Chapitre 7

La centrifugeuse

La centrifugeuse exploite le principe d’inertie exprimé par la première loi de Newton(voir section 2.2) appliqué au mouvement circulaire. Le nom fait référence à la forcecentrifuge telle que peuvent la ressentir les passagers du Rotor de la figure 7.1.

Nous verrons cependant que la description physique de la centrifugeuse fait abs-traction de cette force ressentie et que le diagramme de forces d’un observateur duRotor dans un référentiel inertiel sera di�érent de celui de ses passagers.

Dans ce chapitre nous étudierons le mouvement circulaire uniforme et commentles lois de Newton s’y appliquent.

Figure 7.1 – Une force apparente fait coller des personnes à la paroi d’un manège.

1

1. Photo reproduite avec l’aimable autorisation de urban75.com.

65

66 Physique des mécanismes

7.1 Le mouvement circulaire uniforme

Soit une particule e�ectuant un mouvement circulaire de rayon r à une vitesse dontla grandeur v est constante (figure 7.2). Sur un tour complet, la particule franchitune distance d = 2fir et le temps T , appelé période, pour e�ectuer ce tour complet secalcule en utilisant la définition de la vitesse scalaire donnée par l’équation (1.3)

v = d

�t

= 2fir

T

T = 2fir

v

. (7.1)

La fréquence, quant à elle, correspond au nombre de tours par seconde1 tour

T

= f

1 s ∆ f = 1T

. (7.2)

7.2 L’accélération centripète

Lors d’un mouvement circulaire uniforme la grandeur de la vitesse de la particule enrotation ne change pas. Par contre, la direction de sa vitesse change à chaque instant.Comme il y a un changement de vitesse (en direction), il y a accélération. La particuleest accélérée vers le centre du cercle de rotation.

En étudiant la figure 7.3, on constate que les triangles formés par les vecteursrayons et vitesses sont équivalents. On en déduit donc que

|�r̨|r

= |�v̨|v

. (7.3)

Et puisque �r = v�t et �v = a

c

�t,

lim�tæ0

v�t

r

= lim�tæ0

a

c

�t

v

a

c

= v

2

r

. (7.4)

Cette accélération radiale a

c

est appelée accélération centripète. Elle est toujoursperpendiculaire au vecteur vitesse et dirigée vers le centre du cercle.

Chapitre 7. La centrifugeuse 67

r

v

v

r

r

v

Figure 7.2 – Mouvement circulaire uniforme.

ri

vf

vi

Δv

rf vi

Δrθ

θ

Figure 7.3 – Variation de r̨ et v̨ lors du mouvement circulaire uniforme.

68 Physique des mécanismes

7.3 La force centripète

Si on multiplie l’accélération centripète par la masse de la particule accélérée, onobtient la force centripète

F

c

= ma

c

= mv

2

r

. (7.5)

La figure 7.4 montre un moyen simple de mesurer la force centripète en utilisantun dynamomètre et une ficelle au bout de laquelle on fait tourner un écrou. La seuleforce appliquée sur l’écrou est la tension dans la ficelle, donc F

c

= T .

On peut vérifier la validité de l’équation (7.5) en comptant le nombre de toursn e�ectués par l’écrou dans un intervalle de temps fixe t pour di�érentes valeurs detension T . En utilisant

v = d

t

= 2firn

t

, (7.6)

on obtient

m = kg, r = m, t = s.

Tableau 7.1 – Mesure du nombres de rotations pour di�érentes tensions.

T (N) nprévu (tours) nobservé (tours)

± ±

± ±

± ±

Chapitre 7. La centrifugeuse 69

dynamomètre

v

r Fc

FcFigure 7.4 – Une mesure de la force centripète.

70 Physique des mécanismes

Exemple 7.1

Lorsqu’on fait tourner avec le bras un seau d’eau dans le plan vertical, quelles doiventêtre les grandeurs minimales de la vitesse du seau et de l’accélération donnée par lebras pour que l’eau reste dans le seau ?

Solution

L’eau subit l’accélération gravitationnelle g à tout moment. Pour que l’eau décriveun mouvement circulaire uniforme et reste dans le seau lorsque le seau est renversé,à la position la plus haute, il faut que

Puisque l’accélération centripète peut être produite par la gravité et le bras, àla position la plus haute on obtient comme accélération donnée par le bras pour unevaleur minimale de a

c

À la position la plus basse l’accélération gravitationnelle est toujours vers le bas,mais l’accélération centripète doit être vers le haut (centre du cercle). L’accélérationdonnée par le bras doit donc compenser l’accélération gravitationnelle pour maintenirune accélération centripète résultante de g vers le haut.

L’accélération donnée par le bras varie donc entre 0 et 2g pour maintenir lemouvement circulaire uniforme (figure 7.5).

Chapitre 7. La centrifugeuse 71

g

gg

g

ac = g

abras = g

abras = 2g

abras = 0

abras = g

Figure 7.5 – Seau d’eau en rotation.

72 Physique des mécanismes

7.4 Forces centripète et centrifuge

Aux sections 7.2 et 7.3 nous avons décrit le mouvement circulaire uniforme en termesd’accélération et de force centripètes. Pourtant, les passagers du Rotor de la figure7.1 vous diront qu’ils ne sont nullement attirés vers le centre mais comprimés sur laparoi par une force centrifuge. Pourquoi ?

La première loi de Newton stipule qu’un corps en mouvement sur lequel n’agitaucune force persévèrera dans son mouvement rectiligne à vitesse constante. C’est leprincipe d’inertie. On dit que ce corps est dans un référentiel inertiel, c’est-à-dire queses axes de références ne subissent aucune accélération.

Les passagers du rotor ne sont pas dans un système inertiel. S’ils se sententcomprimés, c’est que leur corps tend à poursuivre son mouvement en ligne droite, parinertie, alors qu’il est contraint de tourner. La force exercée par la paroi du Rotorsur les corps pour les faire se déplacer sur une trajectoire circulaire est réelle. C’est laforce centripète. Par contre, la force ressentie par les passagers est une force inertiellene correspondant pas à une action réelle sur les corps, c’est la force centrifuge.

Exemple 7.2

Un tramway prend un virage horizontal d’un rayon de 9, 1 m à 16 km/h. Quel angleles poignées qui pendent librement du plafond forment-elles avec la verticale à cetinstant ?

Solution

Les seules forces réelles agissant sur les poignées sont la gravité et la tension au pointd’attache. La décomposition de ces forces selon x et y donne

Chapitre 7. La centrifugeuse 73

Fc=N

mv

Fapparente

Figure 7.6 – La force centrifuge est la force ressentie par les corps en rotation. Dans

le Rotor, elle est égale et opposée à la force centripète qui est produite par la force

normale de la paroi sur le passager.

Fapparente

T

mg

Fc

Figure 7.7 – Dans un tramway en virage, les poignées semblent s’incliner sous l’action

d’une force. Cette force apparente est la force centrifuge et est causée par l’inertie de

la masse des poignées.

74 Physique des mécanismes

Exemple 7.3

Une voiture prend un virage relevé sur une chaussée glissante (figure 7.8). Le rayon decourbure du virage est R = 100 m, l’angle de relèvement est ◊ = 10¶ et le coe�cient defrottement statique µ

s

= 0, 1. Déterminez la vitesse maximale pour laquelle la voiturene dérape pas vers le haut du virage.

Solution

Puisque la voiture e�ectue un virage circulaire uniforme la force horizontale résultantedoit être égale à F

horizontale

= mv

2/r, alors que la résultante de la force verticale doit

être nulle. Afin de simplifier les calculs, on choisira l’axe x selon l’horizontale mêmesi la voiture est sur un plan incliné.

De plus, puisque l’on cherche la vitesse maximale pour laquelle la voiture nedérape pas vers l’extérieur du virage, c’est donc que la force de frottement statiquedoit retenir la voiture sur le plan incliné et est dirigée vers le bas du plan. (Si l’oncherchait la vitesse minimale, le frottement serait orienté vers le haut du plan incliné.Pourquoi ?)

On peut maintenant faire la décomposition des forces en x et y

Chapitre 7. La centrifugeuse 75

θ

R mg

x

y

N

fs rmvFrésultante

2

=

θ

Figure 7.8 – Diagramme des forces agissant sur une automobile dans un virage incliné.

76 Physique des mécanismes

7.5 Exercices

7.1 Déterminez l’accélération d’une particule décrivant un cercle de 3 m de rayon àune vitesse constante de 6 m/s.

7.2 Un pneu de 0,5 m de rayon tourne à une fréquence constante de 200 tours parminutes. Déterminez la vitesse et l’accélération d’une petite pierre logée dansla bande extérieure du pneu.

7.3 Un ventilateur exécute 1 200 tours à la minute. Considérez l’extrémité d’unepale ayant un rayon de 0,15 m.

(a) Quelle distance parcourt cette extrémité pendant un tour ?

(b) Quelle est sa vitesse ?

(c) Quelle est son accélération ?

(d) Quelle est la période de son mouvement ?

7.4 Le TGV français a une vitesse moyenne de 300 km/h.

(a) S’il s’engage dans une courbe à cette vitesse et que l’accélération subie parles passagers ne doit pas dépasser 0,05g, quel est le plus petit rayon decourbure acceptable pour la voie ferrée ?

(b) Quelle est la vitesse à laquelle le train doit prendre un virage ayant unrayon de 1 km pour se maintenir à la limite d’accélération ?

7.5 Supposez que le coe�cient de frottement statique entre la piste et les pneusd’une voiture de Formule 1 est de 0,6 lors d’une course du Grand-Prix. Quelleest la vitesse maximale que la voiture peut atteindre lorsqu’elle e�ectue unvirage dans un tournant horizontal de 30 m de rayon sans qu’elle dérape ?

7.6 Une personne pesant 667 N est la passagère d’une grande roue qui tourne defaçon régulière (la personne est toujours assise à la verticale). Au point le plusélevé de la roue, la grandeur de la force normale N que son siège exerce sur elleest de 556 N.

Chapitre 7. La centrifugeuse 77

(a) La personne se sent-elle plus légère ou plus lourde à ce point ?

(b) Quelle est la force centripète résultante ?

(c) Quelle est la valeur de N au point le plus bas ?

7.7 Un avion décrit un cercle horizontal en volant à unevitesse de 480 km/h. Si ses ailes forment un angled’inclinaison de 40¶par rapport à l’horizontale,

(a) quel est le rayon du cercle qu’il parcourt ?

(b) Combien de fois leur poids les passagersressentent-ils ?

40°

7.8 Un virage d’autoroute a un rayon de 150 m et est conçu pour des véhicules sedéplaçant à 65 km/h.

(a) Si le virage n’est pas relevé, déterminez le coe�cient de frottement minimalentre les pneus et la chaussée pour que les véhicules roulent sans déraper.

(b) À quel angle devrait-on relever le virage si la force de frottement étaitnulle ?

7.9 Le manège de la figure 7.1 a un rayon de 4 m et le coe�cient de frottementstatique entre les passagers et la paroi est de 0,4.

(a) Déterminez la valeur maximale de la période de rotation T pour éviter lachute des passagers.

(b) Combien de révolutions par minute le cylindre e�ectue-t-il ?

§ § §