Cinématique Des Solides - TD1
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Page 1 Jacques AACHE Jean-Marc CHREAU EduKlub S.A. Tous droits de lauteur des uvres rservs. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des uvres autre que la consultation individuelle et prive sont interdites.
Sciences Industrielles
TD 1 - Enonc Cinmatique du solide
TD1 : Bras manipulateur
1. PRESENTATION DU BRAS MANIPULATEUR Le bras manipulateur prsent est constitu dun bti 0 et de trois solides 1, 2, 3. La reprsentation schmatique est donne ci-contre.
C
D
A
B
x0x1
x2y1
y3
y1
z0
0
1 2
3
Cette reprsentation est appele schma cinmatique du bras manipulateur. Ce schma est enrichi du :
Reprage : chaque solide a t affect un repre orthonorm direct. Paramtrage : chaque repre dfini lors du reprage doit tre positionn par rapport un (ou
plusieurs) autre (s). Les paramtres mis en vidence seront appels mobilits du systme mcanique. Ici, pour pouvoir animer le systme, il est ncessaire de disposer de trois moteurs. Cest pourquoi, m=3 ( )t(et )t(),t( ) dfini le nombre de paramtres juste ncessaires pour dfinir toute la cinmatique. Les positions, les vitesses et les acclrations dfinissant la cinmatique, seront donc exprimes en fonction )t(,)t(),t( et leur drives premire ou seconde par rapport au temps.
2. MODELISATION CINEMATIQUE DU BRAS MANIPULATEUR Une reprsentation structurelle de ce systme sous forme de Graphe de structure (ou de liaisons) est trs utile lors dune analyse mcanique dun mcanisme.
2.1. Graphe des structures (ou de liaisons)
0 1 32L01 L23L12
),,( 0000 zyxRrrr ),,( 1111 zyxR
rrr ),,( 2222 zyxRrrr ),,( 3333 zyxR
rrr
-
Page 2 Jacques AACHE Jean-Marc CHREAU EduKlub S.A. Tous droits de lauteur des uvres rservs. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des uvres autre que la consultation individuelle et prive sont interdites.
Sciences Industrielles
TD 1 - Enonc Cinmatique du solide
Les ronds de couleur reprsentent les sommets du graphe et modlisent les solides (indformables). Chaque solide est affect d'un repre orthonorm direct.
Les traits noirs sont appels : arcs du graphe et modlisent les liaisons entre les diffrents solides composant le mcanisme. Ces arcs sont modliss par des liaisons qui dfinissent la cinmatique entre les deux solides relis. L01 : Liaison pivot daxe )z,A( 01
r L12 : Liaison pivot daxe )y,B( 12
r L23 : Liaison pivot daxe )x,C( 23
r Le double indice indique que : 10 zz
rr= , 21 yy
rr= et 32 xx
rr= . Cette notation est trs utile lors des
calculs de drives vectorielles des vecteurs unitaires. 2.2. Gomtrie juste ncessaire pour tudier la cinmatique du bras manipulateur En reprenant le graphe de structure :
0 1 32L01 L23L12
),,( 0000 zyxRrrr ),,( 1111 zyxR
rrr ),,( 2222 zyxRrrr ),,( 3333 zyxR
rrr
Liaison pivot d'axe A,z01
Liaison pivot d'axe B,y12
Liaison pivot d'axe C,x23
D
Les points A, B, C et D sont indiqus sur le graphe de structure. Le point D est un point dfini sur le solide 3. Les point A, B, C sont des points lis aux caractristiques des liaisons identifies dans le mcanisme. On appelle aussi ces points (A, B, C) les points idaux associs aux liaisons. Il est donc ncessaire de les positionner relativement les uns par rapport aux autres.
Quatre points nous donnent au minimum trois vecteurs : 3231 y.LCD ; x.dBC ; x.hABrrr
===
3. QUESTIONS Voir TD1 outils utiles en mcanique 3.1. Donner le torseur cinmatique dans le mouvement de S1 par rapport S0 3.2. Donner le torseur cinmatique dans le mouvement de S2 par rapport S1 3.3. Donner le torseur cinmatique dans le mouvement de S3 par rapport S2
3.4. Dterminer la vitesse
0R/1RBV
3.5. Dterminer la vitesse
1R/2RCV
3.6. Dterminer la vitesse
2R/3RDV 3.7. Dterminer le torseur cinmatique du mouvement de R2/R0 en C
3.8. Dterminer la vitesse
0R/3RDV en donnant le torseur cinmatique du mouvement de R3/R0
-
PTla
Sciences Industrielles
TD 1 - Corrig Cinmatique du solide
TD1 : Bras manipulateur Elments de correction
1. PRESENTATION DES MOBILITES Liaison pivot daxe )z(A, 10
r Dans un mouvement en rotation autour de laxe )z(A, 10
r du repre )z,y,x(R 1111
rrr par rapport au repre )z,y,x(R 0000rrr , tel que
langle )t( est dfini par )x,x( 10rr , le vecteur
rotation
= 100R/1R z& .
Liaison pivot daxe )y(B, 12
r Dans un mouvement en rotation autour de laxe )y(B, 12
r du repre )z,y,x(R 2222
rrr par rapport au repre )z,y,x(R 1111rrr , tel que
langle )t( est dfini par )x,x( 231 rr , le vecteur rotation
= 121R/2R y& .
Liaison pivot daxe )x(C, 23
Dans un mouvement en rotation autour de laxe )x(C, 23
du repre )z,y,x(R 3333
rrr par rapport au repre )z,y,x(R 2222rrr , tel que
langle )t( est dfini par )y,y( 312
, le vecteur
rotation
= 232R/3R x& .
2. REPONSE A LA QUESTION 2-1
{ }( ) 101011
0101
0/1
01
0/1
,0
0
0
0
0
,,,0
0
0
0
0
0
.
RAzyxAA
z
AV
/RR
RRA
/RR
RRV
=
=
=
=
=
&rrr
&
&
3
x0
y0
z0
x1
y1
z1
A
x1
z01
x23
y12
z2
B
y3
z3
x23
y12
z2
Cagou c
.e 1 Jacques AACHE Jean-Marc CHREAU EduKlub S.A. s droits de lauteur des uvres rservs. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des uvres autre que onsultation individuelle et prive sont interdites.
REPONSE A LA QUESTION 2-2
{ }( )
=
=
=
=
=
=
1212
121/R2R
1R/2RA
1/R2R
1R/2R
R ,B000
0
0
,y, ,B000
0
0
B0
y.
BV
V &r
&
&
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TD 1 - Corrig Cinmatique du solide
4. REPONSE A LA QUESTION 2-3
{ } ( ) 2323232R/3R
2R/3RA
2R/3R
2R/3R
R ,B000
00
,,x ,B000
00
B0
x.
BV
V
=
=
=
=
=
&&&
5. REPONSE A LA QUESTION 2-4
{ }
0.h0
R 0
0
R
00h
R
000
V et
BBA+V=VR ,A0
00
00
A0
z.
111
0/R1RB
i0/R1R0/R1RA0/R1RB
0R/1R
10
010/R1R
0R/1RV
=
+=
=
=
==
&
&
&
&
{ }
y..hVo d' R ,B0
.h0
00
BV
A0
z.
120/R1RB
10/R1RB
0R/1R010/R1R
0R/1RV =
==
==
==
&&
&
&
En passant par la drive du vecteur position, on a trouv :
=
= 12
0R
0R/1RB y.hdtABd
V &
(voir TD1 outils mathmatiques utiles en mcanique). Comparer la quantit de lignes crire.
6. REPONSE A LA QUESTION 2-5
{ }
=
+=
=
=
=
&
&
&
.d00
R
0
0
R
00d
R
000
V et
CCB+V=VR ,B0
00
0
0
BV
222
1R/2RC
1R/2R1R/2RB1R/2RC
0R/1R
121/R2RB
1/R2R
1R/2RV
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TD 1 - Corrig Cinmatique du solide
{ }
z..dVo d' R ,C.d
00
0
0
CV
B0
y.21/R2RC
21/R2RC
1/R2R121/R2R
1R/2RV =
==
==
=
=
&
&
&
&
En passant par la drive du vecteur position, on a trouv :
=
= 2
1R
1R/2RC z.ddtBCdV &
7. REPONSE A LA QUESTION 2-6
{ }
=
+=
=
=
=
&
&
&
.L00
R
00
R
0L
0
R
000
Vet
DDC+V=VR ,C0
00
00
CV
333
2R/3RD
2R/3R2R/3RC2R/3RD
2R/3R
232R/3RC
2R/3R
2R/3RV
{ }
z..LVo d' R ,D.L
00
00
DV
CV
32/R3RD
32R/3RD
2R/3R
2R/3RC
2R/3R
2R/3RV =
=
=
=
&
&
&
En passant par la drive du vecteur position, on a trouv :
=
= 3
2R
2R/3RD z.LdtCDdV &
8. REPONSE A LA QUESTION 2-7
{ } { }1
0R/1R
2
1R/2R
R ,B0.h0
00
etR ,C.d
00
0
0V V
=
= &
&&
& transporter au point C
0cos..d.h
0
R 0
0
R
sin.d0cos.d
R
0.h0
RVCB+V=V
1111
0R/1RC0R/1R0R/1RB0R/1RC +=
+=
&&
&
&
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{ } { }1
0R/1R
12
1R/2R
R ,B0.h0
00
etR ,Ccos..d
0sin..d
0
0
R ,C.d00
0
0V V
=
=
= &
&&
&
&
&
&
{ } { }111
0R/1R1R/2R
R ,Ccos..dcos..d.h
sin..d
0
R ,C0cos..d.h
0 0
0
R ,Ccos..d0sin..d
0
0V V
+
=
+
+
=+
&
&&
&
&
&&&
&&
&
&
En passant par la drive du vecteur position, on a trouv :
++=
=
1012112
0R
0R/2RC z.sin..y.cos.x.cos.dy.hdtACdV &&&&
9. REPONSE A LA QUESTION 2-8
Torseur cinmatique du mouvement de S3 par rapport S2 dans la base du repre R1
{ }
R ,Dcos.cos..Lsin..L
sincos..L
sin.0
cos.
R ,D.L00
00
DV 132R/3RD
2R/3R
2R/3RV
=
=
==
&
&
&
&
&
&
&
Il reste transporter au point D, les torseurs suivants :
{ } { }1
0R/1R
2
1R/2R
R ,B0.h0
00
etR ,C.d
00
0
0V V
=
= &
&&
&
Transport du torseur { }0R/1RV en D projet dans R1.
0sinsin..Lcos..d.h
cos.L.
R 0
0
R
cos.sin.Lsin.dcos.L
sinsin.Lcos.d
R
0.h0
RV
DB+V=V
1111
0R/1RD
0R/1R0R/1RB0R/1RD
=
+=
&&&
&
&
&
{ }11
0R/1R
R ,D0sinsin..Lcos..d.h
cos.L. 0
0
R ,B0.h0
00
V
=
= &&&
&
&
&
&
Transport du torseur { }1R/2RV en D projet dans R1 { }
12
1R/2R
R ,Ccos.d0sin.d
0
0
R ,C.d00
0
0V
=
=
&
&
&
&
&
-
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Sciences Industrielles
TD 1 - Corrig Cinmatique du solide
=
+
=
cos..dsinsin..L0
sin..dcos.sin..L
R
0
0
R
cos.sin.Lcos.L
sinsin.L
R
cos..d0sin..d
RV
DC+V=V
1111
1R/2RD
1R/2R1R/2RC1R/2RD
&&
&&
&
&
&
{ }12
1R/2R
R ,Dcos..dsinsin..L0
sin..dcos.sin..L
0
0
R ,C.d00
0
0V
=
=
&&
&&
&
&
&
On obtient : { } { } { }
111
0R/1R1R/2R2R/3R
R ,D0sinsin..Lcos..d.h
cos.L. 0
0
R ,Dcos..dsinsin..L0
sin..dcos.sin..L
0
0
R ,Dcos.cos..Lsin..L
sincos..L
sin.0
cos.
V V V
+
+
=++
&&&
&
&&&
&&
&
&
&
&
&
&
{ }1
0R/3R
R ,Dsinsin..Lcos.cos..Lsinsin..Lcos..d.hsin..L
cos.L.cos.sin..Lsincos..L
sin.
cos.V
+++
=
&&
&&&&
&&&
&&
&
&
En passant par la drive du vecteur position, on a trouv :
( ) ( )( ) ( )
+++++++=
= 10121
0R
0R/2RD z.cosLsin..dysincos.L.cos.sin.Lcos..dhxsinLcos..ddtADdV &&&&&&&&&
PRESENTATION DU BRAS MANIPULATEURMODELISATION CINEMATIQUE DU BRAS MANIPULATEURGraphe des structures (ou de liaisons)Gomtrie juste ncessaire pour tudier la cinmatique du bras manipulateur
QUESTIONSDonner le torseur cinmatique dans le mouvement de S1 par rapport S0Donner le torseur cinmatique dans le mouvement de S2 par rapport S1Donner le torseur cinmatique dans le mouvement de S3 par rapport S2Dterminer la vitesseDterminer la vitesseDterminer la vitesseDterminer le torseur cinmatique du mouvement de R2/R0 en CDterminer la vitesse en donnant le torseur cinmatique du mouvement de R3/R0
SI-TD03C-MMC-AC.pdfPRESENTATION DES MOBILITESREPONSE A LA QUESTION 2-1REPONSE A LA QUESTION 2-2REPONSE A LA QUESTION 2-3REPONSE A LA QUESTION 2-4REPONSE A LA QUESTION 2-5REPONSE A LA QUESTION 2-6REPONSE A LA QUESTION 2-7REPONSE A LA QUESTION 2-8