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Chapitre 8

Analyse dans le plan complexe

8.1 Introduction

Le lieu des pôles est un outil puissant permettant d’analyser l’évolution despôles en boucle fermée en fonction d’un paramètre variable ko qui est le gainde la boucle ouverte. La méthode permet d’examiner la manière dont les pôlesévoluent en boucle fermée dans le plan de s, lorsque le gain en boucle ouverteko est modifié de 0 jusqu’à l’infini. La méthode peut aussi servir de méthode desynthèse puisqu’elle permet de trouver une valeur appropriée de k0 qui entraîneun emplacement des pôles dans une région désirée du plan de s.

Des logiciels puissants comme MATLAB (voir commande rlocus) facilitent consi-dérablement le tracé du lieu des pôles. Bien que les règles permettant de tracerle lieu des pôles manuellement soient présentées ci-après, elles n’ont plus uneimportance primordiale dans les applications pratiques.

L’analyse du lieu des pôles peut être facilement généralisée sur des situations,où le paramètre variable n’est pas a priori le gain de la boucle ouverte, maisun paramètre physique quelconque du système à régler ou du régulateur (§ 8.Apage 280).

Contrairement aux méthodes d’analyse et de synthèse fréquentielles, baséessur la réponse harmonique de la fonction de transfert Go(s) en boucle ouverte,on étudie ici les performances (stabilité et rapidité) d’un système de régulationautomatique en analysant directement ses pôles en boucle fermée. Précisément,c’est l’influence du gain permanent de boucle Ko ∝ ko sur la position de ceux-cidans le plan complexe qui est examinée.

Détail à relever, les méthodes présentées ici s’appliquent aussi bien aux sys-tèmes stables qu’instables en boucle ouverte, contrairement aux méthodes fré-quentielles basées sur le critère de Nyquist simplifié (i.e. critère du revers).

Chapitre 8 265 mee \cours_ra.tex\20 décembre 2004


8.2 Fonctions de transfertIl est recommandé de présenter toutes le fonctions de transfert sous forme

d’Evans, i.e. de Laplace, i.e sous une forme telle que les coefficients des plushautes puissances de s soient unitaires :

Go(s) =Y (s)

U(s)=

forme quelconque︷︸︸︷bm · sm + bm−1 · sm−1 + . . . + b1 · s + b0

sn + an−1 · sn−1 + . . . + a1 · s + a0

=

forme de Laplace︷︸︸︷bm

an︸︷︷︸ko

·sm + bm−1

bm· sm−1 + . . . + b0

bm

sn + an−1

an· sn−1 + . . . + a0

an

=

forme de Laplace factorisée︷︸︸︷ko ·

(s− z1) · (s− z2) · . . . · (s− zm)

(s− s1) · (s− s2) · . . . · (s− sn)

= ko ·no(s)

do(s)

S-

w ( t ) y ( t )

f _ 0 7 _ 0 1 . e p s

( )( )sd

snk

o

oo ×

Fig. 8.1 – Les fonctions de transfert doivent être mises sous forme d’Evans (La-place).

La fonction de transfert en boucle fermée s’écrit, dans le cas de la régulationde correspondance et lorsque le retour est unitaire (figure 8.1)

Gw(s) =Y (s)

W (s)=

Go(s)

1 + Go(s)

=ko · no(s)

do(s)

1 + ko · no(s)do(s)

=ko · no(s)

do(s) + ko · no(s)

=ko · (s− z1) · (s− z2) · . . . · (s− zm)

(s− sf1) · (s− sf2) · . . . · (s− sfn)


http://iai.eivd.ch/users/mee/cours/cours_ra/chap_07/Figures/f_07_01.eps


On note au passage que toutes les fonctions de transfert en boucle fermée quel’on peut calculer ont le même dénominateur

do(s) + ko · no(s)

puisque l’on a toujours

Gboucle fermée (s) =fonction de transfert de la chaîne d’action

1 + fonction de transfert de la boucleOn voit également que les ordres de Go(s) et de Gw(s) coïncident. L’exception àces 2 observations est celui de la synthèse par compensation pôle-zéro (voir coursde régulation numérique, [10], chap.7).

Les pôles de la fonction de transfert en boucle fermée sont les valeurs de sannulant le dénominateur de Gw(s). Ils sont donc solutions de l’équation carac-téristique

dc(s) = do(s) + ko · no(s) = 0

On note que seuls les pôles sont modifiés par la contre-réaction, les zéros en bouclefermée coïncidant avce ceux en boucle ouverte.

ko est le facteur d’Evans. Il est proportionnel au gain permanent :

Ko = ko ·∣∣∣∣(−z1) · (−z2) · . . . · (−zm)

(−s1) · (−s2) · . . . · (−sn)

∣∣∣∣si 6=0

= ko ·∏|zj|∏|si|

∣∣∣∣zi 6=0 si 6=0

8.3 Définition du lieu d’Evans

Le lieu d’Evans, ou lieu des pôles, est le lieu décrit dans le plan complexepar les n pôles de la fonction de transfert en boucle fermée, i.e par les nracines de l’équation caractéristique dc(s) = do(s)+ko ·no(s) = 0 lorsqueque le facteur d’Evans ko varie de 0 à l’infini.

Avec le lieu d’Evans, on représente donc graphiquement dans le plan de sl’évolution des pôles de la fonction de transfert en boucle fermée lorsque que legain de boucle ko varie de 0 à l’infini.

Les pôles en boucle fermée déterminent complètement la stabilité, et en af-finant l’analyse par le calcul des marges de stabilité absolue et relative (§ 8.8page 278), l’examen de la position des pôles permet également de déterminer ledegré de stabilité. De plus, pour autant que les zéros soient "normaux" (systèmesà déphasage minimal), les pôles imposent largement la forme et la durée du régimelibre (apériodique ou oscillatoire), observable en régime transitoire, par exempleaux premiers instants de la réponse indicielle.

Il y a donc un intérêt certain à connaître l’emplacement dans le plan complexedes pôles de la fonction de transfert en boucle fermée d’un système de régulationnumérique. Le plan complexe est bien sûr ici le plan de s. Il est encore plusintéressant de pouvoir examiner la manière dont ces mêmes pôles évoluent dansle plan de s lorsque le gain en boucle ouverte est modifié.



8.4 ExempleSoit à tracer le lieu d’Evans du système asservi ayant pour fonction de transfert

en boucle ouverteGo(s) =

Ko

s· 1

1 + s · TSous forme d’Evans (Laplace), Go(s) devient :

Go(s) =Ko

s· 1

T · (s− (− 1T))

=Ko

T

s· 1

s− s1

=ko

s· 1

s− s1

= ko ·no(s)

do(s)

L’équation caractéristique est donc

dc(s) = do(s) + ko · no(s) = s · (s− s1) + ko = s2 − s1 · s + ko

et les pôles en boucle fermée sont donnés par

sf1,2 =s1 ±

√s21 − 4 · ko

2

On peut déterminer quelques valeurs particulières de ko :

ko = 0 sf1,2 =

{s1+s1

2= s1

s1−s1

2= 0

}pôles en boucle ouverte

ko <s21

4sf1,2 sont réels et distincts

ko =s21

4sf1,2 =

s1

2sont réels confondus

ko >s21

4sf1,2 =

s1

2± j

·√

4 · ko − s21

2sont complexes conjugués



0 R e

I m s

f _ 0 7 _ 0 2 . e p s

s 2s 1

k 0 = 0k 0 = 0

k 0 = s 12 / 4

d = - s 1 / 2

p o i n t s d e d é p a r t( p ô l e s e n b o u c l e o u v e r t e )

b r a n c h e s

p o i n t d e s é p a r a t i o n

p o i n t d ' a r r i v é eà l ' i n f i n i

p o i n t d ' a r r i v é eà l ' i n f i n i

¥®ok

¥®ok

Fig. 8.2 – Lieu d’Evans de Go(s) = ko

s· 1

s−s1(fichier source).



http://iai.eivd.ch/users/mee/cours/cours_ra/chap_07/Figures///f_07.dsf


8.5 Condition des angles et condition des modules

On démontre ci-dessous– la condition des angles, qui permet de savoir si un point S quelconque du

plan de s appartient ou non au lieu d’Evans ;– la condition des modules, qui permet de calculer le gain ko à appliquer pour

que l’un des pôles en boucle fermée soit situé en un point choisi du lieud’Evans.

Dans les deux cas, si un point sp = σ + j · ω appartient au lieu, alors

dc(sp) = 0 = do(sp) + ko · no(sp) ⇐⇒ no(sp)

do(sp)= − 1

ko

0 R e

I ms

S p

s 2 s 1s 3

b 1

b 2b 3a 1

z 1

S 3 S p

Z 1 S p

S 1 S p

S 2 S p

f _ 0 7 _ 0 3 . e p s

Fig. 8.3 – Définition des angles αj et βi ainsi que des segments ZjSp et SiSp

(fichier source).





8.5.1 Condition des angles

Partant de la dernière expression ci-dessus, on a :

arg

{no(sp)

do(sp)

}= arg

{− 1

ko

}(1 + 2 · λ) · π λ = 0,±1,±2,±3, . . .

soit encorearg {no(sp)} − arg {do(sp)} = (1 + 2 · λ) · π

En factorisant no(s) et do(s), on a dans un premier temps

arg {(sp − z1) · (sp − z2) · . . . · (sp − zm)}− arg {(sp − s1) · (sp − s2) · . . . · (sp − sn)} = (1 + 2 · λ) · π

puis

α1︷︸︸︷arg {(sp − z1)}+

α2︷︸︸︷arg {(sp − z2)}+ . . . +

αm︷︸︸︷arg {(sp − zm)}

−

arg {(sp − s1)}︸︷︷︸β1

+ arg {(sp − s2)}︸︷︷︸β2

+ . . . + arg {(sp − sn)}︸︷︷︸βn

= (1 + 2 · λ) · π

soit finalementm∑

j=1

αj −n∑

i=1

βi = (1 + 2 · λ) · π

Les angles αj et βi sont respectivement les angles formés par les segments ZjSp

et SjSp avec l’axe réel (figure 8.3 page précédente). La combinaison de ces anglesdoit donc obéir à la condition ci-dessus pour que sp appartiennent au lieu.

8.5.2 Condition des modules

Reprenant l’expressionno(sp)

do(sp)= − 1

ko

on en extrait le module ∣∣∣∣no(sp)

do(sp)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣− 1

ko

∣∣∣∣On obtient successivement∣∣∣∣(sp − z1) · (sp − z2) · . . . · (sp − zm)

(sp − s1) · (sp − s2) · . . . · (sp − sn)

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣− 1

ko

∣∣∣∣Chapitre 8 271 mee \cours_ra.tex\20 décembre 2004


Z1Sp︷︸︸︷|(sp − z1)| ·

Z2Sp︷︸︸︷|(sp − z2)| · . . . ·

ZmSp︷︸︸︷|(sp − zm)|

|(sp − s1)|︸︷︷︸S1Sp

· |(sp − s2)|︸︷︷︸S2Sp

· . . . · |(sp − sn)|︸︷︷︸SnSp

=1

ko

puis finalement :

ko =S1Sp · S2Sp · . . . · SnSp

Z1Sp · Z2Sp · . . . · ZmSp

8.6 Tracé du lieu d’Evans

Les 9 règles les plus utiles à l’esquisse du lieu, selon [1], sont données ci-dessoussans démonstration.

1. L’équation caractéristique dc(s) = do(s) + ko · no(s) ayant n solutions, lelieu d’Evans a n branches.

2. Les coefficients de l’équation caractéristique étant réels, le lieu d’Evansest symétrique par rapport à l’axe réel.

3. Les points de départ du lieu correspondent à ko = 0. Ceci a pour consé-quence que dc(s) = do(s) + ko · no(s) = do(s) dont les solutions sont lesracines de do(s). Les points de départ du lieu sont donc les pôles deGo(s), i.e. les pôles en boucle ouverte.

4. Les point d’arrivée correspondent à ko → ∞. Cela implique que dc(s) =do(s) + ko · no(s) = 0 ≈ ko · no(s) et que m pôles tendent donc vers les mracines de no(s). On en déduit que m pôles aboutissent aux zéros deGo(s).

5. Les points d’arrivée des (n − m) pôles restant sont situés à l’infini. Il re-joignent (n−m) asymptotes d’angle

ξ =(1 + 2 · λ)

(n−m)· π λ ∈ Z

formant une étoile régulière.

6. Le centre de l’étoile formée par les asymptotes est situé sur l’axe réel en

∆ =

∑ni=1 si −

m∑j=1

zj

n−m

7. Tout point de l’axe réel situé à gauche d’un nombre impaire de pôles et dezéros réels fait partie du lieu.



8. Si pour une valeur particulière kocr de ko, 1 pôle en boucle fermée est situésur l’axe imaginaire en sf1 = j · ωocr, i.e. se situe à la limite de stabilité,l’équation caractéristique peut s’écrire :

dc(s) = do(s) + kocr · no(s)

= (s− sf1) · (s− sf2) · . . . (s− sfn)

= (s− j · ωocr) · (s− sf2) · . . . (s− sfn)

Ceci revient à dire que pour ko = kocr, le polynôme do(s) + kocr · no(s) estdivisible par (s− j · ωocr). On obtient alors kocr et ωocr en annulant lereste de la division de do(s) + kocr · no(s) par (s− j · ωocr).

9. Les points de séparation de l’axe réel sont donnés par les solutions de l’équa-tion

m∑j=1

1

µ− zj

=n∑

i=1

1

µ− si

S’il n’y pas de zéro, il faudra remplacer∑m

j=11

µ−zjpar 0.

8.6.1 Exemple

On souhaite tracer le lieu des pôles de

Go(s) =ko

s· 1

s + 2· 1

s + 4

Application des règles 1 à 9 du tracé :1. Le lieu d’Evans a n = 3 branches.2. Le lieu d’Evans est symétrique par rapport à l’axe réel.3. Les points de départ du lieu sont donc les pôles de Go(s), i.e. les pôles en

boucle ouverte, soit s1 = 0[ rad

s

], s2 = −2

[ rads

]et s1 = −4

[ rads

].

4. m = 0 pôles aboutissent aux zéros de Go(s).5. Les points d’arrivée des n−m = 3−0 = 3 pôles restant sont situés à l’infini.

Il rejoignent 3 asymptotes d’angle

ξ =(1 + 2 · λ)

(3− 0)· π =

π3

(λ = 0)0 (λ = 1)−π

3(λ = −1)

formant une étoile régulière.6. Le centre de l’étoile est situé sur l’axe réel en

∆ =

n∑i=1

si −m∑

j=1

zj

n−m=

0− 2− 4− 0

3− 0= −2

[rads

]



7. Tout point de l’axe réel situé à gauche d’un nombre impaire de pôles etde zéros réels fait partie du lieu. L’axe réel situé entre s1 = 0

[ rads

]et

s1 = −2[ rad

s

]et entre s1 = −4

[ rads

]et −∞ fait donc partie du lieu.

8. Le lieu a visiblement 2 branches traversant l’axe imaginaire. On cherchedonc à annuler le reste de la division de do(s)+kocr ·no(s) par (s− j ·ωocr) ·(s + j · ωocr) = s2 + ω2

ocr. On a dans le cas de l’exemple :

s3 +6 · s2 +8 · s +kocr s2 + ω2ocr

s3 +ω2ocr · s s + 6

6 · s2 +(8− ω2ocr) · s +kocr

6 · s2 +6 · ω2ocr

Reste : (8− ω2ocr) · s +kocr − 6 · ω2

ocr

Si le reste est nul, il l’est indépendamment de toute valeur de s. Donc :

8− ω2ocr = 0 −→ ωocr = 2 ·

√2 = 2.82

[ rads

]kocr − 6 · ω2

ocr = 0 −→ kocr = 6 · ω2ocr = 48

9. Les points de séparation de l’axe réel sont donnés par les solutions de l’équa-tion

m∑j=1

1

µ− zj

=n∑

i=1

1

µ− si

soit dans le cas de l’exemple :

0 =1

µ− 0+

1

µ− (−2)+

1

µ− (−4)

On en déduit :

0 = (µ + 2) · (µ + 4) + µ · (µ + 4) + µ · (µ + 2)

3 · µ2 + 12 · µ + 8 = 0

d’où

µ1,2 =−12±

√122 − 4 · 3 · 82 · 3

= . . . = −2± 4

6·√

3 =

{−0.84

[ rads

]−3.4

[ rads

] }Compte tenu de la règle 7, seule la solution µ = −0.84

[ rads

]a un sens.



0 R e

I ms

s 2 = - 2 s 1 = 0s 3 = - 4

f _ 0 7 _ 0 4 . e p s

Y

k o c r = 4 8j w o c r = 2 . 8 2

D = - 2 m = - 0 . 8 4

p / 3

Fig. 8.4 – Esquisse du lieu d’Evans de Go(s) = ko

s· 1

s+2· 1

s+4obtenue en appliquant

les règle 1 à 9 du tracé (fichier source).





8.7 Valeurs particulières du gain ko

– ko = kolim = gain limite, soit le gain à partir duquel 2 des n pôles deviennentcomplexes.

– ko = koop = gain optimal, i.e. le gain à appliquer pour que les pôles (domi-nants) soient situés sur les 2 demi-droites équi-amortissement correspondantà ζopt ≈ 0.5 . . . 0.707.

– ko = kocr = gain critique, i.e. le gain pour lequel 1 ou plusieurs des n pôlesdeviennent instables.

0 R e

I ms

s 2 s 1s 3

f _ 0 7 _ 0 5 . e p s

Y

k o o p

k o l i m

k o c r

Fig. 8.5 – Définition des gains limite kolim, optimal koop et critique kocr (fichier source).





Ces gains peuvent être calculés à partir du tracé du lieu en appliquant la conditiondes modules :

ko =S1Sp · S2Sp · . . . SnSp

Z1Sp · Z2Sp · . . . ZmSp

On rappelle que le facteur d’Evans ko est lié au gain permanent de boucle Ko parla relation :

Ko = ko ·∣∣∣∣(−z1) · (−z2) · . . . (−zm)

(−s1) · (−s2) · . . . (−sn)

∣∣∣∣si 6=0

8.7.1 Exemple

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 10−3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

t [s]

ko=k

olim

ko=k

oop

f_ex_01_1.wmf

Fig. 8.6 – Réponses indicielle en boucle fermée, pour les 2 valeurs de ko calculées(fichier source).

Partant de l’exemple du § 8.4 page 268, on peut déterminer mathématique-ment les gain limite kolim, optimal koop et critique kocr :

– pour le gain limite, celui-ci est obtenu lorsque les pôles sont réels et confon-dus, soit pour kolim =

s21

4;

– le gain optimal est obtenu pour Ψ = arcsin (ζ) = 30 [◦]. Or :

sin (Ψ) = ζ =δ

ωn

= 0.5 =s1

2√(s1

2

)2+

4·ko−s21

4


http://iai.eivd.ch/users/mee/cours/cours_ra/chap_07/Figures/f_ex_01_1.eps

http://iai.eivd.ch/users/mee/cours/cours_ra/chap_07/matlab///ex_01.m


On en déduit : koop = s21

– le gain critique est visiblement (figure 8.2 page 269) infini, puisque le lieune franchit jamais l’axe imaginaire : kocr = ∞.

Les gains permanents (définis lorsque les fonctions de transfert sont sous formeBode) ont pour expressions :

Kolim = kolim ·∏|zj|∏|si|

=s21

4· 1

|s1|=|s1|4

Koop = koop ·∏|zj|∏|si|

= s21 ·

1

|s1|= |s1|

La figure 8.6 page précédente montre la réponse indicielle en boucle fermée pourles 2 gains calculés.

8.8 Marges de stabilité absolue et relativeEn se basant sur la condition fondamentale de stabilité, on a a priori la liberté

de dimensionner un régulateur fixant des pôles en boucle fermée situés n’importeoù dans le demi-plan complexe gauche (zone de stabilité). Avec les marges destabilité absolue et relative, on restreint volontairement la zone où les pôles enboucle fermée peuvent se trouver, de façon à :

1. garantir que tous les modes temporels sont plus rapides que e−δmin·t (margede stabilité absolue) ;

2. garantir que tous les modes temporels ont un taux d’amortissement ζ su-périeur à une certaine limite ζmin (marge de stabilité relative).

La marge de stabilité absolue prend graphiquement la forme d’une droite verticaled’abcisse −δmin (figure 8.7 page suivante) à gauche de laquelle tous les pôles enboucle fermée devraient se trouver. Si elle garantit effectivement que tous lesmodes décroissent plus vites que e−δmin·t, elle ne limite cependant pas le nombred’oscillations avant stabilisation. Pour cela, c’est la marge de stabilité relative quiexclut tout le domaine du demi-plan complexe gauche où le taux d’amortissementζ de pôles qui s’y trouveraient serait inférieur à ζmin. Graphiquement (figure 8.7page ci-contre), la marge de stabilité relative se représente par 2 demi-droitesissues de l’origine et formant un angle Ψmin = arcsin (ζmin) avec l’axe imaginaire.

La combinaison des 2 marges forme un contour que l’on nomme contourd’Evans (figure 8.8 page suivante).



0 R e

I ms

f _ 0 7 _ 0 7 . e p s

- d m i n0 R e

I ms

f _ 0 7 _ 0 6 . e p s

Y m i n

Fig. 8.7 – Marge de stabilité absolue (à gauche) et marge de stabilité relative (àdroite) (fichier source).

0 R e

I ms

f _ 0 7 _ 0 8 . e p s

Y m i n

- d m i n

c o n t o u rd ' E v a n s

Fig. 8.8 – Contour d’Evans (fichier source).








1

s·Ti

s · Td

Σ Kp Ga(s)Σw(t) y(t)-

Fig. 8.9 – Schéma fonctionnel d’un système asservi par un régulateur PID.

8.A Généralisation du lieu des pôles

On considère un paramètre κ quelconque d’un système asservi, grandeur va-riable à ajuster. L’objectif est de trouver le lieu des pôles associé au paramètreκ lorsque celui-ci varie entre 0 et l’infini. La seule restriction imposée est quele paramètre κ n’intervient qu’à un seul endroit du système, i.e. peut être misen évidence devant la fonction de transfert en boucle ouverte Go(s). C’est parexemple le cas pour le choix de

– l’inertie J d’un système entraîné ;– la sensibilité d’un capteur ;– la constante de temps d’un actionneur ;– l’un des paramètres Kp, Td ou Ti d’un régulateur PID– etc.

Le paramètre κ entre bien sûr dans le polynôme caractéristique dc(s), et l’onpeut constater d’une manière générale que dc(s) est une fonction affine de κ, i.e.dc(s) = p0(s) + κ · p1(s), avec des polynômes donnés p0(s) et p1(s).

Exemple : Régulateur PID, avec Td = κ variable. On souhaite examinercomment le gain Td de l’action dérivée influence le lieu des pôles. Partant duschéma fonctionnel de la figure 8.9, on ne modifie pas les pôles en boucle ferméesi l’on transforme ledit schéma en celui de la figure 8.10 page suivante.


http://iai.eivd.ch/users/mee/cours/cours_ra/chap_07/Figures/lieu_td_1.eps


1

s·Ti

s · Td

Σ Kp Ga(s)Σw(t) y(t)-

-

-

Fig. 8.10 – Schéma fonctionnel d’un système asservi par un régulateur PID, mo-difié de façon à mettre en évidence Td dans la fonction de transfert en boucleouverte tout en conservant la même équation caractéristique, i.e. le même déno-minateur en boucle fermée.

On a en effet dans le cas de la figure 8.9 page ci-contre

Go(s) = Gc(s) ·Ga(s)

=kc · nc(s)

dc(s)· ka · na(s)

da(s)

=ko · no(s)

do(s)

Gw(s) =Y (s)

W (s)=

Go(s)

1 + Go(s)

=ko · no(s)

do(s)

1 + ko · no(s)do(s)

=ko · no(s)

do(s) + ko · no(s)

=kc · ka · nc(s) · na(s)

dc(s) · da(s) + kc · ka · nc(s) · na(s)

=ko · (s− z1) · (s− z2) · . . . · (s− zm)

(s− sf1) · (s− sf2) · . . . · (s− sfn)


http://iai.eivd.ch/users/mee/cours/cours_ra/chap_07/Figures/lieu_td_2.eps


Avec un régulateur PID, on obtient :

Go(s) = Gc(s) ·Ga(s)

=

Kp

Ti

s·(1 + s · Ti + s2 · Ti · Td

)· ka · na(s)

da(s)

=Kp · Td

s·(

1

Ti · Td

+ s · 1

Td

+ s2

)· ka · na(s)

da(s)

=kc ·

(s2 + s · 1

Td+ 1

Ti·Td

)s

· ka · na(s)

da(s)

=kc · nc(s)

dc(s)· ka · na(s)

da(s)

=ko · no(s)

do(s)

Gw(s) =Y (s)

W (s)=

Go(s)

1 + Go(s)

=ko · no(s)

do(s) + ko · no(s)

=Kp · Td · ka ·

(s2 + s · 1

Td+ 1

Ti·Td

)· na(s)

s · da(s)︸︷︷︸do(s)=dc(s)·da(s)

+ Kp · Td · ka ·(

s2 + s · 1

Td

+1

Ti · Td

)· na(s)︸︷︷︸

ko·no(s)=kc·nc(s)·ka·na(s)

Pour la configuration décrite sur la figure 8.10 page précédente, on a :

Go(s) = s · Td ·Kp ·Ga(s)

1 + Kp ·(1 + 1

s·Ti

)·Ga(s)

= Td ·s ·Kp · ka·na(s)

da(s)

1 + Kp · 1+s·Ti

s·Ti· ka·na(s)

da(s)

= Td ·s2 ·Kp · Ti · ka · na(s)

s · Ti · da(s) + Kp · (1 + s · Ti) · ka · na(s)

= Td ·s2 ·Kp · ka · na(s)

s · da(s) + Kp ·(

1Ti

+ s)· ka · na(s)



En boucle fermée, on a :

Gw(s) =Y (s)

W (s)=

Go(s)

1 + Go(s)

=

Td · s2·Kp·ka·na(s)

s·da(s)+Kp·�

1Ti

+s�·ka·na(s)

1 + Td · s2·Kp·ka·na(s)

s·da(s)+Kp·�

1Ti

+s�·ka·na(s)

=Td · s2 ·Kp · ka · na(s)

s · da(s) + Kp ·(

1Ti

+ s)· ka · na(s) + Td · s2 ·Kp · ka · na(s)

=Td ·Kp · ka · na(s) · s2

s · da(s) + Kp ·(

1Ti

+ s + s2 · Td

)· ka · na(s)

=Td ·Kp · ka · na(s) · s2

s · da(s)︸︷︷︸do(s)=dc(s)·da(s)

+ Kp · Td ·(

s2 +1

Td

· s +1

Ti · Td

)· ka · na(s)︸︷︷︸

ko·no(s)=kc·ka·nc(s)·na(s)

Les pôles en boucle fermée sont ainsi bel et bien les mêmes, cependant c’estavec Td que l’on peut désormais influencer leur position plutôt qu’avec Kp.

Le tracé du lieu des pôles peut relatifs à Td peut donc s’effectuer simplementen faisant usage des règles présentées plus haut dans ce chapitre en considérantque le système à régler est

G′a(s) =

s ·Kp ·Ga(s)

1 + Kp ·(1 + 1

s·Ti

)·Ga(s)

au lieu deGa(s)



Bibliographie

[1] Régulation automatique, L.Maret, 1987, PPUR, bibliothèque eivd40.110-11[2] Modern Control systems, Dorf et Bishop, 1995, Addison-Wesley[3] Linear systems, Th.Kailath, 1980, Prentice-Hall, bibliothèque eivd32.100-36[4] Einführung in die Regelungstechnik, W.Leonhard, Vieweg & Sohn, Braun-

schweig/Wiesbaden, 1985[5] Electronique de réglage et de commande, H.Bühler, Traité d’Electricité, vol.

XVI, PPUR[6] Théorie et traitement des signaux, Traité d’Electricité, vol.VI, F.de Coulon,

1984, Presses Polytechniques Romandes, bibliothèque eivd32.100-23[7] Feedback control theory, Doyle, Francis, Tannenbaum, Maxwell Macmillan

international editions, 1992, bibliothèque eivd40.112-04[8] Modern Control system Theory and Design, Stanley M. Shinners, John Wiley

and Sons, Inc, bibliothèque eivd40.132-32/01[9] Entraînements réglés, Michel Etique, cours polycopié de l’école d’ingénieurs

du canton de Vaud (eivd), 2002, http://iai.eivd.ch/users/mee/node5.htm

[10] Régulation numérique, Michel Etique, cours polycopié de l’école d’ingénieursdu canton de Vaud (eivd), 2002, http://iai.eivd.ch/users/mee/node3.htm

[11] site Web de Control Systems Society de l’IEEE, octobre 2003, http://www.ieeecss.org/about/ABOUTindex.html

Bibliographie 285 mee \cours_ra.tex\20 décembre 2004

http://iai.eivd.ch/users/mee/node5.htm




http://www.ieeecss.org/about/ABOUTindex.html

http://www.ieeecss.org/about/ABOUTindex.html


Version du docu-ment

Date Notes

v1.0 11 décembre 2001v1.1 mars 2002v1.2 26 juin 2002v1.3 octobre-décembre

2002v1.4 mars-juillet 2003v1.5 octobre 2003 exemples chap.1v1.6 octobre 2004v1.7 décembre 2004

Tab. 8.1 – Versions publiées

Versions 286 mee \cours_ra.tex\20 décembre 2004

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