Chapitre 10: La mécanique ondulatoire

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10.1 Les ondes de BroglieEn se fondant sur le principe de « symétrie de la nature », de Broglie supposa qu’on pouvait attribuer aux particules matérielles une dualité onde-particule semblable à celle de la lumière:

De Broglie supposa que les « ondes de matière » avaient une longueur d’onde λ = h/p. (comme la lumière).

Cette hypothèse permet de donner aux postulats arbitraires de Bohr une interprétation limpide: Les seules orbites autorisées sont celles dont la circonférence contient un nombre entier de longueurs d’ondes (ondes stationnaires).

Hyp.de Broglie

Hyp.de Bohr

22

h

p

mvr n

h h nhp mv r r n

hc hE hf pc

p

34

24

27 19 24

221

2

.10 6

6.626 100.143

4.63 10

2 2 1.675 10 0.04 1.6 10 4.63 10

02

NYC Ch E

hnm

p

p mE

pcar E K U mv

m

10.2 La diffraction des électrons

71

17

Rayons X

pm

E keV

71

300

Electrons

pm

E eV

109

0.07

Neutrons

pm

E eV

Voir 7.8

2 sind m

hcE hf

22

2 2e e

hpE

m m

2

h h

p mE

2 221

2 2 2

2

mv pE mv si v c

m m

p mE

10.3 L’équation d’onde de Schrödinger

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 22

2 2 2 2

2 2

2 2

222

2

1

( , ) sin( ) sin( ) 2 sin cos

( , ) 2 sin cos cos

cos cos1

cos1 1cos cos

2 2

y y

x v ty x t A kx t A kx t A kx t

y x t A kx t x t

x t x t

x v t

x tt x x t

x v t v

xx

x v

kv

2

2 221

22 2

2

2 2

2

2 2

2

mvp m pE U K mv E U x

m mhp

x mE U x x

x

Équation d’onde de Schrödinger indépendante du temps à une dimension qui représente les états stationnaires (E = constante)

Forme générale de toute fonction d’onde.

En général, la solution est une (ou plusieurs) ondes progressives.

Dans le cas d’ondes stationnaires, on peut factoriser l’amplitude qui est fonction de x mais pas du temps.

10.4 La fonction d’onde

2

2dV2dx

2 ( ) 1x dx

L’interprétation actuelle de la fonction d’onde est celle de Max Born. Le carré de la fonction d’onde, indique la probabilité par unité de volume de trouver une particule. La fonction d’onde représente donc une « onde de probabilité » ou l ’ « amplitude de probabilité ». Contrairement à physique classique, la physique quantique, n’est pas déterministe: il n’est plus possible de prédire exactement la position d’une particule, mais seulement une probabilité. La mécanique quantique prédit correctement les valeurs moyenne des grandeurs physiques mais pas les résultats des mesures individuelles.

Exprime que la particule doit se trouver quelque part (fonction d’onde normalisée)

Probabilité de trouver la particule à l’intérieur de ΔV (ou Δx)

Densité de probabilité

Fonction d’onde, onde de probabilité ou amplitude de probabilité

10.5 Particule dans une boite

22 2 2

2

0 0

sin 0

2 2

2

2

2

1

2 2 2 8

nn

n

n nn

nn

L

x A kx kx kL n

L Ln L n

n

h L nhp

p n L

p nh n hE

m m L mL

La particule ne peut pas avoir une énergie nulle, même à 0 oK. L’énergie la plus basse, qui correspond à n=1, est l’énergie du niveau fondamental. Cette énergie est d’autant plus grande que la boîte est petite.

U

La situation est équivalente aux ondes stationnaires dans une corde.

box1.mpeg

23422 2 13 2

2 27 14

27

14

131

122

12 13 132 1

.10 18

6.626 10) 3.29 10

8 8 1.67 10 1 10

1.67 10

1 10

3.29 10 2.05

1.31 10 8.20

) 1.31 10 3.29 10 9.85 10

9.85 10

np

p

NYC Ch E

ha E n n n

m L

m kg

L m

E J MeV

E J MeV

b hf E E J

Ef

h

1321

34

8

31

1.487 106.626 10

3 100.202

1.487 10

Hz

cpm rayon gamma

f

10.5 Puits de potentiel fini

• Normalement, une particule classique ne peut pas pénétrer à l’extérieur du puits dans une région où E < U.

• Pourtant, la fonction d’onde ne s’annule pas à l’extérieur du puits mais diminue exponentiellement. Donc il existe une probabilité de trouver la particule à l’extérieur du puits, dans une région interdite par la mécanique classique. Ce résultat surprenant se manifeste par l’effet tunnel.

Schrodinger1D - Puits de potentiel fini

Simulations\finitewell.html

10.5 L’effet tunnel

Puisque la fonction d’onde pénètre dans la zone interdite E < U, il est possible que la particule se retrouve à l’extérieur.

Tunnel V = 2E, d = l Tunnel - Angle

10.6 Le principe d’incertitude de Heisenberg

x

E hf hp p

c ch

x p

x p h

E t h

Pour pouvoir observer une particule, un électron par exemple, il faut le bombarder avec des photons. La précision de la mesure Δx n’est pas plus grande que la longueur d’onde λ de la lumière utilisée. Comme la lumière transfert sa quantité de mouvement à l’électron, celà introduit une incertitude Δp. Diminuer λ pour diminuer Δx va augmenter Δp.

Une particule localisée peut être représentée par un paquet d’onde de longueur Δx constitué de plusieurs ondes sinusoïdales dont les longueurs d’onde sont variables Δλ, ce qui implique une incertitude Δp.

Le principe d’incertitude de Heisenberg énonce qu’il existe une limite fondamentale sur ce qu’il est possible d’observer et de mesurer. Cette limite n’est pas déterminée par les instruments de mesure mais par la nature elle-même.

Fichier vidéo MPEG Fichier vidéo MPEG

3426

8

26

268

34

8

.10 27

6.63 10) 6.63 10

1 10

6.63 10

6.63 10) 1.00 10

6.63 10

1.00 10

NYC Ch E

ha E J

t

E J

Eb f Hz

h

f Hz

2 2

2

2 2 2

2 22 2

2

22 31 9 19 34 241

1

34

241

.10 3

) .9

2

2 2 9.1 10 9 10 1.6 10 6.63 10 2.99 10

) 2

6.63 100

2 2 2.99 10

n n

nn

NYC Ch P

na L mvr n r Ch

mke

n n n mke mke mkep mv

r n n hnnmke

p mke h kg m s

b p p

h hx

p p

.165 Bohrnm r

10.7 La dualité onde-particule2 2 2

1 2

22 2 21 2 1 2 1 22 cos

Le fait que le carré de la somme des amplitudes de probabilité donne le résultat corect implique que, pendant sa progression dans le montage, l’électron est représenté par une superposition de deux états.

Selon le principe de complémentarité, une description complète de la matière et du rayonnement doit faire intervenir les deux aspects, corpusculaire et ondulatoire. Autrement dit, l’onde et la particule sont deux représentations complémentaires.

Même ceux qui sont à l’origine de cette théorie, Plank, Einstein et Schrödinger, n’en n’ont jamais accepté les développements ultérieurs.

Voir Interférence quantique 2 fentes

Diffraction 1 fente Diffraction 1 fente large 3l

Inerference 2 fentes 5l