Caractéristiques géé lénéraleselabbadi/Chapitre 3.pdfFiltres de Butterworth L’utilisation des...

Filtres Actifs

Caractéristiques é é lgénérales

Caractéristiques générales

DéfinitionDéfinition

C’est un réseau électronique qui modifie l’amplitude et laphase d’un signal d’entrée ou d’excitation x(t) pour produireun signal de sortie y(t)

A cette modification du signal temporel x(t) correspond uneA cette modification du signal temporel x(t) correspond unemodification du spectre X (s ) pour produire Y(s).

Filtreh(t)‐‐H(p)

x(t)

X(s)

y(t)

X(s)X(s) X(s)

Cours Electronique Analogique / EMI / 2010‐2011 Pr. Jamal EL ABBADI

Caractéristiques généralesFonction de transfertFonction de transfertUn filtre (linéaire) est caractérisé par sa fonction deUn filtre (linéaire) est caractérisé par sa fonction detransfert isochrone ou réponse en fréquence:

=> sXsYsH sX.sHsY sX

On la décompose souvent en réponse en amplitude A(ω ) p p p ( )et réponse en phase β (ω ) :

ωβjexpωAωjsH



AffaiblissementAffaiblissement

On définit également l’affaiblissement Af (ω ) par:

AA log20 AAf log20

Retard de groupe et retard de phaseRetard de groupe et retard de phase

phLe délai de phase ph(ω ) :

Retard de groupe et retard de groupeRetard de groupe et retard de groupe

d

dgrLe délai de groupe gr(ω ) :


Diagramme de BODELe diagramme de Bode est un moyen de représenter lecomportement en fréquence d’un Filtre. Il permet unep q présolution graphique qui est souvent la méthode la plusrapide.

On définit le diagramme de Bode en gain par la fonction

jHlog20)(HdB

On définit le diagramme de Bode en phase par la fonction

jHArgumentH


Diagramme de BODE

entre deux valeurs ; utilisée souvent dix rapport Décade :sur l’axe des fréquences du diagramme de Bode pour parler d’un rapport dix entre deux fréquencesparler d un rapport dix entre deux fréquences.

Octave : rapport deux entre deux valeurs ; utiliséesouvent sur l’axe des fréquences du diagramme de Bodepour parler d’un rapport deux entre deux fréquences.


Variables normalisées

On emploie fréquemment les variables normalisées S (domaine de Laplace) et W (domaine de Fourier) La (domaine de Laplace) et W (domaine de Fourier). La variable de Laplace normalisée S est définie ainsi :

P

sjS

P

P : pulsation de référencebl d lS : variable de Laplace

: pulsation (ou fréquence) normalisée


Fonction de transfert et stabilité

La forme générale de la fonction de transfertopérationnelle d’un filtre est :opérationnelle d un filtre est :

1 bbbbN mm

01

11

011

1

asa...sasbsb...sbsb

sDsNsH n

nn

mm

mm

L’ordre du filtre est n, qui doit bien entendu satisfaire à n>=m. Les zéros de N(s) sont les zéros du filtre; les zéros de D(s) sont les pôles du filtre. Les pôles du filtre doivent être situés à gauche de l’axe imaginaire pour que le filtre soit stable D(s) doit pour ce faire être un polynôme dit de stable. D(s) doit pour ce faire être un polynôme dit de Hurwitz.


Types de filtres


Caractéristiques généralesGabarit du filtre passe basGabarit du filtre passe bas

La réponse en amplitude ou gain du filtreLa réponse en amplitude ou gain du filtre



Spécifications en amplitude d’un filtre passe-bas.



Spécifications en amplitude d’un filtre passe-haut.



Spécifications en amplitude d’un filtre passe-bande



Spécifications en amplitude d’un filtre coupe-bande


Normalisation en fréquence

Elle consiste à choisir comme unité de fréquence, non l l f d fplus le Hertz, mais une fréquence de référence associée au

gabarit.

On utilise généralement la fréquence de coupure :

• fc pour les filtres passe-bas

• fs pour les filtres passe-haut

• fo pour les filtres passe-bande et coupe-bande

On essaie le plus souvent possible de symétriser les gabarits des filtres coupe-bande et passe-bande


Caractéristiques généralesTransposition de fréquencesTransposition de fréquencesOn peut se ramener d’un type de filtre quelconque à unOn peut se ramener d un type de filtre quelconque à unfiltre Passe Bas en utilisant les règles de transposition defréquences.On utilise une fonction de transfert H(S) normalisée

Passe Bas Passe Haut1S Passe Bas Passe HautS

S -------

11Passe Bas Passe Bande

S1S

B1S -------

PωωB

avec Largeur de bande passante relativeP


Filtres Actifs

Fonctions d’approximation de

filtres

Fonctions biquadratiques

La forme générale d’ordre deux de la fonction de Transfert H(s)

201

2 asasasH 2

01

2 bsbssH

Les coefficient a2, a1 et a0 change en fonction de la nature du filtre à réaliser.


Fonctions biquadratiques

Type de la Type de la Forme de la fonction de transfert Forme normaliséeForme de la fonction de transfert Forme normaliséeypypcaractéristiquecaractéristique Forme de la fonction de transfert Forme normaliséeForme de la fonction de transfert Forme normalisée

2 1Passe BasPasse Bas 2

PP2

P

sQsKsH

2

1mS2S

1SH 2

S2Passe HautPasse Haut 2

PP2

2

sQssKsH

1mS2SSSH 2

2

Passe BandePasse Bande 2

PP2

P

sQssQKsH

1mS2S

mS2SH 2

Coupe BandeCoupe Bande 22

2r

2

sQssKsH

1mS2S

SSH 2

2Pr

2

PP sQs 1mS2S2 Cours Electronique Analogique / EMI / 2010‐2011 Pr. Jamal EL ABBADI

Diagramme de BODE du FPB 2e ordre

Q21m

-3 dB


Diagramme de BODE du FPB 2e ordre

Q21m


Diagramme de BODE du FP Bande 2e ordre

Q21m Q2

-3dB


Filtres de Butterworth

L’utilisation des polynômes de Butterworth est pour approximer les fonctions de transfert des filtres Passe approximer les fonctions de transfert des filtres Passe Bas.

Ré l d l b d Réponse plate dans la bande passante.

22 1H(S) 1H

1

n2nn2n S11

H(S) ou 1

H

SB1SHn

Quelque soit le n la fréquence de coupure du filtre sera 1

211Hn filtre sera 1 2



n2n

2n2

2n S11

1H(S) ou 1

1H

si n est pair, les pôles sont les racines de:

S111

S2n=ej, donc sk=ekj/2n. Ex: n=4

1SH xx

xx

22

4

SS83sin21SS

8sin21

SH x

xx

x

xx

si n est impair, les pôles sont les racines de:S2n=ej2, donc Sk=ekj/n.

Ex: n=3S e , donc Sk e .

23 SS1S11SH

x

x

x

x

x

x SS1S1



Le tableau suivant donne les polynômes de butterworthnormalisésnormalisés

F t d l ôF t d l ô BB ( )( )nn Facteurs du polynôme Facteurs du polynôme BBnn(s)(s)1 1SSB

2 1S41.1SsB 2 3 1SS1SsB 2

4 1S848.1S1S765.0SSB 22 5 1S618.1S1S618.0S1SSB 22

6 1S932.1S1S414.1S1S518.0SSB 222

7 1S8021S1S2471S1S4450S1SSB 222 7 1S802.1S1S247.1S1S445.0S1SSB



n=2

n=3

n=4

5n=5

n=6

7n=7


Exemple

Déterminer l’ordre du filtre Passe Bas de Butterworth qui donne une atténuation de 40 dB à la fréquence =2donne une atténuation de 40 dB à la fréquence =2p

2 avec 1H 2 2 avec

1H

Pn2n

n24

21110

2log2

110logn4

64.6n 2log2

L’ordre du filtre doit être un entier donc : n=7L ordre du filtre doit être un entier donc : n=7Cours Electronique Analogique / EMI / 2010‐2011 Pr. Jamal EL ABBADI


n=2

n=3

n=4

n=5n=5

n=6

7n=7


Filtres de Chebyshev Les fonctions de transfert de Chebyshev sont données par:p

22

202

1 nCHjH

sont les polynômes de Chebyshev définit par: nC

1 coshncosh10 cosncos

C1

1

n

Le paramètre e est relié à l’atténuation en bande passante par la relation suivante:

dB en 110 102

par la relation suivante:

dB en 110


Filtres de Chebyshev

nn Facteurs du polynôme Facteurs du polynôme BBnn(s)(s)

dB 0.5 3493.0 p yp y nn( )( )

1 863.2 ssB2 516.1425.12 sssB

23 142.1626.0626.0 2 ssssB4 356.0845.0064.1351.0 22 sssssB5 47705860036122403620 22 ssssssB5 477.0586.0036.1224.0362.0 ssssssB

ôô

dB 0.1 5089.0 nn Facteurs du polynôme Facteurs du polynôme BBnn(s)(s)1 965.1 ssB2 103.1098..12 sssB2 103.1098..1 sssB3 994.0494.0494.0 2 ssssB4 279.0674.0987.0279.0 22 sssssB

5 429.0468.0988.0179.0289.0 22 ssssssBCours Electronique Analogique / EMI / 2010‐2011 Pr. Jamal EL ABBADI

Filtres de Chebyshev

dB 01 50890 dB 0.1 5089.0


Exemple

Déterminer l’ordre du filtre Passe Bas de Chebyshev qui donne une atténuation de 40 dB à la fréquence =2 et donne une atténuation de 40 dB à la fréquence =20 et une atténuation de 1 dB dans la bande passante, déterminer alors la fréquence de coupure relative fr à -3dB

110

224

2

1jH2 25089.01 22

nC

5364 5196C

2n

220 C1H

2

536.4n 5.196Cn

L’ordre du filtre doit être un entier donc : n=5L ordre du filtre doit être un entier donc : n 5

034.11coshn1coshf 1

r

n Cours Electronique Analogique / EMI / 2010‐2011 Pr. Jamal EL ABBADI

Filtres de BesselLe filtre de Bessel est celui qui approche le mieux un filtre à phase linéaire.p

Bn est un polynôme de Bessel défini par:

HsH 0 sBs

n 1ssB et 1B

sBssB1n2sB

10

2n2

1nn

NN Facteurs du polynôme Facteurs du polynôme BBnn(s)(s)1 1ssB 1 1ssB

2 3s3ssB 2

3 15s15s6ssB 23 4 105s105s45s10ssB 234 5 735s735s330s85s13ssB 2345


Critères de choix

Parmi tous ces types de filtres, il est ensuite nécessaire de h i i l l dé t L h i t f i ’ t choisir le plus adéquat. Le choix ne peut se faire qu’en vertu

d’un compromis.


Exercice N°1

On considère le gabarit de filtre suivant :

Tracer le gabarit normalisé du filtre passe bas.Trouver la fonction de transfert de Chebytcher pour

déli filtmodéliser ce filtre.Cours Electronique Analogique / EMI / 2010‐2011 Pr. Jamal EL ABBADI

Exercice N°2


Tracer le gabarit normalisé du filtre passe basDét i l’ d d filt d B tt th t T h b t hDéterminer l’ordre du filtre de Butterworth et Techebytchev


Exercice N°3


Tracer le gabarit normalisé du filtre passe basDéterminer l’ordre du filtre de Butterworth et Techebytchev


Fonctions de Butterworth


Fonctions de Chebytchev


Filtres Actifs

Synthèse de filtres Synthèse de filtres Actifs

Phases de synthèse

A partir du gabarit réel du filtre, on détermine le gabarit

Gabarit normalisé du filtreGabarit normalisé du filtreA partir du gabarit réel du filtre, on détermine le gabarit normalisé, qui correspond au filtre passe bas

Détermination de l’ordre du filtreDétermination de l’ordre du filtreDétermination de l ordre du filtreDétermination de l ordre du filtreEn fonction des données et la fonction d’approximationutilisée, on détermine l’ordre n du filtre à synthétiser et ondétermine la fonction de transfert qui correspond au filtrereel. (Butterworth, Cauer, Tchebycheff…)

Choix des cellules élémentairesChoix des cellules élémentairesSi n est pair, le filtre sera réalisé par une association sériede cellules élémentaires du second ordre Si n est impair onde cellules élémentaires du second ordre. Si n est impair, ony couplera en plus une cellule du premier ordre.


Filtre du premier ordre Passe‐BasUn exemple de filtre actif de premier est donné par le circuit suivant

R 1 CsRR

RsH21

2

11

Connaissant le gain en bande passante et la fréquence de Connaissant le gain en bande passante et la fréquence de coupure.Connaissant la valeur de la capacité C, on peut trouver R1 et R2.


Filtre du premier ordre Passe‐Haut

Un exemple de filtre actif du premier est donné par le circuit suivantsuivant

CsR1

CsRsH1

2


Filtres 2e Ordre à un seul Ampli‐OpCellule de Cellule de Sallen KeySallen Key Filtre Passe BasFiltre Passe Bas

R

a

bv R

R1A

Condition de Stabilité

1CR

CRRA11

221v

1A1CRRRCCRCRA

VV

2vs

11

1sA1CRRRCsCRCRV v112122

2211e

0 CRCR1

2211 CRCRQ

22110 CRCR 212v11 RRCA1CR

Q


Filtre 2e Ordre à un seul Ampli‐OpCellule de Cellule de Sallen KeySallen Key Filtre Passe BasFiltre Passe Bas

Pour facilité la réalisation on prend:

A

R1=R2=R et C1=C2=C

1sA3RCsCRAsH

v222

v

RC1

0 vA3

1Q


Filtre 2e Ordre à un seul Ampli‐Op

Faire la synthèse d’un filtre de Chebyshev qui donne une atténuation de 40 dB à la fréquence =2 et une atténuation de 40 dB à la fréquence =20 et une atténuation de 1 dB dans la bande passante, de l’exemple précédant p

L’ordre du filtre trouvé est : n=5 42904680988017902890B 22 429.0s468.0s988.0s179.0s289.0ssB 22

On doit concevoir trois filtre en série dont les fonctions de transfert sont:

HsH 01 HsH 02 289.0s

sH1

988.0s179.0ssH 22

42904680

HsH 203

3 429.0s468.0s23



Chaque fonction de transfert est normalisée parrapport à la fréquence de coupure qui est dans notrerapport à la fréquence de coupure qui est dans notreexemple c=20fc=2103 rad/s

1289.0s

HsHc

'01

1 1988.0s179.0988.0s

HsHc

2c

2

'02

2

1429046804290HsH 22

'03

3

Les de filtres d de ième ordre pe ent être réalisés par

1429.0s468.0429.0s c2c

23

Les deux filtres du deuxième ordre peuvent être réalisés pardes cellules SallenSallen KeyKey avec R1=R2 et C1=C2 ce qui nouspermet de déduire:p



sradcc /10.2.994.0.994.0988.0 3202 55.5

988.0179.01

22

QQ

46801sradcc /10.2.655.0.655.0429.0 32

03 4.1 429.0

468.013

3

QQ

Q et w nous permettent de déterminer uniquement leproduit RC.pOn fixe généralement la capacité C et on calcule lesrésistances R1 et R2, puis le Gain de l’ampli en boucle

Aouverte Av.


Filtre 2e Ordre à un seul Ampli‐OpLa troisième cellule qui reste est un filtre Passe Bas du premier ordre qui peut être réaliser par un RC et Ampli Op monté en suiveur.

11

1

2

RCsVV La comparaison avec l’équation précédente nous donne un

produit RCcRC 289.01 c

Ce qui nous permet de déduire R connaissant la capacité C


Filtre 2e Ordre à un seul Ampli‐OpCellule de Cellule de Sallen KeySallen Key Filtre Passe HautFiltre Passe Haut

Une solution simple consiste à permuter les résistances et Une solution simple consiste à permuter les résistances et les capacités. On obtient ainsi les deux schémas suivants :

Déterminer les fonctions de transfert dans chaque cas de figureDéterminer les fonctions de transfert dans chaque cas de figure.


Filtre 2e Ordre à un seul Ampli‐OpCellule de Cellule de Sallen KeySallen Key Filtre Passe BandeFiltre Passe Bande

Vérifier que la fonction de transfert du filtre est donnée par:

1RR

CRRA1CRRRRRCsRR

CCRRRs

RRsCRRAVV

131v2212132213212

31232v

e

s

RRRR 3131


Filtre 2e Ordre à plusieurs boucles

y4 y5

cellule de Rauchcellule de Rauch

-y1 y3

y4 y5

+y2 vs

veV

41 vyvy s53 vyvy0

4321

s4e1

yyyyvyvyv

53

s53

yyyy0v

31s

yyyyyyyyy

vv

4343215e yyyyyyyv


Filtre 2e Ordre à plusieurs bouclescellule de cellule de RauchRauch Passe BasPasse Bas

R2 C2

-R1 R3

v +vs

ve C1

RR 1sCRRRRRsCCRR

RRvv

2132322

2132

12

e

s


Filtre 2e Ordre à plusieurs bouclescellule de cellule de RauchRauch Passe HautPasse Haut

1sCCCRsCCRRsCCRR

vvsH

32122

3221

23121

e

s

32123221e


Filtre 2e Ordre à plusieurs bouclescellule de cellule de RauchRauch Passe BandePasse Bande

sCRR 31

1sCCRRsCCRRR

sCRR

vvsH

21312

2131

2

231

e

s

RRRR 21

3121

312


Exercice d’application

Faire la synthèse d’un filtre Faire la synthèse d’un filtre ButterworthButterworth d’ordre d’ordre 4 4 qui qui présente une fréquence de coupure de présente une fréquence de coupure de ffcc==1 1 KHz, en KHz, en présente une fréquence de coupure de présente une fréquence de coupure de ffcc 1 1 KHz, en KHz, en utilisant les cellules de utilisant les cellules de RaughRaugh

SolutionSolutionLe polynôme de Butterworth d’ordre 4:

1S61.2S14.3S61.2SSD 2344

Le polynôme de Butterworth d ordre 4:

1S848.1S1S765.0SSD 224

On utilise deux cellules de Raugh du deuxième ordre,


Exercice d’applicationSi on fixe les valeurs de C1 et C2, on peut alors déterminer R1, R2 et R3.

2

12

1P1 C

C1KQ411CKQ2

1R

12

21P

1KRR

Q

2P221

3 RCC1R

Cellule 1 :Q=2.15, p=2rad/s, K=1, C1=1 nF, C2=0.05 uF.=> R1=R2=56 K R3=9KR1=R2=56 K, R3=9K.Cellule 2 :Q=0.541, p=2rad/s, K=1, C1=0.02uF, C2=0.05 uF => pR1=R2=10 K, R3=2.5K.


Exercice d’application


Filtre à plusieurs Ampli‐OpDans la fabrication de filtres pratiques industriels, les performances des sections biquadratiques sont améliorées par :

L’introduction d’autres étages amplificateurs - L’introduction d’autres étages amplificateurs, - L’utilisation de topologie standard pour réaliser tout les types de filtres.Exemple de topologie standardExemple de topologie standard


Filtre à plusieurs Ampli‐Op

21 ZZAAsH DB 21

21

AAZZZZZZsH

DADCBA

DB

Choix d’impédancesChoix d’impédances

Type de réponseType de réponse ZZAA ZZBB ZZCC ZZDD

Passe Bas

Passe Bande

R1 C1 R2 C2

R1 C1 C2 R2

Passe Haut

1 1 2 2

C1 R1 C2 R2


Filtre 2e Ordre à un seul Ampli‐OpAmpli à une seule boucleAmpli à une seule boucle

i iB

i1 i

i3 i4

-

+

A

V

i1 i2v

+Vs

Ve

A et B deux quadripôles

ii vYi AYv 21

032

vii

s

e

vYivYi

123

212=>

B

A

e

s

YY

vv

12

21



Exemple Exemple 11

CC

-R R

R/2

+2CVe

Vss

Déterminer la fonction de transfert du filtre en fonction de R et C



Exemple Exemple 22

C2

r r

Kr KrC1

-

+C1/KVe

VVs

Déterminer la fonction de transfert du filtre en fonction de K, r et C1 et C2


Filtre Passe Bande RLCRéseau RLCRéseau RLC

A

L C

Ampli quelconque

vevs

A0R

v

p q q

00ss sRCARAvvvH 200

e

s

e

s

LCsRCs1Cs1LsRvvv

sH

CsFréquence de résonance

LC1 0AjHLC10

00

200

21QArctg

QjH

LLQ 110 00Qg

CRCRRQ

0Cours Electronique Analogique / EMI / 2010‐2011 Pr. Jamal EL ABBADI

Filtres à convertisseur d’impédance Négative

Réalisation d’un NICRéalisation d’un NIC Negative Impedance Converter : NIC

i1

1 ZAvA ZLv1 L0

1

1 ZAi

A0

ExempleExemple

-

ExempleExemple

i1R1 21 vv

+v1222111 iRviRv

v2i2

R2L

1

2

1

1e Z

RR

ivZ

11 Ri


Filtres à convertisseur d’impédance Négative

i2i2b

Réseau B

vevsi2ki1k

Réseau A NICv1k

k2b22 iii

vyvyi KsB22eB21b2 vyvyi

sA22eA21a2 vyvyi A22B22

A21B21

e

s

KyyKyy

vv


Filtres actifs à GyrateurGyrateurGyrateur

Un gyrateur est un élément actif non réciproqueUn gyrateur est un élément actif non réciproque

2RvRg

ZLve

vsL

g

1

11 Z

RivZ

U t t f i d t ité Un gyrateur transforme une inductance en une capacité et inversement, Son rôle et de remplacer les inductances dans les filtres RLC par des capacités équivalentes. Gain p p qen performance et en encombrement


Filtres Actifs

Filt à ité Filtres à capacité commutéecommutée

Filtres à capacité commutéeLes filtres à capacité commutée sont des systèmes analogiqueséchantillonnés qui utilisent uniquement des capacités, des amplis opet des switches analogiqueset des switches analogiques.Les résistances des filtres RC classique sont remplacées par descapacités équivalentes.

Simulation de résistanceSimulation de résistanceS1 S2 Req

V2V1 C V2V1<==>

S t S d it h C lé t i il té i l h l S1 et S2 deux switches Complémentaires, pilotés par une signal horloge de période T

T1 temps de fermeture de S1T2 temps de fermeture de S2T1 T2

2 p 2

21 f1TTT sf


Filtres à capacité commutéeSimulation de résistanceSimulation de résistance

VVCfVVCQI 12s12eq VVCfVVTT

I

12 VVI => eq Cf

1R eq

eq RI

seq Cf

Exemple d’un intégrateurExemple d’un intégrateur

-R

C1-

C1

C+Ve Vs

+Ve Vs

C2

pCfC

pRC1

VVA s2s

v pCpRCV 11e


Filtres à capacité commutéeAmpli inverseurAmpli inverseur

R2

C

-R1

-C1

C2

+Ve Vs+Ve Vs

Montage pratiqueMontage pratique

2

1

2

s1

1

2sv C

CfCfC

RR

VVA -

C2

2s21e CfCRV

+Ve Vs

C1


Filtre d’ordre 1 à capacité commutéeMontage de baseMontage de base

R2

s

1

2

RCs11

RRsH

-‘R1

R

C s1 RCs1R +VeC

Vs

1

1CCsH 1

-C1

C2

CfCH

CsCf11C

Rs1

Rs

2

+Ve

C1

C1C

Vs

CsCfC

sHRs

Rs

2

1


Filtre d’ordre 2 à capacité commutéeExercice d’application Exercice d’application On considère de schéma du filtre suivant: Déterminer sa fonction de transfert quelle est sa nature?Déterminer sa fonction de transfert, quelle est sa nature?Calculer la (es) fréquence(s) de coupure à -3dBDéterminer le filtre équivalent en capacité commutée et sa fonction de transferttransfert.

On utilise un ampli de gain K positif, proposer un montage utilisant un ampli-opampli op

R

R3

C2R1 C2

vsC1

K

ve R2C1


C

-R1 C

R3

+R2 vve

vs

CC

-R R

R/2

+2CVe

Vss

++I1

-Z1

Z2 Z3

- Z4

V1

+

ZL

-

R1

I

R1

Z

+

-

I1

V

2R2

-

+V1

R3

R3

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