Classe de 4ème Chapitre 10 : Pyramides et Cônes

Le programme extrait du Bulletin officiel spécial n° 6 du 28 août 2008 Connaissances : Pyramide et cône de révolution. Calculs d’aires et volumes.Capacités : Réaliser le patron d’une pyramide de dimensions données. Calculer le volume d’une pyramide et d’un cône de révolution à l’aide de la formule V = 1

3 B×h .Commentaires : L’observation et la manipulation d’objets constituent des points d’appui indispensables. Ces activités doivent être complétées par l’observation et la manipulation d’images dynamiques données par des logiciels de géométrie. Les activités sur les pyramides exploitent des situations simples. L’objectif est toujours d’apprendre à voir dans l’espace, ce qui implique un large usage des représentations en perspective et la réalisation de patrons. Ces travaux permettent de consolider les images mentales relatives à des situations d’orthogonalité.L’objectif est, d’une part, d’entretenir les acquis des classes antérieures et, d’autre part, de manipuler de nouvelles formules, en liaison avec la pratique du calcul littéral.

1) Pyramides a) Définitions et description d'une pyramideUne pyramide est un objet de l'espace ayant une base polygonale et des faces latérales triangulaires qui partent de la base et se rejoignent en un point commun appelé le sommet de la pyramide ou apex. Le segment qui joint le sommet à la base, perpendiculairement à celle-ci est appelée hauteur de la pyramide. Exemple : La pyramide ABCDS de base carrée ABCD a pour sommet S. On pourrait la nommer aussi bien SABCD, la base restant le carré ABCD (c'est le seul polygone qui ne soit pas un triangle). Les faces latérales sont les triangles SAB, SBC, SCD et SDA qui contiennent toutes le sommet S. Ces faces ont une arête en commun avec la base et deux arêtes latérales qu'elles partagent avec les faces adjacentes.Dans le cas particulier de notre pyramide SABCD, inscrite dans un cube, on voit que la hauteur est une des arêtes latérale : l'arête [SD] qui est perpendiculaire à la base. Pour être perpendiculaire à un plan, une droite doit être perpendiculaire à deux droites sécantes de ce plan, et c'est bien le cas ici, puisque (SD) est perpendiculaire à (AD) et à (DC).

Autre exemple 1 : Toujours dans un cube, voici une pyramide régulière à base carrée ABCDI. Cette pyramide est régulière car sa base est régulière et ses faces sont des triangles isocèles superposables. La hauteur de cette pyramide passe alors par le centre de symétrie de la base. Cette hauteur est également un axe de rotation de la pyramide autour duquel elle peut tourner d'un quart de tour pour se superposer à elle-même (les points de la base sont alors permutés). Cette forme de pyramide régulière à base carrée est une des plus fréquente en architecture (pyramides d'Égypte ou pyramide maya au Mexique, certains toits, etc.) mais les pyramides n'ont pas toutes des bases carrées.

Autre exemple 2 : Une pyramide à base triangulaire LKMN. On peut dire pour ce genre de pyramide que n'importe laquelle des faces est une base, les 3 autres étant les faces latérales. Si on considère que KLM est la base, alors le sommet est N. Mais on peut aussi considérer que c'est KLN la base et dans ce cas, c'est M le sommet. Pareil pour les 2 autres bases possibles. Les pyramides à base triangulaires sont appelées tétraèdres, ce qui signifie : solide à 4 faces [du grec tetra signifiant 4].

Patrons : le développement sur un plan des faces d'un solide permet de se rendre compte des dimensions réelles de ces faces. Ici nous avons le patron d'un tétraèdre régulier (pyramide dont les 4 faces sont des triangles équilatéraux) et à droite, celui d'une pyramide dont la base et une des faces latérale est un demi-carré alors que les 2 autres sont des triangles équilatéraux.

On utilise souvent des structures pyramidales sans le savoir, par exemple lorsque l'on veut faire tenir un mat vertical, il faut au moins 3 câbles pour le maintenir : le mat est la hauteur, les câbles matérialisent les arêtes latérales, la base est un triangle (ou un carré s'il y a 4 câbles). Lorsqu'on empile des oranges au marché, le tas prend une forme pyramidale. En fait la pyramide est un modèle pour les formes qui s'élèvent en hauteur car elle est naturellement stable. Le tétraèdre est aussi la forme polyédrique qui a le moins de faces.

On peut rencontrer des pyramides ayant des bases à 5, 12 ou 100 côtés. Les bases peuvent aussi être des polygones non-convexes. Ci-dessous nous avons le patron d'une pyramide régulière à base dodécagonale (12 côtés), celui d'une pyramide régulière à base pentagonale (5 côtés) dont les faces latérales sont des triangles équilatéraux et celui d'une pyramide régulière dont la base est un pentagone étoilé. Les faces latérales de ce types de pyramide se croisent (comme les côtés), mais pour simplifier, on a tracé le patron des faces extérieures (celles qui sont visibles de l'extérieur). On peut considérer qu'on a une base décagonale (10 côtés) non-convexe mais non-croisée. Les faces latérales forment ici une surface étoilée (à droite) qu'il faut plier alternativement d'un côté (en traits pleins) et de l'autre (en pointillés).

b) Calcul du volume d'une pyramideLe volume d'une pyramide est égal au tiers de celui du prisme qui aurait même base et même hauteur que la pyramide. Autrement dit, le volume d'une pyramide est égale au tiers du produit de l'aire de sa base par la longueur de sa hauteur. Une formule résume cela, pour une pyramide de base B (l'aire de la base) et de hauteur h (la longueur de sa hauteur) : V =1

3 B×hExemple 1 : Examinons d'abord le cas du cube (voir figure de l'exemple au 1a). Les 2 pyramides illustrées dans les figures ont la même base (la base carrée du cube) et la même hauteur (le côté du cube). Elles ont donc le même volume qui vaut le tiers de celui du cube. Nous montrons ci-contre comment le cube peut être découpé en 3 pyramides égales. On peut réaliser ce découpage à l'aide de 3 exemplaires du patron ci-dessous. Lorsque le côté du cube mesure 3 cm, l'aire de la base vaut 9 cm² et le volume du cube 27 cm3. Le volume de chacune des 3 pyramides est alors égal à 9 cm3. Remarquez les dimensions des arêtes latérales dont les valeurs exactes sont fournies par le théorème de Pythagore : 8,49≈ 6262=72 et 10,39≈ 6272=108 .

Exemple 2 : Nous voulons calculer le volume V d'un tétraèdre (pyramide à base triangulaire) régulier (dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux). Pour cela il faut connaitre l'aire B de la base et la hauteur H, mais nous ne connaissons que le côté c, disons que c=10 cm. Ici encore, il faut utiliser le théorème de Pythagore :

• La hauteur h d'une des bases (la hauteur h d'une face triangulaire de la pyramide, ce n'est pas la hauteur H de la pyramide) vaut 102−52=75 et d'une façon générale h=c2− c

2 2= 3

4 c2 , valeur qui se simplifie (voir le programme de 3ème pour la propriété de la racine carrée utilisée) en h= 3

2 c .• La hauteur H de la pyramide vaut

102− 23×752=100− 300

9 = 2003 et d'une

façon générale H=c2− 2

3×32 c2=c2− c2

3 = 23 c2 , valeur

qui se simplifie en H= 23 c .

L'aire B de la base vaut alors c×h2 = 10×75

2 =5×75 et d'une façon générale B= c×h

2 =c× 3

2 c2 = 3

4 c2 .

Le volume V vaut finalement B×H3 = 5×75× 200

3

3 , valeur qui se simplifie en V =250×2

3 ≈117,8511302cm3 et, d'une façon générale V =1

3 34 c2× 2

3 c= c3

3 24 =

c3212 .

NB : On n'attend pas des élèves qu'ils conduisent eux-mêmes ce genre de calculs exacts en classe de 4ème, mais cela n'empêche pas de s'y intéresser. Les propriétés des radicaux manquent encore pour effectuer les simplifications nécessaires. Par contre, rien n'empêche d'effectuer les calculs avec des valeurs approchées.

Exemple 3 : Le théorème de Pythagore n'est pas la seule connaissance que nous ayons sur les triangles rectangles, il y a aussi la trigonométrie (voir chapitre où est défini le cosinus d'un angle). Calculons le volume d'une pyramide dont la base est un carré de 100 m de côté, et dont les faces latérales forment avec la base des angles de 60° (on parle d'angle d'un dièdre pour l'angle entre 2 faces d'un solide). Pour cela calculons tout d'abord la hauteur h=SJ d'une des faces (ce n'est pas H la hauteur de la pyramide). cosOJS=cos 60°=1

2=OJSJ . On en déduit que

h=SJ=2OJ=IJ=AB=100 m (normal, SIJ est ici un triangle équilatéral). Calculons alors la hauteur H=OS de la pyramide (voir les notations sur la figure) :cosOSJ =cos 90−60 °=cos30 °= OS

SJ et donc on a H=OS=SJ cos30 °≈86,6 m . Il ne reste plus qu'à calculer le volume de la pyramide : V =1002×100cos 30

3 = 1003 cos303 ≈290 000 m3 soit 0,29 hm3 environ.

La plus grande pyramide d'Égypte, celle de Khéops sur le plateau de Gizeh près du Caire, est aussi la plus ancienne des «7 merveilles du monde» (4500 ans environ). Il s'agit d'une pyramide régulière à base carrée qui mesurait 146,58 m de haut (aujourd'hui 137 m) et 230,35 m de côté. Napoléon aurait dit à son propos, en pensant qu'elle était pleine (ce qui est presque exact) : «qu'elle pourrait fournir les matériaux d'un mur haut de six pieds qui aurait mille lieues [de long] et ferait le tour de la France» Calculons l'épaisseur de ce mur improbable qui vérifierait virtuellement l'affirmation de Napoléon ? [NB : la lieue est l'unité de longueur qui mesure le trajet que peut faire un homme à cheval en 1 heure. Elle mesure environ 4 km. Le pied correspond environ à 30 cm]Le volume de la pyramide vaut V =230,352×146,58

3 ≈ 77777003 ≈2593000m 3

Un mur de 4000 km de long et 1,8 m de haut et e m d'épaisseur aurait un volume de 4 000000×1,8e=7200 000e m3 . On doit donc avoir e approximativement égal à 2 593 000÷7 200 000 soit à environ 0,36 m ou encore 36 cm. L'affirmation est donc bien fondée...

Voici un objet dont la forme se rapproche de celle d'une pyramide. On peut calculer le volume de chacune des tranches parallélépipèdiques de cet objet (voir programme de 6ème) et en déduire le volume de l'objet. On obtiendra une valeur sous-estimée mais d'autant plus proche du volume réel de la pyramide que la hauteur des tranches est faible. Cela paraît complexe, mais c'est ainsi que l'on mis au point la formule utilisée dans ce cours (Travaux précurseurs d'Archimède au IIIème siècle avant J.-C. Mise au point définitive de la méthode au XVIIème avec Cavalieri, Pascal, Leibnitz).

2) Les cônes de révolution a) Définitions et description d'un côneUn cône est un objet de l'espace ayant une base circulaire (un disque), un sommet et une face latérale unique et courbe correspondant à la surface balayée par un segment (génératrice) partant du sommet dont l'autre extrémité décrirait la périphérie de la base.

Dans le cas où la perpendiculaire au plan de la base passe par le sommet, on dit que le cône est un cône de révolution. La génératrice est un segment de longueur constante qui tourne (d'où le terme de révolution qui à le sens de tourner) autour d'un axe contenant le sommet, l'autre extrémité décrivant un cercle.Exemple : Le chapeau de clown ci-contre a la forme d'un cône de révolution. Il a été fabriqué à partir d'un demi-disque découpé dans une feuille de format A4. Sa base est donc un disque de 29,7 cm de périmètre (donc environ 10 cm de diamètre) qui est vide car il s'agit d'un chapeau. La surface enroulée est la face latérale du cône. Comme cette face correspond à un demi-disque, les rayons de ce demi-disque sont les génératrices du cône qui mesurent donc 14,85 cm (la moitié de 29,7 cm). Quelle est la hauteur du cône ainsi construit ? Il faut, pour répondre à cette question, connaitre le rayon exact de la base du cône. On a 2 r=29,7 et donc r=29,7÷2=14,85÷≈4,7269cm . Comme le triangle SOI est rectangle en O, le rayon r=OI du cône, la génératrice g=SI et la hauteur h=SO vérifient la relation de Pythagore : r 2h2=g 2 et donc h2=g 2−r 2≈14,852−4,72652=198,1826978 et par conséquent h≈198,1826978≈14,0777cm . Finalement les dimensions de ce cône sont r≈4,7 cm et h≈14,1 cm.

Autre définition du cône de révolution : si un triangle rectangle SOL tourne sur lui-même autour d'une de ses cathètes (petits côtés de l'angle droit), il engendre un cône de révolution dont la hauteur est la cathète immobile [SO] (située sur l'axe de rotation), la base est le disque engendré par la rotation de l'autre cathète [OL] et la face latérale est la surface engendrée par la rotation de l'hypoténuse [SL].

Patron d'un cône de révolution : La base du cône est un disque de rayon r. La face latérale est une portion plus ou moins grande d'un autre disque, de rayon g (la génératrice). Cette portion de disque est limitée par un arc de longueur 2 r , le périmètre de la base. Dans la pratique on doit déterminer l'angle au centre de cette portion de disque, afin que les longueurs correspondent. Le périmètre du disque complet est 2g , tandis que la longueur du grand arc est 2 r . Or, cet arc a une longueur proportionnelle à l'angle au centre α de la portion de disque (voir tableau de proportionnalité). On a donc = 2 r×360

2 g = rg ×360 ° . Bien sûr, on pourra

toujours remplacer g par r 2h2 lorsque c'est nécessaire (relation obtenue par le théorème de Pythagore).Longueur de l'arc 2 r 2g

Angle au centre α 360°

Application : traçons le patron d'un cône de révolution de rayon r=50 cm et de hauteur 1 m. Nous savons déjà qu'il faut tracer un disque de rayon 50 cm pour la base. La face latérale sera une portion de disque de rayon g=r2h2=5021002=12500≈111,80cm .

L'angle au centre de cette portion de disque mesure = r

g×360 °≈ 50111,8×360 °≈161° , donc un peu moins

d'un angle plat. Nous pouvons disposer la base n'importe où à proximité de la face latérale, de toute façon il s'agit de 2 arcs de cercle tangents qui n'ont qu'un seul point en commun.

b) Calcul du volume d'un côneLe volume d'un cône est égal au tiers de celui du cylindre qui aurait même base et même hauteur que le cône. Autrement dit, le volume d'un cône de rayon r et de hauteur h est égal à : V = B×h

3 = r2 h3

Justification : On peut voir le cône comme la forme limite d'une pyramide dont la base est un polygone régulier à n côtés, lorsque le nombre n de côtés augmente jusqu'à l'infini. Pour toutes les valeurs de n le volume V de la pyramide est égal à B× h

3 selon la formule déjà vue pour le prisme. On voit sur l'illustration que très rapidement la pyramide ressemble à un cône (pour n=25, on ne distingue plus vraiment les facettes latérales). La formule est donc la même que pour les pyramides, sauf qu'on dispose d'une formule supplémentaire pour le calcul de l'aire de la base (ce qui n'est pas le cas en général pour un polygone). Finalement, on obtient que le volume du cône est égal à r2 h

3 .

NB : cette image vient du programme «Polygones & Étoiles», option «Pyramides» de Mathadomicile qui permet de visualiser les pyramides en 3D! Il faut regarder l'image en fixant un point dans le lointain et les 2 parties fusionnent dans le cerveau pour construire une image tridimensionnelle... On peut régler certains paramètres comme le nombre de côtés ou l'écartement des 2 images partielles.

Exemple 1 : On veut calculer le volume d'un cône de rayon r=5 cm et de hauteur h=2 cm. On a V =52×2

3 = 503 ≈52,35987756 cm 3 . La valeur exacte est celle qui contient , l'autre n'est qu'une valeur

approchée (précise car elle donne 8 chiffres après la virgule, mais néanmoins inexacte). On peut arrondir davantage la valeur approchée V≈52,4cm3 et la convertir, par exemple en cL, sachant que 1 cL =10 cm3

on a V≈5,24cL .

Exemple 2 : Lorsqu'on observe la Lune, le disque que l'on voit correspond à un angle d'environ 0,5°. Sachant que le satellite de la Terre est à environ 380 000 km, calculons le volume du cône d'espace qui contient la lumière pénétrant dans notre œil lors de cette observation. Un peu de trigonométrie d'abord pour calculer le rayon r du disque lumineux lunaire : cos 90−0,25°= r

380000 et donc r=380000cos89,75 °≈1658km (on a pris 380 000 km pour valeur de l'hypoténuse alors que c'est en réalité la hauteur du cône, mais la différence est faible). Le volume d'espace contenant l'image de la Lune est donc égal à 16582×380000

3 ≈1,1×1012 km3 , soit 1 100 000 000 000 km3, très précisément le même volume que la Terre!