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CHAPITRE 14 : SPHÈRES ET BOULES I I VOCABULAIRE ET DÉFINITIONS On appelle sphère de centre O et de rayon R l’ensemble des points M de l’espace qui sont à la distance R du point O, c’est-à-dire tels que OM = R. On appelle diamètre de la sphère tout segment passant par le centre de la sphère et ayant pour extrémités deux points de cette sphère. On appelle boule de de centre O et de rayon R l’en- semble des points M de l’espace qui sont à une dis- tance du point O inférieure ou égale à R, c’est-à-dire l’ensemble des points M tels que OM R. On appelle grand cercle de la sphère tout cercle de centre O et de rayon R de la sphère. II II SECTIONS D’UNE SPHÈRE Notons OM la distance du centre de la sphère au plan et R le rayon de la sphère. PROPRIÉTÉ Si OM > R alors la section de la sphère par le plan est vide. Si OM = R alors la section de la sphère par le plan est un point. On dit alors que le plan est tangent à la sphère. Si OM = 0 alors la section de la sphère par le plan est un grand cercle de la sphère. Si 0 < OM < R alors la section de la sphère par le plan est un cercle de rayon plus petit que le rayon de la sphère. c 2021 COURS DE MATHÉMATIQUES DE NICOLAS ERDRICH — CHAPITRE 14 6 6

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CHAPITRE 14 :SPHÈRES ET BOULES

II VOCABULAIRE ET DÉFINITIONS

• On appelle sphère de centre O et de rayon R l’ensembledes points M de l’espace qui sont à la distance R dupoint O, c’est-à-dire tels que OM = R.

• On appelle diamètre de la sphère tout segment passantpar le centre de la sphère et ayant pour extrémités deuxpoints de cette sphère.

• On appelle boule de de centre O et de rayon R l’en-semble des points M de l’espace qui sont à une dis-tance du point O inférieure ou égale à R, c’est-à-direl’ensemble des points M tels que OM ≤ R.

• On appelle grand cercle de la sphère tout cercle decentre O et de rayon R de la sphère.

IIII SECTIONS D’UNE SPHÈRE

Notons OM la distance du centre de la sphère auplan et R le rayon de la sphère.

PROPRIÉTÉ

• Si OM > R alors la section de la sphère par le plan est vide.

• Si OM = R alors la section de la sphère par le plan est unpoint. On dit alors que le plan est tangent à la sphère.

• Si OM = 0 alors la section de la sphère par le plan est ungrand cercle de la sphère.

• Si 0 < OM < R alors la section de la sphère par le plan estun cercle de rayon plus petit que le rayon de la sphère.

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IIIIII AIRE D’UNE SPHÈRE, VOLUME D’UNE BOULE

• L’aire d’une sphère de rayon R est donnée par la formule : Airesphre = 4× π ×R2.

• Le volume d’une boule de rayon R est donné par la formule : V olume =4

3πR3

À retenir par cœur

L’aire d’une sphère de 6 m de rayon est :Aire = 4πR2

= 4× π × 62

= 4× 62 × π= 4× 36× π= 144× π ≈ 452 m2 à 1 m2 près.

Le volume d’une boule de 12 m de diamètre est :Volume =

4

3× π × 63

= 4× 72π= 288π≈ 905 m3 à 1 m3 près.

IVIV SE REPÉRER SUR LE GLOBE TERRESTRE

• La Terre a approximativement la forme d’unesphère.

• Le rayon de cette sphère est environ de 6 400 km.

• La Terre a approximativement la forme d’unesphère.

• Le rayon de cette sphère est environ de 6 400 km.

REMARQUE

DÉFINITIONS

• On appelle Pôles Nord et Sud les points d’intersec-tion de la sphère terrestre avec son axe de rotation.

• On appelle équateur le grand cercle de la Terre quiest médian aux deux pôles.

• L’hémisphère nord (ou boréal est la moitié du globeterrestre qui s’étend entre le pôle Nord et l’équateur.L’hémisphère sud ou hémisphère austral est l’autremoitié du globe terrestre.

• On appelle parallèle un petit cercle de la Terre pa-rallèle à l’équateur.

• On appelle méridien un grand cercle passant par lesdeux pôles.

• Le méridien de Greenwich (Royaume-Uni) sert deréférence aux méridiens. Il définit les hémisphères estet ouest.

• On appelle longitude l’angle BOA formé depuis lecentre de la Terre entre l’intersection de l’équateur etdu méridien de Greenwich et un point situé à l’inter-section de l’équateur et d’un autre méridien. On pré-cise cet angle par l’orientation « Est » ou « Ouest ».

• On appelle latitude l’angle AOM formé depuis lecentre de la Terre entre un point de l’équateur etun point situé sur le même méridien. On précise cetangle par l’orientation « Nord » ou « Sud ».

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II CALCULS D’AIRES DE SPHÈRES ET DE VOLUMES DE BOULES

Les globes de Coronelli0101

Coronelli (1650-1718) a fabriqué pour Louis XIV deux globes (terrestre etcéleste) de quatre mètres de diamètre. Ils ont été peints par différents artistes.

1) Calculer le volume d’un globe à 1 m3 près.2) Calculer à 1 m2 près, l’aire totale qui a été peinte.

La coupole de la basilique Saint-Pierre de Rome0202

La basilique Saint-Pierre de Rome est surmontée d’une coupole en forme dedemi-sphère d’un rayon de 21 m.

Calculer le volume de cette coupole à 1 m3 près.

La coupole de la cathédrale Santa Maria del Fiore de Florence0303

La cathédrale de Florence est surmontée d’une coupole en forme de demi-sphère d’un diamètre d’environ 41 m. La surface intérieure de cette coupoleest complètement recouverte de fresques.

Calculer la surface peinte à 1 m2 près.

Le Panthéon de Rome0404

Le Panthéon de Rome est un bâtiment antique dont la pièced’architecture principale est constituée d’un cylindre dont lahauteur est d’environ 21,5 m et dont le diamètre est environde 43 m. Ce cylindre est surmonté d’une demi-sphère de mêmediamètre.

Calculer le volume de cette pièce à 1 m3 près.

Un œuf surprise0505

Un œuf surprise représenté ci-contre est constitué de deux demi-sphères de rayon2 cm et d’un cylindre de révolution de même rayon et de hauteur 5 cm.

1) Calculer son volume à 1 cm3 près.2) Calculer sa surface à 1 cm2 près.

Rempotage0606

On souhaite rempoter un Hortensia dont les racines forment un cylindre de6 cm de diamètre sur 10 cm de hauteur. On dispose d’un pot cylindrique de14 cm de diamètre et de 17 cm de hauteur.

• Pour drainer l’eau, on verse au fond du pot 24 billes d’argile dont chacunea un diamètre de 1 cm.

• On verse ensuite 1 litre de terre.• On y plante l’Hortensia et on ajoute encore 4 dl de terre.• On arrose le contenu avec 1 litre d’eau.

L’eau va-t-elle déborder hors du pot ?

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IIII COORDONNÉES SPHÉRIQUES ET GÉOGRAPHIQUES

CONSTRUCTION D’UN GLOBE0707

1) Découper les 3 cercles et les 6 demi-cercles fournis sur la feuille de maquette.2) Couper les entailles selon les pointillés.3) Assembler les neuf parties afin d’obtenir la maquette reproduite ci-contre.

LATITUDES ET LONGITUDES0808

Placer les villes données ci-dessous sur la maquette et sur la planisphère.1 Strasbourg S(7˚E ; 48˚N) 2 Dasoguz (60˚E ; 40˚N) 3 Kampala K(32˚E ; 0˚S)4 Buenos Aires B(60˚O ; 35˚S) 5 Le Caire C(30˚E ; 30˚N) 6 Funafuti F(180˚E ; 8˚S)

N

S

O E

0˚20˚ 20˚

20˚

20˚

ANTIPODES0909

Calculer les coordonnées du point qui est aux antipodes de Londres (0˚Est, 51˚N) et le placer sur la planisphère.

TROPIQUES1010

1) Tracer en rouge, sur la planisphère, le tropique du Cancer et le tropique du Capricorne sachant qu’il s’agitde parallèles respectivement situés aux latitudes 23 ˚Nord et 23 ˚Sud.

2) Tracer en bleu, sur la planisphère, le Cercle polaire arctique et le cercle polaire antartique sachant qu’ils’agit de parallèles respectivement situés aux latitudes 66˚Nord et 66˚Sud.

DÉFI : FUSEAU HORAIRE1111

Quelle heure est-il à Philadelphie (75˚10’ 12” O) quand il est midi à Paris (2˚20’ 14” E) ?

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IIIIII MAQUETTE DU GLOBE TERRESTRE

0

10

20

30

40

5060

708090100

110120

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180 0

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EST

OUES

T

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IVIV DISTANCES SUR LA TERRE

Pour les exercices suivant, on assimilera la Terre à une boule de rayon 6 400 km.

CONSIGNES

VENDÉE GLOBE1212

La figure ci-dessous représente la trajectoire d’un skipper (voilier de course) lors de la course appelée VendéeGlobe. Cette course a lieu tous les quatre ans, son départ et son arrivée ont lieu aux Sables-d’Olonne (Vendée).

1) Décrire grossièrement la trajectoire du skipper en utilisant le vocabulaire approprié.2) On dit que la distance totale parcourue durant cette course équivaut au moins à celle d’un tour du monde.

Évaluer cette distance.3) On peut constater sur la carte que le skipper longe les côtes de l’Antarctique en suivant les trois quarts

d’un parallèle. Quelle distance cela représente-t-il ?

Calais et Orléan se trouvent approximativement sur le même méridien. Leurs latitudes sont respective-ment 50˚58’ et 47˚56’. Calculer la distance entre ces deux villes.

1313

Calculer la longueur du Tropique du Cancer, qui est le parallèle situé à la latitude 23˚Nord.1414

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VV DIVERS

AIRE ET VOLUME1515

1) Calculer la surface de la terre.

2) Calculer le volume de la terre.

CIRCONFÉRENCES1616

1) Calculer la longueur de l’équateur.2) En déduire la distance du Pôle Nord au pôle Sud.

Utiliser la figure liée au qrcode ci-contre pour répondre aux questions suivantes dans le cahierd’exercices.

QCM1717

1Par l’un des pôles de la sphère, il passe une infi-nité de méridiens. � Vrai � Faux � Peut-être

2Par l’un des pôles de la sphère, il passe un seulparallèle. � Vrai � Faux � Peut-être

3Par un point de la sphère différent d’un pôle, ilpeut passer plusieurs méridiens. � Vrai � Faux � Peut-être

4Tous les points d’un même méridien ont la mêmelongitude. � Vrai � Faux � Peut-être

5Tous les points d’un même méridien ont la mêmelongitude. � Vrai � Faux � Peut-être

QCM1818

1Tous les points d’un même parallèle ont la mêmelatitude. � Vrai � Faux � Peut-être

2Par un point de la sphère il ne passe qu’un seulparallèle. � Vrai � Faux � Peut-être

3 Paris se trouve à la latitude 48˚Sud. � Vrai � Faux � Peut-être

VIVI PROBLÈMES D’AIRES ET DE VOLUMES

Comparaisons de volumes1919

Quel est le volume le plus grand ? Compléter avec l’un des signes « > », « < » ou « = ».

1 Un cube d’arête 10 cm . . . une boule de 10 cm de diamètre

2 Un cylindre de diamètre 5 cm et de hauteur de 5 cm . . . une boule de même diamètre

3 Un cylindre de diamètre 5 cm et de hauteur de 4 cm . . . une boule de même diamètre

4 Un cube d’arête 8 cm . . . une boule de 10 cm de diamètre ?

5 Un cylindre de diamètre 6 cm et de hauteur de 4 cm . . . une boule de 6 cm de diamètre ?

La Géode est un bâtiment quasi-sphère situé à côté de la Cité des Sciences et de l’Industrie de Paris.Elle abrite un cinéma. Son aire fait environ 4 072 m2. Calculer, au mètre près, le rayon du bâtiment.

2020

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Quel doit être le rayon d’une sphère pour qu’elle ait la même surface qu’un cube de 1 m de côté ?2121

Quel doit être le rayon d’une boule pour qu’elle ait le même volume qu’un cube de 5 m de côté ?2222

Exercice défi2323

Les 8 points d’intersection des cercles décoratifs d’une boule depétanque sont les sommets d’un cube.Sachant que la boule a un diamètre de 74 mm, calculer le côté ducube.

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