Exemples d’utilisations de la théorie desreprésentations.

Simon C.

bXc

1 Sous-groupes distingués et table des caractères.

1.1 Commentaires.

Ce développement est issu de [ulm, 2012], § 17.3, mais il est aussi en exercice dans[col, 2011] (chapitre I) et dans [h2g, 2015]. Il nécessite comme prérequis :

— La théorie des représentations.— La construction des tables de caractères d’un groupe fini.L’objectif est de montrer comment la table des caractères d’un groupe fini permet

de tirer certaines informations sur le groupe. Par exemple, la table des caractères donnedirectement la liste explicite de tous les sous-groupes distingués d’un groupe.

1.2 Les sous-groupes distingués comme noyaux de caractères.

Dans toute la suite, G est un groupe fini d’ordre n.

PROPOSITION 1.1. — Soit V une représentation de G de morphisme structurel ρ et decaractère χ. Alors, ∀g ∈G , on a |χ(g )| ≤ χ(e) = n. De plus, χ(g ) = χ(e) si et seulement sig ∈ ker(ρ).

Démonstration. Par définition du caractère, on a χ(g ) = Tr(ρ(g )

). Or, ρ(g ) est diago-

nalisable sur C et ses valeurs propres sont des racines de l’unité. Notons-les λ1, ...,λn .Alors,

|χ(g )| = ∣∣λ1 + ...+λn∣∣≤ |λ1|+ ...+|λn | = n =χ(e)

Supposons que χ(g ) = n. Alors |χ(g )| = n et, par le cas d’égalité dans l’inégalité tri-angulaire, il existe a2, ..., an des nombres réels positifs tels que λk = akλ1. Ainsi, |χ(g )| =1+a2 + ...+an =. Comme ak ≤ 1, on en déduit que ak = 1 et toutes les valeurs propressont égales, et nécessairement égales à 1 puisque χ(g ) = n. Donc, ρ(g ) est semblable àla matrice identité : c’est la matrice identité, et g ∈ ker(ρ). La réciproque est évidente.

♥DÉFINITION 1. — Soit G un groupe et χ un caractère de G . On appelle noyau de Gl’ensemble Kχ = {g ∈G :χ(g ) =χ(e)}.

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Q Utilisation des représentations de groupes. Q

REMARQUE 1. La première proposition montre donc que le noyau d’un caractère estun sous-groupe distingué en tant que noyau du morphisme structurel.

THÉORÈME 1.1. — Soit G un groupe fini ayant m classes de conjugaison et χ1, ...,χm lescaractères irréductibles de G . Alors, tout sous-groupe distingué H de G est de la forme

H = ⋂j∈J

ker(χ j )

avec J ∈P {1, ...,m}.

Démonstration. Montrons d’abord que tout sous-groupe distingué de G est noyau d’uncaractère (pas forcément irréductible) de G .

Montrons ensuite que ker(χ) est une intersection de noyaux de caractères irré-ductibles. En effet, V se décompose comme somme de représentations irréductibles :V = ⊕m

i=1 ni Vi . Ainsi, χ = ∑mi=1 aiχi . Or, chaque Vi est stable sous l’action de G , et en

particulier stable par ρ(g ). Donc si g ∈ ker(χ) = ker(ρ), alors pour tout vi ∈ Vi on aρ(g ) · vi = vi , donc ρi (g ) = idVi et χi (g ) = χi (e). DOnc, g ∈ ∩ker(χi ). La réciproque estévidente.

♥COROLLAIRE 1. — Un groupe fini G est simple si et seulement si tout caractère irréduc-tible non trivial de G a un noyau trivial.

1.3 Lecture d’une table de caractères.

Commutation et ordre.

La formule de Burnside permet immédiatement de déterminer l’ordre du groupeG : |G| =∑m

i=1χi (e). On lit également le nombre de classes de conjugaison de G , qui estle nombre de caractères irréductibles.

On sait ensuite si le groupe est abélien ou pas en regardant s’il a des caractèresirréductibles de degré supérieur à 1.

Si le groupe n’est pas abélien, on sait que le nombre de caractères irréductibles dedegré 1 est l’ordre de l’abélianisé de G , ce qui nous donne directement l’ordre de DG .

Sous-groupes distingués.

Pour chaque caractère, on considère ker(χ) : s’il est égal à {e}, c’est que le mor-phisme associé à χ est fidèle. Sinon, on dispose d’un sous-groupe distingué à traversker(χ) et on voit tout de suite que le groupe n’est pas simple.

Pour chaque caractère, le noyau de ce caractère donne un sous-groupe distinguéque l’on connaît explicitement (c’est une réunion de classes de conjugaisons). Le théo-rème précédent donne alors la liste de tous les sous-groupes distingués : ce sont lesintersections des noyaux. En général, cela permet de trouver explicitement le groupedérivé (on connaît déjà son ordre).

REMARQUE 2. Un groupe abélien fini est cyclique si et seulement s’il possède un ca-ractère irréductible fidèle ([ulm, 2012], ex.17.5).

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Q Utilisation des représentations de groupes. Q

Démonstration. S’il un tel groupe est cyclique d’ordre n, il est clairement isomorphe àUn . Réciproquement, s’il y a un caractère fidèle, alors G s’injecte dans U et son imageest un sous-groupe fini de U, c’est-à-dire un Un (les sous-groupes de U sont cycliqueset finis ou denses et infinis). ♥

1.3.1 Premier exemple : un groupe d’ordre 36.

Donner en exemple la table du neuvième groupe d’ordre 36, donné dans [ulm, 2012],page 159.

REMARQUE 3. Un groupe d’ordre 36 n’est jamais simple.

Démonstration. Supposons que G est simple. Alors, n3 ∈ {1,4} donc n3 = 4 et G agit(fidèlement car il a été supposé simple) sur Syl3(G), ce qui fournit une injection G →S4, ce qui est absurde pour des raisons de cardinalité. La même démonstration permetde montrer qu’il n’y a pas de groupe simple d’ordre 24. ♥

1.3.2 Deuxième exemple : S4.

Voici la table des caractères de S4.

Classe C {Id} Double-transp. 3-cycles transp. 4-cycles1 1 1 1 1 1ε 1 1 1 -1 -1χ 2 2 -1 0 0

VX 3 -1 0 1 -1VX ⊗ε 3 -1 0 -1 1

Le noyau de la signature est donné par l’union de l’identité, des double transpo-sitions et des 3-cycles : il s’agit bien de A4. Le noyau de χ est le sous-groupe forméde l’identité et des double-transpositions, il est isomorphe au groupe de Klein. Onobtient ainsi tous les sous-groupes distingués de S4. On notera également que lesdeux dernières représentations ont un noyau trivial, donc fournissent des injectionsS4 ,→ GL(VX ) où VX est de dimension 3.

2 Caractères des groupes abéliens finis.

Dans cette section, on montre le théorème de Kronecker (de classification des groupesabéliens finis) en utilisant la théorie des caractères. C’est directement inspiré de [col, 2011],chapitre I, §5. On suppose cependant que la théorie des caractères est connue. En par-ticulier, on suppose vérifiés :

— Le lemme de Schur et le théorème de Mashke.— Le théorème de Frobenius (les caractères irréductibles forment une base ortho-

normale des fonctions centrales).

PROPOSITION 2.1. — Un groupe fini G est abélien si et seulement si tous ses caractèresirréductibles sont de degré 1.

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Q Utilisation des représentations de groupes. Q

Démonstration. S’il est abélien, tous ses caractères sont de degré 1 par codiagonalisa-tion. Si tous ses caractères irréductibles sont de degré 1, par la formule de Burnside

|G| = ∑χ∈Car(G)

n2χ

on voit qu’il y n caractères irréductibles, donc n classes de conjugaison, donc elles sontréduites à un seul élément et G est abélien. ♥

En fait, plus il y a de caractères de degré 1, plus le groupe est abélien : en effet, lescaractères de degré différent de 1 correspondent aux caractères de l’abélianisé G

/Z(G).

2.1 Caractères des groupes abéliens finis.

Dorénavant, G est un groupe abélien fini.

THÉORÈME 2.1. — Toute fonction de G dans C est combinaison linéaire de caractères.

Démonstration. Tout caractère est irréductible et Fcent(G ,C) = F (G ,C) puisque lesclasses de conjugaison de G sont les singletons. Il suffit donc d’appliquer le théorèmede Frobenius. ♥DÉFINITION 2. — Soit f ∈F (G ,C). La transformée de Fourier de f , notée f , est la fonc-tion G →C définie par

f (χ) = ⟨χ, f ⟩THÉORÈME 2.2 (Inversion de Fourier). — Soit f ∈F (G ,C). Alors,

∀g ∈G , f (g ) = ∑χ∈G

χ(g ) f (χ)

EXEMPLE 1. Soit f = 1a pour un certain a ∈G . Alors,

f (g ) = δa,g = ∑χ∈G

f (χ)χ(g ) = 1

|G|∑χ∈G

χ(a)χ(g )

DÉFINITION 3. — Soit D un entier. Un caractère de (Z/DZ)× est appelé caractère deDirichlet modulo D .

PROPOSITION 2.2. — Si a ∧D = 1, alors

1

φ(D)

∑χ∈Dir(D)

χ(a)χ(n)

vaut 1 si n ≡ a (mod D) et 0 sinon.

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Q Utilisation des représentations de groupes. Q

2.2 Le groupe dual.

Pour tout groupe G , on a une injection canonique ι : G → G , donnée par

ι(g ) = ξg

où ξg :χ→χ(g ).

THÉORÈME 2.3. — Si G est abélien fini, ι : G → G est un isomorphisme de groupes.

Démonstration. ι est clairement un morphisme de groupes. Il nous suffit donc de vé-

rifier qu’il est bijectif. D’après le lemme XXX, on a |G| = |G| donc |G| = | G|. Il suffit doncde vérifier que ι est une injection. Soient a,b dans G tels que ι(a) = ι(b). Alors, pourtout χ ∈ G , on a ι(a)(χ) = ι(b)(χ), c’est-à-dire

χ(a) =χ(b)

Soit f = 1a et g = 1b . Par la formule d’inversion de Fourier, on a pour tout x ∈G :

f (x) = 1

|G|∑χ∈G

χ(a)χ(x)

Et de même,

g (x) = 1

|G|∑χ∈G

χ(b)χ(x)

Donc f = g et a = b. Le morphisme ι est injectif, donc bijectif par cardinalité, et c’estun isomorphisme. ♥

2.3 L’exposant d’un groupe.

DÉFINITION 4. — Soit G un groupe. On appelle ordre de G le le maximum des ordresdes éléments de G . On le note ω(G). Par extension, on notera aussi ω(x) l’ordre d’unélément x : il coïncide avec l’ordre du groupe ⟨x⟩.LEMME 2.1. — Soit G un groupe abélien fini et x, y deux éléments de G d’ordres res-pectifs n,m. Si pgcd(m,n) = 1, alorsω(x y) = nm.

LEMME 2.2. — Soit G un groupe abélien fini et x, y deux éléments de G d’ordres res-pectifs n,m non nuls. Alors, G contient un élément d’ordre ppcm(n,m).

THÉORÈME 2.4. — Soit G un groupe abélien fini. Alors, G contient un élément d’ordreω(G) et on a

ω(G) = inf{n ∈N : xn = e,∀x ∈G}

COROLLAIRE 2. — Soit k un corps fini de cardinal q . Son groupe multiplicatif k× estcyclique d’ordre q −1.

PROPOSITION 2.3. — Un groupe abélien fini et son dual ont le même exposant.

Démonstration. Soit χ ∈ G . Soit n =ω(G). Alors, ∀x ∈G , on a χn(x) = χ(xn) = χ(e) = 1.

Doncω(G) ≤ n. De même,ω( G ≤ω(G) ≤ n mais comme G ' G , on aω( G) = n et il y ades égalités partout. ♥

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Q Utilisation des représentations de groupes. Q

2.4 La classification des groupes abéliens finis.

THÉORÈME 2.5. — Soit G un groupe abélien fini. Il existe r ∈N et des entiers n1, ...,nr

tels que— n1 =ω(G).— ni+1|ni

— On a un isomorphisme

G 'r⊕

i=1Z

/niZ

Démonstration. On raisonne par récurrence sur n = |G|. Lorsque n = 1, il n’y a rien àmontrer (pareil lorsque n = 2,3,4,5 en fait).

Supposons que le résultat est vérifié pour n. Notons N = n1 =ω(G). Pour tout x ∈G ,on a xN = e. Donc, pour tout x ∈G et pour tout χ ∈ G , le nombre complexe χ(x) est uneracine N -ème de l’unité.

Ê L’ordre de G est également N , de sorte qu’il existe χ1 ∈ G tel queω(χ1) = N Mon-trons par l’absurde qu’il existe x1 ∈G tel que χ1(x1) est d’ordre N .

Supposons que pour tout x ∈ G , χ(x) est d’ordre strictement inférieur à N . L’ordredu groupe Im(χ1) serait alors strictement inférieur à N , disons m, et pour tout x ∈ G ,on aurait χm

1 (x) = (χ1(x)

)m = 1. Donc on aurait χm1 = 1, ce qui est faux car ω(χ) = N .

Donc, il existe x1 ∈G tel que χ1(x1) est d’ordre N .Ë En particulier, χ1(G) = UN . Mais l’ordre de x1 est également un diviseur de N .

Si c’était un diviseur strict, là encore χ1(x1) ne serait pas d’ordre N . Donc ω(x1) = N .FInalement, si l’on note H1 = ⟨x1⟩, alors H1 'Z

/NZ.

Ì Posons G1 = ker(χ1). Nous allons montrer que

G = H1 ⊕G1

Remarquons déjà que χ1 : H1 → UN est un isomorphisme de groupes (il est injectif).Notons α : UN → H1 son inverse. Soit x ∈ H1 ∩G1. Alors, χ1(x) = 1 car x ∈ G1, doncx = e, et H1 ∩G1 = {e}. Soit maintenant x ∈ G . On pose y = (

α(χ1(x)))−1x. Il est clair

que x = α(χ1(x))y et que α(χ1(x)) ∈ H1. D’autre part, χ1(y) = (χ1(x)

)−1χ1(x) = 1, donc

y ∈G1. Ceci montre bien que G = H1 ⊕G1.Í G1 est un groupe abélien fini dont l’ordre divise N , et lui est même strictement

inférieur. Appliquons l’hypothèse de récurrence : il existe s et n1, ...,ns qui se divisentsuccessivement et tels que n1 =ω(G1). Or, l’ordre d’un sous-groupe divise l’ordre dugroupe, donc n1|N et le résultat est démontré.

♥THÉORÈME 2.6. — Les entiers r et n1, ...,nr du théorème précédent sont uniques.

La démonstration qui suit vient de [ulm, 2012], proposition 12.12. Elle se trouveaussi dans [ALG, 2014], exercice 2.20 et n’importe où ailleurs. On commence par unlemme qui est intéressant en soi dans l’étude des anneaux Z

/nZ.

LEMME 2.3. — Le nombre de solutions de l’équation qx = 0 dans le groupe

Z/

m1Z× ...×Z/mlZ

est pgcd(q,n1)× ...×pgcd(q,nr ).

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Q Utilisation des représentations de groupes. Q

Démonstration du lemme. Soit x = (x1, ..., xr ) tel que qx = 0. Alors, pour tout i , on aqxi = 0 dans Z

/niZ. L’ensemble des éléments qui vérifient ceci est l’ensemble kd , où

d = npgcd(q,ni ) et où k ≤ pgcd(q,ni ), d’où le résultat. ♥

Démonstration du théorème d’unicité. Soient G et H deux groupes isomorphes, et soientr, l ∈N et n1, ...,nr ,m1, ...,ml tels que ni |ni+1 et m j |m j+1, et tels que

G 'Z/n1Z× ...×Z/

nrZ

etG 'Z/

m1Z× ...×Z/mlZ

Nous allons montrer que r = l et que ni = mi pour tout i . Supposons (par exemple)que r > s. On va compter le nombre de solutions de l’équation n1x = 0 dans les deuxgroupes G et H . Dans le groupe G . On utilise pour cela le lemme. Dans le groupe G ,comme n1 est l’ordre du groupe, il est clair qu’il y a nr

1 solutions. Par le lemme, dans ledeuxième groupe, il y a

s∏i=1

pgcd(n1,mi )

solutions. Mais on se rend vite compte que pgcd(ni ,mi ) ≤ n1 et donc, comme r > s,on ne peut avoir égalité que si r = s et si pgcd(ni ,mi ) = n1. En faisant le même raison-nement pour m1, on obtient donc m1 = n1. Une récurrence rapide donne le résulat. ♥

Références

[col, 2011] (2011). Eléments d’analyse et d’algèbre. Pierre Colmez.

[ulm, 2012] (2012). Théorie des groupes. Félix Ulmer.

[ALG, 2014] (2014). Exercices de mathématiques : Algèbre 1. Francinou and Gianellaand Nicolas.

[h2g, 2015] (2015). Histoires hédonistes de groupes et de géométries. Caldero et Ger-moni.

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