Chapitre 6

Le levier

La première étude du levier est attribuée à Archimède (≥287-≥212) qui aurait dé-claré : « Donnez-moi un point d’appui et je soulèverai le monde. » Le levier permeten e�et de soulever une charge avec une force plus faible que le poids de cette charge(pourvu qu’on ait un bon point d’appui et un levier approprié aux charges appliquées).

Plus simple que le palan (voir section 4.3), c’est un des premiers mécanismesutilisés par l’homme, bien avant l’invention de la roue.

L’e�et de levier est fondamental pour étudier l’équilibre statique. Il nous per-mettra de présenter le moment de force, qui est à la base du levier.

Figure 6.1 – Principe du levier.

55

56 Physique des mécanismes

6.1 Le travail du levier

La figure 6.2 illustre l’e�et de levier présenté à la figure 6.1 où une charge de poids mg

est soulevée par une force F < mg. Puisqu’il y a conservation de l’énergie mécanique,le travail accompli pour soulever la masse doit être égal à l’énergie potentielle quecette dernière acquiert

Fh1 = mgh2. (6.1)

La force F appliquée pour soulever la masse m est donc plus faible que le poids decette masse (P = mg) selon le rapport h2/h1

F = P

h2h1

. (6.2)

Les triangles formés par la course du levier de chaque côté du point d’appui sontidentiques. Les rapports hypoténuse sur hauteur sont par conséquent égaux

l1h1

= l2h2

∆ h2h1

= l2l1

. (6.3)

On peut donc écrire l’équation (6.2) en utilisant le rapport des bras de levier

F = P

l2l1

. (6.4)

6.2 Le moment de force

Si le levier est en équilibre à l’horizontale sur son point d’appui, les forces sont per-pendiculaires à l’axe des bras de levier (figure 6.3). La capacité des forces de fairebasculer le levier est maximale. Par contre, si le levier n’est plus à l’horizontale, lescomposantes des forces qui pourront le faire basculer seront seulement les composantesperpendiculaires à l’axe des bras de levier.

La capacité d’une force de faire pivoter un objet autour d’un axe de rotationest appelée moment de force. Le moment de force est le produit de la composanteperpendiculaire à l’axe du bras de levier de la force par le bras de levier

· = F‹l = Fl sin ◊. (6.5)

Chapitre 6. Le levier 57

h1

h2

l1

l2

Figure 6.2 – Travail du levier.

l1 l2

F1F2

θ2θ1

Figure 6.3 – Moment de force.

58 Physique des mécanismes

6.3 Le centre de gravité

Le centre de gravité d’un corps est l’endroit où la somme de tous les moments deforces produits par la force gravitationnelle sur tous les éléments de masse du corpsest nulle.

En d’autres mots, on peut considérer que la force gravitationnelle agissant surun corps s’applique en un seul point que l’on nomme centre de gravité. Le corps peutdonc être tenu en équilibre s’il est appuyé sur un point passant dans l’axe vertical ducentre de gravité (figure 6.4).

6.4 L’équilibre statique

Un corps solide est en équilibre statique si deux conditions sont remplies :

1. Si la somme des forces agissant sur lui est nulle

˛

F1 + ˛

F2 + · · · + ˛

F

n

= 0

ÿ˛

F

i

= 0. (6.6)

2. Si la somme des moments de forces agissant sur lui est nulle

˛

l1 ◊ ˛

F1 +˛

l2 ◊ ˛

F2 + · · · +˛

l

n

◊ ˛

F

n

= 0

ÿ·̨

i

= 0. (6.7)

La figure 6.5 montre deux joueurs de basketball. Le joueur de gauche peut êtreimmobile. La force normale du plancher est égale et opposée à son poids et la pro-jection de son centre de gravité est à l’intérieur de ses points d’appui (polygone desustentation). Il n’y a donc pas de force résultante sur lui, ni de moment de force.

Par contre le joueur de droite ne peut être immobile. La normale du plancherpeut être égale et opposée à son poids, mais la projection de son centre de gravitéest à l’extérieur de son point d’appui. Il existe donc un moment de force résultant. Sile joueur tentait de s’immobiliser dans cette position, il basculerait et tomberait. Etcela peu importe la force qu’il pourrait avoir dans le mollet !

Chapitre 6. Le levier 59

cg

cg

Figure 6.4 – Un corps tient en équilibre sur un point de l’axe vertical passant par son

centre de gravité (cg).

mg

N1 N2

0

0

212

21

=−=

=−+=

∑∑

mglLN

mgNNF

τ

mg

N

0

0

>=

=−=

∑∑

mgl

mgNF

τ

Figure 6.5 – Projection du centre de gravité à l’intérieur et à l’extérieur du polygone

de sustentation.

60 Physique des mécanismes

Exemple 6.1

Une enseigne est tenue en équilibre par un câble et une tige (figure 6.6). Calculezla tension dans le câble et les composantes horizontale et verticale de la force que lacharnière exerce sur la tige.

Solution

Comme l’enseigne est immobile, on pourrait prendre n’importe quel point de l’espace,calculer la somme des moments de forces autour de ce pivot fictif et la faire égaler àzéro.

En choisissant un pivot là où s’applique une des forces, on élimine un des momentsde forces dans l’équation résultante. En e�et, puisqu’une des forces s’applique aupivot, son bras de levier est nul, donc son moment de force est nul.

Chapitre 6. Le levier 61

400 N

T

Fx

l = 3 m

2,7 m

L = 4,5 m

FyFy

Ty Tx

x x

θ

Figure 6.6 – L’équilibre d’une enseigne.

62 Physique des mécanismes

6.5 Exercices

6.1 Une tige est utilisée pour soulever unepierre de 1 kN. Quelle force F doit êtreappliquée à l’extrémité de la tige pourla maintenir immobile (en supposantun frottement su�sant pour empêcherla pierre de glisser) ?

F

1,3 m 4,1 m

6.2 Un bloc de 7 kg est suspendu par deuxcordes, trouvez le module de la tensiondans chaque corde.

7 kg

40°60°

T1T2

6.3 Un bloc de 3 kg est suspendu par deux cordes, dontl’une est horizontale. Trouvez le module de la ten-sion dans chaque corde. 3 kg

T1

T2

30°

6.4 Un funambule de 70 kg se tient au milieu d’une corde de longueur 100 m. Si lecentre de la corde s’abaisse de 1,5 m, trouvez le module de la tension dans lacorde.

Chapitre 6. Le levier 63

6.5 Une force de 100 N est appliquée à l’extrémité d’uneclé de 40 cm. Quel est le moment de force qui enrésulte par rapport au centre de l’écrou ?

40 cm

6.6 Deux personnes transportent un poids de 500 N à l’aide d’une planche de massenégligeable. Si le poids se trouve au tiers de la planche, déterminer la force quechacune doit fournir pour supporter le poids (négligez le poids de la planche).

6.7 Trouvez les forces F1 et F2 supportant la poutre. La répartition des poids surla poutre est telle qu’indiquée et le poids de la poutre est négligeable.

5000 N

8000 N

4000 N

2 m 4 m 3 m 3 m

F1 F2

6.8 Une plongeuse d’un poids de 600 N se tient à l’extrémité d’un tremplin d’unelongueur de 3 m et de masse négligeable. Le tremplin est fixé sur deux soclesséparés de 0,75 m. Quels sont les grandeurs et les directions des forces exercéessur le tremplin

(a) par le socle A et

(b) par le socle B.

(c) Quel socle est étiré et quelsocle est comprimé ?

A B

3 m

0,75 m

64 Physique des mécanismes

6.9 Une tige homogène de 10 kg est tenueen équilibre par une charnière et unecorde sans masse enroulée sur une pou-lie. La charnière et la poulie sont sansfrottement. Quelle est la tension dansla corde ?

L/4 3L/4

L

6.10 Un poids de 200 N est suspendu à un crochet fixé par deux vis. Si la force quiretient les vis dans le mur est la même pour les deux vis, déterminez le minimumque doit avoir cette force pour que le crochet tienne en place (négligez la massedu crochet.)

200 N

24 cm

6 cm

6 cm

6 cm