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I.D. Landau: Commande des systmes/Chapitre 3 1

Chapitre III

Mthodes de calcul des rgulateurs numriques


3.1 Introduction3.2 Rgulateur P.I.D. numrique3.2.1 Structure du rgulateur P.I.D. numrique 3.2.2 Calcul des paramtres du rgulateur numrique P.I.D. 13.2.3 Rgulateur numrique P.I.D. 1 Exemples3.2.4 Rgulateur numrique P.I.D. 23.2.5 Effets des ples auxiliaires3.2.6 P.I.D. numrique : conclusions 3.3 Placement des ples3.3.1 Structure3.3.2 Choix des ples en boucle ferme (P(q-13.3.3 Rgulation (calcul de R(q-1) et S(q-1)). 3.3.4 Poursuite (calcul de T(q-1))

3.3.5 Placement des ples Exemples3.4 Poursuite et rgulation objectifs indpendants3.4.1 Structure3.4.2 Rgulation (calcul de R(q-1) et S(q-1))3.4.3 Poursuite (calcul de T(q-1)) 3.4.4 Poursuite et rgulation objectifs indpendants Exemples3.5 Poursuite et rgulation modle interne3.5.1 Rgulation3.5.2 Poursuite3.5.3 Interprtation de la commande modle interne3.5.4 Les fonctions de sensibilit3.5.5 Poursuite et rgulation modle interne partiel3.5.6 Commande modle interne des systmes avec zros stables3.5.7 Exemple Commande des systmes avec retard

3.6 Placement de ples avec calibrage des fonctions de sensibilit3.6.1 Proprits de la fonction de sensibilit perturbation-sortie 3.6.2 Proprits de la fonction de sensibilit perturbation-entre3.6.3 Dfinition des gabarits pour les fonctions de sensibilit3.6.4 Mthode de calibrage des fonctions de sensibilit3.6.5 Calibrage de la fonction de sensibilit - Exemple 13.6.6 Calibrage de la fonction de sensibilit - Exemple 23.7 Conclusion3.8 Notes et indications bibliographiques

Chapitre 3. Mthodes de calcul des rgulateurs numriques


Calculateurs numriques utiliss pour la rgulationPossibilits et avantages

Choix important de stratgies pour la conception et le calculdes rgulateurs

Utilisation dalgorithmes plus complexes et plus performantsque le PID

Technique bien adapte pour la commande:- des procds avec retard- des procds caractriss par des modles dynamiquesdordre lev

- des procds ayant des modes vibratoires peu amortis Permet de combiner le calcul des rgulateurs avec lidentificationdes modles de procds (ncessaires pour le calcul)(ex.: logiciels WinPIM et WinREG dAdaptech)


Rgulateurs numriques Mthodes de calcul

PID numrique Placement de ples en boucle ferme Poursuite et rgulation objectifs indpendants Poursuite et rgulation modle interne Placement de ples avec calibrage des fonctions de sensibilitRemarques: Tous les rgulateurs auront la structure R-S-T(rgulateur deux degrs de libert)

Seule la mmoire (nombre de coefficients) change en fonctionde la complexit du modle du procd commander

Les diffrentes mthodes de calcul peuvent tre vues comme descas particuliers du placement de ples

Le calcul et lajustement des rgulateurs ncessitent laconnaissance du modle paramtrique chantillonn du procd


Rgulateur PID numrique

Rsulte de la discrtisation du rgulateur PID continu

La mthode de calcul ne sapplique rigoureusement quaux:- procds modlisables par une F.T. de maximum du 2e ordre- retard pur infrieur une priode dchantillonnage

La mthode de calcul est un cas particulier du placement de ples


Rgulateur PID numrique 1

PID continu:

+++=

sNT

sTsT

KsHd

d

iPID

1

11)(

K gain proportionnel,Ti action intgrale Td action driveTd/N - filtrage de laction

drive

Discrtisation: ee TqsTqs 1

1

111

;/)1( --

--

+-

-+

+-

+==-

-

--

--

1

1

11

11

1

1

)1(

1

11

)(

)()(

qNTT

T

qNTT

NT

qTT

KqS

qRqH

ed

d

ed

e

i

ePID

PID numrique 1:



)(

)()( 1

11

1 -

-- =

qS

qRqH PID

22

110

1)( --- ++= qrqrrqR 221

11

111 1)'1)(1()( ----- ++=+-= qsqsqsqqS

ed

d

NTTT

s+

-=1

-+= 10 1 NsT

TKr

i

e

-

++= 12111 NT

TsKr

i

e )1(12 NKsr +-=

Remarques: Le rgulateur PID numrique a 4 paramtres (comme le PID cont.) facteur commun au dnominateur: (intgrateur) filtrage: terme au dnominateur

)1( 1-- q)'1( 11

-+ qs



y(t)

+

-

r(t) u(t)

R/S B/A

PROCEDE

r(t)

R

1/S B/A

PROCEDE

u(t)y(t)

+

-

T=R

Structure R-S-T avec T = R

F.T. de la boucle ferme (r y)

)(

)()(

)()()()(

)()()(

1

11

1111

111

-

--

----

--- =

+=

qP

qRqB

qRqBqSqA

qRqBqH BF

)( 1-qP dfinit les ples de la boucle ferme

Le rgulateur introduit des zros supplmentaires (R)


Modle chantillonn de procd

B.O.Z.

H (z )-1

H (s)

sTGe

sHs

+=

-

1)(

t

20

20

20

2)(

ss

esH

s

++=

-

zww

w tou )( eT


Calcul des paramtres du rgulateur numrique PID 1

Spcification des performances:

)(

)(

)()()()(

)()()( 1

1

1111

111

-

-

----

--- =

+=

qP

qB

qRqBqSqA

qRqBqH MBF

)( 1-qBM ne peut pas tre spcifi a priori (car on garde B et lergulateur introduit des zros)On spcifie le polynme caractristique de la boucle ferme (P)

Spcificationen continu(tM, M)

2e ordre (w0, z)discrtisation

eT)( 1-qP

5.125.0 0 eTw17.0 z

22

11

1 ''1)( --- ++== qpqpqP

(*)


Calcul des paramtres du rgulateur numrique PID 1

-Modle de procd connu (ou identifi):- Performance dsires (ples de la B.F.):

)(/)( 11 -- qAqB)( 1-qP

De (*)- transp.10, il faut rsoudre:

Il faut calculer: )(;)( 11 -- qSqR

)()()()()( 11111 ----- += qRqBqSqAqP

? ?

)()()()(

))((

)1)(1)(1(

)()()()(1)(

1111

22

110

22

11

11

122

11

111122

11

1

----

----

----

-------

+=

++++

+-++=

+=++=

qRqBqSqA

qrqrrqbqb

qsqqaqa

qRqBqSqAqpqpqP

)1()1)(()( 332

21

1111 ------ +++=-= qaqaqaqqAqA 11

1 1)( -- += qsqS

Pour rsoudre : WinREG, bezoutd.sci(.m)


Choix du polynme P

-Equation polynmiale dordre 4.- P peut tre choisi aussi dordre 4 (ajout de ples aux.)

)1)(1)(1(

)1()(2

21

12

21

1

44

33

22

11

1

----

-----

++++=

=++++=

qqqpqp

qpqpqpqpqP

aa

x xx

x

1-1

j

ples dominants2me ordre (w 0 , z)

ples auxiliaires

Les ples auxiliaires augmentent la robustesse du rgulateur

05.0,5.0 21 -- aa


Paramtres du rgulateur PID continu quivalent

21

21110

)1(

)2(

s

rsrsrK

+

+--=

210

1 )1(rrr

sKTT ei ++

+=

31

21101

)1( sK

rrsrsTT ed +

+-=

1

1

1 sTs

NT ed

+

-=

Lquivalent continu nexiste pas toujours !

Condition dexistence: 0'1 1 - s (Td/N doit tre > 0)

Rgulateur PID numrique toujours ralisable mme avec:(donne des performances nonralisables avec un PID continu)

1'0 1 s


Procd discrtis: B(q-1) = 0.1813 q-1 +0.2122 q-2A(q-1) = 1 -0.6065 q-1 Te = 5s, G = 1, T = 10s, t = 3

Performances > Te = 5s , w0 = 0.05 rad/s, z = 0.8***LOI DE COMMANDE *** S(q-1) . u(t) + R(q-1) . y(t) = T(q-1) . r(t)Rgulateur : R(q-1) = 0.0621 + 0.0681 q-1

S(q-1) = (1 - q-1) . (1 - 0.0238 q-1)T(q-1) = R(q-1)

Marge de gain : 7.712 Marge de phase : 67.2 degMarge de module : 0.751 (-2.49dB) Marge de retard : 45.4 sPID continu : k = -0.073, Ti = -2.735, Td = - 0.122, Td/N = 0.122

Rgulateur numrique PID 1. Exemples

sTGe

sHs

+=

-

1)(

t

Procd:


Performances: w0 = 0.05 rad/s, z = 0.8

Rponse plus lente quen boucle ouverte. Il faut augmenter w0



Pas dquivalent continu car s1> 0 (0.3122)

Procd discrtis : B(q-1) = 0.1813 q-1 + 0.2122 q-2A(q-1) = 1 - 0.6065 q-2 Te = 5s, G = 1, T = 10s, t = 3

Performances > Te = 5s , w0 = 0.15 rad/s, z = 0.8*** LOI DE COMMANDE *** S(q-1) . u(t) + R(q-1) . y(t) = T(q-1) . r(t)Rgulateur : R(q-1) = 1.6874 - 0.8924 q-1

S(q-1) = (1 - q-1) . (1 + 0.3122 q-1)T(q-1) = R(q-1)

Marge de gain : 3.681 Marge de phase : 58.4 degMarge de module : 0.664 (- 3.56 dB) Marge de retard : 9.4 sPID continu : (pas d'quivalent continu)



- Rponse plus rapide- Apparition dun dpassement du aux zros introduits par R


Le bon PID numrique (PID 2)

F.T. souhaite pour la boucle ferme:)(

)()1()1(

)( 11

1-

-- =

qP

qBBP

qH BF 1)1( =BFH

Nintroduit pas des zros supplmentaires

)(

)()]1(/)1([

)()()()(

)()()( 1

1

1111

111

-

-

----

--- =

+=

qP

qBBP

qRqBqSqA

qBqTqH BF

)1()1(

)1()1()1()1(

)( 1 RB

RBBP

qT ===- R et S restent inchangs

Un seul coefficient au lieu de 2 coeff.


PID continu correspondant au rgulateur numrique PID 2

k ds

1 + ----T

Ns

+

+-

-

PROCEDE

Kd

-

KTds

K____Ti s

r(t)u(t) y(t)

1/ ( )

------------------1

1 + -----T

Ns

d

Les actions proportionnelles et drives uniquement sur la mesure

1

21

1)2(

srr

K+

+-=

)1)(2()1(

121

2111

srrrsrs

TT ed ++-+

=210

21 )2(rrr

rrTT ei ++

+-=

1

1

1 sTs

NT ed

+

-=


Performances du rgulateur numrique PID 2

Procd discrtis: B(q-1) = 0.1813 q-1 +0.2122 q-2A(q-1) = 1 - 0.6065 q-1Te = 5s, G = 1, T = 10s, t = 3

Performances > Te = 5s , w0 = 0.15 rad/s, z = 0.8***LOI DE COMMANDE *** S(q-1) u(t) + R(q-1) y(t) = T(q-1) r(t)Rgulateur : R(q-1) = 1.6874 - 0.8924 q-1

S(q-1) = (1 - q-1) (1 + 0.3122 q-1)T(q-1) = 0.795

Marge de gain : 3.681 Marge de phase : 58.4 degMarge de module : 0.664 ( - 3.56 dB) Marge de retard : 9.4 sP.I.D. Continu : (Pas d'quivalent continu)

A comparer avec PID 1, transp. 16

Pas dquivalent continu car s1> 0 (0.3122)


Performances du rgulateur numrique PID 2

w0 = 0.15 rad/s, z = 0.8

Dpassement rduit (correspondant z = 0.8). Mme rponse en perturbationA comparer avec le transparent 17


Effets des ples auxiliaires

Pour des performances identiques , les ples auxiliaires rduisentla fonction de sensibilit Sup en hautes frquences

Meilleure robustesse et rduction des sollicitations de lactionneur

Pour dtails et exemples voir livre pg.144-147


PID numrique: conclusions

Structure canonique R-S-T

PID continu quivalent si

Sutilise pour des systmes du 1er ou 2e ordre avec retard < Te Pour retard le PID continu conduit des rponses enboucle ferme plus lentes quen boucle ouverte

Le PID numrique donne des meilleures performances pour lessystmes avec retard (mais il ny a plus dquivalent continu)

Le PID 2 conduit une rponse en consigne avec un plus faibledpassement que le PID 1

0'1 1 - s

T25.0t


Placement des ples

Le PID numrique est un cas particulier du placement des ples

Le placement des ples permet de calculer un rgulateur R-S-T pour: systmes stables ou instables sans restriction sur les degrs des polynmes A et B sans restriction sur le retard du procd sans restriction sur les zros du procd (stables ou instables)

Cest une mthode qui ne simplifie pas les zros du procd


Structure

)(

)()(

1

11

-

--- =

qA

qBqqH

d

AA

nn qaqaqA

--- +++= ...1)( 111 )(...)( 1*122

11

1 ------ =+++= qBqqbqbqbqB BB

nn

Procd:

) ------------1

(q- 1

)---------q

- dB

A

PROCEDE

R(q- 1

)

--------------------q

- dB(q

- 1)

(q- 1

)

S

P

r(t) y(t)+

-

T( ) q - 1

p(t)

++


)(

)()(

)()()()(

)()()(

1

11

1111

111

-

---

-----

---- =

+=

qP

qBqTq

qRqBqqSqA

qBqTqqH

d

d

d

BF

....1)()()()()( 221

111111 +++=+= -------- qpqpqRqBqqSqAqP d

)(

)()(

)()()()(

)()()(

1

11

1111

111

-

--

-----

--- =

+=

qP

qSqA

qRqBqqSqA

qSqAqS

dyp

F.T. de la boucle ferme (r y) (poursuite de consigne)

Dfinit les ples de la boucle ferme

F.T. de la boucle ferme (p y) (rejet de perturbation)

Fonction de sensibilit perturbation - sortie

Placement des ples


Choix des ples en boucle ferme (polynme P)

)()()( 111 --- = qPqPqP FDPles dominants Ples auxiliaires



eT)( 1-qPD

5.125.0 0 eTw17.0 z

Choix de PD(q-1)(ples dominants)

Les ples auxiliaires sont introduits pour la robustesse. Ils sont choisis plus rapides que les ples dominants

Ples auxiliaires


Rgulation( calcul de R(q-1) et de S(q-1))

)()()()()( 11111 ------ =+ qPqRqBqqSqA d

? ?

)(deg 1-= qAnA )(deg1-= qBnB A et B premiers entre eux

(Bezout)

Solution minimale unique pour :

1)(deg 1 -++= - dnnqPn BAP

1)(deg 1 -+== - dnqSn BS 1)(deg1 -== - AR nqRn

)(*1...1)( 11111 ----- +=++= qSqqsqsqS S

S

nn

R

R

nn qrqrrqR

--- ++= ...)( 1101

(*)


Calcul de R(q-1) et de S(q-1)

Lquation (*) se met sous la forme: Mx = p

],...,,,...,,1[ 01 RS nnT rrssx = ]0,...,0,,...,,...,,1[ 1 Pni

T pppp =

1 0 ... 0a1 1 .a2 0

1a1

anA a20 .0 ... 0 anA

0 ... ... 0b' 1b' 2 b' 1. b' 2. .

b' nB .0 . . .0 0 0 b' nB

nA + nB + d

nB + d nA

nA + nB + d

x = M-1p

Utilisation de WinReg ou bezoutd.sci(.m) pour rsoudre (*)b'i = 0 pour i = 0, 1 ...d ; b'i = bi-d pour i > d


Structure de R(q-1) et de S(q-1)

R et S contiennent des parties fixes (ex: intgrateur)

)()(')( 111 --- = qHqRqR R )()(')(111 --- = qHqSqS S

HR, HS, - polynmes pr spcifis

'

''...'')(' 110

1 RR

nn qrqrrqR

--- ++= ''

'...'1)(' 111 S

S

nn qsqsqS

--- ++=

Leq.(*) (transp. 28) devient:

)()()()()()()( 1111111 -------- =+ qPqHqRqBqqHqSqA Rd

S (**)

1)(deg 1 -++++= - dnnnnqPn HRBHSAP

1)('deg 1' -++==- dnnqSn HRBS 1)('deg

1' -+==

-HSAR nnqRn

Utilisation de WinReg ou bezoutd.sci(.m) pour rsoudre (**)avec A = AHS , B = BHR


Parties fixes (HR , HS). Exemples

Erreur statique nulle (Syp doit tre nulle certaines frquences)

Perturbation chelon : Perturbation harmonique : eS TqqH waa cos2;1

21 -=++= --11 1)( -- -= qqHS

Blocage dun signal (Sup doit tre nulle certaines frquences)

eR TqqH wbb cos2;121 -=++= --Signal harmonique:

Blocage de 0.5fe: 2,1;)1( 1 =+= - nqH nR

Plus de dtails voir livre pg.154-155

)(

)()()()( 1

1111

-

---- =

qP

qSqHqAqS Syp

)(

)()()()( 1

1111

-

---- -=

qP

qRqHqAqS Rup


Poursuite (calcul de T(q-1) )

------------q

- 1Bm

Am

Cas idal

r (t) y* (t)

trajectoiredsire pour y (t)

t

y

r

*

Modle de rfrenceen poursuite (Hm)



eT)( 1-qHm

5.125.0 0 eTw17.0 z

)(

)()( 1

111

-

--- =

qA

qBqqH

m

mm

Le cas idal ne peut pas tre atteint (retard, zros du procd)Objectif : approcher y*(t)

)()(

)()(

1

1)1(* tr

qA

qBqty

m

md

-

-+-

=

...)( 1101 ++= -- qbbqB mmm

...1)( 221

11 +++= --- qaqaqA mmm



)()(

)()1( 1

1* tr

qA

qBdty

m

m-

-

=++On construit:

Choix de T(q-1) : Gain statique unitaire entre y* et y Compensation de la dynamique de rgulation P(q-1)

=

=0)1(1

0)1()1(/1Bsi

BsiBGT(q-1) = GP(q-1)

Cas particulier : P = Am

=

==-

0)1(1

0)1()1(

)1()( 1

Bsi

BsiB

PGqT

F.T. r y:)1(

)(

)()(

)(1*

1

1)1(1

B

qB

qAqBq

qHm

md

BF

-

-

-+-- =


Placement de ples. Poursuite et Rgulation

+

-

R

1 q-d

B

AST

A

B m

m

r(t)

y (t+d+1)* u(t) y(t)

q

-(d+1)

P(q -1 )

q

-(d+1)

B*(q )-1

B*(q )

-1

B(1)

q

-(d+1) B m(q )

B*(q )

-1-1

A m(q ) B(1)-1

)1(*)()()()()( 111 ++=+ --- dtyqTtyqRtuqS


)(

)()()1()()( 1

1*1

-

-- -++=

qS

tyqRdtyqTtu

)1()()1()()()()()( *1*111 ++=++=+ ---- dtyqTdtyqGPtyqRtuqS

)(1)( 1*11 --- += qSqqS

)()()1()()1()()( 11**1 tyqRtuqSdtGyqPtu --- ---++=

)()(

)()1( 1

1* tr

qA

qBdty

m

m-

-

=++

)(1)( 1*11 --- += qAqqA mm

)()()()()1( 11** trqBdtyqAdty mm-- ++-=++

...)( 1101 ++= -- qbbqB mmm ...1)(

22

11

1 +++= --- qaqaqA mmm

Placement de ples. Loi de commande


Placement de ples. Exemple

Procd : d=0B(q-1) = 0.1 q-1 + 0.2 q-2A(q-1) = 1 - 1.3 q-1 + 0.42 q-2

Bm(q-1) = 0.0927 + 0.0687 q-1Dynamique de poursuite -->

Am (q-1) = 1 - 1.2451q-1 + 0.4066 q-2Te = 1s , w0 = 0.5 rad/s, z = 0.9

Dynamique de rgulation --> P (q-1) = 1 - 1.3741 q-1 + 0.4867 q-2Te = 1s , w0 = 0.4 rad/s, z = 0.9

Pr-spcifications : Intgrateur*** LOI DE COMMANDE ***S (q-1) u(t) + R (q-1) y(t) = T (q-1) y*(t+d+1)y*(t+d+1) = [Bm(q-1)/Am(q-1)] r(t)Rgulateur : R(q-1) = 3 - 3.94 q-1 + 1.3141 q-2

S(q-1) = 1 - 0.3742 q-1 - 0.6258 q-2T(q-1) = 3.333 - 4.5806 q-1 + 1.6225 q-2

Marge de gain : 2.703 Marge de phase : 65.4 degMarge de module : 0.618 (- 4.19 dB) Marge de retard : 2.1. s


Placement de ples. Exemple


Poursuite et rgulation objectif indpendants

Cest un cas particulier du placement des ples(les ples de la boucle ferme contiennent les zros du procd)

Permet de calculer un rgulateur R-S-T pour: systmes stables ou instables sans restriction sur les degrs des polynmes A et B sans restriction sur le retard entier d du procd discrtis modles chantillonns ayant des zros stables!

Cest une mthode qui simplifie les zros du procdPermet une ralisation exacte des performances imposes

Ne tolre pas des retards fractionnaires > 0.5 Te (zro instable)


Poursuite et rgulation objectif indpendants

Les zros du modle doivent tre stables et suffisamment amortis

Domaine dadmissibilit pour les zros du modle chantillonn


Poursuite et rgulation objectif indpendants. Structure

+

-

R

1 q-d

BAS

TA

Bm

m

r(t)

y (t+d+1)* u(t) y(t)

q

-(d+1)

P(q -1 )

q

-(d+1)

B

mA

q -(d+1) m q-1

( )

(q )-1

)()()( 111 --- = qPqPqP FD

Spcification des ples comme pour le placement de ples

)()(

)()1( 1

1* tr

qA

qBdty

m

m-

-

=++Trajectoire de rfrence:(poursuite)



F.T. de la boucle ferme sans T:

)()()(

)()()()()()(

)( 11*1*1

1

1

11*111

1*11

--

-+-

-

+-

--+---

-+-- ==

+=

qPqBqBq

qPq

qRqBqqSqAqBq

qHdd

d

d

BF

)()()()()()( 11*11*111 ----+--- =+ qPqBqRqBqqSqA dIl faut rsoudre :

S doit tre de la forme: )()(...)( 11*1101 ----- =+++= qSqBqsqssqS SSn

n

Aprs simplification par B*,(*) devient:

)()()(')( 11111 --+--- =+ qPqRqqSqA d

(*)

nP = deg P(q-1) = nA+d ; deg S'(q-1) = d ; deg R(q-1) = nA-1Solution unique:

11

110

1 ...)( ----- ++= A

A

nn qrqrrqR

dd qsqsqS

--- ++= '...'1)(' 111

(**)



(**) se met sous la forme: Mx = p

1 0 a1 1 a2 a1 0: : 1ad ad-1 ... a1 1

ad+1 ad a1ad+2 ad+1 a2

. .0 0 ... 0 anA

0 . .

. .

1 . 0 .

. 00 0 1

nA + d + 1

nA + d + 1

d + 1 nA],...,,,,...,,1[ 1101 -= nd

T rrrssx ],...,,,...,,,1[ 121 dnnnT

AAApppppp ++=

Utilisation de WinReg ou predisol.sci(.m) pour rsoudre (**)Insertion de parties fixes dans R et S idem placement de ples(voir livre pg.166-167)

x = M-1p



F.T. en boucle ferme: r y

)()(

)()(

)(

)()( 11

)1(11

1

1)1(1

--

+---

-

-+-- ==

qPqA

qqTqB

qA

qBqqH

m

dm

m

md

BF

F.T. dsire

Il rsulte : T(q-1) = P(q-1)

Equation du rgulateur:

)1()()()()()( *111 ++=+ --- dtyqPtyqRtuqS

)(

)()()1()()(

1

1*1

-

-- -++=

qS

tyqRdtyqPtu

[ ])()()1()()1()(1)( 11**11

tyqRtuqSdtyqPb

tu --- ---++= (s0 = b1)


Poursuite et rgulation objectif indpendants. Exemples

Procd : d = 0B(q-1) = 0.2 q-1 + 0.1 q-2A(q-1) = 1 - 1.3 q-1 + 0.42 q-2

-> Bm (q-1) = 0.0927 + 0.0687 q-1Dynamique de poursuite ---

-> Am (q-1) = 1 - 1.2451q-1 + 0.4066 q-2Te = 1s , w0 = 0.5 rad/s, z = 0.9

Dynamique de rgulation ---> P (q-1) = 1 - 1.3741 q-1 + 0.4867 q-2Te = 1s , w0 = 0.4 rad/s, z = 0.9

Pr-spcifications : Intgrateur*** LOI DE COMMANDE ***S (q-1) u(t) + R (q-1) y(t) = T (q-1) y*(t+d+1)y*(t+d+1) = [Bm (q-1)/Am (q-1)] . r(t)Rgulateur : R(q-1) = 0.9258 - 1.2332 q-1 + 0.42 q-2

S(q-1) = 0.2 - 0.1 q-1 - 0.1 q-2T(q-1) = P(q-1)

Marge de gain : 2.109 Marge de phase : 65.3 degMarge de module : 0.526 (- 5.58 dB) Marge de retard : 1.2


Poursuite et rgulation objectif indpendants. (d = 0)

Effet des zros peu amortis

Les oscillations sur la commande quand il y a des zros peu amortis peuventtre rduites en introduisant des ples auxiliaires (voir livre pg. 169-171)


Poursuite et rgulation modle interne

Cest un cas particulier du placement des ples

Les ples dominants sont gaux ceux du procd

Permet de calculer un rgulateur R-S-T pour: systmes stables et bien amortis sans restriction sur les degrs des polynmes A et B sans restriction sur le retard du procd discrtis

Le modle du procd doit tre stable et bien amorti !

Ne permet pas dacclrer la rponse en boucle ferme

Souvent utilise pour les systmes ayant un retard important



)()()()()()()( 1111111 -------- ==+ qPqPqAqRqBqqSqA Fd

Ples dominants ( ) FPnF qqP 11 1)( -- += a( choix typique)

(*)

R doit tre de la forme: R(q-1) = A(q-1).R(q-1)

)()()()( 1111 ----- =+ qPqRqBqqS Fd

Aprs limination du facteur commun A(q-1),(*) devient:

( ) )(1)( 111 --- -= qSqqS ( choix typique) Solution pour:

)1()1(

)()( 11BP

qAqR F-- =

)1()1(

)()()()1()( 11111B

PqBqqPqSqqS FdF

------ -=-=

Pour dautre cas - voir livre pg.174-175



)1(/)()()( 111 BqPqAqT F--- =

Cas particulier : Am = APF (dynamique poursuite = dynamique rgulation)

)1()1()1(

)1()( 1B

PATqT F==- (on supprime le modle de rfrence de poursuite)

------------------------------------------------------------------------------------------------

Cas particuliers:

Poursuite et rgulation modle interne partiel (voir livre pg.178)

Commande modle interne des systmes avec zros stables (voir livre pg.179)


Une interprtation de la commande modle interne

Schma quivalent (voir dtails de calcul: livre pg.175-177)

)()()1(

1)(

)1(1

)(

)()(

)()1()1(

)(

11110

110

110

----

--

--

==

=

=

qPqAB

qPB

qT

qPqS

qAB

PqR

F

F

F

T0+

+

-

-1/S0 Procd

ABdq-

Modle

y*(t+d+1) u(t) y(t)

(t)y

R0

Le modle du procd(modle de prdiction)est un lment du schmade rgulation Rtro-action sur

lerreur de prdiction

Rem.: Pour toutes les stratgies on peut faire ressortir la prsence du modle dans le rgulateur(voir Annexe A2-pg.505-509)


Commande modle interne dun systme avec retard

Procd: d = 7; A = 1 0.2q-1 ; B = q-1

Pour satisfaire la marge de retard il faut introduire des ples auxiliaires

a)

b)

) 1()( 11 -- += qqPF a -1< a < 0

a = -0.1; -0.2; -0.333

La bonne valeur(sobtient par calcul,voir livre pg.181)

Pour dautre solutions:voir livre pg.181-185


Placement de ples avec calibrage des fonctions de sensibilit

Spcifications des performances pour le placement de ples: Les ples dominants dsirs de la boucle ferme La trajectoire de rfrence (modle de rfrence de poursuite)

Questions: Comment prendre en compte les spcifications dans certaines

bandes de frquences ? Comment garantir la robustesse des rgulateurs ? Comment tirer avantage des degrs de libert sur le nombre

maximum de ples

Rponse:Calibrage des fonctions de sensibilit par:

- placement des ples auxiliaires- introduction des parties fixes dans le rgulateur


Fonctions de sensibilit - rappel

)()()()(

)()()(

1111

111

-----

---

+=

qRqBqqSqA

qSqAqS

dyp

)()()()(

)()()(

1111

111

-----

---

+-=

qRqBqqSqA

qRqAqS

dup

)()(')( 111 --- = qHqRqR R )()(')(111 --- = qHqSqS S

)()()()()()()( 1111111 -------- ==+ qPqPqPqRqBqqSqA FDd

Fonction de sensibilit perturbation sortie:

Fonction de sensibilit perturbation entre:

Structure rgulateur :

Parties fixesPles dominants et auxiliaires:

Etude des proprits dans le domaine frquentiel: q=z=ejw


Proprits de la fonction de sensibilit perturbation-sortie

P.1- Le module de la fonction de sensibilit perturbation sortie une certaine frquence donne le facteur damplification ou attnuationde la perturbation en sortie

Syp(w) < 1(0 dB) attnuationSyp(w) > 1 amplification

Syp(w) = 1 fonctionnement en boucle ouverte

P.2 Le systme en B.O. tant stable on a la proprit:

=-e

e

f.pf/fj

yp df)(eS50

0

2 0log

La somme des aires entre la courbe de Syp et laxe 0dB prises avec leur signe est nulle

Lattnuation des perturbations dans une certaine zone de frquences entranelamplification des perturbations dans dautres zones de frquences !



Augmentation de lattnuation ou largissement de la bande dattnuation

Plus forte amplification des perturbations lextrieur de la bande dattnuation

Rduction de la robustesse(diminution de la marge de module)

P.3 ( ) 1max

)(-

=D wjSM ypMarge de module



P.4 Annulation de leffet des perturbations une certaine frquence:

ejj

Sjjj ffeSeHeAeSeA / 2 ; 0)()()()()( pwwwwww === ----- {

Zros de Syp Permet dintroduire des zros au frquences souhaites



P.5 - aux frquences o:)0(1)( dBjS yp =w

ejj

Rjjj ffeReHeBeReB / 2 ; 0)()()()()( ** pwwwwww === -----

Permet dintroduire des zros au frquences souhaites



P.6 Les ples auxiliaires (PF) asymptotiquement stables entranent(en gnral) une diminution de dans les zonesdattnuation de 1/PF

)( wjS yp

FPn

F qpqP )1()(11 -- += 05.05.0 -- p

DF PPP nnn -

Dans des nombreuses applications lintroduction des ples auxiliaires hautesfrquences suffit pour assurer les marges de robustesse requises



P.7 Lintroduction simultane dune partie fixe HSi et dune paire deples auxiliaires PFi de la forme:

22

11

22

11

1

1

1

1

)(

)(--

--

-

-

++

++=

qq

qq

qP

qH

i

i

F

S

aa

bb

rsultant de la discrtisation de :

200

2

200

2

2

2)(

wwz

wwz

++

++=

ss

sssF

den

num1

1

112

-

-

+-

=zz

Ts

e

avec:

introduit une attnuation (trou) la frquence discrtise normalise:

=

2arctan2 0 edisc

Tww avec lattnuation:

=

den

numtM z

zlog20 dennum zz fdisc



Pour les dtails de calcul voir livre pg.194-197.Calcul effectif laide de la fonction: filter22.sci (.m)


Proprits de la fonction de sensibilit perturbation-entre

P.1 Annulation de leffet des perturbations sur lentre une certaine frquence (Sup = 0):

ejj

Rj ffeReHeA / 2 ; 0)()()( pwwww == ---

Permet dintroduire des zros au frquences souhaites

101)( 11



P.2 Aux frquences o:

ejj

Sj ffeSeHeA / 2 ; 0)()()( pwwww == ---

)(

)()(

w

ww

j

jj

upeB

eAeS

-

-- =0)( =wjS yp

on a:

Consquence : lattnuation forte des perturbations doit se faireuniquement dans les zones frquentielles o le gain du systmeest suffisamment grand ( pour prserver la robustesse et viterdes sollicitations trop importantes de lactionneur)

Inverse dugain dusystme

Rappel: donne la tolrance aux incertitudes additives sur le modle( lev = faible robustesse)

1)(

-wjSup

)( wjSup



P.3 Lintroduction simultane dune partie fixe HRi et dune paire deples auxiliaires PFi de la forme:

rsultant de la discrtisation de :

200

2

200

2

2

2)(

wwz

wwz

++

++=

ss

sssF

den

num1

1

112

-

-

+-

=zz

Ts

e

avec:

introduit une attnuation (trou) la frquence discrtise normalise:

=

2arctan2 0 edisc

Tww avec lattnuation:

=

den

numtM z

zlog20 dennum zz fdisc

22

11

22

11

1

1

1

1

)(

)(--

--

-

-

++

++=

qq

qq

qP

qH

i

i

F

R

aa

bb


Gabarits pour les fonctions de sensibilit Syp

S yp dB

0,5f e

S yp max = - MD

0

S yp dB

0,5f e

S yp max = - MD

0

zones d'attnuation

ouverture de la boucle

Performances

Robustesse


Gabarits pour les fonctions de sensibilit Sup

dBupS

0.5fe

Ouverture de la boucle la frquence f (< - 100 dB)

Zone dincertitude surla qualit du modle

Limitation de la sollicitationde lactionneur

0


Calibrage des fonctions de sensibilit

1. choix des ples dominants et auxiliaires de la boucle ferme2. choix des parties fixes du rgulateur (HS et HR )3. choix simultan des parties fixes et des ples auxiliaires (diples)

Procdure:

Calibrage de base : utilisation de 1 et 2Calibrage fin: utilisation de 3

Il existent aussi des procdures automatiques pour le calibrage basessur loptimisation convexe (Logiciel Optreg dAdaptech)

WinReg et ppmaster.m sont des outils logiciels particulirementadapts pour le calibrage .

Les dtails de la procdure de calibrage itratif sont dcrits pg 202-207(livre)


Calibrage des fonctions de sensibilit. Exemple I

sTdqBqA e 1;2;3.0;7.0111 ===-= --Procd:

Intgrateur Ples dominants: discrtisation 2e ordre : w0 = 1 rad/s, z = 0.9

Rgulateur A :Bande dattnuation: 0 0.058 Hz mais DM < -6 dB et Dt < Te (voir 67)Objectif: mme bande dattnuation mais avec DM > -6 dB et Dt > Te

Spcifications:

- insertion ples auxiliaires: ( )214.01 --= qPFRgulateur B : bonnes marges mais rduction de la bande dattnuation

- insertion dun diple HS/PF centr w0 = 0.4 rad/s

Rgulateur C : bonne bande dattnuation mais Syp > 6 dB - augmentation (ralentissement) des ples auxiliaires (0.4 0.44)

Rgulateur D : Correct


Calibrage des fonctions de sensibilit. Exemple I

Dtails : livre pg 207-209


Calibrage des fonctions de sensibilit. Exemple II

Procd (intgrateur): sTdqBqA e 1;2;5.0;111 ===-= --

q -dBA

u(t) y(t)

Perturbation sinusodale(0.25 Hz)

Perturbations basses

frquences

+

+

+

Spcifications:1. Pas dattnuation de la perturbation sinusodale (0.25 Hz)2. Bande dattnuation basse frequence: 0 0.03 Hz3. Amplification des perturbations 0.07 Hz: < 3dB 4. Marge de module > -6 dB et marge de retard > T5. Pas dintgrateur dans le rgulateur



- Synthse des parties fixes : 1;1 2 =+= - SR HqHOuverture de le boucle 0.25 Hz

- Ples dominants: discrtisation 2e ordre : w0 = 0.628 rad/s, z = 0.9

Rgulateur A : les specs. 0.07 Hz ne sont pas satisfaites (voir 70)- insertion dun diple HS/PF centr w0 = 0.44 rad/s

Rgulateur B : Bande dattnuation infrieure aux specs.- acclration des ples dominants: w0 = 0.9 rad/s

Rgulateur C : Correct (voir 70)



Pour les dtails voir livre pg.208-212 ainsi que lexemple de la pg. 425


Quelques remarques rcapitulatives

Tous les rgulateurs numriques ont une structure trois branches(R-S-T). Ils ont deux degrs de libert (rgulation et poursuite)

Le calcul du rgulateur seffectue en deux tapes :1) R et S (rgulation) 2) T (poursuite)

La complexit du rgulateur dpend de la complexit du modle Le placement de ples est la stratgie de base La poursuite et rgulation objectif indpendant sapplique aux

modles discrets de procd ayant des zros stables La poursuite et rgulation modle interne sapplique

uniquement aux procds stables et bien amortis Le PID numrique est un cas particulier du placement de ples

utilisables pour la commande de procds simples (ordre max. = 2) Tous les rgulateurs numriques prsents mettent en uvre une

commande prdictive et englobent implicitement un modle de prdiction du procd

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