76

Chapitre 3

Sensibilité des solutions numériques d'un code CFD auxentrées de la simulation : convection mixte dans une cavité

3.0 - IntroductionCe chapitre constitue la première de nos 2 études de cas portant sur la sensibilité des résultats

numériques CFD aux entrées de la simulation, avant de nous consacrer ensuite à la ventilation

naturelle d'un local par une ou deux grandes ouvertures. Nous nous intéressons à l'écoulement de

convection mixte se produisant au sein d'une cavité ouverte creusée dans le plancher d'une

soufflerie. Nous examinons l'impact de différents paramètres de la simulation numérique. Nous

nous intéressons essentiellement au champ de vitesse dans la cavité, ainsi qu'aux échanges de

chaleur entre les parois de la cavité et l'écoulement extérieur. Notre étude de sensibilité porte sur la

dimension du maillage, le choix du modèle de turbulence et les conditions aux limites à l'entrée du

jet principal dans le tunnel de la soufflerie. Nous confrontons nos résultats numériques à des

résultats expérimentaux de la littérature.

3.1 - Synthèse bibliographique

3.1.1 - Observations expérimentalesConsidérons un plan horizontal interrompu par un échelon descendant, ainsi que décrit sur la figure

3.1. Lorsqu'un jet souffle parallèlement à ce plan horizontal, il ne vient recoller le plan bas de

l'échelon qu'après une zone de décollement : un tel écoulement est dit de séparation. Le même type

d'écoulement se produit lorsqu'une cavité est creusée dans le plan horizontal. A l'interface entre le

jet extérieur et la cavité se développe une zone dite zone de mélange, où la vitesse du fluide varie

des faibles vitesses côté cavité aux vitesses maximales côté jet (figure 3.1). Cette zone est une zone

de cisaillement.

Ce type d'écoulement a été l'objet de nombreux travaux. En particulier, de nombreuses études ont

été consacrées à l'étude de la convection mixte dans une cavité ouverte chauffée, cette configuration

présentant de nombreuses applications, aussi bien industrielles (collecteurs de capteurs solaires,

centrales nucléaires) qu'architecturales (rues en U dans les sites urbains); enfin, une telle

configuration peut être vue comme une représentation schématique d'une pièce ouverte sur

l'extérieur et soumise au vent.

77

Fig. 3.1. Ecoulement de séparation.

Des travaux expérimentaux ont été menés à ce sujet au moyen d'une soufflerie, dans le plancher de

laquelle est creusée une cavité parallélipipédique. L'écoulement imposé est défini par son profil devitesse (en particulier la vitesse maximale dans l'écoulement libre en amont de la cavité, U∞ ), sa

température T∞, et ses caractéristiques turbulentes. La cavité est caractérisée par sa géométrie, en

particulier le rapport de sa hauteur D à sa largeur W' . Ses parois sont chauffées et portées à latempérature Tw (fig. 3.2).

paroi chauffée

U • , T •

TwD

W'

Fig. 3.2. Cavité ouverte chauffée creusée dans le plancher d'une soufflerie.

Allure de l'écoulement

L'écoulement principal dans la soufflerie n'est pas perturbé par la présence de la cavité tant que le

rapport D

W' de sa hauteur à sa largeur n'est pas trop important : Seban (SEBAN, 1965) souligne que

si le rapport D

W' est grand, la couche de cisaillement libre qui se développe à partir du point de

séparation vient buter sur la paroi verticale aval, et est en partie déviée à l'intérieur de la cavité. Si

au contraire ce rapport est petit, le rattachement se produit sur la paroi horizontale du fond. Ceci est

confirmé par la visualisation d'écoulement réalisée par Yamamoto (YAMAMOTO et al., 1979) :

elle montre qu'à mesure que D

W' augmente, le point de rattachement sur le fond de la cavité se

déplace vers la paroi verticale aval, et apparaît une circulation de taille croissante, qui finit par

occuper toute la cavité, associée à des recirculations plus petites dans les coins de la cavité (fig.

3.3). Ces recirculations peuvent être de nature instable (EL TELBANY, MOKHTARZADEH-

DEGHAN, 1985a) .

78

Yamamoto et al. (YAMAMOTO et al., 1983) se sont intéressés au cas où les parois verticalesamont et aval ont des hauteurs différentes, respectivement D1 et D2 : ils ont pu observer qu'à

nombre de Reynolds constant, des variations du rapport D2 D1 induisaient des modifications

significatives de l'écoulement.

Fig. 3.3. Visualisation de l'écoulement dans la cavité d'après (YAMAMOTO et al., 1979) .

U∞ =1.6 m/s.

Turbulence de l'écoulement

L'essentiel de l'énergie turbulente se situe au niveau de la couche de mélange qui se développe à

partir du point de séparation. Par contre, l'énergie de turbulence est faible dans la cavité, et

pratiquement uniforme (EL TELBANY, MOKHTARZADEH-DEGHAN, 1985a; YAMAMOTO et

al., 1983) .

Echanges de chaleur

Le régime de convection mixte est caractérisé par le nombre d'Archimède, Ar =Gr

Re2 . Ce nombre

indique la part relative des forces gravitationnelles par rapport aux forces d'inertie. La dimension

caractéristique du problème est prise égale à D ou W' suivant les auteurs. Dans le cas général, nous

la noterons d .

79

Lorsque le nombre d'Archimède est élevé, les forces gravitationnelles sont prépondérantes, et en

particulier l'orientation de la cavité par rapport au champ de pesanteur est essentielle

(HUMPHREY, TO, 1986; PENOT, PAVLOVIC, 1986) .

De nombreux auteurs se sont attachés à quantifier la contribution du jet principal à l'évacuation de

la chaleur émise par les parois de la cavité.

Les échanges de chaleur par convection entre les parois de la cavité et l'écoulement principal

peuvent être caractérisés, en un point d'abscisse x de la paroi chauffée, par un coefficient d'échange

local :

h(x) =qw(x )

Tw(x) − Tref

où qw est la densité de flux émise par la paroi au point considéré, et Tref la température de référence

choisie. Cette température de référence peut être prise égale à T∞ (YAMAMOTO et al., 1983) , ou

encore à la température des parois adiabatiques de la soufflerie (SEBAN, 1965) .

Les transferts thermiques le long des parois chauffées de la cavité peuvent être représentés de façon

adimensionnelle par le biais d'un nombre de Nusselt local :

Nud(x) = h(x)dλ

On peut également les quantifier d'une façon plus globale grâce à un nombre de Nusselt moyen :

Num = hmdλ

où hm est le coefficient d'échange moyen le long des parois de la cavité.

Yamamoto et al. ont réalisé des tests pour différentes valeurs du nombre de Reynolds. Ces tests ont

fait apparaître l'existence de 3 zones de comportements distincts concernant les échanges de chaleur

(YAMAMOTO et al., 1979) :

- une zone laminaire,

- une zone transitoire,

- une zone turbulente.

Fig. 3.4. Schéma de principe de l'écoulement dans la cavité.

Les limites entre ces différentes zones en termes de nombre de Reynolds sont fonction de la

géométrie de la cavité. Des corrélations ont été établies entre nombre de Nusselt et nombre deReynolds : il en ressort que Num est proportionnel à ReD( )n , l'exposant n dépendant du régime

80

d'écoulement. Il varie suivant les auteurs entre 0.5 et 0.8 (FOX, 1965; IDERIAH, 1980; SEBAN,

1965; YAMAMOTO et al., 1983) .

Si on s'intéresse à la distribution du coefficient d'échange le long des parois chauffées, on constate

que les valeurs maximales sont atteintes le long de la paroi verticale aval, et que des valeurs plus

faibles sont observées le long de la paroi verticale amont, avec existence d'un minimum dont la

position est fonction de la géométrie de la cavité (SEBAN, 1965) . Ceci s'explique par le fait que la

température du fluide dans la cavité s'élève à mesure que l'écoulement se fait de l'aval vers l'amont

le long des parois chauffées (figure 3.4), d'où une diminution des échanges.

3.1.2 - Simulation numériqueOutre les études expérimentales, certains auteurs ont cherché à reproduire les différents phénomènes

observés expérimentalement par la simulation numérique. Signalons que toutes les études

numériques mentionnées ici, et recensées dans le tableau 3.1, sont en dimension 2. Tous ces

travaux, dès lors qu'ils sont consacrés à un écoulement turbulent, ont recours au modèle de

turbulence k -ε standard.

Mokhtarzadeh-Deghan et al. (MOKHTARZADEH-DEHGHAN et al., 1990) se sont intéressés aux

échanges de chaleur à travers le plan de l'ouverture : leurs résultats numériques ont révélé que l'effet

du degré d'ouverture de la cavité est limité si on compare le cas où la cavité est complètement

ouverte et celui où elle ne l'est qu'à moitié. Par contre, la position de l'ouverture est essentielle,

puisque les échanges de chaleur sont moindres quand l'ouverture est positionnée côté amont. Ils ontobservés par ailleurs que ces échanges augmentaient avec le nombre de Reynolds ReW' , et également

avec le rapport W' / D de la cavité.

El Telbany et al. (EL TELBANY, MOKHTARZADEH-DEGHAN, 1985a) ont pu prédire de façon

satisfaisante le module de la vitesse à l'intérieur d'une cavité chauffée, ainsi que l'énergie cinétique

de turbulence. Ils ont de plus observé (EL TELBANY, MOKHTARZADEH-DEGHAN, 1985b)

que l'existence d'un gradient de pression au sein de l'écoulement extérieur pouvait modifier la

position de la couche de cisaillement par rapport à la cavité, ainsi que son développement.

L'épaisseur de la couche limite approchant la cavité est aussi déterminante dans la forme de

l'écoulement. La géométrie de la cavité a également fait l'objet de leurs investigations : en

particulier, ainsi que Yamamoto et al. ont pu l'observer expérimentalement, El Telbany et al. ont

constaté que la hauteur relative des parois verticales amont et aval influence fortement l'allure de

l'écoulement dans la cavité. L'activité turbulente dans la cavité est également affectée.

Ideriah (IDERIAH, 1980) , pour une configuration géométrique un peu différente et schématiséedans le tableau 3.1, a, pour de faibles valeurs de nombre d'Archimède (ArW' •0.004) confronté les

valeurs de vitesse calculées dans la cavité à des données de la littérature, et a constaté un bon

accord.

81

Ref. Gammes de Re

et de Ar

Conditions en

vitesse et

turbulence en

entrée

Nombre de

cellules

dans la

cavité

Dimensions

de la cavité

W' × D

(m× m)

description schématique

(parties hachurées =

parties chauffées)

R1ReW =2 105,

Ar =0

exp. pour u , v

et k

th. pour ε

environ

28 × 32

0.23 × 0.23

El Telbany et al. (1985)

R2 ReW' non

précisé,

0.01•Ar •2.5

u = U∞,v = 0

k imposé, εdéduit par

calcul

31 × 31 -

Humphrey and To (1986)

R3

100 •ReHt•2000

0 ≤ Ar ≤ 0.1

Régime

laminaire

th. :u = u(y),v = 0

- -

Yamamoto et al. (1982)

R4ReW =1.5 105

Ar non précisé u = U∞,v = 0- -

Chin et al (1972)

R5 104 •ReW' •2 105

0• Ar •0.4

u = U∞,v = 0 37× 37

-

Ideriah (1980)

R6 105•ReW' •106

3 10-4• Ar •0.03

exp. 23× 23 0.306× 0.306

Mokhtarzadeh-Deghan et al.

(1990)

Tableau 3.1. Synthèse des conditions de modélisation de quelques études de référence.exp. signifie d'après données expérimentales, th. signifie d'après représentation théorique; - signifie

absence d'information. Légende des études référencées : R1 El Telbany et al. (1985), R2Humphrey and To (1986), R3 Yamamoto et al. (1982), R4 Chin et al (1972), R5 Ideriah (1980), R6

Mokhtarzadeh-Deghan et al. (1990).

82

Nous nous intéressons dans ce qui suit aux conditions d'obtention de ces résultats numériques. Les

conventions de notations pour la représentation du problème sont indiquées sur la figure 3.5.

Fig. 3.5. Conventions de notation ( l * : longueur développée au point B).

Les conditions thermiques aux parois de la cavité consistent en une température imposée, sur toutes

les parois de la cavité ou seulement sur le fond, selon le cas. L'utilisation du modèle de turbulence

k − ε standard avec lois de parois définit les conditions pour les caractéristiques turbulentes aux

parois.

Concernant les conditions en entrée, elles peuvent être obtenues soit directement d'après des

données issues de mesures expérimentales, soit par une modélisation théorique (tableau 3.1). Pour

ce dernier choix, différentes possibilités de représentation du profil de vitesse peuvent être

rencontrées dans la littérature. La plus simple consiste à imposer un profil de vitesse uniforme, avec

une composante verticale de la vitesse nulle. Imposer un tel profil directement à l'abscisse du bord

aval de la cavité revient à négliger les effets du plancher de la soufflerie en amont de la cavité, ainsi

que l'effet perturbateur de la cavité en amont. Ceci est le cas de (MOKHTARZADEH-DEHGHAN

et al., 1990) et de (EL TELBANY,MOKHTARZADEH-DEGHAN, 1985b) . Une autre possibilité

est d'inclure dans le domaine de simulation une partie de la soufflerie en amont de la cavité, de

façon à ce qu'une couche limite ait le loisir de se développer. Nous examinerons ultérieurementl'incidence de l'un et l'autre choix. Nous noterons Lamont la distance du point d'entrée du domaine de

calcul au bord amont de la cavité.

Toutes les références citées ne prennent pas en compte dans la simulation la présence du plafond de

la soufflerie, à l'exception de l'étude de Yamamoto et al. (YAMAMOTO et al., 1982) , qui

s'intéresse à un écoulement laminaire et qui définit le profil de vitesse à l'entrée du domaine de

calcul en considérant un écoulement plan de Poiseuille. Ceci est fait par l'intermédiaire d'une

condition de symétrie à la frontière supérieure du domaine. Pour que cette hypothèse soit justifiée et

n'influence pas l'écoulement dans la cavité, il importe que cette frontière supérieure soitsuffisamment éloignée de la cavité : une distance Ltop égale à la hauteur de la cavité par rapport au

plancher de la soufflerie est considérée comme suffisante.

83

Les conditions en vitesse à la sortie de l'écoulement sont déduites des conditions en entrée de façon

à ce qu'il y ait conservation de la masse, la composante verticale de la vitesse étant prise nulle. La

position de cette entrée doit être telle que les conditions somme toute arbitraires qui y sont imposéesne perturbent pas l'écoulement dans la cavité. Selon les auteurs, Laval varie de 4W' à 6W' .

3.2 - Résolution numérique du problème et sensibilité de la solution

aux entrées de la simulation

3.2.1 - Conditions générales de simulationDans ce paragraphe nous recherchons à l'aide du code Fluent la solution numérique de l'écoulement

de convection mixte se produisant dans une cavité chauffée creusée dans le plancher d'une soufflerie

(REGARD, GUARRACINO, 1994) . Nos simulations se font en 2-D, en régime stationnaire et

turbulent. Sauf mention contraire, nous employons le modèle de turbulence k − ε standard. Dans

tous les cas, les coefficients empiriques des modèles de turbulence, tels que décrits au chapitre 2,

sont inchangés. En dehors de la masse volumique, qui varie suivant la loi des gaz parfaits, toutes les

propriétés de l'air sont considérées comme constantes.

Nous nous référons aux travaux expérimentaux de Seban (SEBAN, 1965) . Dans cette étude, toutes

les parois de la cavité sont chauffées. Les conditions d'expérimentation, qui nous serviront pour une

confrontation ultérieure avec nos résultats numériques, sont données dans le tableau 3.2. Pour

décrire le problème, nous adoptons pour la suite, sauf indication contraire, la géométrie de la figure3.6 pour le domaine de calcul (Lamont = 0).

D × W' (m× m) 5.21 10-2× 10.26 10-2

U∞ (m/s) 48.77

T∞ (K) 302.4

Tw (K) 313.56

Tableau 3.2. Conditions expérimentales de Seban (1965).

Fig. 3.6. Géométrie du domaine de calcul.

84

Les conditions aux limites sont les suivantes : en entrée, nous imposons un profil de vitessehorizontale uniforme U∞ . L'intensité de turbulence est constante, la longueur caractéristique de

l'écoulement est prise égale à D . La température de soufflage T∞ est également constante. Sur

toutes les parois, une condition de non glissement est imposée et les conditions en turbulence,

propres au modèle de turbulence employé, sont décrites au chapitre 2. Dans un premier temps, sauf

indication contraire, nous aurons recours au modèle de turbulence k − ε standard, avec lois deparois. Les parois de la cavité sont chauffées et portées à la température Tw. Les autres parois sont

adiabatiques.

3.2.2 - Choix de la grilleLes contraintes concernant le choix de la grille ont été énoncées au chapitre 2. Dans ce cas

particulier, on veillera à affiner le maillage le long des parois chauffées de la cavité, le long du

plancher de la soufflerie ainsi que dans la zone de mélange, régions à forts gradients. Une

détermination préalable des nombres adimensionnels caractérisant le problème à résoudre (nombre

de Reynolds par exemple) peut aider à donner des ordres de grandeur facilitant le choix de la grille,

tel que l'épaisseur des couches limites.

Pour évaluer l'influence de la taille de la grille sur les résultats obtenus, nous avons résolu

numériquement notre problème avec des grilles de tailles différentes. Ces différents cas sont

synthétisés dans le tableau 3.3, du maillage le plus grossier (cas 1) au maillage le plus fin (cas 9).

Cas

n°

Nombre

total de

cellules

Nombre

de cellules

dans la

cavité

Taille des cellules dans la cavité :

maximum/minimum/moyenne

(rapportée à la taille de la cavité dans la direction

correspondante)

direction x direction y

1 42 × 20 17 × 9 6.5 10-2 / 4.2 10-2 / 5.9 10-2 1.3 10-1 / 8.73 10-2 / 1.1 10-1

2 62 × 29 26 × 14 4.2 10-2 / 3.3 10-2 / 3.8 10-2 7.77 10-2 / 6.16 10-2 / 7.1 10-2

3 82 × 38 35 × 18 3.2 10-2 / 2.1 10-2 / 2.8 10-2 6.48 10-2 / 4.38 10-2 / 5.5 10-2

4 122 × 56 53 × 27 2.6 10-2 /1.4 10-2 / 1.9 10-2 4.3410-2 / 2.72 10-2 / 3.7 10-2

5 162 × 74 71 × 36 1.6 10-2 / 1.0 10-2 / 1.4 10-2 3.210-2 / 2.2 10-2 / 2.8 10-2

6 182 × 82 80 × 40 1.4 10-2 / 8.9 10-3 / 1.25 10-2 2.9 10-2 / 1.8 10-2 / 2.5 10-2

7 202 × 90 89 × 44 1.3 10-2 / 8 10-3 / 1.1 10-2 2.7 10-2 / 1.6 10-2 / 2.3 10-2

8 242 ×110

107 × 54 1.2 10-2 / 5.2 10-3 / 9.3 10-3 2.4 10-2 / 1.1 10-2 / 1.8 10-3

9 322 ×146

143 × 72 8.1 10-3 / 5.2 10-3 / 6.7 10-3 1.6 10-2 / 1.1 10-2 / 1.4 10-2

Tableau 3.3. Différentes grilles cartésiennes employées.

85

Cet exercice de subdivisions successives ne peut être poursuivi indéfiniment, ceci en particulier

pour 2 raisons. D'une part, augmenter la densité du maillage implique une diminution de la taille

des cellules au voisinage des parois, qui doit être compatible avec la zone de validité des différents

modèles de turbulence disponibles en termes de distance du noeud le plus proche de la paroi à celle-

ci. D'autre part, lorsque le maillage est tel que la dimension caractéristique des cellules est très

petite, les erreurs d'arrondi peuvent devenir importantes lors des opérations matricielles nécessaires

à la résolution des équations.

Dans les travaux recensés dans la littérature ayant recours à des méthodes numériques, il est

fréquent de constater l'absence d'information concernant la définition des grilles de discrétisation.

C'est pourquoi les champs correspondants du tableau 3.1 sont parfois non renseignés. Toutefois, à

titre de comparaison avec les données du tableau 3.3, le tableau 3.4 indique, pour les références le

permettant, les dimensions moyennes des cellules, rapportées aux dimensions de la cavité. Les

valeurs correspondantes des nombres de Reynolds et d'Archimède sont également rappelées.

Signalons que l'expérimentation de Seban que nous reproduisons correspond à un nombre deReynolds Rew de 3.3× 105, et un nombre d'Archimède Arw extrêmement faible, puisque de 1.6 10-

5. On constate à la lecture de ce tableau d'une part que nous nous situons dans une gamme de Rew

et de Arw similaire par rapport aux références R1 et R6, d'autre part que les tailles de grille que nous

considérons comprennent des dimensions voisines de celles de ces 2 cas, qui se situent plutôt dans

la partie inférieure de la fourchette.

Référence Gamme de Rew

et de Arw

Taille moyenne des cellules

(rapportée à la taille de la cavité dans la

direction correspondante)

R1

El Telbany et al. (1985)

Arw = 0

Rew = 2×1053.6 10-2 × 3.1 10-2

R6

Mokhtarzadeh-Deghan et

al. (1990).

105 ≤ Rew ≤ 106

3×10−4 ≤ Arw ≤ 0.034.3 10-2 × 4.3 10-2

Tableau 3.4. Dimension de la grille dans la cavité. Comparaison avec d'autres études numériques.

La structure globale de l'écoulement, telle qu'observée au cours des expérimentations décrites au

§3.1.1, est correctement prédite par nos simulations numériques et varie peu d'un cas à l'autre (fig.

3.7). Mais avec un maillage manifestement insuffisant (cas 1 et 3 notamment), certains phénomènes

ne sont pas décrits. Ainsi, la recirculation se produisant dans le coin inférieur aval de la cavité n'est

visible qu'avec un maillage très fin. Rappelons que les cas 3, 5 et 9 sont constitués à partir de la

grille du cas 1 dont on double le nombre de lignes dans les 2 directions de l'espace à chaque étape.

Une observation plus précise des résultats obtenus pour les différentes grilles recensées dans le

tableau 3.3 permet de quantifier l'effet des variations de la grille de discrétisation sur les résultats.

La figure 3.9 illustre l'incidence du choix de la grille sur les vitesses atteintes dans la cavité, en

particulier sur les vitesses maximales atteintes le long des parois : on voit que la finesse de grille

86

agit essentiellement sur l'évaluation des contraintes de cisaillement aux parois, une grille trop lâche

ne permettant par une description correcte des couches limites se développant le long des parois

chauffées. On observe ainsi un rapport 2 sur l'estimation de la vitesse maximale le long de la paroi

verticale amont entre le cas 1 et le cas 9. Les mêmes phénomènes peuvent être observés concernant

le champ de température : on voit sur la figure 3.10 qu'une grille trop lâche conduit à une sous-

estimation des flux thermiques aux parois, et par conséquent à des températures plus faibles dans la

cavité. Ceci apparaît sur la figure 3.8, où l'on voit que plus le maillage est grossier, plus les régions

chaudes sont concentrées au voisinage des parois chauffées, sans s'étendre à l'intérieur de la cavité.

Il parait intéressant de rechercher un critère global permettant de vérifier la validité de la grille

adoptée. On peut considérer que le domaine physique a été discrétisé avec suffisamment de

précision dès lors que la solution obtenue est indépendante du maillage. Il nous faut donc observer

l'évolution avec la taille du maillage d'une grandeur globale caractéristique de l'écoulement.

Différentes grandeurs peuvent être envisagées : nous avons retenu la température moyenne dans la

cavité (fig. 3.11), la vitesse moyenne dans la cavité (fig. 3.12) et le coefficient d'échange convectif

moyen (fig. 3.13). On voit sur la figure 3.11 qu'assez rapidement, la courbe décrivant l'évolution de

la température moyenne dans la cavité a tendance à s'infléchir. Ceci signifie que la solution obtenue

tend à devenir spatialement indépendante. L'amplitude totale des variations de la température

moyenne dans la cavité, adimensionnée, est de l'ordre de 100% par rapport au cas 1. Mais en termes

de variations de la température moyenne absolue dans la cavité, exprimée en Kelvin, la variation par

rapport au cas 1 est de moins de 1% (de l'ordre de 2 K). Pour la vitesse moyenne adimensionnée,

l'amplitude des variations est d'environ 20% par rapport au cas 1, mais l'évolution observée n'est pas

monotone. Enfin, l'évolution du coefficient d'échange convectif moyen présente des variations

importantes, puisque l'amplitude constatée est d'environ 50% par rapport au cas 1. Il apparaît donc

que la stabilisation de la solution avec le raffinement du maillage est un phénomène très difficile à

observer au sens strict. Il est à noter que dans une telle démarche, deux effets simultanés ont leur

importance : d'une part, l'effet de la taille moyenne des mailles dans la cavité, d'autre part celui de la

taille des mailles au voisinage immédiat des parois. C'est pour distinguer ces 2 effets qu'ont été

créés 3 maillages intermédiaires, figurant en blanc sur la figure 3.11, et qui présentent des tailles de

cellules identiques au voisinage des parois de la cavité. On peut ainsi visualiser l'effet de la

précision des approximations en différences finies, indépendamment de la qualité de représentation

des couches limites.

Toutefois, des motivations telles que la limitation des ressources informatiques (mémoire vive

notamment) peuvent conduire à avoir des exigences moindres, une tolérance plus large, concernant

la stabilité de la solution avec l'évolution du maillage. C'est ainsi qu'en observant qu'entre les cas 6

et 9, le champ de vitesses varie dans des proportions négligeables, et la température moyenne dans

la cavité varie de moins de 2°C (soit moins de 1% de variation relative), nous limiterons nos

comparaisons ultérieures au cas 6.

87

cas 1

cas 3

cas 5

cas 9

Fig. 3.7. Champ de vitesse pour différentes grilles de discrétisation. A gauche, cavité entière : pour

une question de lisibilité, tous les vecteurs ne sont pas représentés pour les cas 3, 5 et 9. A droite,

zoom sur le coin inférieur aval de la cavité : tous les vecteurs sont représentés.

(les échelles de vitesse sont variables d'un graphe à l'autre, ainsi que des vues globales de la cavité

(à gauche) aux vues rapprochées (à droite)).

88

cas 1

cas 3

cas 5

cas 9

Fig. 3.8. Lignes d'égales valeurs de la température adimensionnée T* .

89

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0

V*

(-)

0.2 0.4 0.6 0.8 1x/W (-)

cas 1

cas 3cas 5cas 9

Fig. 3.9. Profil de vitesse à mi-hauteur de

l'ouverture pour différentes grilles de

discrétisation.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0

Τ∗ (−

)

0.2 0.4 0.6 0.8 1x/W (-)

cas 1cas 3cas 5cas 9

Fig. 3.10. Profil de température à mi-hauteur de

l'ouverture pour différentes grilles de

discrétisation.

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 2000

T*

moy

en (

-)

4000 6000 8000 10000 12000

nombre de cellules dans la cavité

Fig. 3.11. Evolution de la température moyenne dans la cavité en fonction de la grille dediscrétisation (les points repérés ° ont été obtenus sans variation de la taille des mailles adjacentes

aux parois).

90

1.5 10-1

1.6 10-1

1.7 10-1

1.8 10-1

1.9 10-1

2.0 10-1

0 2000

V*

moy

en d

ans

la c

avité

(-)

4000 6000 8000 10000 12000

nombre de cellules dans la cavité

Fig. 3.12. Evolution de la vitesse moyenne dans la cavité en fonction de la grille de discrétisation.

65

70

75

80

85

90

95

100

h m (W/m

2 °C)

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

nombre de cellules dans la cavité

Fig. 3.13. Evolution du coefficient d'échange convectif moyen dans la cavité en fonction de la grille

de discrétisation.

Première confrontation avec les données expérimentales

Nous proposons à ce stade de confronter nos résultats numériques avec les résultats expérimentaux

obtenus par Seban, et d'examiner par la suite l'incidence de modifications des entrées de la

simulation sur la qualité de la confrontation avec les données expérimentales.

91

- Echanges de chaleur

Les échanges de chaleur sont quantifiés sous forme d'un coefficient local d'échange de chaleur :

h(x) =qw(x )

Tw(x) − Tref

Dans son étude, en référence à des résultats connus concernant les écoulements turbulents sur

plaque plane pour lesquels il existe une corrélation entre le nombre de Nusselt local et le nombre de

Reynolds à la puissance 0.8, Seban présente ses résultats concernant les échanges de chaleur par le

biais du groupement suivant :

h' =h

λ 0

µ0

ρsUs

0.8

λ 0 et µ0 étant respectivement la conductivité et la viscosité de l'air dans des conditions de

stagnation, et ρs et Us la densité et la vitesse du fluide dans l'écoulement extérieur au niveau de la

marche d'escalier. La température de référence choisie est la température des parois adiabatiques.

Pour faciliter la comparaison, nous adoptons les mêmes choix et formalismes.

Dans l'étude de Seban, le chauffage des parois de la cavité est assuré par des rubans métalliques

parcourus par un courant électrique. La puissance dissipée est donc connue. En dépit des

précautions prises, les fuites de chaleur côté parois solides sont inévitables : Seban a pu vérifier à

l'aide de sondes thermocouples que les pertes de chaleurs vers l'extérieur de la cavité étaient faibles

: l'erreur sur l'estimation des flux, maximale pour les faibles vitesses de l'écoulement extérieur, est

évaluée à 5%. La température de l'écoulement extérieur a été choisie comme température de

référence. Pour rendre possible la comparaison, nous avons fait de même. La figure 3.14 illustre le

résultat de cette comparaison : on observe que, comme les travaux expérimentaux l'ont montré, les

échanges de chaleur vont décroissant du bord aval vers le fond de la cavité, puis vers le bord amont.

De plus, on observe une discontinuité du profil du coefficient d'échange convectif aux coins de la

cavité, que l'on retrouve expérimentalement au coin aval. Toutefois, la simulation numérique sous-

évalue systématiquement les échanges de chaleur entre la cavité et son voisinage. Différentes

explications peuvent être avancées : rappelons que notre étude systématique du maillage nous avait

permis d'atteindre dans la cavité des coefficients d'échanges convectifs moyens plus importants avec

des maillages plus fins. Néanmoins pour le reste de notre étude, nous nous fixerons au maillage du

cas 6, en particulier pour des raisons de temps de calcul. Par ailleurs, l'erreur annoncée par Seban

sur l'estimation des flux de chaleur dissipés par les parois chauffées va dans le sens d'une

diminution des écarts entre nos résultats numériques et ses résultats expérimentaux.

92

0

1

2

3

4

5

6

0 coin amont

h' x

100

0.08 0.12 coin aval 0.2

longueur développée l* (m)

Simulation

Données expérimentalesSeban (1965)

Fig. 3.14. Echanges de chaleur le long des parois de la cavité.

-0.008

-0.004

0

0.004

0.008

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12x (m)

0.4

0.5

0.70.8

0.9

0.4 (exp.)0.5 (exp.)

0.7 (exp.)0.8 (exp.)

0.9 (exp.)

y (m

)

Fig. 3.15. Développement de la couche de mélange. Courbes d'égales valeurs de u

U∞

.

93

- Champ de vitesse

Dans l'étude de référence, il n'a pas été procédé à une mesure systématique de la distribution de la

vitesse dans la cavité. Les seules données de comparaison concernent le développement de la

couche de mélange de part et d'autre du plan de l'ouverture, qui peut être représenté par le biais de

profils de même valeur de u

U∞

(figure 3.15).

Globalement, on observe que la simulation numérique reproduit correctement les tendances

observées expérimentalement. Toutefois, la position de la couche de mélange est légèrement

décalée vers le haut dans la simulation numérique. Signalons cependant que compte tenu de la

faiblesse des distances en jeu (points de mesure répartis sur moins de 1 cm en hauteur), ce type de

mesure est très délicat, et nécessite un appareillage fin et de faible encombrement. Les conditions

expérimentales de Seban pour la mesure des vitesses ne sont pas mentionnées dans la publication à

laquelle nous nous référons.

3.2.3 - Choix du modèle de turbulenceNous examinons ici l'influence du choix du modèle de turbulence sur les résultats de la

confrontation avec l'expérimentation. Nous avons construit différents cas recensés dans le tableau

3.5, sur la base du cas 6. L'utilisation d'une fonction de paroi dans le cas 6-2 concerne l'évaluation

des transferts de chaleur turbulents. Il est à noter que pour le cas 6-3, pour lequel nous n'avons pas

eu recours aux fonctions de paroi, la grille a du être resserrée au voisinage des parois de la cavité.

Les figures 3.16 et 3.17 représentent les profils de température et de vitesse à mi-hauteur de la

cavité. Il peut être constaté que le modèle RSM apporte un gain sensible au niveau des températures

adimensionnées, de l'ordre de 15% par rapport au modèle k-ε standard. Compte tenu de l'identité

des maillages entre les cas 6-1 et 6-4, ceci tient à la seule précision du modèle RSM, supérieure à

celle des autres modèles. L'amplitude des variations pour la vitesse est moindre.

Cas n° Modèle de turbulence

6-1 k-ε standard

6-2 RNG k-ε avec fonction de paroi

6-3 RNG k-ε sans fonction de paroi (maillage

resserré aux parois de la cavité)

6-4 RSM

Tableau 3.5. Différents modèles de turbulence testés.

94

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0

T*

(-)

0.2 0.4 0.6 0.8 1x/W (-)

cas 6-1cas 6-2cas 6-3cas 6-4

Fig. 3.16. Profil de température à mi-hauteur de la cavité.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 0.2

V*

(-)

0.4 0.6 0.8 1x/W (-)

cas 6-1cas 6-2cas 6-3cas 6-4

Fig. 3.17. Profil de vitesse à mi-hauteur de la cavité.

95

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

h'x1

00 (

-)

6.0

7.0

8.0

0 0.1 0.2coin amont

longueur développée l* (m)

cas 6-1Exp.

cas 6-2cas 6-3cas 6-4

coin aval

Fig. 3.18. Echanges de chaleur dans la cavité : comparaison des différents modèles de turbulence.

Cas écart relatif moyen sur

l'estimation de h' par rapport aux

résultats expérimentaux (%)

6-1 36

6-2 25

6-3 18

6-4 34

Tableau 3.6. Ecart relatif moyen sur l'estimation des échanges de chaleur le long des parois de la

cavité.

La comparaison des résultats donnés par les différents modèles de turbulence concernant les

échanges de chaleur le long des parois de la cavité révèle (tableau 3.6, figure 3.18) que sur cette

configuration, les meilleurs résultats sont obtenus avec le modèle RNG k-ε. Dans tous les cas,

l'allure du profil du coefficient d'échange convectif le long des parois chauffées présente des points

singuliers aux coins de la cavité. Si nous nous intéressons au champ de vitesse dans la cavité, nous

pouvons confronter nos résultats numériques aux données expérimentales de Seban dans la zone de

mélange entre la cavité et le tunnel de la soufflerie (fig. 3.19). Il apparaît que si les résultats

numériques sont corrects quel que soit le modèle de turbulence, l'épaisseur de la couche de mélange,que l'on peut quantifier par la distance verticale entre la courbe (u / U∞ = 0.4) et la courbe

(u / U∞ = 0.9), tend à être surestimée par le modèle RNG k-ε sans fonction de paroi (de l'ordre de

70% pour le point de mesure le plus en aval).

96

-0.008

-0.004

0

0.004

0.008

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

standardεk-

x (m)

0.40.50.70.80.90.4 (exp.)

0.5 (exp.)0.7 (exp.)0.8 (exp.)0.9 (exp.)

y (m

)

-0.008

-0.004

0

y (m

)

0.004

0.008

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1x (m)

RNG k- ε avec fonctions de paroi

0.12

-0.008

-0.004

0

0.004

0.008

y (m

)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12x (m)

RNG k- ε sans fonction de paroi

-0.008

-0.004

0

y (m

)

0.004

0.008

0 0.02 0.04 0.06 0.08x (m)

0.1 0.12

RSM

Fig. 3.19. Zone de mélange, profils d'égales valeurs de u

U∞

.

Effectivement, le modèle RNG k-ε est réputé efficace pour prédire les écoulements avec séparation

tel que celui qui nous intéresse ici. De plus, de meilleurs résultats sont obtenus lorsqu'on évite de

recourir aux fonctions de paroi, en resserrant le maillage au voisinage de la cavité pour l'évaluation

des échanges convectifs, mais ceci implique le plus souvent une consommation supérieure en

espace disque. Ce résultat ne peut être généralisé à d'autres configurations, et est propre à cet

écoulement de séparation.

3.2.4 - Conditions en entréePour les configurations exposées jusqu'ici, nous ne disposions pas dans l'étude nous servant de

référence d'information concernant la couche limite se développant en amont de la cavité (épaisseur

de couche limite, intensité de turbulence). Aussi avions-nous adopté un profil de vitesse uniforme

imposé immédiatement au bord amont de la cavité. Nous examinons ici dans quelle mesure la prise

en compte de la couche limite se développant en amont de la cavité est susceptible d'améliorer la

qualité de la prédiction numérique.

Notre étude de référence est cette fois celle de Yamamoto (YAMAMOTO et al., 1983) ., qui

présente l'intérêt de comprendre une description plus précise de la couche limite arrivant sur la

97

cavité, y compris une mesure de l'intensité de turbulence. La géométrie du problème est semblable à

la précédente, si ce n'est que seule la paroi du fond de la cavité est chauffée, et que les

caractéristiques de l'écoulement extérieur ont été mesurées 3 cm en amont de la cavité : le problème

sera donc modélisé en incluant une portion du plancher de la soufflerie en amont de la cavité. Les

caractéristiques turbulentes de l'écoulement principal sont mesurées à l'aide de sondes

vélocimétriques à fil chaud : une intensité de turbulence de 0.7 % est relevée. Le fond de la cavité

est chauffé électriquement par le biais d'une mince feuille métallique, et son fond est isolé pour

limiter les déperditions thermiques vers le bas. La puissance électrique dissipée est donc connue; la

température de surface est mesurée à l'aide de thermocouples. La température de référence pour le

calcul des coefficients d'échange convectif est la température de l'écoulement extérieur.Les simulations présentées ici correspondent à ReW égal à 4.75× 104, la température du fond de la

cavité est de 320 K et celle de l'écoulement extérieur dans le tunnel de la soufflerie de 293 K.

3.2.4.1 - Importance des conditions en turbulence en entrée

Jusqu'à présent, faute de données à ce sujet, nous avons adopté pour le jet extérieur des conditions

en turbulence arbitraires : la dimension caractéristique de l'écoulement a été prise égale à la hauteur

de la cavité (c'est-à-dire au diamètre de la soufflerie), et l'intensité de turbulence égale à 10-9%. Ce

choix arbitraire a été validé par une série de tests que nous avons menés concernant les conditions

en turbulence dans le jet principal : la comparaison des résultats obtenus en adoptant une intensité

de turbulence de 1% puis de 5% montre un écart allant jusqu'à 15% sur l'estimation des vitesses, et

de 0.3 à 0.4 % sur celle du champ de température dans la cavité. La sensibilité des résultats au choix

de l'échelle de turbulence est nettement moindre : un écart inférieur à 2‰ sur les champs de vitesse

et de température est constaté lorsqu'on passe d'une échelle caractéristique de 5 cm à une échelle de

50 cm.

Cela signifie que pour ce type d'écoulement et pour la gamme de nombres de Reynolds et

d'Archimède où nous nous situons, les effets de la turbulence sont relativement mineurs devant les

effets moyens.

3.2.4.2 - Importance de la prise en compte du profil de couche limite

Nous avons cherché à comparer les résultats obtenus par simulation numérique selon que le profil

de vitesse dans l'écoulement extérieur est imposé à l'abord immédiat de la cavité ou en amont de

celle-ci. La figure 3.20 permet cette comparaison, portant sur la prédiction des échanges de chaleur

le long des parois de la cavité. On voit clairement qu'une amélioration significative de la prédiction

se produit lorsque le développement de la couche limite en amont de la cavité est rendu possible.

Toutefois, sur le tiers amont du fond de la cavité, les écarts par rapport aux résultats expérimentaux

restent importants et peuvent atteindre 50%. Rappelons que l'un et l'autre cas ont été construits avecen condition d'entrée une vitesse de jet uniforme U∞ . En effet, la reproduction par la simulation

numérique du profil de couche limite mesuré expérimentalement s'avère extrêmement délicate, et

98

nécessite la prise en compte en amont de la cavité d'une grande portion du plancher de la soufflerie.

Il faut ensuite procéder par tâtonnements successifs jusqu'à avoir à l'abscisse souhaitée le profil de

couche limite observé expérimentalement. Une telle procédure est susceptible de donner des

résultats encore meilleurs que ceux présentés sur la figure 3.20. Toutefois on comprend aisément

qu'elle ne peut être systématisée compte tenu des ajustements qu'elle nécessite.

10

20

30

40

50

60

70

80

h (W/m

2 °C)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x/W (-)

Lamont

= 0Exp. Yamamoto et al.

Lamont

= 3W/5

Fig. 3.20. Coefficient d'échange convectif le long du fond chauffé de la cavité, (a) Lamont = 0, (b)

Lamont = 3W' /5.

3.3 - ConclusionNous avons analysé l'aptitude du code CFD Fluent à reproduire un écoulement de convection mixte

dans une cavité creusée dans le plancher d'une soufflerie. Notre étude met en évidence la forte

sensibilité de la solution numérique à la taille de la grille de discrétisation. Une stabilisation stricte

de la solution est difficile à observer, et le choix final de la grille est en partie guidé par des

considérations telles que le coût de calcul.

Sur cet écoulement de séparation, le modèle de turbulence RNG k − ε semble donner les meilleurs

résultats pour la prédiction des échanges de chaleur, conformément à sa réputation.

Concernant les conditions de soufflage, si les conditions en turbulence semblent peu déterminantes,

la prise en compte du profil de couche limite amont apparaît comme essentielle.

La démarche systématique que nous avons eu ici est rarement présente dans la littérature : la

stabilité des solutions numériques vis-à-vis du maillage est sans doute une préoccupation des

utilisateurs des codes CFD, mais peu d'entre eux font état dans leurs publications de leurs

investigations à ce sujet. En ce sens notre étude met l'accent sur la nécessité de considérer avec

99

prudence tout résultat numérique issu d'un code de champ. Nous garderons ceci à l'esprit pour la

suite de notre travail. Dans le chapitre suivant nous poursuivons notre examen de l'aptitude d'un

code de champ à décrire les mouvements d'air dans le bâtiment, cette fois sur une configuration plus

pratique : un local ventilé par injection.

100