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Chapitre 03 : Nombres complexes ettrigonométrie

Table des matières1 Nombres complexes 2

1.1 Partie réelle et partie imaginaire d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Conjugaison d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Affixe et image dans la plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Les nombres complexes de module 1 52.1 Fonctions circulaires et trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Formules de duplication et de linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Equations trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4 Exponentielle d’un imaginaire pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.5 Généralisation à un nombre complexe quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Arguments et forme trigonométrique d’un nombre complexe 8

4 Equations complexes du second degré 94.1 Racine carrée d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.2 Equations du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.3 Relations coefficients-racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5 Racines n-ièmes d’un nombre complexe 105.1 Racines n-ièmes de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.2 Racines n-ièmes d’un complexe Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

6 Complexes et géométrie plane 116.1 Alignement, orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116.2 Transformations du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

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1 Nombres complexes1.1 Partie réelle et partie imaginaire d’un nombre complexeDefinition 1

On appelle nombre complexe toute quantité de la forme z = a+ ib avec a et b réels et i2 = −1.Le réel a est appelé la partie réelle de z. On le note Re(z).Le réel b est appelé la partie imaginaire de z. On le note Im(z).Lorsque la partie réelle de z est nulle, on dit que z est un imaginaire pur , z ∈ iR.Lorsque la partie imaginaire de z est nulle, on dit que z est un réel, z ∈ R.

Remarque : La partie réelle et la partie imaginaire d’un complexe sont des nombres réels.Il y a unicité de l’écriture algébrique. Ainsi,

z = z′ ⇔{

Re(z) = Re(z′)Im(z) = Im(z′)

Soit (z, z′) ∈ C2. Soit (λ, µ) ∈ R2.

Re(z + z′) = Re(z) + Re(z′) , Im(z + z′) = Im(z) + Im(z′).Re(λ.z) = λRe(z) , Im(λ.z) = λIm(z).

Re(zz′) = Re(z)Re(z′)− Im(z′)Im(z) , Im(zz′) = Re(z)Im(z′) + Re(z′)Im(z)

Proposition 1

1.2 Conjugaison d’un nombre complexeDefinition 2

Soit z = x+ iy un nombre complexe sous sa forme algébrique.On appelle conjugué de z et on note z le complexe défini par z = x− iy.On appelle conjugaison l’application de C dans C qui à z associe z.

Soit (z, z′) ∈ C2.1. z = z.2. zz = Re(z)2 + Im(z)2 donc zz ∈ R+.3. ∀(λ, µ) ∈ R2, λz + µz′ = λz + µz′. En particulier, z + z′ = z + z′ et z − z′ = z − z′

4. zz′ = zz′.

5. Si z 6= 0,( zz′

)= z

z′.

Proposition 2

Soit z un nombre complexe de C.

1. Re(z) = z + z

2 et Im(z) = z − z2i .

2. z ∈ R⇔ z = z.3. z ∈ iR⇔ z = −z.

Proposition 3

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1.3 Affixe et image dans la plan complexe

Les complexes ont de très grandes (et belles) applications en géométrie. Nous allons voir ici comment lier cesdeux notions.

On munit le plan P d’un repère orthonormé direct (0,−→u ,−→v ).Chaque point M a des coordonnées (x, y) dans ce repère.On note donc M(x, y).

Definition 3

• Soit z = x+ iy ∈ C. On appelle image de z le point M(x, y) du plan P.• Soit M(x, y) un point ou −→w (x, y) un vecteur du plan P. On appelle affixe de M ou de −→w le complexez = x+ iy.

Exemple :

Dans le plan P muni d’un repère orthonormé, lepoint d’affixe z est le symétrique du point d’affixez par rapport à l’axe (0x).

Remarque : L’identification de C avec le plan va permettre de traduire des propriétés géométriques en termede nombres complexes et de résoudre des problèmes géométriques grâce aux seuls nombres complexes.

Exemples : Situations géométriques traduites avec les nombres complexes

1. Si A et B sont des points d’affixes za et zb alors le vecteur −−→AB est d’affixe zb − za.2. Le segment [AB] est l’ensemble des points M d’affixe zM = za + λ(zb − za) pour λ ∈ [0, 1].3. Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme si, et seulement si, zb − za = zc − zd.

1.4 Module d’un nombre complexeDefinition 4

Soit z = x+ iy un nombre complexe sous sa forme algébrique.On appelle module de z et on note |z|, le réel défini par |z| =

√x2 + y2.

Remarque : Le module de z est la longueur du vecteur −−→OM où M est le point du plan P d’affixe z.

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Soit z ∈ C.1. |z| = |z|2. |z| = 0⇔ z = 0.3. |z|2 = zz.4. |Re(z)| ≤ |z| et |Im(z)| ≤ |z|

Proposition 4

Remarques : Nous pouvons traduire géométriquement les propriétés précédentes.1. Les points d’affixes respectives z et z sont symétriques par rapport à l’axe (Ox). Ils ont donc la même

distance à l’origine O.

4. Le segment [OM ] est l’hypoténuse d’un triangle rectangle de côtés de mesures |Re(z)| , |Im(z)| et |z|.

Soit (z, z′) ∈ C2.1. |zz′| = |z||z′|.

2. Si z 6= 0,∣∣∣ zz′

∣∣∣ = |z||z′|

.

Proposition 5

Soit (z, z′) ∈ C2.

|z + z′| ≤ |z|+ |z′| et |z − z′| ≤ |z|+ |z′|

Il y égalité si, et seulement si, ∃k ∈ R+ tel que z = kz′.

Proposition 6

Soit (z, z′) ∈ C2.

||z| − |z′|| ≤ |z − z′|

Proposition 7

Module et distance

1. Le cercle de centre A et de rayon r est l’ensemble des points d’affixe z tel que |z − a| = r

2. Le disque de centre A et de rayon r est l’ensemble des points d’affixe z tel que |z − a| ≤ r3. La médiatrice du segment [AB] est l’ensemble des points d’affixe z tel que |z − a| = |z − b|.

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2 Les nombres complexes de module 1Definition 5

On note U l’ensemble des complexes de module 1 : U = {z ∈ C , |z| = 1}Dans le plan complexe, il s’agit du cercle trigonométrique.

2.1 Fonctions circulaires et trigonométrieDefinition 6

Soit x un nombre réel. On note M le point du cercle trigonomé-trique tel que le vecteur −−→OM forme un angle de mesure x avecl’axe des abscisses.On appelle cosinus de x et on note cos(x) l’abscisse du point M .On appelle sinus de x et on note sin(x) l’ordonnée du point M .

x 0 π

6π

4π

3π

2

sin(x)

cos(x)

O 1

1M

cos(x)

sin(x)

x

1. ∀x ∈ R, cos(x+ π) = − cos(x) et sin(x+ π) = − sin(x).2. ∀x ∈ R, cos(π − x) = − cos(x) et sin(π − x) = sin(x).

3. ∀x ∈ R, cos(π

2 − x)

= sin(x) et sin(π

2 − x)

= cos(x).

Proposition 8

1. ∀(a, b) ∈ R2, cos(a− b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b).2. ∀(a, b) ∈ R2, cos(a+ b) = cos(a) cos(b)− sin(a) sin(b).3. ∀(a, b) ∈ R2, sin(a− b) = sin(a) cos(b)− cos(a) sin(b).4. ∀(a, b) ∈ R2, sin(a+ b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b).

Proposition 9

Soit a et b deux nombres réels.

1. ∀(a, b) ∈ R2, cos(a) cos(b) = 12 (cos(a− b) + cos(a+ b)).

2. ∀(a, b) ∈ R2, sin(a) sin(b) = 12(

cos(a− b)− cos(a+ b)).

3. ∀(a, b) ∈ R2, sin(a) cos(b) = 12(

sin(a− b) + sin(a+ b)).

Proposition 10

Application : On veut factoriser cos(p) + cos(q).

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Definition 7Soit x un nombre réel. On note M le point du cercle trigonomé-trique tel que le vecteur −−→OM forme un angle de mesure x avecl’axe des abscisses.On note N le point d’intersection de la droite (OM) avec la droited’équation x = 1.On appelle tangente de x et on note tan(x) l’ordonnée du pointN .

x 0 π

6π

4π

3π

2

sin(x)

cos(x)

tan(x)

O 1

1M

cos(x)

sin(x)

x

Ntan(x)

∀x ∈ R\{π

2 + kπ , k ∈ Z}, tan(x) = sin(x)

cos(x) .

Proposition 11

1. tan(x+ π) = tan(x).2. tan(π − x) = − tan(x).

3. tan(π2 − x) = 1tan(x) .

4. ∀(a, b) ∈ R2 tels que a 6= π

2 [π] et b 6= π

2 [π] et a+ b 6= π

2 [π], tan(a+ b) = tan(a) + tan(b)1− tan(a) tan(b) .

5. ∀(a, b) ∈ R2 tels que pour a 6= π

2 [π] et b 6= π

2 [π] et a− b 6= π

2 [π], tan(a− b) = tan(a)− tan(b)1 + tan(a) tan(b) .

Proposition 12

2.2 Formules de duplication et de linéarisation

Soit x ∈ R.1. cos(2x) = cos2(x)− sin2(x) = 1− 2 sin2(x) = 2 cos2(x)− 1.2. sin(2x) = 2 cos(x) sin(x).

3. tan(2x) = 2 tan(x)1− tan2(x)

.

Proposition 13

Soit x ∈ R.

1. cos2(x) = 1 + cos(2x)2 .

2. sin2(x) = 1− cos(2x)2 .

Proposition 14

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2.3 Equations trigonométriques

∀(x, y) ∈ R2, cos(x) = cos(y)⇔ ∃k ∈ Z, x = y + 2kπ ou x = −y + 2kπ

∀(x, y) ∈ R2, sin(x) = sin(y)⇔ ∃k ∈ Z, x = y + 2kπ ou x = π − y + 2kπ

O 1

1

cos(θ)θ

−θ O 1

1

sin(θ)

θπ − θ

Proposition 15

2.4 Exponentielle d’un imaginaire purDefinition 8

On définit une application de R dans U par{R→ Uθ 7→ cos(θ) + isin(θ)

On note eiθ = cos(θ) + isin(θ) le complexe obtenu.

Exemples : eiπ

2 = i , eiπ = −1.

1. ∀θ ∈ R, Re(eiθ) = cos(θ), Im(eiθ) = sin(θ) et |eiθ| = 1.

2. ∀θ ∈ R, eiθ = e−iθ = 1eiθ .

3. ∀(θ, θ′) ∈ R2, ei(θ+θ′) = eiθ × eiθ′

4. ∀(θ, θ′) ∈ R2, eiθ = eiθ′ si, et seulement si, θ ≡ θ′[2π]

Proposition 16

Cette application est une surjection. On a donc U ={

eiθ, θ ∈ R}.

Proposition 17

∀θ ∈ R, cos(θ) = eiθ + e−iθ

2 et sin(θ) = eiθ − e−iθ

2i

Proposition 18 : Formules d’Euler

Application : Linéarisation des fonctions circulairesOn souhaite linéariser la quantité cos3(θ), c’est-à-dire ne l’exprimer qu’avec des termes de la forme cos(nθ).

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∀θ ∈ R, ∀n ∈ Z∗, (cos(θ) + i sin(θ))n = cos(nθ) + i sin(nθ)

Proposition 19 : Formules de Moivre

Application 1 : Polynômes trigonométriquesOn veut exprimer cos(4θ) et sin(4θ) en fonction de sin(θ) et de cos(θ)

Application 2 : Sommes trigonométriques

On va calculer S =n∑k=0

cos(kθ).

2.5 Généralisation à un nombre complexe quelconqueDefinition 9

On appelle exponentielle complexe l’application exp :{

C→ Cz 7→ eRe(z)eiIm(z)

On note le complexe obtenu exp(z) ou ez.

Soit (z, z′) ∈ C2. Soit a ∈ C.1. Re(ez) = eRe(z). cos(Im(z)).2. Im(ez) = eRe(z). sin(Im(z)).3. |ez| = eRe(z).4. ez = ez.

5. 1ez = e−z.

6. ez+z′ = ez.ez′ .7. ez = ez′ si, et seulement si, z − z′ ∈ 2iπZ.

8. ez = a⇔{

eRe(z). cos(Im(z)) = Re(a)eRe(z). sin(Im(z)) = Im(a) .

Proposition 20

3 Arguments et forme trigonométrique d’un nombre complexeDefinition 10

Soit z ∈ U. On appelle argument de z tout réel θ tel que z = eiθ. On les note arg(z).Il n’y a pas unicité d’un tel réel, seulement unicité modulo 2π.

Exemple : arg(i) = π

2 .

Soit z ∈ C∗. Il existe un unique réel r > 0 et un réel θ, unique modulo 2π, tel que z = reiθ.Proposition 21

Definition 11

Une écriture de z sous la forme z = reiθ est appeléeforme trigonométrique de z.L’ensemble {θ + 2kπ , k ∈ Z} est l’ensemble des arguments de z.

O

|z|

M(z)

arg(z)

Exemple : Donner la forme trigonométrique du complexe z = 1 + i.

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Remarques :

1. z ∈ R⇔ arg(z) = 0[π] et z ∈ iR⇔ arg(z) = π

2 [π].

2. Pour z ∈ C , ez = eRe(z)eiIm(z) est une forme trigonométrique de ez.

Soit (z, z′) ∈ C2. Soit n ∈ N.1. arg(zz′) = arg(z)+ arg(z′) [2π]

2. arg( zz′

)= arg(z)− arg(z′) [2π]

3. arg(zn) = narg(z)[2π]

Proposition 22

Exemple : Calculer (1 + i)4.

Application 1 : Transformation de acos(θ)+bsin(θ) en Acos(θ − φ)

Application 2 : Angle moitiéOn souhaite connaître l’écriture algébrique du complexe 1 + eiθ.

4 Equations complexes du second degré4.1 Racine carrée d’un nombre complexeDefinition 12

Soit Z ∈ C. On appelle racinée carrée de Z tout nombre complexe z tel que z2 = Z.

Soit Z = a+ ib un nombre complexe non nul.L’équation z2 = Z, d’inconnue z = x + iy, admet exactement deux solutions qui sont des complexesopposés.

z2 = Z ⇔

|z|2 = |Z|

Re(z2) = Re(Z)Im(z2) = Im(Z)

⇔

x2 + y2 =√a2 + b2

x2 − y2 = a2xy = b

Proposition 23

Exemple : Déterminer les deux racines carrés de Z = 3 + 4i.

4.2 Equations du second degréDefinition 13

Soient (a, b, c) ∈ C3. On appelle discriminant de l’équation az2 +bz+c = 0 le nombre complexe ∆ = b2−4ac.

Soient (a, b, c) ∈ C3 et soit ∆ le discriminant de l’équation az2 + bz + c = 0.

1. Si ∆ 6= 0 alors l’équation admet exactement deux solutions données par z1 = −b− δ2a et z2 = −b+ δ

2aoù δ est une racine carrée de ∆.

2. Si ∆ = 0 alors l’équation admet une unique solution donnée par z1 = −b2a .

Proposition 24

Exemple : Résoudre l’équation z2 − 2iz + 2− 4i = 0

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4.3 Relations coefficients-racines

Soient (a, b, c) ∈ C3 avec a 6= 0 et soient z1, z2 deux complexes.z1 et z2 sont les solutions de l’équation az2 + bz + c = 0 si, et seulement si, z1z2 = c

aet z1 + z2 = −b

a.

Proposition 25

Exemple : Résoudre le système{z1 + z2 = 2iz1z2 = 2− 4i .

5 Racines n-ièmes d’un nombre complexe5.1 Racines n-ièmes de l’unitéDefinition 14

Soit n ∈ N. On appelle racines n-ièmes de l’unité tous les nombres complexes z tels que zn = 1.On note Un l’ensemble des racines n-ièmes de l’unité.

Exemples : 1 et i sont deux racines 4-ièmes de l’unité.1 est racine n-ièmes de l’unité pour tous les nombres n.

Soit n ∈ N.

1. Il existe exactement n racines n-ièmes de l’unité distinctes : wk = e2ikπn pour 0 ≤ k ≤ n− 1.

Un =

wk = e2ikπn , k ∈ [[0, n− 1]]

2. ∀k ∈ [[0, n− 1], on a wk = wk1 . Donc Un =

{1, w1, w

21, ...., w

n−11

}.

3. La somme des racines n-ièmes de l’unité vaut 0 : ∀n ∈ N ,n−1∑k=0

wk = w0 + w1 + ...+ wn−1 = 0.

Proposition 26

Application : Représentation des racines de l’unité• Pour n = 2 , il y a deux racines w0 = 1 et w1 = eiπ = −1.

• Pour n = 3, les 3 racines sont w0 = 1, w1 = e 2iπ3 = cos

(2π3)

+ i sin(2π

3)

= −12 + i

√3

2 et w2 = −12 − i

√3

2 .

• Pour n = 4, les 4 racines sont w0 = 1, w1 = e 2iπ4 = i , w2 = e 4iπ

4 = −1 et w3 = e 6iπ4 = −i

O

M0

M1

M2

O

M0

M1

M2

M3

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5.2 Racines n-ièmes d’un complexe Z

Definition 15Soit n ∈ N et soit Z un nombre complexe. On appelle racines n-ièmes de Z tous les nombres complexes ztels que zn = Z.

Remarque : On a calculé les racines 2-ièmes d’un complexe Z lors de la résolution de l’équation z2 = Z.

Soit n ∈ N et soit Z = Reiθ un nombre complexe sous forme trigonométrique.

1. Il existe exactement n racines n-ièmes de Z distinctes : ∀k ∈ [[0, n− 1]], zk = n√Re

i2kπ + θ

n .2. Si on note z0 = n

√Reiθ/n une racine n-ième particulière de Z alors toutes les autres racines n-ième

de Z sont de la forme zk = z0wk où wk est une racine n-ième d l’unité.

Proposition 27

Exemple : Trouver les racines 4-ièmes de Z1 = 1 +√

3i et les racines 3-ièmes de Z2 = −27.

6 Complexes et géométrie plane6.1 Alignement, orthogonalité

Soient A(za) , B(zb) , M(z) et M ′(z′) des points du plan complexe autre que l’origine.

Tout argument du complexe z′

zest une mesure de l’angle ̂(−−→OM,

−−−→OM ′).

Proposition 28

Soient A(za) , B(zb) , M(z) des points du plan complexe autre que l’origine.

1. Les points A(za) , B(zb) et M(z) sont alignés si, et seulement si, z − zbz − za

est un nombre réel.

2. Les vecteurs −−→MA et −−→MB sont orthogonaux si, et seulement si, z − zbz − za

est un imaginaire pur.

Proposition 29

Exemple : Les points A(i) , B(3 + i) et C(2 + 9i) sont-ils alignés ?

6.2 Transformations du planDefinition 16

Soit −→u un vecteur du plan P.

On appelle translation de vecteur −→u la transformation du planqui à un point M associe l’unique point M ′ tel que

−−−→MM ′ = −→u . O

M(z)

Mt(z + w)

−→u (w)

Soit −→u un vecteur du plan P d’affixe w ∈ C.

L’application{

C→ Cz 7→ z + w

correspond à la translation de vecteur −→u .

Proposition 30

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Definition 17Soit A ∈ P et θ ∈ R.

On appelle rotation de centre A et d’angle θ la transformation duplan qui à un point M associe l’unique point M ′ tel que

AM = AM ′ et̂

(−−→AM ′,

−−→AM) = θ[2π]

O

M(z)Mr(eiθz)

θ

Soit θ ∈ R et soit A(za) un point du plan complexe.

• L’application{

C→ Cz 7→ eiθz

correspond à la rotation de centre O et d’angle θ.

• L’application{

C→ Cz 7→ eiθ(z − za) + za

correspond à la rotation de centre A d’affixe za et d’angle θ.

Proposition 31

Exemple : Exprimer la rotation de centre A(2, 0) et d’angle π4 .

Definition 18Soit A ∈ P et k ∈ R.

On appelle homothétie de centre A et de rapport k la transfor-mation du plan qui à un point M associe l’unique point M ′ telque

−−→AM ′ = k

−−→AM

O

M(z)

Mh(kz)

Soit k ∈ R∗ et soit A(za) un point du plan complexe.

• L’application{

C→ Cz 7→ kz

correspond à l’homothétie de rapport k et de centre O.

• L’application{

C→ Cz 7→ k(z − za) + za

correspond à l’homothétie de rapport k et de centre A.

Proposition 32

Definition 19On appelle similitude directe toute transformation du plan de la forme z 7→ az + b où (a, b) ∈ C∗ × C.

Exemples : Les translations, homothéties et rotations sont des similitudes directes.

Soit (a, b) ∈ C∗ × C. Notons σa,b : z ∈ C 7→ az + b.1. Si a = 1 alors σa,b est une translation.2. Si a 6= 1, σa,b est la composée d’une homothétie et d’une rotation.

Proposition 33

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