Chapitre 9 Etude Harmonique Des Systemes Ordre Eleve
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Cours Automatique Niveau : 2 ISET NABEUL - 90 - CHELBI Hassen Unité d’enseignement : Automatique 1 ECUE n° 1 : Signaux et Systèmes Linéaires Chapitre 9 Etude Harmonique des Systèmes d’Ordre élevé (n>2) Nombre d’heures/chapitre : 1.5h Cours intégré Système d’évaluation : Continu OBJECTIFS DE L’ENSEIGNEMENT : -Savoir manipuler les techniques de représentation des systèmes CONTENU THEORIQUE : Dans ce chapitre on s’intéresse aux systèmes dont leurs ordre est supérieur à deux et pour les quels l’étude analytique devienne pénible. Pour cela on s’intéresse aux critères géométriques qui se manifestent par l’étude en boucle ouverte et la constatation en boucle fermée. Ces critères sont c’elle de Nyquist, de Bode et de Black. -Connaître les notions des signaux. -Connaître les notions des systèmes et plus particulièrement les systèmes asservis. -Maîtriser les outils de transformation des signaux.
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Cours Automatique Niveau : 2
ISET NABEUL - 90 - CHELBI Hassen
Unité d’enseignement : Automatique 1
ECUE n° 1 : Signaux et Systèmes Linéaires
Chapitre 9
Etude Harmonique des Systèmes d’Ordre élevé (n>2)
Nombre d’heures/chapitre : 1.5h
Cours intégré
Système d’évaluation : Continu
OBJECTIFS DE L’ENSEIGNEMENT :
-Savoir manipuler les techniques de représentation des systèmes
CONTENU THEORIQUE :
Dans ce chapitre on s’intéresse aux systèmes dont leurs ordre est supérieur à deux et pour les quels
l’étude analytique devienne pénible. Pour cela on s’intéresse aux critères géométriques qui se
manifestent par l’étude en boucle ouverte et la constatation en boucle fermée.
Ces critères sont c’elle de Nyquist, de Bode et de Black.
-Connaître les notions des signaux.
-Connaître les notions des systèmes et plus particulièrement les systèmes asservis.
-Maîtriser les outils de transformation des signaux.
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ISET NABEUL - 91 - CHELBI Hassen
Chapitre 9
Etude Harmonique des Systèmes d’Ordre élevé (n>2)
1. Introduction
L’étude de la stabilité par la détermination des pôles nécessite la connaissance de la fonction de transfert
en boucle fermée ou l’équation différentielle qui décrit le système.
Souvent, on ne dispose pas de T (p) (fonction de transfert en boucle ouverte) analytiquement par contre
des essais expérimentaux sont possibles.
On dispose alors de tracer le diagramme de Nyquist (ou Bode ou Black) qui nous permet d’étudier la
stabilité du système. On dit qu’on étudie la stabilité du système en boucle fermée à partir du tracé en
boucle ouverte.
2. Critères géométriques
2.1. Critère de Nyquist
)(
)(
)(1
)()(
pD
pN
pT
pTpH =
+=
Equation caractéristique T(p) 01 =+= 1−=T(p) ⇔ 1−=+ jYX
Le point (-1,0) est un point critique
=−=
πω
)1arg(
1)( jT
* Critère de Rivers sur le plan de Nyquist
Fig. 9.1 : Schéma fonctionnel
Un système est stable en boucle fermée si le lieu de Nyquist en boucle ouverte parcouru dans le sens
des croissant laisse à sa gauche le point critique (-1,0).
T(p) E(p) ε(p) S(p)
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Diagramme de Nyquist
Axe réel
Axe
imag
inai
re
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8 0 dB
-20 dB
-10 dB
-6 dB-4 dB-2 dB
20 dB
10 dB
6 dB
4 dB2 dB
w0=10rd/s m=0,7
k=1 w=0 w=00 Re
Im
w=w0 -k/2m
k=1
Fig. 9.2 : Diagramme de Nyquist
Exemples
1/ On donne le schéma fonctionnel suivant :
Fig. 9.3 : Schéma fonctionnel
1. R(p)=K1
Tp
KpT
+=
1)( 1
2. R(p)=K2 , K2> K1
Tp+1
1
ε (p) )( pR
)( pE )( pS
Cours Automatique Niveau : 2
ISET NABEUL - 93 - CHELBI Hassen
-0.5 0 0.5 .75 1 1.5
-1.5
-1
-.75
-0.5
0
0.5
Diagrmme de Nyquist
Axe réel
Axe
imag
inai
re
k2
ω=0k1
ω=0ω=∞k1/2
k1/2
k2/2
k2/2
2
1
Fig. 9.4
1 et 2 sont deux systèmes stables.
2/
Fig. 9.5
1. R(p)=K1
21
)1()(
p
kpT
+=
2. p
A1=R(p)
21
)1()(
pp
ApT
+=
3. p
A=R(p) 2 ; 12 AA >
21
)1()(
pp
ApT
+=
Système 1 : stable
Système 2 : instable
2)1(
1
p+
ε (p) )( pR
)( pE )( pS
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• Degré de stabilité : Marge de gain et marge de phase
Marge de gain
Soit deux systèmes de transmittances T1 (p) et T2 (p) en boucle ouverte
(1) est plus stable que (2)
la notion de marge de gain perme de quantifier l’intuition précédente
11
1
OAMg = ;
22
1
OAMg =
OAOA
MgMgdB log201
log20log20 −=== or 1<OA 0>dBMg
Remarque
C’est une condition nécessaire mais non suffisante.
Donc il faut déduire en plus la marge de phase pour quantifier la stabilité.
Marge de phase 1)( que tel))(arg( 00 =+= ωωπϕ jTjTM
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Axe réel
Axe
imag
inai
re
Mφ
(-1,0)
Fig. 9.6
stable Système 0
0
>>
ϕM
Mg
O
A
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2.2. Application au plan de Bode )( ; )( ωϕω ffTdB ==
))(arg( 1ωπϕ jTM += et )( 0ωjTMg −=
-150
-100
-50
0
50
100G
ain
(dB
)
10-2
10-1
100
101
102
-270
-180
-90
0
Fréquence (rd/s)
Pha
se (
deg)
Bode Diagram
Fig. 9.7
(1 : bleu) Système stable : 0;0 >> ϕMMg
(2 : rouge) Système instable : 0<ϕM
2.3. Application au plan de Black )(ϕfTdB =
Open-Loop Phase (deg)
Ope
n-Lo
op G
ain
(dB
)
-270 -225 -180 -135 -90 -45 0-80
-60
-40
-20
0
20
40
60Diagramme de black
Gai
n en
Bo
(dB
)
Mg
Mφ
Fig. 9.8
12
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ISET NABEUL - 96 - CHELBI Hassen
Open-Loop Phase (deg)
Ope
n-Lo
op G
ain
(dB
)
-360 -315 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
6 dB 3 dB
1 dB 0.5 dB
0.25 dB 0 dB
-1 dB
-3 dB
-6 dB
-12 dB
-20 dB
-40 dB
-60 dB
-80 dB
Diagramme de black
()
Mg
Mφ
Fig. 9.9
))(arg( 1ωπϕ jTM += tel que 0)( 1 =ωjT
)( 2ωjTMg = tel que ))(( 2 πω −=jTArg
