Chapitre 1 Logique, raisonnements, vocabulaire ensembliste.

PCSI2 - MathématiquesMme Balsan - Lycée PASTEUR 2017\2018 CH1 - Logique, raisonnements, vocabulaire ensembliste

Chapitre 1

Logique, raisonnements,

vocabulaire ensembliste.

I Ensembles : dé�nition, appartenance

1 Dé�nition et écritureDé�nition 1

Un ensemble E est un groupement (une collection) non ordonnée d'objets.

RemarqueUn ensemble est dé�ni par son contenu et non par sa frontière. Figure 1

Dans la suite, E, A, B, C désignent des ensembles.

Dé�nition 2

x ∈ E se lit � x appartient à E � et signi�e que x est un élément de E.Sa négation est x /∈ E.

Dé�nition 3

Deux ensembles E et F sont dits disjoints quand ils n'ont aucun élément en commun.

2 EcritureDé�nition 4

On peut décrire un ensemble de deux façons :

• en écrivant l'ensemble en extension, c'est-à-dire en nommant tous les objets le constituant.On peut parler d'une écriture explicite.Exemple : E est l'ensemble des élèves ....

• en l'écrivant en compréhension, c'est-à-dire en caractérisant ses éléments par une propriétécommune. On peut parler d'une écriture implicite.Exemple : E est l'ensemble des élèves de la classe de PCSI2 dont le nom commence par un A.

Résultat 1Notation et vocabulaire :

• {2; 4; 6} est l'ensemble qui contient les trois éléments 2, 4, 6.

• [[2, 6]] est l'ensemble des entiers compris entre 2 et 6. On peut parler du segment d'entiers [[2, 6]].

• [2, 6] est l'ensemble des réels compris entre 2 et 6. On parle du segment de réels [2, 6].

• {x ∈ R , x2 = 4} se lit � ensemble des x appartenant à R tels que x2 = 4 �(ensemble des réels dont lecarré vaut 4). C'est une écriture implicite (en compréhension).

• {x2 , x ∈ R} se lit � ensemble des x2, quand x parcourt R �(ensemble des carrés de réels). C'est une écritureexplicite (en extension).

1. on appelle singleton un ensemble à un seul élément, noté {x} par exemple ;

2. l'ensemble ne contenant aucun élément, appelé ensemble vide, est noté ∅.

1


RemarqueNe pas confondre l'élément x et l'ensemble {x} ! Figure 2

Exercice 1 Ecrire chacun des ensembles suivants à l'aide d'une écriture explicite et d'une écriture implicite (parfois, l'unedes deux écritures est déjà donnée).

1. [[2, 6]]

2. [2, 6]

3. {x2 , x ∈ R}4. {x ∈ R , x2 = 4}5. {x ∈ R; cosx = 0} =6. l'ensemble E des entiers pairs.

7. l'ensemble F des entiers impairs.

3 Cardinal d'un ensemble �niDé�nition 5

On dit qu'un ensemble E est �ni lorsqu'il contient un nombre �ni d'éléments. On appelle cardinal deE, et on note card(E) (ou encore |E|) le nombre d'éléments de E.

RemarqueSi card(E) = n (avec n ∈ N∗), on peut numéroter les éléments de E de 1 à n, autrement dit écrire :

E = {x1;x2; . . . ;xn}.

2


II Eléments de logique

1 Valeurs logiques

RemarqueOn convient qu'il existe deux valeurs logiques et deux seulement, Vrai et Faux auxquelles on donne leur sens

intuitif.

Dé�nition 6

On appelle assertion ou proposition tout énoncé ne dépendant pas d'une variable littérale et sus-ceptible de prendre l'une ou l'autre des deux valeurs logiques. Lorsque deux propositions A etB ont lamême valeur logique, on note A ≡ B.

Remarque

1. Une proposition correspond à une phrase contenant un verbe.

2. Lorsqu'on écrit une proposition sans plus de précision, on sous-entend qu'elle est vraie. Ainsi, on n'écritjamais une conclusion avant de l'avant de l'avoir démontrée.

3. Les propositions se notent à l'aide de lettres majuscules : P , Q, A ...

ExemplesOn peut écrire

• "√2 est rationnel" est FAUX.

• "2 est racine du polynôme X2 − 4"

• "la prof de physique est sympa".

• "2 = 1 + 1 " ("2 est égal à 1 + 1")

• "2 < 4 " ("2 est strictement inférieur à 4")

• "Montrons que√2 n'est pas rationnel"

• "Supposons que√2 est rationnel"

• "le Soleil tourne autour de la Terre" ≡ "la Terre est plate"

mais on n'a pas le droit d'écrire

• "2 = 4 " ("2 est égal à 4")

Dé�nition 7

Un axiome est une proposition qu'on admet comme étant vraie, et qui est à la base d'une théoriemathématique.Une conjecture est une proposition dont on soupçonne fortement la véracité mais qu'on n'a pas encoreréussi à prouver.

Exemples

1. Axiomes de Peano :(1) l'élément appelé 0 est un entier naturel.

(2) tout entier naturel n a un unique successeur noté s(n).

(3) aucun entier naturel n'a 0 comme successeur.

(4) deux entiers naturels ayant même successeur sont égaux.

(5) si un ensemble d'entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de ses éléments, alors cet ensemble

est égal à N.

2. Conjectures célèbres :(1) de Goldbach : tout entier naturel pair supérieur ou égal à 3 est somme de deux nombres premiers.

(2) de Syracuse : une suite de réels construite à partir d'une valeur initiale entière strictement positive puis par

récurrence en divisant par 2 si le nombre est pair, ou en prenant le successeur du triple si le nombre est impair, �nit

toujours par tourner en boucle sur 4,2,1

Dans la suite du chapitre, A, B et C désignent trois assertions.

3


2 Connecteurs logiques

Dé�nition 8

Négation :

A partir de deux propositions A et B, on dé�nit trois nouvelles propositions de la façon suivante

1. La négation de A ou proposition contraire de A, notée � non A � (parfois eA), qui est vraiesi et seulement si A est fausse.

2. La conjonction de A et B, notée � A et B � (parfois A ∧B), qui est vraie si et seulement siA et B sont toutes deux vraies.

3. La disjonction de A et B, notée � A ou B � (parfois A ∨B), qui est vraie si et seulement siau moins l'une des deux propositions A, B est vraie (on dit que ou n'est pas exclusif).

Remarques

1. On ne parle pas de l'inverse ni de l'opposée d'une proposition, mais de son contraire.

2. � si et seulement si �est un lien logique qui signi�e � exactement lorsque �

Exercice 21. Dresser le tableau de vérité de � A et B �et de � A ou B �.

2. Décrire en fonction de A, B, nonA et nonB, la valeur logique des propositions suivantes :

• non(nonA)) ≡ . . .• � A et (non A)

• � A ou (non A)

• non(A ou B) ≡ . . .• non (A et B)≡ . . .

Résultat 2

• les opérateurs et, ou sont commutatifs et associatifs.

• et est distributif sur ou : A et (B ou C) ≡ (A et B) ou (A et C)

• ou est distributif sur et : A ou (B et C) ≡ (A ou B) et (A ou C)

Exercice 3

1. Résoudre dans R le système

{x2 = 1y = −3

2. x est un réel donné. On considère la proposition P : �−1 6 x 6 2 �. Ecrivez P puis nonP en fonction des propositionssuivantes : � x > −1 �, � x 6 −1 �� x 6 2 �, � x > 2 �

4


3 Implications et équivalences

a) Dé�nitions et propriétés

Dé�nition 9

On note A =⇒ B, et on lit � A implique B �la proposition � (non A) ou B �.On dé�nit A⇐⇒ B, et on lit � A équivalent à B �la proposition (A⇒ B) et (B ⇒ A)

Exercice 41. Dresser la table de vérité de A =⇒ B puis de A⇐⇒ B.

2. Dites si les implications suivantes sont vraies :• (la terre est ronde) =⇒ (l'Homme est un mammifère) :• (la terre est ronde) =⇒ (l'Homme est un poisson) :• (la terre est plate) =⇒ (l'Homme est un mammifère) :• (la terre est plate) =⇒ (l'Homme est un poisson) :

3. Ecrire le proverbe � il n'y a pas de fumée sans feu �avec une équivalence.

4. Ecrire non(A =⇒ B) puis non(A⇐⇒ B) en fonction de A, B, nonA, nonB.

5. Ecrire nonA =⇒ B en fonction de A, B, nonA, nonB.

Remarques

1. La proposition A =⇒ B correspond à la phrase conditionnelle : � si A est vraie, alors B est vraie �

2. L'implication A =⇒ B est fausse si et seulement si l'hypothèse A est vraie mais la conclusion B fausse(du vrai n'entraine pas du faux.) :

non(A =⇒ B) ≡ A et (nonB).

3. Si l'hypothèse A est fausse, alors l'implication A =⇒ B est vraie.

4. Deux propositions A et B sont équivalentes si et seulement si elles ont la même valeur logique. Ainsi, onécrira A⇐⇒ B plutôt que A ≡ B

5. On n'emploie JAMAIS les symboles =⇒,⇐⇒ dans une rédaction. On utilise des mots de FRANCAIS :conjonctions de coordination (mais, ou, et, donc, or, ni, car), de subordination (si, parce que, puisque), desadverbes (mais, cependant).

5


Théorème 1 (A et (A =⇒ B)

)=⇒ B autrement dit

� Si A est vraie et si A⇒ B est vraie, alors B est vraie. �

Remarque

1. Ce théorème est à la base du raisonnement déductif ; par exemple, on vous a appris à rédiger :"le quadrilatière ABCD a ses diagonales qui se coupent en leur milieu.

Or, si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme, donc

le quadrilatière ABCD est un parallélogramme".

2. Attention, les 2 rédactions suivantes n'ont pas le même sens :

2 pair 2 pair =⇒ 3 impairdonc 3 impair

En e�et, on peut écrire

3 pair =⇒ 4 impair,

mais on ne peut pas écrire

3 pairdonc 4 impair

3. Une chaîne d'équivalence (à manipuler avec circonspection) est appropriée pour résoudre une équation, ouéventuellement pour reformuler une conclusion

Exercice 51. Résoudre dans R : x2 = 4

2. Soit x ∈ R et y ∈ R. Montrer que xy 6 12(x2 + y2)

Exercice 6 Je vous donne les informations suivantes :

� J'ai une �lle =⇒ l'Homme est un poisson �� l'Homme est un poisson =⇒ J'ai quatre �ls. �.

A votre avis, ai-je une �lle ? ai-je quatre �ls ?

Propriété 2

1. L'implication et l'équivalence sont transitives, autrement dit

(a)((A⇒ B) et (B ⇒ C)

)=⇒

(A⇒ C

).

(b)((A⇔ B) et (B ⇔ C)

)=⇒

(A⇔ C

).

2. L'équivalence est symétrique, autrement dit

(A⇔ B)⇐⇒ (B ⇔ A)

6


b) Condition nécessaire, su�sante

Dé�nition 10

Lorsque A⇒ B, on dit que : - A est une condition su�sante pour B.- � pour que B soit vraie, il su�t que A soit vraie. �

- B est une condition nécessaire pour A.- � pour que A soit vrai, il est nécessaire que B soit vraie. �- � pour que A soit vrai, il faut que B soit vraie. �

Lorsque A⇔ B, on dit que : - B est une condition nécessaire et su�sante pour A.- � pour que B soit vraie, il faut et il su�t que A soit vraie. �- � B soit vraie si et seulement si A soit vraie. �

RemarqueOn emploie souvent � il faut � à la place de � il su�t � :- Dans le langage courant : � pour bien dormir, il faut prendre un somnifère �- Au début d'une démonstration : � pour montrer que... , il faut montrer que ... � ;

remplacer à l'écrit par montrons que ... �remplacez à l'oral par on pourrait montrer ... , je propose de ..., je vais essayer de ... �_

Exercice 71. On considère la fonction f dé�nie par f(x) = ln(x+ 2). Compléter :

Pour que f(x) soit dé�ni, il ...que x > 0il ...que x > −2

2. x est un réel donné. Compléter puis écrire avec des implications :

(a) Pour qu'un réel x soit positif, il ........... que x soit strictement supérieur à 2.

(b) Une condition ... pour qu'un réel x soit supérieur ou égal à 1 est que x soit di�érent de 1.

(c) Une condition ... pour qu'un réel x soit strictement supérieur à 2 est que x soit di�érent de 1.

(d) Une condition ... pour qu'un réel x soit positif, est que x soit strictement positif.

(e) le fait qu'un réel x soit supérieur ou égal à 1 est une condition ... pour que x2 + x+2 soit supérieur ou égal à 3.

(f) Une condition ... pour qu'un réel x soit dans l'intervalle [0, 1] est que x2 − 4x+ 3 soit positif.

c) Réciproque, contraposée d'une implication

Dé�nition 11

On appelle réciproque de l'implication A =⇒ B l'implication B =⇒ A.On appelle contraposée de l'implication A =⇒ B l'implication (nonB) =⇒ (nonA).

Résultat 3Une implication et sa contraposée ont la même valeur logique, autrement dit

(A⇒ B) ⇐⇒ (nonB ⇒ (nonA) )

RemarqueUne implication et sa réciproque n'ont pas toujours la même valeur logique (l'implication n'est pas symétrique).

ExempleOn donne l'information suivante : � S'il pleut, Oui-Oui prend son parapluie �. Ce n'est pas parce que Oui-Uui

prend son parapluie qu' il pleut. Par contre, si Oui-oui ne prend pas son parapluie, c'est qu'il ne pleut pas, sinon,

il aurait pris son parapluie.

Exercice 8 x est un réel donné. On considère la proposition P : x > 2⇒ |x| > 2. Ecrire sa contraposée et sa réciproque.

7


4 Quanti�cateurs

a) Prédicats

Dé�nition 12

E est un ensemble. On appelle prédicat de référentiel E un énoncé mathématique contenant desvariables tel que, quand on substitue à ces variables des éléments de E, on obtient une proposition.Ainsi, un prédicat est une proposition qui fait intervenir des variables littérales

Un exemple est une valeur de x pour laquelle A(x) est vrai.Un contre-exemple est une valeur de x pour laquelle A(x) est faux.

Exemples

• � x est pair est un prédicat ambigu si le référentiel n'est pas précisé. A quel ensemble appartient x ?

• E = Z et A(x) : � x est pair �.

• E = l'ensemble des fonctions dé�nies sur R et A(x) : � x est continue �

• E = R et A(x) : � x est un entier �.

• E = N∗ et A(x, y) : � x divise y �.

• E = R ou E = R∗+ et A(x) : � x est entier �. 3 est un exemple de A(x), π est un contre-exemple de A(x).

Dans la suite du chapitre, E est un ensemble et A(x), P (x) et Q(x) sont des prédicats de référentiel E.

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b) Quanti�cateurs

Dé�nition 13

On dé�nit les trois assertions suivantes :• � ∀x ∈ E A(x) � qui est une assertion vraie si seulement si, pour tout objet a du référentielE, l'assertion A(a) est vraie ;• � ∃x ∈ E A(x) �qui est vraie si et seulement si il existe un objet a du référentiel tel que A(a)est vraie.

• � ∃! �qui est vraie si et seulement si il existe un unique objet a du référentiel tel que A(a)est vraie.

Exercice 9 x désigne un individu, y désigne un �lm (on omet d'écrire par la suite à quels ensembles ils appartiennent).p(x, y) désigne la proposition � l'individu x a vu le �lm y �.Donner par une phrase la signi�cation des propositions suivantes :

1. ∀x ∀y , p(x, y)2. ∃x ∀y , p(x, y)3. ∃y ∀x , p(x, y)4. ∀x ∃y , p(x, y)

5. ∃x ∃y , p(x, y)6. ∃y ∃x , p(x, y)7. ∀y ∃x , p(x, y) Lesquelles de ces propositions sont

équivalentes ?

Exercice 10 f est une fonction dérivable sur R à valeurs réelles. (un)n∈N désigne une suite de réels. a et b sont deux réels.

1. Compléter (sans justi�er) avec le quanti�cateur qui convient :

(a) n ∈ Z , n 6 n+ 1

(b) n ∈ N , n2 6 2n

(c) n ∈ Z , n 6 −π 6 n+ 1

2. Ecrire symboliquement les énoncés suivants :

(a) 6π ≡ −2π[π3]

(b) un carré est toujours positif :

(c) il existe un réel dont le cosinus vaut 13.

(d) la suite (un)n∈N est croissante :

(e) la suite (un)n∈N est constante :

(f) Parmi trois entiers consécutifs, il y a nécessairement un multiple de 3.

(g) Pour que f soit strictement croissante sur R, il su�t que sa dérivée soit strictement positive sur R.(h) Pour que la fonction f s'annule sur le segment [a, b], il su�t que les valeurs prises par f en a et b soient de signe

opposé.

3. Donner par une phrase la signi�cation des énoncés suivants :

(a) ∃T ∈ R∗ , ∀x ∈ R , f(x+ T ) = f(x)

(b) ∃M ∈ R , ∀n ∈ N , un 6M

(c) ∀M ∈ R , ∃n ∈ N , un >M

Remarque

1. ∀x ∈ EP (x) =⇒ ∃x ∈ EP (x)

2. Importance du sens de lecture : on peut changer l'ordre de plusieurs ∃ qui se suivent, ou changerl'ordre de plusieurs ∀ qui se suivent, mais on ne peut pas permuter un ∀ et un ∃ sans changer le sens de laproposition.(∃x ∈ E , ∃y ∈ F , P (x, y)

)⇐⇒

(∃y ∈ F , ∃x ∈ E , P (x, y)

)(∀x ∈ E , ∀y ∈ F , P (x, y)

)⇐⇒

(∀y ∈ F , ∀x ∈ E , P (x, y)

)ExempleOn note H l'ensemble des hommes et F l'ensemble des femmes. La proposition ∀h ∈ H ∃f ∈ F , f est la

mère de h

signi�e � tout homme a une mère �, qui est vraie mais la proposition ∃f ∈ F ∀h ∈ H , f est la mère de h

signi�e � il existe une mère de tous les hommes �, qui est fausse

Exercice 11 Déterminer la valeur logique de

1. ∀y ∈ R , ∃x ∈ R , 2x = y 2. ∃x ∈ R , ∀y ∈ R , 2x = y

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c) Négation et quanti�cateurs

Résultat 4

non (∀x A(x)) = ∃x (non A(x)) non (∃x A(x)) = ∀x non (A(x))

ExempleLa négation de � tous les chats sont gris � n'est pas � tous les chats sont non gris �,

mais � il existe (au moins) un chat qui n'est pas gris �∀x chat , x gris ∃x chat , x non gris

RemarquePour nier une proposition contenant des quanti�cateurs,

• on change : ∀ en ∃ et ∃ en ∀, sans modi�er la place du quanti�cateur ni le référentiel ;

• on change les égalités en di�érences, les inégalités en inégalités de sens contraire, les inégalités strictesdevenant des inégalités larges et vice versa ;

• on change � et � en � ou � et réciproquement.

Exercice 12 Ecrire la négation des propriétés suivantes :

1. ∀x > 0 , ex > 1.

2. ∀r ∈ Q , ∃p ∈ N , rp ∈ Z.3. ∀x ∈ E , A(x) =⇒ B(x)

4. ∀x ∈ E , |x| > 2 =⇒ x > 2

d) Opérateurs logiques et quanti�cateurs

Résultat 5

Attention :∀x ∈ E ,

(P (x) et Q(x)

)⇔

(∀x ∈ E , P (x)

)et

(∀x ∈ E , Q(x)

)∃x ∈ E ,

(P (x) ou Q(x)

)⇔

(∃x ∈ E , P (x)

)ou

(∃x ∈ E , Q(x)

)mais

∀x ∈ E(P (x) ou Q(x)

)n'est pas équivalent à

(∀x ∈ E P (x)

)ou

(∀x ∈ E Q(x)

)∃x ∈ E

(P (x) et Q(x)

)n'est pas équivalent à

(∃x ∈ E P (x)

)et

(∃x ∈ E Q(x)

)Exercice 13 Donner la signi�cation (par une phrase) puis la valeur logique des propositions suivantes :

1. ∀n ∈ N ,(n pair ou n impair

)2.

(∀n ∈ N , n pair

)ou

(∀n ∈ N , n impair

)3.

(∃n ∈ N , n pair

)et

(∃n ∈ N , n impair

)4. ∃n ∈ N ,

(n pair et n impair

)5. ∀x ∈ [0, 1] ,

(x > 0⇒ ∃y ∈ R , y2 = x

)6. (∀x ∈ [0, 1] , x > 0)⇒

(∃y ∈ R , y2 = x

)

Remarque

1. Un objet mathématique (réel, ensemble, fonction) peut être représenté par une variable littérale.Toute variable littérale utilisée doit avoir été introduite au préalable. Une variable peut être

• un paramètre dé�ni dans un énoncé :

� On considère une urne contenant n boules, avec n entier naturel non nul � ;

� on pose a =1 +√5

2�.

•générique, quelconque �xée mais pouvant prendre n'importe quelle valeur dans un certain en-semble :

� Soit x ∈ R quelconque �xé �.

Dans ce cas, elle peut n'exister que de façon temporaire, dans un paragraphe donné, le temps d'une démonstration.

• indé�nie, par exemple lorsqu'elle est introduite par un quanti�cateur :

∀x ∈ R x2 > 0

(� tous les réels ont un carré positif, chaque réel a un carré positif �).

Dans ce cas, elle n'existe que le temps d'écrire une phrase.

2. Lorsqu'on écrit : � il existe un unique réel tel que ex = x+ 1, notons a ce réel �,ou encore � ∃!a ∈ R , ea = a+ 1 �on a dé�ni précisément la variable a.

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III Ensembles : manipulations

1 InclusionDé�nition 14

On dit que A est inclus dans B, ou encore que A est une partie de B, ou encore que A est un

sous-ensemble de B, lorsque x ∈ A⇒ x ∈ B , autrement dit lorsque ∀x ∈ A , x ∈ B .

On note A ⊂ B. Figure 3

Exercice 14 Compléter avec le symboles ∈ ou ⊂.1. ∅ . . . A (l'ensemble vide est inclus dans tout ensemble).

2. A . . . A (tout ensemble est inclus dans lui-même).

3. Si A ⊂ B et B ⊂ C alors A . . . C. Cette propriété vous fait-elle penser à une propriété sur les réels ?

4. 2 . . . [0, 2]

5. {2} . . . [0, 2]

RemarqueAttention à faire la di�érence entre l'inclusion et l'appartenance : 2 ∈ [0, 2] mais {2} ⊂ [0, 2]

RemarqueSupposons que A est inclus dans B. On note B \A l'ensemble des éléments de B qui ne sont pas dans A.

Par exemple : R \ {0} désigne l'ensemble des réels non nuls, que l'on note aussi R∗.

2 Egalité

Dé�nition 15

Deux ensembles A et B sont égaux lorsque

A ⊂ B et B ⊂ A

,autrement dit, si A et B sont 2 parties de l'ensemble E, lorsque

∀x ∈ E , x ∈ A⇐⇒ x ∈ B

ExempleR∗− = {x ∈ R, x < 0} =]−∞, 0[= R− \ {0}

Exercice 15 Lorsque A ⊂ B, pensez-vous qu'il est approprié de dire que A est plus petit que B ?

3 Réunion et intersectionDé�nition 16

On dé�nit les deux ensembles suivants :

• la réunion de A et B, notée A ∪B, par

x ∈ A ∪B ⇐⇒ x ∈ A ou x ∈ B

• l'intersection de A et B, notée A ∩B, par

x ∈ A ∩B ⇐⇒ x ∈ A et x ∈ B

Figure 4

Exercice 16 Compléter par le symbole ⊂, ou par l'ensemble approprié.

• ∅ ∪A = . . .

• ∅ ∩A = . . .

• A ∪A = . . .

• A ∩A = . . .

• A ∪B...A

• A ∩B...A

• Si A ⊂ B, alors A ∩B = ... et A ∪B = ...

Figure 5

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4 Produit cartésien

a) Notion de n-uple

Dé�nition 17

Soit x et y deux objets mathématiques ; on forme un nouvel objet appelé couple x, y en écrivant (x, y).Pour (x, y, x′, y′) quatre objets mathématiques, on a :

(x, y) = (x′, y′)⇐⇒ x = x′ et y = y′

.On dé�nit de même un triplet et un n−uplet pour tout entier naturel non nul n.

(x1, . . . , xn) = (x′1, . . . , x

′n)⇐⇒ ∀i ∈ {1..n} xi = x′

i

RemarqueAttention : dans un couple, un triplet, un n−uplet, l'ordre des éléments est important ; ne pas confondre un couple

avec une paire en particulier, ou un triplet avec un trinôme.

b) Produit cartésien

Dé�nition 18

Le produit cartésien de deux ensembles E et F , noté E × F est l'ensemble constitué de tous lescouples d'éléments (x, y), avec x ∈ E et y ∈ FLorsque E = F , on note E2 plutôt que E ×E, et plus généralement, pour un entier naturel n non nul�xé, on note E × · · · × E︸︷︷︸

n fois

= En.

Exemples

1. � ∀x ∈ R , ∀y ∈ R ... �s'écrit plutôt � ∀(x, y) ∈ R2 , ... �

2. Soit n un entier naturel et (x1, . . . , xn) ∈ Rn. On pose S = x1 + · · ·+ xn

Exercice 17 {2; 3}; (2, 3); {(2, 3)} désignent trois objets mathématiques di�érents. Dites à quels ensembles ils appar-

tiennent. Sont-ils égaux respectivement à {3; 2}; (3, 2); {(3, 2)} ?

5 Parties de RDans cette section, E désigne une partie de R.

a) Plus grand élément

Dé�nition 19

On dit que a est le plus grand élément (ou élément maximum) de l'ensemble E, et on notea = max(E) lorsque a est un élément de E supérieur ou égal à tous les autres éléments de E (dans cecas, il est unique).

Exercice 181. Compléter : a = max(E)⇐⇒ . . .

2. Justi�er que, si E admet un plus grand élément, alors ce plus grand élément est unique.

3. Les ensembles suivants admettent-ils un plus grand élément : [0, 2] ; {0; 2} ; R∗+ ; [0, 1[ ?

4. Sans justi�cation, dites si les ensembles suivants admettent un plus grand élément :

• Une partie non vide de N.• Une partie non vide et majorée de N.• Une partie �nie non vide et de N.• Une partie non vide de R.• Une partie non vide et majorée de R.• Une partie �nie non vide et de R.

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b) Intervalles réels

Dé�nition 20

On dit que I est un intervalle (réel) lorsque c'est une partie de R � sans trous �, c'est-à-dire lorsque :

∀(x, y) ∈ I2 , [x, y] ⊂ I

Exercice 191. La réunion de 2 intervalles est-elle un intervalle ?

2. L'intersection de 2 intervalles est-elle un intervalle ?

Résultat 6Les intervalles réels sont exactement les ensembles de la forme [a, b], où a et b sont deux bornes réelles ou in�nies,

et où les crochets sont ouverts ou fermés.

ExemplesR+ = {x ∈ R, x > 0} = [0,∞[

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IV Méthodes de démonstrations

1 Démontrer une proposition qui contient un quanti�cateur

Méthode

1. Pour montrer qu'un énoncé de la forme ∃x A(x) est vrai, on peut donner un exemple précis enfaisant le choix d'un x convenable.

2. Pour montrer qu'un énoncé de la forme ∀x A(x) est vrai, on doit systématiquement :

• commencer par � Soit x un élément de E (quelconque �xé) �

• écrire une démonstration de A(x)

• conclure par � Ceci étant vrai pour tout x ∈ E, on a montré (∀x ∈ E A(x)) �

3. On peut penser à utiliser la proposition contraire.Par exemple, pour montrer qu'un énoncé de la forme ∀x A(x) est faux, on peut donner un contre-exemple. Attention, si on trouve des x tels que A(x) soit vraie, on n'a rien démontré !

Exercice 20 Dans chacun des cas suivants, déterminer la valeur logique de P .

1. P :(∀(x, y) ∈ R2 , ∃z ∈ R , z = x+ y

).

2. P :(∃x ∈ R , ex = x+ 1

).

3. P :(∀x ∈ R , ln |x2 − x+ 4| = ln |x2 + x+ 4|

)4. P :

(∃x ∈ R , ∀y ∈ R , x2 + 2xy = 1

).

MéthodePour utiliser une hypothèse de la forme

(∀x ∈ E , P (x)

): on pense à l'utiliser pour des éléments bien

choisis.

Exercice 21 Soit a un réel véri�ant :(∀ε ∈ R∗+ |a| < ε

). Que dire de a ?

2 Démontrer une implication, une équivalence

MéthodePour montrer (P ⇒ Q) :

1. On démontre directement (P ⇒ Q)

(a) commencer par � Supposons P �

(b) écrire une démonstration de Q à l'aide des mots en français "donc", "alors" " par conséquent"...

(c) conclure en reprenant l'énoncé de la question posée : � on a montré que (P ⇒ Q) �.

2. On démontre la contraposée((nonQ)⇒ (nonP )

).

(a) commencer par � Supposons nonQ �

(b) écrire une démonstration de nonP à l'aide des mots en français "donc", "alors" " par conséquent"

(c) conclure : � on a montré que((nonQ)⇒ (nonP )

); on a donc montré que (P ⇒ Q) �.

MéthodePour montrer (P ⇔ Q) :on procède par double implication : on montre (P ⇒ Q) puis on montre (Q⇒ P )

Exercice 221. Montrer que ∀x ∈ R , x2 6= 4⇒ x 6= 2.

2. On pose j = e2iπ3 . Montrer que ∀n ∈ N

(j2n + jn + 1 = 0

)⇒ (∃k ∈ N , n = 3k + 1 ou n = 3k + 2 ).

3. Montrer que ∀n ∈ N n pair ⇔ n2 pair.

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3 Raisonnement par l'absurde

MéthodeOn veut montrer qu'une proposition P est vraie. On suppose P fausse, on en tire des conséquences logiquesjusqu'à obtenir une assertion contradictoire , c'est à dire à la fois vraie et fausse. On en déduit alors queP est vraie.

Exercice 231. montrer que

√2 est irrationnel.

2. Soit a un réel véri�ant : ∀ε ∈ R∗+ , |a| < ε. Montrer par l'absurde que a = 0.

RemarqueLe raisonnement par l'absurde est utile

• lorsque le contraire de P est plus facile à expliciter que P .

• pour démontrer une proposition de la forme ∃x ∈ E , A(x).

4 Raisonnement par analyse et synthèse (par construction)

MéthodeOn utilise ce raisonnement pour déterminer tous les objets véri�ant une condition donnée, montrer qu'ilexiste un et un seul objet véri�ant une condition donnée etc..., lorsque la résolution par chaîne d'équivalencen'est pas possible. On raisonne en trois étapes :

• analyse ou recherche de CN : � Soit ... une éventuelle solution �.

• construction : on dé�nit les objets sélectionnés à la �n de la première partie : � Soit ... tel que �

• synthèse ou recherche de CS : on examine si les objets qu'on vient de dé�nir remplissent les condi-tions de départ.

Exercice 241. Déterminer toutes les fonctions dé�nies sur R de la forme x 7→ ax2 + bx + c, avec a, b, c réels, qui admettent un

maximum en 1.

2. (caractérisation des fonctions linéaires) : Déterminer toutes les fonctions dérivables sur R véri�ant :

∀(x, y) ∈ R2 , f(x+ y) = f(x) + f(y)

3. Soit a ∈ R∗ etb ∈ R.On considère la fonction dé�nie sur R par : f(x) = ax2 + bx+ 2.Trouver une condition nécessaire et su�sante portant sur les réels a et b pour que f admette un maximum en 1.

4. Résoudre dans R√x+ 4 +

√x+ 2 = 1

2.

5 Raisonnement par récurrence

Dans la suite du paragraphe, P(n) désigne un prédicat de référentiel N.

Méthode

On commence par dé�nir l'hypothèse de récurrence, qu'on notera P(n)On veut ainsi démontrer :

∀n ∈ N P(n)Le raisonnement par récurrence peut prendre di�érentes formes. Dans tous les cas, la démonstrationcomporte 3 étapes.

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a) Récurrence simple :

Méthode

1. Initialisation : on montre que P(0) est vraie ;2. Hérédité : on montre que si, pour un entier n quelconque, P(n) est vraie, alors P(n+1) est vraie ;

3. Conclusion : on a donc montré par récurrence que P(n) est vraie pour tout entier n.

Exercice 251. Ecrire symboliquement la propriété qui permet le raisonnement par récurrence.

2. Montrer que, pour tout entier naturel, n et n2 ont même parité.

3. Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, 2n > n+ 1.

4. Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, 2n est pair.

Remarques

1. Le raisonnement par récurrence simple est approprié lorsque :

• On veut montrer une propriété de la forme ∀n ∈ N P(n)• On ne peut pas procéder directement en prenant n quelconque dans N et en montrant P(n).• Pour démontrer la propriété à un rang n, on a besoin de la propriété au rang précédent (Lorsqu'on

procède directement, qu'on prend n quelconque dans N, et qu'on cherche à montrer P(n), on s'aperçoit que,

pour montrer P(n), on a besoin d'utiliser que P(n− 1) est vraie.

• On dispose d'une relation de récurrence faisant un lien entre P(n) et P(n+ 1).

2. Le symbole ∀n ∈ N ne doit �gurer que dans la conclusion.

3. Si, dans l'hérédité, on n'utilise pas l'hypothèse de récurrence, c'est que la récurrence était inutile !

4. L'hérédité seule ne su�t pas à montrer la propriété pour tout entier naturel n.

b) Récurrence d'ordre p.

p est un entier naturel non nul (le plus souvent, on utiliserap = 2).

RemarqueLe raisonnement par récurrence d'ordre p est approprié lorsque, pour démontrer la propriété à un rang n, on a

besoin de la propriété aux p rangs précédents.

Méthode

1. Initialisation : on montre que P(0),P(1), ...,P(p− 1) sont vraies.

2. Hérédité : on montre que,si, pour un entier n quelconque, P(n),P(n+ 1), ...,P(n+ p− 1)sont vraies, alors P(n+ p) estvraie.

3. conclusion : on a donc montré par récurrence que P(n) est vraie pour tout entier naturel n.

Exercice 26 On dé�nit la suite (un)n∈N par

{u0 = u1 = 1∀n ∈ N un+2 = un+1 + un

Montrer que : ∀n ∈ N , un > n .

c) Récurrence forte

Méthode

1. Initialisation : on montre que P(0) est vraie.2. Hérédité : on montre que,

si, pour un entier n quelconque, P(0),P(1), ...,P(n) sont vraies, alors P(n+ 1) est vraie.

3. conclusion : on a donc montré par récurrence que P(n) est vraie pour tout entier naturel n.

Remarques

1. Le raisonnement par récurrence forte est approprié lorsque, pour démontrer la propriété à un rang n, on abesoin de la propriété à tous les rangs précédents.

2. Il se peut que la propriété ne soit à démontrer qu'à partir d'un rang n0 �xé ; on adapte alors les trois étapes.

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Chapitre 1 Logique, raisonnements, vocabulaire ensembliste.

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