Comparaison entre plaques et poutres - Formation,...

Comparaison entre plaques et poutres:

Mécanique des Structures P. Lestuzzi EPFL-ENAC semestre de printemps 2013 14.

15.

Différences entre plaques et poutres.

influence du coefficient de Poisson:

Dalle longue simplement appuyée sur deux bords parallèles.

La dalle peut être considérée comme une juxtaposition de poutres, car il n’y a pas decourbure parallèlement aux appuis.

Sans liaison, une déformation transversale apparaîtrait.

Les moments transversaux naissent de la déformation transversale empêchée

Mécanique des Structures P. Lestuzzi EPFL-ENAC semestre de printemps 2013

16.


moments de torsion:


17.


torsion: rotation angulaire d’une section par rapport à la suivante

en négligeant le terme de torsion dans l’équation de Lagrange:

le système statique se ramène au cas d’une grille de poutres.

+ 2∂x

4∂ w4 = ∂y

4∂ w4∂y

4∂ w2∂x2 + B

p


18.

Plaques: Conditions de bord (aux limites)

Sur chaque élément de bord de la plaque agissent trois efforts:

– un moment de flexion, mn– un moment de torsion, mns– un effort tranchant, qn

Remplacement du moment de torsionpar un couple équivalent:

La résolution de l’équation de Lagrange n’en exige que 8 dans le cas d’une plaque carrée ou rectangulaire:

(anomalie due aux hypothèses simplificatrices introduites)

la résultante est ajoutée à l’effort tranchant pour obtenir un q de substitution:

∂mns∂s=qn qn + ⇒ + (2– ν)

∂x

3∂ w3=qx – B [ ∂y

3∂ w2∂x ]

+ 2∂x4∂ w

4 = ∂y4∂ w

4∂y4∂ w

2∂x2 + Bp


19.


Bord libre (x=const.):

Bord encastré (x=const.):

Bord simplement appuyé (x=const.):

qx 0= ⇒ + (2– ν)∂x

3∂ w3 = 0∂y

3∂ w2∂x

mx 0= ⇒ + ν∂x2∂ w

2 = 0∂y2∂ w

2

y

x

y

x

y

x

mx 0= ⇒ + ν∂x

2∂ w2 = 0∂y

2∂ w2

w 0= ⇒∂y∂w

= 0∂y

2∂ w2=

⇒ = 0∂x

2∂ w2

w 0= ⇒∂y∂w

= 0∂y

2∂ w2=

⇒∂x∂w

= 0 ∂y

2∂ w∂x = 0

⇒ mxy = 0

les bords parfaitement encastrés sont exempts de torsion: =qx qx


20.


Angle de plaques simplement appuyées:

Angle droit (réciprocité des contraintes tangentielles):

mxy = myx

dispositions constructives nécessaires pour éviter le soulèvement des coins.

Une force concentrée naît de l’addition des contributions à l’angle:

A = 2 mxy


21.

Plaques: Variation des moments selon l’orientation des faces

Expression du moment dans une direction:

c’est un état plan de contrainte;les contraintes dans une directions’obtiennent par équilibre.Les moments s’obtiennent parintégration des contraintes surtoute l’épaisseur de la section.

Cercle de Mohr des moments dans une dalle:

Trajectoire des moments principaux dans une dalle carrée:

mα = mx ·2cos α + my ·

2sin α + mxy ·sin2α

Etat de contrainte dans un feuillet d’une dalle à la hauteur z:

simplement appuyée encastrée

correspond à l’équation d’un cercle de Mohr, analogue au cercle de Mohr des contraintes


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