Compression d Images Hyperspetrales Par La Transformee en o 1 [Unlocked by Www.freemypdf.com]

8/2/2019 Compression d Images Hyperspetrales Par La Transformee en o 1 [Unlocked by Www.freemypdf.com]

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REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIREMINISTERE DE LENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE MOULOUD MAMMERI, TIZI-OUZOUFACULTE DE GENIE ELECTRIQUE ET DE LINFORMATIQUE

DEPARTEMENT DELECTRONIQUE

MEMOIRE DE MAGISTER EN ELECTRONIQUE

OPTION : Tldtection

Prsent par :

Mr OUAHIOUNE Mohand

THEME :

Compression dimages hyperspetrales par la transformeen ondelettes 3D

Devant les membres du jury :

Prsident : Mr. LAGHROUCHE Mourad Matre de confrences UMMTO

Rapporteur : Mr. AMEUR Soltane Professeur UMMTO

Examinateurs: Mr. LAHDIR Mourad Matre de confrences (B) UMMTO

Mr. HADDAB Salah Matre de confrences UMMTO

Mme. AMEUR Zohra Matre de confrences UMMTO

Soutenu le : 29 / 09 / 2011


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There, Ive done my best. If that wont do, I shall have to wait until I can do better.

Victor Heerman, crivain (1893-1977)


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ma mre, mon frre et ma sur.


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Remerciements :

Ce travail a t ralis au Laboratoire d'Analyse et de Modlisation des Phnomnes

Alatoires (LAMPA) de LUMMTO. Je remercie son directeur, Monsieur AMEUR Soltanepour son accueil.

Je tiens exprimer toute ma reconnaissance Monsieur AMEUR Soltane, Professeur

lUMMTO et directeur du laboratoire de recherche LAMPA, pour avoir accept dtre

rapporteur de ma thse.

Je remercie galement vivement Monsieur LAHDIR Mourad, Matre de confrences (B)

lUMMTO, pour avoir bien voulu tre Co-rapporteur de ma thse.

Un grand merci Monsieur LAGHROUCHE Mourad, Matre de confrences lUMMTO,

pour lhonneur quil me fait de prsider mon jury de thse.

Je suis galement trs reconnaissant Madame AMEUR Zohra, Matre de confrences

lUMMTO, pour lhonneur quelle me fait de participer mon jury de thse.

Je remercie galement vivement Monsieur HADDAB Salah, Matre de confrences

lUMMTO, pour lhonneur quil me fait de participer mon jury de thse.

Ce travail a t effectu sous la direction de Monsieur AMEUR Soltane et LAHDIR Mourad

Professeur et Matre de confrences luniversit de Tizi-Ouzou. Je tiens les remercier pour

leur encadrement et les prcieux conseils dont ils mont fait bnficier.

Je tiens remercier encore une fois LAHDIR Mourad pour sa disponibilit, sa simplicit, son

honntet intellectuelle et sa gentillesse.

Jadresse galement tous mes remerciements tous ceux qui ont contribu ltude et la

rdaction de ce mmoire.


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Rsum:

Limagerie hyperspectrale est caractrise par une forte rsolution spectrale qui permet

dacqurir des informations prsentes dans lensemble du spectre, l o les systmes classiques de

tldtection ne proposent que quelques portions de ce spectre.Ce mode dacquisition apporte

une quantit considrable de donnes, qui peut rapidement saturer les systmes conventionnels de

transmission et de stockage.

La question fondamentale aborde dans ce mmoire est celle de llaboration dune

mthode de compressionpour faciliter larchivage et la transmission des images hyperspectrales

avec de forts taux de compression et le minimum de distorsions. Nos travaux se sont dploys

autour dun schma de compression, utilisant une transforme en ondelettes, associe unequantification par arbres de zros. Loriginalit de notre mthode rside dans lextension de

ces algorithmes la troisime dimension, afin dexploiter la nature 3D de ces images

hyperspectrales caractrises par une forte corrlation spectrale et amliorer ainsi la qualit de

compression obtenue pour ce type dimages. Cette nouvelle mthode de compression est base

sur une transforme en ondelettes 3D (TOD 3D) qui permet en effet dexploiter de manire

efficace la fois les corrlations existantes au sein dun canal (scne spatiale), mais galement

entre les canaux (scne spectrale) (dcorrlelation des trois dimensions du cube hyperspectrale) et

dun codeur arbres de zros 3D (SPIHT 3D) qui exploite les redondances inter-chelles dans les

diffrentes dimensions des coefficients ondelettes.

Lalgorithme ainsi dvelopp a t appliqu une squence dimages tests (AVIRIS) de

Yellowstone datant de 2006. Les rsultats montrent que la qualit du PSNR varie entre 35-55 dB

pour des rapports de compression allant de 100 10 en fonction de londelette utilise. Ces

rsultats montrent que lexploitation de la troisime dimension (dimension spectrale) amliore

sensiblement la qualit de compression. En effet, lalgorithme offre un gain bien suprieur

celui offert par sa version 2D, nos rsultats montrent ainsi un gain allant jusqu plus de 10 dB

pour tous les rapports de compression.

Mots-cls: Compression dimages hyperspectrales; Corrlation spectrale; TOD 3D; SPIHT 3D;

JPEG2000; Tldtection.


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Table des

matires


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Introduction : ................ 1

Chapitre I :Imagerie Hyperspectrale1. Introduction aux images hyperspectrales : ....................................................................................... 6

1.1. Notion debase de limagerie hyperspectrale: .............................................................................. 6

1.2. Capteurs aroports : ................................................................................................................ 10

1.3. Capteurs spatioports : ............................................................................................................. 11

1.4. Le capteur AVIRIS :.................................................................................................................. 12

2. Proprits des images hyperspectrales: ............................................................................................ 13

2.1. Rsolution spatiale : .................................................................................................................. 13

2.2. Rsolution spectrale : ................................................................................................................ 13

2.3. Rsolution radiomtrique : ........................................................................................................ 13

2.4. La couverture spectrale : ........................................................................................................... 14

2.5. Taille des images hyperspectrales : ........................................................................................... 14

2.6. Le concept de cube de donnes : ............................................................................................... 14

2.7. Des dimensions aux proprits diffrentes : .............................................................................. 15

3. Gnralits sur la compression dimage :..173.1. Notion de base de la compression :.17

la chane de compression sans perte (rversible) :.18

la chane de compression avec perte (non rversible) :.... ..18

3.2. Les trois tapes classiques en compression:............... 19

3.2.1. Premire tape : Transformation des donnes:.19

3.2.2. Deuxime tape : Quantification:.19

3.2.3. Troisime tape : Codage: .................................................................................................. 20

3.3. Compression dimage : du JPEG JPEG 2000 : ..................................................................... 21

3.3.1. JPEG : ................................................................................................................................ 21

3.3.2. JPEG 2000 : ........................................................................................................................ 22

3.3.3. Performance de la TCD (JPEG) et de la TOD (JPEG2000) : .............................................. 23

3.3.4. Discussion:. 23

4. Dmarche gnrale du schma de compression propos : ................................................................ 24

4.1. Premier tape : Transformation TOD 3D: ............................................................................ 26

4.2. Deuxime tape : Codage SPIHT 3D : ................................................................................. 27


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Chapitre II :Transforme en Ondelettes1. Gnralits sur les ondelettes ........................................................................................................... 29

1.1. Pourquoi les ondelettes ? ........................................................................................................... 291.1.1 La transforme de Fourier : ................................................................................................ 30

1.1.2 Transforme de Fourier fentre glissante : ........................................................................ 31

1.1.2.1. Limites de la TF fentre glissante :....32

1.1.2.2. Principe dincertitude de Heisenberg :..32

1.1.2.3. Discussion :...34

1.1.3 Les ondelettes : .................................................................................................................... 35

1.1.3.1. La transforme en ondelettes :..... 35

1.1.2.3. Discussion: ...37

1.2. Ondelette analysante: ................................................................................................................ 38

1.3. Transforme en ondelettes continue: ......................................................................................... 39

2. Transforme en ondelettes discrte .................................................................................................. 41

2.1. Dveloppement de lalgorithme de la Transforme en Ondelettes Discrtes : ........................... 41

2.2. Extension de la TOD aux signaux plusieurs dimensions : ...... 48

3. Lalgorithme de la TOD 3D sous Matlab ........................................................................................ 51

3.1. Banc de filtres 1D : .................................................................................................................... 51

3.2. Banc de filtres 3D : .................................................................................................................... 54

3.3. Transform en ondelettes 3D : ................................................................................................... 56

Chapitre III :Quantification par Zerotree

1. Prambule :.....6 02. Lalgorithme EZW: (Embedded Zerotree Wavelet coding).......61

2.1. Introduction au codage EZW : ................................................................................................... 61

2.2. Comment marche lalgorithme ? ............................................................................................... 63

2.2.1. Codage : ............................................................................................................................. 63

2.2.1.1. Signification des coefficients de la TO :. .63

2.2.1.2. Codage de la carte de signification :... 64

2.2.1.3. Quantification par approximation successive :.65


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2.2.2. Dcodage ............................................................................................................................ 67

2.3. Exemple : .................................................................................................................................. 67

3. Lalgorithme SPIHT: (Set Partitioning In Hierarchical Trees) ........................................................ 70

3.1. Fonctionnement du SPIHT: ....................................................................................................... 71

3.2. Algorithme SPIHT 2D: ............................................................................................................. 73

3.3 Exemple : ................................................................................................................................... 74

4. Extension aux images 3D du SPIHT : .............................................................................................. 77

5. Lalgorithme SPIHT 3D sous Matlab:............................................................................................ 80

Chapitre IV :Tests & Rsultats

1. Prambule :.....89

2. Prsentation de linterface graphique :..90

2.1 Cette interface contient : ............................................................................................................ 91

2.2 Marche suivre pour la compression des images hyperspectrales : .......................................... 92

3. Critres dvaluation de la compression : ........................................................................................ 95

3.1 Critres de qualit :.................................................................................................................... 95

3.2 Dbit et taux de compression :................................................................................................... 97

4. Tests et rsultats de la compression : ............................................................................................ 98

4.1 Influence du type de filtre : : ................................................................................................... 100

4.2 Influence du nombre de dcomposition : ................................................................................. 104

4.3 Influence du contenu de l'image : ............................................................................................ 106

4.4 Influence de la taille de l'image : ............................................................................................. 107

4.5 Performance SPIHT 2D vs. SPIHT 3D :.........................108

5. Dscussion : .................................................................................................................................. 110

Conclusion : ........ 111

Annexe A : AVIRIS : ..... 116

Annexe B : ARBRE DE ZEROS : ......119

Bibliographie: ..... 122


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Introduction


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I n t r o d u c t i o n P a g e | 2

Limagerie hyperspectrale est un domaine en plein essor du fait du dveloppement des

technologies numriques. Llment nouveau apport par les images hyperspectrales est la

signature spectrale. Nous pouvons dire quavec les images hyperspectrales, nous sommes

effectivement capables dacqurir des informations prsentes dans lensemble du spectre, l

o les systmes classiques de tldtection comme ceux dimagerie multispectrale ne

proposent que quelques portions de ce spectre. Limagerie hyperspectrale permet donc une

investigation de plus en plus fine. En revanche, elle apporte des difficults et de nouveaux

dfis pour les techniques danalyse, de traitement et de compression dimage.

La problmatique principale de ce type dimage, rside dans la quantit considrable de

donnes gnres, qui peut rapidement saturer les systmes conventionnels de transmission

et de stockage. En effet, observer la mme scne dans environ 200 longueurs dondes,

multiplie logiquement la taille des donnes par 200. Du fait de la taille importante de ces

images hyperspectrales, on comprend vite lintrt dune compression efficace pour ce type

dimages. Pour ce faire, nous allons exploiter leurs diffrentes proprits, notamment la forte

corrlation spectrale et la possibilit de les disposer sous forme dun cube de donnes et

proposer une mthode de compression adapte.

Dans ce mmoire nous proposons un schma de compression qui sinscrit dans le cadre

dune approche transforme en ondelettes (TO), qui est un outil largement utilis en

traitement du signal et dimage. Sa capacit compacter lnergie sur un petit nombre de

coefficients permet un codage efficace de limage. La forte corrlation spectrale en imagerie

hyperspectrale, nous a conduit tendre cette transforme la troisime dimension (), pour

dcorrler les trois dimensions. Cette transforme en ondelettes correspond la premire

tape de la chane de compression classique, elle sera suivie par des algorithmes dequantification et de codage adapts aux images 3D et qui ont prouv leur efficacit dans le

cas des images 2D.

Pour ltude et la construction de ce schma de compression/dcompression pour images

hyperspectrales, nous aborderons particulirement les points suivants :

Thorie des images hyperspectrales ; Proposer et justifier notre schma decompression;


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Llaboration et la mise en place dune transforme en ondelettes 3D (TOD 3D) pour

dcomposer limage hyperspectrale ;

Lextension du codage SPIHT la troisime dimension afin de quantifier et coder les

coefficients ondelettes obtenus par la TOD 3D ;

La construction dune interface graphique sous MATLAB, afin de faciliter lutilisation

des algorithmes labors et tester la compression obtenue pour diffrents paramtres.

Ce mmoire sarticulera sur quatre chapitres : le premier chapitreest un tat de lart,

rappelant les proprits des images hyperspectrales et quelques standards de compression.

Aprs avoir fait le tour de la thorie sur les images hyperspectrale, nous allons proposer et

justifier notre mthode et nous allons dcrire brivement les concepts de base des deux

algorithmes qui la compose.

Dans le deuxime chapitre, nous dvelopperons une transforme en ondelettes 3D base

sur lalgorithme de Mallat, qui consiste en une dcomposition qui sappuie sur les filtres

passe-haut et passe-bas discrets dduits de londelette mre et de la fonction chelle

associe, puis nous implmenterons cette TO 3D sous Matlab. Pour la compression d'image,

la transforme reprsente le premier maillon de la chane, afin de compresser l'information, il

faut complter le cycle par une quantification et un codage.

Dans le troisime chapitre nous prsenterons les mthodes de codage des coefficients

ondelettes bass sur lhypothse des arbres de zros. Ces mthodes de codage, utilisent un

modle simple pour caractriser les dpendances parmi les coefficients ondelettes localises

dans les sous-bandes ayant la mme orientation. Nous choisirons dimplment la variante 3Ddu codage SPIHT (Set Partitionning in Hierarehical Tree). SPIHT produit directement des

symboles binaires. Ainsi, nous pouvons choisir de ne pas implmenter un codage arithmtique

afin de ne pas augmenter la complexit de lalgorithme.

Dans le dernier chapitre de ce mmoire, nous allons prsenter linterface graphique

dveloppe sous MATLAB (GUI MATLAB) regroupant les algorithmes dcrit prcdemment

et dcrire son utilisation pour la compression dimages hyperspectrales. Nous feronslexprimentation de cet algorithme de compression pour diffrents paramtres. Nous


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valuerons les rsultats obtenus et nous verrons notamment lapport de la mthode 3D

(compression de la dimension spectrale) par rapport la mthode 2D. Nous conclurons par

quelques perspectives pour dautres tudes ultrieures, afin damliorer lalgorithme de

compression labor.


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Imagerie Hyperspectrale

CHAPITRE 1

Chapitre

1

Introduction aux images hyperspectrales.

Proprits des images hyperspectrales.

G n ralit s sur la compression dimages.

Dmarche gnrale du schma de compression propos.


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C h a p . I I m a g e r i e H y p e r s p e c t r a l e P a g e |

1. Introduction aux images hyperspectrales :

1.1. Notion de base de limagerie hyperspectrale :

La tldtection dsigne lensemble des techniques qui permettent dobtenir des

informations sur des objets ou des phnomnes, par lintermdiaire dinstruments de

mesures (un satellite par exemple), sans contact direct avec les cibles tudies, en utilisant

les proprits des ondes quils mettent ou rflchissent.

Quand les rayons du soleil frappent un objet, certaines longueurs donde du spectre

sont rflchies, dautres sont absorbes. Les diffrents objets nabsorbent et ne rflchissent

pas la mme partie du rayonnement spectral. En consquence, le spectre du rayonnement

mis diffre selon lobjet. La tldtection mesure le rayonnement rflchi par les objets et

permet donc de dterminer certaines proprits de ces objets. Elle utilise le mme principe

que la vision humaine : exploiter la couleur et parfois la texture, pour identifier les

objets, mais son champ danalyse est largi des parties du spectre lectromagntique

allant au-del du domaine de la lumire visible.

Par exemple, les capteurs utiliss par le satellite SPOT 5, peuvent mesurer le

rayonnement rflchi dans le domaine visible (de 0.50 a 0.68 m) et dans le domaine proche

et moyen infrarouge (0.78 a 0.89 m et de 1.58 a 1.75 m).

Bande 1 : Vert (0,50 - 0,59 m) Bande 2 : Rouge (0,61 - 0,68 m) Bande 3 : Proche infrarouge (0,78 - 0,89 m) Bande 4 : Moyen infrarouge (MIR) (1,58 - 1,75 m)

Pour le satellite LANDSAT 7, ses capteurs peuvent mesurer le rayonnement dans le

domaine du visible, du proche et moyen infrarouge et le rayonnement dans linfrarougethermique.

Bande 1 : (0.45-0.52 m) Bleu Bande 2 : (0.52-0.60 m) Vert Bande 3 : (0.63-0.69 m) Rouge Bande 4 : (0.76-0.90 m) Proche infrarouge Bande 5 : (1.55-1.75 m) Moyen infrarouge Bande 6 : (10.4-12.5 m) Infrarouge thermique Bande 7 : (2.08-2.35 m) Moyen infrarouge


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C h a p . I I m a g e r i e H y p e r s p e c t r a l e P a g e | 7

Ces capteurs lectroniques permettent lobservation de la mme scne dans plusieurs

longueurs dondes. Ils sont appels capteurs multispectrauxet les images quils fournissent

sont appeles images multispectrales. Un trs grand nombre de ces capteurs multispectrauxse sont ainsi dvelopps, le premier tant Landsat au dbut des annes 70.

Fig.I.1 Image LANDSAT 7 du nord de la wilaya de TIZI-OUZOU bande verte

(bande 2), rouge (bande 3), infrarouge (bande 4) et limage fausse couleur

obtenue laide des trois bandes verte, rouge et proche infrarouge sous le

logiciel ENVI 4.


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C h a p . I I m a g e r i e H y p e r s p e c t r a l e P a g e |

Lvolution naturelle des capteurs dimages a conduit lacquisition non pas dune, deux

ou trois bandes spectrales mais plutt de plusieurs centaines dimages spectrales, dont le

recouvrement spectral va du visible jusqu' linfrarouge. Lacquisition de telles donnesest faite via des capteurs hyperspectraux et cette acquisition aboutit la formation dun

cube de donnes comme illustr la figure suivante, quon appelle le cube hyperspectral.

En effet, les donnes acquises ont trois dimensions : deux dimensions spatiales qui

reprsentent la scne et une troisime dimension qui reprsente le spectre de la scne dans

diffrentes longueurs dondes.

Fig.I.2Du monochrome lhyperspectral.

Llment nouveau apport par les images hyperspectrales est la signature spectrale. La

signature spectrale comporte des informations uniques concernant les proprits physiques,chimiques des matriaux et des objets analyss. Autrement dit, cette signature correspond la

raction des objets par rapport au rayonnement solaire (en fonction des longueurs donde de

ce rayonnement solaire). Nous pouvons dire quavec les images hyperspectrales, nous

sommes effectivement capables dacqurir des informations prsentes dans lensemble de la

signature spectrale, l o les systmes classiques de tldtection, comme ceux dimagerie

multispectrale, o on ne propose que quelques portions de ce spectre (voir figure I.3). Cette

nouvelle forme de tldtection permet de reconnaitre la plupart des objets dans limage.


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La rsolution spectrale est le paramtre le plus important des images hyperspectrales. Elle

permet dobtenir des chantillons dtaills des spectres. Pour ce paramtre, lessentiel tient

la continuit des canaux avec une largeur assez troite. Parfois les capteurs hyperspectraux,

comme CASI, ont une capacit de rsolution flexible qui permet de choisir la fois la largeur

et le positionnement des canaux spectraux. Cette capacit est trs pratique, selon

lexploitation que lon souhaite faire.

Cette technique dacquisition simultane des donnes dimagerie en quelques centaines

de canaux spectraux contigus, nous permet denregistrer la signature spectrale pour chaque

pixel de limage comme dans le laboratoire. La diffrence par rapport aux images

multispectrales tient donc au nombre important de bandes (100 200), leur largeur fine (10

20 nm) et au fait quelles soient contigus.

Fig.I.3 (A) Spectre fournis par le capteur multispectral ; (B) spectre hyperspectral.


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Une image hyperspectrale est obtenue grce un spectro-imageur. Lacquisition dune

mme scne est ralise dans plusieurs bandes spectrales. Le dveloppement de la technologie

hyperspectrale a permis en 1989, la NASA de raliser une avance majeure en mettant en

uvre le systme AVIRIS. LAVIRIS tait un capteur hyperspectral avanc, port par un U2.

Il a acquis des donnes dimagerie dans 224 canaux spectraux sur une gamme spectrale

de 400 2500 nm. Suite ce programme, dautres capteurs hyperspectraux ont t

dvelopps et rendus oprationnels [1].

Actuellement, deux technologies sont oprationnelles : aroportes et spatioportes.

1.2. Capteurs aroports :

Les capteurs aroports sont historiquement les premiers capteurs grce auxquels

limagerie hyperspectrale a t applique et dveloppe. Les capteurs aroports trouveront

toujours des applications, notamment lorsque de trs hautes rsolutions spatiales (De 1

4 m) sont ncessaires. Le tableau (I.1) recense les capteurs hyperspectraux aroports

les plus connus.

Capteur Nom complet Oprateur/Pays Bandes Gamme

Spectrale (m)

AVIRIS Airborne Visible Infrared

Imaging Spectrometer

NASA/JPL

USA

224 0.4 - 2.5

HYDICE Hyperspectral Digital

Imagery

Collection Experiment

USA 210 0.4 - 2.5

CASI Compact Airborne

Spectrographic Imager

Itres Research

Canada

228 0.1 - 1.0

AISA Airborne Imaging

Spectrometer

Specim Ltd.

Finland

228 0.43 - 1.0

MODIS Moderate Resolution

Imaging Spectrometer

NASA

USA

36 0.41 - 14.24

Tableau.I.1 Capteurs hyperspectraux aroports.


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1.3. Capteurs spatioports :

Suite la russite des capteurs hyperspectraux aroports et grce lexprience de la

tldtection spatiale, lide de monter un capteur hyperspectral sur satellite a suscit

lattention des agences spatiales. Aujourdhui, plusieurs capteurs hyperspectraux spatiaux sontactifs : Hyperion est bord du satellite Earth Observing-1 (EO-1), qui a t lanc dans le

cadre de programme millnaire de la NASA [EO1/NASA]. Plusieurs programmes non

gouvernementaux ont t galement dvelopps, parmi lesquels le capteur CASI (Compact

Airborne Spectrographic Imager) qui est lun des plus employ. Le tableau (I.2) prsente les

capteurs hyperspectraux ports par satellites.

Capteur Nom Oprateur/Pays Bandes Gamme

Spectrale (m)

HYPERION EO-1 NASA/ USA 220 0.4 - 2.5

FTHSI MightySatII Air Force

Research Lab

USA

256 0.475 - 1.05

Orbview-4 Airforce Warfighter Air Force

Research LabUSA

200 0.4 - 2.5

SSTI HSI Small Satellite

Technology Initiative

Hyperspectral Imager

TRW Inc.

NASA

USA

384 0.4 - 2.5

NEMO Naval Earth

Map Observer

Office ofNaval Research

USA

220 0.4 - 2.5

Tableau.I.2 Capteurs hyperspectraux ports par satellites.

Dans ce qui suit nous allons dcrire plus en dtails les caractristiques du capteur AVIRIS,

tant donn que cest les images issues de ce capteur que nous allons utiliser et essayer de

compresser en utilisant une transforme en ondelettes 3D.


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1.4. Le capteur AVIRIS :

AVIRIS (Airborne Visible / Infrared Imaging Spectrometer) est lun des tout premier

imageur spectromtre, il a t mis au point en 1987 par la NASA. Ce capteur est capable

dacqurir des images spectrales dans 224 bandes avec 512 pixels sur chaque ligne, en

utilisant un systme dimagerie numrique balayage whisk broom. La gamme spectrale

couverte par les 224 canaux varie entre 0.4 et 2.45 m. Cette largeur de gamme est large et

couvre le visible, le proche infrarouge et le moyen infrarouge. Le capteur AVIRIS est

aroport soit en haute altitude soit en basse altitude et sa rsolution spatiale dpend de

laltitude de lavion (entre 4m-20m). Le tableau (I.3) rsume les caractristiques du capteur :

Caractristiques dAVIRIS :

Nom

Plateforme

Constructeur

Airborne Visible / Infrared Imaging Spectrometer

Aroport

NASA/JPL

Nombre de bandes

Rsolution spectrale

Game spectrale

22410 nm0.4 et 2.45 m

Echantillonnage spatial 20 m 20 m ( 20 km)

4 m 4 m ( 4 km)

rsolution radiomtrique 12 bits

16 bits aprs corrections radiomtriques

Tableau.I.3 Caractristiques du capteur AVIRIS.

Les avantages :

Le capteur AVIRIS possde un certain nombre davantages par rapport dautres

technologies pour obtenir des informations sur la Terre. Par exemple :

1. La flexibilit de la rsolution spatiale grce au porteur aroport (entre 4m-20m).

2. le nombre et la largeur des canaux spectraux; grce la technologie spcifique du systme

optolectronique.

3. Une rsolution radiomtrique assez leve (12bits).

4. Le systme est calibr.

5. La possibilit de corrections gomtriques par les systmes GPS.


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2. Proprits des images hyperspectrales:

Les caractristiques principales sont bases sur les diffrentes capacits du systme

dimagerie. Il sagit des caractristiques spatiales, spectrales et radiomtriques des images [2].

2.1. Rsolution spatiale :

La caractristique spatiale dune image se dcrit par la rsolution spatiale. Elle a t

dfinie comme le pouvoir de discrimination de deux objets. En dautres termes, elle

correspond la taille du plus petit objet identifiable dans limage. Elle dpend de la taille du

dtecteur.La rsolution spatiale est trs variable en fonction de lapplication de limagerie :

elle peut aller de quelques dizaines de centimtres quelques centaines de mtres.

La rsolution spatiale permet de classer les capteurs en diverses classes telles que ultra

haut (moins dun mtre), trs haut (entre 1 et 4 m), haut (de 4 10m), moyen (de 10 50 m),

bas (de 50 250 m) et trs bas (plus de 250 m).

2.2. Rsolution spectrale :

La rsolution spectrale est dfinie comme la largeur minimal dun canal spectral. Dans

limagerie hyperspectrale, on insiste plutt sur cette caractristique du systme et dimage, ce

qui est lgrement diffrent de la dfinition donne pour limagerie multispectrale ou la

rsolution spectrale peut tre considre comme le nombre de canaux. Pour limagerie

hyperspectrale, la rsolution est donc le nombre de canaux spectraux troits et contigus. Dans

ce cas, la largeur de chaque bande est entre 10 et 14 nm.

Par cette mesure, les capteurs sont classs comme panchromatiques avec une seule bande,

multispectraux avec un nombre de bandes compris entre 2-20, hyperspectraux pour un

nombre de bandes compris entre 20-250 et enfin ultra spectraux avec plus de 250 bandes.

2.3. Rsolution radiomtrique :

Le flux de la radiance qui arrive sur chaque dtecteur, pour une longueur donde

spcifique est une valeur analogique qui dtermine les niveaux de gris de chaque pixel. La

rsolution radiomtrique se mesure en nombre de bits. Lquation suivante dfinit le nombre

du niveau de gris N par rapport au nombre de bits n :


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Par exemple pour un capteur qui a une rsolution radiomtrique de 10 bits, nous avons des

pixels avec des valeurs de gris comprises entre 0 et 1023. Avec cette caractristique qui est

normalement leve dans le cas de limagerie hyperspectrale, il est probable que deuxmatriaux trs similaires apparaissent avec des valeurs lgrement diffrentes.

Avec la rsolution radiomtrique, nous pouvons classer les capteurs en trs haut (plus de

12 bits), haut (entre 8 et 12 bits), moyen (entre 6 et 8 bits) et bas (moins de 6 bits).

2.4. La couverture spectrale :

Il sagit de ltendue du spectre lectromagntique qui est couverte par les capteurs, tels

que lultraviolet, le visible, linfrarouge rflchissant, linfrarouge thermique et lesmicroondes.

Pour lutilisation de limagerie hyperspectrale, nous insistons sur les critres les plus

importants tels que la gamme spectrale couverte par les capteurs, la rsolution spectrale ou le

nombre de bandes spectrales.

2.5. Taille des images hyperspectrales :

Les donnes hyperspectrales sont volumineuses. Observer la mme scne dans environ

200 longueurs donde multiplie logiquement la taille des donnes par 200.Le capteur spatial

AVIRIS acquiert une scne de 512 614 pixels dans chacune des 224 bandes spectrales.

Comme ces donnes sont quantifies sur 12 bits, cela reprsente environ 134.4 Mb pour une

rsolution spatiale de 20 mtres seulement.

Le tableau (I.4) prsente les spcifications typiques pour un capteur hyperspectral.

SpectreRsolution spatiale

Nombre de bandesRsolution spectrale

Quantification

400-2500 nm20 m

20-25010 nm

12 bits

Tableau.I.4 spcificits dun capteur hyperspectral.


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2.6. Le concept du cube de donnes :

Une image hyperspectrale peut tre dcrite comme un cube de donnes trois dimensions,

La face suprieure du cube correspond la scne spatiale, toutes les scnes pour les

diffrentes longueurs dondes sont ensuite empiles pour donner le cube hyperspectral [2] dela manire suivante :

la largeur de ce cube, mesure en pixels, est lie la rsolution spatiale.

la longueur du cube mesure galement en pixels, est lie la rsolution spatiale.

enfin, la profondeur est le nombre de canaux spectraux et reprsente la rsolution spectrale

de limage.

La figure (I.4) montre un cube de donnes hyperspectrales, pour prciser la position des

pixels dans une image hyperspectrale. On notera I(x, y, ) la valeur sur la colonne x, la ligne y

et dans la bande spectrale .

Fig.I.4 Le cube hyperspectral.

Les images hyperspectrales constituent un flot de donnes considrables transmettre.

laborer des mthodes de compression efficaces est un enjeu majeur pour leur stockage et

leur transmission.


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2.7. Des dimensions aux proprits diffrentes :

Le cube hyperspectral est un cube avec des dimensions aux proprits diffrentes (axe

spectral ou spatial), ce qui va introduire des spcificits sur les donnes. Chaque valeur dun

pixel correspondant la luminance pour une longueur donde donne, les proprits de cesvaleurs sont diffrentes selon les directions spectrales et spatiales. Dans les directions

spatiales, la corrlation est forte faible distance et dcroit rapidement quand le dcalage

augmente. Au contraire, la corrlation spectrale est prsente pour tout le spectre. Les

proprits statistiques sont donc diffrentes selon la direction considre.

Le facteur de corrlation entre les diffrentes bandes spectrales peut tre calcul et unematrice de corrlation spectrale peut tre ainsi obtenue. Le coefficient (i, j) de cette matrice de

corrlation reprsente la corrlation entre les bandes i et j. Il est dfini par lquation

suivante :

Le coefficient de corrlation se situe dans lintervalle [1; 1], une valeur de 1 indiquant

une galit entre les deux bandes. Les valeurs tant en fait fortement corrles, il y a rarement

apparition de coefficients ngatifs en pratique.

Du fait de la taille importante des images hyperspectrales, on comprend vite lintrtdune compression efficace de ces donnes, pour ce faire nous allons exploiter les diffrentes

proprits de ces images, notamment la forte corrlation spectrale et la possibilit de disposer

ces donnes sous forme dun cube de donnes et proposer une mthode de compression

adapte et exploitant ces proprits. Dans ce qui suit, nous allons dabord passer en revue les

notions de base de la compression, en suite nous proposerons notre mthode et la mettrons en

uvre dans les chapitres II et III.


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3. Gnralits sur la compression dimage :

3.1. Notion de base de la compression :

Nous dtaillons travers ce paragraphe les ides essentielles des mthodes decompression. Les mthodes de compression varient suivant les types dimages (naturelles,

mdicales, satellitaires, etc.) et les applications vises (internet, stockage, etc.) [3]. De plus,

les exigences en termes de qualit sont diffrentes. Il existe deux principales chanes de

compression :

la chane de compression sans perte (rversible) : les valeurs de limage comprime nesont tributaires daucune modification par rapport aux valeurs de limage originale

(par exemple, pour les applications mdicales : aucune erreur de diagnostic ne peut

tre tolre). Lavantage de ce type de chane est davoir une image reconstruite

identique, mais linconvnient rside dans le faibletaux de compression que lon peut

atteindre. En effet, celui-ci est limit par lentropie de la source.

Les mthodes sans pertes peuvent tre employes directement dans une chane de

compression. Cependant, certaines dentre elles sont bien souvent utilises aprs la phase de

quantification dune chane de compression avec perte, lors de la transmission ou du stockage

des index. Nous pouvons distinguer :

1. les mthodes prdictives : celles-ci exploitent la redondance spatiale qui existe entre la

valeur courante et les valeurs prcdentes ou suivantes ;

2. les codeurs entropiques : ceux-ci tentent de sapprocher le plus possible de lentropie

de la squence de valeurs coder, en affectant un nombre de bits le plus faible

possible aux valeurs les plus probables et vice versa. Le codage de Huffman et le

codage arithmtique sont les principaux codeurs entropiques utiliss dans le domaine

de la compression dimages.


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la chane de compression avec perte (non rversible) : lors de la phase de

quantification, des modifications sont apportes aux valeurs de limage. Lavantage de

ce type dapproche est quil est possible datteindre des taux de compression

importants, mais au dtriment de la qualit de limage reconstruite. Cependant, la

majorit des applications grand public sest oriente vers ce type de compression

(appareil photo numrique, images naturelles, transmission dimages sur les diffrents

rseaux, stockage dimages, etc.). La figure (I.5) montre les principales tapes dune

chane de compression avec perte.

Les mthodes de compression dimages avec pertes constituent la majorit des travaux de

recherche, en particulier lors de ltape de quantification. Nous pouvons distinguer :

1. les mthodes bases sur la Quantification Scalaire (QS) : elles consistent traiter les

valeurs (de pixels ou de coefficients) de manire individuelle. Diffrents types de

Quantification Scalaire existent, et sont encore utiliss, par exemple pour le standard

JPEG2000 ;

2. les mthodes bases sur la Quantification Vectorielle (QV) : elles traitent en mme

temps un groupement de pixels ou de coefficients, appels vecteurs. Elles permettent

thoriquement dtre toujours plus performantes que les mthodes bases sur la

Quantification Scalaire.

Fig.I.5 Les 3 tapes classiques de compression dimages.


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3.2. Les trois tapes classiques en compression:

Les mthodes de compression avec pertes dimages actuelles suivent les 3 tapes

classiques de compression dimages [3]. Elles dbutent pour la plupart par une rorganisation

du contenu de limage, afin de sparer les composantes importantes des composantes

contenant peu dinformations. Cette tche est remplie par une transformation mathmatique.

Cette tape est suivie par la quantification qui dgrade de manire irrversible le signal puis

vient la dernire tape; le codage (sans perte) qui produit un flux binaire.

3.2.1. Premire tape : Transformation des donnes:

Le but de la transforme dans un schma de compression est double. En effet, en plus de

rorganiser linformation, elle doit reprsenter les composantes importantes dun signal avec

le moins dlments possibles : cest ce quon appelle une reprsentation creuse du signal ou,

compacter lnergie.

Le but dune transformation est de projeter un signal sur une base de fonctions dont les

proprits sont adaptes la nature et aux caractristiques du signal que lon dsire analyser.

La projection est gnralement orthogonale. Soit X un signal et Tx le signal projet dans une

base de fonction (fw) w R, on a :

La premire transformation mathmatique employe pour analyser les signaux est la

transforme de Fourier (TF). Celle-ci occupe une place centrale, notamment dans le domaine

du traitement du signal, en raison de luniversalit lie au concept de frquence et de son

optimalit pour traiter les signaux stationnaires. En revanche, elle rend difficile lanalyse des

signaux dits transitoires car les fonctions sur lesquelles seffectuent la projection du signal

sont dfinies sur R. Il existe de nombreuses recherches lies la dtermination de diffrent

type de base de projection. Un des points culminants de ces travaux est la thorie des

ondelettes qui sera prsent dans le chapitre II.


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3.2.2. Deuxime tape : Quantification:

Dans le schma de compression, ltape de quantification est celle qui dgrade de manireirrversible le signal. Elle est cependant dune importance capitale dans la rduction du dbit

binaire. La quantification est une opration qui transforme un signal continu en un signal

discret laide dun ensemble appel dictionnaire. Ce passage du continu au discret peut

seffectuer chantillon par chantillon, dans ce cas on parlera de quantification scalaire (QS),

ou bloc par bloc : cest ce quon appelle la quantification vectorielle (QV).

On dfinit la fonction de quantification Q applique un chantillon ou un bloc

dchantillons de la source X. Le quantificateur Q associe X le plus proche lment du

dictionnaire C. Lobjectif, lorsquon applique Q une reprsentation creuse du signal (cest--

dire aprs transformation du signal), est de diminuer le nombre de bits ncessaires pour coder

le signal.

3.2.3. Troisime tape : Codage:

Il y a deux grandes familles de codeurs sans perte : les codeurs entropiques et les codeurs

par plages. Ils sont utiliss dans une chane de compression sans perte, directement sur

limage de dpart et ils sont galement employs la dernire tape de la chane de

compression avec pertes (Fig.I.5) afin dexploiter les redondances prsentes la sortie du

quantificateur.

Les codes entropiques sont bass sur la gnration de mots dont la longueur dpend de laprobabilit dapparition des symboles de la source quil reprsente : un grand nombre de bits

sera utilis pour coder un symbole peu probable tandis quun symbole redondant sera cod sur

trs peu de bits.

Le codage par plages (ou run-length en anglais) consiste coder la longueur dune srie

dchantillons nuls plutt que de coder chaque chantillon indpendamment.


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Aprs avoir fait le tour de la thorie de la compression dimages nous allons maintenant

voir ce qui se fait en pratique, dans ce qui suit nous allons dcrire brivement les concepts de

base de deux des algorithmes de compression les plus utiliss dans la compression dimages

savoir : Le standard JPEG et son successeur le JPEG 2000.

Ltude de ces deux standard nous permettra de justifier le choix des mthodes et codes

proposs dans notre schma de compression pour images hyperspectrales.

3.3. Compression dimage : du JPEG JPEG 2000 :

JPEG a t tablipar lISO (International Standards Organization) et lIEC (International

Electro-Technical Commission). JPEG a rencontr un gros succs dans les applications de

compression dimages et de transfert dimages. Il utilise une transforme en cosinus discrte

2D (TCD 2D) qui fait passer l'information de l'image du domaine spatial en une

reprsentation identique dans le domaine frquentiel. Ainsi on parvient reprsenter

l'intgralit de l'information de l'image sur trs peu de coefficients. Rcemment, JPEG 2000 a

t propos pour fournir une nouvelle mthode de compression utilisant une transforme en

ondelette discrte 2D (TOD 2D). Cette dernire amliore de manire significative la qualit

de compression obtenue.

3.3.1. JPEG :

En 1992, JPEG tablit le premier standard international de compression dimage ou le

codage et le dcodage sont bass sur la TCD. La TCD transforme un signal dune

reprsentation spatiale une reprsentation frquentielle. Les basses frquences sont plusimportantes dans une image que les hautes frquences de ce fait lors dune TCD, sur une

image beaucoup de coefficients hauts frquences sont limins rduisant ainsi la quantit de

donnes ncessaires la description dune image sans trop sacrifier la qualit de limage.

Une vue simplifi de la compression TCD consiste :

Dcoupage de limage en block de 8x8 pixels.

Application de la TCD 2D sur chaque block de 8x8 pixels.


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limination des coefficients insignifiants pour rduire la taille de limage.

Codage des coefficients par un codage entropique comme le codage de Huffman.

Malgr les diffrents avantages de la compression JPEG qui sont la simplicit, des

performances satisfaisantes, il prsente de nombreuses limitations. Le besoin d'images

compresses de bonnes qualits est en constante augmentation et on a vu que la compression

JPEG, son poque avait fourni des taux records, qui ont permis par exemple le

dveloppement d'internet tel que nous le connaissons actuellement. Cependant, la mthode

TCD par bloc est dsormais un facteur limitant. A partir dune compression ''moyenne'', on

voit apparaitre des artfacts de compression, comme les blocs 8x8. Le successeur du standard

JPEG, prenant en compte ses limitations.

3.3.2. JPEG 2000 :

JPEG 2000 va reprendre certains lments du JPEG comme le prtraitement de l'image,

mais ensuite, la compression va se faire sur l'image entire, et non plus sur des blocs rguliers.

Cela permettra d'avoir une approche plus globale de la compression par l'usage d'ondelettes.On remplace ainsi la TCD (Transforme en Cosinus Discrte) par la TOD (Transforme en

Ondelettes Discrte) [4].

Actuellement, JPEG2000 fournit une compression suprieure d'environ 20% JPEG

pour des faibles taux (peu de dtrioration de l'image originale). Pour des taux de

compression levs, JPEG2000 est trs largement meilleurs.

Le principe de l'algorithme consiste diviser en quatre l'image chaque itration : troisblocs correspondent aux dtails de l'image, et le quatrime correspond aux informations les

plus importantes pour l'il (les basses frquences), qui sert de base pour la prochaine

itration. Pour dcomposer cette image, on utilise donc deux filtres issus du choix

d'ondelette : un filtre passe-haut et un filtre passe-bas.

Seules deux types de transformations s'appuyant sur deux types d'ondelettes ont t choisis

pour le format JPEG2000 :


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la transformation ``CDF 9/7'' pour Cohen-Daubechies-Fauvaue dans le cas d'une

transformation irrversible.

la transformation ``spline 5/3'' de Le Gall, beaucoup plus simple pour permettre une

transformation rversible.

3.3.3. Performance de la TCD et de la TOD :

Les performances de la compression JPEG (utilisant la TCD 2D) et de JPEG 2000

(utilisant la TOD 2D) appliques limage LENA 512x512 cod sur un octet (8 bits) [4]

montre que pour un rapport de compression inferieur 25 :1 la compression JPEG est

meilleure que celle du codeur ondelettes et que partir dun rapport de compression de

30 :1 la compression JPEG se dtriore rapidement pendant que celle avec ondelettes sedgrade linairement jusqu un facteur de 100 :1. La figure suivante montre la qualit de

compression obtenue par JPEG (b) et JPEG 2000 (c) pour limage LENA (a) pour un rapport

de compression de 40 :1.

Fig.I.6 (a) Image LENA ; (b) compression par JPEG ; (c) compression par JPEG 2000.

3.3.4. Discussion :

Le codeur TCD donne de trs bons rsultats pour de faibles taux de compression, pour

des taux levs la qualit de limage se dgrade rapidement alors que le codeur TOD

augmente sensiblement la qualit des images pour ces taux levs de compression.


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4. Dmarche gnrale du schma de compression propos :

Notre schma de compression sinscrit dans le cadre dune approche transforme en

ondelettes (TO), qui est un outil largement utilis en traitement du signal et dimage. Sacapacit compacter lnergie sur un petit nombre de coefficients permet un codage efficace

de limage. Elle correspond la premire tape de la chane de compression classique et elle

est couramment utilise dans le cas des images 2D par application de filtres sparables dans

les deux directions (axe x et y). La forte corrlation "frquentielle" en imagerie

hyperspectrale, nous a conduit tendre cette transforme la troisime dimension (axe z)

pour dcorrler les trois dimensions (x, y et z).Cette transforme qui se nomme transforme

en ondelettes 3D (TO 3D), est maintenant admise comme rfrence en compression dimagesvolumiques [5].

Le premier objectif de ce mmoire est de prsenter les ondelettes, de dvelopper une

transforme en ondelettes [6] [7]et de faire lextension 3D de cette transforme ainsi que

son implmentation sous Matlab. Pour la compression d'images, la transforme reprsente le

premier maillon de la chane, afin de comprimer l'information, nous allons complter le cycle

par une quantification et un codage.

Le second objectif de ce mmoire est de prsenter les diffrentes faons de coder les

coefficients dondelettes. Les schmas de codage proposs ici, utilisent un modle simple

pour caractriser les dpendances parmi les coefficients dondelettes localises dans les

sous-bandes ayant la mme orientation. Les modles sont bass sur lhypothse des arbres de

zros [8] [9] [10], ces mthodes appliquent une quantification par approximation successive

pour amliorer la prcision de la reprsentation des coefficients dondelettes. Nous choisirons

en suite de faire lextension 3D et limplmentation de la variante la plus populaire de ce type

de codage qui est le SPIHT (Set Partitionning in Hierarehical Tree).

SPIHT [9]produit directement des symboles binaires. Ainsi, un codeur entropique nest

pas obligatoire mme sil est souvent implant. Limplmentation dun codeur entropique

namliore pas les rsultats de manire significative, nous avons donc dcid de ne pas

limplmenter afin de ne pas augmenter la complexit de lalgorithme labor.

La figure (I.7) prsente notre schma de compression/dcompression dvelopp pour les

images hyperspectrales 3D.


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Fig.I.7 Notre schma de compression pour imageshyperspectrales.


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Comme on vient de le voir, notre schma se compose de deux tapes : une transformation

(TOD 3D) et un codage (SPIHT 3D). Nous allons dcrire brivement chacun deux dans ce

qui suit :

4.1. Premier tape : Transformation TOD 3D :

Nous proposons de dvelopper une transforme en ondelettes 3D base sur

lalgorithme de Mallat[6], qui consiste en une dcomposition pyramidale et rversible

dune image en un jeu de huit sous-images. La dcomposition sappuie sur les filtres

passe-haut et passe-bas discrets dduits de londelette et de la fonction chelle associe.

Notons aussi que nous allons dfinir un large choix de filtres utilisables, tel que les filtres

de daubechies, les symlettes et dautres filtres qui peuvent tre utiliss par la transformation

dveloppe. Cependant lutilisation du filtre CDF 9/7 pour la transformation en x et y dans le

JPEG2000 a montr ses performances. Dautres auteurs ont test les performances de

compression en appliquant des filtres diffrents dans la direction z, leur tude montre que le

filtre CDF 9/7 est bien adapt quand la distance inter-canal est faible, ce qui est le cas dans les

images hyperspectrales (bandes contiges), alors que le filtre de Haar est mieux indiqu pour

une distance inter-canal plus importante. Pour ces raisons nous avons donc choisi dutiliser

le filtre CDF 9/7 pour tester les performances de notre algorithme.

De plus cette opration peut tre applique autant de fois que le nombre de

dcompositions souhaites. Dans la transforme dyadique, chaque nouvelle dcomposition

est obtenue partir dune nouvelle transforme en ondelettes 3D sur la sous-bande basse-

frquence LLL. La figure suivante illustre les blocs de donnes 3D obtenus par une

transforme dyadique sur 2 niveaux.

Fig.I.8 Blocs de donnes 3D obtenus

par une transforme sur 2 niveaux.


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4.2. Deuxime tape : Codage SPIHT 3D :

La deuxime tape consiste convertir limage transforme en une srie de symboles

favorables un encodage de plus faible volume. Plusieurs techniques de conversion

existent. L'un des algorithmes les plus performants dans ce domaine est le SPIHT [9], ilexploite la structure pyramidale des coefficients ondelettes obtenus par la TO o il existe

dimportantes corrlations entre les diffrentes chelles. Nous avons donc choisi de

dvelopper une version 3D du SPIHT afin dexploiter les dpendances inter- chelles dans

trois dimensions au lieu de deux. Pour cela le SPIHT 3D utilise des arbres

tridimensionnels. On isole ainsi des zones vastes de coefficients non significatifs, cest ce

qui permet datteindre de bonnes performances de compression.

Fig.I.9 Arbres de zros du

SPIHT 3D.

Le codage SPIHT assigne un code binaire chaque symbole et gnre un flux

binaire la sortie de notre chaine de compression.


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Transform e en OndelettesCHAPITRE 2

Chapitre

2

G n ralit s sur les ondelettes.

Transform e en ondelettes discr te.

Lalgorithme de la TOD 3D sous MATLAB.


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C h a p . I I T r a n s f o r m e e n o n d e l e t t e s P a g e |29

1. Gnralits sur les ondelettes :

1.1. Pourquoi les ondelettes ?

Que sont les ondelettes ? Lorigine du mot ondelette nest, en soi, pas trs compliqu. Les

ondelettes utilises par Jean Morlet avaient, en effet, une allure de petites ondes . Do cetteappellation. Vers 1975, ce gophysicien, a cr des petites fonctions mathmatiques ayant

certaines proprits intressantes ; ceci afin de sonder les diffrentes couches gologiques.

Morlet est donc un des artisans majeurs des ondelettes. Cependant, dautres chercheurs

travaillant dans des domaines de recherches diffrents, utilisaient cette poque des outils

forts semblables aux petites ondes de Morlet. Seulement, ces mthodes taient souvent

exprimentales et ne possdaient aucun formalisme rigoureux.

Ce formalisme mergera durant les annes 80 des travaux de scientifiques tels que ceuxdYves Meyer, de Stphane Mallat, dIngrid Daubechies et de bien dautres [11] [12]. Les

ondelettes sont, avant tout, un puissant outil danalyse mathmatique, mais avant de parler

danalyse en ondelettes commenant par parler de lanalyse de Fourier.

Lanalyse de Fourier est un outil de base en traitement du signal, indispensable dans de

nombreux domaines de recherche, mais elle montre vite des limites justifies ds lors que lon

sort du cadre rigoureux de sa dfinition : le domaine des signaux stationnaires dnergie finie.Dans lanalyse de Fourier tous lesaspects temporels (dbut, fin, dure dun vnement), bien

que prsents dans la phase, deviennent illisibles dans le spectre. En particulier, la transforme

de Fourier (TF) dun morceau de musique qui ne permet pas de retrouver le rythme jou, mais

simplement les notes prsentes. Le spectre seul ne permet pas de dissocier deux partitions

diffrentes ayant les mmes notes. Or, on souhaiterait pourtant parfois raliser la fois une

analyse en temps et en frquence, pour retrouver la porte musicale associe ces signaux

non stationnaires.

Ltude des signaux non stationnaires ncessite donc le dveloppement de mthodes

spcifiques. La premire solution, mise en place intuitivement au milieu du sicle, correspond

aux analyses de Fourier fentre glissante (FFG) introduites ds 1945 par D. Gabor avec

lide dun plan temps-frquence o le temps deviendrait un paramtre complmentaire de la

frquence. ces approches, sest ajoute la transforme en ondelettes, existant ltat latent

aussi bien en mathmatiques quen traitement du signal, mais dont le vritable essor a

commenc au dbut des annes 1980.


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Dans ce chapitre nous allons exposer quelques notions de base sur la transforme en

ondelettes mais avant, nous allons commencer par des rappels sur la transforme de Fourier,

puis la transforme de Fourier fentre glissante montrant leurs limites sur des exemples

classiques (signaux musicaux) et nous introduirons ainsi le concept de lanalyse multi-

rsolution comme outil de construction des ondelettes.

1.1.1. La transforme de Fourier :

Cest une gnralisation de la dcomposition des sries de Fourier tous les signaux

dterministes. Elle permet dobtenir une reprsentation en frquence (reprsentation spectrale)

de ces signaux. Elle exprime la rpartition frquentielle de lamplitude, de la phase et de

lnergie (ou de la puissance) des signaux considrs.

Dfinition :

Soit , un signal dterministe. Sa transforme de Fourier est une fonction, gnralementcomplexe, de la variable et qui est dfinie par :

Du point de vue mathmatique, un signal est une fonction , reprsentant une

information dorigine varie (acoustique, optique, ...etc.). Lanalyse de ce signal consiste

mettre en vidence certains phnomnes (transitoires, priodiques, ...etc.) qui le composent :

Dans le cas de lanalyse par transforme de Fourier, les fonctions analysantes sont les ondes

pures

) de frquence . Projeter le signal sur ces fonctions (analyse spectrale) renseignesur son caractre frquentiel.La transforme de Fourier peut tre vue comme une reprsentation base des sinusodes

qui sont bien localises en frquences, mais pas en temps (ou espace) car leur support est

infini (cest une consquence de leur priodicit). Donc les inconvnients de lanalyse par la

transforme de Fourier proviennent du fait que les fonctions analysantes sont support de

longueur infinie, ce qui ne correspond pas un signal physique qui est support temporel fini.


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On peut rsumer la limite majeur de la transforme de Fourier dans le point suivant :

Perte de localisation temporelle : Considrant un signal compos dune succession de deux

sinusodes de frquences diffrentes, la premire tant une sinusode dune frquence de 20Hz

et la deuxime de 85Hz ; (cest lexemple dun signal musical compos de deux notes joues

une aprs lautre). La transforme de Fourier indique les frquences, mais ne donne aucune

information concernant lordre dapparition des sinusodes, (voir Fig.II.1).

Fig.II.1Signal de deux sinusodes et module de sa transforme de Fourier.

Lanalyse en frquence ne nous informe pas sur la localisation temporelle du changement

du rgime dans le signal.

1.1.2. Transforme de Fourier fentre glissante :

Pour rpondre au problme de localisation de la transforme de Fourier, D. Gabor a

introduit vers les annes 40 lapproche de la transforme de Fourier fentre glissante, il

sagit de dcouper le signal en petits morceaux et de calculer ensuite leurs transforme de

Fourier. Dans la pratique cette mthode consiste multiplier le signal par une fonction(fentre) localise dans le temps ou lespace ( support compact ou dcroissance rapide)

; ainsi la transforme de Fourier fentre glissante est dfinie par :


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renseigne sur la nature frquentielle du signal S au voisinage du point .Les fentres sont appeles les atomes de Gabor. Elles sont

construites en translatant une fentre de base g en temps et en frquences. Lanalyse par cettetransforme permet de retrouver la fois les frquences (les notes) et linformation temporelle

(lordre dans lequel elles sontjoues).

1.1.2.1. Limites de la TF fentre glissante :

Considrons par exemple le signal S2 = S1 +0.6 + 0.7. Ce signal est dfini par deux

phnomnes diffrents : Deux sinusodes successives (dfini prcdemment) et deux pics de

Dirac qui reprsentent des dfauts locaux denregistrement (perturbations).Lanalyse par transforme de Fourier fentre glissante ne permet pas de mettre en

vidence simultanment les deux phnomnes et ceci est d la taille de la fentre qui est

fixe, ce qui implique quon aura une rsolution temporel et frquentiel fixe.

1.1.2.2. Principe dincertitude de Heisenberg :

Il joue un rle important dans la thorie du traitement du signal car il donne une limite la

prcision de la localisation des diffrentes reprsentations dun signal. Ainsi le principe nousdit que lnergie dun signal et celle de sa transforme de Fourier ne peuvent tre localises

avec une prcision arbitraire la fois en temps et en frquence.

Thorme d'incertitude de Heisenberg.

Si est dans L2, alors on peut dfinir son cart-type en temps et l'cart-type (enfrquence) de sa transforme de Fourier

. Alors on a:

On est donc contraint un compromis entre rsolution temporelle et frquentielle.

Autrement dit, il est impossible de trouver en pratique une fentre g qui soit bien localise

la fois en temps et en frquence. Ceci est justifipar le principe dincertitude dHeisenberg,

qui interdit un signal donn davoir une localisation arbitraire prcise en temps et en

frquence.


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La localisation dans le plan temps-frquence de la transformation peut tre estime par les

variances de la fonction analysantedans lespace temporel et dans lespace frquentiel, elle

est reprsente sous forme d'une bote de Heisenberg.

Fig.II.2Bote dHeisenberg

Dans notre cas o on analyse un signal par une fentre, on peut estimer la rsolution

temporelle et frquentielle comme ceci :

Soit les fonctions (fentres) que lon utilise pour analyser le signal dans le plan tempsfrquences; ces fentres sont appeles des atomes de Gabor :

Lnergie de

est localise au voisinage de sur une largeur propre la fonction g et

qui est donn par .De mme pour valuer la translation en frquences, on peut prendre la transforme de Fourierde comme suite :

Lnergie de est donc localise au voisinage de la frquence sur un intervalle delargeur

.


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Fig.II.3Atome fixe de la Transforme de Fourier fentre.

On voit bien que dans le cas o on analyse un signal par une fentre que lon dplacerait

le long de laxe du temps, on a une consquence immdiate qui est alors une rsolution fixe

en temps et en frquences, en dautres termes, la largeur de la fentre en temps

et en

frquence seraient fixes et bornes infrieurement par lquation Heisenberg.La meilleure localisation possible sera obtenue quand la surface des rectangles sera

minimum, cest dire quand on aura lgalit dans lquation. On peut montrer

qualors g est ncessairement une gaussienne et les atomes sont alors appelsfonctions de Gabor.

1.1.2.3. Discussion :

La taille constante de la fentre, fixe la largeur de bande du filtre dans lespace des

frquences et par consquence la rsolution frquentielle de lanalyse. Le principe

dincertitude impose ensuite leur prcision temporelle. Quels que soient les frquences aux

instants scruts, la prcision de notre outil demeure constante, les basses et hautes frquences

sont vues de la mme manire.


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1.1.3. Les ondelettes :

La transforme en ondelettes, est comme celle de Fourier, un passage dune reprsentation

une autre ; mais comme la transforme fentres, elle permet aussi de mesurer les variations

dans le temps des composantes frquentielles (spectrales) dun signal. Nanmoins, larsolution temps-frquence de la transforme en ondelettes est diffrente. En effet, dans la

transforme de Fourier fentre, la largeur en temps et en frquences des atomes avec

lesquels on analyse le signal est fixe et dpend de latome utilis.

Lide de londelette est de pouvoir faire varier les largeurs en temps et en frquences

dune fonction tout en la translatant le long du signal, comme dans la transforme de Fourier

fentre. La transforme en ondelette dune fonction f en un point (t,) du plan temps-

frquences ne dpend donc que des valeurs de

et

dans le rectangle de Heisenberg

centr en (t,). Lavantage de faire varier ces largeurs devient alors vident : on minimise le

nombre de translations en temps et en frquences de la fentre en optimisant la largeur de

celle-ci. Ainsi dans les basses frquences, une grande largeur en frquences nest pas

ncessaire, on peut donc utiliser des rectangles plus larges en temps. Aux hautes frquences,

on va utiliser des rectangles plus larges en frquences et plus localises en temps. On peut voir

cela comme une adaptation de londelette lchelle quon lui impose : plus la fentre est

petite dans le temps, plus londelette va tre compresse et osciller rapidement. Le contraire

se produira lorsque la fentre est dilate. Ainsi, les petites et grandes fentres enregistreront

respectivement les variations rapides et moyennes du signal.

1.1.3.1. La transforme en ondelettes :

Une ondelette mre est une fonction de base, que lon va translater et dilater pourrecouvrir le plan temps-frquences et analyser le signal [12]. Londelette doit tre une

fonction de moyenne nulle ; En dautres termes,

doit tre une onde ! Ce qui scrit

mathmatiquement par :

On introduit alors les facteurs de translation et dchelle s :


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OU :

Le paramtre est un paramtre de position de londelette.

Le paramtre s est un paramtre dchelle qui nest pas proportionnel la frquence mais

son inverse :

Si (grand) londelette sera plus tale et correspondra une frquence plusfaible, la rsolution devient alors bonne en frquence et mauvaise en temps.

Quand (petit), londelette sera plus contracte et correspondra une frquenceplus leve que celle de londelette mre. (VoirFig.II.4).

Fig.II.4Ondelettes pour plusieurs facteurs dchelle et leur transforme de Fourier.

On se dplace sur le plan temps-frquence en faisant varier s et u . La valeur que lon

obtient est alors la dcomposition spectrale locale de Lnergie de est concentreautour de u sur une largeur ou est la largeur du rectangle de londelette mre. Poursa transforme de Fourier son nergie est concentre autour dune frquence centrale net son intervalle est dune largeur de

.


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En conclusion, les rectangles de Heisenberg sont pour lanalyse en ondelette, de largeur

temporelle et de largeur frquentielle . Ou et correspondent auxlargeurs du rectangle de Heisenberg de londelette mre.

Fig.II.5 Atome de la Transforme en ondelettes.

La rsolution en frquence de la transforme en ondelettes dpend du facteur de dilatation

s. Par le principe dHeisenberg, on peut donc choisir arbitrairement celle-ci suivant ce que

lon dsire analyser.

1.1.3.2. Discussion :Pour lanalyse de Fourier, est fix lchantillonnage, est gal la dure du

signal (aucune localisation temporelle). Quant lanalyse de Gabor, les valeurs de et sont constantes, imposes par la taille de la fentre et pour les ondelettes, ces valeurs

voluent suivant les frquences en gardant une nergie constante. La surface * estlimite par le principe dincertitude.


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Apres avoir introduit l'ide qui a conduit la transforme en ondelettes, nous allons

prsenter ce qu'est une ondelette ainsi que ses principales proprits. La transforme elle-

mme et ses proprits seront prsentes dans la prochaine section.

1.2. Ondelette analysante:

Nous avons vu en introduction qu'une ondelette doit tre une fonction localise aussi bien

en temps qu'en frquence. Ceci se traduit dans le domaine frquentiel par la condition

d'admissibilit suivante :

1.2.1. Dfinition 1 :Une fonction (R) (R) est une ondelette si elle vrifie la condition

dadmissibilit :

= On dit que est admissible ou est une ondelette analysante.1.2.2. Dfinition 2 :

Une ondelette est dite de classe , m N si elle satisfait les proprits suivantes :(a) si m 0, (R) avec , ainsi que toutes ses drives jusqu lordre mappartiennent (R).(b) , ainsi que toutes ses drives, jusqu lordre m, sont dcroissance rapide linfini.(c) pour 0 k m.

Les conditions (a), (b) et (c) expriment respectivement la rgularit, la localisation et

le caractre oscillant de londelette. Aussi impose-t-on souvent des contraintes

supplmentaires de rgularit, de dcroissance rapide ou de compacit suivant le besoin.

La condition dadmissibilit est relativement souple, un assez grand nombre de

fonctions peuvent convenir et la proprit suivante simplifie normment cette condition

dans certains cas :


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1.2.3. Dfinition 3:

Soit (R) :1- Si

est admissible, alors

=

.

2- Si , (R) et si la drive de est borne, alors est admissible.On considre la famille , R obtenue par translation et dilatation de

londelette analysante et on dfinit par :

-Le facteur est un facteur de normalisation qui assure que a une norme gale 1.-La fonction est appele ondelette mre et les sont les ondelettes.

On peut classer les transformes en ondelettes selon la famille laquelle appartiennent les

fonctions analysantes choisies. Les transformes obtenues sont suivant les cas discrtes ou

continues, redondantes ou non.

1.3. Transforme en ondelettes continue:

La transforme en ondelettes d'une fonction est une reprsentation de cette fonction sur la

base d'ondelettes dfinie prcdemment. Ainsi, de mme que la TF continue qui est une

dcomposition atomique d'atomes , la TO continue (ou TOC) est une dcompositiond'atomes comme l'exprime la dfinition suivante :

Les transformes continues sont obtenues en prenant le facteur dchelle s et le pas de

translation dans lensemble des nombres rels.

On peut interprter cette expression comme une projection du signal sur la famille de

fonctions analysantes construite partir dune fonction mre. reprsentedonc la corrlation (produit scalaire) de

avec

et qui est appel coefficient

dondelettes.


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Le facteur dchelle s et le pas de translation sont des rels et la transformation en

ondelettes est continue et donc redondante. Le plan temps frquence est sur-analys.

Il est donc vident quune discrtisation de la transforme doit tre envisage si on

souhaite obtenir une transformation non redondante. Le pavage temps-frquence obtenu par la

transformation en ondelettes (voir Fig.II.5) suggre une mthode de discrtisation

exponentielle pour les chelles et pour le temps. On posera donc : Lexpression de la transforme en ondelettes discrte est donne par :

Dans le cas o on choisit = 2 et = 1, alors on parle de transforme dyadique.

Lapproche discrte a le mrite de traiter le problme de lchantillonnage de lespace

temps-frquence avec rigueur et elle fournit une mesure de lventuelle redondance de la

transformation obtenue. De plus, dans ce cas, les algorithmes de calcul conduisent souvent

des rsultats exacts sur des intervalles donns de lespace temps-frquence. Nous tudierons

plus en dtail le cas des transformes discrtes qui sont dailleurs pratiquement les seulesutilises en traitement dimages.

Parmi les transformes discrtes on distingue les transformes redondantes, dont les trames

dondelettes et les transformes non redondantes parmi les plus utilises, il y a les bases

orthogonales et biorthogonales. Les paquets dondelettes peuvent appartenir suivant le cas

lune ou lautre famille.

Pour rsumer, on peut donner le classement sommaire suivant des diffrents types

dondelettes[12] :

Transformes redondantes : Transformes non redondantes :

Transforme continue, Analyse multirsolution : base orthonorme,

Trame dondelettes, Analyse multirsolution : base biorthogonale,

Paquet dondelettes. Paquet dondelettes.


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2. Transforme en ondelettes discrte :

2.1. Dveloppement de lalgorithme de la Transforme en Ondelettes Discrtes :

On a vu que la transforme de Fourier permet dextraire la composante spectrale dunsignal continu mais elle est incapable didentifier la dpendance temps-frquence du signal.

La transforme de Fourier fentre glissante a t dveloppe pour extraire la composante

spectrale dun signal dans un certain intervalle de temps dtermin par une fentre; Cependant

elle est limite dans la gamme de frquence quelle peut analyser en raison de la taille fixe des

fentres utilises. La fentre doit tre variable avec la frquence, de tel sorte quelle puisse

zoomer en avant pour mesurer les hautes frquences et zoomer en arrire pour mesurer les

basses frquences.

Cest dans cette optique qua t dvelopp la transforme en ondelettes ainsi que les

fonctions ondelettes gnres par dilatation et translation dune fonction unique (ondelette

mre) [6] [7] selon lquation suivante :

Le dveloppement de ces fonctions sert de base de fonctions pour la transforme en

ondelettes continue (TOC) donne par :

Afin de dvelopper la transforme en ondelette discrte (TOD), les fonctions ondelettes

doivent tre discrtises; les fonctions ondelettes de lquation (11) seront modifies avec les

relations suivantes :

Les valeurs de et sont fixes arbitrairement 2 et 1 ; dans ce cas on parle de

transforme dyadique. i.e.: Les fonctions ondelettes de lquation (11) deviennent :

( )


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La transforme en ondelettes discrte est alors donne par :

( ) Lanalyse multirsolution se base sur la capacit reconstruire en partie et non au

complet. Quand est reprsente dans diffrentes rsolutions, le signal reconstruit contientdiffrentes bandes de frquences du signal original . La reprsentation basse rsolutionde est construite avec la fonction chelle . Cette reprsentation de contient toutle spectre de frquences allant jusqu une certaine frquence de coupure, ce qui est similaire

un filtrage passe bas de .Un espace vectoriel basse rsolution est cr pour contenir toutes lesfonctions avec la rsolution j, . Plus j augmente, plus lespace vectoriel basse rsolutioncontient plus de dtails. En dautre mots plus j augmente plus contient des fonctions dont

la composante spectrale est de frquence leve.

En consquence, des sous-espaces concentriques se forment avec le sous espace contenant tous les sous-espaces de telle sorte que

i.e.: Egalement, ont la proprit que pour chaque fonction , une version contracte

est contenue dans le sous espace

Une fonction chelle unique est cre, ces translations ,forment la base orthonorme pour , en consquence la base orthonorme pour est : ( )

Que soit un oprateur dans , qui cre une projection orthonorme de sur le sous espace :


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Ou : Cette projection est similaire la projection dun vecteur 3 dimensions sur un plan 2

dimensions ; le vecteur 2 dimensions rsultant de la projection devient la reprsentation la

plus proche du vecteur 3 dimensions. De mme est la plus proche reprsentation de dans les sous espaces .Que soit un oprateur surqui donne le produit scalaire discret de lquation (20)

Le produit de convolution est dfini par :

() Lquation (22) peut tre crite comme :

( ) () ()

peut tre vu comme une convolution de avec chantillonneuniformment intervalles de . Plus la fonction chelle devient contracte, ce quicorrespond aux hautes frquences, plus le taux dchantillonnage dcroit.

Lquation (25) reprsente la discrtisation du filtrage passe bas de

qui correspond

une approximation discrte de .La premire discrtisation de lapproximation de qui contient la plus part des

informations est donne par (i.e. rsolution 0) pour des buts de normalisation. Lesrsolutions suprieures de la version discrte de c..d. ( , , )contient plus dinformation de .

On peut passer dune fonction haute rsolution une fonction basse rsolution puisque

est un membre des fonctions de .


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En consquence, on peut construire avec la base orthonormale de :

Le produit scalaire de (55) peut tre crit comme ceci :

On faisant le changement de variable suivant : dans lquationprcdente, on obtient :

= =

On multiplie en suite aux deux extrmits de lquation (27), on obtient :

On dfinit la rponse impulsionnelle dun filtre discret :

Et est le filtre miroir dont la rponse impulsionnelle ; Lquation (30)devient :


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Lapproximation discrte la rsolution peut tre calcule partir delapproximation discrte de haute rsolution suivante en faisant la convolution parun filtre miroir

. Le filtre

est lunique caractristique de la fonction chelle.

, dfinit la diffrence entre deux espaces vectoriels basse rsolution , en dautretermes, lunion de et donne . Lespace a la proprit intressante dtreorthogonale c..d. . Comme consquence de cette orthogonalit, toute fonction depeut tre crite uniquement comme somme dune fonction de et dune fonction de .

Lespace contient les fonctions de basse rsolution et contient les fonctions de lagamme voisine. Les fonctions chelles sont utilises pour construire une base orthogonale de et les fonctions ondelettes sont utilises pour construire une base orthogonale de .

c..d.:

Les fonctions ondelettes et les fonctions chelles sont de prs lies, tel que des relations

restrictives peuv

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