Relativite restreinte

Licence Physique L1

Janos Polonyi

Universite de Strasbourg

(Le 15 mars, 2017)

Ce n’est qu’un copie du cours.

Il ne remplace pas le suivi de coursou la consulatation d’un livre.

Table des matieres

I. Modification de la mecanique de Newton 3

A. L’echelle de l’observation 3

B. Les ordres de grandeur 5

C. Vitesse limite 6

D. La matiere et le rayonnement 9

E. Relation dispersion 10

II. Propagation de la lumiere 11

A. Particule ou onde? 11

B. Michelson-Moreley 13

III. Relativite galileenne et einsteienne 16

2

A. Relativite et symetrie galileenne 16

B. Le probleme avec la lumiere 16

C. La resolution: la relativite einsteinne 17

IV. Geometrie de l’espace-temps 18

A. Ligne de monde 18

B. Transformation Lorentz 19

C. L’addition de la vitesse 20

D. Distance invariante 20

E. Geometrie minkowskienne 21

V. Phenomenes physiques 22

A. Contraction Lorentz-Einstein de longeur 22

B. Dilatation du temps 23

C. Une horloge stochastique 24

D. Dilatation du temps =⇒ contraction de Lorentz 26

E. L’effet Doppler 27

F. Paradoxes 29

3

I. MODIFICATION DE LA MECANIQUE DE NEWTON

L’equation Newton F = ma est modifiee a v ∼ c = 2.9979 · 108m/s (lumiere)

Probleme: notre intuition correspond a la limit vc≪ 1

A. L’echelle de l’observation

Les lois de la physique dependent de l’echelle de l’observation

trois echelles: L,T,M unites naturelles: c = ~ = 1

Theorie effective: applicable dans une fenetre de lechelle

Charge:

FC(r) =qq′

r26= Fphys(r) =

q(r)q′

r2

Polarisation du vide: q → q(r)

Constant physique ≡ plateau

r

F

r

q(r)

Masse:

E(v2) = E(v20) + (v2 − v20)dE(v20)

dv2+ · · ·

= E(v20)− v20dE(v20)

dv2︸ ︷︷ ︸

E0(v20)

+v2dE(v20)

dv2︸ ︷︷ ︸

M(v0)2

+ · · ·

= E0(v20) +

M(v0)

2v2 + · · ·

V

E

v2

Interactions avec l’environment =⇒ parametres effectifs: q → q(r), M → M(v), etc.

4

Longeur:

1 10107

Terre

1021 35

Univers

10−35

10−15

10−11

Classique

gravitation

10−5

10 108029

electromagnetisme

Quantiqueparticules

grav. quant. celluleatomeproton

interaction faible

interaction forte

Voie Lactee

L [m]

Difference entre physique classique et quantique:

l’interference

L’etat physique: une liste des realites virtuelles

comme un annuaire:

nom↔realite virtuelle

num. de tel.↔probabilite

La vie: l’unite elementaire: le proteine

4500 proteines constituent la vie

Origine: une soupe promordiale?

4165 possible auto reproductives ribozymes

M = 2× 1077kg ∼MUniverse × 1025

400 proteines, choisi au hasard

se fonctionnent a la frontiere

quantique-classique

Origine quantique de la vie?

5

Vitesse:

86420

v [m/s]

10 10 10 10 10

Concord Apollo 10 tube cathodique

syst. solairec

Impulsion:

0

limite non relativistique

limit relativistique

pmc

B. Les ordres de grandeur

Chute libre: Un potentiel gravitationel homogene, v = 9.8t[MKS],

apres 1 an v = 9.8× 365× 24× 3600 ≈ 3× 108m/s

apres 2 ans v ≈ 6× 108m/s

modifications importantes a v ∼ c = 2.9979 · 108m/s

Acceleration plus forte: F = qE = ma =⇒ large|a||E| =

q

m=⇒ electron

6

Un tube cathodique: U = 100V , L = 1cm

qU = K =1

2mv2fin =

1

2m(at)2 = 100eV

(1eV = 1.6× 10−19J, m = 0.9× 10−30kg)

L =1

2at2 = 1cm

Vitesse:

vfin =

√

2K

m≈√

3.2× 10−17

10−30

=√32× 10−12

≈ 5.5× 106m/s ≈ 0.02c

Acceleration:

t =

√

2L

a

K =1

2m(at)2 =

1

2ma2

2L

a= maL

a =K

mL≈ 1.6× 10−17

10−32= 1.6× 1015m/s2 ≈ 1014g

C. Vitesse limite

Electron: Une generateur Van de Graaf et LIN(ear)AC(ccelerator):

W. Bertozzi, Am. J. Phys. 32 551 (1964)

7

↔ 10−8s

Energie K[MeV ] Temps du vol t[10−8s] Vitesse v[108m/s] Vitesse carre v2[1016m2/s2]

0.5 3.23 2.60 6.8

1.0 3.08 2.73 7.5

1.5 2.92 2.88 8.3

4.5 2.84 2.96 8.8

15 2.80 3.00 9.0

K → 30K

l’equation de Newton: v2 → 30v2 ?

Vitesse limite: v < c

Photon: Vitesse de la propagation: toujours v = c

E = ~ω (Einstein)

λ = τc =2π

ωc =

2π~

Ec =

hc

E, ~ =

h

2π(constant de Planck)

8

Energie du photon K[eV ] Longeur d’onde λ[m] Vitesse v[108m/s]

1.9 × 10−7 6.4 2.9978 ± 0.0003

1.2 × 10−6 1 2.99792 ± 0.00002

1.2 × 10−5 0.1 2.99792 ± 0.00009

3.0 × 10−4 4.2× 10−3 2.997925 ± 0.000001

2.2 5.6× 10−7 2.997931 ± 0.000003

5.1 × 105 2.5 × 10−12 2.983 ± 0.015

1.7 × 108 7.3 × 10−15 2.97± 0.03

Le photon, est-il sans masse?

- La masse est bien defini seulement pour une particule libre

- L’interaction avec l’environnement rend la masse mal definie =⇒ masse effective

Un guide d’onde:

un tuyau conducteur

L’onde electromagnetique

dans un guide d’onde:

- Reflexions multiples

- Les charges traınes

Dans le vide: Mγ = 0

Dans un milieu polarisable: Mγ > 0

9

D. La matiere et le rayonnement

Lumiere: E = pc

Conservation de l’impulsion:

0 = VM +E

c=⇒ V = − E

Mc

∆x = V∆t = − E

Mc

L

c= − EL

Mc2

Masse equivalente: m

Centre masse: mL+M∆x = 0

m = −M∆x

L=E

c2

Equivalence masse-energie: E = mc2, l’energie cinetique ⇐⇒ matiere

=⇒ la valeur absolute est importante

Fusion thermo-nucleaire: masse ←→ energie cinetique

Psoleil = 1.35× 103w/m2 =⇒ dMdt

= 4.5× 109kg/s ≈Msoleil × 10−13/an

41H + 2e→4 He+ 2ν + 6γ, une etape: p+D →3 He+ γ

p = 1.6724× 10−27kg

D = 3.3432× 10−27kg

p+D = 5.0156× 10−27kg

3He = 5.0058× 10−27kg

∆M = 0.0098× 10−27kg =Eγ

c2, Eγ = 9.8× 10−30 × 9× 1016J = 8.8× 10−13J = 5.5MeV

(T ≈ 107K dans l’interieure de la soleil et Eγ ≈ 1eV ≈ 1.1× 104K sur la surface)

conservation de l’energie + conservation de la masse =⇒ conservation de l’energie

double role de la masse:∑

mi +1

c2

∑

Ej =M =F

a

Excercise: Estimer la masse equivalent de la consumption de l’energie d’electricite

en Strasbourg dans un soir.

Population en Strasbourg: N = 2× 105, puissance: P = 500W/person, temps t = 6h

m =NPt

c2=

1× 108 × 6× 3600

9× 1016≈ 2.4× 10−5kg = 24mg

10

E. Relation dispersion

Seulement pour une particule libre!

Raisonnement naif:

La definition d’une particle libre en mecanique nonrelativiste: E(p) =p2

2m, avec m =

p

v

E = mc2 =⇒ masse equivalente: m(v) =E

c2=p

v=⇒ E = c2

p

v, cp =

Ev

c

Conservation de l’energie: dE = Fdx =dp

dtdx = vdp

EdE = c2p

vvdp = c2pdp =⇒ E2 = c2p2 + E2

0 =

(Ev

c

)2

+ E20 =⇒ E0 = mc2

E =mc2

√

1− v2

c2

m(v) =m

√

1− v2

c2

p = m(v)v =mv

√

1− v2

c2

E2 = c2p2 +m2c4

E = ±c√

m2c2 + p2

p

E

particule

antiparticule

Limite non-relativistique:√1 + ǫ = 1 +

ǫ

2+O

(ǫ2)

=⇒ E = mc2√

1 +p2

m2c2≈ mc2 +

p2

2m+O

((p2

m2c2

)2)

11

Excercice: Force (= ∆p

∆t) constante, la condition initiale: v(0) = 0

Ft = p = m(v)v =mv

√

1− v2

c2

1− v2

c2=(mv

Ft

)2

c2 − v2 = v2(mc

Ft

)2

→ c2 = v2[

1 +(mc

Ft

)2]

v =c

√

1 +(mcFt

)2≈

cmc

Ft

= t Fm

Ft≪ mc

c Ft≫ mc

v

t

c

Remarques:

1. v ≤ c mais p peut etre arbitrarement large

2. v peut approcher c mais il ne jamais l’atteint parce que l’acceleration exige trop de

l’energie

II. PROPAGATION DE LA LUMIERE

Lumiere: Pythagoras: particules se deplacent sur une ligne droit

Rober Hooke(1667): propagation dans un milieu

Christian Huygens(1678): la decomposition de la lumiere solaire par un prisme

=⇒ lumiere = l’onde 6= une particule

A. Particule ou onde?

Physique de la 19eme siecle est consacree a la lumiere:

Thomas Young (1801-04): la measurement de l’interference

Augustin-Jean Fresnel (1818): l’explication de l’interf., diffr., polarisation

James Clerk Maxwell (1861): l’origine d’electromagnetique

Onde: diffraction, interference, polarisation

Particule: impulsion, energie

Modeles mecaniques jusqu’a 1850 mais sa vitesse est trop large

12

Vitesse de la lumiere:

Ole Roemer (1675): l’eclipse des lunes

de Jupiter motre une variation en temps

c ≈ 2× 108 m/s

La nature de la lumiere:

Particule: vpart = vsource + vemission,

Onde: vonde est fixee dans le milieu

de la propagation

Supposition de l’ether →

Comment trouver notre vitesse par rapport a l’ether?

Maxwell: an(Jupiter)=12 an(Terre),

deux measurements, separees par 6 ans

tecl.A =ℓ

c+ vsol, tecl.B =

ℓ

c− vsol∆t = tecl.B − tecl.A =

2ℓvsolc2 − v2sol

=2ℓvsol

(c+ vsol)(c− vsol)

≈ 2ℓvsolc2

= t0︸︷︷︸

16min

2vsolc

Mais il est problematique repeter la meme experience apres 6 ans!

13

B. Michelson-Moreley

Michelson (1881):

Interference: Intensite I ∼ E2 = (E1 +E2)

2

φI(t) = sin(ωt)

φII(t) = sin(ωt+ α)

φI+II(t) = sin(ωt) + sin(ωt+ α)

sin(a+ b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)

φI+II(t) = sin(ωt) + sin(ωt) cos(α) + cos(ωt) sin(α)

= sin(ωt)[1 + cos(α)] + cos(ωt) sin(α)

=

2 sin(ωt) α = π(2n+ 0) ← int. constr.

sin(ωt) + cos(ωt) =√2 sin

(ωt+ π

4

)α = π

(2n+ 1

2

)

0 α = π(2n+ 1) ← int. destr.

sin(ωt)− cos(ωt) =√2 sin

(ωt− π

4

)α = π

(2n+ 3

2

)

In-

terferometre: la mesure de ∆ℓ = c(t‖ − t⊥) avec la precision λ

14

t‖ =ℓ‖

c− v +ℓ‖

c+ v=

2cℓ‖c2 − v2 =

2ℓ‖c

1− v2

c2

(ct⊥2

)2

= ℓ2⊥ +

(vt⊥2

)2

t2⊥(c2 − v2) = 4ℓ2⊥

t⊥ =2ℓ⊥√c2 − v2

∆t(ℓ‖, ℓ⊥) = t‖ − t⊥ =2

c

ℓ‖

1− v2

c2

− ℓ⊥√

1− v2

c2

=2

c

ℓ‖ − ℓ⊥√

1− v2

c2

1− v2

c2

Rotation par 900 dans quelques minutes:

∆t′(ℓ‖, ℓ⊥) = −∆t(ℓ⊥, ℓ‖) =2

c

ℓ‖

√

1− v2

c2− ℓ⊥

1− v2

c2

∆t(ℓ‖, ℓ⊥)−∆t′(ℓ‖, ℓ⊥) =2

c

(ℓ‖ + ℓ⊥)(1−√

1− v2

c2)

1− v2

c2

√1 + ǫ ∼ 1 +

ǫ

2→ ≈ 2(ℓ‖ + ℓ⊥)

c

v2

2c2

1− v2

c2

1

1 + ǫ∼ 1− ǫ→ ≈ 2(ℓ‖ + ℓ⊥)

c

v2

2c2

(

1 +v2

c2

)

≈ (ℓ‖ + ℓ⊥)v2

c3

Les miroirs ne sont pas exactement orthogonals =⇒ l’interference

Nombre de lignes deplacees: ∆N

λ∆N = (∆t−∆t′)c

∆N = (∆t−∆t′)c

λ=v2

c2ℓ⊥ + ℓ‖λ

En assumant vterre = 30km/s,v

c≈ 10−4 et

en utilisant λ = 6× 10−7m, ℓ = 1.2m =⇒ ∆N ≈ 0.04 n’a pas ete trouve

Michelson-Morley (1887): ℓ→ 10ℓ, ∆N → 0.4, ∆Nobs = 0± 0.005

15

Fitzgerald Lorentz (1892): une contraction mysterieuse d’un corps solid en

mouvement ℓ→ ℓ√

1− v2

c2, ∆t = 0 pour ℓ⊥ = ℓ‖

Einstein (1905): la contraction est le resultat de la facon dont la longeur est observee

Kennedy Thorndike (1932): resultat nulle avec ℓ⊥ 6= ℓ‖

16

III. RELATIVITE GALILEENNE ET EINSTEIENNE

Referentiel d’inertie: mouvement libre = vitesse constante, S : (t,x), x = tv + x0.

A. Relativite et symetrie galileenne

Generalisation d’une particule libre au tout loi de mecanique:

Les lois de la mecanique sont identiques dans tous les referentiels d’inertie.

Un objet chute du mat d’un bateu qui deplace

avec une vitesse constant et il tombe a la base

du mat.

Si on jette vers le haut un objet

alors il revient a sa main.

Transformations admissibles de mx = 0: (transformations galileennes)

t → t′ = t ← temps absolu

x → x′ = Rx− tv + x0

Les differents referentiels d’inertie sont liees par les transformations galileennes.

L’addition de la vitesse (R = 11): x→ x′ =

d

dt(x− tv + x0) = x− v (temps absolu)

B. Le probleme avec la lumiere

Particule: vpart = vsource + vemission, mais c 6= vsource + c ?

Onde: vonde est fixee, Michelson-Morley ?

L’addition de la vitesse n’applique pas a la luniere ?

Trois suppositions evidentes sont en conflit:

1. Tous les lois de la physique sont identiques dans les referentiels d’inertie.

2. La vitesse de la lumiere est fixee par l’equation de Maxwell.

3. Le temps est absolut et l’addition de la vitesse est valid.

17

C. La resolution: la relativite einsteinne

Einstein (1905): Pas de justification experimentale du point 3.

1. Les lois de la physique sont identiques dans tout referentiel d’inertie.

2. La vitesse de la lumiere dans le vide est c.

Experimental evidences de l’independence de c de la vitesse de la source:

1. Michelson-Morley (1887)

2. Kennedy-Thorndike (1932):

• Differences par rapport de M-M:

(a) ℓ‖ 6= ℓ⊥,

(b) observation pendant plusieurs mois sans rotation

• Null-resulte: temps de vol ∆ℓ = ℓ‖ − ℓ⊥ est independant de vterre

• La contraction est une effet de l’observation.

3. Alvager et al. (1966): π0 → 2γ: vπ = 0.99975× c, vγ = (2.9977± 0.0004)× 108m/s

vπ + vγ 6= c

Relativite restreinte: La coordonnee et la vitesse sont nonobservables et relatives.

L’acceleration, dnx(t)dtn

, n ≥ 2 sont absoluts.

Relativite generale: La coordonnee et tous les derives dnx(t)dtn

sont relatives.

Une modelisation de la mesure de la distance et du temps est necessaire.

Distance: un barre etalon

(macroscopique)

x

Temps: l’horloge standard,

observations des

evenements simultanees

ct

xligne d’une horloge

sur l’espace−temps

18

IV. GEOMETRIE DE L’ESPACE-TEMPS

Champ classique ϕ(t,x) : l’espace externe → l’espace interne

Espace externe: quand et ou? ← Evenements: (ct,x) = (x0, x1, x2, x3) = xµ ∈ R4

Espace interne: quoi? ϕ ∈ Rn

A. Ligne de monde

Mouvement non-relativiste - symetrie: melange des components de xj

- trajectoire: x(t)

Mouvement relativiste: - symetrie: melange des components de xµ

- ligne de monde: xµ(s)

Mouvement non-relativistic

d’une particule:

x

ct

Nouvelle possibilite: ligne de monde =⇒ trajectoire

s: l’ordre des evenements

Anti-particule: t→ −t ↔ E → −EMecanique classique: dp

dt= −∂H(p,q)

∂q, dq

dt= ∂H(p,q)

∂p

E = ±c√

m2c2 + p2

Mecanique quantique: ψ = ψ(Et)

Theorie quantique des champs: E ≥ 0

x

ct

e

e+p+e

e

Simultaneite (temps) non-absolute: un signal de lumiere b← a→ c, x′ = x+ t(v, 0, 0)

z z’

ab c

y y’

x’

x

v

t′b < t′c

ct ct’

x x’

b a c b a c

19

B. Transformation Lorentz

Transformation entre deux referentiels d’inertie: (ct,x)→ (ct′,x′)

Axes non-orthogonalRotation

euclideene

Transformation

Lorentz

x

x’

P

ct’ct

x’

x

y’ y

x

x’

ct ct’ lumiere

Pas de ligne fixe Lumiere: une ligne fixe

Forme generale:

boost:

inverse (v → −v):

x′ = ax− bct

= a(x− vt)

x = a(x′ + vt′)

Appliquer a la propagation de la lumiere: x = ct, x′ = ct′

ct′ = a(c− v)t, ct = a(c+ v)t′ =⇒ ct = a(c+ v)a

c(c− v)t, a2 = c2

c2 − v2 , a =1

√

1− v2

c2

x′ =x− vt√

1− v2

c2

, x =x′ + vt′√

1− v2

c2

t′ =t− vx

c2√

1− v2

c2

(← x = ct), t =t′ + vx′

c2√

1− v2

c2

Limite vc→ 0: Transformation galileenne

Pas de changement dans les directions orthogonales de la vitesse: v = (v, 0, 0),

y = y′, z = z′

L’angle de l’inclinaison:

x+ = ℓ+ t+v = ct+, t+ =ℓ

c− vx− = −ℓ + t−v = −ct−, t− =

ℓ

c+ v

tanα =c(t+ − t−)x+ − x−

=

ℓ1− v

c

− ℓ1+ v

c

ℓ1− v

c

+ ℓ1+ v

c

=v

c, tanβ =

c

v

x’

ct ct’

β

α x

+

−

− +

ct

ct

xx

20

C. L’addition de la vitesse

Deux referentiels d’inertie: S et S ′: x‖ =x′‖ + ut′√

1− u2

c2

, x⊥ = x′⊥, t =

t′ +ux′

‖

c2√

1− u2

c2

v′ =

dx′

dt′→ v =

dx

dt

∆t → ∆x‖ =(v′‖ + u)∆t′√

1− u2

c2

, ∆x⊥ = v′⊥∆t

′, ∆t =(1 +

uv′‖

c2)∆t′

√

1− u2

c2

v‖ =∆x

∆t=

v′‖ + u

1 +uv′

‖

c2

=

v′‖ + u u, v′‖ ≪ c

c v′‖ ≪ c, u ≈ c, ou u≪ c, v′‖ ≈ c

v⊥ = v′⊥

√

1− u2

c2

1 + uv′xc2

=

v′y u≪ c

0 u ≈ c

D. Distance invariante

Identifier les rotations: s2 = (x2 − x1)2

Characteriser les referentiels d’inertie: s2 = c2(t2 − t1)2 − (x2 − x1)2

Argument I., Transformation de Lorentz:

x′ =x− vt√

1− v2

c2

, t′ =t− vx

c2√

1− v2

c2

s2 = c2t2 − x2 → (ct− vxc)2 − (x− vt)2

1− v2

c2

=(c2t2 − x2)(1− v2

c2)

1− v2

c2

= c2t2 − x2

s2(x1, x2) = c2(t2 − t1)2 − (x2 − x1)2 = (x02 − x01)2 − (x2 − x1)

2

ds2 = c2dt2 − dx2 = dx02 − dx2

21

Argument II.:

s2(x1, x2) = 0 s’il y a un echange de la lumiere entre x1 et x2

reste invariant sous les transformations de Lorentz

s2 6= 0 ? Soient S0 et S1 deux referentiels, vS0→S1 = v:

(i) s21 = F (|v|, s20)(ii) F (|v|, 0) = 0

(iii) continuite de F pour infinitesimal s2 → ds2:

ds21 = F (|v|, ds20) ≈∂F (|v|, s2)

∂s2 |s2=0︸ ︷︷ ︸

a(|v|)

ds20

(iv) soient S, S1 et S2 trois referentiels, vS0→S1 = v1, vS0→S2 = v2, |v1|, |v2| ≪ c

ds21 = a(|v1|)ds20ds22 = a(|v2|)ds20ds22 = a(|v1 − v2|)ds21

a(|v1 − v2|) =a(|v2|)a(|v1|)

→ a = 1→ s2 6= 0 est invariant

E. Geometrie minkowskienne

Les trois types de separation:

du genre temps: s2 > 0

du genre espace: s2 < 0

du genre lumiere: s2 = 0

future absolu

passe absolu

eloignement eloignement

absolu absolu x

ct

Le cone de lumiere La propagation de la lumiere

22

Simultaneite est relative:

T ′(B)− T ′(A) < T (B)− T (A) = 0 < T ′′(B)− T ′′(A)

ct’ctct’’

A .. Bx

x’’

x’

cT’

cT’’

Variable l’echelle:

Euclidenne:

x2 + y2 = R2

Minkowskienne:

(ct)2 − x2 = s2

x

x’

y

y’

x

x’’ v

x’ v

ct’’ ct ct’x constant

Synchronisations de l’horloges:

longeur =⇒ temps

t(x) = 12Trefl(x) x

ct

T refl

V. PHENOMENES PHYSIQUES

A. Contraction Lorentz-Einstein de longeur

ℓ = x2 − x1ℓ′ = x′2 − x′1 les coordonnees simultanees

xa =x′a + vt′√

1− v2

c2

ℓ =x′2 − x′1√

1− v2

c2

=ℓ′

√

1− v2

c2

ℓ′ = ℓ

√

1− v2

c2

x

x’

ct ct’

23

La contraction est

relative:

ct ct’

x’

xnon contracte

contracte

ct ct’

x’

x

non contractecontracte

Un barre au repos Un barre en mouvement

Rotation apparente d’un planche:

La lumiere de A0 et B0 arrive dans le meme temps

∆t =W

c

A′B′ = v∆t =Wv

c

sinΘ =v

c, cosΘ =

√

1− v2

c2

B′C ′ = L

√

1− v2

c2← contraction de Lorentz

B. Dilatation du temps

L’horloge en deplacement:

s2 = c2t′2 = c2t2 − x2 = c2t2(

1− v2

c2

)

Temps propre: t0 = t′ = t

√

1− v2

c2

t > t0: un ralentissement

ct’ct

x

24

L’horloge optique:

c2t20 = x2

c2t2 = t2v2 + t20c2

t0 = t

√

1− v2

c2

v

x

C. Une horloge stochastique

www.scivee.tv/node/2415

D. H. Frisch, J. H. Smith,

American Journal of Physics,

31 342 (1963), frisch.pdf

Rayonnement cosmique:

µ→ e + νe + νµ

nµ(t) = n0e− t

τ

25

75cm de fer: vµ < 0.9950c: arretent avant le scint.

vµ > 0.9954c: partent du systeme

Alors, 0.9950c < vµ < 0.9954c

scintillateur: 103 γ/µ

photomultiplicateur:

108 e/µ

La photomultiplicateur declenche le mouvement horizontal

pour chaque charge passant la scintillateur, ∆t = 1µs

Le mouvement vertical est declenche

soit par la capture de µ

soit par l’electron de la desintegration

Un masque pour couvrir les traces sans desintegration

Resultat:

I. Nombre de desintegrations:

II. Distribution de temps de desintegration:

26

Deux stations:

1. Mont Washington (1910m)

NMW = 563 desintegrations/h

τ1 = 2.2± 0.2× 10−6s

2. Cambridge Ma (3m)

NC = 408 desintegrations/h

τ2 = τ1

ttravel =1907

0.9952× 3× 108= 6.4× 10−6s

N expecteC = NMW e

− 6.42.2 ≈ 27 6= 408

NC = NMW e− t

′

τ

t′ = 0.7× 10−6s

Ralentissement:

6.4

0.7= 9.1 =

1√

1− v2

c2

=⇒ v = 0.994c

D. Dilatation du temps =⇒ contraction de Lorentz

L’horloge stochastique:

Referentiel d’intertie de µ: temps de vie τ ,

vitesse de la surface de terre v

distance de la surface de terre, vu par la µ: ℓ′,

NC = NMW e− t

′

τ = NMW e− ℓ

′

vτ ,t′

τ=t√

1− v2

c2

τ=

ℓ′

vτ, ℓ′ = vt

√

1− v2

c2= ℓ

√

1− v2

c2

27

Avec une horloge plus lente la distance faite parait plus court

Un barre en mouvement:

c∆t1 = ℓ+ v∆t1

c∆t2 = ℓ− v∆t2∆t = ∆t1 +∆t2 =

ℓ

c− v +ℓ

c+ v=

2ℓc

c2 − v2

=2ℓ0

c√

1− v2

c2

ℓ = ℓ0

√

1− v2

c2

E. L’effet Doppler

Cas nonrelativiste: vitesse sonore w Pendant une periode:

wτ = λ′ + u1τ, ν =1

τ

wτ ′ = λ′ + u2τ′, ν ′ =

1

τ ′

λ′ = (w − u1)τ = (w − u2)τ ′

ν ′ = νw − u2w − u1

Source stationnaire: u1 = 0, ν ′ = ν(

1− u2w

)

, ν ′ = 0 pour u2 = w

Observer stationnaire: u2 = 0, ν ′ =ν

1− u1

w

, ν ′ =∞ pour u1 = w

Cas relativiste (lumiere): ν = 1T

une periode emis, vobserver = v

x1 = ct1 = x0 + vt1 → t1 =x0c− v

x2 = c(t2 − T ) = x0 + vt2 → t2 =x0 + cT

c− vt2 − t1 =

T

1− vc

, x2 − x1 =vT

1− vc

ct

x

x

x0

2

observer

x1

T

28

T ′ = t′2 − t′1 =t2 − t1 − v

c2(x2 − x1)

√

1− v2

c2

=1

√

1− v2

c2

(T

1− vc

− v

c2vT

1− vc

)

=1

√

1− v2

c2

T

1− vc

(

1− v2

c2

)

= T

√

1− v2

c2

1− vc

= T

√

1 + vc

1− vc

ν ′ = ν

√

1− vc

1 + vc

6= ν(

1− v

c

)

︸ ︷︷ ︸

non. rel.

Champ gravitationel statique:

E↓(e−e+) = E↑(e

−e+)︸ ︷︷ ︸

2mc2

+2m ∆U︸︷︷︸

gL

= E↑(e−e+)

(

1 +∆U

c2

)

E↑(e−e+) = E↑(γ), E↓(e

−e+) = E↓(γ)

E = ~ω

ω↓

ω↑

=E↓(e

−e+)

E↑(e−e+)= 1 +

∆U

c2︸︷︷︸

z

z =∆U

c2=gL

c2

gL

. .

. .

electron positron

Champ gravitationel dependant du temps:

Modele de Robertson-Walker

de cosmologie

L’Univers en expansion: λem < λobs

Deplacement rouge:ωem

ωobs

=λobsλem

= 1 + z > 1

constant de Hubble: z =H

cℓ

l’age de l’Univers: TU =1

H, z =

ℓc

TU

29

F. Paradoxes

Les joumeaux:

A: reste en place, B: part et revient

Qui est plus age quand ils rencontrent?

ct

x

A B

Une barre et un cercle:

ℓ = 2r, vb = (u, 0, 0), vc = (0, v, 0)

t = 0: centre de la barre et du crecle

sont dans la meme position

Peuvent-ils se croiser?

Un baton et une grange:

ℓb = 20m, ℓe = 10m√

1− v2

c2= 1

2

Ref. d’in. de la grange: ℓ′b = 10m

Ref. d’in. du baton: ℓ′e = 5m

Le baton peut-il rentrer?

x

ct

barre

−10 0 10 20

ecurie

x

0 10 20−10

ct

ecurie

barre

Mecanique quantique relativiste: probleme de localisation

p =~

λ=⇒ localisation d’une electron avec ∆x≪ λC =

~

mc: p ≈ ~

∆x=

~

λC= mc

30

E = c√

m2c2 + p2 ≫ c√m2c2 +m2c2 =

√2mc2 =⇒ creation de pairs

Particules sont indescernable =⇒ impossible localiser une particule avec ∆x≪ λC

References:

1. http://www.edu.upmc.fr/physique/bobin 04001/

2. www.phytem.ens-cachan.fr/telechargement/Module%20Mb/coursMb.pdf

3. Jean Hladik, Michel Chrysos Introduction a la relativite restreinte, Dunod

4. Michel Hulin, Nicole Hulin, Lydie Mousselin, Relativite restreinte, Dunod

5. A. P. French: Special Relativity, MIT Press