CH XIV AIRES et PERIMETRES

1. Qu’est ce que le périmètre d’une figure ? Qu’est ce que l’aire d’une figure ?

A) Périmètre Le périmètre d’une figure fermée est la longueur de la ligne qui en fait le tour.

Calculons le périmètre : ( L’unité de longueur est le cm ) p = 1,7 + 1,5 + 1,6 + 3 + 4

p = 11,8 ( cm ) B) Aire L’aire d’une figure fermée est la mesure de la surface qui se trouve à l’intérieur. Calculons l’aire : ( L'unité d’aire est la surface d’un carreau )

a = 8 ( carreaux )

C) Ne pas confondre aire et périmètre

1°) Deux figures peuvent avoir le même périmètre mais des aires différentes p = 10 ( cm ) p = 10 ( cm )

a = 6 ( cm2) a = ( 4 cm2 ) 2°) Deux figures peuvent avoir la même aire mais des périmètres différents

p = 8 ( cm ) p = 10 ( cm )

a = 4 ( cm2) a = 4 ( cm2)

3°) Des figures différentes peuvent avoir le même périmètre et la même aire.

p = 12 ( cm ) p = 12 ( cm )

a = 5 ( cm2) a = 5 ( cm2)

4°) Il faut se méfier des apparences

La figure de plus grand périmètre est l’étoile. La figure de plus grande aire est le rectangle

2. Aire et périmètre du rectangle et du carré. Aire du triangle rectangle

Unité de longueur choisie : Unité d’aire choisie :

P = 4 x 2 + 2 x 2 P = 8 + 4 P = 12 (cm)

A = 4 x 2 A = 8 ( cm2)

P = L x 2 + l x 2

P = 2 L + 2l

A = L x l

P = 3 x 4 A = 3 x 3 P = 12 (cm) A = 9 (cm2)

P = c x 4 P = 4 c

A = c x c A = c2 " c puissance 2 "

A = (2 x 4) : 2

A = 8 : 2

A = 4 (cm2)

A = (a x b ) : 2

A =

a × b2

1 cm2 1 cm

3 cm

3 cm

4 cm

2 cm

4 cm

2 cm

L

l

c

c b

a

3. Exemples de calcul d’aires

A) La façade de maison

Aire du rectangle R1 : 2 x 1,5 = 3 (m2)Aire du triangle T : (2 x 3) : 2 = 6 : 2 = 3 (m2)Aire du rectangle R2 : 2 x 3 = 6 (m2)Aire du rectangle R3 : 3 x 1,5 = 4,5 (m2)Aire de la façade : 3 + 3 + 6 + 4,5 = 16,5 (m2)

C) Exemple 3

La figure a la même aire que le rectangle ABCD. L x l = 4,2 x 2,2 = 9,24 (cm2)

B) Le studio

Aire du rectangle ABCD : (2 + 3,8) x 6,5 = 5,8 x 6,5 = 37,7 (m2)Aire de l'entrée : 6,5 – 2 – 2,5 = 4,5 – 2,5 = 2 (m) 2 x 2 = 4 (m2)Aire du studio : 37,7 – 4 = 33,7 (m2)

D) Exemple 4

Aire du carré central 2 x 2 = 4 (cm2)Aire des 4 quarts de disque soit d'un disque entier π x r x r = π x 2 x 2 ≈ 12,6 (cm2)L'aire totale de la figure est : 12,6 + 4 = 16,6 (cm2)

2 cm

4,2 cm

2,2 cm

On déplace le morceau

A B

D C

4,2 cm

2,2 cm

A

D

B

C

R1

T

R2

R3

4. Exemples de calcul de périmètres

A) FormulePour calculer le périmètre d’un cercle, on multiplie son diamètre par un nombre appelé π (pi).Ce nombre est connu depuis l’antiquité et il est à peu près égal à 3,14.

π ≃ 3,14 P ( cercle ) = d x π B) La tableUne table ronde a un diamètre de 1,60 m. Pour l’agrandir, on la sépare en deux et on place deux rallonges rectangulaires de 40 cm de large. 1. Quel est le périmètre de la table avec ses rallonges ? 2. Combien peut-on placer de personnes autour de cette table sachant qu’il faut compter un espace de 70 cm par personne pour y être à l’aise.

Solution

1°) Périmètre du cercle ( table sans rallonges ) 1,60 x π ≃ 5,03 ( m )Périmètre de la table 5,03 + 0,40 x 4 = 5,03 + 1,60 = 6, 63 ( m )

2°) Conversion 6,63 m = 663 cm 663 : 70 = 9 ( reste 33 cm )9 personnes peuvent s’installer autour de la table.

C) Le puitsPour remonter le seau d’un puits, on utiliseune corde qui s’enroule sur un treuil de 20 cm de diamètre. Il faut douze tours de manivelle pour remonter le seau. A quelle profondeur l’eau du puits se trouve-t-elle ?

SolutionSi on fait un tour de manivelle, la corde descend de Π x d = π x 20 ≈ 63 (cm) Pour 12 tours de manivelle, on obtient : 63 x 12 = 756 (cm) 756 cm = 7,56 mL'eau du puits se trouve à 7,56 m environ.

5. Unités d’aires. Conversions

A) Définition

Le mm2

aire d’un carré de 1 mm de côté.

Le cm2 aire d’un carré de 1 cm de côté

Le dm2 aire d’un carré de 1 dm de côté.

B) Conversion des unités d’aires

L’aire du “ grand carré ” est 1 dm2.L’aire d’un “ petit carré ” est 1 cm2.

On peut remplir le carré de 1 dm2 avec100 “ petits carrés ” de 1 cm2 donc :

1 dm2 = 100 cm2

Conclusion Chaque unité vaut 100 unités inférieures.

C) Tableau de conversion

Il faut mettre deux chiffres par colonne.

km2km2 hm2hm2 dam2dam2 m2m2 dm2dm2 cm2cm2 mm2mm2

3 4 5

345 m2 = 3, 45 dam2

345 m2 = 0,0345 hm2

345 m2 = 34 500 dm2

1 mm2

1 cm2

1 dm2