Transformations discrètes et relation discret - continu

Lyon, Juin 2006

Eric ANDRESLaboratoire SIC Signal – Image - Communications

Université de Poitiers

Applications Quasi-Affines et relation discret-continu

Les travaux présentés ce matin sont en grande partie ceux de Philippe Nehlig, Marie-Andrée DaCol (pour les AQAs) et Gaëlle Largeteau (pour les transformations discret-continues).

- Applications Quasi-Affines : transformations peu connues liées aux pavages, à des dynamiques intéressantes, à la compréhension de certains phénomènes calculatoires.

- Transformation discret-continue : définir des opérations en utilisant les deux espaces discret et continu.

- Mettre en place un cadre plus théorique pour parler des fondements de la géométrie discrète (changements d’échelles, analyse non standard, aspect effectif des algorithmes) dans l’idée d’aborder de définitions d’opérations (par ex. les rotations par aqa) et d’étudier les propriétés.

Le discret : un monde bien étrange

Le discret : un monde bien étrange

Avec une intersection

vide

2 droites discrètes

orthogonales

Le discret : un monde bien étrange

Relations Continu - Discret

Il existe une relation « paramétrable » entre les deux

Relations Continu - Discret

Taille des voxels diminue plus vite que l’épaisseur de la droite n’augmente

Relations Continu - Discret

A la limite on obtient une droite continue

Relations Continu - Discret

Continu•

•

•

•

•

•

•

•

Discret

Objet A avec propriété 1,2,3, …

Objet A1

Avec prop 1,3,15, …

Objet Ak

Avec prop k1, k2, k3, …

Relations Continu - Discret

Discrétisation et Reconstruction

Cla

sse

d’é

qu

ival

ence

Droite analytique discrète

Equation analytique :

Représentation en compréhension

a,b entiers, a/b pente de la droite, épaisseur arithmétique, c constante de translation.

J.-P. Reveillès (1991)

Propriétés

0 1 2 3 4 5 6 7

1

0

2

3

4

5

0 5x – 7y < 123456

< sup(|a|,|b|)

droite non connexedes 1-tunnels

7

= sup(|a|,|b|) = 7

droite 8-connexedes 0-tunnels

891011

= |a|+|b| = 12

droite 4-connexePlus de tunnels

12

0 5 10 15 20 25 30 35

-7 -2 3 8 13 18 23 28

-14 -9 -4 1 6 11 16 21

-21 -16 -11 -6 -1 4 9 14

-28 -23 -18 -13 -8 -3 2 7

-35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0

Propriétés de la droite

Prenons a/b = 5/17 et la suite y(xi) = {axi / b}

xi0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

y(xi) 0 0 0 0 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4

{axi / b} 0 5 10 15 3 8 13 1 6 11 16 4 9 14 2 7 12

0

0

4

16

Propriétés de la droite

c c c d c c d c c c d c c d c c dA tout rationnel a/b Christoffel associe les lettres L1…Lb à la suite r(i)={ai/b} avec i=1,…,b où une lettre Li vaut “c” si r(i)<r(i+1) et “d” sinon.

Comme les deux dernières lettres valent tjs “dc” on appelle le mot de Christoffel le mot Ch(a/b) = L1… Lb-2

On retrouve bien sur les paliers de la droite discrète.

5 / 17

Propriétés de la droite

Il existe un rapport entre le mot de Christoffel et le développement en fraction continue de = a/b avec 0<<1.

Soit = [s,s1, …, sn] le développement en fraction continue de a/b. Le mot de Christoffel Ch(a) est construit avec les suites de mots n, Cn, dn

Propriétés de la droite

Avec

On a donc

s=3, s1=2, s2=2 et n=2.

Le mot de Christoffel est donc Ch(5/17)=c1 2 1

avec =c2, c1=c2d, d1=c3d

1=c1=c2d, c2=c1d1=c2dc3d, d2=c12d1=c2dc2dc3d

2=c2=c2dc3d.

Propriétés de la droiteLe mot de Christoffel est donc Ch(5/17) = c1 2 1

avec =c2, c1=c2d, 1=c2d, 2=c2=c2dc3d.

Soit au final Ch(5/17) = c2d.c2dc3d.c2d.c2

Si on code dans c.Ch(5/17).d = cccdccdcccdccdccd le mot c3d par L et c2d par C

On retrouve un condensé du mot et surtout :

L C L C C

5 / 17

Propriétés de la droite

Propriétés de la droite

Applications Quasi-Affines

[Reveilles 1991]

Definition :

En général

Avec la matrice et le vecteur

Application Quasi-Affine

Di

D'j F (i,j)-1

F(x,y) =

Dynamique

• Si pour toutes les droites Dm : ax+by [m,(m+1)[ et

D’n:cx+dy [n,(n+1)[ ont une intersection alors tous les

arbres de l’AQA ne sont pas

bornés (chaque point à un antécédent).

• Les feuilles correspondent à des couples (n,m) de droites qui ne s’intersectent pas.

Pavages

Le pavé P0,0 est égal à l’intersection entre D0 et D’0

A(2,2) appartient à l’intersection de D0 et D’1.

L’image de A par l’AQA est par conséquent (0,1).

Def. Pavé

Pi,j = Di D’j = F-1(i,j)

Pavages

Définition : 2 pavés sont arithmétiquement identiques si leurs premiers restes sont égaux pour chaque point des pavés.

Propriété : des pavés arithmétiquement égaux sont géométriquement égaux (la réciproque est fausse).

Cas plus général : Nombre de pavés

Le nombre de pavés différent à l’ordre 1 est égal à :

Avec = ad-bc.

Si = ad-bc Alors tous les pavés sont identiques et contiennent points.