determine a partir des

coefficients de resistance des materiaux acier (fs = 1) etbeton (fc = 1) et d’une resistance caracteristique del’acier d’armature, fs = 1,25fy; et

� wf = 1,0D + 0,5L est la charge tributaire pondereerelative a la poutre de couplage, ou L represente lescharges d’exploitation.

Vbr est assure conjointement par Vb

c et Vbs ; la resistance en

cisaillement de la section transversale, respectivement, debeton et d’acier de l’armature transversale de la poutre decouplage (sous-section 11.3.3) :

½27� Vbr ¼ Vb

c þ Vbs � Vb

r;max

avec

½28�

Vbc ¼ fclb

ffiffiffiffif 0c

pbbdb

V

Vbs ¼

fsAvfydbV cot q

s

Vbr;max ¼ 0;25fc f 0cbbdb

V

8>>><>>>:

ou

� Vbr;max est la resistance maximale ponderee en cisaille-

ment, dans la section transversale de la poutre de cou-plage;

� l, un facteur d’importance relative tenant compte de ladensite du beton (il est egal a 1,0 pour tous les batiments,sauf si les dommages ne causeraient aucune consequenceserieuse ou blessure);

� b, un facteur tenant compte de la resistance en cisaille-ment du beton fissure;

� Av, l’aire des sections transversales d’armature transver-sale resistant au cisaillement par unite de distance s(equations 30 et 31); et

� q, l’angle d’inclinaison des bielles de compression.

Cependant, pour les poutres ductiles, l’article 21.3.4.2neglige la contribution du beton ðVb

c ¼ 0Þ et considere uneinclinaison q de 458. Finalement,

½29� Vbr ¼

fsAvfydbV

s� 0;25fc f 0cbbdb

V

Av requis est comme suit :



½30� Av � minVb

max s

fs fydbV

;Av;min

� �avec Av;min �

0;06ffiffiffiffif 0c

pfy

bbdbV ðd’apr�es l’article 11:2:8:2Þ

soit, en termes d’espacement,

½31� scalcul�e � Avfs fydbV

Vbmax

La sous-section 11.3.8 de la norme A23.3-F04 limite l’espacement maximal (smax) entre les armatures transversales enfonction de l’intensite de l’effort de cisaillement dans la section transversale de la poutre de couplage; si

½32� Vbmax � 0;125lfc f 0cbbdb

V; alors smax ¼ min ð0;7dbV; 600 mmÞ

sinon, smax ¼ minð0;35dbV; 300 mmÞ, ou, pour un beton de

densite normale, l = 1.Il est a noter que les details constructifs permettant d’as-

surer un frettage adequat du beton exigent de pourvoir lapoutre de couplage de cadres fermes espaces regulierementsur une distance d’au moins 2db a partir du nu du segmentde mur, le premier cadre etant a moins de 50 mm de ce nu(sous-section 21.3.3), selon l’espacement

½33� smax � mindb

4; 8d

longmin ; 24d trans

min ; scalcul�e; 300 mm

� �

ou dlongmin et dtrans

min sont, respectivement, le diametre minimalde la barre d’armature longitudinale et celui de la barred’armature transversale. Au-dela de la distance 2db, l’ar-mature transversale peut etre disposee selon smax £ db/2.

Ductilite dans les poutres de couplageqb

id doit rester dans les limites de qbic; il peut s’exprimer en

fonction de qwid (equation 59) a la base du mur :

½34� qbic � qb

id ¼ qwid

lcg

lb

ou lcg designe la distance entre axes des murs de refend(commentaire N21.6.8.4).

Conception des murs de refendLa conception des MRC, tel que developpee et detaillee

dans ce qui suit, repose sur trois exigences principales ayanttrait a (i) la resistance en flexion, (ii) la resistance au cisail-lement et (iii) la ductilite.

Capacite en flexionLa capacite en flexion des MRC s’articule principalement

autour des articles 21.6.8.8 et 21.6.8.11, dont l’objectif estd’assurer le developpement du mecanisme de ruine souhaite,en accord avec le principe du dimensionnement en capacite(capacity design) selon le principe bien connu de colonneforte – poutre faible. Le premier article vise a assurer que,localement, a chaque niveau x considere, les extremites despoutres de couplage plastifient avant les segments de murauxquels elles se rattachent, en particulier au droit de lajonction avec le mur tendu. Ce dernier doit exhiber une ca-pacite resistante relative (en flexion) superieure a la capacitenominale dans la poutre de couplage, tel qu’exprime parl’equation 36. Le second article, a impact global, vise a ga-

rantir a chaque niveau x une capacite resistante adequate dumur tendu : suffisante au developpement de la capacite no-minale (plastification) aux extremites de toutes les poutresde couplage au-dessus du niveau x considere, tel qu’exprimepar l’equation 39.

Calcul du moment resistant dans le murA chaque niveau x, Mw

rx, le moment resistant de chaque

mur, du mur tendu en particulier, doit etre superieur ou egala la plus grande des valeurs entre Mw

local (equation 36) etMw

global (equation 39); soit :

½35� Mwrx� maxðMw

local;MwglobalÞ

D’une part, Mwlocal est le moment resultant de Mb

nxþ Vb

nxlw2

et de Mwfx

, respectivement le moment nominal en flexion en-gendre par la poutre de couplage et le moment de flexionpondere dans le mur, au niveau x considere; soit, selon l’ar-ticle 21.6.8.8,

½36� Mwlocal ¼ JxMw

fx� Mb

nxþ Vb

nx

lw

2

� �

avec

½37� Jx ¼1;0 si hx � 0;6hn

J þ ð1� JÞ�

hx

0;6hn

�si hx < 0;6hn

8<:

et

½38� Vbnx¼

MbþnxþMb�

nx

lbþ wf lb

2

ou

� Vbnx

est l’effort de cisaillement correspondant a Mbnx

, la ca-pacite nominale en flexion aux extremites de la poutre decouplage au niveau x considere (calculee avec fs = fc =1 et fs = fy), avec Mbþ

nxet Mb�

nxrespectivement les mo-

ments positif et negatif;� Jx, le coefficient de reduction du moment de renverse-

ment au niveau x considere; et� lb, la longueur libre de la poutre de couplage entre murs de

refend.

D’autre part, Mwglobal est le moment engendre par le develop-

pement de la capacite nominale en flexion dans toutes les



poutres de couplage au-dessus du niveau x considere; soit,selon l’article 21.6.8.11,

½39� Mwglobal ¼ ghx

JxMwfx

ou ghx , le facteur de surresistance des poutres de couplage,pour le niveau x considere, s’exprime comme suit :

½40� ghx¼

Xn

i¼x

Vbni

Xn

i¼x

Vbfi

Xni¼x

Vbni

etXni¼x

Vbfi

designent le cumul des forces de cisaille-

ment correspondant, respectivement, a Mbni

et a Mbfi

, la capa-cite nominale en flexion et le moment de flexion pondere,aux extremites de poutres de couplage au-dessus du niveau x.Mw

rxresulte d’une combinaison a Tx, l’effort axial de

« traction », dans le mur tendu au niveau x considere :

½41� Tx ¼Xn

i¼x

Vbni� 1;0D

ou a Cx, l’effort axial de compression, dans le mur com-prime au niveau x considere :

½42� Cx ¼Xn

i¼x

Vbniþ ð1;0Dþ 0;5Lþ 0;25SÞ

Exigences constructives minimalesL’armature resistante est constituee d’une armature

concentree aux extremites de chaque mur de refend, entrelesquelles une armature de repartition est disposee (voirfig. 1). Ces deux types d’armature, composees de barresd’acier de diametre maximal inferieur ou egal a bw/10 (ar-ticle 21.6.4.4), contribuent conjointement a la resistance enflexion du MRC, sous sollicitations ponderees (article21.6.6.2).

L’armature concentree doit etre constituee, au minimum,de quatre barres verticales, disposees en deux nappes (article21.6.6.1) dont l’aire des sections transversales ðAconc

s Þ doitsatisfaire les limites minimale (articles 21.6.6.3 et 21.6.6.4)et maximale (article 21.6.4.3) tolerees :

½43� 0;0015bwlw � Aconcs � 0;06bwtw; en zone de rotule plastique

et

½44� 0;001bwlw � Aconcs � 0;06bwtw; en zone courante

ou tw designe la profondeur de la zone d’armature concentree (voir fig. 1). L’armature concentree doit etre detaillee commel’armature d’un poteau (article 21.6.6.8), c’est-a-dire etre soutenue par des cadres fermes (armature transversale de confine-ment) dont l’espacement doit satisfaire a

½45� s � min�

6dlongmin ; 24dtrans

min ;bw

2

�; en zone de rotule plastique ðarticle 21:6:6:9Þ

et a

½46� s � min 16dlongmin ; 48dtrans

min ; bw; 300 mm� �

; en zone courante ðarticle 7:6:5:2Þ

De plus, en zone plastique, le chevauchement des barres nedoit concerner, dans une meme section, qu’une barre surdeux au maximum (article 21.6.6.7).

L’armature de repartition doit etre pourvue dans les deuxdirections, longitudinale (armature verticale de flexion) ettransversale (armature horizontale de cisaillement) (voirfig. 1). Elle doit etre disposee en deux lits lorsqu’a la basedu mur (zone de rotule plastique) l’effort de cisaillementpondere ðVw

f Þ est superieur a la resistance en cisaillementde la section transversale de beton du mur de refend ðVw

c Þ(equation 50), soit a la contribution du beton seul a la resis-tance totale (acier plus beton) de la section (article 21.6.5.3).Les deux lits d’armature doivent alors etre entretoises pardes epingles lorsque le pourcentage d’aire de section trans-versale d’armature necessaire est superieur a 0,5 % de l’airede la section transversale de beton du mur ou lorsque le ca-libre des barres de l’armature verticale est superieur a 15Men zone plastique et a 20M en zone courante (articles

21.6.5.1 et 21.6.5.2). Toutefois, dans chacune des deux di-rections, le pourcentage minimal d’aire de section transver-sale d’armature exige est de 0,25 % de l’aire de la sectiontransversale de beton du mur, avec smax entre barres d’acierlimite a 450 mm en zone courante et a 300 mm en zone derotule plastique. Par ailleurs, l’armature horizontale doit etreancree dans la zone de l’armature concentree et permettre,en particulier dans la zone plastique, le developpement dela contrainte elastique probable, soit 1,25fy.

Capacite en cisaillementEn accord avec le principe du dimensionnement en capa-

cite, pour eviter tout risque de ruine prematuree de type fra-gile, la limite de resistance en flexion dans les murs derefend doit etre atteinte avant celle en cisaillement. Il est re-quis (article 21.6.9.1) que la resistance en cisaillement dansle mur ðVw

r Þ soit maximale a la base, en l’occurrence dans lazone de rotule plastique. Elle doit etre superieure ou egale a



Vwmax; l’effort de cisaillement maximal tolere dans la section

transversale du mur de refend, soit a la plus petite des va-leurs entre Vw

pr, l’effort de cisaillement probable, engendrepar le developpement de la capacite probable en flexiondans le mur ðMw

prÞ, et Vwf; RdRo¼1, l’effort de cisaillement elas-

tique pondere, determine a partir de la force sismique nonreduite (RdRo = 1); soit :

½47� Vwr � Vw

max ¼ minVw

pr ¼ Vwf

Mwpr

Mwf

Vwf; RdRo¼1 ¼ Vw

f RdRo

8><>:

ou Mwpr est determine a partir des efforts axiaux probables

dans le mur, soit Cwpr, pour le mur comprime, et Tw

pr, pour lemur tendu. Ces efforts axiaux representent le cumul des ef-forts de cisaillement probables (equation 26) dans les pou-tres de couplage :

½48�Cw

pr ¼Xn

i¼1

Vbpriþ ð1;0Dþ 0;5Lþ 0;25SÞ

Twpr ¼

Xn

i¼1

Vbpri� 1;0D

8>>><>>>:

Par ailleurs, selon la section 11.3, Vwr est assure conjoin-

tement par Vwc et par Vw

s ; la resistance en cisaillement de lasection transversale d’armature transversale en acier du murde refend. Il doit etre inferieur ou egal a la resistance maxi-male permissible en cisaillement dans la section transversaledu mur de refend ðVw

r;maxÞ; soit :

½49� Vwr ¼ Vw

c þ Vws � Vw

r;max

avec

½50�

Vwc ¼ fclb

ffiffiffiffif 0c

pbwdw

V

Vws ¼

fsAv fydwV cot q

s

Vwr;max ¼ aqw

idfc f 0cbwdw

V

8>>><>>>:

ou, pour la section transversale du mur,

� dwV ¼ 0;9dw � 0;8lw est la profondeur effective de cisail-

lement; et� dw, la profondeur utile;

les facteurs aqwid, b et l tiennent compte, respectivement, de

qwid, de la fissuration du beton et de la densite du beton, dans

la resistance en cisaillement.Lorsque la section de beton du mur n’est pas soumise a

un effort significatif de traction, les coefficients aqwid, b et q

sont ceux proposes par la methode simplifiee (article11.3.6.3) :

½51�aqw

id¼ 0;25

b ¼ 0;18

q ¼ 35

8<:

sinon, ils sont determines a partir de la methode generale(article 11.3.6.4), en fonction de 3x :

½52�

aqwid¼ 0;25

b ¼ 0;4

1þ 15003x

q ¼ 29þ 70003x

8>><>>:

ou 3x, la deformation longitudinale dans l’axe moyen de lasection, au niveau x considere, est approxime de facon con-servative a la moitie de la deformation de l’armature tenduede flexion (Bentz et Collins 2006) :

½53� 3x ¼ðMw

pr=dwVÞ þ Vw

pr þ 0;5Nwpr

2EsAs

� 3� 10�3

ou

� Nwpr est l’effort axial probable dans la section transversale

du mur de refend;� Es, le module d’elasticite de l’armature en acier; et� As, l’aire de la section longitudinale de flexion.

Par ailleurs, l’article 21.6.9.6 limite la resistance en cisail-lement dans la zone plastique en fonction de qw

id (equation59) et du taux de chargement (t) :

½54� t ¼

Cwpr

f 0cAwg

; dans le mur comprim�e

Twpr

f 0cAwg

; dans le mur tendu

8>>>><>>>>:

ou Awg est l’aire brute de la section transversale du mur de

refend. Les coefficients aqwid, b et q doivent alors respecter

les conditions suivantes :

si qwid � 0;015; alors b ¼ 0 et aqw

id¼ 0;10

si qwid � 0;005; alors b � 0;18 et aqw

id¼ 0;15

aussi

si t < 0;1; alors q ¼ 45

si t � 0;2; alors q � 35

Pour les valeurs intermediaires de qwid et (ou) de t, une inter-

polation lineaire peut etre utilisee pour determiner les coeffi-cients aqw

id, b et q necessaires au calcul de Vw

c , Vws et Vw

r;max.

Verification des joints de constructionIl est necessaire de verifier que le transfert de l’effort de

cisaillement a travers le plan du joint de construction estadequatement assure, en particulier a la base du mur tendu.Des tremblements de terre tels que ceux de l’Alaska en1964, de San Fernando en 1971 et, plus recemment, de Tur-quie en 1999 et d’Algerie en 2003 ont mis en evidence lavulnerabilite des joints de construction, en particulier au ni-veau des reprises de betonnage. La resistance au cisaille-ment dans le plan du joint peut etre assuree par la cohesion(CO) (designee c dans la norme A23.3-F04) des surfaces debeton en contact et par la friction (ms) pourvue par l’ar-mature traversant le joint de construction (section 11.5).Dans la pratique courante ou l’armature de flexion traversele joint perpendiculairement, la contrainte de cisaillementdans le joint (vw

r; j) s’exprime comme suit (d’apres la sous-section 11.5.1) :



½55�vw

r; j ¼ lfcðCOþ msÞ � 0;25fc f 0c

s ¼ rVfy þN

Awg

et rV ¼AVf

AcV

8><>:

ou

� m est le coefficient de friction;� rV, le pourcentage d’aire de section d’armature traversant

le joint, defini en fonction de l’aire de la section de betonconsideree;

� N, l’effort normal non pondere, perpendiculaire au plande cisaillement (positif en compression);

� AVf, l’aire des sections d’armatures traversant le joint; et� AcV, l’aire de la section de beton resistant au transfert de

l’effort de cisaillement.

Les valeurs de m et CO sont donnees par la sous-section11.5.2.

Par ailleurs, la resistance ponderee en cisaillement a l’in-terface du joint (Vw

r; j) doit etre superieure ou egale a Vwmax

(equation 47), soit :

½56� Vwr; j ¼ vw

r; j AcV � Vwmax

Ductilite a la base du murLe comportement ductile du mur a la base est assure par

qwid inferieur ou egal a la capacite en rotation inelastique

dans le mur ðqwicÞ, ce qui est exprime par la relation suivante

(d’apres l’article 21.6.7.3) :

½57� qwid � qw

ic ¼3culw

2c� 0;002

� �� 0;025

ou

� 3cu designe la deformation ultime de la fibre extreme com-primee de la section transversale de beton (voir fig. 1) et

� lw represente la longueur de chaque mur de refend ousegment de mur de refend (le plus court, le cas echeant)si DC < 0,66, sinon la longueur totale du MRC.Par ailleurs, c, la profondeur de la zone de beton com-

prime, peut etre determinee a partir d’une analyse en plande la section de beton ou deduite de maniere iterative a par-tir de l’equation 58 exprimant l’equilibre des forces dans lasection transversale de beton a la base du mur (article21.6.7.3) :

½58� c ¼ Ps þ Pn þ Pns � a1fc f 0cAf

a1b1fc f 0cbw

ou

� Ps est la force axiale ponderee, a la base du mur, resul-tant de la combinaison 1,0D + 0,5L + 0,25S;

� Pn ¼Xni¼1

Vbni

, le cumul des forces de cisaillement, corres-

pondant a la resistance nominale dans toutes les poutresde couplage;

� Pns = As fy, la resistance nominale de l’armature longitudi-nale (verticale) concentree et de l’armature repartie dansle reste du mur (positive en traction); et

� Af, l’aire des semelles du mur, s’il y a lieu.

Selon la sous-section 10.1.7, a1 ¼ 0;85� 0;0015f 0c � 0;67est le rapport de la contrainte moyenne dans le bloc rec-tangulaire a la resistance caracteristique du beton, etb1 ¼ 0;97� 0;0025f 0c � 0;67, le rapport de la profondeurdu bloc rectangulaire de compression dans le beton a c.

D’autre part, qwid peut etre assimile au rapport du glisse-

ment global (DfRdRo) a hw, la hauteur totale du MRC (ar-ticle 21.6.8.2); soit :

½59� qwid ¼

DfRdRo

hw

� 0;004

La combinaison des equations 57 et 59 ainsi que leur rear-rangement est a l’origine de la formulation de l’equation 5 oula limitation du rapport c/lw a 0,33 resulte de la valeur ultime3cu = 0,0035. Il convient de noter que cette valeur limite peutetre sensiblement rehaussee moyennant un confinement ade-quat du beton comprime. En effet, l’article 21.6.7.4 permetde considerer des valeurs de 3cu plus grandes (0,0035 £ 3cu £0,0140), dependamment du degre et de la profondeur deconfinement du beton (hc), dans la zone fortement compri-mee, en particulier a la base du mur de refend. Conforme-ment a la figure 1, hc doit verifier la relation suivante :

½60� hc � c3cu � 0;0035

3cu

Par ailleurs, Ash, l’aire totale des sections de l’armaturetransversale de confinement du beton et soutenant l’armatureconcentree doit verifier l’equation 21.5 de l’article 21.4.4.2 :

½61� Ash � 0;2kpknl

Ag

Ach

f 0cfyh

shc avec kp ¼ 0;1þ 303cu et knl¼ nl

nl � 2

ou

� Ag est l’aire brute de la section transversale de beton con-fine;

� Ach, l’aire de la section transversale du noyau de betondelimite par l’armature transversale de confinement del’armature concentree, a l’extremite du mur (voir fig. 1);

� fyh, la contrainte limite de l’acier de l’armature transver-sale de confinement;

� nl, le nombre de barres longitudinales (verticales) soute-nues par les coins de cadres fermes ou des epingles, dansla section du beton confine;

� kp, un facteur tenant compte de la deformation ultime dubeton comprime dans le mur; et

� knl, un facteur tenant compte du nombre de barres lon-

gitudinales (verticales) de l’armature concentree, soutenuepar l’armature transversale de confinement.

Organigramme de conception

Un organigramme structure, permettant la conception et lecalcul des systemes de MRC faisant partie du SRFS de bati-ments, est presente a la figure 2. Cet outil de conception,



tres utile a l’ingenieur praticien, detaille pas a pas les pres-criptions et verifications necessaires au dimensionnementdes systemes de MRC en zones sismiques canadiennes. Ilest utile de noter que les etapes presentees a la figure 2 sontapplicables a n’importe quelle ville canadienne; il suffitalors de considerer l’acceleration spectrale et le facteurd’amplification dynamique, necessaires au calcul de Vbase, st,associe a la ville consideree.

Exemple numeriqueLe batiment objet de la presente etude est un edifice a bu-

reau de 12 etages, de structure resistante en beton arme,fonde sur un sol de classe C (Fa = Fv = 1) dans la ville deMontreal, Quebec (fig. 3). Seul le contreventement dans ladirection Nord–Sud, assure en totalite par les MRC d’axesB et F dont la conception est conduite conformement a l’or-ganigramme de la figure 2, est considere dans cette presen-tation; le contreventement dans la direction Est–Ouest estsuppose adequat.

Hypotheses et description du modeleConformement au commentaire N9.2.2.4, le MRC est mo-

delise comme un cadre resistant aux moments, compose dedeux poteaux larges entretoises a chaque niveau par les pou-tres de couplage. Ces dernieres sont prolongees par des ex-tensions rigides jusqu’aux axes de reference des murs derefend, pour simuler la rigidite en flexion tres importantedes segments de mur sur la hauteur d’etage. D’autre part, achaque niveau, la charge tributaire a chaque mur de refendest supposee ponctuelle (voir fig. 3c).

Par ailleurs, le batiment est suppose de categorie sismiquenormale (IE = 1), avec DC ‡ 0,66, soit Rd = 4,0 et Ro = 1,7.

Proprietes geometriques et mecaniques du MRCLes caracteristiques geometriques des sections transversa-

les des elements du MRC, les aires (A) et les momentsd’inertie (I), bruts et effectifs (respectivement indices g ete), necessaires au calcul des rigidites pour les analyses stati-ques et dynamiques (voir tableau 21.1) sont

(i) pour les murs de refend :

� Awg = bwlw = 0,35 m � 3,0 m = 1,05 m2;

� Awxe ¼ awA

wg = 0,75 � 1,05 m2 = 0,79 m2, l’aire axiale

effective, ou aw ¼ 0;6þ Ps

f 0cAwg;

� Iwg ¼ bwl3w=12 = 0,79 m4; et

� Iwe ¼ awIwg = 0,75 � 0,79 m4 = 0,59 m4, le moment

d’inertie effectif;

(ii) pour les poutres de couplage :

� Abg = bbhb = 0,35 m � 0,7 m = 0,25 m2;

� Abve ¼ abA

bg = 0,45 � 0,25 m2 = 0,11 m2, l’aire effective

de cisaillement;� Ibg ¼ bbh

3b=12 = 0,01 m4; et

� Ibe ¼ abIbg = 0,25 � 10–2 m4, le moment d’inertie effectif.

Aussi, les proprietes mecaniques des materiaux sont

(i) pour l’acier :

� Es = 200 GPa� fs = 400 GPa

(ii) pour le beton :

� Ec = 24,6 GPa, le module d’elasticite du beton� fc = 30 GPa, la resistance caracteristique du beton.

Calcul des forces sismiques par la methode de la forcestatique equivalente

Le calcul de l’effort de cisaillement a la base du batiment,selon la methode de la force statique equivalente, demeureincontournable. Il permet (i) de calculer DC, (ii) d’analyserla sensibilite a la torsion de la structure du batiment, ou en-core, (iii) de calibrer l’action sismique lorsque l’utilisationd’une methode dynamique est requise, sinon le calcul du de-placement en tete du SRFS ainsi que l’effort sismique achaque etage. Les etapes suivantes sont necessaires :

(i) La determination de la periode de calcul dans la direc-tion Nord–Sud :

T ¼ minðT1; 2Ta; 2;0 sÞ ¼ 1;65 s

ou

Ta ¼ 0;83 s et T1 ¼ 2;60 s

a l’aide de SAP2000 (Computers & Structures, Inc. 2000);et dans la direction perpendiculaire (ossature resistant auxmoments) :

T? < 1;5Ta ¼ 1;86 s

(ii) La determination de la force sismique a la base du ba-timent :

Vbase; st ¼ 0;0861

4;0� 1;7W ¼ 921 kN

ou

� S(T) � Mv(T) = 0,086 est obtenu par interpolation li-neaire entre 1,0 et 2,0 s, et

� W = W terrasse + 11W etage = 5094 kN + 11(6120 kN) =72 414 kN;

de plus,

Sð2;0ÞMv

IE

RdRo

W � Vbase; st �2

3Sð0;2Þ IE

RdRo

W

donc, Vbase, st calcule peut etre retenu.(iii) La repartition de Vbase, st selon la hauteur du batiment :

conformement a l’equation 8, chaque niveau x recoit l’effortde cisaillement Fx a distribuer aux MRC d’axes B et F(fig. 3a) selon les proportions 35 % : 65 %. Il est utile de re-marquer, qu’en considerant T = 1,65 s au lieu de Ta = 0,83 s,une reduction de pres de 60 % est engendree sur Vbase, st.

Calcul du degre de couplageSoit, comme suppose,

DC ¼ Nwlcg

Mw1 þMw

2 þ Nwlcg

¼ 2565 kN� 5;0 m

2754 kN mþ 2760 kN mþ ð2526 kN� 5;0 mÞ

¼ 0;70 > 0;66

ou, a la base des murs, Mw1 et Mw

2 designent respectivementles moments de flexion dans les murs 1 et 2 (fig. 3a), et Nw,



l’effort normal. Ces derniers sont determines par uneanalyse statique du MRC soumis au chargement sismiquetriangulaire Fx(axe F), en considerant les caracteristiques geo-metriques effectives des murs de refend et des poutres decouplage.

Sensibilite a la torsionLa sensibilite a la torsion est evaluee a partir de l’analyse

statique tridimensionnelle de la structure resistante soumiseaux efforts de cisaillements d’etage Fx, excentres de 0,1Dnx =3,0 m par rapport au centre de masse :

B ¼ dx; max

dx; ave

¼ 0;6024 m

0;4198 m¼ 1;43 < 1;7

donc, la structure est non sensible a la torsion.

Methode d’analyseLa structure du batiment repondant aux exigences de

l’alinea 4.1.8.7.1.b, l’utilisation de la methode de la force sta-tique equivalente est donc permise. Le MRC d’axe F est di-mensionne sous combinaison sismique (D + 0,5L + Fx(axe F)),tel que, en kilonewtons par metre carre, (D, L)terrasse = (8,5;1,0) et (D, L)etage = (10,2; 2,4).

Conception des poutres de couplageL’effort de cisaillement Vb

max (335 kN) est localise au ni-veau 4 ou vf; max (la contrainte de cisaillement pondereemaximale) = 1;71 MPa �

ffiffiffiffif 0c

p; le dimensionnement des pou-

tres de couplage est donc adequat. Cependant, une disposi-tion diagonale de l’armature principale est requise(equation 16) car les poutres de couplage sont profondesðlb= db ¼ 3;17 < 4Þ.

Par ailleurs, conformement a l’article N.21.6.8.7, l’effortde cisaillement dans les poutres de couplage peut etre redis-tribue sans (i) qu’en aucune section, la reduction de l’effortde cisaillement obtenu a partir de l’analyse elastiquen’excede 20 %, ni (ii) que l’integrite de Vbase, st ne soit com-promise. Les valeurs moyennes suivantes sont retenues pourles efforts de cisaillement : Vmoy1 = 194 kN pour les niveaux1 et 10 a 12, et Vmoy2 = 303 kN pour les niveaux 2 a 9.

Ferraillage des poutres de couplageLes sections transversales d’armatures diagonales adop-

tees pour les poutres de couplage respectives a Vmoy1 etVmoy2, en considerant un angle d’inclinaison a = 16,438 del’armature diagonale, correspondent a A1 = 4 barres 20M etA2 = 4 barres 25M. Cette armature diagonale doit etre suffi-samment ancree dans les murs de refend, sur une longueurminimale ld = 1,25 m (equation 22), et etre soutenue pardes cadres fermes 10M avec s = 100 mm (equation 21).Ainsi dimensionnees, ces poutres engendrent les capacitesde flexion respectives suivantes :

� resistantes : Mbr1 = 235 kNm et Mb

r2 = 385 kNm� nominales : Mb

n1 = 272 kNm et Mbn2 = 453 kNm

� probables : Mbpr1 = 340 kNm et Mb

pr2 = 566 kNm.

Par ailleurs, le pourcentage minimal de l’armature peri-pherique (equation 23) est rmin = 0,27 %; un quadrillage debarres 10M, de maille 150 mm sur 200 mm, s’avere ade-quat. Il est requis, comme suit,

(i) dans le sens horizontal :

nb �rmin bbhb

100¼ 6;7

ou nb est le nombre de barres, et

(ii) dans le sens vertical, selon l’espacement suivant :

s � 2� 100

rmin bb

¼ 209 mm

Ductilite des poutres de couplageSelon l’equation 34, sous combinaison sismique, le glisse-

ment pondere (Df = 0,055 m) au sommet du MRC engendre,aux extremites des poutres de couplage, la demande de rota-tion inelastique

qbid ¼

0;055 m� 4;0� 1;7

42;0 m� 5;0 m

2;0 m¼ 0;022 � qb

ic ¼ 0;04

En consequence, lorsque l’armature principale est disposeeen diagonale, qb

ic assure un comportement ductile de la pou-tre de couplage.

Conception des murs de refendLes dimensions du mur de refend,

bw ¼ 350 mm � hs

10et

lw ¼ 3000 mm � 1;6hs

rencontrent le minimum requis par la norme A23.3-F04.

Capacite en flexionLe ferraillage du mur de refend pourvu dans la direction

longitudinale (armature verticale), pour resister a la flexion,comprend

(i) une armature concentree, dont l’aire des sections trans-versales correspond,

� en zone plastique, a

Aconcs ¼ 6 barres N25þ 2 barres N20

� en zone courante, a

Aconcs ¼ 8 barres N15

sur une profondeur tw = 600 mm (fig. 1), et

(ii) une armature de repartition, dont l’aire des sectionstransversales correspond,

� en zone plastique, a

Ar�eps ¼ 10 barres N15

� en zone courante, a

Ar�eps ¼ 10 barres N10

Les capacites resistantes et probables en flexion (kNm)pourvues par ces sections transversales de mur, calculees apartir des efforts normaux ponderes et probables (voir ta-bleau 1), sont



CALCULS PRÉLIMINAIRES

Choix de dR (initial)

Dimensionnementpoutres (art. 21.3.1.1; éq. 15)murs (sous-section 21.6.3; éq. 12 et 14)

CNBC 2005

Calcul de base, stV (paragr. 4.1.8.11.2; éq. 6)

et répartition verticale (éq. 8)

Calcul du degré de couplagesi DC < 0,66, Rd = 3,5sinon, Rd = 4,0

Rd=Rd (initial)

éq. 16

Disposition conventionnelle(longitudinale) de l’armatureprincipale (éq. 24–33)

Disposition en diagonalede l’armature principale(éq. 17–23)

art. 21.6.8.7

Vérification de la ductilité(art. 21.6.8.4; éq. 34)

CONCEPTION DESPOUTRES DE COUPLAGE

Prescriptions concernant la contrainte moyenne etl’élancement de la poutre de couplage (art. 21.6.8.5– 7)21.6.8.

MÉTHODE D’ANALYSE

art 4.1.8.7

Dynamique linéairemodale spectraletemporelle

Dynamique non linéaireMéthode de la force statiqueéquivalente (art. 4.1.8.11)

CONCEPTION DES MURS

Capacité en flexion

Vérification des sollicitationslocales (art. 21.6.8.8; éq. 36–38)globales (art. 21.6.8.11; éq. 39–42)

Conception du renforcementconcentré (éq. 43–46)réparti (art. 21.6.5.1 et 21.6.5.3)

Capacité en cisaillement

Sollicitations (art. 21.6.9.1; éq. 47)probablesélastiques

Capacité de la section transversaledu mur (éq. 49–55)méthode simplifiée ( 50–51)éq.méthode générale ( 52–54)éq.

Vérification des joints de construction(section 11.5; éq. 55–56)

Vérification à la base (art. 21.6.7.3 et 4)21.6.7.sans confinement du béton (éq. 5 et 57–59)avec confinement du béton (éq. 60–61)

Capacité ductile

Vérifié

INTERPRÉTATIONET EXPLOITATIONDES RÉSULTATS

non

ouinon

non

non

non

oui

oui

oui

oui

1

1

1

1

2

2

Fig. 2. Organigramme de conception des systemes de murs de refend couples. Les clauses dont la designation numerique commence par lechiffre 4 referent a la partie 4, division B, du Code national du batiment – Canada 2005 (Conseil national de recherches du Canada 2005),alors que celles dont la designation debute par tout autre chiffre referent a la norme A23.3-F04 (Association canadienne de normalisation2004); les numeros d’equations referent a celles de la presente etude. DC, degre de couplage; Rd, coefficient de ductilite; Vbase, st, effort decisaillement a la base, calcule a partir de la methode de la force statique equivalente.



(i) pour le mur tendu,

� en zone plastique :

ðMwr ; M

wprÞ ¼ ð5215; 7440Þ

� en zone courante :

ðMwr ; M

wprÞ ¼ ð2671; 3914Þ

et,

(ii) pour le mur comprime,

� en zone plastique :

ðMwr ; M

wprÞ ¼ ð9727; 15 131Þ

� en zone courante :

ðMwr ; M

wprÞ ¼ ð7999; 10 604Þ

Le detail du renforcement en zone plastique doit etre main-tenu sur une hauteur minimum de 1,5 fois la hauteur deplastification (hp), a partir de la base du mur (sous-section21.6.2), ou

Fig. 3. Modelisation d’un batiment administratif de 12 etages situe a Montreal, Quebec (sol de classe C). (a) Vue en plan du batiment. Leslettres et chiffres cercles referent aux axes de reference des murs. lb, longueur libre (distance mur-a-mur) de la poutre de couplage; lw,longueur du mur de refend. (b) Vue en elevation des murs de refend couples d’axe B ou F. hb, hauteur de la section transversale de la poutrede couplage; hn, hauteur du batiment au dernier niveau; hs, hauteur entre etages. (c) Modele structural du mur de refend couple analyse.



hp ¼ lw ¼ 8;0 m; ðDC � 0;66Þ

la hauteur des quatre premiers niveaux est donc retenue :(hs = 3,5 m) � 4 = 14,0 m (fig. 3b). Du tableau 1, en parti-culier les colonnes des moments locaux ðMw

localÞ (equa-tion 36) et globaux ðMw

globalÞ (equation 39) en flexion, ilressort que la resistance est suffisante pour le mur tendu etpour le mur comprime, tant en zone plastique qu’en zonecourante. D’autre part, c, la profondeur de beton comprimea la base du mur (profondeur jusqu’a l’axe neutre), est de1,907 mm.

Capacite en cisaillementLa verification de la resistance en cisaillement (equa-

tion 47) doit etre satisfaite autant a la base du mur com-prime qu’a celle du mur tendu, ainsi que dans le joint deconstruction.

(i) Dans le mur comprime :

Vwmax ¼ min 330 kN� 15 131 kNm

3568 kNm ;

�

330 kN� 4� 1;7

�¼ 1399 kN

D’autre part, d’apres l’equation 50,

� Vwc ¼ 328 kN

� Vws ¼ 1165 kN

� Vwr;max ¼ 2138 kN

Finalement,

Vwr ¼ 1493 kN > Vw

max ¼ 1399 kN

satisfait l’exigence.

(ii) Dans le mur tendu :

Vwmax ¼ min 268 kN� 7440 kN m

3525 kN m ;

�

268 kN� 4;0� 1;7

�¼ 566 kN

et la capacite en cisaillement de la section transversale, cal-culee par la methode generale a partir des equations 52, 53et 54,

Vwr ¼ Vw

c þ Vws ¼ 1488 kN > Vw

max

satisfait l’exigence.

(iii) Dans le joint de construction : En supposant le joint ala base du mur tendu non intentionnellement prepare (m =0,6 et CO = 0,25 MPa), soit s = 4,39 MPa etvw

r; j ¼ 1;88 MPa (equation 55), il s’en suit que

Vwr; j ¼ 1575 kN > Vw

max; j ¼ 566 kN

ou Vwmax; j est l’effort de cisaillement maximal qui sollicite-

rait le joint de construction; la encore, l’exigence de capa-cite est satisfaite.

Ductilite a la base du murPour un beton non confine, la capacite en rotation inelas-

tique a la base du mur (equation 57),

qwic ¼

0;0035� 8000

2� 1907� 0;002 ¼ 0;005

est inferieure a la demande en rotation inelastique (equa-tion 59),

qwid ¼

0;055� 4;0� 1;7

42;0¼ 0;0089

Il est donc necessaire de verifier que la profondeur et leconfinement du beton dans la zone d’armature concentreesont adequats pour permettre une deformation ultime du be-ton (3cu ‡ 0,005). Or,

(i) la condition de profondeur de la zone confinee (equa-tion 60),

hc ¼ 572 mm < tw ¼ 600 mm

est verifiee; de plus,

(ii) l’aire de l’armature transversale Ash (equation 61)pourvue dans la zone d’armature concentree verifie la condi-tion de confinement :

Ash ¼ 361 mm2 < Apourvuesh ¼ 400 mm2

La capacite ductile de la section de beton a la base du murest donc suffisante.

Conformite du comportement des MRC al’esprit de la norme A23.3-F04

Des simulations statiques non lineaires (pushover), me-nees sur des MRC de periodes fondamentales de vibration(hauteurs de batiments) couramment rencontrees au Canadaet dimensionnes selon les criteres edictes plus haut, ont per-mis de valider que les poutres de couplage agissent en pre-miere ligne de defense comme des « fusibles » dissipantl’energie sismique induite (Benazza 2008). Ces memes ana-lyses montrent clairement que l’apparition des deformationsinelastiques (rotules plastiques), a la base des murs puis auxetages superieurs, est repoussee jusqu’a epuisement total dela capacite des poutres de couplage. Les murs, en deuxiemeligne de defense, sont ainsi proteges de la creation prematu-ree d’etages dits « faibles », particulierement prejudiciablesa la stabilite des SRFS. Par ailleurs, des analyses dynami-ques non lineaires, menees sur ces memes MRC (tant enzone sismique Est qu’en zone sismique Ouest canadienne,representees respectivement par les villes de Montreal et deVancouver), revelent qu’un tel dimensionnement assure unecapacite ductile des SRFS superieure a celle consideree parla norme A23.3-F04, ce qui est conforme a l’esprit de lanorme.

ConclusionLes revisions integrees dans la norme canadienne de be-

ton A23.3-F04, en ce qui a trait a la conception sismiquedes systemes de MRC, permettent une conception structuraleplus coherente des sections critiques (extremites des poutresde couplage et bases des murs de refend) auxquelles le cha-pitre 21 reserve une attention particuliere. En l’occurrence,les nouvelles prescriptions de ductilite en zone plastique,plus realistes, sont exprimees en termes de capacite en



Tableau 1. Efforts internes consideres dans le dimensionnement, en zone plastique et en zone courante, des murs de refend d’un batiment administratif de 12 etages situe a Montreal,Quebec (sol de classe C).

Cisaillement dans les poutres de couplage (kN) Sollicitations de dimensionnement du mur de refend

Niveau JxMw

fxðkNmÞ Mb

nxðkNmÞ Vb

fx

Pxi¼1

Vbfi Vb

nx

Pxi¼1

Vbni Vb

prx

Pxi¼1

Vbpri ghx

D (kN) L (kN) Tx (kN) Tpr (kN) MwlocalðkNmÞ Mw

globalðkNmÞMur tendu, zone courante (niveaux 5 a 12)12 (haut) 1,00 –162 272 72 72 227 227 295 295 3,13 –297 –35 –70 –2 –613 –31612 (bas) 1,00 –102 272 72 72 227 227 295 295 3,13 –297 –35 –70 –2 317 –199

..

. ... ..

. ... ..

. ... ..

. ... ..

. ... ..

. ... ..

. ... ..

. ... ..

.

5 (haut) 0,93 106 453 220 1181 396 2637 509 3406 2,23 –2796 –623 –159 610 –415 1655 (bas) 0,90 862 453 220 1181 396 2637 509 3406 2,23 –2796 –623 –159 610 1383 1315Mur tendu, zone de rotule plastique (niveaux 1 a 4)

..

. ... ..

. ... ..

. ... ..

. ... ..

. ... ..

. ... ..

. ... ..

. ... ..

.

1 (haut) 0,80 1804 272 84 1854 215 4040 283 5216 2,18 –4224 –959 –184 992 1395 24351 (bas) 0,76 2740 272 84 1854 215 4040 283 5216 2,18 –4224 –959 –184 992 1395 3525Mur comprime, zone courante (niveaux 5 a 12)12 (haut) 1,00 –425 272 162 162 317 317 385 385 1,95 –297 –35 –632 –682 –748 –83012 (bas) 1,00 0 272 162 162 317 317 385 385 1,95 –297 –35 –632 –682 254 –1

..

. ... ..

. ... ..

. ... ..

. ... ..

. ... ..

. ... ..

. ... ..

. ... ..

.

5 (haut) 0,93 –62 453 334 2069 510 3525 623 4294 1,70 –2796 –623 –6 633 –7 090 –418 –985 (bas) 0,90 1031 453 334 2069 510 3525 623 4294 1,70 –2796 –623 –6 633 –7 090 1386 1573Mur comprime, zone de rotule plastique (niveaux 1 a 4)

..

. ... ..

. ... ..

. ... ..

. ... ..

. ... ..

. ... ..

. ... ..

. ... ..

.

1 (haut) 0,80 1618 272 198 3198 329 5384 397 6560 1,68 –4224 –959 –10 088 –11 264 1373 21841 (bas) 0,76 2774 272 198 3198 329 5384 397 6560 1,68 –4224 –959 –10 088 –11 264 1373 3568

Nota : Les ellipses indiquent l’emplacement de valeurs intermediaires non presentees. D, charges permanentes; i, etage considere du batiment (i = 1 a la base); Jx, coefficient de reduction du moment derenversement, pour le niveau x considere; L, charges d’exploitation; Mb

nx, capacite nominale en flexion aux extremites de la poutre de couplage au niveau x; Mw

fx, moment de flexion pondere dans le mur, au

niveau x; Mwlocal, moment de flexion par rapport a l’axe du mur, resultant de la capacite nominale de la poutre de couplage et du moment pondere dans le mur; Mw

global, moment global engendre par ledeveloppement de la resistance nominale en flexion a l’extremite de toutes les poutres de couplage; Tpr et Tx, efforts axiaux de traction dans le mur tendu, respectivement probable et pondere, dus a l’excen-trement de la force d’etage au niveau x; Vb

fx, Vb

nxet Vb

prx, efforts de cisaillement, respectivement pondere, nominal et probable, dans la poutre de couplage, au niveau x; x, etage considere; ghx, facteur de

surresistance des poutres de couplage au niveau x.

1236R

ev.can.

genieciv.

vol.36,

2009

Publiepar

lesPresses

scientifiquesdu

CN

RC

deformations inelastiques. L’estimation de celle-ci tientcompte explicitement de la contribution du confinement dubeton assure, notamment, par l’armature transversale deconfinement soutenant l’armature de flexion concentree auxextremites des murs de refend. D’autre part, les revisionsmajeures du CNBC 2005, sous-jacentes a la nouvelle cartedu risque sismique, ont trait essentiellement a la nouvelleformulation de l’effort de cisaillement a la base (de la me-thode de la force statique equivalente), effort de referencedont l’estimation est incontournable malgre la consecrationdes methodes dynamiques. Celui-ci represente le minimumde capacite des SRFS, quelque soit la methode d’analyseutilisee.

RemerciementsLes auteurs tiennent a remercier le Conseil de recherches

en sciences naturelles et en genie du Canada et le Fondspour la formation des chercheurs et l’aide a la recherchepour leur support financier.

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