Chapitre 7 DÉRIVATION - Free

77Chapitre

DÉRIVATIONDÉRIVATION

Ce chapitre vient compléter le chapitre � Notions de dérivation �, en apportant la technicité et la rigueurdélaissées précédemment, et permet d'utiliser la dérivation sans avoir recours à l'ordinateur.

1 FONCTIONS DÉRIVÉES DES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE

Grâce à un logiciel de calcul formel, donner la fonction dérivée de toutes les fonctionsde référence que vous connaissez.Grâce à un logiciel de calcul formel, donner la fonction dérivée de toutes les fonctionsde référence que vous connaissez.

Exercice 1

Pour éviter d'avoir recours à l'ordinateur, il est donc utile de connaître le tableau ci-dessous quidonne les dérivées des fonctions de référence :

f(x) f ′(x)

constante 0

x 1

xn nxn−1

1

x− 1

x2

sin(x) cos(x)

cos(x) − sin(x)

√x

1

2√x

LYCÉE BLAISE PASCAL

1S.DELOBEL

2 Chapitre 7. Dérivation

2 OPÉRATIONS SUR LES DÉRIVÉES

1. Quels calculs avez-vous envie de mener et quelles seraient selon vous les dérivéesdes fonctions suivantes ?

a. x2 + x3

b. sin(x) +1

x

c. x× cos(x)

d. 2 sin(x)

e.1

x2

f.2x− 3

x+ 1

2. Confrontez vos réponses à une véri�cation par un logiciel de calcul formel.

Vos envies exprimées à la question 1 sont-elles réalité ?

3. Compléter alors le Vrai/Faux suivant :

� Vrai � Faux � La dérivée d'une somme est égale à la somme des dérivées �

� Vrai � Faux � La dérivée d'un produit est égale au produit des dérivées �

� Vrai � Faux � La dérivée d'un quotient est égale au quotient des dérivées �

1. Quels calculs avez-vous envie de mener et quelles seraient selon vous les dérivéesdes fonctions suivantes ?

a. x2 + x3

b. sin(x) +1

x

c. x× cos(x)

d. 2 sin(x)

e.1

x2

f.2x− 3

x+ 1

2. Confrontez vos réponses à une véri�cation par un logiciel de calcul formel.

Vos envies exprimées à la question 1 sont-elles réalité ?

3. Compléter alors le Vrai/Faux suivant :

� Vrai � Faux � La dérivée d'une somme est égale à la somme des dérivées �

� Vrai � Faux � La dérivée d'un produit est égale au produit des dérivées �

� Vrai � Faux � La dérivée d'un quotient est égale au quotient des dérivées �

Exercice 2

Les opérations sur les dérivées ne sont pas toutes naturellement évidentes.On peut donc retenir les règles suivantes :

Pour u et v des fonctions :

fonction fonction dérivée

u+ v u′ + v′

ku (k une constante réelle) ku′

uv u′v + v′u

1

v− v′

v2

u

v

u′v − v′uv2

fonction fonction dérivée

cos (ωt+ ϕ) −ω sin (ωt+ ϕ)

sin (ωt+ ϕ) ω cos (ωt+ ϕ)

À la main, dériver chacune des fonctions suivantes puis véri�er avec un logiciel de calculde formel :

1. f(x) = −2x6 + x2 − 5x+ 1.

2. f(t) = (3t− 1)(t+ 2)

3. f(x) =x2 − 1

x+ 3

4. f(x) =1

x2 + 1

5. f(x) =x

3

6. f(ω) =5

ω

7. f(x) = x cos(x)

8. f(t) = πt2 + cos(3t+ π

4

)

À la main, dériver chacune des fonctions suivantes puis véri�er avec un logiciel de calculde formel :

1. f(x) = −2x6 + x2 − 5x+ 1.

2. f(t) = (3t− 1)(t+ 2)

3. f(x) =x2 − 1

x+ 3

4. f(x) =1

x2 + 1

5. f(x) =x

3

6. f(ω) =5

ω

7. f(x) = x cos(x)

8. f(t) = πt2 + cos(3t+ π

4

)

Exercice 3

I p.115-116 ex 31 à 56

Cours de Première STI 2D 3

3 EXPLOITATION DU TABLEAU DE VARIATIONS

La dérivation permet d'obtenir le tableau de variations, ce qui débouche ensuite sur de nom-breuses applications.

3.1 Recherche d’extrema

f et la fonction dé�nie sur[−2 ; 2

]par f(x) = x3 − x2 − x.

Un élève a�che la courbe représentative de f à l'écran de sacalculatrice.Il a�rme que le minimum de cette fonction est −1.

1. Calculer f ′(x) et étudier son signe sur[−2 ; 2

].

2. En déduire le tableau de variation de f sur l'intervalle[−2 ; 2

].

3. Compléter à l'aide du tableau de variations :

a. le maximum de f sur l'intervalle[−1 ; 1

]est . . . . . . et il est atteint pour

x = . . . . . . .

b. le maximum de f sur l'intervalle[−2 ; 2


x = . . . . . . .

c. le minimum de f sur l'intervalle[−1 ; 1

]est . . . . . . et il et atteint pour

x = . . . . . . et x = . . . . . . .

d. le minimum de f sur l'intervalle[−2 ; 2


x = . . . . . . .

4. L'élève avait-il raison ?

f et la fonction dé�nie sur[−2 ; 2

]par f(x) = x3 − x2 − x.

Un élève a�che la courbe représentative de f à l'écran de sacalculatrice.Il a�rme que le minimum de cette fonction est −1.

1. Calculer f ′(x) et étudier son signe sur[−2 ; 2

].

2. En déduire le tableau de variation de f sur l'intervalle[−2 ; 2

].

3. Compléter à l'aide du tableau de variations :

a. le maximum de f sur l'intervalle[−1 ; 1


x = . . . . . . .

b. le maximum de f sur l'intervalle[−2 ; 2


x = . . . . . . .

c. le minimum de f sur l'intervalle[−1 ; 1

]est . . . . . . et il et atteint pour

x = . . . . . . et x = . . . . . . .

d. le minimum de f sur l'intervalle[−2 ; 2


x = . . . . . . .

4. L'élève avait-il raison ?

Exercice 4

I p.139 ex 29, 30, 32, 33.

3.2 Signe d’une fonction

Soit f la fonction dé�nie sur R par f(x) = x3 − 3x+ 2.

1. Dériver f et en déduire son tableau de variations sur R.2. Calculer f(−2) et reporter ce résultat dans le tableau.

3. Grâce au tableau de variations, donner le signe de f sur R.4. Justi�er que l'on a x3 > 3x− 2 pour tout x ∈

[−2 ; +∞

[.

Pour trouver le signe d'une fonction, il est parfois utile de la dériver et de dresserson tableau de variations.

Soit f la fonction dé�nie sur R par f(x) = x3 − 3x+ 2.

1. Dériver f et en déduire son tableau de variations sur R.2. Calculer f(−2) et reporter ce résultat dans le tableau.

3. Grâce au tableau de variations, donner le signe de f sur R.4. Justi�er que l'on a x3 > 3x− 2 pour tout x ∈

[−2 ; +∞

[.

Pour trouver le signe d'une fonction, il est parfois utile de la dériver et de dresserson tableau de variations.

Exercice 5

I p.139 ex 38, 39 ; p.140 ex 42.


3.3 Nombre de solutions d’une équation du type f(x) = k

On considère l'équation 2x3 + 9x2 − 24x− 18 = 0.Pour résoudre cette équation de degré 3, pour laquelle il n'y a pas de factorisationévidente, on ne dispose pas au lycée de méthode algébrique.On peut cependant tout de même connaître le nombre de solutions de cette équation, etobtenir des valeurs approchées de ces solutions (c'est mieux que rien !). Voici commentprocéder :on considère la fonction f dé�nie sur R par f(x) = 2x3 + 9x2 − 24x− 18.

1. a. Déterminer la fonction dérivée de f , étudier son signe, puis établir le tableaude variations de f .

b. Compléter le tableau en y plaçant f(−7) et f(3).

c. Utiliser alors le tableau de variations pour donner le nombre de solutions del'équation f(x) = 0 dans

[−7 ; 3

], puis dans R.

2. Donner une valeur approchée de chacune des solutions de cette équation.

On considère l'équation 2x3 + 9x2 − 24x− 18 = 0.Pour résoudre cette équation de degré 3, pour laquelle il n'y a pas de factorisationévidente, on ne dispose pas au lycée de méthode algébrique.On peut cependant tout de même connaître le nombre de solutions de cette équation, etobtenir des valeurs approchées de ces solutions (c'est mieux que rien !). Voici commentprocéder :on considère la fonction f dé�nie sur R par f(x) = 2x3 + 9x2 − 24x− 18.

1. a. Déterminer la fonction dérivée de f , étudier son signe, puis établir le tableaude variations de f .

b. Compléter le tableau en y plaçant f(−7) et f(3).

c. Utiliser alors le tableau de variations pour donner le nombre de solutions del'équation f(x) = 0 dans

[−7 ; 3

], puis dans R.

2. Donner une valeur approchée de chacune des solutions de cette équation.

Exercice 6 Résolution approchée d'équations

I p.140 ex 44, 45, 47 ; p.143 ex 57.

4 DÉRIVATION ET VITESSE INSTANTANÉE, TAUX D’ACCROISSEMENT.

Un véhicule se rend, sur une route rectiligne, d'une ville A à une ville B.À chaque instant t, on note f(t) la distance parcourue depuis la ville A.

A B

M(t0) M(t0 + h)f(t0)

f(t0 + h)

La vitesse moyenne du véhicule entre les instants t0 et t0 + h est∆f

∆t=f(t0 + h)− f(t0)

h. (Le

symbole � ∆ � représente une variation.)

Ainsi, lorsqu'on représente graphiquement f en fonctionde t, la vitesse moyenne est le coe�cient directeur de lasécante (CD).

Le nombref(t0 + h)− f(t0)

hs'appelle le taux d'accroisse-

ment de f entre t0 et t0 + h.

0

C

D

t0 t0 + h

f(t0)

f(t0 + h)

∆t

∆f

Cours de Première STI 2D 5

Lorsque les deux instants t0 et t0 + h sont in�niment proches, c'est-à-dire lorsque h tend verszéro, la vitesse moyenne � devient � alors la vitesse instantanée du véhicule à l'instant t0.

Les physiciens notent v =dfdt

cette vitesse instantanée. (On utilise � d � au lieu de � ∆ � pour

signi�er une variation in�nitésimale.)

En mathématiques, on note plutôt : v(t0) = limh→0

f(t0 + h)− f(t0)

h.

Ainsi, lorsqu'on représente graphiquement f en fonctionde t, la vitesse instantanée est le c÷�cient directeur de latangente T à Cf au point d'abscisse t0.

La vitesse instantanée du véhicule à l'instant t0 est doncen fait f ′(t0) !

Par un raisonnement similaire on peut montrer quel'accélération est la dérivée de la vitesse : γ = dv

dt .

Ainsi, de façon générale 1 :

f ′(a) = limh→0

f(a+ h)− f(a)

h.

� f ′(a) est la limite quand h tend vers 0 du taux d'accroissement de f en a �.

Vocabulaire

Nombre dérivé.

Un mobile M se déplace sur un axe gradué en centimètres. Son abscisse est donnée enfonction du temps t (exprimé en secondes) par f(t) = 3t2 + 2t+ 1 où 0 6 t 6 3.

1. Quelle est l'abscisse de M aux instants t = 0, t = 1, et t = 3 ?

2. Quelle est la vitesse moyenne de M entre les instants t = 1 et t = 3 ?

3. Quelle est la vitesse instantanée de M aux instants t = 0, t = 1, et t = 3 ?

4. Quelle est son accélération instantanée aux instants t = 0, t = 1, et t = 3 ?

Quelle remarque peut-on faire sur son accélération ? De quel type est le mouve-ment de M?

Un mobile M se déplace sur un axe gradué en centimètres. Son abscisse est donnée enfonction du temps t (exprimé en secondes) par f(t) = 3t2 + 2t+ 1 où 0 6 t 6 3.

1. Quelle est l'abscisse de M aux instants t = 0, t = 1, et t = 3 ?

2. Quelle est la vitesse moyenne de M entre les instants t = 1 et t = 3 ?

3. Quelle est la vitesse instantanée de M aux instants t = 0, t = 1, et t = 3 ?

4. Quelle est son accélération instantanée aux instants t = 0, t = 1, et t = 3 ?

Quelle remarque peut-on faire sur son accélération ? De quel type est le mouve-ment de M?

Exercice 7

1. lorsque la courbe de f admet une tangente (non verticale) au point d'abscisse a


Du haut d'une tour, on laisse tomber une balle à l'instant t = 0.Sa hauteur, en mètres, par rapport au sol est donnée en fonction du temps t (ensecondes) par h(t) = −4, 9t2 + 16.

1. Quelle est la hauteur de la tour ?

2. À quel instant la balle touche-t-elle le sol ?

3. Quelle est la vitesse instantanée de la balle au moment où elle touche le sol ?

4. Quelle est l'accélération instantanée de la balle au moment où elle touche le sol ?

Du haut d'une tour, on laisse tomber une balle à l'instant t = 0.Sa hauteur, en mètres, par rapport au sol est donnée en fonction du temps t (ensecondes) par h(t) = −4, 9t2 + 16.

1. Quelle est la hauteur de la tour ?

2. À quel instant la balle touche-t-elle le sol ?

3. Quelle est la vitesse instantanée de la balle au moment où elle touche le sol ?

4. Quelle est l'accélération instantanée de la balle au moment où elle touche le sol ?

Exercice 8

I p.125 ex 82

On note f(x) = x2.

Grâce à la formule f ′(a) = limh→0

f(a+ h)− f(a)

h, retrouver le fait que f ′(a) = 2a (pour

a réel quelconque).

On note f(x) = x2.

Grâce à la formule f ′(a) = limh→0

f(a+ h)− f(a)

h, retrouver le fait que f ′(a) = 2a (pour

a réel quelconque).

Exercice 9

I p.146 ex 64 ; p.147 ex 66 ; p.144 ex 60

I p.146 ex 59 ; p.120 ex 73

I p.110 TP 2

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