Chapitre 13 : Repères et problèmes de...

Chapitre 13 : Repères et problèmes de géométrie


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2nde10, lycée Les Eaux Claires

May 19, 2020



Jeudi 14 mai 2020


Chapitre 13 : Repères et problèmes de géométrie1) Repères du plan

Plan du cours

1) Repères du plan

2) Distance dans un repère orthonormé

3) Coordonnées du milieu d’un segment



Au collège

x

y

−2 −1 1 2 3 4 5 60−1

1

2

3

4A



Notations

• L’axe horizontal est appelé axe des abscisses

• L’axe vertical est appelé axe des ordonnées

• Le point A a pour coordonnées (4,3)On écrit : A(4; 3)

Pour l’abscisse, on écrit : xA = 4Pour l’ordonnée, on écrit : yA = 3



Point sur un axe

• Un point M est situé sur l’axe des abscisses lorsque sonordonnée est nulleDonc lorsque yM = 0

• Un point N est situé sur l’axe des ordonnées lorsque sonabscisse est nulleDonc lorsque xN = 0



Vocabulaire

Un repère est dit orthonormé lorsque

• ses deux axes sont perpendiculaires

• les unités sur les deux axes sont égales


Chapitre 13 : Repères et problèmes de géométrie2) Distance dans un repère orthonormé

Plan du cours

1) Repères du plan





Formule

Pour calculer la distance entre deux points A et B dans un repèreorthonormé, on utilise la formule suivante :

AB2 = (xB − xA)2 + (yB − yA)2

AB =√

(xB − xA)2 + (yB − yA)2



Exemple 1

Calculer la distance AB avec A(3; 1) et B(2; 5)

AB2 = (xB − xA)2 + (yB − yA)2

AB2 = (2− 3)2 + (5− 1)2

AB2 = (−1)2 + (4)2

AB2 = 1 + 16 = 17

AB =√17 ≈ 4, 12



Exemple 2

Calculer la distance EK avec E (−1; 0) et K (−4; 7)

EK 2 = (xK − xE )2 + (yK − yE )2

EK 2 = (−4− (−1))2 + (7− 0)2

EK 2 = (−3)2 + (7)2

EK 2 = 9 + 49 = 58

EK =√58 ≈ 7, 62



Remarques

• L’unité utilisée pour les distances (calculées dans un repèreorthonormé) est l’unité commune aux deux axes du repère.

• L’ordre des points n’a pas d’importance : AB = BAOn peut échanger A et B dans la formule de calcul



Mardi 19 mai 2020



Explications (1)

A et B sont deux points. Ce paragraphe vient expliquer commentest obtenu la formule de calcul de la distance AB.

Pour pouvoir calculer AB, nous commençons par construire unnouveau point, nommé C , qui a :

• la même abscisse que A• la même ordonnée que B



Explications (2)

x

y

−2 −1 1 2 3 4 5 60−1

1

2

3

4

A

B C



Explications (3)

Nous avons construit C le point qui a :• C a la même abscisse que A donc : xC = xA

• C a la même ordonnée que B donc : yC = yB

Donc : C(xA, yB)



Explications (4)

Par construction, le triangle ABC est rectangle en CDonc, d’après le théorème de Pythagore : AB2 = BC2 + AC2

De plus :

• BC2 = (xB − xC )2 = (xB − xA)2 car xC = xA

• AC2 = (yA − yC )2 = (yA − yB)2 car yC = yB

Finalement, en remplaçant, on obtient la formule donnée dans lecours :

AB2 = (xB − xA)2 + (yA − yB)2



Mercredi 20 mai 2020


Chapitre 13 : Repères et problèmes de géométrie3) Coordonnées du milieu d’un segment

Plan du cours

1) Repères du plan





Calcul des coordonnées du milieu

On se place dans un repère du plan quelconque.

Soit P le milieu du segment [MN].

xP = xM + xN2 = 1

2(xM + xN) = moyenne (xM , xN)

yP = yM + yN2 = 1

2(yM + yN) = moyenne (yM , yN)



Exemple 1

P est le milieu du segment [MN] avec M(3; 1) et N(5; 2)

xP = 12(xM + xN) = 1

2(3 + 5) = 4

yP = 12(yM + yN) = 1

2(1 + 2) = 1, 5

Placer les points et vérifier graphiquement.



Exemple 2

A est le milieu du segment [CD] avec C(−4;−2) et D(−1; 2)

xA = 12(xC + xD) = 1

2(−4 + (−1)) = −2, 5

yA = 12(yC + yD) = 1

2(−2 + 2) = 0

Placer les points dans un repère et vérifier graphiquement.



Exemple 3

R est le milieu du segment [ST ] avec R(2; 3) et S(5; 4)

Calcul des coordonnées de T .

Il faut ici résoudre une équation !

xR = 12(xS + xT )

2 = 12(5 + xT )

4 = 5 + xT

xT = −1

yR = 12(yS + yT )

3 = 12(4 + yT )

6 = 4 + yT

yT = 2



Application 1 : le quadrilatère ABCD est-il unparallélogramme ?Méthode :

• On calcule les coordonnées du point S, milieu de [AC ]• On calcule les coordonnées du point T , milieu de [BD]• On compare les coordonnées des points S et T

• Si les coordonnées sont égales :les deux points S et T sont confondus.Donc les diagonales [AC ] et [BD] ont même milieu.On peut conclure que ABCD est un parallèlogramme

• Sinon (coordonnées différentes) :les diagonales n’ont pas le même milieu.ABCD n’est pas un parallèlogramme



Application 2 : symétrique d’un point

Soit B le symétrique de A par rapport à K .

Pour calculer les coordonnées de B :

• On sait que K est le milieu de [AB]• On écrit les deux formules de calcul pour xK et yK , et onrésout les équations (comme pour l’exemple 3) pour obtenirxB et yB.


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