CPGE Lissane Eddine - Laayoune Essaidi Ali mathlaayoune@gmail.com

Commutant

Dfinitions et notations

Dans tout le problme, K = R ou C, E un K-espace vectoriel de dimension finie n N et f L (E).On note C (f) = {g L (E)/fg = gf} et M Mn(K),C (M) = {N Mn(K)/MN = NM}.

Premire partieCommutant dun endomorphisme cyclique

On suppose, dans cette partie, que f est cyclique et soit x0 E tel que (x0, f(x0), . . . , fn1(x0)) soit une base de E.1: Soit g C (f). Montrer que P K[X] tels que g(x0) = P (f)(x0). En dduire que g = P (f).2: Conclure que C (f) = K[f ].3: Application : Soit , L(Kn[X]) dfinies par P Kn[X], (P ) = P et (P ) = P (X + 1).3 - 1: Montrer que est nilpotent et dterminer son indice de nilpotence.3 - 2: Montrer que C ().3 - 3: En dduire que a0, . . . , an K,P Kn[X], P (X + 1) = a0 + a1P + + anP (n).

Deuxime partieCommutant dun endomorphisme diagonalisable

On suppose, dans cette partie, que f est diagonalisable de valeurs propres 1, . . . , r.1: Montrer que lapplication : C (f) L(E1(f)) L(Er (f)) dfinie par (g) 7 (g1, . . . , gr) avec i {1, . . . , r}, gi = gEi (f) est bien dfinie et quil sagit dun isomorphisme despaces vectoriels.

2: En dduire que dimC (f) =ri=1

(m(i))2.

3: Montrer que dimC (f) n avec galit si, et seulement si, r = n.4: Application : Soit p un projecteur de E de rang k. Dterminer dimC (p) et en dduire que dimC (p) et dimE ont mmeparti.

Troisime partieUne minoration de la dimension du commutant

SoitB une base de E, A = mat(f,B) et on pose M Mn(C), M : Mn(C) Mn(C)X 7 MX XM .1: Montrer que dimC (f) = dimC (A).2: Montrer que lensemble D des matrices deMn(C) n valeurs propres deux deux distincts est dense dansMn(C).3: Montrer que lensembleR = {M Mn(C)/rgM n2 n} est ferm dansMn(C).4: Montrer que D R. En dduire que M Mn(C),dimkerM n.5: Conclure que si K = C alors dimC (f) n.6: On suppose queK = R. Montrer que M1, . . .Mn Mn(C) linairement indpendantes telles que k {1, . . . , n},MkA =AMk.7: On suppose que K = R. Montrer que A1, . . . An Mn(R) linairement indpendantes telles que k {1, . . . , n}, Bk C (A). En dduire que dimC (f) n.8: Supposons que C (f) = K[f ] et, pour tout x E, on note I

X= {P R[X]/P (f)(x) = 0}.

8 - 1: Montrer que x E,x R[X] unitaire tel que I

x=

xR[X].

8 - 2: Montrer que x E,x |pif . En dduire que lensemble {x/x E} est fini.8 - 3: Montrer que x0 E telle que E = kerx0 (f).8 - 4: En dduire que

x0= pi

fet que f est cyclique.

9: Conclure que C (f) = K[f ] si et seulement si f est cyclique.

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