Ch 4 Plans Expériences

8/18/2019 Ch 4 Plans Expériences

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Chapitre 4:

deux niveaux

Pr E. M. EL HADRAMI 1


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I- Introduction

,de façon exponentielle avec les facteurs.

Deviennent rapidement prohibitifs



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e oca ser sur es e e s es p us n ressan s.

Les plans fractionnaires sont des plans

op maux qu perme en e r u re a c argeexpérimentale.



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II- Définition

Un PFC permet d’estimer, non seulement leseffets des facteurs mais é alement toutesleurs interactions 2 à 2, 3 à 3,…

Or en prat que es nteract ons 2 2 typeABC) et au-delà sont bien souvent.



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Dans une étude à 5 facteur, par exemple, lePFC propose 32 essais et nous ne sommesn ress s que par n orma ons:

** Les interactions du 1er ordre:10* La moyenne: 1

Donc 16 informations inutiles (de trop)!!!



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utiliser pour l’étude de k facteurs lesmatrices des effets des PFC 2k-1, ou 2k-2,… ou2k-p

L’avantage des PFr 2k-p est évident: diviser

a c arge exp r menta e par 2p 2-p

= 2 2p



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III- PFr 24-1 pour l’étude de 4 facteurs

III-1- Les aliases

PFC 24

: 16 essais* 4 effets principaux: A,B,C et D* 6 interactions de 1er ordre: AB, AC, AD, BC, BD et CD

, ,* 1 interaction du 3ème ordre: ABCD* La moyenne

Chacun de ces effets a sa colonne propre dans

’réaliser un PFr 24-1, on choisit de travailler avecla matrice des effets du PFC 23.



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Matrice des effets du plan 23 comporte 8 essais

et donc 8 colonnes.N° A B C AB BC AC ABC Moy

essai

1

-1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 +1+ - - - + - + +

3 -1 +1 -1 -1 -1 +1 +1 +1

4

+1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 +15 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1

6 +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1

7 -1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 +18 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1

Pr E. M. EL HADRAMI

Ma t r i c e d e s e f f e t s d u p l a n 2

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Il reste 8 effets à placer: D et ses interactions.

Plus d’un effet par colonne

Int ressons nous D tout a or . n ne peutlui attribuer qu’une colonne déjà occupée.

Comme l’interaction ABC est probablement

né li eable D occu era la colonne de ABC



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°

ABC

1 - - - -

2 + - - +

3 - + - +- -

5 - - + +

6 + - + -

7 - + + -8 + + + +

D et ABC sont confondus. On dit qu’ils sontalias s et on crit D = ABC



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Dans les autres colonnes A, B, C, AB,…vont être

a as s avec es n erac ons e e cec vadépendre de l’aliase initiale D = ABC

Rappel:

AB = BA : commutativité

AI = IA = A : élément neutre (I colonne

mo enneA.A = I qqs A



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D = ABC DD= DABC soit I = ABCD

I = ABCD est appelé générateur d’aliases

Donc interaction ABCD confondu avec la colonne

De même B = ACD et C = ABD

ABI = (AB)(ABCD) = AABBCD soit AB = CDDe même BC = AD et AC = BD



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N° A B C AB BC AC ABC I mo

essai BCD ACD ABD CD AD BD D ABCD

1 - - - + + + - +

2 + - - - + - + +

3 - + - - - + + +

4 + + - + - - - +

5 - - + + - - + +

6 + - + - - + - +

7 - + + - + - - +

8 + + + + + + + +

Ma t r i ce d u p l a n 2 4 - 1



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III-2- Contrastes

Y1, y2,…..y8, les valeurs obtenues pour laréponse aux huit essais du plan 24-1.

h1 = 1/8(-y1+y2-y3+y4-y5+y6-y7+y8) signe de la colonne 1

=

On l’appelle contraste, il rend compte des variations de A et del’interaction BCD



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III-3- Étude de cas

Étude de l’influence sur l’allongement à la

rupture d’un élastomère en fonction de lanature de l’élastomère, le taux d’additif, lesystème de vulcanisation et le taux de kaolin.



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La réponse y: allongement à la rupture (%)

Facteur A: nature de l’élastomère

Facteur B: taux d’additif

Facteur C: système de vulcanisation

Choix du plan:

24-1 et l’aliase D=ABC



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°

1 - - - - 275

2 + - - + 325

3 - + - + 210

4 + + - - 2205 - - + + 290

6 + - + - 370

- -

8 + + + + 270

Niveau -1 1 6 1 20

Niveau +1 2 10 2 40

M a t r i c e d e s e x pér i e n ce s



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essai BCD ACD ABD CD AD BD D ABCD1 - - - + + + - + 275

2 + - - - + - + + 325

3 - + - - - + + + 2104 + + - + - - - + 220

5 - - + + - - + + 290

6 + - + - - + - + 3707 - + + - + - - + 260

8 + + + + + + + + 270

Ma t r i c e d e s e f f e t s



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h1 = +18,75 = A + BCD

h2 = -37,5 = B + ACDh3 = 20,0 = C + ABDh4 = -3,75 = D + ABC

5 - ,h6 = +5,0 = BC + ADh = +3 75 = AC + BDh8 = 277,5 = Moy + ABCD



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Inter rétation

Hypothèses permettant d’interpréter le plan:

* Conditions de l’étude: contrastes de valeur absolue inférieure à

8 sont négligeables* Les interactions d’ordre 2 sont probablement négligeables

h = 19 = A h = AB + CD = -14 ~ AB h = -38 = B* h3 = 20 = C h6 et h7 négligeables**h4 = -4 = D~0

* A et C même ordre de grand., B important, D insignifiant donc AB pèse plus lourd que CD: ceciest attendu car interaction élastomère-additif est plus plausible que syst vulcanisation-kaolin

Pr E. M. EL HADRAMI

** Soient les composantes s’annulent ou sont les deux n égligeables

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Interaction Élastomère - Additif

ElastomèreType 2245347,5

325 - 370220 - 270

Additif

282,5 235

Type 1275 - 290

-



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Conclusion de l’étude

* Additif en excès: les deux élastomères ont unallongement identique. Un excès d’additif diminuel’allongement et surtout avec l’élastomère 1.Élastomère 2 référable à 1.

* Le système de vulcanisation 2 est meilleur que le 1.

* Le kaolin est sans influence (ce qui était attendu).Facteur inclus pour vérifier l’absence d’interaction avec’

* Il n’ y a probablement pas d’autre interaction queas om re - a



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Remar ues

Les 8 essais exploités constituent la moitié du PFCprévu par la matrice des effets du plan24.

Les ex ériences effectuées sont n° 1 10 11 4 13 6 et16.

4-1 .

C’est le plan complémentaire du précédent.

’ ’d’utiliser le plan complémentaire.

ou repose sur e c o x e a ase n a e. au reschoix sont possibles: l’expérimentateur se détermineraen fonction de sa connaissance du phénomène étudié.



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IV- PFr 25-2 pour l’étude de cinq facteurs

- Plan de départ: 23 pour 3 facteurs A, B et C en 8 essais

ème ’triple D = ABC

- Ajout du 5ème facteur E en confondant ses valeurs avec l’interactiondouble E = AB

= =

E=AB soit I=ABE Générateurs d’aliases indépendants}

Multiplication: I= (ABCD)(ABE)= CDE Générateur d’alise dépendant

= = =



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IA= A = BE = BCD = ACDEB = AE = ACD = BCDEC= DE = ABD = ABCE

D= CE = ABC = ABDE= = =

IBC=

BC = ACE = BDE = AD = = =



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essai BEBCD

AE ACD

DE ABD

CD A

ADBDE

BD ADE

DCE

ABECDE

1 - - - + + + - +

2 + - - - + - + +

3 - + - - - + + +

4 - - - -

5 - - + + - - + +

- - - -

7 - + + - + - - +



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V- Conclusion

PFC

effets d’interactions d’ordre élevé



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2k-p Nombre’

Économie aliase Remarqueessa D’essai

24-1

8 50% D=ABC

25-1 16 50% E=ABCD

26-2 16 75% E=ABCD

=

Pas recommandé

Ou

E=ABC

= Recommandé

25-2 8 75% D=ABC

E=AB



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’-



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X1: Température du four X2: durée de cuisson

X3: Quantité farine

X4: Quantité sucre X5: nombre d’oeufs

= =



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X4X4= I = X1X2X3X4Générateurs d’alises indé endants

=

I = (X1X2X3X4)(X1X3X5= X2X4X5

Générateur d’aliase dépendant

I = X1X2X3X4 = X1X3X5 = X2X4X5



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l = + + +

l1 = a1+a35+a234+a1245

l2 = a2+a45+a134+a1235

l3 = a3+a15+a2345+a124

L

4 = a4+a25+a123+a1345

L5 5 13 24 12345

l

2 = l = + + + 2 l

l

4

= l7 = a23+a14+a125+a145



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