Compilation de Règles de réécriture et de Stratégies non-déterministes

Compilation de Règles de réécriture et de

Stratégies non-déterministes

Pierre-Etienne Moreau

Directeur de thèse : Hélène Kirchner

2

Contexte général

• Preuve automatique de propriétés et de théorèmes– développer des techniques de preuve– prototyper des outils de preuve

• Règle de réécriture– objet sur lequel il est possible de raisonner– moyen d’exprimer les algorithmes et les

procédures de preuve

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Contexte international

• De nombreux travaux : CiME, daTac, Larch Prover, Otter,

ReDuX, Reve, RRL, Spike, ML, Caml, Clean, ... • principaux langages : terme + règle

1975 CompilateurEquational Interpreter (Chicago)

1977

1999

Interpréteur OBJ (Menlo Park)

1980 Interpréteur ASF+SDF (Amsterdam)

1985 Compilateur ELANInterpréteur ELAN (Nancy)

Interpréteur Maude

CafeOBJ Compilateur Brute

Compilateur ASF+SDF

(Ishikawa)

+ stratégie

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Plan

• ELAN : Réécriture + Stratégie

• Objectifs et difficultés

• Apports

• Situation actuelle et perspectives

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ELANMécanisme de base : réécriture

• Règle non nommée :[] fact(1) 1

• Règle conditionnelle :[] fact(n) n*fact(n-1) if n 1

Calcul

fact(3) 3*fact(2) 3*2*fact(1) 3*2*1 3*2 6

6

Problèmes liés à la réécriture

• 2 règles de réécriture :[] [x,y] x

[] [x,y] [x+1,y]

[1,2]

1 [2,2]

2 [3,2]

3 ...

Non-confluence

Non-terminaison

7

Stratégie

• Règle nommée :[R1] [x,y] x

[R2] [x,y] [x+1,y]

• Stratégie :repeat(dc one(R1,R2))

repeat(first one(R1,R2))

repeat(dk(R1,R2))

[1,2]

1 [2,2]

2 [3,2]

3 ...

gestion de la non confluence

Gestion de la non confluence

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StratégieGestion de la non terminaison

• Ajout d’une condition :[R1] [x,y] x

[R2] [x,y] [x+1,y] if x y [1,2]

1 [2,2]

2

• Ajout d’une règle :[R1] [x,y] x

[R2] [x,y] [x+1,y]

[check] [x,y] [x,y] if x y

• Stratégie : repeat(dk(R1, check ; R2))

9

Associatif-CommutatifGrande expressivité

• Associativité : x (y z) = (x y) z

• Commutativité : x y = y x[extract] x E x

dk(extract)

1 2 3 4

1 42 3

10

Associatif-CommutatifSource de non-déterminisme

Règle : [extract] x E x

Sujet : 1 2 3 4

Objectif : extraire un élément pair

Règle : [check] x x if Pair(x)

Stratégie : dk(extract) ; dc one(check)

1 2 3 4

3 échec

2 2

11

AC + StratégieDouble non-déterminisme

• Une règle nommée est appliquée à la racine

• Mécanisme d’évaluation locale[relation] x E y

if Pair(x)

where y:=(dk(extract)) E

if Relation(x,y)

12

Plan



• Apports


13

Objectifs

• Poursuivre l’étude du formalisme

• Etudier les algorithmes de compilation– compilation de la réécriture– compilation du filtrage AC– compilation des stratégies

• Rendre ces méthodes utilisables en pratique– concevoir un outil fiable et efficace

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Difficultés

• Gérer le double non-déterminismeproposer un mécanisme uniforme

• Gérer les interactions et intégrer les solutionsconception globale

de stratégies non-déterministes

de symboles associatifs et commutatifs

• Compiler la réécriture

En présence :

15

Plan



• Apports


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Compilation dufiltrage syntaxique

• Sélection efficace d’une règle : – analyse de l’ensemble des règles– pré-construction d’automates de

filtrage– génération d’un programme C

• Travaux largement étudiés :– Hoffmann et O’Donnell (1982),

Gräf (1991), Sekar et al. (1992), Graf (1996), Nedjah et al. (1997)

Apports

Gestion du non-déterminisme

Filtrage syntaxique

Compilation du filtrage AC

Analyse du déterminisme

Compilation des stratégies

Implantation

Définition d’unformat d’échange

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Automate de filtrage

Analyse des 3 règles

f(a,g(a)) a

f(g(b),g(b)) c

f(x,g(c)) b

f

*

g

b

g

b

g

a

g

a

c

Sujet : f(g(a),g(c))Sujet : f(g(a),g(c))Sujet : f(g(a),g(c))Sujet : f(g(a),g(c))Sujet : f(g(a),g(c))Sujet : f(g(a),g(c))Sujet : f(g(a),g(c))

Automate de filtragenon-déterministe

Non-déterministe :• pour sélectionner un motif• pour trouver tous les motifs

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Automate de filtragedéterministe


f(a,g(a)) a

f(g(b),g(b)) c

f(x,g(c)) b

f

*

g

b

g

b

g

a

g

a

c

c

c

g

c

*

Sujet : f(g(a),g(c))

Gräf (1991)Nedjah (1997)

19

Automate de filtragedéterministe avec jumpNode


f(a,g(a)) a

f(g(b),g(b)) c

f(x,g(c)) b

Sujet : f(g(a),g(c))

f

*

g

b

g

b

g

a

g

a

c

c

c

g

c

**

• construction incrémentale

• taille réduite

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Compilation dufiltrage AC

• Problème connu :– Hullot (1980)– Benanav et al. (1987)– Kounalis et al. (1991) – Bachmair et al. (1993) – Lugiez et al. (1994)– Eker (1995)

• Prise en compte de l’aspect normalisation

Apports


Filtrage syntaxique




Implantation


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• Forme canonique ordonnée :b+(a+(b+c)) = (b+a)+(b+c) = +(a,b2,c)

• 1 sujet : +(f(a,a), f(a,g(b)), f(g(c),g(b)), g(a))

• 2 règles :– +(z, f(a,x), g(a)) r1

– +(f(a,x), f(y,g(b))) r2

Problème à résoudre

• Trouver une solution au problème de filtrage AC

• Forme canonique ordonnée :b+(a+(b+c)) = (b+a)+(b+c) = +(a,b2,c)

• 1 sujet : +(f(a,a), f(a,g(b)), f(g(c),g(b)), g(a))

• 2 règles :– +(z, f(a,x), g(a)) r1

– +(f(a,x), f(y,g(b))) r2

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Exemple (one-to-one)

sélection d’une règle : +(z, f(a,x), g(a)) r1

construction d’un BG :

Sujet : +(f(a,a), f(a,g(b)), f(g(c),g(b)), g(a))

résolution du BG :

calcul d’une autre solution :

x=a et z=+(f(a,g(b)), f(g(c),g(b)))

x=g(b) etz=+(f(a,a), f(g(c),g(b)))

sélection d’une autre règle : tout est à refaire !

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Analyse de la situation

Problème

• La construction des BG coûte cher– appel récursif du filtrage AC one-to-one– allocation dynamique de mémoire

+(f(x), *(g(y), h(z))) r(x,y,z)

+(f(a), f(b), g(c), *(g(a), h(b)), *(g(b), h(c)))

*(g(y), h(z))

*(g(a), h(b))*(g(y), h(z))

*(g(b), h(c))

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3 idées principales

• Accélérer les cas fréquents en pratique– définition d’une classe de motifs

• Réduire le coût de construction des BG– utiliser des automates de filtrage syntaxique– définir une structure de BG compacte

• Intégrer filtrage et normalisation– prendre en compte les contraintes externes au

filtrage AC

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Classe de motifs

• C0 : termes linéaires

– exemple : a, x, f(x,y), …

• C1 : 1 niveau de symbole AC (semi-linéaire)

– 2 variables directement sous le symbole AC– exemple : [+(z, y3, f(a,x), g(a)) , *(g(t), b)]

• C2 : 2 niveaux de symboles AC

– exemple : *(x, +(y, z2))

• Suffisant en pratique

• Filtrage syntaxique des sous-termes

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Approche many-to-one

+(z, f(a,x), g(a)) r1

+(f(a,x), f(y,g(b))) r2

construction du CBG avec un automate

+(f(a,a), f(a,g(b)), f(g(c),g(b)), g(a))

sélection d’une règle : extraction d’un BG

calcul d’une solution

+( f(a,x), f(y,g(b)), g(a) )

+(f(a,a), f(a,g(b)), f(g(c),g(b)), g(a))

+( f(a,x), f(y,g(b)), g(a) )

regroupement des sous termes

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Approche many-to-one

+(z, f(a,x), g(a)) r1

+(f(a,x), f(y,g(b))) r2

construction du CBG avec un automate

+(f(a,a), f(a,g(b)), f(g(c),g(b)), g(a))

sélection d’une règle : extraction d’un BG

calcul d’une solution

sélection d’une autre règle :

+( f(a,x), f(y,g(b)) , g(a) )

+(f(a,a), f(a,g(b)), f(g(c),g(b)), g(a))

+( f(a,x), f(y,g(b)), g(a) )

extraction d’un autre BG

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Normalisation AC

• Sélection d’une règle : filtrage AC

• Calcul d’une substitution

• Construction et normalisation des instances– gestion de la mémoire et du partage

• Traitement des évaluation locales– stratégies et problèmes de filtrage imbriqués– gestion des retours arrières

• Maintien en forme canonique ordonnée

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Résultats expérimentaux

• Bool3 : peu de règles mais des gros termesx + 0 x x * 0 0

x + x + x 0 x * x * x x

(x + y) * z (x*y) + (y*z) x * 1 x

and(x,y) (x*x*y*y) + (2*x*x*y) +

(2*x*y*y) + (2*x*y)

or(x,y) …

not(x) (2*x) + 1

30


Requête : and(a1,…,a6) = not(or(not(a1),…,not(a6)))

CiME : >24hOBJ : >24hOTTER : >10mn (plus de mémoire)ReDuX : 20mnRRL : >4h (plus de mémoire)Spike : >24hBrute : 2.25 secMaude : 0.153 secELAN : 0.332 sec

31


Nat10 : petits termes mais >100 règles

CiME : 294 sec

OBJ : 111 sec

Brute : 0.360 sec

Maude : 0.170 sec

ELAN : 0.163 sec

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• Somme : règles conditionnellesx faux

x S set(y) vrai if x = y

x S faux

[S1 set(x), S2, y] erreur if x S2

[S1 set(x), S2, y] [S1, S2 set(x), x+y]

if x S2

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Requête : [ set(1) … set(100), , 0]

OBJ : >24h

Spike : >24h

Brute : 6.247 sec

Maude : 16.774 sec

ELAN : 1.326 sec

Résultat : [, set(1) … set(100), 5050]

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Gestion des points de choix en C

• Ajout de 2 primitives :– setChoicePoint (setjmp)– fail (longjmp)

Apports


Filtrage syntaxique




Implantation


.eln Compilateur C

Support

Backtrack

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Intérêts de l’approche

• Gestion transparente des points de choix

• Compilation modulaire, utilisation de paramètres et de variables locales

• Un seul mécanisme pour gérer le double non-déterminisme

• Schémas simples de compilation des stratégies

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Compilation desStratégies

Apports


Filtrage syntaxique




Implantation


dk(S1, S2)résultat

résultat

résultat

fin

XX

XS2

S1

dc one(S1, S2)résultat

fin

XXS1

dk(S1, S2) ; S3résultat intermédiaire

fin

XX

XS2

S1S3

échec

résultat intermédiaire S3

résultat

résultat intermédiaire S3

échec

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• Point de choix – temps– mémoire

• Stratégie avec plusieurs résultats– pose de points de choix

• Stratégie avec un seul résultat– pas de point de choix

• Régimes déterministes

Apports


Filtrage syntaxique




Implantation


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AlgorithmeRésumé

• Analyse des règles[] x E E if P(x)

[] x E E f(x) if not(P(x))

points de choix

pas de point de

choix

pas de point de

choix

[] fact(n) 1 if n = 1

[] fact(n) n*fact(n-1) if n 1

• Analyse des stratégiesrepeat(dc one(S))

39

Impact sur le code généré

• Contrôle géré par des sauts (goto)

• Amélioration des schémas de compilation :

ss

s

ss

s

ss

s

s s s

Stratégie repeat(S)

cas déterministecas non-déterministe

• Moins de points de choix

40

Impact surla pose de points de choix

0

20

40

60

80

100

120

Complétion KB Minela Nqueens Fibonacci

Sans analyse Avec analyse

41

Impact surl’efficacité du code généré

0

20

40

60

80

100

120

Complétion KB Minela Nqueens Fibonacci

Sans analyse Avec analyse

42

Implantation

• Plateforme de développement

• Compilateur utilisable et diffusé

• Accélération des programmes

• Réduction de la consommation mémoire

• Exécution d’applications de taille réelle

Apports


Filtrage syntaxique




Implantation


43

Automates d’arbres(Thomas Genet)

• Environnement de calcul et de preuve• Déterminisation, minimisation, intersection• Terminaison, interblocage, confidentialité, ... • 100 modules, 100 sortes, 850 règles, 300

conditions, 55 stratégies, …• 10^9 règles appliquées en 20 minutes• (1 semaine avec l’interpréteur)

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Colette(Carlos Castro)

• Environnement de résolution de contraintes

• Conjonction, minimisation, disjonction

• Puzzles, coloriages, ordonnancement, ...

• 70 modules, 40 sortes, 1000 règles, 500 conditions, 60 stratégies, ...

• 10^10 règles appliquées en moins de 24h

• (6 mois avec l’interpréteur)

45

Plan

• Réécriture + Stratégie

• Difficultés

• Apports


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Perspectives

• Aujourd’hui : nous avons un langage

• Perspective :– possibilité de plug-in – méthode d’évaluation des performances– extension du filtrage AC (A, AC0, AC1)

• algorithme de tri : l1 X l2 Y l3 l1 Y l2 X l3 if Y<X

47

Perspectives

• Aujourd’hui : nous avons une implantation

• Perspective :– représentation des termes– gestion mémoire– mémorisation– gestion de l’espace de recherche : backjumping,

forwardjumping

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Perspectives

• Perspective :– format d’échange– modularité– mise à disposition

d’outils– ouverture vers l’extérieur

Pretty-printer Editeur Interface

ParseurOutil de

CoordinationPréprocesseur

Interpréteur Compilateur Débogueur

• Aujourd’hui : nous avons un environnement

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Perspectives

• ELAN : calcul par réécriture

• Perspective : construire le terme de preuve– visualiser (expliquer)– rejouer (déboguage)– communiquer (vérifier un calcul)– comprendre (stratégie interactive)– analyser (stratégie « intelligente »)

puissance et efficacité

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ApportsRésumé

• compilateur pour la réécriture

intégrant :

• algorithme de compilation du filtrage syntaxique

• définition d’une classe de motifs

• algorithme de compilation du filtrage AC

• méthode de gestion des points de choix

• algorithme d’analyse du déterminisme

• schémas de compilation de stratégies

51

Résultats expérimentauxRésumé

• Interpréteur : 10 à 200.000 réécritures/sec

• Compilateur : 30.000 à 20.000.000 rééc/sec

• plus de 10^10 règles appliquées en 24h

• 1 min. de calcul = 3h20 avec un interpréteur

• 1 jour de calcul = 6 mois

• 3 années de travail

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