6ème 2009-2010

Chapitre n°8 : «Chapitre n°8 : « Symétrie axialeSymétrie axiale »»

I. I. DéfinitionDéfinition

1/ Activité

La symétrie est un principe assez naturel. On trouve des symétries chez l'homme, les animaux ; dans les objets...Pour avoir « symétrie », il faut de la perpendicularité et des distances égales. Mais précisons cela...

2/ A retenir

Construction à l'équerre et au compas

DéfinitionA et A' sont symétriques par rapport à un axe d si :

• d et AA' sont perpendiculaires ;• d passe par le milieu du segment [ AA' ] .

(définition à connaître parfaitement par cœur !!!)

Méthode de construction (description)On suppose que l'axe d et le point A sont déjà tracés.

• Avec l'équerre, on trace la perpendiculaire à d passant par A . Elle coupe d en I .

• Avec le compas, on prend l'écartement AI . Ensuite, on pointe sur I pour faire un arc de cercle qui croise la perpendiculaire (de l'autre côté de l'axe).

• On note le point A' et on code la figure.

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Autre exempleConstruis les symétriques des points A , B , C , D et E .

Avec un quadrillageA l'aide du quadrillage du cahier, sans les instruments, uniquement en comptant les carreaux, construis le symétrique des points suivants.

Pour aller de A à l'axe d , on traverse 2,5 diagonales. Pour placer son symétrique A' , on reproduit ce déplacement de l'autre côté de l'axe.De même pour B ' ; il faut se déplacer de quatre diagonales.

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II. II. Symétrique des figures élémentairesSymétrique des figures élémentaires

1/ Droite

RappelsOn note les droites à l'aide de parenthèses :

• d ; d ' ; d 1 …Si une droite passe par les points A et B , on note AB .

ConstructionOn veut construire le symétrique d'une droite par rapport à un axe d .

MéthodeOn place tout simplement deux points A et B sur la droite puis on construit leurs

symétriques.

RemarqueOn peut vérifier la construction en observant que les trois droites sont concourantes.

Rappels• Si deux droites sont perpendiculaires à une même autre droite alors elles sont

parallèles entre elles.• Des droites sont concourantes si elles sont sécantes en un même point.

Cas où les droites sont parallèles

Dans ce cas, on obtient trois droites parallèles. La méthode de construction est la même.

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Cas où les droites sont perpendiculaires

La droite d 1 est aussi la droite passant par A et B .Les symétriques de A et B sont les points A' et B ' situés sur la même droite.On en déduit que le symétrique de d 1 est encore d 1 .

PropriétéLe symétrique d'une droite est une autre droite. Lorsque la droite est :

• sécante à l'axe, on obtient des droites concourantes ;• parallèle à l'axe, on obtient des parallèles ;• perpendiculaire à l'axe, on obtient la même figure (rien ne change !).

Avec un quadrillage

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2/ Segment

Rappels• Un segment est une partie de droite située entre deux points. Ces deux points sont

appelés les extrémités.• Le segment d'extrémités E et F se note [EF ] . La longueur du segment [EF ] se

note EF .

Construction

Pour construire le symétrique de [ AB ] , il suffit de construire les symétriques des extrémités A et B

Cas où le segment est parallèle à l'axe

Dans ce cas, on obtient deux segments parallèles à l'axe de symétrie.

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Cas où le segment est perpendiculaire à l'axe

On obtient deux segments perpendiculaires à l'axe.

Cas où le segment traverse l'axe

On obtient deux segments qui se croisent sur l'axe.

PropriétéLe symétrique d'un segment est un autre segment de la même longueur.

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Avec quadrillage

3/ Cercle

Rappels• Un cercle est un ensemble de points tous situés à une même distance d'un point

appelé le centre. Cette distance commune est appelée le rayon.• Une corde est un segment dont les extrémités sont deux points du cercle.• Un diamètre est une corde qui passe par le centre.• Le diamètre est le double du rayon.

Construction

Il suffit de construire le symétrique du centre O . En prenant le rayon du premier cercle (avec le compas), on peut tracer le cercle symétrique.

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Cas où le cercle croise l'axe en deux points

Si le premier cercle croise l'axe en I et J , le cercle symétrique croise aussi l'axe en ces points.

Cas où le cercle est tangent (c'est à dire il « touche ») à l'axe

Si le premier cercle est tangent à l'axe en I , le cercle symétrique aussi !

Cas où le centre du cercle est sur l'axeDans ce cas, rien ne change !

PropriétéLe symétrique d'un cercle est un autre cercle de même rayon.Si le cercle coupe l'axe en deux points I et J alors son symétrique passe aussi par I et J .Si le centre du cercle est sur l'axe, son symétrique est lui-même.

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III. III. Axes de symétrieAxes de symétrie

1/ Segment

L'axe de symétrie du segment est la droite qui partage ce segment en deux parties superposables.

PropriétéL'axe de symétrie du segment est en fait sa médiatrice.

2/ Cercle

Il y a une infinité d'axes de symétrie : ce sont toutes les droites qui passent par le centre ; elles sont concourantes.

3/ Angle

Remarque Un angle est formé de deux demi-droites de même origine. On code un angle avec un arc de cercle.

Figure

DéfinitionL'axe de symétrie d'un angle est appelé bissectrice.

Méthode de constructionA l'aide du compas, on choisit un écartement. On trace un arc sur chaque côté de l'angle, et à partir de là, deux autres arcs qui se croisent à l'intérieur de l'angle.La bissectrice est la droite passant par le sommet de l'angle et le point formé par les deux arcs de cercle.

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4/ Autres figures

IV. IV. Constructions de figures symétriquesConstructions de figures symétriques

1/ Figures quelconques

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V. V. Lettres majuscules et axe de symétrieLettres majuscules et axe de symétrie

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