chap7-Stat-Proba-Invest_en_avenir_proba-corr.doc
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Chapitre 7 : Stat., Probabilités., Investissements en avenir probabilisable. - CORRECTION Chapitre 7 : Statistiques, Probabilités : - Evaluation des investissements en avenir probabilisable Tableau synoptique : Rappels de statistiques et probabilités Statistiques Probabilité Définition : Pour simplifier disons que la probabilité qu’un évènement noté (X=x i ) se réalise est le nombre P(X=x i ) avec P(X=x i ) [0 ;1]. Pour une définition mathématiquement rigoureuse voir la remarque en fin de paragraphe Définition Deux variables aléatoires X et Y sont dites indépendantes ssi P = P(X=x)P(Y=y) Moyenne arithmétique Définition : Propriétés = a = a + b = + Espérance mathématique Définition Propriétés E(aX) = a E(X) E(aX+b) = a E(X) + b E(X + Y) = E(X) + E(Y) Covariance Définition : Covariance Définition : Variance Définition Variance Définition V(X) = E = E(X²) – E(X)² Propriétés V(aX) = a²V(X) V(aX+b) = a²V(X) Si X et Y indépendants alors : V(X + Y) = V(X) + V(Y) = V(X-Y) Cas général : o V(X+Y) = V(X) + V(Y) + 2 cov(X,Y) o V(X-Y) = V(X) + V(Y) - 2 cov(X,Y) Ecart-Type Définition : Propriétés (aX) = |a| (X) DECF – Gestion financière – Epreuve 4 Compléments de mathématiques M. Duffaud Franck 1/10
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Chapitre 7 : Stat., Probabilits., Investissements en avenir probabilisable. - CORRECTIONChapitre 7 : Statistiques, Probabilits : - Evaluation des investissements en avenir probabilisableTableau synoptique: Rappels de statistiques et probabilitsStatistiques ProbabilitDinition : Pour simpliier !isons "ue la probabilit "u#un v$nement not %&'(i) se ralise est le nombre P%&'(i) ave* P%&'(i) +, -./.Pour une dfinition mathmatiquement rigoureuse voir la remarque en fin de paragrapheDinition0eu( variables alatoires & et 1 sont !ites in!pen!antes ssi P ' P%&'()P%1'2)!oyenne arithmtique 0inition : Proprits ' a ' a3 b '3 Espran"e mathmatique 0inition PropritsE%a&) ' a E%&)E%a&3b) ' a E%&) 3 bE%& 3 1) ' E%&) 3 E%1)Covarian"e 0inition : Covarian"e 0inition :
#arian"e 0inition
#arian"e 0inition4%&) ' E ' E%&5) 6 E%&)5
Proprits 4%a&) ' a54%&) 4%a&3b) ' a54%&) Si & et 1 in!pen!ants alors : 4%& 3 1) ' 4%&) 3 4%1) ' 4%&-1) Cas 7nral :o 4%&31) ' 4%&) 3 4%1) 3 8 *ov%&,1)o 4%&-1)' 4%&) 3 4%1) - 8 *ov%&,1)E"art-Type 0inition : Proprits%a&) ' 9a9 %&)%a&3b) ' 9a9 %&) Remarque : %Pour les matheu() 0initions : Soit un ensemble ini et P %) l#ensemble !es parties !e.o :e *oupleest appel espa*e probabilisable.o :es lments !e P %) sont appels v$nements.o :es sin7letons ; < sont les v$nements lmentaires.0EC= 6 >estion inan*i$re 6 Epreuve ?Complments !e mathmati"ues M. Duffaud Franck.@AChapitre 7 : Stat., Probabilits., Investissements en avenir probabilisable. - CORRECTION0inition : On appelle probabilit !inie sur l#espa*e probabilisabletoute appli*ation P !e P %) !ans +,,./ vriiant les 8 a(iomes : .. P %) ' .8. Pour toutes parties B et C !e P %) telles "ue BC ' , P%BC) ' P%B) 3 P%C).:e triplet etest appel espa*e probabilis ini.Cara"trisationEn investissement, l#avenir probabiliste est une situation !ans la"uelle il est possible !e !terminer touteslesvaleurs"uepeut pren!rele*ash-loDrelati Eune(er*i*e!onnet !#ae*ter uneprobabilitE*ha*une !e *es valeurs. Ce *ash-loD !evient une variable alatoire %&) !ont on *onnaFt la loi.$ - %e "rit&re 'espran"e varian"e(On peut alors *al*uler l#espran*e !e la 4BN, sa varian*e et son *art-t2pe. E%4BN) : value la rentabilit. 4%4BN) et 4BN !onnent la mesure !u ris"ue.En prati"ue on ne retient "ue G h2poth$ses %optimiste, mo2enne et pessimiste).)* E+emple ) On *onsi!$re !eu( proHets !e *apital investi .,, %en milliers) et !#une !ure !e G ans.Cha"ue *ash-loD a ait l#obHet !e G valuations.On suppose "ue les *ash-loDs sont in!pen!ants et "ue le *oIt !u *apital est !e .,J.(en milliers) ,nne ) ,nne - ,nne .Pro/et )C) P0C)1 C- P0C-1 C. P0C.1K, ,.G L, ,.? K, ,.?7, ,.? K, ,.G K, ,.GA, ,.G 7, ,.G 7, ,.GPro/et -C2) P0C2)1 C2- P0C2-1 C2. P0C2.1G, ,.G L, ,.? ?, ,.?K8 ,.L A, ,.? L, ,.8M, ,.8 .,, ,.8 .8, ,.? Cal"ul de la #,3) : 4BN. ' C.... 6 . 3 C8... 6 8 3 CG... 6 G 6 .,,%en milliers):es *ash-loDs Ci sont !es variables alatoires, !on* la 4BN est une *ombinaison linaire !e variables alatoires, *#est !on* elle-mNme une v.a.0EC= 6 >estion inan*i$re 6 Epreuve ?Complments !e mathmati"ues M. Duffaud Franck8@AChapitre 7 : Stat., Probabilits., Investissements en avenir probabilisable. - CORRECTION Cal"ul de l2espran"e de la #,3) et de la varian"eE%4BN.) ' E%C.)... 6 . 3 E%C8)... 6 8 3 E%CG)... 6 G 6 .,, 4%4BN.) ' 4%C.)... 6 8 3 4%C8)... 6 ? 3 4%CG)... 6 K o A la mainC. P%C.) C.P%C.) C.5 C.5P%C.)K, ,.G .A GK,, .,A,7, ,.? 8A ?M,, .MK,A, ,.G 8? K?,, .M8,Somme74 5674Espran"eC8 P%C8) C8P%C8) C85 C85P%C8)L, ,.? 8, 8L,, .,,,K, ,.G .A GK,, .,A,7, ,.G 8. ?M,, .?7,Somme 86 .884Espran"eEsprance (C2) =59Variance (C2) =69CG P%CG) CGP%CG) CG5 CG5P%CG)K, ,.? 8? GK,, .??,K, ,.G .A GK,, .,A,7, ,.G 8. ?M,, .?7,Somme 7. .664Espran"eEsprance (C3) =63Variance (C3) =210on*E%4BN.) ' E%C.)... 6 . 3 E%C8)... 6 8 3 E%CG)... 6 G 6 .,, E%4BN.) ' 7,... 6 . 3 LM... 6 8 3 KG... 6 G 6 .,, 4%4BN.) ' 4%C.)... 6 8 3 4%C8)... 6 ? 3 4%CG)... 6 K 0EC= 6 >estion inan*i$re 6 Epreuve ?Complments !e mathmati"ues M. Duffaud FranckG@AChapitre 7 : Stat., Probabilits., Investissements en avenir probabilisable. - CORRECTIONo Utilisation de la calculatrice:a plupart !es *al*ulatri*es *al*ulent *ela. Pour *ela sle*tionneO le menu STBT 6 8 4BR puis entreO les !onnes !ans le tableau et tout se *al*ule automati"uement.Bve* la PP .,CII, par e(emple pour le *al*ul !e C. C: Q K, INPRT ,.G Q3 7, INPRT ,.? Q3 A, INPRT ,.G Q3 ,S !onne la mo2enne !on* l#espran*e : 7, (2 S !onne l#*art t2pe : A..KL, et !on* 4%C.) ' A..KL,5 T KK.7 % probl$me UU) E+er"i"e ): Evaluation des investissements en avenir in"ertainCal*uler E%4BN8) , 4 %4BN8) et 4BN8 et *omparer les proHets !e l#e(emple . !u Chapitre 7Projet 2CV. P%CV.) CV.P%CV.) CV.5 CV.5P%CV.)G, ,.G M M,, 87,K8 ,.L G. GA?? .M88M, ,.8 .A A.,, .K8, Somme89 .9)-Espran"eEsprance C1 = 58Variance C1=448Ecart type C1=21.1660105CV8 P%CV8) CV8P%CV8) CV85 CV85P%CV8)L, ,.? 8, 8L,, .,,,A, ,.? G8 K?,, 8LK,.,, ,.8 8, .,,,, 8,,, Somme7- 8874Espran"eEsprance C2 = 2Variance C2 =36Ecart type C2 = 19.390194CVG P%CVG) CVGP%CVG) CVG5 CVG5P%CVG)?, ,.? .K .K,, K?,L, ,.8 ., 8L,, L,,.8, ,.? ?A .??,, L7K, Somme75 7644Espran"eEsprance C3 = 4Variance C3=14240EC= 6 >estion inan*i$re 6 Epreuve ?Complments !e mathmati"ues M. Duffaud Franck?@AChapitre 7 : Stat., Probabilits., Investissements en avenir probabilisable. - CORRECTIONEcart type C3=3.359245Projet 2Cout du capital 10.00%Investissement 100E(V!"2) =6.83V(V!"2) =1 430.8(V!"2) =3.83Blors "ue pour le proHet . on avaitEn "on"lusion: :e se*on! proHet a une E%4BN8) suprieure mais un ris"ue beau*oup plus lev %l#*art t2pe est !e .,,?8 pour pres"ue GA pour le proHet 8), on est !ans un *as !e *hoi( !ii*ile mais le proHet . nous apportera plus !e s*urit.$$ : %2arbre de d"ision)* DinitionC#est un arbre !e probabilit %ou s*hma) tabli lors"ue l#entreprise est *onronte E !es !*isions multiples et s"uentielles en mati$re !#investissement. Il permet !e visualiser l#ensemble !es *hoi( et !on* !e a*iliter une valuation inan*i$re !ia7nosti"ue.-* !thodeOn in!i"ue : :es nWu!s !*isionnels par !es *arrs, :es nWu!s !#v$nements par !es *er*les.E+emple : Rne entreprise !oit *hoisir entre G proHets, valus sur une !ure !e ? ans, en tenant *ompte !es 8 v$nements suivants : E. : l#a*tivit reste stable ou l7$rement en pro7ression %probabilit ,,K)E8 : l#a*tivit E ten!an*e E r7resser %probabilit ,,?)Pro/et ) %en Xilos euros) Investissemento 0ate , :!e K ,,,o 0ate . : e(tension !e l#investissement !e G ,,, si E. Cash-loDs estimso =in !e la .$re anne 8 ,,,o Cash-loDs suivants : Si e(tension : G L,, si E. et G ,,, si E8 Sinon, 8 G,, si E. et 8 ,,, si E8 Si E la !ate ., E. n#est pas vriie, *ash-loDs annuels prvus !e 8 ,,,Pro/et - %en Xilos euros) Investissement 7lobal !$s le !part !e A ,,, Cash-loDs annuels estims 8 A,, si E. et 8 L,, si E8Pro/et . %en Xilos euros)On renon*e E tout investissement0EC= 6 >estion inan*i$re 6 Epreuve ?Complments !e mathmati"ues M. Duffaud FranckL@AChapitre 7 : Stat., Probabilits., Investissements en avenir probabilisable. - CORRECTIONCoIt !u *apital .,JI ' A,,,, soit E%4BN ) ' 8A,, ,.K 3 8L,, ,.? 6 A,,, ' ?ML,8?Et pour I ' ,, E%4BN) ' ,Con"lusion : On !oit raliser un investissement !e K ,,, E la !ate ,, sans e(tension E la !ate .0EC= 6 >estion inan*i$re 6 Epreuve ?Complments !e mathmati"ues M. Duffaud FranckK@AChapitre 7 : Stat., Probabilits., Investissements en avenir probabilisable. - CORRECTION0EC= 6 >estion inan*i$re 6 Epreuve ?Complments !e mathmati"ues M. Duffaud Franck7@AChapitre 7 : Stat., Probabilits., Investissements en avenir probabilisable. - CORRECTION0EC= 6 >estion inan*i$re 6 Epreuve ?Complments !e mathmati"ues M. Duffaud FranckA@A
