CHAPITRE 6

Calcul Littéral

Objectifs:

- Développer et réduire des expressions littérales.

- Etablir une formule littérale.

-Démontrer en utilisant le calcul littéral.

En 1591, François Viète publie un nouvel ouvrage qui représente une avancée considérable pour l’algèbre.

Le calcul littéral trouve ses bases dans le but de résoudre tout problème.

Les grandeurs cherchées sont désignées par des voyelles et les grandeurs connues par des consonnes.

Les symboles d’opérations sont officialisés : +, -, une barre horizontale pour ÷ et in pour x ; la multiplication par 2 est notée bis.

Pour les parenthèses, il utilise des accolades.

I. Réduire une expression littérale 1) Réduire une somme

Pour réduire une somme, on regroupe les termes de même famille, puis on les ajoute ensemble.

Remarque : on trouve en général trois types de famille : les x², les x et les constantes ( les nombres)… mais il en existe bien d’autre.

Exemple : Réduire l’expression suivante.

A = x² + 8 x - 7 - 13 x + 12 + 2 x² + 3 x

A = x² + 8 x - 7 - 13 x + 12 + 2 x² + 3 x

A = x² + 2 x² + 8 x - 13 x + 3 x - 7 + 12

A = 3 x² - 2 x + 5

on s’arrête ici car on ne peut pas additionner des termes defamilles différentes ensemble !

2) Réduire un produitPour réduire un produit, on multiplie les nombres ensembleet les lettres semblables ensemble.

Exemples : Réduire les expressions suivantes.

A = 2 x x x 3 x x

= 2 x x x 3 x x

= 2 x 3 x x x x

= 6 x x²

= 6 x²

B = -7 x 3x

= -7 x 3x

= - 21x

C = -5 x x (-4)

= (-4) x (-5 x)

= 20 x

D = -9 x x 6 xy

= -9 x x 6 xy

= -54 x²y

II. Développer une expression littérale

Développer une expression littérale, c’est la transformer en une somme de termes.

1) Développer avec la simple distributivité

Quelques soient les nombres relatifs a, b et k on a :

k x ( a + b )

= k x a

+ k x b

Exemples :

143 x 102 = 143 x ( 100 + 2 )

= 143 x 100 + 143 x 2

= 14 300 + 286

= 14 586

A = 3(- 6 x + 4)

= 3 x(- 6 x + 4)

= 3 x(- 6 x) + 3 x 4

= -18 x + 12

B = 2x (x – y + 4)

= 2x x (x – y + 4)

= 2x x x + 2x x( - y ) + 2x x 4

= 2 x² - 2 xy + 8 x

2) Développer avec la double distributivité

Quelques soient les nombres relatifs a, b, c et d on a :

( a + b ) x ( c + d )=

a x c

+ a x d

+ b x c

+ b x d

Exemples :

102 x 209 = ( 100 + 2 ) x ( 200 + 9 )

= 100 x 200 + 100 x 9 + 2 x 200 + 2 x 9

= 20 000 + 900 + 400 + 18

= 21 318

A = (2x + 3)(3x - 4)

= (2x + 3)(3x - 4)

= 2x x 3x + 2x x(- 4) + 3x3x + 3x(- 4)

= 6 x ² - 8 x + 9 x – 12

= 6 x ² + x – 12

3) Règle de suppression des parenthèses

Dans un calcul, on peut supprimer les parenthèses :

- précédées du signe + et ce signe +, sans changer le signe des nombres à l’intérieur des parenthèses.

- précédées du signe - et ce signe -, en changeant chaque nombre à l’intérieur des parenthèses en son opposé.

Exemple : A = 8 + (- 3 + x ) - ( 4 - 3x )

= 8 + (- 3 + x ) - ( 4 - 3x )Règle de suppression des parenthèses précédées du signe +

Règle de suppression des parenthèses précédées du signe -

= 8 – 3 + x – 4 + 3x

= 4 x + 1