Conception et optimisation d’un générateur piézoélectrique à déclenchement thermomagnétique

Adrian RENDON, Skandar BASROUR Laboratoire TIMA

46, Avenue Félix VIALLET 38031 Grenoble Cedex, France

E-mail : Adrian.Rendon@imag.fr

Résumé

Dans cet article nous décrivons la conception d’un générateur piézoélectrique optimisé à travers ses dimensions à l’aide d’un modèle en éléments finis. Le système étudié est une structure constituée d’une poutre encastrée-libre, munie de deux patchs piézoélectriques collés sur ses deux faces longitudinales. Nous avons modélisé ce dispositif en 3D sur ANSYS®, afin de le caractériser en régime statique. Pour mettre en valeur l’effet de ce procédé, une comparaison des performances du générateur, avant et après l’optimisation, est établie. L’apport de ce travail réside dans l’approche du fonctionnement du générateur, par déclenchement thermomagnétique, grâce à l’hybridation piézo-magnétique, et dans la méthodologie d’optimisation et de conception du générateur. Nos résultats ont montré qu’en appliquant cette technique d’optimisation, l’énergie produite par le générateur augmente de 82% par rapport au dimensionnement initial.

1. Introduction Dans la dernière décennie, plusieurs travaux ont

démontré un intérêt concernant la possibilité de récupérer de l’énergie thermique provenant des changements temporels de la température ambiante [1]. Une façon commune de procéder consiste à utiliser la transduction thermoélectrique directe à partir des matériaux pyroélectriques. Par ailleurs, des études sur la récupération de l'énergie vibratoire ont connu le succès, préférant des structures munies d'une transduction piézoélectrique. Les travaux de recherche portant sur la modélisation du couplage électromécanique sont basés

sur la modélisation des géométries simples de récupérateur, comme par exemple des poutres multicouches à section transversale constante [2]. Cependant, peu d’études sont dédiées à la modélisation d’une forme complexe et optimale de récupérateur, tel qu’une poutre multicouches à section transversale inégale, ce qui vise à augmenter l’énergie électrique récupérée, tout cela grâce à l’optimisation des dimensions du matériau piézoélectrique intégré au mécanisme.

Les travaux de recherche de cet article étudient le phénomène de récupération d’énergie thermique afin d’élaborer un design optimal de générateur électrique à transduction piézoélectrique. Le principe de fonctionnement du générateur proposé est d’abord décrit afin que le volume piézoélectrique soit intégré adéquatement à une structure dynamique. Suite à cette étude, une caractérisation analytique est adaptée à partir des hypothèses d’Euler-Bernoulli pour les poutres en flexion. Ensuite, ce modèle analytique est mis en valeur à l’aide de MATLAB®. Des simulations en éléments finis sont réalisées sous ANSYS® dans l’intention de valider le modèle analytique et permettre ainsi de poser le problème d’optimisation de la géométrie des patchs piézoélectriques du générateur.

2.Principe d’opération du générateur Il existe plusieurs sources d'énergie ambiante qui ont

déjà été examinées dans l’intérêt de la thématique de la récupération de l’énergie, telles que les énergies solaire, thermique, éolienne et vibratoire [3].

En ce qui concerne la récupération de l’énergie thermique, un grand nombre de travaux ont été effectués afin de réussir à convertir les pertes de chaleur d’un

système mécanique en électricité. La plupart des chercheurs visent en réalité à extraire l’énergie d’une différence spatiale de température; c’est-à-dire, la différence qu’il existe entre deux zones, l’une qualifiée de “froide” et l’autre de “chaude”. Parmi les méthodes privilégiées pour cette approche, la plus commune est l’usage de générateurs de tension thermoélectriques exploitant l’effet Seebeck [4]. L’efficacité de ce genre de générateur dépend à la fois du gradient de température et de la composition des matériaux (à travers leur coefficient Seebeck).

Quant à la récupération de l’énergie vibratoire, elle est définie par un corps ayant un mouvement oscillatoire autour d’une position d’équilibre résultant de l’énergie cinétique. Ensuite, une architecture électromécanique est destinée à transformer l’énergie cinétique en énergie électrique. Pour ce faire, plusieurs technologies sont disponibles, entre autres, électromagnétique, électrostatique, magnétostrictive et piézoélectrique. La technologie piézoélectrique a des nombreux avantages par rapport aux autres technologies: elle est en mesure de produire des tensions électriques élevées ce qui n’est pas le cas de la technologie électromagnétique; elle n’a pas besoin de source de tension externe contrairement à la conversion électrostatique et, surtout elle permet une miniaturisation du récupérateur ce qui est limitée avec la technologie magnétostrictive.

Concernant la conversion des variations temporelles de température en électricité, elle peut être réalisée de manière directe, via les matériaux pyroélectriques, ou de façon indirecte, par le biais d’un transducteur; nous pouvons mentionner le cas de l’aimantation et sa dépendance thermogène. L’un des principaux obstacles à surmonter avec les techniques de conversion, directes ou indirectes, est la dépendance temporelle de la température. En effet, si l’on considère une variation de température faible au cours du temps, comme par exemple la variation thermique journalière, on sera limité à quelques degrés sur plusieurs heures. Par conséquent, les matériaux pyroélectriques ne semblent pas être des solutions rentables, tel est le cas du sulfate de triglycine (TGS) et du titanate de plomb (PbTiO3). Pour cette raison, une solution différente est envisagée afin de pouvoir s’affranchir d’une évolution lente de la température.

Nous avons envisagé un générateur réagissant à certains seuils thermiques à l’aide des matériaux magnétiques doux, comme les alliages FeNi ou FeNiCr pour n’en citer que quelques-uns, ce qui entraîne une conversion thermomagnétique. Ensuite, le générateur présente un mouvement mécanique brutal. Cette dynamique est donc mise à profit pour solliciter des éléments piézoélectriques intégrés au mécanisme, favorisant ainsi une transformation électromécanique. La Figure 1 illustre le schéma du générateur envisagé.

Entrefer

x

y

Lp

L

hpxp

z

Récupérateur de l'énergie

Système de déclenchement

Figure 1. Schéma du générateur.

Le modèle est composé d’une poutre en acier en porte-à-faux. Deux patchs piézoélectriques sont collés aux faces longitudinales de la poutre. À l’extrémité libre de la poutre, et au-dessous d’un entrefer, est placé un circuit magnétique permanent de sorte que son champ magnétique exerce une force axiale d’attraction sur le matériau magnétique doux qui est fixé au bout de poutre et vis à vis de la structure magnétique. En d’autres termes, la poutre est excitée transversalement par son extrémité libre à travers l’effort axial magnétique qui fluctue au cours du temps selon la démagnétisation thermogène, propriété intrinsèque du matériau magnétique doux. De cette façon, les éléments piézoélectriques sont déformés longitudinalement et produisent une tension électrique.

Parmi les différentes architectures électriques simples disponibles, nous considérons une charge résistive RL. Pour permettre de récupérer de l’énergie dans la conversion électromécanique: d’une part parce que la simplicité de cette configuration permet de conserver un modèle linéaire et d’autre part car notre intérêt dans cet article est d’optimiser la géométrie des patchs piézoélectriques du récupérateur afin de maximiser l’énergie dissipée à travers la résistance lorsque la poutre est soumise à une déformation donnée. Des différentes architectures électriques simples sont illustrées sur la Figure 2.

Vp RL

(a) (b)

Vp

RL

CL

(c)

RL LLVp

Figure 2. Architectures électriques simples: (a) un circuit R, (b) un circuit RC en série et (c) un circuit RL en parallèle.

3.Modélisation analytique de la structure

La modélisation de la poutre du récupérateur d’énergie est basée sur les hypothèses suivantes:

• La transduction électromécanique du générateur est réalisée par une poutre en porte-à-faux à section transversale et munie de deux patchs piézoélectriques qui sont exploités dans un mode de couplage d31.

• La modélisation analytique du comportement de la poutre réside dans les équations d’Euler-Bernoulli pour des poutres en flexion.

Un modèle analytique, à constantes localisées et qui dérive de l’analyse énergétique d’une structure comme la notre, a été proposé [5]. Ce modèle est réalisé en deux étapes, la première étape comprend la détermination des raideurs en déformations planes de la poutre et des patchs piézoélectriques. Dans la poutre, la contrainte et la déformation longitudinale sont liées par

Tx =Y1-υ 2

Sx = cBSx (1)

Où Y est le module d’Young de la poutre et υ son coefficient de Poisson, cB la raideur de la poutre en déformation plane, et Sx la déformation suivant l’axe x. Le champ électrique est identique dans tout le matériau piézoélectrique, l’orientation suivant l’axe y et relié à la tension Vp entre les électrodes. Si les éléments piézoélectriques sont en circuit ouvert, la contrainte longitudinale est reliée à la déformation longitudinale par (2). cPE est défini comme la raideur en déformation plane du matériau piézoélectrique en circuit fermée.

Tx = SxxE −

SxzE2

SxxE

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−1

Sx = cPESx (2)

Par ailleurs, en circuit ouvert, le déplacement électrique Dy est nul et conséquemment la contrainte de la structure liée à la déformation, suivant l’axe x, peut être calculée par (3) où cPD est défini comme la raideur en déformation plane du matériau piézoélectrique en circuit ouvert. Les souplesses en circuit fermé sont définies par SExx , SExy , SExz et SEyy et la permittivité à

contrainte constante parεyyT .

Tx = SxxE −

SxzE2

SxxE −

dxy2 1− Sxz

E

SxxE

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

εTyy −dxy2

SxxE

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟⎟

−1

Sx = cPDSx (3)

À propos de la deuxième étape de cette modélisation analytique, elle s’adresse à étudier la déformée de la structure. Dans cette optique, nous considérons son premier mode de flexion lorsque les patchs piézoélectriques sont en circuit ouvert. Comme hypothèse de départ, nous supposons que cette déformée est très proche de celle obtenue en appliquant une force statique F à l’extrémité libre de la poutre, de telle manière que l’équilibre de la structure mène à (4).

d2uydx2

=F L − x( )ciIi

 avecciIi = cBIB  pour  x ∈ 0, xP

⎡⎣

⎡⎣∪ xP + LP,L

⎤⎦

⎤⎦

ciIi = cBIB + cPDIP  pour  x ∈ xP, xP + LP⎡⎣

⎤⎦

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

(4)

Où IB et IP représentent respectivement les moments d’inertie, par rapport à la fibre neutre du système, de la poutre et des patchs piézoélectriques, dont les valeurs sont calculées par (5) et (6).

IB =112wBh

3B (5)

IP = 2112wPh

3P −wPhP

hB + hP2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟2⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ (6)

Où wB représente la largeur de la poutre et hB son épaisseur tandis que wP et hP définissent respectivement la largueur et l’épaisseur des patchs piézoélectriques.

La résolution de l’équation différentielle (4), en appliquant des conditions aux limites pertinentes, donne le système d’équations (6) dont les constantes A, B, C et D sont décrites par (7).

uy x( ) =Fx2 3L − x( )6cBIB

 pour  x ∈ 0, xP⎡⎣

⎡⎣

uy x( ) =Fx2 3L − x( )

6 cBIB + cPDIP( )+ Ax + B pour   xP, xP + LP

⎡⎣

⎤⎦

uy x( ) =Fx2 3L − x( )6cBIB

+Cx +D pour  x ∈ xP + LP,L⎤⎦

⎤⎦

(6)

A = 1cBIB

−1

cBIB + cPDIP

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟FxP 2L − xP( )

2

B = 1cBIB

−1

cBIB + cPDIP

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟Fx2P 2xP −3L( )

6

C = 1cBIB

−1

cBIB + cPDIP

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟FxP 2L − xP( )−F xP + LP( ) 2L − xP − LP( )

2

D =1cBIB

−1

cBIB + cPDIP

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟Fx2P 2xP −3L( )−F xP + LP( )2 2xP + 2LP −3L( )

6

(7)

Où xP désigne l’origine des patchs piézoélectriques selon la longueur de la poutre, LP la longueur des patchs piézoélectriques et L la longueur de la poutre.

Les caractéristiques de la structure sont présentées dans le Tableau 1.

Paramètre Valeur Unité

Pout

re

Longueur L 180 mm Épaisseur hB 2,05 mm Module d’Young Y 210 GPa Coefficient de poisson υ 0.3 - Densité ρB 7500 kg·m-3 Coefficient d’amortissement 13.3 µs

Patc

hs p

iézo

élec

triq

ues Longueur Lp 40 mm Largeur wp 90 mm Épaisseur hp 300 µm Localisation des patchs xp 14 mm Coefficient Piézoélectrique dxy -108 pC·N-1 Densité ρp 8100 kg·m-3

Souplesse SExx , S

Exy , S

Exz ,S

Eyy 10.66, -4.52, -3.34, 13.25 10-12·Pa-1

Permitivité à contrainteεyyT

10.17 nF·m-1

Tableau 1. Caractéristiques de la structure.

4.Modélisation de la structure en éléments finis

Dans la perspective de le comparer avec le modèle analytique décrit précédemment, un modèle en éléments finis a été crée sous ANSYS® (version 16.0). Concernant le coefficient d’amortissement, la commande DMPRAT permet d’établir un coefficient d’amortissement global. Dans l’idée d’une réponse plus réaliste, nous avons choisi une modélisation en 3D. La structure est maillée par des éléments tétraédriques. Les patches piézoélectriques sont maillés et couplés électro-

mécaniquement à l’aide de 5886 éléments SOLID226 tandis que la poutre à travers 12445 éléments SOLID186 dont les degrés de liberté sont les déplacements suivant x et y. En vue d’encastrer la structure à l’une de ses extrémités, les degrés de liberté des nœuds correspondants ont été fixés à zéro. D’une part, le potentiel électrique des nœuds de la surface entre les patchs piézoélectriques et la poutre est fixé à zéro pour modéliser la masse électrique. D’autre part, le potentiel électrique est configuré pour être à la même valeur à tous les nœuds des faces libres des patchs piézoélectriques afin de simuler les électrodes du système. La Figure 3 représente le modèle 3D en éléments finis de la structure du récupérateur.

Figure 3. Modèle 3D en éléments finis de la poutre.

En appliquant une force au bout de la poutre, dans la direction -y et de magnitude calculée par (8) où v et g sont définis respectivement comme le volume de la poutre et la gravité, nous obtenons la déformation de la structure en régime statique. Les résultats des déformations de la poutre issues du modèle analytique à constantes localisées et de l’étude en éléments finis sont ensuite comparés comme illustrés par la Figure 4.

F = 120

ρBvg (8)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 180

5

10

15DEFORMATION DE LA POUTRE

Longueur de la poutre (mm)

Déf

orm

atio

n de

la p

outr

e (�

m)

ANSYSPortion #1Portion #2Portion #3

Figure 4. Comparaison des déformations de la poutre.

Il est évident que la tendance de courbature entre le deux modèles est similaire, le déplacement en bout de poutre est estimé à 14µm contre 13.39µm avec le modèle analytique décrit par (6) et (7), soit une erreur relative de 4.3%. Il est à noter que le modèle analytique correspond bien au profil de courbure de la poutre.

Lorsque la poutre est sollicitée mécaniquement, une tension électrique est générée par les patchs

piézoélectriques, ce qui permet d’estimer l’énergie instantanée grâce à la capacité piézoélectrique CP, selon (9).

E = 12CPVP

2 =12ε0ε33wPLP

hPV 2

P (9)

Du fait que le déplacement maximal de la poutre qui est provoqué par la force axiale d’attraction magnétique, produit un pic d’énergie, nous pouvons donc envisager de maximiser cette énergie en optimisant les dimensions des patchs piézoélectriques.

5.Optimisation en dimensions des patchs piézoélectriques

Un problème d’optimisation fait intervenir des paramètres que nous voulons garder constants, une fonction objective que nous cherchons optimiser, des variables d’état qui délimitent la conception, ainsi que des variables de conception qui peuvent dans notre étude évoluer. Nous visons à déterminer des dimensions optimales pour l’épaisseur et la longueur des patchs piézoélectriques afin de maximiser l’énergie dissipée à travers les bornes piézoélectriques. En effet, si les dimensions des patchs piézoélectriques changent, la raideur globale du système sera aussi modifiée. Cependant, le déplacement maximale en bout de poutre ne doit pas diminuer car plus le déplacement est important plus les éléments piézoélectriques génèrent de l’énergie électrique. Le facteur limitant le processus d’optimisation se manifeste dans la force d’attraction nécessaire pour donner lieu à tel déplacement. À savoir dans notre étude, elle apparaît comme la force de réaction FRY à l’encastrement de la poutre lorsque cette dernière est fléchie. La Figure 5 montre le processus d’optimisation appliqué.

Variables de Design

Résoudre le FEM pour la force de réaction et l’énergie produite

Convergence?

Mise à jour, Emax

Affichage de résultats à

chaque itération

Données d’entrée

Fin

Création du FEM

Générer de nouvelles variables Extraction de résultats

Non

Oui

Figure 5. Schéma de processus d’optimisation.

Certains paramètres du récupérateur demeureront constants dans le processus d’optimisation. Tout d’abord, les propriétés et les dimensions de la poutre sont fixées, de la même manière que le largueur des éléments piézoélectriques. Le Tableau 2 précise les variables de design VD, les variables d’état VE et aussi bien que la fonction objectif FO ainsi que leur valeurs initiales.

Variable Paramètre Valeur Unité VD1 Longueur des patchs LP 40 mm VD2 Épaisseur des patchs hP 300 µm

VE Force de réaction FRY pour uy_max = 200µm 3.4 N

FO Énergie électrique selon (9) 5.2 µJ

Tableau 2. Variables initiales du générateur.

Le procédé d’optimisation est basé sur l’hypothèse que le déplacement maximal au bout de la poutre uy_max est constant et égale à 200µm, équivalent à 5.2µJ d’énergie récupérée en considérant les dimensions initiales. Les données d’entrée à l’algorithme correspondent à celles listées par le Tableau 2. Pour la gamme des valeurs pouvant être acceptées par la variable d’état, nous avons considère 1 ≤ FRY ≤ 9 Newtons, avec une tolérance de 4mN. Concernant la gamme des valeurs acceptables pour les dimensions des patchs piézoélectriques, nous avons défini pour la longueur 30 ≤ LP ≤ 150 mm, avec une tolérance de 60µm et pour l’épaisseur 300 ≤ hP ≤ 1500 µm, avec 60nm comme tolérance.

La méthode d'optimisation a été réalisée à l’aide du modèle 3D en éléments finis sous ANSYS®. Parmi les deux algorithmes d’optimisation disponibles sur ce logiciel, nous avons utilisé la méthode d’ordre zéro avancée: “Sub-Problem Approximation” pour ne pas avoir de temps de calcul prohibitif car ce module est le plus rapide. L’algorithme est basé sur les approximations par des moyens de moindres carrés. La convergence du processus d’optimisation est atteinte à la fin de 13 itérations, fournissant le design optimal à la huitième itération. Les valeurs optimales du récupérateur déterminées par l’algorithme figurent sur Tableau 3.

Variable Paramètre Valeur Unité VD1 Longueur des patchs LP 98.6 mm VD2 Épaisseur des patchs hP 796.2 µm

VE Force de réaction FRY pour uy_max = 200µm

5.5 N

FO Énergie électrique selon (9)

9.8 µJ

Tableau 3. Variables optimisées du générateur.

Nous constatons que l’algorithme a convergé vers une solution maximale d’énergie tout en respectant les gammes des valeurs acceptées pour les variables de conception. Afin de bien comprendre ce qui a mené l’algorithme d’optimisation, une comparaison est faite avec le récupérateur aux dimensions initiales. Le récupérateur aux dimensions optimisées dissipe une énergie électrique de 9.8µJ avec un déplacement maximal de 200µm. La Figure 6 montre l’évolution de l’énergie, ainsi que celle de la force, pendant les itérations de l’algorithme d’optimisation. Le progrès des dimensions des éléments piézoélectriques et la force de réaction à l’encastrement de la poutre, sont respectivement montrés dans la Figure 7. À titre indicatif, le modèle 3D de la poutre avec les nouvelles

dimensions issues de l’optimisation est montré sur la Figure 8.

Figure 6. Évolution de l’énergie et la force de réaction

pendant le processus d’optimisation.

Figure 7. Évolution de la longueur des patchs piézoélectriques pendant le processus d’optimisation.

Vue de dessus

Vue de face avec zoom

Figure 8. Modèle 3D optimisé de la poutre.

6.Conclusion Dans cet article, une comparaison entre une

modélisation analytique et une étude en éléments finis pour un générateur piézoélectrique à déclenchement thermomagnétique a été effectuée. En outre, une méthode d’optimisation, pour les dimensions des patchs piézoélectriques, a été appliquée afin de maximiser le pic d’énergie maximale généré par le dispositif en régime statique. Les résultats montrent une concordance relative de 95.7% entre les modélisations analytique et en éléments finis. Concernant la maximisation

d’énergie, une augmentation de 82% par rapport aux dimensions initiales du récupérateur est obtenue.

Références

[1] F. K. Shaikh, & S. Zeadally, “Energy harvesting in wireless sensor networks: A comprehensive review”, Renewable and Sustainable Energy Reviews, 55, 1041-1054, 2016.

[2] S. Paquin, “Modélisation et optimisation mécanique d’un récupérateur piézoélectrique d’énergie vibratoire”, Mémoire de these, Université Laval Québec, 2011.

[3] S. Roundy, P. K. Wright et J. M. Rabaey, “Energy Scavenging for Wireless Sensor Networks”, Springer Science Business Media, LLC (2004).

[4] C. Wu. “Analysis of waste-heat thermoelectric power generators”. Applied Thermal Engineering, vol.16, 63-69 (1996).

[5] A. Badel, “Récupération d’énergie et contrôle vibratoire par éléments piézoélectriques suivant une approche non linéaire”. Thèse de doctorat, Université de Savoie, (2005).