Circuits Courant Alternatif Monophase 21
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LECON 1&2 : LES CIRCUITS A COURANT ALTERNATIF MONOPHASE
CHAPITRE 2 : LES CIRCUITS EN REGIME ALTERNATIF MONOPHASE 35
LES CIRCUITS A COURANT ALTERNATIF MONOPHASE
1 - Différents formes de courants (et de tension) Dans l'ensemble des formes de courants, nous pouvons effectuer une première partition :
- Les courants unidirectionnels, - Les courants bidirectionnels,
t
i
0
t
i
0 Courant unidirectionnel Courant bidirectionnel
Nous pouvons effectuer une seconde partition :
- Les courants périodiques, - Les courants non périodiques,
1.1 - Courant périodique Un courant est périodique si son intensité reprend la même valeur à intervalles de temps égaux,
t
i
T t2 t1
1.2 – Période la période d'un courant périodique est la durée constante qui sépare deux instants consécutifs où le
courant se produit identiquement à lui-même, La période est une durée (un temps), elle s'exprime en seconde, son symbole est T,
1.3 – Fréquence La fréquence (f) d'un courant périodique est le nombre de fois que le courant se produit identiquement à lui-même en une seconde,
⎪⎩
⎪⎨⎧
=hertz en f
seconde en T avec
T1 f
1.4 - Courant alternatif C'est un courant bidirectionnel et périodique dont la valeur moyenne est nulle, Les deux aires hachurées sont égales,
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CHAPITRE 2 : LES CIRCUITS EN REGIME ALTERNATIF MONOPHASE 36
t
i
T 0
1.5 - Courant alternatif symétrique C'est un courant périodique dont la valeur moyenne est nulle, les deux aires hachurées sont égales
comme précédemment mais en plus elles sont superposables car les courbes A de la première demi période et B de la deuxième demi période sont identiques,
Ce sont les deux alternances du courant (A : alternance positive, B : alternance négative),
Si io est l'intensité du courant à l'instant t0, une demi-période plus tard, l'intensité est -i0,
t
i
T 0
A
B
2T
i0
-i0
2Tt0 +
t0
)i(t - )2T (ti 00 =+
1.6 - Courant sinusoïdal C'est un courant alternatif symétrique dont l'intensité est une fonction sinusoïdale de temps, Ce courant est le plus important, toute l'énergie électrique est produite sous cette forme,
t
i
T 0 2T
2 - Courant/Tension sinusoïdal Un courant (ou une tension) est alternatif sinusoïdal s'il varie en fonction du temps selon la loi
sinusoïdal, S'il s'agit d'une tension, elle a pour expression :
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CHAPITRE 2 : LES CIRCUITS EN REGIME ALTERNATIF MONOPHASE 37
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
ω
ϕ
=ϕ+ωϕ+ω=
s)rd( pulsation :
phase de originel' à rapport par déphasage :
(rd) einstantané phse t
(V) maximale amplitude : U
einstantané valeur : u(t)
: avec ) t( sin U )t(u
0
0
M
0M
On définit :
- La période T en seconde (s) avec : ωπ
=2T
- La fréquence f en Hz avec : πω
==2
T1 f
S'il s'agit d'un courant, il a pour expression : i(t) = IM sin (ωt +ϕ)
θ
i
0
u(θ)i(θ)
ϕ0 Δϕ
ϕ
Δϕ = ϕ - ϕ0 : est le déphasage entre le courant et la tension
3 - Valeurs moyennes et efficaces du courant sinusoïdal Soit : i(t) = IM sin ωt Intensité moyenne :
[ ] [ ] 0 1 - 1 2I- 0 cos Tcos
TI- t cos -
TI dt t sin I
T1 dt i(t)
T1 I MM
T
0
MT
0M
T
0moy =
π=−ω
ω=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
ωω
=ω== ∫∫
Intensité efficace :
2 I
2 1 I 0 )
2T2 sin
21 -
2T(
TI-
2
t2 sin - t 2.T2.I dt
2t2 cos - 1
T2.I dt t sin I
T2 dt (t)i
T2 dt (t)i
T1 I
IMeffM
2M
2T
0
2M2
T
0
2M2
T
0
22M
2T
0
2T
0
22eff
=⇒⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −ω
ω=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
ωω
=ω
=ω=== ∫∫∫∫
De même pour la tension : 2
U U ; 2
U U MMmoy ==
4 - Représentation de Fresnel 4.1 - Convention de Fresnel Soit le signal : ) t( sin S 2 ) t( sin S )t(S M ϕ+ω=ϕ+ω=
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CHAPITRE 2 : LES CIRCUITS EN REGIME ALTERNATIF MONOPHASE 38
Ce signal peut être représenté par un vecteur OM de module S.2 placé par rapport à OX origine des phases, tel que ϕ= )OM,OX(
Le vecteur OM tourne avec une vitesse ω constante dans le sens trigonométrique,
ω
Y
X
M1 (t = t)
M (t = 0) ωt1+ϕ
ϕ
0
L'intérêt de la représentation de Fresnel c'est de séparer la partie temporelle (ωt) de la partie de phase (ϕ),
4.2 - Somme vectorielle de deux grandeurs sinusoïdales Soient deux grandeurs sinusoïdales : ) tsin( 2 S )t(S 111 ϕ+ω= de module 2S1 et de phase par rapport à l'origine ϕ1, ) tsin( 2 S )t(S 222 ϕ+ω= de module 2S2 et de phase par rapport à l'origine ϕ2,
ω
Y
X ϕ1
0
S1
S2
ϕ2 ϕ
S
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ϕ+ϕϕ+ϕ
=ϕ⇒ϕ+ϕϕ+ϕ
=ϕ•
ϕϕ++=ϕ+ϕ+ϕ+ϕ=•
ϕ+ω=+=
2211
2211
2211
2211
122122
21
22211
22211
2
21
cos S cos S sin S sin S arctg
cos S cos S sin S sin S tg : Phase
) - ( cos S2S S S ) cos S cos (S ) sin S sin (S S : Module
) t( sin 2S. (t)S (t)S )t(S
Application : Connaissant les expressions u1(t) et u2(t), trouver graphiquement celle de u(t) = u1(t) + u2(t),
avec : )2
- t( sin 212 )t(u et t sin 28 )t(u 21π
ω=ω= ; Echelle : 1 cm → 2 V
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2U0
1U
U
ϕ ⏐ϕ⏐ = 56° ⇒ ⏐ϕ⏐ = 0,98 rd U = 14,4 V
0,98) - t( sin 2 14,4 )t(u ω= 5 - Représentation complexe A un signal ) t( sin 2S )t(S ϕ+ω= , on peut correspondre un nombre complexe S de module 2S et
d'argument ϕ,
S peut s'écrire : ⎪⎩
⎪⎨⎧
ϕ=
ϕ=ϕ+ϕ== ϕ
cos S )S( Réel
sin S )S( Im : avec ) sin j (cos 2S e 2S )t(S j ,
dont le module est la valeur efficace S et l'argument ϕ la phase de s(t), La pulsation ω ne figure pas dans les représentations complexes, mais il est sous entendu que toute
les fonctions sinusoïdales quelles représentent ont la même pulsation, 5.1 - Somme de deux grandeurs complexes
Soient deux grandeurs complexes :
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ϕ+ϕϕ+ϕ
=ϕ⇒ϕ+ϕϕ+ϕ
=ϕ•
ϕ−ϕ++=⇒ϕ+ϕ+ϕ+ϕ=•
ϕ+ϕ+ϕ+ϕ=ϕ+ϕ==+=
ϕ+ϕ==
ϕ+ϕ==
ϕ
ϕ
ϕ
2211
2211
2211
2211
122122
21
22211
22211
2
22112211j
21
2222j
22
1111j
11
cos S cos S sin S sin S arctg
cos S cos S sin S sin S tg :Phase
)( cos SS 2 S S S ) sin S sin (S ) cos S cos (S S :Module
) sin S sin (S j ) cos S cos (S ) sin j (cos S e S S S S
) sin j (cos S e S S
) sin j (cos S e S S
6 - Loi d'ohm en alternatif 6.1 - Définition de l'impédance Z et de l'admittance Y L'impédance Z est le rapport de la tension appliquée au circuit par le courant qu'elle produit :
IUZ =
L'admittance est par définition : Z1
UI Y == en simens (s),
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6.2 - Circuit purement résistif
phase sont tension la et courant le que déduit On
R) t( sin 2 U
i(t) i(t) r u(t) : ohmd' loi la aprèsD'
) t( sin 2 I )t(i
) t( sin 2 U )t(u
0
1
0
ϕ+ω=⇒=
⇒ϕ+ω=
ϕ+ω=
i(t)
Ru(t)
Δϕ = 0 car ϕ1 = ϕ2 et que Z = R, Donc : IR. UR =
0 I U
X
RU I =
6.3 - Circuit purement inductif Considérons une bobine d'inductance L et de résistance nulle,
ω=π
+π
ω=ω=ω
==
π+ϕ+ωω=ϕ+ωω==
ϕ+ω=
ϕ+ω=
π
ϕ
π+ϕ
L j )2
sin j 2
(cos L e L e 2 I
e 2 I L IU Z
)2
t( sin 2 IL ) t( cos 2 IL dtdiL u(t) : a On
) t( sin 2 I )t(i
) t( sin 2 U )t(u
2j
1j
)2
1j(
11
1
0
i(t)
L u(t)
On déduit que la tension est en quadrature avant avec le courant (2
π=ϕΔ ). Donc : I L j UL ω=
0 I
X
I L UL ω=
2π
Remarque : Une bobine idéale traversée par un courant continu (i(t) = cte), elle se comporte comme un court-
circuit (Z = 0 car (ω = 0), XL s'appelle réactance inductive avec : XL = Lω en Ω
6.4 - Circuit purement capacitif
e C1
Cj-
jC1
e 2 U C
e 2 U IU Z
)2
t( sin 2 UC ) t( cos 2 UC dtduC i(t) : a On
) t( sin 2 I )t(i
) t( sin 2 U )t(u
2-
)2
0j(
0j
00
1
0
π
π+ϕ
ϕ
ω=
ω=
ω=
ω
==
π+ϕ+ωω=ϕ+ωω==
ϕ+ω=
ϕ+ω=
C u(t)
i(t)
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CHAPITRE 2 : LES CIRCUITS EN REGIME ALTERNATIF MONOPHASE 41
On déduit que la tension est en quadrature arrière avec le courant (2
- π=ϕΔ ). Donc :
ω=
jCI UC
0
IX
ω=
CI UC
2π
− Remarque : Un condensateur alimenté par une tension continu (u(t) = cte), se comporte comme un circuit
ouvert (Z → ∞ car ω = 0),
XC s'appelle réactance capacitive avec : ω
=C1 XC en Ω