Caractérisation de la physique des structures en béton ...

Caractérisation de la vulnérabilité

physique des structures en béton armé

à l'aide d'approches numériques

Projet ANR MOPERA

Session de formation : « Méthodes statistiques pour la gestion à long terme du risque avalanche »

D. Bertrand – Maître de Conférences à l’INSA de Lyon

Laboratoire LGCIE (Labo. de Génie Civil et Ingénierie Environnementale)

P. Favier et I. Ousset – Doctorantes Irstea/INSA

N. Eckert – Chargé de Recherches Irstea

M. Naaim – Dir. de Recherches Irstea 1

Plan

• Contexte – La « mesure » du risque

– Caractérisation de l’aléa et de la vulnérabilité de l’enjeu exposé

• Le béton armé – Description physique et mécanique

• Les approches de modélisation – « Ingénieur GC » : BAEL ou EC2

– Equivalence Masse-ressort

– Méthode des Eléments Finis (FEM)

• Récapitulatif/Conclusion

2

Contexte

3 La « mesure » du risque

Analyse de l’aléa Analyse de la vulnerabilité

de l’enjeu

Analyse du risque

Contexte


Mécanique des fluides : modèles

de propagation (cf. M. Naaim)

Analyse de la vulnerabilité

de l’enjeu

Analyse du risque

Contexte




Mécanique des structures : objet de

l’intervention

Analyse du risque

Contexte




Mécanique des structures : objet de

l’intervention

Méthodes statistiques :

Théorie statistique du risque (cf. N. Eckert, / P. Favier)

Fiabilité des structures (cf. P. Favier)

Contexte

7 L’aléa : l’avalanche de neige

Champ de pression

Avalanche multi-couches Interaction avec un obstacle

Interface

Méca. Flu. / Méca. Struct.

Contexte

8 L’aléa : mesures expérimentales in-situ

Sovilla et al. (2007)

Profil de pression suivant

la hauteur – Evolution

dans le temps

Temps (s)

Hau

teu

r (m

)

Schaer et Issler (2001)

Evolution temporelle de la

pression sur un mât de 20m

20

m 1

2

Pre

ssio

n (

kP

a)

Mesures in-situ très utiles pour le choix du profil de

pression a appliquer mais restant encore trop peu

nombreuses pour être utilisées de manière statistique

Hypothèse de calcul : champ de

pression uniformément réparti

(sens de la sécurité) et temps

caractéristiques de variation

moyens respectés

Thibert et al. (2008)

Contexte

9 Les enjeux et leurs vulnérabilités

- Technologie de structure (elements

structuraux, assemblage, etc.)

- Properties mécaniques des matériaux utilisés

Maçonnerie

Béton armé

Structures métalliques

Structures bois

Exemple de structures

de bâtiment

Contexte

10 Exemple de structures en béton armé

Structures de protection Structures “non conventionnelles”

Structures de bâtiment

Le béton armé

11 Aspects physiques et mécaniques

Un essai de flexion décrivant la phénoménologie

Poutre BA

Armatures en

acier

Béton

Fissures

Le béton armé

12 Aspects physiques et mécaniques

Un matériau composite

Réponse du béton

Réponse de l’acier

Traction simple Compression simple

fc ≈ 10 ft (comportement

dissymétrique) fc= ft=

Traction / Compression simple

(comportement symétrique)

fu fy

fy ≈ 400 MPa

Le béton armé

13 Structure de bâtiment usuelle

Le béton armé

14 Classes d’éléments structuraux

Poutre Poteau

Dalle/Plancher

Voile/Refend

Le béton armé

15 Réponse mécanique usuelle d’un élément BA

Déplacement

Fo

rce

Phase 1 : Etat non fissuré

Phase 3 : Ecoulement

plastique des aciers

Phase 2 :

Développement de la

fissuration

Force

Déplacement dd1 dd2 dd3 dd4

Le béton armé

16 Définition de la vulnérabilité structurelle dans MOPERA

Courbe de capacité de la structure (ou PUSHOVER)

Identification de niveaux de dommage (dd1, dd2, dd3, etc.)

en fonction du déplacement atteint (dmax)

Définition d’un indice de dommage (dmax/ ddi)

17 Choix de l’objet d’étude

Voile BA qui « fonctionne » comme une dalle BA en

flexion simple (i.e. Moments de flexion et Tranchants # 0)

Approches de modélisation

18 Mode de ruine supposé

Chargement réparti + élancement des dalles considérées :

Mode de ruine en flexion est privilégié

=> dépassement des moments fléchissant admissibles

Réponse en flexion

(poutre « longue »)

Réponse en cisaillement

(poutre « courte »)


Fissures

19 Définition des grandeurs


Données nécessaires à chaque approche de

modélisation

- Géométrie de la dalle

- Pression de chargement (uniformément répartie)

- Conditions aux limites

- Caractéristiques mécaniques du béton et de l’acier

y

x

z

P

h


Approches de modélisation y

x

z

P

h


modélisation







x

z

P

h


modélisation







x

z

P

h


modélisation





Béton Acier

s

e e

s

23

Approche « Ingénieur GC »

Méthode - Calcul des efforts internes (Mxx et Myy)

- Localisation des moments de flexion maximaux (abaques : Pigeaud, Pücker, Bares (1969), etc.)

- Vérification de la résistance par équilibre de sections

Hypothèses - Conditions statiques

- Estimation des moments de flexion à partir d’une analyse élastique

Méthodologie

24





Approche classique de l’ingénieur (BAEL / EC2)

25





Equilibre de sections

Exemple de l’abaque de Barès (1969)

26





Equilibre de sections

x y

Mxx

Exemple avec une poutre soumise à un moment fléchissant Mxx

Vérif : Es-ce que Mxx est équilibré par la distribution de contraintes sxx ?

exx sxx / Forces

27

Approche « Ingénieur GC » Méthode complémentaire: prédiction de la charge de ruine associée

à un mécanisme de rupture (analyse « parfaitement » plastique)

Théorie des lignes de rupture

P

Cas d’une

poutre en acier

28




P

Développement d’un

moment plastique (Mp)

Cas d’une

poutre en acier

29




P

Moment plastique

totalement développé

Cas d’une

poutre en acier

30



Détermination de la charge ultime :

Wextérieur = Wintérieur P du = Mp q

où

- Mp est le moment plastique de la section

du le déplacement de la charge par rapport à sa position initiale

Exemple d’une rotule

plastique dans de l’acier

C’est un terme abusif

car la rotation n’est pas

libre (Mp = cte # 0)

Méthode complémentaire: prédiction de la charge de ruine associée


P

Moment plastique

totalement développé

31



Appuis simples

Encastrement

Ligne de rupture « positive »

Ligne de rupture « négative »

Axes de rotation

Côté libre

Poteau

Axes de rotation

32


Méthode complémentaire: prédiction de la charge de ruine associée



Théorème cinématique : Toute charge de ruine Qi à laquelle correspond un

mécanisme de ruine cinématiquement admissible est

supérieure ou égale à la charge ultime réelle Qu

Exemple :

optimisation par

rapport à a1

33

Approche « Masse-Ressort»

Méthode MR

Dalle simplement

appuyée

Champ de pression

dû à l’avalanche

h

b

y x

z

L/2 0

L x y

Avantages - Calcul dynamique

- Prise en compte des effets d’inertie potentiels

- Description dans le temps du chargement (P(t))

Inconvénients - Conditions aux limites réduites

- Problèmes 3D plus complexe à traiter

p(t)

p(t) L

34


Equivalence Masse-Ressort

L/2 0

L x y

p(t)

p(t) L

y

wo

Keq

Meq

Fext(t) = p(t) L

R

Meq wo

Equilibre mécanique

Meq wo = p(t) L – R

à résoudre dans le temps

35


Calcul de la masse équivalente

avec

dans le cas élastique

Exemple du cas élastique

Equivalence en termes d’énergie cinétique

36


Deux régimes principaux : Elastique et plastique

Extrait de

Biggs et al.

(1964)

37


Réponse supposée en Force-Déplacement

Deux régimes principaux

(Elastique et plastique)

Hypothèse : Courbe

Force-Déplacement

bilinéaire en statique

Force / Depl. sortie du domaine élastique

Force / Depl. ultime

Raideur en phase élastique

Raideur en phase plastique

38


Déduction a partir de la loi Moment-Courbure

En phase élastique

En statique

avec

Courbe construite à partir d’équilibre de la

section et des lois de comportement de l’acier

et du béton

En phase élasto-plastique

avec

5

384

39


Construction de la loi Moment-Courbure

Acier

Béton

eexc

z

dh

di

y

Fi

eexc

exx

sxx

Ea Ea

fy

Acier

exx

sxx

Eb

fc

Béton

ft supposée

nulle

es

ec

0

y

y

exx(y)

Compression Traction

xy

d h/2

Calcul des forces :

Discrétisation de la section Distribution de

déformations longitudinales

40


Equations du mouvement

Pour

Pour

(Phase élastique)

(Phase élasto-Plastique)

Equations différentielles résolues dans le temps à l’aide de

schémas d’intégrations de Newmark.

41


Illustration

Tfin

42


Illustration

Tfin=100s Tfin=10s

Tfin=1s Tfin=5s

Réponse dynamique Réponse plutôt dynamique

Réponse plutôt Quasi-statique Réponse Quasi-statique

Approche « Eléments finis »

43 Exemples FEM (Finite Element Method)

Contact de billes sur un arbre

Crash test auto

Simulation de la dent

déflectrice de Taconnaz

Structure de Bâtiment type

« Poteaux - Poutres »


44 Exemple de l’élasticité plane – Equations du problème

Equation d’équilibre

local en statique

Loi de comportement

Conditions aux limites


Forme variationnelle et discrétisation plane 45


46 Résolution élémentaire

Pour un élément e définis par le domaine we, on peut

écrire pour tout point M :

M

ième

composante

du champ

Nœuds de

l’élément

Valeur au nœud a de la composante i du

déplacement.

Fonction de forme (ou d’interpolation)


47 Exemple de fonction d’interpolation pour un TRI3

Fonctions de

forme linéaires.


48 Ecriture du système à résoudre

Sommation sur l’ensemble des éléments puis

obtention du système linéaire à résoudre

REMARQUE : Dans un problème de dynamique, apparaissent les

matrices de masse et d’amortissement (si considéré).


49 En Dynamique !!! Et avec les NL matérielles !

Où q / q / q sont les déplacements/vitesses/accélérations

des nœuds du maillage à l’instant n+1

En plus, en fonction du problème, prise en

compte des non linéarités : - Géométriques (grands déplacements/déformations)

- Matériau (plasticité / endommagement / etc.)

- Contact


50 Application aux cas des avalanches : Dent de Taconnaz


51 Modèle réduit (1/6) expérimental d’une dent de Taconnaz


52 Application aux cas des avalanches : Dent de Taconnaz

Eléments finis utilisés

Acier : SEG2

Beton : QUA8


53 Lois de comportement Acier et Béton (Exemple loi CEA)

Acier Béton

Surface de charge

Réponse uniaxiale Réponse uniaxiale

Surface de charge


54 Comparaison FEM / Expérience

Zones dégradées

Paramètres de simulation

Réponse de PUSHOVER


55 Effet du taux de renforcement sur la vulnérabilité de la structure

dmax : déplacement max. pour une pression donnée

du : déplacement max. ultime


56 Structure de bâtiment type « Poteaux-Poutres »

2.75m

3m

3m

3m

Poteau

Poutre

Pression

P(t)

GP4P3

GP4P2

GP4P1

GP4P0

GP7P3

GP7P2

GP7P1

GP7P0

LP43

LP42

LP41 LP71

LP72

LP73



Section de poutre avec dalle

collaborante

Section de poteau

Béton

25cm

25cm

25cm

f13

Armature

d’acier

35cm

50cm

26.25cm

f8

f12



Réponse Quasi-Statique (vitesse de sollicitation très faible)

Chargement appliqué

par une pression

évoluant de manière

linéaire et monotone

2


59 Effet de la vitesse de chargement en dynamique

Vitesse de chargement

augmente =>

développement

d’effets inertiels

Hypothèses de calcul fonction des temps caractéristiques de réponse de la structure et de

l’évolution dans le temps de la pression due à l’avalanche

Pression

Temps

tfin

Pmax =

60kPa

Récap. / Conclusion

60 Ce qu’il faut retenir

• Risque = Aléa x Vulnérabilité

• Vulnérabilité physique de structures de bâtiment ou de protection

en béton armé

• Plusieurs modèles plus ou moins sophistiqués disponibles

Equilibre de sections / Lignes de rupture

Modèle Masse-Ressort

Modèle éléments finis

• Courbes de vulnérabilité via des courbes de PUSHOVER

• Cadre statistique : estimation de la probabilité de défaillance via des

courbes de fragilité

Notion de fiabilité (cf. P. Favier)

Faisabilité des simulations : Adéquation nécessaire entre méthode fiabiliste et

modèles déterministes

Merci pour votre attention !

Des questions ?

ANR MOPERA

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