1

Mécanique Quantique I -- Chapitre V-VI-VII

http://dpnc.unige.ch/users/blondel/mecanique-quantique/

cours-VII.pdf

2

à une particule on avait associé une amplitude de probabilité (A.P.)(ou fonction d’onde) qui est un élément d’un espace de Hilbert (EH =L2(R3) , fonctions de carré sommable sur R3 )

Un Espace de Hilbert est un espace vectoriel sur le corps des complexes, muni d’un produit scalaire Hermitien.

),( tr

On a vu que la donnée de ou de sont équivalentes (transformées de Fourier l’une de l’autre)

ce sont deux des représentations possibles d’un même objet mathématique qu’on appelle vecteur d’état

),( tp),( tr

)(t

Dirac a nommé ces objets kets

3

à une particule on associe une A.P. , ou vecteur d’état ou ket

qui est un élément d’un espace de Hilbert Un espace de Hilbert est un espace vectoriel sur le corps des complexes, muni d’un produit scalaire Hermitien

le produit scalaire de par est noté

)(t

)(1 t )(2 t

)()( 12 tt

il a la symétrie Hermitienne )()()()( 21

*

12 tttt

la norme d’un vecteur d’état est )()()(2

ttt

par définition (si on parle d’une particule) 1)(2 t

4

le produit scalaire de par est noté)(1 t )(2 t

)(1 t

)()( 12 tt

est appelé bra

un bra est un élément de l’espace dual EH*

(ensemble des applications linéaires continues définies sur EH )

il y a correspondance bi-univoque entre EH et EH* donc on parle

des mêmes objets mathématiques (et ~physiques)

5

exemple I

un espace de Hilbert de dimension finie est un espace Hermitien

les vecteurs peuvent se représenter comme des matrices colonnede coefficients complexes

nu

u

u

u

.

.

.2

1

nv

v

v

v

.

.

.2

1

n

nni

ii

u

u

vvuvuv

.

.

.

...

1

**1

,1

*

|ket> = vecteur colonne, <bra| = vecteur ligne des complexes conjugués

6

exemple II

EH =L2(R3) , fonctions de carré sommable sur R3

1),( 32

rdtr

rdtrtrtt 3

1*

212 ),(),()()(

produit scalaire hermitien

norme

7

OPERATEURS

grandeur physique à mesurer opérateur hermitien Â

opérateur= application linéaire sur l’espace de Hilbert Â|>=’> > et’> EH

(dans un espace hermitien c’est une matrice de dimension nxn)

on fait souvent l’opération< (Â |>)= (< Â)|>= <Â|>

qui est appelée élement de matrice de  entre et

valeur moyenne de  sur |> : <a> = <Â|>

8

nu

u

u

u

.

.

.2

1

nv

v

v

v

.

.

.2

1

nnnn

n

n

njni

jiji

u

u

AA

AA

vvuAvuAvijA .

.

.

..

...

....

..

...

1

1

111

**1

,1,1

*

en notation matricielle:

nnnn

nn

n

nnn

n

uAuA

uAuA

u

u

u

AA

AA

uAijA

....

.

.

...

.

.

.

..

...

....

..

11

1111

2

1

1

111

9

operateur adjoint ou conjugué Hermitique †

|u> et |v> EH *† ) Â( Â vuuv

(transposé et complexe conjugué)

un opérateur est auto-adjoint ou Hermitien si Â= †

pour une matrice: Aij= Aji*

si Â= † les valeurs moyennes sont réelles <a> = <uÂu> = <u† u> = <a>*

10

EH =L2(R3) , fonctions de carré sommable sur R3

rdtrxtrtxt 3

1*

212 ),(),()(ˆ)(

opérateur position et impulsion

)(ˆ)(),(),(

),(),()( x)(

123

1*

2

*

32

*11

†2

txtrdtrxtr

rdtrxtrtt

l’opérateur position est donc Hermitien

11

EH =L2(R3) , fonctions de carré sommable sur R3

rdtrxi

trtpt x

31

*212 ),(),()(ˆ)(

opérateur position et impulsion

l’opérateur impulsion est donc aussi Hermitien

rdtrx

tri

rdtrx

tri

rdtrxi

trtt x

31

*2

3*21

*

32

*11

†2

),(),(),(),(

),(),()(p)(

on intègre par parties

le Hamiltonien est aussi un opérateur Hermitien

12

Vecteurs propres et valeurs propres

A

si Â= † les valeurs propres sont réelles :<A> = <  > = = < † > = < † >*= *

les vecteurs propres correspondant à deux valeurs propresdifférentes sont orthogonaux

< Â > = < (Â >)= < > = (< Â) >= < > =0 si

13

Théorème spectral (théorème de Riesz):

l’ensemble { , r >} des vecteurs propres orthonormés d’unopérateur Hermitien forme une base Hermitienne de l’espace de Hilbert

voir dans le cours l’exemple des états stationnaires de l’oscillateur harmonique qui forment une base de l’expace des fonctions de EH =L2(R)

ceci veut dire que:on peut décomposer tout vecteur de EH

comme combinaison linéaire des vecteurs propres d’un opérateur Hermitien

14

projecteur

l’opérateur In> <nI permet de calculer la projectiond’un élément de l’espace sur le vecteur In>

> = Cn n>

<n > = Cn

Cn n> = In> <n > = (In> <n ) I >

15

soit Â= † et ses valeurs propres i i=1,…nà chaque valeur propre correspond un sous espace propre(en général ce sous espace propre n’est pas de dimension 1)de dimension n .

A cette dimension n on fait correspondre un indice r =1, …n

On trouve une base orthonormée du sous espace propre correspondant à la valeur propre dont les vecteurs sont , r > r =1, …n

l’ensemble des vecteurs propres de  est { i, r i > ri =1, …ni } i=1,…n si l’espace est de dimension finie N, i=1..n ni =N

Théorème spectral (théorème de Riesz):

16

si on a ainsi défini les vecteurs de base n> on peut écrire tout état sous la forme

u> = Cn n> et <u = Cn* <n d’où <uIu> = ICnI2

l’ensemble des Cn définit complètement l’etat Iu> et constitueune nouvelle représentation de Iu>

si Iv> = Dn n> le produit scalaire <vIu> s’écrit

<vIu> = Dn* Cn

17

par exemple l’ensemble des fonctions propres du Hamiltonien de l’oscillateur Harmonique: (revoir cours chap. 4 p. 82)

2

2

2 xnx

nn edx

deC

n=0,1,2…

constitue une base des fonctions de EH =L2(R3) ,

que l’on pourra noter n= In>

on peut reprendre les expressions des opérateurs x et px

)(1)()(2

)()(1)(2

11

11

xnxnxdx

da

xnaxnaxx

nnn

nnn

18

)(1)()(2

)()(1)(2

11

11

xnxnxdx

da

xnaxnaxx

nnn

nnn

soit

maavec

nnnna

inp

nnnna

nx

x

)111(2

)111(2

on voit que l’application de x ou px fait passer d’un état In> à un mélange de In-1> et In+1>

19

on peut écrire ces récurrences sous forme matricielle

)111(2

)111(2

nnnnm

inpnnnnm

nx x

)1(2

ˆ

0

..

0

.

01020

0201

0010

2ˆ

1,1,

iiiiij iim

x

ii

mx

)1(2

ˆ

0

..

0

.

01020

0201

0010

2ˆ

1,1,

iiiiijx

x

iim

ip

ii

mip

20

exercice: utiliser la relation 22

2

ˆ2

1

2

ˆˆ xmm

pE

pour écrire le Hamiltonien et vérifier qu’on retrouve bien

ij

iE

iE

2

12ˆ

2

12

.

0

.

0

.

0

02/500

002/30

0002/1

ˆ

21

Autre exemple:

fonctions propres du Hamiltonien d’un puits bords infinis à 3D

)sin(2

)(,2

222

xx

xn

x

xn L

xn

Lx

mL

nE

xx

)sin(2

)(,2

222

yy

yn

y

yn L

yn

Ly

mL

nE

yy

)sin(2

)(,2

222

zz

zn

z

zn L

zn

Lz

mL

nE

zz

)()()(),,(

),,(

,,

,,

zyxzyx

EEEE

HHHzyxH

zyxzyx

zyxzyx

nnnnnn

nnnnnn

zyx

qui sont bien des bases des fonctions définies surun segment et qui s’annulentau bords

22

cette fois la représentation sous forme de bra-kets doit tenir compte de ce qu’on augmente la dimension de l’espace

)()()(),,(

),,(

,,

,,

zyxzyx

EEEE

HHHzyxH

zyxzyx

zyxzyx

nnnnnn

nnnnnn

zyx

produit tensoriel d’espaces

Ex = fonctions de carré sommable sur [0,L]

E = fonctions de carré sommable sur [0,Lx]x [0,Ly]x [0,Lz] = Ex Ey Ez

pour le Hamiltonien considéré les fonctions propres sont

zyxzyxzyx nnnnnnnnn ,,

23

remarquer que si Lx=Ly certaines valeurs de l’énergie correspondent à plusieurs paires de nombres nx et ny (ex. nx=1, ny=2 aura la même énergie que nx=2, ny=1)

c’est un exemple de dégénerescence ou l’on doit donner un autre nombre quantique que E, soit r

dans le cas présent on donnera nx ny, nz ou E, ny,nz pour caractériser un état.

24

Mesure d’une grandeur physique Â

on ne trouvera comme résultat possible que les valeurs propres de Â

pour un état I> = C I> tel que ÂI>= I>

la probabilité de mesurer sera P= II<I>II2 =IIC II2

les valeurs dépendent de l’opérateur, les probabilités dépendent de l’état du système

valeur moyenne des résultats de la mesure

<A>=<IAI> = < I A C I> = C* C <I> = IIC II2

= P

Après mesure, si le système existe encore, il sera dans l’état I>

25

Evolution dans le temps

Pour un système statique (H ne dépend pas du temps) l’évolution dans le temps de l’amplitude de probabilité d’un système s’obtient en décomposant le vecteur d’état I> sur la base des états propres I n > du Hamiltonien (Etats stationaires)

nn

tEi

n

nn

n

n

eCt

Ct

)(

)0(

Dans le cas plus général, l’évolution dans le temps s’obtient enappliquant l’équation de Schrödinger

Ht

i ˆ

26

Paradoxe!

Il semble y avoir deux types d’évolution dans le temps.

1. Celui donné par l’équation de Schrödinger

l’évolution est continue, du type

Ht

i ˆ

nn

tEi

n

n

eCt

)(

2. l’évolution déterminée par une ‘mesure’, qui est discontinue

)(t

“Réduction du paquet d’ondes”. Voir la discussion ‘epistémologique’ dans le livre sur les tentatives visant à réconcilier ces deux modes.

27

Avant la mesure, le système évolue mais l’information que l’on a nechange pas. La prédiction du résultat de la prochaine mesure varie de façon continue (et ne varie pas pour un état stationnaire).

Après la mesure, une information supplémentaire existe, qui est le résultat de la mesure. Le vecteur d’état est modifié pour tenir en compte cette nouvelle information, et évolue de nouveau de façoncontinue et réversible. L’interaction physique de l’instrument de mesure avec le système peut contribuer à ce changement, mais pas necessairement.

Le passage de ‘avant’ à ‘aprés’ mesure est (quasi) discontinu etgénéralement irréversible.

28

Exemple fameux (et quelque peu fumeux): le chat de Schrödinger

atome radioactif p.ex. 6He 6Li+ +e- +

detecteur (scintillateur et photomultiplicateur) électronique (amplificateur de signal) dispositif brisant une ampoule de gaz toxique animal de laboratoire (chat souris etc…)

“gedanken experiment”

29

Comme la boite est fermée il n’y a pas moyen de savoir ce qui se passe. A un certain moment on ouvre la boite et effectue l’observation. la souris peut être “encore vivante” ou “…morte”.

Qui tue la souris?

-- l’atome qui se désintègre?-- la personne qui ouvre la boite et effectue l’observation?

En fait la mécanique quantique ne répond pas à cette questionPar contre elle est capable de prédire quelle est la probabilitéen fonction du temps que l’observation donne le résultat ‘vivant’ ou ‘mort’ Pmort (t)=1-exp(-t/) Pvivant= exp(-t/) ou est le temps de vie moyen du 6He.

la personne qui a préparé l’epérience..?

ou

30

Chapitre VI Sytèmes à deux états

Formalisme et exemples On est dans le cas d’un espace de Hilbert à deux dimensions.

Remarques:I. Ceci peut être une approximation (cas de la molécule d’ammoniaque si on se restreint au sous espace des deux niveaux les plus bas) ou un cas plus rigoureux (traitement du spin d’une particule, polarisation de la lumière, système particule-antiparticule (K0-K0, B0-B0)

II. le cas de systèmes à trois états (neutrinos), ou à petit nombre d’états molécule de benzène etc.. est similaire.

31

0

11

1

02 011 102

vecteur quelconque:

21

2

*1

***

Espace de Hilbert à deux dimensions

vecteurs de base:

normalisation: 122

opérateur Hermitien général

daicb

icbdaM a,b,c,d réels

321 ˆˆˆˆˆ dcbIaM avec

01

10ˆ1

10

01I

10

01ˆ3

0

0ˆ2 i

i

32

Exemple Polarisation de la lumière

z

y

x

p

s

un faisceau de photons = ensemble de photons indépendantsLa polarisation de la lumière résulte du spin des photons: ils ‘tournent’ sur eux-mêmes avec un moment cinétique = On peut représenter le spin des photons par un espace de Hilbert à deux dimensions

0

1x

1

0y

sin

cos

lumière polarisée linéairement selon l’axe x, y,

iG

1

2

1

i

D1

2

1

1.

ps

ps

1.

ps

ps

lumière polarisée circulairement

33

Polariseur

Un polariseur sélectionne la lumière polarisée linéairement selon un axe parallel à l’axe du polariseur. il s’agit bien d’une mesure.L’état de la lumière après le polariseur est Ix>, Iy>, I> pour un polariseur orienté selon x, y, . L’opérateur “polariseur” est représenté par un projecteur Â=

2

2

sincossin

cossincossincos

sin

cos

valeurs propres et états propres: 1 <-> I> ; 0 <-> I + /2>

La probabilité qu’un photon initialement dans l’état I> ‘passe’ estP= II< I >II2 = II cos cos+ sin sinII2 = cos2( - )

34

expériences avec un polariseur

on ne peut pas réduire la mécanique quantique à la probabilité des résultats obtenus lors d’une mesure.

Le fait que l’état physique résultant est un vecteur propre de l’opérateur correspondant est essentiel.

35

revenons sur la molécule d’ammoniaque

niveaux d’énergie les plus bas

E0A

E1A1

E1-E0 =0,12 eV

A = 0.5 10-4 eVA1= 5 10-3 eV

rapport statistique des populations (loi de Bolzmann):

kT

EE

j

iji

eN

N

pour T=100oK NA/NS~1, N1/N0 ~10-6

approximation: les états sont IS> et IA>

AS

36

0

1S

1

0A

vecteur quelconque:

21

Espace de Hilbert à deux dimensions

vecteurs de base Hamiltonien

122

AE

AEH

0

0

0

0ˆ

2/

2/

0

00

0

0

)(ti

tit

Ei

tAE

i

tAE

i

e

ee

e

et

AS EEA 20

Evolution dans le temps:

37

IS> IA>IS> - IA> IS> + IA>

1

1

2

1G

1

1

2

1D

IG> et ID> sont les vecteurs propres de 1 pour les valeurs propres -1 et 1.

construct observable that is measured to be 1 for ID> and -1 for IG>

X= ID> <DI - IG> <GI= ( ) = 1 0 11 0

Evolution dans le temps: supposons qu’on ait comme état initial ID>

tee

e

eeetXttX

titi

ti

tititi

0

2/

2/2/2/

cos)(2

1

01

10

2

1)()()(

00

0

0

00

2/

2/

0

00

2

1)(

ti

tit

Ei

e

eet

38

Oscillation: c’est ce qui se passe typiquement pour un système ou on a deux états et ou l’on laisse évoluer le système à partir d’unétat qui n’est pas état propre du Hamiltonien pour la particule libre

P(D)P(G)<X>

t

-1

1

0

la fréquence de cette oscillation est 24 GHz…La molécule ayant un moment dipolaire, elle émet des photons à cette fréquence qui sont detectés par ex. dans le vide insterstellaire

39

Molécule dans un champ électrique

La molécule d’ammoniaque a un moment électrique dipolaire, la présence d’un champ électrique E donne une énergie potentielle supplémentaire W

XXdDW ˆˆˆ.ˆ0

pour un champ electrique aligné sur ox

modification du Hamiltonien H=H0+W

AE

AE

AE

AEH

0

0

0

0

01

10

0

0ˆ

Les valeurs propres sont modifiées, les états propres aussiquelles vont être les conséquences mesurables?

40

nouvelles valeurs propres v1+v2=Trace=2E0

v1.v2 = determinant= E02-A2-2

AE

AEH

0

0ˆ

220

220

AEE

AEE

vecteurs propres:

sin

cos)(

sin

cosˆ 220

0

0 AEAE

AEH

A

)2tan(solution

cos

sin

sin

cos

41

champ

E-E0

+A

-A

E0+

E0-E-

E+

0

0

S

A

G

D

42

Force dans un gradient de champ

pour <<A H = E0 A d02/2A

d02/2A est semblable à un potentiel 20

2

A

dVF

cette force est de direction opposée pour les particules dans l’état I-> et I+>

séparation des faisceaux!

43

_

_+

+

S

A

on peut ainsi enrichir le faisceau avec un des deux types de molécules. En particulier on obtient un faisceau enrichi en qui est l’état d’énergie le plus élevé. C’est ce qu’on appelle une inversion de population.

La création d’une inversion de population (parfois appelée pompage) est un des préliminaires à l’effet MASER (micowave) ou LASER (Light) Amplification by Stimulated Emission of Radiation

A

44

Maser à ammoniaque

SA

AS EEA 20

Emission spontanée:

)2( 0 ASSA EEAphoton

très lent ( >= 1mo)

Emission stimuléeon soumet les molécules à un champ electromagnétique à une pulsation voisine de 0 :

Ceci ajoute au Hamiltonien un terme

tcos0

AEt

tAEd

AE

AEH

0

00

0

0

cos

cos

01

10

0

0ˆ

01

10ˆ0dDW

dans la base ,S A

45

AEt

tAEd

AE

AEH

0

00

0

0

cos

cos

01

10

0

0ˆ

Hamiltonien dépendant du temps!

On ne peut pas déterminer la dépendance en temps à partirdes états stationnaires: ils n’existent pas.

Ht

i ˆ

appliquons

)(

)()(

tb

tatà

)(

)(

cos

cos

)(

)(

0

0

tb

ta

AEt

tAE

tb

tai

)(cos)()()(

)(cos)()()(

0

0

tattbAEtbi

tbttaAEtai

soit

46

)(cos)()()(

)(cos)()()(

0

0

tattbAEtbi

tbttaAEtai

equations couplées. Poser

on verra un exemple soluble exactement avec la résonnance magnétique. On peut résoudre numériquement aussi

tEiti

tEiti

eettb

eetta

00

00

2

2

)()(

)()(

A20

)(2

)(2)()(

1

)()(1

00

00

titi

titi

eei

eei

1

47

Evolution:

)2

)((sin)( 21

20

2max)(

tPtP SA

21

20

21

max )(

P

Resonance!

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 2 4 6 8

Série1

Tmax = 1 ~10-7s pour E=1 kV/m

)()( tP SA

t/T

La transition est complètesi

21

20 )(

T0 = 1/24 GHz = 10-11s

omega

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.5E+11 1.5E+11 1.5E+11 1.5E+11 1.5E+11 1.5E+11

omega

PMax

si I (t=0)>=IA> I< SI (t)>I2 =

48

MASER

tcos0

_+

+SA

S

inversion de population

emission stimulée

applications: amplification de signaux très faibles(la source est un champ extérieur)

génération de faisceaux d’ondes intenses et cohérentes (MASER, LASER)

49

Le principe d’émission stimulée et de résonance est utilisé pour de multiples applications métrologiques

Horloges atomiques

l++>

l+->

133Csraie hyperfine de

= 9 192 631 770 Hz = définition de la seconde

la mesure de fréquence est la plus précise qui existe (on “compte” les coups par seconde)

50

Observables qui commutent

Si deux observables Ô1 et Ô2 commutent, il existe un base de EH formée de vecteurs propres communs de Ô1 et Ô2

51

exemple: oscillateur harmonique à deux dimensions

yx HHymym

xmxm

H ˆˆ2

1

22

1

2ˆ 22

2

2222

2

22

xH yHet commutent

)()2

1()()(ˆ xnxExH nxxnxnxnxx )()

2

1()()(ˆ xnyEyH nyynynynyy

)()()1()()()ˆˆ( yxnnyxHH nynxyxnynxyx

yxyxnynx nnnnyx ,)()(

est une base commune de xH yHet

52

Ensemble complet d’observables qui commutent

v1

v2

v3

en général le sous espace associé à chaque valeur propre vk

a une dimension nk. On a un ensemble COMPLET si l’état propre commun de V,W,Z est unique: Iv,w,z> est de dimension 1.

w1

w2

w3

w4

w5

w6{

}

{

{ }

}

}

}

z1z2z3z4

z5z6z7

etc…

V ZW

note:les valeurs propres w1 et w2 sont différentesw1 et w3 pas forcément

53

pour --un oscillateur harmonique à une dimension, --un puits fini ou infini à une dimensionle Hamiltonien constitue un ECOC à lui tout seul.

Pour un Oscillateur Harmonique à 2 dimensions Hx, Hy forment un ECOC. I nx, ny > est unique…bien que son energie ne soit pas unique!

L’état I 1, 0 > a la même énergie que l’état I 0, 1 >

Un autre base possible de ce même sous espace propre est

)101(

1,00,12

1

1,00,12

1

on va voir qu’ils correspondent à un autre ECOC….

54

En effet

222

2

22

22

222

2222

2

22

2

111

2

2

1

22

1

2ˆ

rmrrrrm

ymym

xmxm

H

r

x

y

on peut faire apparaitre le moment cinétique

ix

yy

xi

pypxL xyz

ˆˆˆˆˆ

fonctions propres de Lz ?

i

z

erfr

rri

rL

)(),(

),(),(),(ˆ

55

i

erfr )(),( contrainte: (r,)= (r,+2)

)()(2

1

2

1

2

),(2

111

2),(ˆ

222

22

2

22

222

22

22

22

rEfrfrmmrrrrm

rrmrrrrm

rH

qui permet de trouver les valeurs de l’energie

(qui seront fonction de l2 )un état propre se caractérise par un nombre radial solution

de cette equation et un nombre ‘orbital’ l correspondant(Oscillateur harmonique à deux dimensions)

56

L’expérience de Stern et Gerlach

57

58

59

Traitement classique: action d’un champ magnétique sur une particule neutrese fait par son moment dipolaire magnétique

B

pour un moment magnétique sans friction precession avec friction: il s’aligne sur le champ magnétique (boussole)

60

61

62

mouvement dans une force constante (parabolique)

63

mouvement dans une force constante (parabolique)

B

z

z= 0cos z

-1 cos +1

L

cos

2

'20

m

bLz

64

z

m

bLz

2

'20

max

m

bLz

2

'20

min

0B Quantique

0B

0B

Classique

65

quantification des trajectoires? relié à la quantification des raies atomiques?

66

67

Description quantique

Manifestement on doit introduire un degré de liberté interne décrivant le moment magnétique.

concentrons nous sur ce degré de liberté interne pour le moment

68

On a trois observables correspondant auxcomposantes d’un vecteur moment magnétique

zyx ˆ,ˆ,ˆ

Chacune a deux résultats de mesure possible 0

nous nous plaçons donc (au moins) dans un espace à deux dimensions générés par les vecteurs propres de

zz

zz

z

z

0

0

ˆ

ˆ

z

état quelconque zz

0

0

on mesurera avec une probabilité 2

on mesurera avec une probabilité 2

69

0

1z

1

0z 01 z 10 z

vecteur quelconque:

zz

zz ****

Espace de Hilbert à deux dimensions

vecteurs de base:

normalisation: 122

opérateur Hermitien général

daicb

icbdaM a,b,c,d réels

321 ˆˆˆˆˆ dcbIaM avec

01

10ˆ1

10

01I

10

01ˆ3

0

0ˆ2 i

i

70

structure de l’espace et règles de commutation:

Est-ce que commutent?

si oui, on peut trouver une base de vecteurs communs qui pourront s’écrire Ix, y, z> (8 vecteurs). Une autre possibilité serait qu’ils ne commutent pas et que l’epace n’ait que deux dimensions.

Cette question peut être confrontée à des expériences

zyx ˆ,ˆ,ˆ

71

observation:

72

EXPERIMENTAL: x ne commute pas avec z etc…

73

Si x commute avec z la troisième mesure doit donner +0

avec une probabilité de 100%.

74

75

toutes les observations sur les moments mahnétiques de l’atome d’argent sont cohérentes avec la non-commutationde et la représentation matricielle suivante:

zyx ˆ,ˆ,ˆ

01

10ˆ 0x

0

0ˆ 0 i

iy

10

01ˆ 0 z

dans la base des états propres de z.

0

1z

1

0z

1

1

2

1x

1

1

2

1x

iy

1

2

1

i

y1

2

1

76

77

Description complète du problème

78

79

80

81

82

Evolution d’un moment magnétique dans un champ magnétique uniforme

),(

),(

ˆ2

ˆ0

0ˆ2

ˆ

),(

),(ˆ),(

),(

0

2

0

2

tr

tr

Bm

p

Bm

p

tr

trH

tr

tr

dt

di

z

z

on a des equations indépendantes pour I+> et I->on sépare donc

)(

)(),(

),(

),(

t

ttr

tr

tr

2/

2/

0

0

0

0

)0(

)0(

)(

)(

)(

)(

ˆ0

0ˆ

)(

)(ti

ti

z

z

e

e

t

t

t

t

B

B

t

ti

avec h=20Bz

83

On peut calculer les valeurs moyennes des mesures de

zyx ˆ,ˆ,ˆ

tt

tttx 000

** cos)0()0(2)(

)(

01

10)()(

2/

2/

0

0

)0(

)0(

)(

)(ti

ti

e

e

t

t

tt

t

i

itty 000

** sin)0()0(2)(

)(

0

0)()(

))0()0(()(

)(

10

01)()(

22

00**

t

tttz

on retrouve bien le mouvement de precession – sur les valeurs moyennes!

B

<>

84

Description théorique de l’expérience de Stern et Gerlach

),(

),(

ˆ2

ˆ0

0ˆ2

ˆ

),(

),(ˆ),(

),(2

2

tr

tr

Bm

p

Bm

p

tr

trH

tr

tr

dt

di

zz

zz

on fait l’approximation que Bz=B+b’z. Ceci ne respecte pas les équations de Maxwell à strictement parler mais est convenable si on se limite au plan x=0. On a vu que <z> reste constante.

Appliquons le théorème d’Ehrenfest à <r>

m

p

Hz

Hy

Hx

ir

dt

d

],[

],[

],[1

car le seul terme qui ne commute pas est p2

85

'

0

0

],[

],[

],[1

bHp

Hp

Hp

ip

dt

d

zz

y

x

de même pour <p>. Le seul terme qui ne commute pas est zzb’

soit

)'('

)'('

0

0

zétatlpourbpdt

d

zétatlpourbpdt

d

z

z

On a une force différentepour les deux états.

soit en intégrant jusqu’à l’instant t

conditions initiales mvpppr yzx ;0;0

m

tbzvtyx

2';;0

2

0

pour les particules dans l’état I+> ou I-> de z resp.

86

On retrouve bien les deux trajectoires possibles. Au bout d’une distance L on a (on a t=L/v )

2

2

0 2'mv

Lbz ou

2

2

0 'mv

Lbzz

l’expérience n’est significative que si l’effet est plus grand que celui qui résulte de la divergence naturelle du faisceau.

87

On peut avec 4 appareils de gradient de champ créer un filtre de spinqui remet les particules sur le même axe.

x

yz

Filtre Az

Az+

Az-

B0z

I0 II= I0

I>=superposition de I+> et I->

88

x

yz

Filtre Az

Az+

Az-

B0z

I0 II= I0/2I>=I+z>

89

x

yz

Filtre Az

Az+

Az-

B0z

I0 II= I0/2I>=I-z>

90

x

yz

Filtre Az

Az+

Az-

B0z B0y Ay+

Ay-

Filtre Ay Filtre Bz

Bz+

Bz-

B0z

M1 M2 M3I0 I

91

x

yz

Filtre Az

Az+

Az-

B0z B0y Ay+

Ay-

Filtre Ay Filtre Bz

Bz+

Bz-

B0z

M1 M2 M3I0 I

92

x

yz

Filtre Az

Az+

Az-

B0z B0y Ay+

Ay-

Filtre Ay Filtre Bz

Bz+

Bz-

B0z

M1 M2 M3I0 I0

exemple I

I0/2

I0/4

I0/8

0

93

x

yz

Filtre Az

Az+

Az-

B0z B0y Ay+

Ay-

Filtre Ay Filtre Bz

Bz+

Bz-

B0z

M1 M2 M3I0 I

Exemple II

94

Evolution d’un moment magnétique dans un champ magnétique uniforme

),(

),(

ˆ2

ˆ0

0ˆ2

ˆ

),(

),(ˆ),(

),(

0

2

0

2

tr

tr

Bm

p

Bm

p

tr

trH

tr

tr

dt

di

z

z

on a des equations indépendantes pour I+> et I->on sépare donc

)(

)(),(

),(

),(

t

ttr

tr

tr

2/

2/

0

0

0

0

)0(

)0(

)(

)(

)(

)(

ˆ0

0ˆ

)(

)(ti

ti

z

z

e

e

t

t

t

t

B

B

t

ti

avec h=20Bz

95

On peut calculer les valeurs moyennes des mesures de

zyx ˆ,ˆ,ˆ

tt

tttx 000

** cos)0()0(2)(

)(

01

10)()(

2/

2/

0

0

)0(

)0(

)(

)(ti

ti

e

e

t

t

tt

t

i

itty 000

** sin)0()0(2)(

)(

0

0)()(

))0()0((2)(

)(

10

01)()(

22

00**

t

tttz

on retrouve bien le mouvement de precession – sur les valeurs moyennes!

B

<>

96

2/

2/

0

0

)0(

)0(

)(

)(ti

ti

e

e

t

t

tt

tttx 000

** cos)0()0(2)(

)(

01

10)()(

tt

t

i

itty 000

** sin)0()0(2)(

)(

0

0)()(

si 0/2 t

)0(

)0(

)(

)(

t

t

)0()/2(

)0()/2(

0

0

tt

tt

yy

xx

MAIS:

97

x

yz

Filtre Az

Az+

Az-

B0z B0y Ay+

Ay-

Filtre Ay Filtre Bz

Bz+

Bz-

B0z

M1 M2 M3I0 I0

Exemple II

0

1

i1

2

1

i

1

2

1

B

B et L sont tels que t=L/v=2/0

i

1

2

1

0

I0

0

1

i

0

98

Le moment cinétique

On a vu que pour

LiLL

prL

ˆˆˆ

ˆˆˆ

relation de commutation:

On va considérer les propiétés d’un opérateur qui obéit à

le moment magnétique avait la même propriété

ˆ2ˆˆ0

i

JiJJ ˆˆˆ

en particulier chercher ses valeurs propres et vecteurs propres

soit: et permutations circulaires zyx JiJJ ˆˆ,ˆ

99

100

l’opérateur J2 2222 ˆˆˆˆzyx JJJJ

on remarque que 0ˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆ 222 zyx JJJJJJ

on va donc trouver une base qui diagonalise J2 et par ex. Jz

On vérifiera que la base est unique il s’agit donc d’un ECOC

mjjjmjJ ,)1(,ˆ 22

On appellera le vecteur propre de J2 pour la valeur h2 j(j+1) et de Jz pour la valeur hm

mj,

mjmmjJ z ,,ˆ

N.B. c’est arbitraire et choisi après connaissance de la solution…mais n’importe quelle valeur de R positive peut s’écrire j(j+1) avec j positif!

101

Quelles sont les valeurs de j et m?

On introduit des opérateurs J+ et J-

de façon semblable aux opérateurs a, a+ pour l’oscillateur harmonique

yxyx JiJJJiJJ ˆˆˆ;ˆˆˆ

il est évident que J2 commute avec J+ et J-. Par contre, JZ :

JJJ

JJiiJiJJiJJJJ

z

xyyzxzz

ˆˆ,ˆ

ˆ)ˆ(ˆˆ,ˆˆ,ˆˆ,ˆ

étudions l’état mjJ ,ˆ

102

étudions l’état mjJ ,ˆ

mjJjjmjjjJmjJJmjJJ ,ˆ)1(,)1(ˆ,ˆˆ,ˆˆ 2222

mjJmmjJJJmjJJ zz ,ˆ)1(,ˆˆˆ,ˆˆ

mjJ ,ˆ est donc un état propre de J2 pour la valeur j (ou il est nul)

mjJ ,ˆ est un état propre de Jz pour la valeur m+1 (ou il est nul)

de mêmemjJ ,ˆ

est un état propre de J2 pour la valeur j (ou il est nul)

mjJ ,ˆ est un état propre de Jz pour la valeur m-1 (ou il est nul)

103

j

m

mjJ ,ˆ

mj,

mjJ ,ˆ

m

m+1

m-1

104

ou nul? calculons le module de

mjJJmjmjJJmjmjJ ,ˆˆ,,ˆˆ,,ˆ 2

mjJ ,ˆ

zzxyyxyxyxyx JJJJJJJiJJJiJJiJJJ ˆˆˆ)ˆˆˆˆ(ˆˆ)ˆˆ)(ˆˆ(ˆˆ 2222

))1((,ˆˆˆ,,ˆ 22222

mmjjmjJJJmjmjJ zz

))1()1((,ˆ 22

mmjjmjJ

))1()1((,ˆ 22

mmjjmjJ

pour que ces vecteurs soient non-nuls il faut que -jmj

105

j

m

mjJ ,ˆ

mj,

mjJ ,ˆ

m

m+1

m-1

0,ˆ 2 mjJ

cette valeur n’est pas permise car

en applicant J+ deux fois on obtient un vecteur dont la norme est négative…

cette valeur n’est pas permise car

en applicant J- deux fois on obtient un vecteur dont la norme est négative…

il faut donc pouvoir 1. s’arrêter à m=j en appliquant J+

2. s’arrêter à m= -j en appliquant J-

2j = N 0

m=j

m= -j0,ˆ 2 mjJ

106

si on applique J+ ou J- à un vecteur Ij,m> on obtient un vecteur Ij, m+1> ou Ij,m-1> . On obtient un vecteur nul si ImI j .

On peut ainsi générer toute une série de N+1>0 vecteurs propres Ij,m> avec -jmj. Soit mmax la plus grande valeur.

On a forcément J+ Ij,mmax>=0 ce qui implique mmax=jCette même série va pouvoir être parcourue en appliquant J-, jusqu’à ce qu’on arrive à une valeur mmin qui, par le même raisonnement sera forcément mmin=-j après un nombre N d’opérations. donc 2j=N

Les valeurs possibles de j sont j=N/2= 0, ½, 1, 3/2, 2et les valeurs de m sont les valeurs { –j, -j+1, …..j-1, j}

107

j

m

mjJ ,ˆ

mj,

mjJ ,ˆ

valeurs possibles de j et m

108

109

Moment cinétique orbital:

110

Moment cinétique orbital:

111

Moment cinétique orbital:

112

Moment cinétique orbital:

113

Pour le moment cinétique orbital,

114

115

116

Exemple de quantification du moment cinétique

molécule linéaire O2 Cs2 (Césium) etc…

Erotation = L2 / 2I ou I est le moment d’inertie Equivalence

IE

2

)1(2

on observe des pics d’absorbtion de la lumière laser avec des différences d’énergies

III

EE

222

2

)1(

2

)1(

)1()(

117

Résumé

Le moment cinétique est décrit par 2 Observables qui Commutent

J2 et par ex. Jz

les vecteurs propres sont notés

mjjjmjJ ,)1(,ˆ 22

mj,

mjmmjJ z ,,ˆ

Les valeurs possibles de j et m sont j=N/2 et m= -j, -j+1...j-1, j

pour le moment cinétique orbital L=rxp les valeurs propres sont entières!