Chapitre 2 Partie 2

Math2matiques Financire Approfondies

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Mathmatiques Financires Approfondies M.BOITI

II- LES EMPRUNTS INDIVIS

1- Terminologie : - Emprunt indivis : emprunt accord par un prteur unique, gnralement une banque.

Lemprunteur peut tre une personne physique ou morale. Il peut tre accord plusieurs personnes physiques mutuellement solidaires, par exemple un couple.

- Capital et capital restant d : le capital ou le principal correspond au montant emprunt. Le capital restant du CRD est le capital non encore rembours (non amorti) au dbut ou la fin dune priode. Il correspond au capital diminu de la partie amortie, rembourse, du crdit.

- Amortissement : cest la fraction du capital qui a t rembourse la fin dune priode donne. - Annuit ou mensualit : il sagit de la somme paye par lemprunteur la fin de chaque priode

et qui correspond la somme de lamortissement et des intrts de la priode. - Cot total du crdit : il sobtient par laddition de lensemble des intrts sur toute la dure de

lemprunt. - Echancier ou tableau damortissement : document qui rcapitule toutes les caractristiques du

crdit en faisant apparaitre ligne par ligne le CRD en dbut de priode, le montant de lannuit, lamortissement, lintrt, le CRD en fin de priode.

2- Rgles applicables aux emprunts indivis : Lchancier de tous les emprunts indivis respecte les rgles suivantes :

- Lintrt vers en fin de priode est gal au CRD en dbut de priode multipli par le taux dintrt ;

- Lannuit est gale la somme de lintrt et de lamortissement ; - La somme des amortissements est gale au capital emprunt ; - Le CRD de la dernire priode est gal au dernier amortissement.

3- Principales modalits de remboursement dun emprunt indivis : Il existe cinq principales modalits de remboursement dun emprunt indivis :

a- Lamortissement constant : La part de capital rembourse la fin de chaque priode (amortissement) est constante et gale au

principal divis par le nombre de priodes.

A =

Exemple 4 :

Soit un emprunt de 100 000 Dhs remboursable par amortissements constants sur 4 ans au taux de 7%.

Priodes CRD dbut Intrts Amortissement Annuit CRD fin

1

2

3

4

Cout total =

b- Lamortissement in fine : Le principal est rembours en une fois la fin de lopration. Par contre, les intrts seuls sont pays la fin de chaque priode.


7


Exemple 5 :

Soit un emprunt de 100 000 Dhs remboursable par amortissement in fine au bout de 4 ans. T = 7%.


1

2

3

4

Cout total =

c- Le remboursement par un paiement unique la fon (zro-coupon) : Le principal et les intrts capitaliss sont pays en une seule fois en fin dopration : il ny a pas de versements intermdiaires.

Exemple 6 :

Soit un emprunt de 100 000 Dhs remboursable par un paiement unique, principal et intrts au bout de 4

ans. Taux dintrt 7%. a- Dterminer le montant de ce paiement unique. b- En dduire le cout total du crdit. c- Construire le plan damortissement de ce crdit.


1

2

3

4

Cout total =

d- Lamortissement en progression arithmtique ou gomtrique : Les amortissements sont progressifs ou dgressifs, formant une suite dont la somme des termes doit tre

gale au principal.

Exemple 7 :

Mr KIRAMI sadresse une banque pour emprunter 100 000 Dhs quil sengage rembourser en 4 ans. La banque accepte au taux dintrt de 7%. Elle lui soumet les deux propositions suivantes : Proposition 1 : amortissement de lemprunt de faon progressive en commenant par 10 000 Dhs la 1re anne, puis en augmentant de 10 000 Dhs chaque anne.


1

2

3

4

Proposition 2 : remboursement de lemprunt par un amortissement en progression gomtrique augmentant de 10% par an.

a- Dterminer le montant du 1er amortissement b- Complter le plan damortissement :


1

2

3

4

c- Quelle est la solution la plus avantageuse pour Mr KIRAMI.


8


e- Le remboursement par une rente constante : Cette rente constante peut prendre la forme de mensualits, annuits, Le total form par lintrt et lamortissement est constant pendant toute la dure de lemprunt. Le calcul du dcaissement constant, annuit, qui constitue la rente que lemprunteur doit verser au prteur est la premire opration raliser dans le but de construire le tableau damortissement.

V0 =

Do : a = V0

Exemple 8 :

Soit un emprunt de 100 000 Dhs remboursable par annuits constantes sur 4 ans. Taux dintrt 7%. a- Dterminer le montant de lannuit constante. b- Construire le plan damortissement de ce crdit.


1

2

3

4

Cout total =

Remarque :

La priodicit de remboursement est rarement mensuelle. Dans la pratique, les emprunts indivis proposs

par les banques donnent lieu le plus souvent des versements mensuels et parfois trimestriels.

4- Relations entre les diffrents lments dun emprunt indivis : a- Remboursement par annuits constantes :

La loi des amortissements

Les amortissements successifs suivent une suite gomtrique de raison (1 + i)

Ap = Ak (1 + i )p-k

avec p > k Par exemple A4 = A1 (1 + i)3

Relation entre le capital emprunt et les amortissements

V0 = A1 + A2 + A3 + .+ An

V0 = A1 i

i n 1)1(

Relation entre le dernier amortissement et lannuit constante a = An (1+i)

Capital rembours aprs le paiement de la pme

annuit

Rp = A1 + A2 + A3 + .+ Ap

Rp = A1 i

i p 1)1(

b- Remboursement par amortissements constants : Relation entre le capital emprunt et les amortissements

Le capital emprunt est gal la somme des amortissements :

V0 = A1 + A2 + A3 + .+ An = n A

Relation entre les annuits

Les annuits successives forment une suite arithmtique de raison (- A i)

Ak+1 = a k Ai

Relation entre la dernire annuit et lamortissement constant an = A (1 + i)


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5- Applications :

QCM 2 :

1- Parmi les affirmations suivantes relatives aux emprunts remboursables par rentes constantes, lesquelles sont exactes :

a- Ce type demprunt sadresse essentiellement aux entreprises b- Le remboursement par mensualits constantes est le plus pratiqu c- La priodicit semestrielle est courante au Maroc d- Lamortissement augmente dune priode une autre

2- Un emprunt bancaire de 30 000 Dhs au taux de 4% est rembours par une rente constante semestrielle sur 3 ans. Le dcaissement semestriel de lemprunt slve : a- 8 264,70 Dhs b- 7 874,96 Dhs, si le taux semestriel retenu est un taux quivalent c- 7 871,78 Dhs, si le taux semestriel retenu est un taux proportionnel d- Aucune rponse nest juste

3- Parmi les rgles suivantes lesquelles sont inexactes : a- La part dintrt verse en fin de priode est gale au principal de lemprunt b- Lamortissement est gal la somme de lintrt et de lannuit c- La part des intrts verss en fin de priode est gale au capital d en dbut de priode,

multipli par le taux dintrt de la priode d- La somme des annuits, dduction faite du principal, permet dobtenir le cout total du crdit.

Problmes :

P1 : une PME souhaite emprunter 400 000 Dhs sur 4 ans. Sa banque lui offre un taux de 7 % et lui

propose de choisir ses modalits damortissement. Lentreprise hsite entre un amortissement constant (mais elle craint davoir supporter une 1re annuit trop leve), un amortissement in fine (mais dans ce cas, sa dernire annuit serait trop leve), ou

encore une autre rpartition des remboursements sur les quatre priodes en tenant compte de ses

possibilits de trsorerie. Dans ce cas, lentreprise souhaiterait que ses 3 premires annuits stablissent respectivement 102 000 Dhs ; 111 000 Dhs ; 118 000 Dhs.

a- Etablir les tableaux damortissement de ces 3 modalits. b- Quelle est loption optimale pour cette entreprise ?

P2 : le salari dune banque souhaite emprunter 28 000 Dhs sur 10 mois. Sa banque, son employeur, lui accorde un taux annuel de 4,45%. Il souhaite que lamortissement de cet emprunt progresse de faon arithmtique sur les 10 mois et fixe le 1

er amortissement 1 000 Dhs.

a- Calculer la raison arithmtique de la suite des amortissements b- Prsenter les lignes : 1 ; 3 et 10 du tableau damortissement de cet emprunt.

P3 : lentreprise THERMOCLIM SARL, spcialise dans la commercialisation de matriel de climatisation, a besoin dun emprunt bancaire pour financer son extension. Ses capacits de remboursement annuelles slvent 145 000 Dhs.

a- Combien peut-elle emprunter au taux de 8% sur 7 ans ? sur 5 ans ? Finalement, lentreprise dcide demprunter 550 000 Dhs.

b- Construire lchancier des remboursements et calculer le cot total du crdit. Pour optimiser ses cots, le trsorier de lentreprise voudrait tudier loption de remboursements mensuels.

c- Calculer le cot total du crdit d- Choisir la meilleure solution pour cette entreprise.


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P4 : lentreprise BANBINE emprunte 500 000 Dhs au taux de 10% remboursables en 20 paiements trimestriels constants.

a- Calculer le montant de ce paiement trimestriel b- Prsenter la 1re ; la 10me et la dernire ligne du tableau damortissement c- Calculer le cout actuariel brut de cet emprunt si des frais de dossier de 0,02% du capital sont

prlevs en dbut dopration et quune assurance de 0,2% est prleve sur les paiements trimestriels.

P5 : la socit anonyme AZUMAR doit financer un investissement pour un montant de 2 000 000 Dhs.

Pour cela, elle contracte un emprunt sur 3 ans remboursable par une rente constante trimestrielle au taux

trimestriel de 1,25%.

a- Construire les 3 premires lignes du tableau damortissement. b- Calculer le cot actuariel net pour lentreprise en considrant des frais de dossier de 0,3% et un

taux dimpt sur les bnfices de 30%.

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