Développements limités.

L'objet de ce chapitre est d'étudier les approximations d'une fonction au voisinage d'unpoint x0 par une fonction polynôme.

1.1 Formule de Taylor-Young.

1.1.1 Théorème de Rolle.

Théorème 1.1.1 (de Rolle). Soit f une fonction continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[telle que f(a) = f(b). Alors il existe au moins un nombre c ∈]a, b[ tel que f ′(c) = 0.

Une autre formulation de la conclusion est la suivante :"Il existe θ ∈]0, 1[ tel que f ′(a+ θ(b− a)) = 0".Cette formulation évite de mettre comme hypothèse que a < b. La conclusion est doncl'existence d'un c entre a et b qui annule la dérivée.

1.1.2 Formule des accroissements �nis

Théorème 1.1.2 (des accroissements �nis). Soit f une fonction continue sur [a, b], déri-

vable sur ]a, b[. Alors il existe c entre a et b tel que f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a.

En posant h = b− a donc b = a+ h, on peut écrire la conclusion sous la forme : il existeθ ∈]0, 1[ tel que f(a+h) = f(a)+hf ′(a+ θh). La formule de Taylor-Lagrange généraliserace résultat.

1

1.1.3 Formules de Taylor

Formule de Taylor-Lagrange : avec reste intégrable

Théorème 1.1.3. Soit f une fonction de classe Cn+1 sur un intervalle I et soient a et bdeux nombres de I on a :

f(b) = f(a) + (b− a)f ′(a) + (b− a)2

2 !f ′′(a) + · · ·+ (b− a)n

n !f (n)(a) +

∫ b

a

(b− t)n

n!fn+1(t)dt

Preuve. On prouve le résultat par récurrence sur n avec une intégration par parties leterme complémentaire

Corollaire 1.1.1. Soit f une fonction de classe Cn+1 sur un intervalle I et soient a et bdeux nombres de I. Si |f (n+1)| est majorée par M sur le segment [a, b] on a :∣∣∣∣∣f(b)−

n∑k=0

(b− a)k

k!fk(a)

∣∣∣∣∣ ≤M(b− a)n+1

(n+ 1)!

Formule de Taylor-Lagrange : avec reste de lagrange

Théorème 1.1.4. Soit f une fonction de classe Cn+1 sur un intervalle I et soient a et bdeux nombres de I. Alors il existe c entre a et b tel que

f(b) = f(a) + (b− a)f ′(a) + (b− a)2

2 !f ′′(a) + · · ·+ (b− a)n

n !f (n)(a) +

(b− a)n+1

(n+ 1)!f (n+1)(c)

Une autre formulation de cette formule est la suivante, en posant b = a + h : il existeθ ∈]0, 1[ tel que

f(a+ h) = f(a) + hf ′(a) +h2

2 !f ′′(a) +

h3

3 !f (3)(a) + · · ·+ hn

n !f (n)(a) +

hn+1

(n+ 1)!f (n+1)(a+ θh)

2

En utilisant le symbole de somme, on peut écrire

f(a+ h) =n∑k=0

hk

k !f (k)(a) +

hn+1

(n+ 1)!f (n+1)(a+ θh)

La partie régulière de cette formule de Taylor est formée de tous les termes qui rentrentdans la somme, et le reste (ici de Lagrange) est le dernier terme.C'est très souvent au voisinage de 0 qu'on écrit des formules de Taylor. Pour une fonctionf de classe Cn+1 au voisinage de 0, pour tout x dans ce voisinage, il existe θ ∈]0, 1[ tel que

f(x) = f(0) + f ′(0)x+f ′′(0)

2 !x2 +

f (3)(0)

3 !x3 + · · ·+ f (n)(0)

n !xn +

xn+1f (n+1)(θx)

(n+ 1)!

Formule de Taylor-Young.

Soit f une fonction de classe Cn dans un intervalle I contenant a ; elle véri�e les hypothèsesdu théorème de Taylor-Lagrange et on peut écrire, pour tout h tel que a+h ∈ I, (attention,la partie régulière s'arrête au (n− 1)ème terme) :

f(a+ h) = f(a) + hf ′(a) +h2

2 !f ′′(a) +

h3

3 !f (3)(a) + · · ·+ hn−1

(n− 1)!f (n−1)(a) +

hn

n!f (n)(a+ θh)

En remarquant que limh→0(a + θh) = a, et en utilisant l'hypothèse de continuité de la

dérivée nème de f , si on pose ε(h) =1

n !(f (n)(a + θh) − f (n)(a)), on a lim

h→0ε(h) = 0 et le

reste de la formule de Taylor peut s'écrirehn

n!f (n)(a+ θh) =

hn

n!f (n)(a)+hnε(h) : on a ainsi

allongé d'un terme la partie régulière de la formule de Taylor et écrit le reste sous unenouvelle forme, la forme de Young.On a donc :

Théorème 1.1.5 (Taylor-Young). Soit f une fonction de classe Cn sur un intervalle I eta ∈ I. Pour tout h tel que a+ h ∈ I, on a

f(a+h) = f(a)+hf ′(a)+h2

2 !f ′′(a)+

h3

3 !f (3)(a)+ · · ·+ hn

n !f (n)(a)+hnε(h) avec lim

h→0ε(h) = 0

Avec le symbole∑

, on peut écrire : f(a+ h) =n∑k=0

hk

k !f (k)(a) + hnε(h).

Au voisinage de 0 (situation la plus fréquente), pour une fonction régulière, on peut écrire

f(x) = f(0) + f ′(0)x+f ′′(0)

2 !x2 +

f (3)(0)

3 !x3 + · · ·+ f (n)(0)

n !xn + xnε(x) avec lim

x→0ε(x) = 0

Nous avons ainsi obtenu une approximation polynômiale de f (la partie régulière de laformule de Taylor), c'est-à-dire, nous le verrons bientôt, un développement limité de f auvoisinage de 0 ; c'est cette démarche que l'on va prolonger dans ce qui va suivre.

3

Un exemple.

Appliquons ce qui précède à la fonction f : x 7−→ ex, pour laquelle toutes les dérivées sontégales à f , et en particulier f (k)(0) = 1 pour tout k.

On peut alors écrire ex = 1 + x+x2

2!+x3

3!+ · · ·+ xn

n !+ xnε(x) avec lim

x→0ε(x) = 0.

1.2 Développement limité d'une fonction au voisinage

de 0.

1.2.1 Présentation

Dé�nition 1.2.1. Soit f une fonction dé�nie dans un voisinage de 0. On dit que f admetun développement limité à l'ordre n au voisinage de 0 si l'on peut écrire pour tout x :

f(x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ anx

n + xnε(x) avec limx→0

ε(x) = 0

A(x) = a0+a1x+a2x2+ · · ·+anxn est un polynôme de degré ≤ n ; c'est la partie régulière

du développement limité.

La détermination d'un développement limité à l'ordre n d'une fonction f au voisinage de0 permet donc d'en donner une approximation polynômiale de degré ≤ n.

Remarquons que pour tout polynôme A(x) de degré≤ n, on peut poser ε(x) =f(x)− A(x)

xnet on a f(x) = A(x) + xnε(x). Mais c'est seulement si ε(x) tend vers 0 que A(x) est lapartie régulière d'un développement limité de f au voisinage de 0.

Un exemple.

Soit f la fonction dé�nie par f(x) =1

1− x. (Remarquons qu'elle est bien dé�nie au voisi-

nage de 0, elle est dé�nie sur l'intervalle ]−∞, 1[ qui contient 0).Partons de l'identité "bien connue" : 1− xn+1 = (1− x)(1 + x+ x2 + · · ·+ xn).

On en déduit que1

1− x= 1 + x+ x2 + · · ·+ xn +

xn+1

1− x.

En posant ε(x) =x

1− x, on a lim

x→0ε(x) = 0 et

1

1− x= 1 + x+ x2 + · · ·+ xn + xnε(x).

Nous avons trouvé (pour tout n) un développement limité à l'ordre n de cette fonction fau voisinage de 0.

1.2.2 Propriétés des développements limités

Proposition 1.2.1 (Troncature). Soit f une fonction dé�nie au voisinage de 0. On supposeque f admet un dl0(n). Alors pour tout n′ < n, f admet aussi un dl0(n

′) et on obtient lapartie régulière du dl0(n

′) en "tronquant" celle du dl0(n), c'est-à-dire en n'en gardant queles termes de degré ≤ n′.

4

Preuve. Supposons que f(x) = a0+ a1x+ a2x2+ · · ·+ anxn+xnε(x) avec lim

x→0ε(x) = 0.

On peut écrire, puisque n′ < n

f(x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ an′xn

′+ an′+1x

n′+1 + · · ·+ anxn + xnε(x)

= a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ an′xn

′+ xn

′(an′+1x+ · · ·+ anx

n−n′+ xn−n

′ε(x)

)= a0 + a1x+ a2x

2 + · · ·+ an′xn′+ xn

′ε1(x)

avec ε1(x) = an′+1x+ · · ·+ anxn−n′

+ xn−n′ε(x) et clairement lim

x→0ε1(x) = 0.

Proposition 1.2.2 (unicité du d.l.). Si f admet un développement limité à l'ordre n auvoisinage de 0, alors ce développement limité est unique.

La partie régulière d'un développement limité ne dépend donc pas de la manière dont onl'obtient.

Par exemple, la fonction f dé�nie par f(x) =1

1− xest de classe Cn pour tout n, on

pourrait donc obtenir son dl0(n) grâce à la formule de Taylor-Young, et on obtiendrait

1

1− x= f(x) = f(0) + f ′(0)x+

f ′′(0)

2x2 +

f (3)(0)

3!x3 + · · ·+ f (n)(0)

n !xn + xnε(x)

En comparant avec ce qu'on a obtenu par un calcul direct :

1

1− x= 1 + x+ x2 + x3 + · · ·+ xn + xnε(x)

on est sûr que f(0) = 1, f ′(0) = 1, f ′′(0) = 2, f (3)(0) = 3!, . . ., f (n)(0) = n !.

(On peut montrer par récurrence que f (n)(x) =n !

(1− x)n+1mais on a obtenu la valeur de

ces fonctions en 0 sans avoir besoin de faire ces calculs.)

Proposition 1.2.3 (parité). Soit f une fonction dé�nie au voisinage de 0, et admettantun développement limité à l'ordre n au voisinage de 0, de partie régulière A(x).Alors, si f est une fonction paire, A(x) est un polynôme pair (dont les termes non nulssont tous de degré pair).Si f est une fonction impaire, A(x) est un polynôme impair (dont les termes non nuls sonttous de degré impair).

Preuve. On a f(x) = A(x)+xnε(x) donc f(−x) = A(−x)+(−1)nxnε(−x) donne un dl0(n)de la fonction x 7−→ f(−x), puisque clairement, si ε′(x) = (−1)nε(−x), on a lim

x→0ε′(x) = 0.

Donc si f est paire, on obtient ainsi deux expressions de son unique dl0(n), et en identi�ant,on a A(x) = A(−x), A(x) est pair.Si f est impaire, on obtient aussi une deuxième expression du dl0(n) de f :f(x) = −A(−x)− xnε′(x) d'où par identi�cation A(x) = −A(−x) et A est impaire.

5

1.2.3 Quelques développements limités de référence

Voici quelques dl0(n) à connaître. On les démontre par exemple grâce à la formule deTaylor-Young. Dans toutes ces formules ε est une fonction à chaque fois di�érente, maistoujours telle que lim

x→0ε(x) = 0.

ex = 1 + x+x2

2 !+ · · ·+ xn

n !+ xnε(x) =

n∑k=0

xk

k !+ xnε(x)

cosx = 1− x2

2 !+x4

4 !− x6

6 !+ · · ·+ (−1)p x

2p

(2p)!+ x2p+1ε(x) =

p∑k=0

(−1)kx2k

(2k)!+ x2p+1ε(x)

sinx = x− x3

3 !+x5

5 !− x7

7 !+ · · ·+ (−1)p x2p+1

(2p+ 1)!+ x2p+2ε(x) =

p∑k=0

(−1)kx2k+1

(2k + 1)!+ x2p+2ε(x)

ln(1 + x) = x− x2

2+x3

3− x4

4+ · · ·+ (−1)n−1x

n

n+ xnε(x) =

n−1∑k=0

(−1)k xk+1

k + 1+ xnε(x)

(1 + x)α = 1 + αx+α(α− 1)

2 !x2 + · · ·+ α(α− 1) · · · (α− n+ 1)

n !xn + xnε(x)

= 1 +n∑k=1

α(α− 1) · · · (α− k + 1)

k !xk + xnε(x)

1.2.4 Techniques de détermination de développements limités

Pour déterminer un développement limité d'une fonction qui n'est pas dans la courte listeci-dessus, on utilise les règles de calcul usuelles et moins usuelles qu'on va décrire ci-dessous.Il faut garder à l'esprit dès le départ d'un calcul l'ordre du d.l. que l'on cherche, et travaillersur des d.l. su�samment poussés pour ne pas faire d'erreur. Mais on ne doit pas non plusutiliser des d.l. à des ordres trop élevés, car si on peut toujours tronquer un d.l., rien nesert de faire des calculs trop compliqués.

Dans tout ce qui suit, les fonctions ε, εi sont des fonctions qui tendent vers 0 en 0.

Changement de variable linéaire

On peut toujours appliquer le développement limité connu d'une fonction f au voisinagede 0 à la fonction x 7−→ f(λx).

Exemple :Calculer un développement limité à l'ordre 3 de la fonction f : x 7−→ 3

√1− 2x.

On écrit f1(x) = (1− 2x)13 = (1 + u)

13 avec u = −2x. On applique la formule du dévelop-

6

pement limité de (1 + x)α :

f1(x) = 1 +1

3u+

13(13− 1)

2 !u2 +

13(13− 1)(1

3− 2)

3 !u3 + u3ε(u)

= 1 +1

3(−2x) + 1(−2)

3× 3× 2(−2x)2 + 1(−2)(−5)

3× 3× 3× 6(−2x)3 + x3(−8ε(−2x))

f1(x) = 1− 2

3x− 4

9x2 − 40

81x3 + x3ε1(x)

Linéarité des développements limités.

On peut additionner, multiplier par une constante des développements limités sans di�-culté.

Exemple :Déterminer le développement limité à l'ordre 3 de la fonction f2 : x 7−→ 3 3

√1− 2x+ ex :

On récupère le résultat qu'on vient d'obtenir, puisque f2 = 3f1 + exp, on a

f2(x) = 3(1− 2

3x− 4

9x2 − 40

81x3 + x3ε1(x)) + 1 + x+

1

2x2 +

1

6x3 + x3ε(x)

= (3 + 1) + (−2 + 1)x+ (−4

3+

1

2)x2 + (−40

27+

1

6)x3 + x3ε2(x)

f2(x) = 4− x− 5

6x2 − 71

54x3 + x3ε2(x)

Multiplication de deux développements limités

On peut multiplier deux développements limités au même ordre, il su�t de tronquer encours de calcul et ne garder que les termes de degré ≤ à l'ordre souhaité.

Exemple : Déterminer le dl0(3) de f3 : x 7−→ ex√1 + x.

On écrit simplement ex = 1 + x+ 12x2 + 1

6x3 + x3ε(x) et

√1 + x = (1 + x)

12 = 1 + 1

2x+

12( 12−1)2

x2 +12( 12−1)( 1

2−2)

6x3 + x3ε′(x) donc

f3(x) = (1 + x+1

2x2 +

1

6x3 + x3ε(x))(1 +

1

2x− 1

8x2 +

1

16x3 + x3ε′(x))

= 1 + (1 +1

2)x+ (

1

2+

1

2− 1

8)x2 + (

1

6+

1

4− 1

8+

1

16)x3 + x3ε3(x)

= 1 +3

2x+

7

8x2 +

17

48x3 + x3ε3(x).

Quotient de développements limités

Si on connaît un développement limité de f et un développement limité de g, on peut obte-

nir un développement limité def

gen faisant une division selon les puissances croissantes.

7

Il faut que g(0) 6= 0 (pour quef

gsoit dé�nie au voisinage de 0.)

Exemple :Déterminer le développement limité à l'ordre 6 de tanx (au voisinage de 0).

On a sinx = x− x3

6+ x5

120+ x5ε1(x) et cosx = 1− x2

2+ x4

24+ x4ε(x) (nous verrons que le

terme en x6 ne sert à rien).

x − 1

6x3 +

1

120x5 1− 1

2x2 +

1

24x4

−(

x − 1

2x3 +

1

24x5

)x+

1

3x3 +

2

15x5

1

3x3 − 1

30x5

−(

1

3x3 − 1

6x5

)2

15x5

1120− 1

24= 1−5

120= − 4

120= − 1

30

− 130

+ 16= −1+5

30= − 4

30= − 2

15

On peut donc conclure que tanx = x+1

3x3 +

2

15x5 + x6ε(x).

Composition de développements limités

Si f admet un d.l.0 et u est une fonction qui admet un d.l. et qui tend vers 0, on peutcomposer les développements limités.

Exemple :Déterminer le développement limité à l'ordre 5 de f dé�nie par f(x) = ln cosx.

On écrit f(x) = ln(1 + u) avec u = cosx− 1 = −1

2x2 +

1

24x4 + x5ε1(x).

Puisque ln(1 + u) = u− 1

2u2 + u2ε2(u), (les termes suivants ne feraient apparaître que des

puissances de x d'ordre ≥ 6), on calcule u2 =1

4x4 + x4ε3(x) et −

1

2u2 = −1

8x4 + x4ε4(x).

On en déduit que

f(x) = −1

2x2 +

(1

24− 1

8

)x4 + x5ε(x) = −1

2x2 − 1

12x4 + x5ε(x)

Intégrations des développements limités

Voir TD

8

1.3 Autres Développements limités.

1.3.1 Développement limité au voisinage de x0

Pour traiter un développement limité au voisinage de x0, il su�t de se ramener en 0 enposant x = x0 + h, car lorsque x est au voisinage de x0, alors h est au voisinage de 0.

Exemple :Déterminer le développement limité à l'ordre 3 de la fonction cos au voisinage de π

3.

On écrit

cos(π

3+ h) = cos

π

3cosh− sin

π

3sinh

=1

2

(1− h2

2+ h3ε1(h)

)−√3

2

(h− h3

6+ h3ε2(h)

)=

1

2−√3

2h− 1

4h2 +

√3

12h3 + h3ε(h)

On peut écrire ce développement limité de la fonction cos au voisinage deπ

3sous la forme

cosx =1

2−√3

2(x− π

3)− 1

4(x− π

3)2 +

√3

12(x− π

3)3 + (x− π

3)3ε′(x)

avec limx→π

3

ε′(x) = 0 (avec ε′(x) = ε(x− π

3)).

Application à un calcul de limite.

Soit à calculer limx→π

3

sin 3x

1− 2 cosx.

On écrit un développement limité (à l'ordre 2) du numérateur et du dénominateur de la

fonction f : x 7−→ sin 3x

1− 2 cosxau voisinage de

π

3:

sin 3x = sin 3(π3+ h) = sin(π + 3h) = − sin 3h = −3h+ h2ε3(h) et on a vu que

cosx = cos(π3+h) = 1

2−√32h− 1

4h2+

√3

12h3+h3ε(h) = 1

2−√32h− 1

4h2+h2ε4(h) (en tronquant),

donc on a 1−2 cosx = 1−2 cos(π3+h) = 1−(1−

√3h− 1

2h2)+h2ε5(h) =

√3h+ 1

2h2+h2ε6(h)

On a donc f(x) = f(π3+ h) =

−3h+ h2ε3(h)√3h+ 1

2h2 + h2ε6(h)

=−3 + hε3(h)√3 + 1

2h+hε6(h)

.

c'est à dire : limh→0

f(x) = −√3

On remarque qu'en fait, un d.l. à l'ordre 1 aurait su� pour résoudre ce problème.

9

1.3.2 Développement asymptotique d'une fonction au voisinage de

l'in�ni.

Lorsqu'on est au voisinage de l'in�ni, on ne parle plus de développement limité, mais dedéveloppement asymptotique. La méthode pour déterminer un développement asympto-

tique est analogue à celle utilisée pour le d.l.x0 : on se ramène en 0 en posant h =1

xet

donc x =1

h. Pour x→ ±∞, on a h→ 0.

Ces développements asymptotiques sont utiles pour déterminer le comportement d'unefonction au voisinage de l'in�ni, déterminer d'éventuelles asymptotes horizontales ou obliques,et déterminer la position relative de la courbe par rapport à l'asymptote.

Etudions un exemple :Déterminer le comportement à l'in�ni de la fonction f : x 7−→ e

1x

√1 + x2.

On pose x =1

h, et on a donc

f(x) = f(1

h) = eh

√1 +

1

h2= eh

√h2 + 1√h2

=1

|h|eh√1 + h2

On connaît le développement limité (à l'ordre 2, cela su�t, en général) au voisinage de 0de la fonction exp et on sait déterminer celui de h 7−→

√1 + h2.

eh = 1 + h+1

2h2 + h2ε1(h)

√1 + h2 = 1 +

1

2h2 + h2ε2(h) donc

f(x) =1

|h|

(1 + h+

1

2h2 + h2ε1(h)

)(1 +

1

2h2 + h2ε2(h)

)=

1

|h|

(1 + h+

1

2h2 +

1

2h2 + h2ε3(h)

)=

1

|h|(1 + h+ h2 + h2ε3(h))

Pour x→ +∞, on a h > 0, donc

f(x) =1

h+ 1 + h+ hε3(h) = x+ 1 +

1

x+

1

xε(x) avec lim

x→+∞ε(x) = 0.

On en déduit que la droite d'équation y = x+1 est asymptote oblique à la courbe de f , etla courbe de f est au-dessus de son asymptote (en tout cas pour x assez grand pour que

|ε(x)| < 1, ce qui permet d'être sûr que1

x+

1

xε(x) > 0.)

De même, pour x→ −∞, on a h < 0 donc

f(x) = −1

h− 1− h− hε3(h) = −x− 1− 1

x+

1

xε′(x) avec lim

x→−∞ε′(x) = 0.

La droite d'équation y = −x− 1 est donc asymptote oblique à la courbe de f au voisinage

de −∞, et la courbe de f est au-dessus de cette asymptote (car −1

x> 0) pour les x négatifs

tels que |x| est su�samment grand pour que |ε′(x)| < 1, ce qui assure que −1

x+1

xε′(x) > 0.

10

Aspect de la courbe de f , et de ses asymptotes obliques :

11