CHAPITRE 5 : CONDUCTION UNIDIRECTIONNELLE …...La méthode du gradient nul est donc valable pour de...

CHAPITRE 5 : CONDUCTION UNIDIRECTIONNELLE EN RÉGIME VARIABLE . . . . . . . . . - 5.1 -5.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.1 -

5.1.1. Equation du transfert de chaleur et milieu semi-infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.1 -5.1.2. Nombres adimensionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.4 -

A) Le nombre de Biot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.4 -B) Le nombre de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.4 -

5.2. Milieu à température uniforme (Méthode du gradient nul) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.5 -5.2.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.5 -5.2.2. Relation générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.5 -5.2.3. Cas particulier : coefficient de transfert imposé en surface (Condition de Newton - Fourier)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.7 -A) Relation en température. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.7 -B) Energie transférée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.9 -C) Cas particulier : marche intermittente régulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.9 -

5.2.4. Cas particulier : source de chaleur interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.11 -5.3. Milieu semi-infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.13 -

5.3.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.13 -5.3.2. Température imposée en surface (Condition de Dirichlet) . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.14 -

A) Température constante imposée en surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.14 -B) Température sinusoïdale imposée en surface, régime périodique établi. . . - 5.18 -

5.3.3. Flux imposé en surface (Condition de Neumann) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.23 -5.3.4. Coefficient de transfert imposé en surface (Condition de Newton - Fourier) . . . - 5.25 -

A) Température du fluide constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.25 -B) Température périodique du fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.27 -

5.3.5. Contact brusque entre deux solides semi-infinis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.29 -5.4. Transfert unidirectionnel dans les milieux limités : plaque, cylindre, sphère . . . . . . . . . . . - 5.31 -

5.4.1. Température constante imposée en surface (Condition de Dirichlet) . . . . . . . . . - 5.31 -5.4.2. Flux imposé imposée en surface (Condition de Neumann) . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.35 -5.4.3. Coefficient de transfert imposé en surface (Condition de Newton - Fourier) . . . - 5.38 -

A) Relations en température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.38 -B) Energie transférée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.39 -

5.4.5. Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.43 -A) Cas particuliers de la plaque isolée sur une face . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.43 -B) Utilisation des conditions de Newton-Fourier pour une condition de Dirichlet

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.45 -C) Utilisation de la méthode des milieux limités en lieu et place de la méthode du

gradient nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.47 -5.5. Systèmes complexes : méthodes des quadripôles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.49 -

5.5.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.49 -5.5.2. Ecoulement unidirectionnel dans les murs plans. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - 5.49 -

Version du 22 mars 2020 (18h35)

CHAPITRE 5 : CONDUCTION UNIDIRECTIONNELLE EN RÉGIME VARIABLE

5.1. Introduction

5.1.1. Equation du transfert de chaleur et milieu semi-infini

La relation générale du transfert de chaleur est :

λ ρ ∂∂

∇ + =2T q c TtV (éq. 5.1.)

Si le flux est unidirectionnel et qu’il n’existe aucune source de chaleur interne, on a l’équationde conduction de chaleur bien connue :

∂∂

∂∂

Tt

a Tz

=2

2 (éq. 5.2.)

Avec la diffusivité thermique du matériau :

(en m2/s)ac

= λρ (éq. 5.3.)

Notations : λρc

coefficient de conductivité thermiquemasse volumiquechaleur massique

W/mKkg/m3

J/kgK

Remarques :1) Le facteur a est la diffusivité thermique laquelle ne fait pas intervenir d’unités

thermiques. Elle mesure le changement de température produit dans l’unité de volumepar un flux de densité thermique donné, l’épaisseur de la substance étant telle que ladifférence de température entre les faces d’entrée et de sortie soit égale à l’unité,c’est-à-dire que a caractérise la vitesse de variation de la température dans unesubstance quelconque en régime non stationnaire.Le phénomène s’apparente à la diffusion d’une goutte d’encre au sein d’un buvard.Plus grande est la diffusivité du milieu, plus rapide est la progression de la chaleur,propagation qui se caractérise par une élévation de température de plus en plus faibleau fur et à mesure que l’on s’éloigne du point d’impact.Dans le domaine mécanique, toute modification d’effort (surpression par exemple)se propage à la vitesse que possède le son dans la structure considérée; la vitesse depropagation est donc de plusieurs hectomètres par seconde : le nouvel équilibremécanique est instantanément établi.Dans le domaine thermique (mécanique), le nouvel équilibre ne s’instaure qu’au boutd’un temps de l’ordre de la dizaine de minutes.

2) L’équation (éq. 5.2.) montre que, pour un mur d’épaisseur double par exemple soumisaux même conditions thermiques sur les deux faces, le champ de températures mettraquatre fois plus de temps pour y pénétrer. La chaleur ne se propage donc pas à unevitesse constante, comme le son ou la lumière.

3) La diffusivité thermique d’un solide s’exprime en m2/s, comme la viscositécinématique d’un fluide.

© R. Itterbeek Dynamique des systèmes thermiques - Conduction unidirectionnelle en régime variable Page - 5.1 -

fig. 5.1. - Formation d’une “peau” thermique sous la surfaced’un corps plongé subitement dans un fluide.

Définition de la variable de similarité u : u za t

=2

Notations : zta

variable spatialetempsdiffusivité thermique

msm2/s

Et l’équation de chaleur, en terme de variable de similarité, devient :

∂∂

∂∂

2

2

2

21 2T

z aTt

d Tdu

u dTdu

= = − (éq. 5.5.)

Essayons de voir quelle est l’épaisseur d’un milieu semi-infini. {Réf. 1}

Dans la région de la surface, d’épaisseur δ, la grandeur de l’amplitude de la courbure du profilde température est la même que la variation dans la courbe sur la distance δ.∂ ∂T z

∂∂

∂∂

∂∂

δδ

2

20

0T

z

Tz

Tzz z~ ~

−

−= (éq. 5.7.)

La figure ci-dessus suggère les gradients de températures suivants :

et∂∂ δ

Tz z ~

~ 0( )∂

∂ δTz

T T

z

t

=

−

0

0 0~ ,


Après substitution de ces équations dans (éq. 5.7.), on obtient :( )∂

∂ δ

2

2

0 0

2

Tz

T T t~ ,−−

Quant au terme de droite de la formule, la dérivée de la température en fonction du temps peutêtre remplacée par la variation de cette température sur la variation du temps. Soit :

( )∂∂

Tt

T T

tt~ ,0 0−

ΔEn combinant ces deux résultats et en les remplaçant dans l’équation de départ, nous obtenons :

( ) ( )−− −T T

a

T T

tt t0 0

2

0 01, ,~δ Δ

Et nous en concluons que l’épaisseur de la “peau” augmente avec la racine carré du temps,

δ ~ a tΔ (éq. 5.13.)

Du fait des valeurs élevées des capacités calorifiques, les phénomènes thermocinétiques nonpermanents présentent une inertie élevée, caractérisée par une constante de temps proportionnelle au carrédu chemin le plus court : elle est donc grande pour un corps épais, insignifiante pour une plaque mince.

Le temps de transition tc est atteint lorsque δ s’est développé au point qu’il est comparable à ladimension transversale de tout le solide.

δ ~ ~r t tc0

En se basant sur l’équation (éq. 5.13.), le temps de transition devient :

t rac ~ 0

2

Ce temps permet de distinguer le régime primaire, lorsque la “peau” et le noyau du solide sontdistincts :

( )Δt ra

T T z t<< =02

, (éq. 5.16.)

et le régime secondaire, lorsque la température instantanée a pratiquement la même valeur dans tout lesolide.

( )Δt ra

T T t>> ≈02

(éq. 5.17.)

Dans la suite nous étudierons les deux cas.


5.1.2. Nombres adimensionnels

Il est toujours intéressant en physique de présenter les résultats sous forme adimensionnelle, onverra que deux nombres de ce type sont particulièrement importants dans la conduction en régime variable(voir Annexe 2. pour plus de détails).

A) Le nombre de Biot

Le nombre de Biot (1) Bi mesure le rapport entre la résistance thermique interne du milieu et larésistance thermique externe :

( )

Bih V A

=λ

= =

V AA

h A

λ1

Résistance interneRésistance externe

(éq. 5.19.)

Notations : VAV/Ahλ

le volume de la piècela surface d’échange offerte à l’ambiancereprésente la longueur caractéristique lc du solidecoefficient de convectioncoefficient de conductibilité thermique

m3

m2

mW/m2KW/mK

B) Le nombre de Fourier

Le nombre de Fourier (2) Fo mesure le rapport entre la vitesse de transfert et la vitesse destockage de la chaleur :

( )

Fo a tV A

= 2 ( )= =

=λ

ρ

λΔ

Δ

ΔTl

A

cV Tt

Al

T

d m c Tdt

Flux thermique à travers la surface (A)Flux (vitesse) de stockage dans le vol. (V)

Notation : a la diffusivité thermique m2/s

(1) Biot, Jean Baptiste (1774-1862) : Physicien français.(2) Fourier, Jean Baptiste Joseph (1768-1830) : Mathématicien français.


fig. 5.2. - Gradient de température.

5.2. Milieu à température uniforme (Méthode du gradient nul)

5.2.1. Introduction

Nous allons étudier le transfert de chaleur vers un milieu à température uniforme, ce qui est àpriori contradictoire car il est nécessaire qu’il y ait un gradient thermique pour qu’il y ait transfert dechaleur. Cette approximation du milieu à température uniforme peut néanmoins être justifiée dans certaincas que l’on va préciser. Considérons par exemple la trempe d’une bille métallique qui consiste àimmerger une bille initialement à la température T0 dans un bain à température T4 maintenue constante.Si l’on suppose que la température à l’intérieure de la bille est uniforme, ce qui sera d’autant plus vrai quesa dimension est petite et sa conductivité thermique élevée, on peut trouver l’équation qui régit ce genrede problème.

La connaissance des nombres de Biot et de Fourier permet de déterminer l’évolution detempérature de tout système à température uniforme souvent appelé : “systèmes minces”. En effet, unfaible nombre de Biot indique une faible baisse de température dans le solide, un grand nombre de Biotindique un grand gradient de température dans le solide.

La méthode du gradient nul est donc valable pour de faibles nombres de Biot et donc l’hypothèsed’uniformité de la température est justifiée lorsque (Bi < 0.1).

5.2.2. Relation générale

Bien que la conduction transitoire dans un solide soit généralement déclenchée par un transfertde chaleur par convection à partir d’un fluide adjacent, d’autres processus peuvent induire des conditionsthermiques transitoires dans le solide. Si les températures du solide et de l’environnement diffèrent,l’échange par rayonnement pourrait intervenir. Des changements pourraient également être induits enappliquant un flux de chaleur sur une partie ou la totalité de la surface ou s’il existe une générationd’énergie thermique au sein du solide.

La figure fig. 5.3. illustre la situation générale pour laquelle les conditions thermiques à l’intérieurd’un solide peuvent être influencé simultanément par de la convection (condition de Newton-Fourier),du rayonnement, un flux de chaleur en surface (condition de Neumann) et une génération d’énergieinterne.


fig. 5.3. - Méthode du gradient nul - flux entrants et sortants.

On suppose que, initialement (en ), que la température initiale du solide T0 diffère de cellet = 0du fluide T4 et de celle de l’environnement Tenv. De plus le flux , ainsi que la génération de chaleurqinterne sont initiées). Bien qu’en général convection et rayonnement agissent sur une même surface,qV

celles-ci peuvent, en fait, être différentes (Aconv - Aray).

Appliquant la conservation de l’énergie à tout instant t, il en résulte l’équation générale suivante :

flux entrants flux sortants flux accumulé dans le solide

q A q V q A q A V c dTdtflux V conv conv ray ray

− =

+ − − = ρ

( ) ( ) q A q V h A T T A T T V c dTdtflux V conv ray env+ − − − − =∞ ε σ ρ4 4 (éq. 5.26.)

Notations : q densité de flux thermique W/m2

qV densité volumique de flux thermique W/m3

gσ

émissivitéconstante de Stéfan-Boltzmann ( )σ = −567510 8.

-W/m2K4

AfluxAconvArayTenvhV

surface du solide soumise au fluxsurface du solide soumise à la convectionsurface du solide soumise au rayonnementtempérature de l’environnementcoefficient de convectionvolume du solide

m2

m2

m2

KW/m2Km3

Cette équation est une équation différentielle, non linéaire, du premier ordre, non homogène quiest non intégrable de manière exacte. Cependant, des solutions exactes peuvent être obtenues pour descas particuliers.


5.2.3. Cas particulier : coefficient de transfert imposé en surface (Condition de Newton - Fourier)

A) Relation en température

L’équation générale éq. 5.26. devient (en négligeant le rayonnement) :

( ) ( )− − = − = =∞ ∞h A T T m c dTdt

T T m ch A

dTdt

dTdtconv

convτ

On remarque que le groupement est homogène équivalent d’un temps, on l’appellera τ lam ch A

constante de temps du système :

( )τρ

= =m c

h Ac V A

hconv

conv (éq. 5.32.)

Notations : τAconvmch

constante de temps thermiquesurface exposée au fluide (à la convection)massechaleur massiquecoefficient de convection

sm2

kgJ/kgKW/m2K

L’équation finale devient :

( étant le taux de refroidissement )τ dTdt

T T+ = ∞ (éq. 5.33.) dTdt

et la solution de cette équation est :

ou sous forme adimensionnelle :( ) ( ) ( )T T T T tt = + − −∞ ∞0 exp τ

( ) ( )T T

T Ttt −

−= −

∞

∞0exp τ (éq. 5.36.)

Notation : T0 température initiale du corps K

Si on se rappelle la définition du nombre de Biot :( )

Bih V A

=

λainsi que celle du nombre de Fourier :

,( )

Fo a tV A

=

2

nous pouvons en déduire l’expression de la température du corps sous la forme :

( ) ( )T T

T TBi Fot −

−= −

∞

∞0

exp (éq. 5.39.)


Application 5.1. Déterminer le temps nécessaire pour qu’une petite pièce d’aluminium mouléeinitialement à 16 °C soit portée à 510 °C par les gaz d’un haut fourneau à 1204 °C. La dimensioncaractéristique de la pièce ( ) est égale à 15 cm et le coefficient de convection entre la pièce et lesV Agaz est 85 W/m2K.On prendra comme valeur de conductivité thermique de l’alliage d’aluminium 210 W/mK.De plus : et .ρ aluminium = 2 700 3kg m c J kgKaluminium = 940

fig. 5.4. - Constante de temps.

Solution :Calcul du nombre de Biot

La résistance interne est négligeable.( )

Bih V A

Bi= =×

= <λ

85 015210

0 0607 01. . .

Prenons la formule du solide soumis à une réponse indicielle (méthode du gradient nul)

( ) ( ) ( )T T

T Tt t

T T

T Tt t−

−= − = −

−

−

∞

∞

∞

∞0 0exp lnτ τ

Calcul de τ( )τ

ρ= = =

× ×=

m ch A

V A ch

s2 700 015 94085

4 479.

Calcul du temps

( )tT T

T Ts ht= −

−

−

= − × −

−

= =

∞

∞

τ ln ln .0

4 479 510 120416 1204

2 408 0 668

Le temps nécessaire pour chauffer brusquement la pièce moulée de 16 °C à 510 °C est 2408 s.

Remarques : 1) L’équation précédente est l’équivalente de la charge du condensateur dans un circuit

{R; C} (Voir analogie)2) Cette solution de l’équation différentielle est valable aussi bien pour un réchauffage

( ) qu’un refroidissement ( ). Cependant, à l’arrêt, les tourbillons d’airT T∞ > 0 T T∞ < 0

provoqués par la marche et la pulsion de l’air par les ventilateurs attelés (ex. :machines électriques, etc...) cessent. Le coefficient de convection est moins bon, parconséquent la constante de temps thermique τ à l’arrêt est plus longue qu’en marche.

3) La constante de temps τ est fondamentale dans la mesure où elle donne l’ordre de grandeurde temps du phénomène physique, on à en effet :


fig. 5.5. - Marche intermittente.

B) Energie transférée

Quant à l’énergie transférée (en J) elle peut se calculer de la façon suivante :

( )( )Q Q dt h A T T dtt

t

t= = − ∞

0 0

En remplaçant par l’équation (éq. 5.36.) et en intégrant, on obtient :( )T Tt − ∞

( ) ( )( )Q m c T T t= − − −∞0 1 exp τ (éq. 5.48.)

C) Cas particulier : marche intermittente régulière

Pendant le temps de marche tm, lesystème reçoit la puissance , sa constante deQe

temps est τm; il est arrêté pendant ta avec uneconstante de temps τa. Après quelques cycles, latempérature oscille régulièrement entre Tmin etTmax.

A l’échauffement (1), on part de Tmin pouraboutir à Tmax. L’équation (éq. 5.36.) nous donne,avec :

( )

( )

T TT T

T Tt

t

0 ==

=

∞ → ∞

min

max

( )

( )( )

T T

T Ttt

tm m

max

min

exp−

−= −→ ∞

→ ∞

τ (éq. 5.51.)

De même, au refroidissement (2), on part de Tmax pour aboutir à la température Tmin à la fin de lapériode ta. L’équation (éq. 5.36.) nous donne, avec :

( )

T TT Tt

0 ==

max

min

( )T TT T

ta amin

max

exp−−

= −∞

∞

τ (éq. 5.53.)

Les températures Tmin et Tmax sont inconnues, mais on peut les déterminer en résolvant le systèmefourni par les deux équations précédentes. Et donc :

( )

( )( )( )

T TT T

t

t tt

m m

m m a a

maxexp

exp−

−=

− −

− − +∞

→ ∞ ∞

1

1

ττ τ (éq. 5.54.)

: représentant l’échauffement lors du régime permanent.( )T Tt → ∞ ∞−

Pour la température minimale il suffira de remplacer Tmax dans l’équation (éq. 5.53.).


Application 5.2. Un embrayage multidisque fonctionne à sec dans l’air. Les disques sontalternativement en acier et en bronze fritté. On cherche la température maximale du corps del’embrayage.Travail dissipé pendant la synchronisation Wp : 2150 JDurée d’un cycle tcycle : 25.14 sDurée de synchronisation ts : 1.14 sDurée de l’état enclenché te : 14 sDurée de l’état déclenché td : 10 sSurface réfrigérante extérieure Aext : 0.046 m2

Surface de frottement Af : 19.6 cm2

Masse de l’embrayage m : 4.8 kgChaleur massique de l’acier c : 460 J/kgKTempérature de l’air ambiant Ta : 30 °CCompte tenu de la rotation, on estime le coefficient de convection h à 28 W/m2K.

Solution :Puissance calorifique moyenne pendant la synchronisation

.

QWt

Wp

s= = =

2150114

1886

Echauffement en régime permanentToute la puissance est dissipée par convection et donc :

( )( ) ( )

.Q T T h A T T

h AQ Kt t= − − = =

×× =→ ∞ ∞ → ∞ ∞

1 128 0 046

1886 1464

Calculons la constante de temps thermique de l’embrayage (la constante de temps en marche est cellede l’arrêt)

τ τm a cst= =

τ mm ch A

s= =×

×=

4 8 46028 0 046

1714 3..

.

La température maximale vaut :Sachant que dans notre cas :

t t sm s= = 114.t t t sa e d= + = 24

( )( )( ) ( )( )

( )( )

T Tt

t tT T

C

m m

m m a atmax

expexp

exp .exp

= +− −

− − +−

= +− −− −

×

= + = °

∞ → ∞ ∞

11

301 114 17141 24 1714

1464

30 70 100

ττ τ

La température minimale vaut :( ) ( )( ) ( )

T T T T t

C

a amin max exp

exp. .

= + − −

= + − −

= + = °

∞ ∞ τ

30 100 30 24 171430 69 0 99 0


La température varie peu car l’inertie thermique est grande.

5.2.4. Cas particulier : source de chaleur interne

Considérons un corps initialement à température initiale T0 , baignant dans un fluide àtempérature T4 supposé constant. Au temps , on impose un dégagement interne de chaleur, uniformet = 0et constant, dû à une source uniformément répartie en W/m3.qV

On désire connaître l’évolution de la température T(t) du corps en fonction du temps t, etnotamment, la température qui s’établira en régime.

L’équation générale éq. 5.26. devient (en négligeant le rayonnement) :

( )q V T T h A m c dTdtV − − =∞ (éq. 5.66.)

Notations : VAmchτ

volume du corpssurface exposée au fluidemassechaleur massiquecoefficient de convectionconstante de temps thermique

m3

m2

kgJ/kgKW/m2Ks

L’équation finale devient :

( ) ( )τ dTdt

T T qV A

hV+ − =∞ (éq. 5.67.)

et la solution de cette équation est, sachant qu’au , :t = 0 T T0 = ∞

( )( ) ( )( ) ( ) ( )T T qV A

ht T T tt V− = − − + − −∞ ∞ exp exp1 0τ τ (éq. 5.70.)

Si , on retombe bien sur l’éq. 5.53..qV = 0

Quant à la température de régime, elle devient ( ) (ou faire dans l’éq. 5.66.) :t → ∞ dTdt

= 0

( )( )

T T qV A

ht V→ ∞ ∞− = (éq. 5.74.)


Solution :Hypothèse

“Mince radiateur” : méthode du gradient nul.

Régime établit

( )( )

( )T T q

V Ah

Qh A

h A QT T

W Kt Vt

→ ∞ ∞→ ∞ ∞

− = = =−

=−

=

.60100 20

0 75

Recherche de la température

( )( ) ( )( ) ( ) ( )T T qV A

ht T T tt V− = − − + − −∞ ∞ exp exp1 0τ τ

Avec :

<( )

qV A

hQ

h AV =

< τ = =×

=m ch A

s0 31 9180 75

379 44..

.

Et donc :

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )T

C

t = = − − × + − − × +

= °

560

0 751 5 60 379 44 30 20 5 60 379 44 20

68 25

min .exp . exp .

.

Application 5.3. Un composant électronique, comme un transistor monté sur un mince radiateur, peutêtre modélisé comme un objet spatial isotherme avec une source interne de chaleur et une résistanceexterne de convection.Sachant que la puissance de la source interne est , que la masse m du radiateur en aluminiumQ W= 60est de 0.31 kg et, que si le composant est initialement à 20 °C, il atteint 100 °C dans un air ambiantde 20 °C en régime. Quelle température atteint-il après 5 minutes après avoir enclenché la puissance sicette fois-ci sa température initiale est de 30 °C ? Prendre : .c J kgKalu = 918


fig. 5.6. - Propagation de la chaleur dans un corps semi-infini :(a) flux de chaleur; (b) température

5.3. Milieu semi-infini

5.3.1. Introduction

Un milieu semi-infini est une paroi d’épaisseur suffisamment grande que la perturbationappliquée sur une face ne soit pas ressentie par l’autre face. Un tel système représente l’évolution d’unmur d’épaisseur finie pendant un temps suffisamment court pour que la perturbation créée sur une facen’ait pas atteint l’autre face.

Le corps semi-infini est défini comme un solide à résistance interne non négligeable ( ).Bi >> 1Ce solide est également appelé “thermiquement épais”.

En quoi cette hypothèse est-elle utile ?< solution facilement obtenue pour trois types de conditions aux frontières à la face 1;< idéalisation utile pour des problèmes pratiques;< cependant, solution dans le temps valide tant qu’une partie du solide reste non-perturbée par

le changement de condition à la frontière;< solution superposable aux solutions analytiques du cylindre infini et de la plaque infinie pour

considérer des géométries finies (cas multidimensionnels traités dans la thématique suivante)

Considérons un solide s’étendant à l’infini à partir d’une surface plane. Les axes Ox et Oz d’unrepère orthonormé sont situés dans le plan de la surface, l’axe Oz est dirigé vers l’intérieur du solide.Supposons que la température soit uniforme dans tout le plan parallèle à la surface et ne dépende que dela coordonnée z et du temps t, T(z, t).

Pour résoudre l’équation générale ou les équations plus simples dans le domaine de l’espaceoccupé par le corps conducteur de la chaleur, il faut s’imposer une condition initiale (en général, ladistribution initiale de la température) et des conditions aux limites à la surface du corps conducteur,conditions que l’on classe en trois types principaux :

1) distribution de température imposée (variable ou non dans le temps) ou condition de Dirichlet(3) ( );( )Bi Bi→ ∞ > 100

2) distribution imposée de densité de flux de chaleur (variable ou non dans le temps) oucondition de Neumann (4) ;

3) relation entre la densité de flux de chaleur à la surface du corps et la température au mêmeendroit. Si cette relation est linéaire, on appelle cette condition la condition de Newton -Fourier ( ).01 100. < <Bi

(3) Dirichlet, Peter Gustav Lejeune- (1805-1859) : mathématicien allemand.(4) Neumann, Carl Gottfried (1832-1925) : physicien allemand.


A la limite entre deux corps conducteurs homogènes, on doit avoir les deux conditions suivantes :< égalité des températures en chaque point de cette limite;< égalité des composantes normales des densités de flux de chaleur.

La première de ces deux dernières conditions correspond à un bon contact thermique. Le plussouvent, il existe une différence de température proportionnelle à la composante normale de la densitéde flux de chaleur, le coefficient de proportionnalité étant la résistance thermique de contact.

5.3.2. Température imposée en surface (Condition de Dirichlet)

A) Température constante imposée en surface

C.I. ( ) ( )T T et T Tz t s, ,0 0 0= =

Méthode :Transformée intégrale de Laplace sur le temps et inversion par les tables.

Le milieu semi-infini est initialement à la température uniforme T0. On impose brutalement latempérature Ts sur sa surface (en ), cette condition limite est appelée condition de Dirichlet et onz = 0obtient dans chaque abscisse z quelconque, une température T(z, t) égale à :

ou :( ) ( )T T

T Terfc uz t

s

, −

−=

0

0(éq. 5.85.) ( ) ( )

T T

T Terf uz t s

s

, −

−=

0

(éq. 5.86.)

Remarques :1) Ce n’est qu’en 1983 que Butler (5) fait la dérivation de la solution du problème du

changement soudain de température à la limite d’un milieu à température initiale

constante. Cette solution utilise une température normalisée : et la( )Θ =−

−

T T

T Tz t

s

, 0

0

fonction d’erreur complémentaire erfc. On rencontre celle-ci très souvent, dans lasolution de l’équation de la conduction, la fonction d’erreur de Gauss (6) (courbenormale canonique) erf :

avec ( )erf u e du

= −2 2

0πηη u z

a t=

2qui est une fonction de la borne supérieure d’une intégrale. Pour plus d’informations,voir Annexe 3..

2) Pour vérifier qu’un solide est “infini” ou non, il faut définir l’épaisseur de la couchelimite thermique. Nous avons vu ,en introduction, que celle-ci est fonction de .a tSi nous définissons la couche limite thermique arbitrairement comme étant celle pourlaquelle il y a une atténuation de 90 %, c’est-à-dire pour nous aurons dansΘ = 01.ce cas :

(via les tables Annexe 3.), ce qui donne une épaisseur :u za t

=2

(5) Butler, William Hill ( - ) : physicien américain.(6) Gauss, Carl Friedrich (1777-1855) : mathématicien allemand.


z a tclt = 2 32. (éq. 5.92.)

(Si l’on veut 99 % d’atténuation : )u z a tclt= =182 364. .

Autrement dit :Si z zSi z z solide fini

clt

clt

> −<

solide semi infini

3) L’application brutale d’une température de surface revient à avoir un ( ) eth → ∞donc un (en pratique ).Bi = ∞ Bi > 100

On peut noter que l’on retrouve la forme générale de l’équation des phénomènes dont la vitessed’évolution est proportionnelle à l’écart entre la valeur de la variable et une valeur constante, équationde la forme : dans laquelle un seul paramètre τ, ou constante de temps, définit( )( )z A t= − −1 exp τl’évolution.

Le gradient de température en fonction de l’espace :( )dT dzEn partant de l’équation (éq. 5.85.) on peut écrire :

( )( ) ( ) ( )( )d T T

dzT T

d erfc u

dzz t

s, −

= −0

0

et si on se rappelle que :

(Annexe 3.)( )( ) ( ) ( )d erfc u

dzu

d u

dz= − −

−2 22

πexp

et que : ,u za t

=2

on obtient :

( ) ( )dTdz

T T ua t

s= − −022 1

2πexp

et donc : ( ) ( )dTdz

T Ta t

us= − −021

πexp (éq. 5.104.)

Et en surface, ( ), on trouve :z = 0

( )dTdz

T Ta tz

s=

= −0

01

π (éq. 5.106.)

Ce gradient thermique épidermique (la pente à l’origine) pour une variation brève, facteurcaractéristique des contraintes d’origine thermique engendrées en surface des structures, est doncinversement proportionnel à la racine carrée de la diffusivité thermique du matériau.

C’est ce gradient épidermique qui est responsable du démarrage des fissurations dans lesstructures soumises à choc thermique.

Le flux de chaleur instantané (en W) à la surface s’obtient, aisément, à partir de l’équation (éq.


5.106.) en évaluant le gradient de température à la surface, soit :

( )Q A dTdz

T T Aa tz

zs=

=

= − = −0

00λ λ

π (éq. 5.107.)

Quant à la quantité de chaleur (en J) qui a pénétré dans le mur, pendant Δt secondes, elle secalcule par :

( ) ( )Q Q dt T T Aa t

dt A T T ta

ts

ts= = − = −

Δ Δ

Δ0 02λ

πλ

π (éq. 5.108.)


Application 5.4. Du thé chaud à la température 70 °C est versé dans une tasse de porcelaine dont laparoi est à une température initiale . Supposez que la surface de la paroi de porcelaine estT C0 25= °instantanément à la température du thé . L’épaisseur de la paroi de porcelaine est de 6T Cs = °70millimètres, estimez le temps nécessaire pour que la température de la paroi s’élève à 30 °C à un pointsitué à 2 millimètres sous la surface. Prouvez que pendant ce court laps de temps le processus deconduction peut être modélisé selon l’hypothèse du milieu semi-infini avec température de surfaceimposée. Prendre : .a m sporcelaine = −4 10 7 2

Solution :Pertinence du modèle “gradient nul”

Si la température est imposé en surface cela implique que et donc que . Leh → ∞ Bi → ∞modèle “gradient nul” sera toujours inapplicable si on impose la température en surface d’unsolide.

HypothèseLa température ( ) à l’endroit sous la surface de chauffe est presqueT C= °30 z mm= 2identique à la température initiale en chaque point à l’intérieur de la paroi de porcelaine. Celasignifie que la majeure partie du chauffage qu’éprouve le mur est localisée à la gauche de

, près de la surface à 70 °C. Le modèle que nous pouvons utiliser est la conductionz mm= 2unidirectionnelle pour un solide semi-infini.

Problème de corps semi-infini avec conditions initiales de température

( )T T

T Terf z

a tz t s

s

, .−

−=

−−

= =

0

30 7025 70

08892

Et donc :

( ) ( )erf u u u= ≈ −−

=

−− =0889 1 4

41 0889 1108

22. exp ln . .

ππ

Le temps recherché est za t

t zu a

s2

11084

0 0024 1108 4 10

2 042

2

2

2 7= = =× ×

=−. ..

.

Pertinence du modèle utiliséMaintenant que nous avons une estimation du temps nécessaire pour que la température de 30 °Catteigne la profondeur de , nous pouvons évaluer la qualité du modèle “solidez mm= 2semi-infini” adopté. Pour ce faire nous utiliserons la notion de couche limite :

z a t m mmclt = = × = =−2 32 2 32 4 10 2 04 0 002 27. . . .Cette épaisseur de couche limite est plus petite que l’épaisseur globale de la paroi de porcelaineet de ce fait le modèle semi-infini est valable.


B) Température sinusoïdale imposée en surface, régime périodique établi

B.1) Théorie

C.I. ( ) ( )T T T tt s moy s0, sin− = Δ ω

Notations : ΔTs amplitude imposée en surfaceT Ts smax min−

2

Ts moy température moyenne en surfaceT Ts smax min+

2

Méthode :Décomposition en produit de fonctions et recherche d’une solution de même fréquence quel’excitation.

Toute variation cyclique de température appliquée à une face étant décomposable en série deFourier, nous n’envisageons qu’une variation purement sinusoïdale de part et d’autre d’une températureTs moy.

On ne s’occupera ici que du régime quasi stationnaire : on suppose que le régime périodique purest établi, c’est-à-dire que le terme transitoire relatif aux premiers instants s’est éteint. Le solide acomplètement oublié la distribution initiale de température, de laquelle il ne reste plus de trace.

La solution de ce système est (harmonique fondamentale) :

avec : [m-1]( ) ( ) ( )T T

Tz t zz t s moy

s

, exp sin−

= − −Δ

β ω β (éq. 5.122.) β ω=2 a

Remarque :Chaque onde de température progresse avec un amortissement proportionnel :< à la racine carrée de la fréquence du flux;< à la racine carrée de la résistivité du milieu.1 λ

B.2) Commentaires

1) Le gradient thermique en fonction du temps dans un plan, parallèle à la surface d’entrée,d’abscisse z. La température y varie sinusoïdalement avec une fréquence (période),indépendante de z, égale à celle qui existe en surface ( ) :z = 0< Entre les températures T1 et T2 de deux points distants respectivement de z1 et z2 de la

surface, il existe un déphasage, en angle, égal à . La connaissance de laΔ ′ =τ β zpulsation ω et la mesure de température au sein du milieu en deux points situés à desdistances connues z1 et z2 de la surface peut permettre d’évaluer la diffusivité thermiquea.

Il y correspond à un déphasage en temps de : .Δ Δτ τω

βω ω

= ′ = =z z

a1

2(éq. 5.127.)

< avec une amplitude qui décroît exponentiellement avec z croissant, d’autant plusrapidement que les oscillations sont plus rapides. Autrement dit, les oscillations rapides(ν 8), celles s’amortissant le plus vite, se propagent donc plus vite que les oscillationslentes (ν 9).


Application 5.5. Calculons la profondeur à laquelle cette amplitude est réduite aucentième pour un corps conducteur comme l’aluminium (pour lequel le coefficientde diffusivité est de l’ordre de ) pour un moteur 4 tempsa m s= −8 03810 5 2.tournant à 4000 t/min.

2) La vitesse apparente de propagation de l’onde est : (Voirw zt

a= = =Δ

ωβ

ω2 (éq. 5.128.)

équation (éq. 5.127.)). Cette notion signifie simplement que le maximum (ou minimum)envisagé en surface se retrouve en une abscisse z après une temps Δt, mais elle n’a rien à voiravec la propagation de la chaleur même.

3) Le gradient thermique en fonction de l’espace dans un plan perpendiculaire à la face d’entrée :a) à un instant t, la courbe T(z, t) est une sinusoïde amortie, de période temporelle

( ) constante;Τνπ

ω=

2

b) à l’instant ( ), tous les maxima se sont déplacés vers ( ) et leur valeur a décrut t+ Δ z z+ Δde la valeur de l’amortissement : . On peut montrer, au moyen( )exp − β z (éq. 5.132.)d’un exemple pratique, que la décroissance de l’amplitude de la température est rapide.

Solution :Calculons cette profondeurEn effet, si on fait le rapport de l’amplitude de la température à une profondeur zrapportée à l’amplitude de la température de surface, si on pose que :

, on obtient :( ) ( )θ z t z t s moyT T, ,= −

et en ne tenant pas compte du déphasage :( )

( )

( ) ( )( )

θ

θβ ω β

ωz t

t

s

s

T z t zT t

,

,

exp sinsin0

=− −ΔΔ

β z

( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )θ

θβ

θ θ

β βz t

t

z t tz z m,

,

, ,exp

ln ln ..

0

0 30 014 0310= − = − = − = −

Avec : β ωπ

= =×

× ×

×=−

−

2

12

2 4 00060

2 8 03810114145

1

am

..

Remarque :Dans le cas d’un moteur à 4 temps, la fréquence des pulsations est divisée par 2.

Ainsi dans la paroi d’un cylindre de moteur à piston, les oscillations de température duesà la combustion sont pratiquement nulles à 4 mm de profondeur, mais les variations derégime provoquent des variations de température beaucoup plus importantes enamplitude qui pénètrent beaucoup plus profondément et sont, de ce fait, plus nocives. Ils’agit bien d’un effet “pelliculaire” analogue à celui de la répartition de l’intensité ducourant alternatif dans un conducteur électrique.

Il sera intéressant de comparer ce résultat à celui où c’est le fluide et non la températurequi varie périodiquement.


fig. 5.8. - Propagation d’un flux thermique cyclique enfonction de la diffusivité du matériau et de la

fréquence de l’onde thermique.

4) La longueur d’onde (ou période spatiale) est définie par :

.λ π πβν ν ν= = =w aΤ Τ2 2

(éq. 5.138.)

On définit aussi la demi longueur d’onde comme étant la “profondeur d’inversion”. En effet,lorsqu’un point est au maximum, une demi longueur d’onde plus loin le point est auminimum.

5) Remarque : cas du murPour un mur d’épaisseur finie e, l’onde progressive se réfléchit partiellement surl’extrémité et se propage en s’amortissant dans la direction des z négatifs (onderégressive).

La résolution complète du mur fini montre que, si , le mur se comporte dansλ ≤ 12. eses deux premiers tiers à partir de la surface d’origine comme un mur semi-infini.

Pour un mur d’épaisseur faible telle que le phénomène de propagationλ >> 12. epeut-être négligé, le champ de température est uniforme, les oscillations ont lieu enphase (équivalent à ).Biot < 01.

6) Résumé


Application 5.6. Un mur en béton très épais est soumis à une variation de température quotidienne dueaux rayons du soleil. La température de surface varie entre 15 °C et 50 °C, respectivement la nuit etle jour (de façon sinusoïdale).Les propriétés du béton sont : ; ; .λ = 12. W mK c J kgKp = 880 ρ = 2 200 3kg ma) A quelle profondeur l’amplitude de variation vaut-elle 10 % de celle de la surface ?b) Au moment où la température en ce point est à son maximum, quelle est la température en surface ?c) Au moment où la température est maximum en surface, quelle est la température en ce même

point ?

Solution :Hypothèse : mur très épais 6 milieu semi-infini.

Calculons les différentes caractéristiques

ac

m s= =×

= −λρ

122 200 880

6 2 10 7 2. .

ω π π= =

××

= −2 224 3600

7 272 10 5

Τ. rad s

β ω= =×

=−

−−

27 272 10

2 6 2 107 657

5

71

am.

..

a) Recherche de la profondeur

( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )θ

θβ

θ θ

βz t

t

z t tz z m,

,

, ,exp

ln ln ..

.0

0 017 657

0 3= − = − = − =

b) Recherche de la température en surfaceL’équation éq. 5.122. est maximale si son sinus est égal à 1 (pour ).z m= 0 3.

( )sin . . .ω β πt z t− = − × =−1 7 272 10 7 657 0 3 25

t s=+ ×

=−

π 2 7 657 0 37 272 10

531895. .

.Calculons la température de surface ( ) pour ce temps là :z = 0

( ) ( ) ( )

( ) ( )T T T z t z

C

s moy s0.3, 74 789 5

515 502

50 152

0 7 272 10 53189 0

20 9

. exp sin

exp sin .

.

= + − −

= +

+ −

× −

= °

−

Δ β ω β

c) Recherche de la température en z m= 0 3.L’équation éq. 5.122. est maximale si son sinus est égal à 1 (pour ).z m= 0

( )sin .ω πt t− = − =−0 1 7 272 10 0 25

t s= =−

π 27 272 10

216005.Calculons la température en pour ce temps là :z m= 0 3.


( ) ( ) ( )

( )

( )

T T T z t z

C

s moy s0.3, 43201

5

15 502

50 152

7 657 0 3

7 272 10 21600 7 657 0 3

313

.2 exp sin

exp . .

sin . . .

.

= + − −

= +

+ −

− ×

× × − ×

= °

−

Δ β ω β


5.3.3. Flux imposé en surface (Condition de Neumann)

C.I. ( )T T et Tz

qzz

, 0 00

= − ==

λ ∂∂


Considérons la même configuration mais en imposant brutalement une densité de flux de chaleuruniforme et constant [W/m2] à la surface du milieu semi-infini. Cette condition limite est appeléeqcondition de Neumann.

La résolution de l’équation différentielle avec ces conditions initiales donne la distribution detempérature :

( ) ( ) ( )( )T T qa t

u u erf uz t, exp− = − − −

0

22 1 1λ π

(éq. 5.159.)

avec : u za t

=2

ou : ( ) ( )T T qa t

ierfc uz t, − =02

λ(éq. 5.161.)

La température de surface Ts s’obtient en faisant dans l’équation ci dessus :z = 0

T T q a ts = +0

2

λ π(éq. 5.163.)

On peut remarquer que, contrairement aux deux autres conditions limites, si le temps ,t → ∞nous avons que aussi. Ce qui est assez logique puisque nous apportons continuellement de( )T z t, → ∞la puissance calorifique.


Application 5.7. La surface d’un mur de brique, initialement à une température uniforme de, absorbe une radiation solaire équivalent à 100 W/m2 commençant au temps . LesT C0 10= ° t = 0

caractéristiques thermiques du mur sont : et . Calculez :λ = 05. W mK a cm s= 0 005 2.a) La température de surface après une heure d’exposition au flux solaire;b) La température après une heure d’exposition en un point situé à 10 cm sous la surface exposée.

Solution :Vérification du modèle semi-infini

(OK)z e a t m cmclt mur= > = × = ≈−? . . . .2 32 2 32 0 00510 3600 0 0984 104

a) Température de surface Ts :

T T qa t

C

s = + = + ×× ×

×= °

−

0

4210 100

2 0 00510 360005

19 57

.

..

λ π π

b) Température sous la surface exposée :

( ) ( ) ( )( )T T qa t

u u erf uz t, exp− = − − −

0

22 1 1λ π

Avec : u za t

= =×

=−2

012 0 00510 3600

117854

..

.

et ( )erf u u≈ −

−

= −

−

=1 4 1 4 11785 0 9107

2 2

exp exp . .π π

( ) ( ) ( )T T

C

z t,.

.exp . . .

.

− = ××

− − −

≈ °

−

0

42100

2 0 00510 360005

1 11785 11785 1 0 9107

0 6π

(La perturbation est faible, OK pour le modèle semi-infini).( )T C− = °0 1 3600 10 6. , .


5.3.4. Coefficient de transfert imposé en surface (Condition de Newton - Fourier)

A) Température du fluide constante

C.I. ( ) ( )( )T T et Tz

h T Tzz

t, ,0 00

0= − = −=

∞λ ∂∂


Considérons le cas où le coefficient de transfert de chaleur par convection h entre un milieu semi-infini à température initiale T0 et le milieu ambiant à température T4 est imposé, cette condition limite estappelée condition de Newton - Fourier.

On obtient dans ce cas :

( ) ( ) ( )( )T T

T Terf u h a t h z erf vz t, exp

−

−= + +

−

∞

∞0

2

21

λ λ(éq. 5.174.)

Avec :( ) ( )

( ) ( )

erf u d et u za t

erf v d et v za t

h a t

u

v

= − =

= − = +

22

22

2

0

2

0

πη η

πη η

λ

exp

exp

Remarque :Si , on peut démontrer que le second terme tend vers 0 (en utilisant la règle deh → ∞l’Hospital (7) pour lever la forme indéterminée “ ”) et on retombe, comme il se doit,∞ . 0sur la solution du problème des milieux semi-infinis avec condition de Dirichlet (éq.5.85.).

La température de surface Ts s’obtient en faisant dans l’équation ci dessus, sachant que :z = 0( ) ( )erf u erf= =0 0

On obtient :

T TT T

h a t erf h a ts −−

=

−

∞

∞0

2

2 1expλ λ

(éq. 5.179.)

(7) Guillaume François Antoine de L’Hospital (1661-1704) : marquis, mathématicien français.


Application 5.8. Une pièce de bronze très épaisse (diffusivité thermique eta m s= −08610 5 2.conductivité ) est initialement à une température de 250 °C. Soudainement sa surfaceλ = 26W mKest exposée à un fluide à 25 °C et le coefficient d’échange est de 150 W/m2K. Déterminer latempérature dans le bronze à 5 cm sous la surface après 10 minutes d’exposition.

Solution :Hypothèse : Si pièce très épaisse Y Bi > 01.

Vérification du modèle semi-infiniz e a t mclt pièce= > = × =−? . . . .2 32 2 32 08610 600 01675

(L’épaisseur de la pièce de bronze doit être supérieure à 16.7 cm)

Coefficient de transfert imposé en surface (Condition de Newton - Fourier)( ) ( ) ( )( )

T T

T Terf u h a t h z erf vz t, exp

−

−= + +

−

∞

∞0

2

21

λ λ

Avec :( ) ( )

( ) ( )

erf u d et u za t

erf v d et v za t

h a t

u

v

= − =

= − = +

22

22

2

0

2

0

πη η

πη η

λ

exp

exp

u za t

v za t

h a t

= =×

=

= + = + × =

−

−

20 05

2 08610 6000 348

20 348 150

2608610 600 0 762

5

5

..

.

. . .λ

( )

( )

erf u u

erf

≈ − −

= − − ×

=

≈ − −

= − − ×

=

1 4 1 4 0 348 0 378

1 4 1 4 0 762 0 723

2 2

2 2

exp exp . .

exp exp . .

π π

ν νπ π

( ) ( )

( )

T

T C

cm

cm

5 10 2

25

5 10

25

250 250 378 150

26081610 600 150 0 05

261 0 723

0817209

, min

, min

. exp . . .

.

−

−= + × × +

×

−

= = °

−


B) Température périodique du fluide{Réf. 2}

C.I. ( ) ( )( )T T T n t et Tz

h T Tf f fz

f t− = − = −=

Δ sin ,ω λ ∂∂ 0

0

Notations : n selon l’harmoniquen = 1 2, , ...

ΔTf amplitude de la température du fluide T Tf fmax min−

2

Tf température moyenne du fluideT Tf fmax min+

2

La température moyenne du fluide est donc prise comme référence. C’est-à-dire que l’onconsidère la température initiale du solide égale à la température moyenne du fluide.

Comme les équations qui régissent le problème du transfert thermique sont linéaires, on peutconsidérer séparément l’effet des différentes harmoniques de la série de Fourier qui représente la variationpériodique (de période ) de la température du fluide au voisinage de la paroi exposée au gaz.2 π ω

La solution de ce système est :

( ) ( ) ( )( )T T

TM z n t N zz t f

fn n

, exp sin−

= − − +Δ

β ω β (éq. 5.191.)

avec :

Mk k

et N kk

na

et kh

n n

n

n

n n n

=+ +

=+

= =

1

1 2 2 1

2

2arctan

β ω β λ

On comprend mieux le sens physique des paramètres M et N si, dans l’équation (éq. 5.191.), onfait , de façon à obtenir la température de surface :z = 0

( ) ( )T T

TM n t Nt f

f

0, sin−

= −Δ

ω (éq. 5.194.)

Ceci exprime que la température en surface subit une loi harmonique de même période Τν quecelle de la température du fluide mais avec un déphasage (en angle) égal à N et un déphasage (en temps)égal à . De plus, l’amplitude en surface de la température du solide a été réduite parN ω ( )ΔT Mf

rapport à celle de la température du fluide ambiant, par suite de la présence du facteur M, inférieur àl’unité.

On voit de même qu’en , le retard de l’oscillation de température sur celle de z = 0 ( )( )T Tz t f, −

est en angle, ou encore cette même expression divisée par ω, en temps.( )N zn+ β


Application 5.9. Calculons l’amplitude de température en surface d’un piston en aluminium d’unmoteur 4 temps tournant à 4000 t/min. Le coefficient de convection gaz-piston peut-être estimé à 550W/m2K, le coefficient de diffusivité de l’aluminium est de l’ordre de 8.037 10-5 m2/s. ( ;λ = 204 W mK

; ).c J kgK= 960 ρ = 2 700 3kg m

Enfin, les équations précédentes permettent aussi de constater que la température de surface suitd’autant mieux la température du fluide que la valeur du nombre est grande, en particulier si h( )π kn

2

est grand ou si λ est petit. Également, le terme exponentiel de l’équation (éq. 5.191.) montre à nouveauque la pénétration d’une onde (amplitude) est d’autant plus profonde que la fréquence est faible.1 Τν

Dans le cas d’une excitation non plus harmonique mais quelconque (série de Fourier), ceci conduit à direque les oscillations de haute fréquence sont rapidement amorties par rapport aux faibles harmoniques ouà l’harmonique fondamental.

La théorie précédente est particulièrement importante dans l’étude des moteurs à combustioninterne où les gaz chauds, et variant de façon périodique en température, n’endommagent pas les paroisdu cylindre par suite de l’amortissement considérable des températures (faible valeur de M).

Solution :Cela revient à calculer le facteur M. Calculons le pour la première harmonique ( ).n = 1

β ωπ

β λ

1 51

1 1

1 12 2

2

1 12

2 4 00060

2 8 0381011414

11414 204550

4234

1

1 2 2

1

1 2 4234 2 42340 00167 017

= =× ×

×=

= = × =

=+ +

=+ × + ×

= ≈

−−n

am

kh

Mk k

..

. .

. .. . %

Remarque :Dans le cas d’un moteur à 4 temps, la fréquence des pulsations est divisée par 2.

étant très faible il en va, de même pour l’amplitude de la variation de températureM = 017. %(harmonique fondamental) de la paroi en surface . Ainsi, si ,( )ΔT Mf ΔT Cf = °1600l’amplitude en surface du fondamental vaut :

ΔT M Cf = × = °1600 0 00167 2 67. .Autrement dit, la paroi ne suit pas la variation de température des gaz. Et c’est encore plus vraipour les harmoniques d’ordre supérieur. Dans les calculs de transfert de chaleur vers le cylindreou le piston, on peut donc prendre comme température des gaz sa température moyenne Tf moysupposée constante.


5.3.5. Contact brusque entre deux solides semi-infinis


Considérons deux milieux semi-infinis initialement à deux températures uniformes différentesT0 1 et T0 2. A l’instant initial, on place les deux milieux en contact et l’on recherche l’évolution de latempérature au sein des deux milieux.

avec : et

( ) ( )

( ) ( )

T T

T Tb

b berfc u

T T

T Tb

b berfc u

z t

z t

1 0 1

0 2 0 1

2

1 21

2 0 2

0 1 0 2

1

1 22

,

,

−

−=

+

−

−=

+

(éq. 5.208.) uz

a t112

= u za t2

22=

Notations : T(z, t) 1T(z, t) 2

température du corps (1) en fonction de z et de ttempérature du corps (2) en fonction de z et de t

Lorsque l’on met en contact deux solides qui sont à des températures différentes, T0 1 et T0 2, lessurfaces des deux corps se mettent immédiatement à la même température T comprise entre T0 1 et T0 2.A cet instant et sur les faces intéressées, se produit un phénomène thermocinétique d’une intensitéconsidérable, dont la violence se limite à un temps très court et ne s’exerce que sur une très faibleprofondeur. En conséquence les paramètres (temps, dimensions, caractéristiques physiques, ...) des loisde la thermocinétique qui, en régime permanent, sont affectés de l’exposant 1 sont, lors de ce régimetransitoire, généralement affectés de l’exposant ½ ( croît plus vite que t au voisinage de 0). Chacuntdes deux corps étant infiniment étendu de part et d’autre de la face de contact (supposée située dans leplan ), le phénomène calorifique progresse dans l’espace par diffusion, s’épanouissant telle unez = 0goutte d’encre tombée sur un buvard. A travers ce plan , un flux thermique s’établit, qui peut êtrez = 0rapporté à l’un quelconque des deux corps. On a donc :

et Q A Tz

= − λ ∂∂

Q Q1 2=

De par l’équation (éq. 5.107.), on peut trouver :

( ) ( ) ( ) ( )λπ

λπ

λ λ1

10 1

2

20 2

1

10 1

2

20 2a t

T Ta t

T Ta

T Ta

T Tc c− = − − = −

Il y a apparition du facteur directeur de la loi des échanges thermiques superficiels et brefs :

[Jm-2K-1s-0.5] ou [Wm-2K-1s0.5]ba

c= =λ λ ρ (éq. 5.216.)

b est appelé coefficient d’arrachement thermique ou effusivité thermique.

La température au contact Tc devient :

Tb T b T

b bc =++

1 0 1 2 0 2

1 2(éq. 5.217.)

Ce qui revient à faire dans l’équation (éq. 5.208.) : , T1 (ou T2) devenant la température dez = 0


Application 5.10. Deux gros blocs, l’un en cuivre l’autre de béton, sont à température ambiante de lapièce (23 °C). Lequel de ces deux blocs vous semblera plus froid au toucher, sachant que l’on peut lesconsidérer comme solide semi-infini et que votre main est à température de 37 °C ?Caractéristiques des matériaux :

; ; .ρ cuivre kg m= 8933 3 c J kgKcuivre = 385 λ cuivre W mK= 401; ; .ρbéton kg m= 2 300 3 c J kgKbéton = 880 λbéton W mK= 14.

contact Tc.

Le corps qui impose sa température est donc celui qui possède le plus grand coefficientd’arrachement thermique b; la sensation que l’on ressent en saisissant une barre de cuivre et un morceaude bois, tous deux à la même température, est effectivement très différente; dans le second cas, c’est lamain ( ) qui impose sa température au contact du bois ( ) alors que, dans le premierbmain = 420 bsapin = 389cas, c’est le cuivre ( ) qui commande.bcuivre = 37137

Solution :Solide semi-infini avec température imposée en surface

Comparons les deux coefficients d’arrachement thermique (la différence de température entre lamain et les matériaux étant la même) :

( )( )

bb

c

ccuivre

béton

cuivre

béton

= =× ×

× ×=

λ ρ

λ ρ

401 8933 38514 2 300 880

221.

.

Le flux vers le cuivre est plus de 20 × supérieur à celui vers le béton : conclusion le cuivresemblera beaucoup plus froid que le béton.


5.4. Transfert unidirectionnel dans les milieux limités : plaque, cylindre, sphère{Réf. 8 et 9}

5.4.1. Température constante imposée en surface (Condition de Dirichlet)

Hypothèse :On impose brutalement une température Ts à la surface de la pièce initialement à latempérature uniforme T0.

A) Plaque infinie

Nous allons traiter dans ce qui suit le cas de la plaque d’épaisseur 2 l et de dimensions latéralessuffisamment grandes pour que l’on puisse considérer que le transfert de chaleur estunidirectionnel.

On fixe l’origine des axes Oz au milieu de la plaque d’épaisseur 2 l.

C.I. ( ) ( ) ( )( )

T T et T T T et Tzz l t l t s

t, , ,

,0 0

0

0= = = =−∂∂

1ère méthode :Transformée de Laplace, développement en série et inversion terme à terme par les tables.Ce qui, après résolution, nous donne :

( ) ( ) ( ) ( )T T

T Terf

n l z

a terf

n l z

a tz t

s

n

n

, −

−= −

+ −

+

+ +

=

∞

0

0 0

12 1

2

2 1

2(éq. 5.224.)

Cette solution converge rapidement pour des faibles valeurs de t (petites valeurs de Fo).

2ème méthode :Décomposition de la température en un produit de fonctions et superposition des solutions.

( ) ( )( )T T

T T nn Fo n z

lz t s

sr

n

,

, ...

exp sin−

−= − +

=

∞

0

2

1 3, 5

4 1 22

1π

π π(éq. 5.225.)

Notation : For nombre de Fourier tel que défini en annexe (ici )Fo For =

Cette méthode convient bien pour les temps longs (grandes valeurs de Fo).

Comparaison des méthodes :Compte-tenu de la puissance des ordinateurs, l’application des formules obtenues nepose aucune difficulté, un nombre de termes égal à 5 suffit pour obtenir une bonneprécision pour les formules de la 1ère et 2ème méthode.


B) Cylindre infini

On considère dans ce paragraphe un cylindre infini de rayon r0 (longueur très grande par rapportau diamètre : ), on peut faire l’hypothèse dans ce cas que le transfert de chaleur estlong r ≥ 10uniquement radial.

On fixe l’origine de l’axe radial au milieu du cylindre de rayon r0.

C.I. ( ) ( )T T et T Tr r t s, ,0 0 0= =

Méthode :Décomposition de la température en un produit de fonction et transformation de Hankel.

On en déduit finalement, si la température initiale T0 est uniforme sur toute la surface extérieure,que :

( ) ( )( ) ( )T T

T T rJ r

J ra tr t s

s

n

n nn

n

, exp−

−= −

=

∞

0 0

0

1

2

1

2 ωω ω

ω (éq. 5.229.)

Où ωn ( ) sont les racines de l’équation . (Voir Annexe 4.)n = 1 2 3, , ,.... ( )J r0 0ω =

C) Sphère

On considère dans ce paragraphe une sphère de rayon r0.

On fixe l’origine des axes au centre de la sphère.

C.I. ( ) ( )T T et T Tr r t s, ,0 0 0= =

Ce qui permet d’obtenir le résultat suivant :

( ) ( ) ( )( )T T

T Trr n

n Fo n rr

r t s

s

n

rn

, exp sin−

−=

−−

+

=

∞

0

0

12

01

2 1π

π π (éq. 5.233.)

La température au centre est donnée par la limite de la relation (éq. 5.233.) quand r tend vers zéroet s’écrit :

( ) ( ) ( )( )T T

T Tn Fot s

s

nr

n

0

0

1 2

1

2 1, exp−

−= − −+

=

∞

π (éq. 5.234.)

Remarques :1) Nous pouvons aussi utiliser les formules du § 5.4.3. avec (voir § 5.4.4.).h = ∞2) Si on préférera utiliser les formules suivantes {Réf. 2} :For ≤ 0 08.

( ) ( ) ( )T T

T Trr

erfcn r r

Foerfc

n r r

For t s

s r rn

, −

−= −

− −

−

− +

=

∞

0

0 0 0

1

12 1

2

2 1

2(éq. 5.237.)


Application 5.11. Connaissant la température initiale T0 d’une plaque de verre, ainsi que son épaisseuret sa diffusivité, calculer, si on applique brutalement une température Ts à sa surface :a) le temps qu’il faut pour que le milieu de la plaque se refroidisse de 50 %;b) le gradient de température maximum à cet instant.

La température au centre est donnée par la limite de la relation (éq. 5.237.) quand r tend vers zéroet s’écrit :

( ) ( )T T

T T Fo

nFo

t s

s r rn

0

0

2

1

1 2 2 14

, exp−

−= − −

−

=

∞

π(éq. 5.238.)

Solution :Hypothèses :

< conduction unidimensionnelle;< les propriétés des matériaux sont constantes;< Comme on cherche la température au milieu de la plaque, l’hypothèse “milieu infini” est à

rejeté.

a) TempsCalcul du nombre de BiotL’application brutale d’une température de surface revient à avoir un et de ce fait unh → ∞

. La méthode du gradient nul est inapplicable.Bi = ∞Condition de Dirichlet pour une plaque infinie (en )z = 0Hypothèse (à vérifier à posteriori) : (on se contente de 1! terme)For > 0 2.

( ) ( )( )( )( ) ( )

( )

T T

T T nn Fo n z

l

Fo terme n

Fo Fo OK

z t s

sr

n

r

r r

,

, ...

exp sin

. exp !

ln . . .

−

−= − +

= − =

= − ×

= >

=

∞

0

2

1 3, 5

2

2

4 1 22

1

05 4 2 1 1

4 054

0 379 0 2

ππ π

ππ

ππ

Recherche du temps épaisseur de la plaquelc = 1 2

( )Fo a tl

t Foa

l srr= = = × =−

−2

27

3 20 379610

1010 631. .

fig. 5.13. - Application 5.11.


b) Gradient de température( ) ( )( )T T

T TFo z

lz t s

sr

, exp sin−

−= − +

0

24 22

1π

π π

Dérivons :( ) ( ) ( )( )∂

∂ ππ π πT

zT T Fo z

l lz t

s r, exp cos= − − +

0

24 22

12

Le maximum ce trouve en surface :z l=

( ) ( ) ( )( ) ( )∂

∂ ππ π

π

T

zT T Fo

l

K m

z t

z l

s r,

max

exp

exp .

.

=

−

= − − −

= − × × − ×

= −

02

3

2

4

4 2 12

300 21010

0 3794

2 3610(Choc thermique !)


5.4.2. Flux imposé imposée en surface (Condition de Neumann)

Hypothèse :On impose brutalement une densité de flux uniforme et constant sur les 2 faces de laqpièce initialement à la température uniforme T0.

A) Plaque infinie

On fixe l’origine des axes Oz au milieu de la plaque d’épaisseur 2 l.

C.I. ( )T T et Tz

et Tz

qzz z l

, 0 00

0= = − == =

∂∂

λ ∂∂

Notation : q densité de flux W/m2

En utilisant les deux premières méthodes du paragraphe précédent, on arrive aux résultatssuivants :

( )( ) ( )( )T T q t

c lq l z l

l nn Fo n z

lz t

n

rn

, exp cos− = + − −

−−

=

∞

0

2 2

2 2 22

1

36

2 1ρ λ π

π π(éq. 5.253.)

avec, pour les grandes valeurs de t, la solution quasi stationnaire :

( )T T q tc l

q l z llz t,

− = + −

0

2 2

23

6ρ λ(éq. 5.254.)

qui peut être utilisée pour déterminer la conductivité thermique.

Cette solution quasi stationnaire montre qu’après un certain temps la série contenue dans l’éq.5.253. s’approche de zéro. Alors, la température en tout point z du mur est une fonction linéaire du temps,tandis que la distribution de la température en fonction de z est purement parabolique.

Nous avons aussi pour les faibles valeurs de Fo (la convergence étant plus rapide) :

( )( ) ( )T T

q a tierfc

n l z

a tierfc

n l z

a tz tn

,

− =

+ −

+

+ +

=

∞

00

2 2 1

2

2 1

2λ (éq. 5.255.)

B) Cylindre infini

On fixe l’origine de l’axe radial au milieu du cylindre de rayon r0.

C.I. ( )T T et Tr

qrr r

, 0 0

0

= − ==

λ ∂∂

La solution est la suivante :


Application 5.12. On étudie le réchauffement d’une plaque en polymère, de grandes dimensionstransversales, de conductivité , de capacité calorifique volumique λ = 0 2 2. W m K

et d’épaisseur au moyen de lampes infrarouges. On supposera queρ c J m K= 18106 3. 2 0 01l m= .le rayonnement, constant et uniforme, issu des lampes est absorbé superficiellement sur chaque faceà raison d’une densité de flux . La plaque est initialement à température .q W m= 640 2 T C0 30= °Calculer le temps pour que les faces extérieures de la plaque atteignent 70 °C.

( ) ( ) ( )T T q a t

rq r r

ra t

J rr

Jr t nn

n

n n,

exp− = + − − −

=

∞

00

02

02

2

1

00

20

22

14

2λ λ

ω

ω

ω ω(éq. 5.257.)

C) Sphère

On fixe l’origine de l’axe radial au milieu de la sphère de rayon r0.

C.I. ( )T T et Tr

qrr r

, 0 0

0

= − ==

λ ∂∂

La solution est la suivante :

( )( )

T q tc r

q r r

rq r

r

rr t

rr t

n

n n

n

n,

sin

sinexp= +

−−

−

=

∞

3 5 3

102

0

202

0

02

02

2

02

1ρ λ λ

ω

ω ωλ ω (éq. 5.259.)

Où ωn ( ) sont les racines de l’équation .n = 1 2 3, , , ... tanω ω=


< conduction unidimensionnelle;< les propriétés des matériaux sont constantes;< pas de déperditions par convection ou rayonnement.

Recherche du tempsPour ce donner une idée du temps, utilisons l’éq. 5.254. (avec )z l m= = 0 005.

( ) ( )T T q t

c lq l l l

ll t,

− = + −

0

2 2

23

6ρ λ

( )( ) ( ) ( ) = − −

= − − ×

×

×

=

t T T q l c lq

t s

l t,

.

.. .

.

0

6

370 30 640 0 005

3 0 21810 0 005

640487 5

λρ


Vérifions par l’équation complète l’éq. 5.253., avec et (1! terme).z l m= = 0 005. n = 1Calculons la valeur du terme “sommation” uniquement. Soit :

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )

−−

=−

−

= −

=

∞

1 1

11 1

22

1

1

22

2

n

rn

r

r

nn Fo n z

lFo l

l

Fo

exp cos exp cos

exp

π π π π

πSi on prend , le nombre de For devient :t s= 487 5.

( )Fo a t

l c ltr = = =

×× =2 2 6 2

0 21810 0 005

487 5 217λρ

.. .

. .

Et donc :

( )exp .− = −π 2 1051610For

Ce qui implique que le terme “sommation” est quasi nul. L’approximation de la formule destemps longs est donc tout-à-fait pertinente.


5.4.3. Coefficient de transfert imposé en surface (Condition de Newton - Fourier)

A) Relations en température

Hypothèse :On impose brutalement un échange de chaleur par convection avec un coefficient deconvection h à la surface de la pièce initialement à la température uniforme T0.

C.I.( ) ( )

( )( ) ( )( )

T ou T T et

Tz

ou Tr

h T T ou h T T

z r

z L r rz t r t

, ,

, ,

0 0 0

0

=

− − = − −= =

∞ ∞λ ∂∂

λ ∂∂

On peut montrer que les 3 solutions sont du même type, soit :

{Réf. 7}( ) ( ) ( )Θ =

−

−

−

−= −

∞

∞

∞

∞ =

∞

T T

T Tou

T T

T TA f Foz t r t

n n n rn

, , exp

0 0

2

1

λ (éq. 5.272.)

An fn [rad]λ n

A) Plaque infinie2 sin

sin cos λ

λ λ λn

n n n+cos λn

zl

cot

λ λn

n

rBi=

B) Cylindre infini( )

( ) ( )( )2 1

02

12

J

J J

n

n n n

λ

λ λ λ+J r

rn00

λ

( ) ( ) λ λ λn n r nJ Bi J1 0=

C) Sphère 2 sin cos sin cos

λ λ λλ λ λ

n n n

n n n

−−

rr

rr

n

n0

0

sin

λλ

cot λ λn n rBi= −1

Tableau 1. - Valeurs des différents coefficients.

Ces différentes solutions se retrouvent sous forme d’abaque dite de Heisler (8) .

Remarque :Dans le cas de la sphère, pour calculer la température au centre (en ), il faut ser = 0

rappeler que : et donc que pour ce cas .lim

sin

rn

nrr

rr→

=

00

01

λλ f n = 1

On remarquera par la même occasion que pour la plaque et le cylindre, nous avons aussi f n = 1pour le centre.

Cependant, si le nombre de Fourier For est supérieur à 0.2, on peut ne prendre que le premierterme de ces différentes suites et donc :

(8) Heisler, M,P :


( ) ( ) ( )Θ =−

−

−

−≈ −

∞

∞

∞

∞

T T

T Tou

T T

T TA f Foz t r t

r, , exp

0 01 1 1

2λ (éq. 5.283.)

! Les valeurs des coefficients A1 et sont donnés à l’Annexe 6.λ1

B) Energie transférée

Dans beaucoup de situations, il est intéressant de connaître l’énergie transférée, reçue ou perdue,lors d’un processus de conduction transitoire. Cette énergie transférée peut être exprimée par :

( )( )Q c T T dVz t= − − ρ , 0

En introduisant la quantité :( )Q cV T T0 0= − ∞ρ

qui peut être interprétée comme l’énergie initiale contenue dans le volume V par rapport à la températuredu fluide. C’est donc aussi la quantité maximale transférable pour un temps infini.

Pour avoir, à nouveau, une relation adimensionnelle, on utilisera le rapport pourQ Q0

déterminer cette énergie transférée.

( )[ ]QQ

T T

T TdVV

z t

0

0

0

=− −

− ∞

,

que l’on peut mettre sous la forme d’une série infinie :

( )Q Q D Fon n rn

02

1

1= − −=

∞

exp λ (éq. 5.289.)

Les coefficients Dn sont différentes fonctions de pour les plaques, cylindres et sphères.λn

Dn

A) Plaque infinie Ann

n

sin

λ

λ

B) Cylindre infini ( )A

Jn

n

n

2 1

λ

λ

C) Sphère ( )Ann

n n n33

sin cos λ

λ λ λ−

Tableau 2. - Voir aussi Tableau 3 pour les valeurs numériques.

Ces différentes solutions se retrouvent sous forme d’abaque dite de Gröber (9) .

Cependant, si le nombre de Fourier For est supérieur à 0.2, on peut ne prendre que le premier

(9) Gröber, Heinrich (Prof. Ing. Dr) (1880-1949) :


Application 5.13. Problème de la trempe d’une sphère dans un bain d’huile à température constante.Calculer :a) le temps pour que la surface atteigne 415 K;b) le flux de chaleur à cet instant;c) l’énergie perdue par la sphère pendant son refroidissement.


terme de cette suite et donc :

( )Q Q D For0 1 121≈ − −exp λ (éq. 5.292.)

! La valeur du coefficient Q1 est donné à l’Annexe 6.

On peut relier aussi la quantité à la température moyenne du solide au temps t ( ) par :Q Q0 ( )T t

( )10 0

− =−

−∞

∞

QQ

T T

T Tt (éq. 5.295.)

Solution :Calcul du nombre de Biot

( ) ( ) ( )Bi

h V A h rBi= = =

×= >

λ λ0 3 75 0 015 3

170 22 01

..

. .

Y La résistance interne est non négligeable Y méthode analytique.

a) Coefficient de transfert imposé en surface (Condition de Newton - Fourier)[1] Y Utilisation des abaques de HeislerPour savoir l’utiliser, il faut d’abord connaître la température au centre de la sphère lorsque sasurface aura atteint 415 K.

Bi h l h rBir

c

r

= = =×

= ≈ =λ λ

0 75 0 01517

0 662 0 66 1 151..

. . .

Sur l’abaque donnant la relation entre la température au centre et à la surface ( ), onr r0 1=trouve :

( )

( ) ( )( )

T T

T T TT Kr t

t tt

0

0 00

415 320320

0 74 448,

, ,,.

−

−= −

−≈ ≈

∞

∞

On peut maintenant utiliser l’abaque de Heisler. Avec :


( )Θ =−

−=

−−

=∞

∞

T T

T Tt0

0

448 320800 320

0 267, .

On recherche le nombre de Fourier (For) sur l’abaque : For ≈ 087.Déduction du temps :

Fo a tr

t Fo ra

Fo r

c

srr r= = =

=×

×

=02

02

02 2087 0 015

17400 1600

737λ

ρ

. ..

.

[2] Y Méthode analytiqueComme le nombre de Fourier est supérieur à 0.2, nous pouvons utiliser la formule approximative :

( ) ( )Θ

Θ

=−

−≈ − = −

∞

∞

T T

T TA f Fo Fo

A fr tr r

0

01 1 1

2 1 1

12

, exp ln

λ

λ

Avec : et pour un , nous avons, pour :Θ =−−

=415 320800 320

0198. Bir = 0 662. r r= 0

( )

A

f rr

rr

1 1

10

1

1

0

118773 131903

1131903

131903 0 73423

= =

=

=

× =

. ; .

sin

.sin . .

λ

λλ

FoA f

r = −

= −×

=ln

ln .. .

..

Θ

1 1

12 2

0198118773 0 73423

1319030852

λDéduction du temps :

t Fo ra

Fo r

c

sr r= =

=×

×

=02

02 20852 0 015

17400 1600

72 2λ

ρ

. ..

.

Vérification, a posteriori, de la pertinence du modèle “corps limités”

z d m a t m OKclt = = < =×

× =2 0 015 2 32 2 32 17400 1600

737 0 032. ? . . . . . ( )

Et donc théorie des corps limités.

b) Flux de chaleurDonné par la loi de Newton pour la convection. Soit :

( )( ) ( ) ,q h T T W mr t= − = × − =∞075 415 320 7125 2

c) Energie perdue[1] Y Utilisation des abaques de HeislerL’énergie perdue par la sphère durant le processus de refroidissement peut être déterminée parles abaques de Gröber.Avec : et ; l’abaque nous donne :Bir = 0 66. Bi For r

2 20 66 087 0 38= × =. . .


( )( )( )

Q Q Q V c T T

J

0 0

3

0 75 0 75

0 75 400 43

0 015 1600 800 320

3257

≈ = −

= × × × × × × −

=

∞. .

. .

ρ

π

[2] Y Méthode analytiqueComme le nombre de Fourier est supérieur à 0.2, nous pouvons utiliser la formule approximative :

( )Q Q D For0 1 121≈ − −exp λ

Avec : etFor = 0852. Bir = 0 662.

Yλ1

BiBi

rr

. .

. .

. .

λλ1

10 6 1264400 7 135252 0 662 126986

→→

→

D1 Y

Bi DBi

rr

110 6 0 9994

0 7 0 9925 0 662 0 9990. .. .

. .→→

→

λ

( ) ≈ − − ×

≈

Q Q021 0 990 126986 0852

0 747

. exp . .

.Et donc l’énergie perdue vaut :

( )( )( )

Q Q Q V c T T

J

= −

= × × × × × × −

=

∞0 0

30 747 400 43

0 015 1600 800 320

3244

ρ

π. .


Application 5.14. Rentrée dans l’atmosphère d’une capsule ou d’une navette spatiale : pendantcombien de temps un objet rentrant dans l’atmosphère peut-il endurer les dures conditions thermiquesqui l’accompagnent, sachant que le matériau utilisé ne peut supporter des températures supérieures à1100 °C.Le nez de la capsule sera assimilé à une plaque de 24 mm d’épaisseur, en acier spécial. ( ;λ = 42 W mK

; ), initialement à la température uniforme de 40 °C. I1 n’y a pas dec J kgK= 420 ρ = 8000 3kg mrefroidissement interne. L’air entourant la paroi sera pris en première approximation à 2200 °C, tandisqu’on choisira pour h, la valeur de 2800 W/m2K. L’échange thermique par rayonnement est supposéinclus dans l’évaluation du coefficient d’échange h.

5.4.5. Cas particuliers

A) Cas particuliers de la plaque isolée sur une face

II est possible d’utiliser les solutions du § 5.4. (Transfert unidirectionnel dans les milieux limités :plaque, cylindre, sphère) lorsque l’une des faces de la plaque est isolée. En effet lors de l’immersioncomplète d’une plaque, la surface à (milieu) est une surface adiabatique.z = 0

Exemple : Dans un moteur-fusée (dont les parois ne sont pas refroidies par un réfrigérant), aumoment de l’allumage, les parois sont subitement léchées par des gaz chauds : il est nécessaire de calculerla durée de fonctionnement compatible avec des températures de la paroi ne correspondant pas à descontraintes thermiques intolérables. Il faut donc calculer les courbes (t, T) de la paroi.

Les pertes thermiques vers l’extérieur sont généralement négligeables et on peut supposer quela paroi est isolée vers l’extérieur. Si l’épaisseur de la paroi est faible (vis-à-vis de celle de la chambre),on pourra appliquer la théorie du mur, l’épaisseur de la paroi du moteur étant appelée (e (et non 2 e)) dansla théorie précédente ainsi que dans les abaques.

Solution :Hypothèse :

On ramène ce problème au modèle du mur de demi-épaisseur e égale à 24 mm, dont l’une desfaces est adiabatique et l’autre soumise brusquement aux paramètres convectifs ( ,T Cf = °2 200

)h W m K= 2800 2

Calcul du nombre de BiotDans ce cas .V A e=

( )Bi

h V A h e Bi= = =×

= >λ λ

2800 0 02442

16 01. . .

Y La résistance interne est non négligeable Y méthode analytique.

Vérification de l’hypothèse : solide semi-infiniOn demande la température de paroi interne, l’hypothèse des milieux semi-infinis n’est pasvalable. D’où : milieux limités.


Plaque infinie avec condition de Newton-Fourier( ) ( )Θ =

−

−= −

∞

∞ =

∞

T T

T TA Fo fz t

n n rn

n, exp

0

2

1

λ

On suppose que . On ne prendra que 1! terme (vérification à posteriori).For ≥ 0 2.

( ) ( )Θ

Θ

=−

−≈ − = −

∞

∞

T T

T TA f Fo Fo

A fz tr r

, exp ln

0

1 1 12 1 1

12

λλ

Avec : et pour un , nous avons dans les tables :Θ =−

−=

1100 2 20040 2 200

05093. Bi Bir = = 16.

A

f ze

en surface z e fsur la surface adiabatique z f

1 1

11 1

1

11593 100842

0533200 1

= =

=

= = = =

. ; .

cos : .

:

λ

λ

Paroi extérieure :

FoA f

r = −

= −×

=ln

ln .. .

..

Θ

1 1

12 2

0509311593 053320

10084201906

λComme il faudrait prendre plusieurs termes...For < 0 2.Déduction du temps :avec :

ac

m s= =×

= −λρ

428000 420

12510 5 2.

et, dans notre cas :l ec =

= = =×

=−Fo a te

t Fo ea

srr

2

2 2

501906 0 024

1251088. .

..

Paroi adiabatique :Température à la paroi pour :t s= 88.

( ) ( ) ( )

( ) ( )

T T

T TA f Fo

T C

sr

s

0 8.8

01 1 1

2 2

0 8.8

11593 1 100842 01906

0 9550 955 40 2 200 2 200 137 2

,

,

exp . exp . .

.. .

−

−≈ − = × × − ×

= = × − + = °

∞

∞

λ


Application 5.15. On veut calculer l’épaisseur à donner à un mur pare-feu en amiante (placé entre 2minces feuilles d’acier à négliger dans le problème) en se fixant une protection pendant une heure surla base suivante :< la température en surface, côté “feu”, est supposé être de 900 °C dès le début de l’incendie;

;T C0 28= °< la température du côté opposé ne peut dépasser 115 °C durant cette période.La diffusivité thermique de l’amiante est de .a cm h= 10 2

B) Utilisation des conditions de Newton-Fourier pour une condition de Dirichlet

Il est possible d’utiliser les formules du § 5.4.3. concernant les milieux limités (coefficient detransfert imposé en surface (Condition de Newton - Fourier)) pour les milieux limités avec condition deDirichlet.

En effet, lorsqu’une température est imposée sur une surface, c’est l’équivalent de poser unnombre de Biot infini (4) ( ) dans les équations (ou les abaques de Heisler !). La condition deBi > 100Dirichlet, température imposé en surface, revient à avoir un coefficient de convection h égal à l’infini.


1) car condition de Dirichlet.Bi → ∞2) Solide semi-infini :

Hypothèse à rejeter puisque la surface adiabatique sera perturbée (température différente de latempérature initiale.

1ère approche : milieu limité avec condition de DirichletSoit (hypothèse)Fo termer > 0 2 1. !Nous sommes en z = 0

( ) ( )( )T T

T TFoz t s

sr

, exp sin−

−= −

0

24 22π

π π

( ) =−

−

−

= −−

−

=

FoT T

T Trz t s

s

ln ln

.

,ππ

ππ4

44

115 90028 900

4

014050

2 2

Comme en principe plusieurs termes...For < 0 2.

Fo a tl

l e a tFo

cmrc

c plaquer

= = = =×

=2

10 101405

8 44.

.

2ième approche : milieu limité avec condition de Newton-Fourier avec Bi = ∞Soit (hypothèse)Fo termer > 0 2 1. !Nous sommes en z = 0

( ) ( )Θ =−

−≈ −

∞

∞

T T

T TA f Foz t, exp '

01 1 1

2λ



Recherche de coefficients pour un Bi = ∞

( )A

f zL

pour zn

1 1

1

12732 157080

1 0

= =

=

= =

. ; .

cos

λ

λ

T T Cs∞ → = °900

= −

= − =Fo

A fr1 1

15708001405

12

1 12

ln.

.λ

Θ

Et donc : e cm= 8 44.

3ième approche : abaque de Heisler avec Bi Bir= = ∞

BiBir

r

= ∞ =1 0

T TT T

c −−

=−−

=∞

∞0

115 90028 900

0 90.

Lecture sur l’abaque : For ≈ 14.Et donc : e cm= 8 44.

ConclusionsLes résultats des différentes méthodes sont très cohérents.


Application 5.16. Un axe en acier au carbone (AISI 1010) de 0.1 m de diamètre est chauffé, en vued’un traitement thermique, dans un four à gaz. Ceux-ci sont à une température de 1200 K et onconsidère le coefficient de convection égal à 100 W/m2K. Si l’axe est introduit dans le four à unetempérature de 300 K, quel temps faudra-t’il pour que la température à coeur atteigne 800 K ?Propriétés du AISI 1010 ( ) : ; ; ;T K= 550 ρ = 7832 3kg m λ = 512. W mK c J kgK= 541

.a m s= −12110 5 2.

C) Utilisation de la méthode des milieux limités en lieu et place de la méthode du gradient nul

La méthode du gradient nul n’est en fait qu’un cas particulier de la théorie des milieux limités.Cette dernière théorie est évidemment toujours valable. La méthode du gradient nul n’est qu’uneapproximation.


1) Conduction unidimensionnel ( )l r>>> 0

2) Propriétés du matériaux constants.

Calcul du nombre de Biot( ) ( )

Bih V A

Bi= =×

= <λ

100 01 4512

0 0488 01.

.. .

La résistance interne est négligeable.

Prenons la formule de la méthode du gradient nul

( ) ( ) ( )T T

T Tt t

T T

T Tt t−

−= − = −

−

−

∞

∞

∞

∞0 0exp lnτ τ

Calcul de τ

τ ρ= =

=×

×

=m ch A

ch

VA

s7832 541100

014

1059 3. .

Calcul du temps

( )tT T

T Tst

= −−

−

= − × −

−

=

∞

∞

τ ln . ln0

1059 3 800 1200300 1200

859



Méthode des corps limités avec coefficient de transfert imposé en surfaceVérifions si nous pouvons ne prendre qu’un seul terme (sur base du résultat obtenu par laméthode du gradient nul, autrement il aurait fallu le vérifier à posteriori)

Fo a tr

OK termer = =×

= > −

02

5

212110 859

0 05416 0 2 1.

.. . !

( ) ( )Θ =−

−≈ −

∞

∞

T T

T TA f For t

r, exp

01 1 1

2λ

Recherche des différents coefficients (Annexe 6.) :

Bi h rr = =

×=0 100 0 05

5120 09766

λ.

..

Yλ1

BiBi

rr

. .

. .

. .

λλ1

10 05 0 31426010 0 44168 0 09766 0 43572

→→

→

f1 Y (Voir table des fonctions de Bessel Annexe 4.)( )f J rr

J1 0 10

0 0 1=

= =λ

A1 Y( )

( ) ( )( )A

J

J J1

1 1

1 02

1 12

1

2=

+

λ

λ λ λ

( ) ( )

. .

. .

. .

λ λλ λ

1 0 11 0 10 4 0 96040

05 0 9385 0 43572 0 95258

JJ→

→

→

( ) ( )

. .

. .

. .

λ λλ λ

1 1 11 1 10 4 019603

05 0 2423 0 43572 0 21256

JJ→

→

→

( )A1 2 2

2 0 212560 43572 0 95258 0 21256

10242=×

× +=

.. . .

.

( )FoT T

T T A frr t

= −−

−

= − −

−×

×

=

∞

∞

1 1 10 43572

800 1200300 1200

110242 1

4 39712

0 1 12

ln.

ln.

.

,

λ

Déduction du temps :

Fo a tr

t Fo ra

srr= = =

×=−

02

02 2

54 397 0 05

12110908. .

.Remarque

La méthode du gradient nul sous-estime la valeur du temps.


fig. 5.31. - Quadripôle d’un mur passif.

5.5. Systèmes complexes : méthodes des quadripôles{Réf. 10}

5.5.1. Introduction

L’équation de la chaleur simplifiée est une équation aux dérivées partielles linéaires du typeparabolique. On pourra ainsi obtenir la solution générale d’un problème thermique en superposantlinéairement des solutions particulières.

Des solutions analytiques ont été obtenues lorsque la température ne dépend que d’une seulevariable d’espace, soit d’une façon rigoureuse (problème du mur), soit d’une façon approchée (problèmede la barre).

5.5.2. Ecoulement unidirectionnel dans les murs plans

A) Mur simple

Nous avons pu remarquer que nous pouvions associer un quadripôle thermique à une situationparticulière.

Cependant, nous remarquerons que les “éléments” constituant ce quadripôle sont des élémentsde “base” : résistance, capacité. Si nous passons à la généralité, nous devrions associer des “impédances”.

Nous allons expliciter la démarche pour un mur d’épaisseur e sans source de chaleur interne età l’équilibre thermique à l’instant initial.

Nous avons donc : avec, dans ce cas-ci : à .∂∂

∂∂

Tt

a Tz

=2

2T = 0 t = 0

Appelons :< θe et θs les transformés de Laplace (10) des températures T en et T en ;z = 0 z e=< Φe et Φs les transformés de Laplace des flux en et en .Q z = 0 Q z e=

De façon générale, le problème étant linéaire, il existe une relation linéaire entre les grandeursd’entrées θe et Φe et les grandeurs de sorties θs et Φs, soit :

ºθ θe

e

s

s

A BC DΦ Φ

=

θ θθ

e s s

e s s

A BC D

= += +

ΦΦ Φ

où la matrice est la matrice de transfert inverseA BC D

du quadripôle associé au mur.

L’équation de la chaleur simplifiée devient

après transformée de Laplace, sachant que : ∂∂

θTt

s=

si les conditions initiales sont nulles et s variables de Laplace.

(10) Laplace, Pierre-Simon (1749 - 1827) : mathématicien, astronome et physicien français.


fig. 5.32. - Représentation impédance etapproximation pour les états quasi stationnaires

∂∂

∂∂

θ θTt

a Tz

sa

dd z

= =2

2

2

2

Dont la solution est : avec : ( ) ( )θ α α= +C z C z1 2sinh cosh α 2 = sa

A la température T, on associe le flux :Q Q A Tz

= − λ ∂∂

Après transformation de Laplace : Φ = − λ θA ddz

Nous trouvons aisément que :( ) ( )

( ) ( )

θ α θλ

αα

λ α α θ α

e s s

e s s

eA

e

A e e

= +

= +

coshsinh

sinh cosh

1 Φ

Φ Φ(éq. 5.391.)

avec :

( )( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

A D e

BA

ea

C A e

eA

ea

A e e

= =

=

=

cosh

sinh

sinh

coshsinh

sinh cosh

α

λα

λ α α

αλ

α

λ α α α

1 1(éq. 5.392.)

Le système étant symétrique et passif, il existe bien deux relations entre les termes de la matrice :( )( )

A D Système symétrique

A D B C Système passif

=

− =

1

En pratique, ces quadripôles s’utilisent comme en électricité, soit par association de matrices (encascade ou en parallèle), soit par association d’impédances. En effet, un quadripôle passif peut toujoursse représenter par trois impédances en T ou en π.

Dans le cas général de quadripôle passif :

ZC

Z AC

Z DC3 1 2

1 1 1= =

−=

−

; ;

Dans le cas du mur :( )

( )

( )

Z Ze

A e

ZA e

1 2

3

1

1

= =−

=

coshsinh

sinh

αλ α α

λ α αDans la limite de perturbation périodique de

faible fréquence, ou pour des temps suffisamment longs,c’est-à-dire lorsque la nombre de Fourier associé est

grand ( ), on retrouveFo a te

soit e= >> → ∞2 1 α

la schéma classique de la figure (fig. 5.32.), en effet :

Z Z eA

R

Zc e A s C s

m

m

1 2

3

2 21 1

= =

=

λ

ρ


fig. 5.33. - Quadripôle résistance.

fig. 5.34. - Quadripôle capacité.

B) Résistance de contact (Quadripôle associé à un contact solide-solide)

La représentation des contacts thermiques en régimes transitoires fait appel à des modèles plusou moins complexes qu’il est toujours possible d’interpréter en terme de quadripôle; dans la plupart des

cas, le modèle résistif est suffisant. Avec dans ce cas : R R eAc Conduction= =

λ

C) Mur avec échange convectif (Quadripôle associé aux conditions aux limites de Fourier)

La représentation est identique au modèle résistif de contact. Et dans ce cas :

R Rh Ac convection= = 1

D) Mur à température uniforme (Quadripôle associé à la capacité)

Le mur à température uniforme implique, comme nous l’avons vu, un nombre de .Biot < 01.

Après transformation de Laplace, l’expression ( ) devient : , et leQ m c dTdt

= Φ = m c s θ

quadripôle associé ( ) :Φ Φe s m c s− = θ


Application 5.17. Trouver l’équation d’un solide refroidit uniquement par convection par la méthodedes analogies ainsi que par la méthode des quadripôles. On supposera que le solide possède unetempérature uniforme ( ).Bi < 01.

fig. 5.35. - Modèle thermique élémentaire.

Solution :A) Analogies

Considérons un solide de surface latéraleA, soumise à un flux , présentant uneQe

température uniforme T, refroidie uniquement parl’air ambiant T4.

Nous pouvons modéliser ce solide parune “capacité” et le refroidissement convectif parune “résistance”. Le flux d’entrée représente lapuissance thermique générée au sein de la pièce.Il n’y a donc pas de “résistance” d’entrée.

Dès lors on peut écrire les équationssuivantes :

a) Equation électriques :

i i i C dUdt

U U U R i

e s

e s s

→ − =

→ − =

b) Equations thermiques :

Q Q Q m c dTdt

T T Th A

Q

e s

e s s

→ − =

→ − =

1

et si on remplace la seconde dans la première, on obtient :

( )Q T T h A m c dTdte e s− − =

avec : Te : variable T (température du solide)Ts : température ambiante T4 (supposée constante)

( )Q T T h A m c dTdte = − +∞

L’équation générale devient :

avec τ dTdt

T Th A

Qe+ = +∞1 τ = m c

h A


Notations : τAch

constante de temps thermiquesectionchaleur massiquecoefficient de convection

sm2

J/kgKW/m2K

Dans le cas particulier du régime permanent ( ) :dTdt

= 0

( )T Th A

Qt e→ ∞ ∞= + 1

B) Quadripôles

L’équation du quadripôle devient dans ce cas précis :

º

θ θe

e

Quadripole capacitéQuadripole

s

smc s h AΦ Φ

=

1 01

1 1

0 1

résistance

θ θ

θ

c s s

c s s

h Amc s

= +

= +

1 Φ

Φ Φ

et si on remplace la seconde dans la première, on obtient : ( )Φ e s e smc s hA= + −θ θ θ

Avec les transformées de Laplace inverses : ( )Q mc dTdt

T T hAe e s= + −

avec : Te º T température du solideTs º T4 température ambiante (supposée constante)

L’équation générale devient :

avec τ dTdt

T Th A

Qe+ = +∞1 τ = m c

h A


CHAPITRE 5 : CONDUCTION UNIDIRECTIONNELLE …...La méthode du gradient nul est donc valable pour de...

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