Chapitre 2 Descriptions Mathematiques Des Systemes Physiques

7/23/2019 Chapitre 2 Descriptions Mathematiques Des Systemes Physiques

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Cours Automatique Niveau : 2

ISET NABEUL - 20 - CHELBI Hassen

FICHE MATIERE

Unité d’enseignement : Automatique 1

ECUE n° 1 : Signaux et Systèmes Linéaires

Chapitre 2

Descriptions Mathématiques des Systèmes Physiques

Nombre d’heures/chapitre : 4h

Cours intégré

Système d’évaluation : Continu

OBJECTIFS DE L’ENSEIGNEMENT :

-Connaître les notions des signaux.

-Connaître les notions des systèmes et plus particulièrement les systèmes asservis : Système mono

variable ou multi variable.

CONTENU THEORIQUE :

Dans ce chapitre on s’intéresse à la classification des systèmes qui se répartie entre système mono

variable et multi variable

Nous présentant la description des systèmes continus linéaires invariants (SLCI), leurs

représentations, aussi que les équations différentielles et leurs résolutions tout en se basant sur la

transformée de Laplace et la résolution des fonctions de Transfert d’un système de premier ordre et

second ordre.





Chapitre II

Descriptions Mathématiques des Systèmes Physiques

1. Classification des systèmes :

Fig. II.1 : Classifications des systèmes.

Les systèmes qui nous intéressent sont les systèmes continus linéaires invariants.

2. Description des systèmes continus linéaires invariants (SLCI) :

2.1. Définitions :

a) Système continu :

Un système est continu si les signaux d’entrées et de sorties sont des fonctions continues (Figure

II.2) :

Fig. II.2

Entrée e (t)Système

Sortie s (t)

Système

monovariable ou

multivariable

Discret

Continu

VariantInvariant

Non linéaireLinéaire





b) Système causal :

Un système est dit causal si le signal d’entrée est nul pour un intervalle de temps négatif.

c) Système invariant :

On dit qu’un système est invariant lorsque les caractéristiques de son comportement ne varient

pas au cours du temps (Figure II.3).

Fig. II.3

2.2. Systèmes linéaires :

* Au sens mathématique : )(t f t → )()()( 2121 t f t f t t f λ λ λ λ +=+

Linéarité mathématique :

• Principe de superposition

Fig. II.4 : Principe de superposition

• Principe de proportionnalité

Fig. II.5 : Principe de proportionnalité.

* Invariance temporelle :

)(..)( τ τ −→→− t s LS t e

)(..)( τ τ +→→+ t s LS t e

Entrée e (t-τ)Système

Sortie s (t- τ)

e2(t) S.L.s2(t)

e1(t) S.L.s1(t)

e1(t) +e2(t) S.L.

s1(t) + s2(t)

e(t)S.L.

s(t) ke(t)S.L.

ks(t)





* Au sens physique :

Une fonction est linéaire au sens physique si elle est linéaire au sens mathématique, plus

l’invariance temporelle.

Exemple : circuit R, L, C.

2.3. Représentation de SLCI :

On considère un système physique représenté par son schéma bloc. Ce système est linéaire

lorsqu’il est décrit par une équation différentielle à coefficients constants.

m

m

mn

n

ndt

t ed b

dt

t ed b

dt

t debt eb

dt

t sd a

dt

t sd a

dt

t dsat sa

)(...

)()()(

)(...

)()()(

2

2

2102

2

210 ++++=++++

Pour les systèmes réels il faut que m<n

Exemples

1) circuit électrique :

)()()( t st i Rt e +=

)()(

)( t sdt

t ds RC t e += : Système linéaire (S.L.)

Fig. II.6: Circuit RC

2) système mécanique

2

2

dt

xd f

dt dx M Kx F e ++= : Système linéaire (S.L.)

Fig. II.7: Système mécanique.

3) système électromécanique :

2

2

dt

d J

dt

d f C C r M

θ θ ++=

Fig. II.7: Système électromécanique.

3. Résolution des équations différentielles

Pour résoudre une équation différentielle on utilise :

M

i

u(t)

Jω Chargef

e(t)

i

i

vc(t)

R

C

MK

x





Méthode classique

Equation différentielle :

Equation différentielle sans second membre : réponse équation libre s1(t)

Solution particulière : réponse forcée s2(t)

s(t) = s1(t) + s2(t).

Solution homogène : On pose e(t) = 0, on pose aussi 0)( =dt

t de

Solution particulière : on pose s(t) de la même manière que e(t).

Méthode de la transformée de Laplace

Cette méthode est la plus simple et la plus utilisée.

4. Transformée de Laplace :

4.1. Définition

La transformée de Laplace de la fonction f(t) telle que f(t) = 0 pour t<0 est :

[ ] ∞

−==0

)')()( dt et f p F t f TL pt

Cette transformation permet de passer du domaine temporel au domaine de Laplace.

4.2. Propriétés et théorèmes :

Propriétés et théorèmes

Théorème de la valeur initiale )0()(lim)(lim0

+

∞→→==

+ f p pF t f

pt

Théorème de la valeur finale )()(lim)(lim0

+∞==→+∞→

f p pF t f pt

Théorème du retard temporel [ ] )()( p F et f TL pτ τ

−=−

Théorème de l’avance )()( ∞+=−∞ p F t f eTL t

Linéarité [ ] )()( 22112211 p F a p F a f a f aTL +=+

Dérivation [ ] )0(...)0()0()()( 11)2()1( +−+−+− −−−−= nnnnn f f p f p p F pt f TL

Sans conditions initiales )()( p F pt f TL nn =

L’intégration p

p F dt t f TL

t )()(

0=

Tab.2.1

Exemple : Circuit RC (voir figure 2.6)

)()()( t st i Rt e +=





)()(

)( t sdt

t dsC Rt e +=

)()()( pS pS p RC p E +=

)()1()( pS p RC p E +=

Application :

Donner :

- équation différentielle,

- entrée temporelle,

- condition initiale nulle

* Objectif :

Recherche de la réponse temporelle du système.

* Démarche :

- calcul de la fonction de transfert H(p)

-

calcul de l’entrée dans le domaine de Laplace E(p)

- calcul de la sortie dans le domaine de Laplace Y(p)

- calcul de la sortie temporelle en appliquant la transformée de Laplace inverse y(t)

5. Fonction de Transfert

5.1. Définition

Soit le système décrit par l’équation différentielle suivante :

Fig.2.9

)()()(

...)(

)()()(

...)(

012

2

2012

2

2 t ebdt

t deb

dt

t ed b

dt

t sd bt sa

dt

t dsa

dt

t sd a

dt

t sd a

m

m

mn

n

n ++++=++++

La transformée de Laplace (si les conditions initiales sont nulles)

)()()(...)()()()(...)( 012

2012

2 p E b p pE b p E pb p E pb pS a p pS a pS pa pS pa mm

nn ++++=++++

)()...()()...( 01

2

201

2

2 p E b pb pb pb pS a pa pa pa m

m

n

n ++++=++++

)(...

...

)(

)(

01

2

2

01

2

2 p H a pa pa pa

b pb pb pb

p E

pS n

n

m

m =++++

++++=

L’équation de transfert est dite aussi équation d’isomorphe qui est définit par le quotient des grandeurs

de sortie et d’entrée :

Entrée e(t)Système

Sortie s(t)





01

2

2

01

2

2

...

...

)(

)()(

a pa pa pa

b pb pb pb

p D

p N p H

n

n

m

m

++++

++++==

Remarque : La fonction de transfert caractérise la dynamique du système. Dans un système physique

réel le degré de D(p), n, est supérieur au degré de N(p), m.

5.2. Equation caractéristique :

01

2

2...)( a pa pa pa p D n

n ++++=

Les solutions de l’équation caractéristique D(p) = 0 sont appelées les racines ou les pôles du

système.

Les solutions de l’équation N(p) = 0 sont appelées les zéros du système.

* 0)( = p D ⇔ 0... 01

2

2 =++++ a pa pa pa n

n

⇔ 0))...()(( 01 =−−− −

p p p p p p nn

⇔ 0)(0

=−∏=

n

i

i p p

* 0)( = p N ⇔ 0... 01

2

2 =++++ b pb pb pb m

m

⇔ 0))...()(( 01 =−−− −

z p z p z p mm

⇔ 0)(0

=−∏=

m

j

j z p

∏

∏

=

=

−

=−

=n

i

i

m

j

j

p p

z p

p H

0

0

)(

0)(

)(

∏

∏

=

=

−

−

=n

i

i

m

j

j

p p

z p

p E

pS

0

0

)(

)(

)(

)( )(

)(

)(

)(

0

0 p E

p p

z p

pS n

i

i

m

j

j

∏

∏

=

=

−

−

=

Remarques

Les « pi » peuvent être des réels ou des complexes ;

Si les « pi » sont réels différents =

=n

i

t p

iieC t s

0

)( =

=n

i

t p

iieC iml t s

0

)(lim

• Si les pi <0 s(t) 0 si t +∞ : système stable.

• Si les pi >0 s(t) +∞ si t +∞ : système instable.

5.3. Théorème

Un système est dit stable si les parties réelles de ces pôles sont à partie réelle négatives.





5.4. Equation caractéristique d’un système de premier ordre :

Un système est dit de 1er

ordre s’il est décrit par une équation différentielle de type :

)()( t ket ydt

dy=+τ )()()( pkE pY p pY =+τ

p

k

p E

pY p H

τ +==

1)(

)()(

K : gain statique

τ: constante du temps.

5.5. Equation caractéristique d’un système de second ordre :

Un système est dit de second ordre s’il est décrit par une équation différentielle de second ordre.

)()(

)(

2

)( 2

0

2

002

2

t ek t sdt

t ds

mdt

t sd

ω ω ω =++

k : gain statique )(/)( ∞∞= e sk

m : coefficient d’amortissement

0ω : pulsation propre (naturelle).

)(E)()( p2)( p 2

0

2

00

2 pk pS pS m pS ω ω ω =++ 2

00

2

2

0

2)(

)(

ω pmω p

k ω H(p)

p E

pS

++==

p2 p

H(p)2

00

2

2

0

ω ω

ω

++=

m

k

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