Cours de structures en béton II · ENAC – Section de génie civil IS-BETON – Laboratoire de...

ENAC – Section de génie civilIS-BETON – Laboratoire de construction en béton

Structuresen béton II

Dr O. Burdet

Dalles

Introduction à l’élasticité



Dr O. Burdet

Le gauchissement : près de l’appui

Fig. 7.35



Dr O. Burdet

Le gauchissement: bande de champ

Fig. 7.35



Dr O. Burdet

Le gauchissement : visualisation

Fig. 7.35



Dr O. Burdet

On pourrait éviter la torsion…

Fig. 7.37



Dr O. Burdet

Dalles

Théorie de l’élasticité



Dr O. Burdet

Equation différentielle des dalles▪ Etablie par Lagrange▪ Hypothèses de base:

– Dalles élancées (l/h > 5)– Dalles isotropes homogènes– Pas de déformation du feuillet moyen dans son

plan– Les sections planes restent planes– Les contraintes normales sont négligées

Fig. 7.5



Dr O. Burdet

Elément infinitésimal de dalle

dx

dy

Fig. 7.6



Dr O. Burdet

Equilibre d’un élément de dalle

( )m dm dyx x+ ⋅

Fig. 7.6

( )m dm dyx x+ ⋅

( )m dm dyxy xy+ ⋅( )m dm dxy y+ ⋅

( )m dm dxyx yx+ ⋅

( )v dv dyx x+ ⋅( )v dv dxy y+ ⋅

v dxy ⋅v dyx ⋅m dyx ⋅

m dxy ⋅

m dyxy ⋅m dxyx ⋅

yx

z dx

dy

q dx dy⋅ ⋅



Dr O. Burdet

Equilibre autour de y

yz

x0=−∂

∂+

∂∂

xxyx v

ym

xm

Fig. 7.6

dyx

mm xx ⋅

∂∂

+

dymx ⋅ dxmxy ⋅

dxy

mm xy

xy ⋅

∂

∂+

dyvx ⋅

dyxvv x

x ⋅

∂∂

+



Dr O. Burdet

Equilibre autour de x

yz

x0=−

∂

∂+

∂

∂y

xyy vx

my

m

Fig. 7.6

dyy

mm y

y ⋅

∂

∂+

ymdymyx ⋅

dyy

mm yx

yx ⋅

∂

∂+

dxvy ⋅

dxyv

v yy ⋅

∂

∂+



Dr O. Burdet

Equilibre vertical

yz

x

0=+∂

∂+

∂∂ q

yv

xv yx

Fig. 7.6

dxvy ⋅

dxyv

v yy ⋅

∂

∂+

dyvx ⋅

dyxvv x

x ⋅

∂∂

+



Dr O. Burdet

Equilibre d’un élément infinitésimal de dalle

0=−∂

∂+

∂∂

xxyx v

ym

xm 0=−

∂

∂+

∂

∂y

xyy vx

my

m

0=+∂

∂+

∂∂ q

yv

xv yx

Fig. 7.6

qym

yxm

xm yxyx −=

∂

∂+

∂∂

∂+

∂∂

2

22

2

2

2

Eq. 7.2



Dr O. Burdet

Déformation d’un élément de dalle▪ Etablie par Lagrange▪ Hypothèses de base:

– Dalles élancées (l/h > 5)– Dalles isotropes homogènes– Pas de déformation du feuillet moyen dans son

plan– Les sections planes restent planes– Les contraintes normales sont négligées

Fig. 7.5



Dr O. Burdet

Déformation dans un plan parallèle au feuillet moyen

xv

yu

yxxy ∂∂

+∂∂

=+= γγγFig. 7.7



Dr O. Burdet

Répartition des contraintes

zh

xx ⋅=

2/max,σ

σ

Fig. 7.8



Dr O. Burdet

Moments en fonction de la déformée

∂∂

+∂∂

−= 2

2

2

2

yw

xwBmx ν

∂∂

+∂∂

−= 2

2

2

2

yw

xwBmy ν

( )yx

wBmxy ∂∂∂

−−=2

1 ν

( )2

3

112 ν−⋅⋅

=hEBavec

Eq. 7.9



Dr O. Burdet

Equation de Lagrange (1811)

Bq

yw

yxw

xw

=∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

4

4

22

4

4

4

2

Eq. 7.10



Dr O. Burdet

Grille de poutres sans torsion

Bq

yw

xw

=∂∂

+∂∂

4

4

4

4

Fig. 7.37



Dr O. Burdet

Conditions de bord

Type de condition cinématique (déplacements connus)

statique (efforts connus)

appui simple w = 0 m = 0

encastrement total w = 0, ∂w∂n = 0

encastrement élastique w = 0

∂w∂n proportionnel à m

m proportionnel à ∂w∂n

bord libre m = 0, r = 0

Bq

yw

yxw

xw

=∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

4

4

22

4

4

4

2Tab. 7.10



Dr O. Burdet

Résolution de l’équation de Lagrange

w x yqa

D my

by

by

bm x

am m

m

m m

m

m

m( , )

tanhcosh cosh cosh sinh sin

, , ,...= −

++

=

∞

∑4 11

22

22

2 24

5 51 3 5π

α αα

α αα

α π

w(x,y) = ∑m

∞ ∑

n

∞ amn · sin

mπx

a · sin

nπy

b

avec α πm

m ba

=2

y

x

b2

b2

a

On peut le faire avec Excel !

Fig. 7.11



Dr O. Burdet

Moments – dalle rectangulaire

0.04

0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

a a/2

0 1.5

Mqa2

b = ab = 1.5 a b = 2 a

b = 3 a b = 4 a

Mqa2

des momentsDiagramme

m à y = 0y

Diagrammedes momentsm à x = a/2x

Distribution transversaledes momentsm à x = a/2y

Distribution transversaledes momentsm à y = 0x

a 2a 3a 4a3a/2a/2

0.125

Diagramme

Diagramme Distribution

DistributionFig. 7.12



Dr O. Burdet

Isolignes des déformations



Dr O. Burdet

Vue 3D des déformations



Dr O. Burdet

Isolignes des moments mx



Dr O. Burdet

Isolignes des moments my



Dr O. Burdet

Isolignes des moments de torsion mxy



Dr O. Burdet

Moments élastiques (ν = 0.17)



Dr O. Burdet

Soulèvement des coins

b) coins ancrésa) coins libres de se soulever

Fig. 7.14



Dr O. Burdet

Efforts dans les coins

Fig. 7.15



Dr O. Burdet

Torsion pure dans les coins de dalles

R

réaction répartie r

m-

m+a

a

a

m-

m+

a) moments dans l'angle d'une dalle simplementappuyée et ancrée

b) moments dans l'angle d'une dalle surquatre colonnes

A

A

Fig. 7.17



Dr O. Burdet

Réactions d’appui

Fig. 7.13



Dr O. Burdet

Dalle encastrée sur son pourtour

Fig. 7.18



Dr O. Burdet

Etat de contraintes dans un coin

dz

dx dzσydy dzσx

dx dzτyxdy dzτxy

dx dzσα

ds dzτα

dydx

α

z

y

x

Fig. 7.19



Dr O. Burdet

Moments principaux

m T

mm1m2 mx

mymxy

2α

mxy

Figs. 7.20 et 7.21



Dr O. Burdet

Trajectoires des moments principaux



Dr O. Burdet

Comparaison dalle-poutre (1)

h h

b

z

x

w

),( yxw )(xw

Dalle Poutre

z

x

wy



Dr O. Burdet

Comparaison dalle-poutre (2)h h

b

∂∂

⋅+∂∂

−= 2

2

2

2

yw

xwBmx ν

∂∂

⋅+∂∂

−= 2

2

2

2

xw

ywBmy ν

( )yx

wBmm yxxy ∂∂∂

−−==2

1 ν

2

2

dxwdBM x ′−=

0≡yM

0=xyM

12

3bhIEIB ==′



Dr O. Burdet

Comparaison dalle-poutre (3)h h

b

Bq

yw

yxw

xw

=∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

4

4

22

4

4

4

2Bq

xw

′=

∂∂

4

4

121

3

2

hIEIB =−

=ν 12

3bhIEIB ==′

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