Chapitre 3 Régime sinusoïdal

Chapitre 3

Régime sinusoïdal

Justine Philippe

2JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 3

Sommaire

• Introduction

• Grandeurs électriques d’un signal sinusoïdal

• Notation complexe en régime sinusoïdal

• Puissance en régime sinusoïdal

• Quelques définitions supplémentaires

• Résolution par construction Fresnel

• Résonance dans les circuits électriques


Sommaire

• Introduction







JPH – CIR1/CNB1 – Chapitre 3

Introduction

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Introduction

Régime continu Régime transitoire Régime sinusoïdal

Résistances R, L, C R, L, C

Générateurs U, I continus

Générateurs U, I continus

Générateurs u, i sinusoïdaux


Introduction

5

Introduction

Les mêmes circuits RLC, mais étudiés dans le cas d’un régime variable (les tensions et intensités varient au cours du temps) permanent (ces variations sont périodiques).

Plan :

• Définition d’une grandeur sinusoïdale• Notation complexe

On traduit tout dans cette notation bien plus pratique !

Objectif : décrire les résonances d’un circuit RLC, les filtres électriques…


Introduction

5

Introduction

Remarque : l’étude du régime sinusoïdal va au-delà de l’électrocinétique

D’après la transformée de Fourier, tout signal peut se décomposer en somme de signaux sinusoïdaux.

Acoustique Optique ondulatoire Astronomie Physique des solides …


Sommaire

• Introduction








Grandeur sinusoïdale : graphe et équation type

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Grandeurs électriques en régime sinusoïdal

𝑥 𝑡 = 𝑋𝑚 cos 𝜔𝑡 + 𝜙

൞

𝑋𝑚 ∶ 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑𝑒 𝑑𝑢 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑎𝑙

𝜔 ∶ 𝑝𝑢𝑙𝑠𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑑. 𝑠−1

𝜙 ∶ 𝑝ℎ𝑎𝑠𝑒 à 𝑙′𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑑

En effet, sur la figure, le signal vérifie x(t = 0) = 0 et on a

nécessairement 𝜙 =𝜋

2.



9


𝑥 𝑡 = 𝑋𝑚 cos 𝜔𝑡 + 𝜙

Remarque :

En fonction des livres (ou des besoins), on peut aussi l’écrire sous la forme suivante :

La différence entre les deux écritures ne relève que d’un décalage (de 𝜋

2) sur l’axe

temporel de la fonction.

𝑥 𝑡 = 𝑋𝑚 sin 𝜔𝑡 + 𝜙



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Définition de la période T (en secondes [s]) :La période est l’intervalle de temps compris entre deux instants consécutifs où le signal se reproduit à lui-même. C’est la durée d’un motif élémentaire.

Définition de la fréquence f (en Hertz [Hz]) :La fréquence d’une grandeur périodique est le nombre de cycles (motifs) que la grandeur décrit en une seconde.

Relation entre période et fréquence : f = 1/T

Pulsation ω (en radian/seconde [rad/s]) : 𝝎 = 𝟐𝝅𝒇 =𝟐𝝅

𝑻


Déphasage

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Le déphasage est la différence de phase à l’origine des signaux étudiés. Ce déphasage peut être déterminé sur le graphe (au signe près) et est généralement compris entre –π et π.

Exemple : la tension VS est en avance sur la tension VE, le déphasage Δϕ de VS sur VE

est donc positif. On mesure :

Δ𝜙 =𝑑 × 2𝜋

𝐷

Déphasage en radian

d = distance VS à VE en msD = période


Déphasage

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La tension VS est en retard sur la tension VE, le déphasage est négatif.

Si la tension VS est en avance de plus d’une demi-période sur la tension VE, le déphasage Δϕ est théoriquement supérieur à π. On préfère alors dire que VE est en avance sur VS d’un déphasage Δ𝜙′ = 2𝜋 − Δ𝜙


Déphasage

13


Signaux en phase Signaux en opposition de phaseΔϕ = 0 Δϕ = π


Sommaire

• Introduction








Rappels mathématiques

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Notation complexe en régime sinusoïdal

• Un nombre complexe écrit dans sa forme cartésienne a pour expression : z = a + jba : partie réelle, b : partie imaginaire,j : nombre complexe (j² = -1)

Module : 𝑧 = 𝑎2 + 𝑏2

Argument : 𝜃 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 cos 𝜃 =𝑎

𝑧𝑒𝑡 sin 𝜃 =

𝑏

𝑧

• Nombre complexe écrit en coordonnées polaires :

𝑧 = 𝑟 cos 𝜃 + 𝑗 sin 𝜃 = 𝑟𝑒𝑗𝜃

Avec r le module et θ l’argument



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Soit un signal sinusoïdal x𝑥 𝑡 = 𝑋𝑚 cos 𝜔𝑡 + 𝜙

On lui associe une grandeur complexe x

𝑥 𝑡 = 𝑋𝑚𝑒𝑗(𝜔𝑡+𝜙) = 𝑋𝑚𝑒

𝑗𝜔𝑡𝑒𝑗𝜙

On définit également une amplitude complexe X

𝑋 = 𝑋𝑚𝑒𝑗𝜙 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑥 𝑡 = 𝑋𝑒𝑗𝜔𝑡



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On travaillera donc en notation complexe, mais il sera facile de revenir au signal réel :

• Retour au signal réel complet : 𝑥 𝑡 = 𝑅𝑒 𝑥 𝑡

• Retour à l’amplitude du signal réel : 𝑋𝑚 = 𝑋 = 𝑥(𝑡)

• Retour à la phase initiale : 𝜙 = 𝐴𝑟𝑔 𝑋

Toutes les informations dont nous avons besoin pour reconstituer le signal réel sont contenues dans l’amplitude complexe X


Représentation de Fresnel

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A la grandeur 𝑥 𝑡 = 𝑋𝑚 cos 𝜔𝑡 + 𝜙

On associe dans le plan complexe un vecteur de longueur Xm et dont l’angle avec l’axe horizontal est ωt + ϕ


Dérivation des signaux complexes

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La présence d’une exponentielle en notation complexe facilite la dérivation du signal :

• Pour dériver, multiplier le signal complexe par jω• Dérivée seconde : multiplication par (jω)², etc…

𝑑𝑥(𝑡)

𝑑𝑡= 𝑋𝑚𝑒

𝑗 𝜔𝑡+𝜙 ′= 𝑗𝜔𝑋𝑚𝑒

𝑗(𝜔𝑡+𝜙) = 𝑗𝜔𝑥(𝑡)

𝑑𝑥(𝑡)

𝑑𝑡= 𝑗𝜔𝑥(𝑡)


Dérivation des signaux complexes

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Vérifions qu’en prenant la partie réelle de 𝑗𝜔𝑥(𝑡), on obtient la dérivée du signal réel x(t) :

𝑗𝜔𝑥 𝑡 = 𝑗𝜔𝑋𝑚𝑒𝑗(𝜔𝑡+𝜙) = 𝑗𝜔𝑋𝑚 cos 𝜔𝑡 + 𝜙 + 𝑗𝑗𝜔𝑋𝑚 sin 𝜔𝑡 + 𝜙

= −𝜔𝑋𝑚 sin 𝜔𝑡 + 𝜙 + 𝑗𝜔𝑋𝑚 cos 𝜔𝑡 + 𝜙

𝑅𝑒 𝑗𝜔𝑥 𝑡 = −𝜔𝑋𝑚 sin 𝜔𝑡 + 𝜙

𝑥 𝑡 = 𝑋𝑚 cos 𝜔𝑡 + 𝜙 ⟺𝑑𝑥 𝑡

𝑑𝑡= −𝜔𝑋𝑚 sin 𝜔𝑡 + 𝜙


Intégration des signaux complexes

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Sur le même principe :

La primitive d’un signal complexe est obtenue en multipliant par 1/jω

න𝑥(𝑡) =1

𝑗𝜔𝑥(𝑡)


Intérêt de la notation complexe

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Régime forcé :

On parle de régime forcé lorsque l’on impose à un circuit une tension sinusoïdale délivrée par un générateur.

Après un régime transitoire, le circuit évolue de la même manière que le générateur à une fréquence identique de celui-ci.

Même pulsation ω



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1. Ecrire la loi des mailles2. La réécrire en notation complexe3. Remplacer le courant avec l’équation caractéristique du condensateur4. Déterminer l’expression de u(t)



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Loi des mailles :𝑢 𝑡 + 𝑅𝑖 𝑡 = 𝑒 𝑡

En notation complexe :

𝑢 𝑡 + 𝑅𝑖 𝑡 = 𝑒(𝑡) ⟺ 𝑢 𝑡 + 𝑅𝑖 𝑡 = 𝐸𝑒𝑗𝜔𝑡

Equation caractéristique du condensateur : 𝑖 𝑡 = 𝐶𝑑𝑢(𝑡)

𝑑𝑡

𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑖 𝑡 = 𝐶𝑑𝑢(𝑡)

𝑑𝑡= 𝑗𝐶𝜔𝑢 𝑡

On obtient : 𝑢 𝑡 + 𝑗𝑅𝐶𝜔𝑢 𝑡 = 𝐸𝑒𝑗𝜔𝑡 ⟺ 𝑢 𝑡 =𝐸𝑒𝑗𝜔𝑡

1+𝑗𝑅𝐶𝜔

Il n’y a plus d’équation différentielle à résoudre !



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Solution :

𝑢 𝑡 = 𝑈𝑒𝑗𝜙𝑒𝑗𝜔𝑡 =𝐸𝑒𝑗𝜔𝑡

1 + 𝑗𝜏𝜔𝑎𝑣𝑒𝑐 𝜏 = 𝑅𝐶

Amplitude de la solution réelle u(t) : Module

𝑈 = 𝑈 =𝐸𝑒𝑗𝜔𝑡

1 + 𝑗𝜏𝜔=

𝐸

1 + 𝜏²𝜔²

Phase de la solution réelle u(t) : Argument

𝜙 = 𝐴𝑟𝑔 𝑈 = 𝐴𝑟𝑔 𝐸 − 𝐴𝑟𝑔 1 + 𝑗𝜏𝜔 = 0 − 𝐴𝑟𝑔 1 + 𝑗𝜏𝜔

Donc tan𝜙 = −𝐼𝑚 1+𝑗𝜏𝜔

𝑅𝑒 1+𝑗𝜏𝜔= −𝜏𝜔



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La solution complexe est :

𝑢 𝑡 =𝐸𝑒𝑗𝜔𝑡

1 + 𝑗𝑅𝐶𝜔

Et la solution réelle est :

𝑢 𝑡 =𝐸

1 + 𝑅2𝐶2𝜔2cos 𝜔𝑡 − arctan 𝜏𝜔

La recherche de cette solution sans passer par la notation complexe aurait fait apparaître des calculs trigonométriques compliqués et nous aurions dû résoudre une eq. diff. à second membre dépendant du temps.

Même si la notation complexe demande une certaine gymnastique, les calculs, surtout pour des circuits élaborés, seront plus aisés.


Impédance et admittance complexes

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Soit une portion de circuit orienté en convention récepteur. En régime sinusoïdal forcé, on utilise une grandeur homogène à une résistance (exprimée donc en Ohm, Ω) qui est le rapport de la tension complexe par l’intensité complexe :

L’impédance complexe : 𝒁 =𝒖

𝒊

On définit aussi la grandeur inverse (en Siemens, S) :

L’admittance complexe : 𝒀 =𝟏

𝒁=

𝒊

𝒖



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Impédance d’un conducteur ohmique :

𝑍 =𝑢

𝑖=𝑅𝑖

𝑖= 𝑅

Facile



29


Impédance pour un condensateur :

𝑍 =𝑢

𝑖=

𝑢

𝐶𝑑𝑢𝑑𝑡

=𝑢

𝑗𝐶𝜔𝑢=

1

𝑗𝐶𝜔

Cela nous permet de définir le comportement en fréquence :

• Basses fréquences (ω → 0), Z tend vers l’infini puisque Z est homogène à une résistance, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert.

• Hautes fréquences (ω → ꝏ), Z tend vers zéro, le condensateur se comporte comme un interrupteur fermé.



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Impédance pour une bobine :

𝑍 =𝑢

𝑖=𝐿𝑑𝑖𝑑𝑡𝑖

=𝑗𝐿𝜔𝑖

𝑖= 𝑗𝐿𝜔

Cela nous permet de définir le comportement en fréquence :

• Basses fréquences (ω → 0), Z tend vers zéro, la bobine se comporte comme un interrupteur fermé.

• Hautes fréquences (ω → ꝏ), Z tend vers l’infini, la bobine se comporte comme un interrupteur ouvert.


Loi d’Ohm en notation complexe

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L’intérêt de cette impédance complexe réside dans l’écriture d’une loi d’Ohm valable pour les composants classiques (R, L, C) en régime sinusoïdal forcé.

Pour simplifier les calculs on peut donc écrire, pour chaque composant d’un circuit :

𝑢 = 𝑍 × 𝑖



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Le module de Z donne le rapport de l’amplitude de la tension par l’amplitude de l’intensité :

𝑍 = 𝑍 =𝑢

𝑖=𝑈𝑚𝐼𝑚

L’argument de Z donne le déphasage (avance de phase) entre la tension u(t) et l’intensité i(t) :

𝐴𝑟𝑔 𝑍 = 𝐴𝑟𝑔 𝑢 − 𝐴𝑟𝑔 𝑖 = 𝜙 − 𝜙′ = Δ𝜙



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Déphasage d’une bobine :

Sachant que Z = jLω, calculons le cosinus et le sinus de son argument :

cos Δ𝜙 =0

𝑍= 0 sin Δ𝜙 =

𝐿𝜔

𝐿𝜔= 1 𝑑𝑜𝑛𝑐 Δ𝜙 =

𝜋

2

→ La tension est donc en avance de phase de π/2 sur l’intensité



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Déphasage d’un condensateur :

Sachant que Z = 1/jCω, calculons le cosinus et le sinus de son argument :

cos Δ𝜙 =0

𝑍= 0 sin Δ𝜙 =

−𝐶𝜔

𝐶𝜔= −1 𝑑𝑜𝑛𝑐 Δ𝜙 = −

𝜋

2

→ La tension est donc en retard de phase de π/2 sur l’intensité


Lois de l’électrocinétique en notation complexe

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Les lois du chapitre 1 sont valables en notation complexe

Impédances en série 𝑍𝑒𝑞 = 𝑍1 + 𝑍2

Impédances en parallèle1

𝑍𝑒𝑞=

1

𝑍1+

1

𝑍2

Loi des nœuds, loi des mailles, diviseurs de tension et courant, Millman, superposition, Thévenin, Norton


Sommaire

• Introduction








Valeur efficace

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Puissance en régime sinusoïdal

Quand on mesure une tension sinusoïdale avec un voltmètre en position DC (Direct Composant), celui-ci nous donne sa valeur efficace.

La formule qui permet de calculer la grandeur efficace pour n’importe quel signal périodique est la suivante :

𝑋𝑒𝑓𝑓2 =< 𝑥 𝑡 2 >=

1

𝑇න0

𝑇

𝑥 𝑡 2𝑑𝑡

Où <x(t)²> est la valeur moyenne de x(t)² sur une période.

Dans le cas d’une grandeur sinusoïdale, la valeur efficace vaut :

𝑋𝑒𝑓𝑓 =𝑋𝑚

2


Puissance instantanée

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𝑝 𝑡 = 𝑢 𝑡 × 𝑖 𝑡

Si u(t) et i(t) sont sinusoïdaux :

𝑝 𝑡 = 𝑈𝑚 cos 𝜔𝑡 + 𝜙 × 𝐼𝑚 cos 𝜔𝑡 + 𝜙′

Remarque : la puissance instantanée oscille deux fois plus vite que la tension et l’intensité (pulsation 2ω) :

𝑝 𝑡 =𝑈𝑚𝐼𝑚2

cos 2𝜔𝑡 + 𝜙 + 𝜙′ + cos 𝜙 − 𝜙′


Puissance moyenne

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𝑃 =1

𝑇න0

𝑇

𝑝 𝑡 𝑑𝑡

On peut montrer dans le cas sinusoïdal que

𝑃 =𝑈𝑚𝐼𝑚2

cos Δ𝜙 = 𝑈𝑒𝑓𝑓𝐼𝑒𝑓𝑓 cos Δ𝜙

Remarque : la présence du déphasage entre tension et intensité dans l’expression de la puissance moyenne implique que celle-ci est nulle lorsque le déphasage est égale à π/2→ Dans le cas d’un condensateur ou d’une bobine, la puissance moyenne reçue est nulle


Sommaire

• Introduction








Quelques définitions supplémentaires

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Impédance complexe :

On appelle impédance complexe le rapport 𝑍 =𝑈

𝐼

Z est un nombre complexe de la forme suivante : Z = R + jXoù R est la résistance et X la réactance, |Z|, R et X s’expriment en Ohm (Ω)

Admittance complexe :

On appelle admittance complexe le rapport 𝑌 =𝐼

𝑈

Y est un nombre complexe de la forme suivante : Y = G + jBOù G est la conductance et B la susceptance. |Y|, G et B s’expriment en Ω-1


Fonction de transfert

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Rapport entre une tension de sortie et une tension d’entrée donnée.

Exemple :

La fonction de transfert en tension est le rapport : 𝑇 =𝑉𝑠

𝑉𝑒


Sommaire

• Introduction








Résolution par la représentation de Fresnel

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Résolution par construction Fresnel

La représentation de Fresnel est une image vectorielle de l’équation mathématique u(t) faite à l’instant t = 0

𝑢 𝑡 = 𝑈 cos 𝜔𝑡 + 𝜑 𝑈 = 𝑈 = 𝑈𝑚𝑎𝑥


Résolution par la représentation de Fresnel

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Exemple : Représenter les vecteurs de Fresnel associés aux tensions v1(t) et v2(t) suivantes. On choisit v1 comme origine des phases

𝑉1𝑚𝑎𝑥 = 220 𝑉 𝜙1 = 0°

𝑉2𝑚𝑎𝑥 = 110 𝑉 𝜙2 = −72°


Opérations sur les vecteurs

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L’utilisation des vecteurs de Fresnel permet notamment d’effectuer graphiquement (et simplement) des additions ou des soustractions de grandeurs sinusoïdales de même fréquence (lois des mailles et des nœuds).

Ainsi, dans l’exemple précédent, on peut graphiquement réaliser v1(t) + v2(t) ou encore v1(t) – v2(t)

Il suffit ensuite de mesurer la norme (module) et la phase des vecteurs pour trouver facilement l’expression temporelle.


Opérations sur les vecteurs

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Etude des circuits par construction de Fresnel

48


Circuit RC série :

On considère le circuit suivant : R = 100 Ω et C = 31,8 µF mis en série et traversé par un courant i(t) de fréquence 50 Hz et d’amplitude 0,17 A (choisie comme référence) :

Tracer le diagramme vectoriel des tensions et courant pour déterminer l’amplitude et la phase de u.


Etude des circuits par construction de Fresnel

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Tracer le diagramme vectoriel des tensions et courant :

On calcule ampl de Ur = ampl de Uc = 17V, phase R = 0 et phase C = –pi/2

Ԧ𝐼 𝑈𝑅

𝑈𝐶𝑈

- 45°


Méthode de Fresnel ou méthode des complexes

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Lorsqu’on a une seule relation entre les grandeurs sinusoïdales à traduire, la méthode de Fresnel est certainement plus intuitive.

Par contre, dès que l’on a plusieurs relations à traduire, les constructions géométriques deviennent laborieuses, tandis que la méthode des complexes permet une résolution élégante et rapide.


Sommaire

• Introduction








Circuit RLC et résonance

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Résonance dans les circuits électriques

Illustration dans le cas d’un circuit RLC série soumis à une

tension 𝑣 𝑡 = 𝑈 cos 𝜔𝑡



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𝑢 𝑡 = 𝑍 𝑖(𝑡)

Avec : 𝑍 = 𝑅 + 𝑗𝐿𝜔 +1

𝑗𝐶𝜔= 𝑅 + 𝑗 𝐿𝜔 −

1

𝐶𝜔

Le module Z de l’impédance est :

𝑍 = 𝑅2 + 𝐿𝜔 −1

𝐶𝜔

2



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𝑍 = 𝑅2 + 𝐿𝜔 −1

𝐶𝜔

2

L’impédance du circuit RLC varie avec la pulsation. Elle est

minimale pour la pulsation propre 𝝎𝟎 du circuit :

𝑍𝑚𝑖𝑛 = 𝑅 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝐿𝜔0 −1

𝐶𝜔0= 0 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝜔0 =

1

𝐿𝐶



55


𝜔0 =1

𝐿𝐶

Phénomène de résonance à 𝝎 = 𝝎𝟎

L’impédance est minimum et le courant présente un maximum



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Remarques :

1. On peut définir un facteur de qualité Q qui caractérise la largeur de la résonance

2. On peut étudier les résonances en tension et en courant

3. Nombreuses applications, par exemple : RADIO



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Remarques :

1. Le phénomène de résonance peut apparaître dans tous les systèmes oscillants, lorsqu’ils sont soumis à une excitation périodique de même fréquence que leur fréquence propre

La fréquence du vent a coïncidé avec la fréquence propre du pont (oscillation du réseau d’atomes, la fréquence propre dépend des matériaux)

Balançoire, poussée régulière à la fréquence d’oscillation naturelle


Récapitulatif (à savoir)

• Impédance complexe des composants passifs (R,L,C)

• Méthode de Fresnel

• Méthode des complexes



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Fin du Chapitre 3

Chapitre 3 Régime sinusoïdal

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