Capstone Project on Space Launch System
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UNIVERSITE DU QUEBEC À TROIS-RIVIÈRES PAPA MAGATTE DIAKHATE ACTIVITÉS DE SYNTHÈSE EN GÉNIE MÉCANIQUE GMC 1023 MERCREDI 08 DECEMBRE 2010
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UNIVERSITE DU QUEBEC À TROIS-RIVIÈRES
PAPA MAGATTE DIAKHATE
ACTIVITÉS DE SYNTHÈSE EN GÉNIE MÉCANIQUE
GMC 1023
MERCREDI 08 DECEMBRE 2010
2
3
Table des matières
I. Remerciements ..................................................................................................................................... 4
II. Introduction .......................................................................................................................................... 5
III. Atmosphère ...................................................................................................................................... 6
IV. Variation de la pression atmosphérique ........................................................................................... 9
1. Troposphère ...................................................................................................................................... 9
2. Stratosphère ................................................................................................................................... 10
3. Mésosphère .................................................................................................................................... 12
4. Thermosphère ................................................................................................................................. 14
V. Variation de la masse volumique de l’air ............................................................................................ 16
1. Troposphère .................................................................................................................................... 16
2. Stratosphère ................................................................................................................................... 17
3. Mésosphère .................................................................................................................................... 19
4. Thermosphère ................................................................................................................................. 20
VI. Variation de la gravite ..................................................................................................................... 23
VII. vitesse une fois satellisé .................................................................................................................. 26
VIII. Équations du mouvement ............................................................................................................... 29
IX. Performances .................................................................................................................................. 38
1. Variation de la vitesse ..................................................................................................................... 38
2. Calcul du rendement énergétique .................................................................................................. 39
3. Les forces en jeu.............................................................................................................................. 41
X. Dimensions et design .......................................................................................................................... 43
XI. RUNGE-KUTTA ................................................................................................................................. 44
XII. Annexes ........................................................................................................................................... 54
1. Mélanges courants et leurs propriétés ........................................................................................... 54
2. Programme VB ................................................................................................................................ 57
3. Démonstration équation de Tsiolkovski ......................................................................................... 69
4. Démonstration équation des fluides compressibles ...................................................................... 71
XIII. Références ...................................................................................................................................... 77
XIV. Index ................................................................................................................................................ 80
4
I. Remerciements
Je tiens à remercier le professeur Yves Dubé pour ses conseils et opinions sur le travail. Ces
derniers ont permis amélioration de la qualité du travail. Ce travail représente un test sur les
potentiels de l’étudiant après quatre années de cours, de laboratoires et de projets. Je tiens
ainsi à remercier tous les professeurs et professionnels du département de génie mécanique
pour une excellente formation.
5
II. Introduction
Les équations issues de la mécanique des fluides sont aujourd’hui utilisées dans beaucoup de
domaine et notamment dans le domaine de l’aéronautique. Ces équations contribuent dans
plusieurs domaines comme le calcul du mouvement et dans le comportement d’un fluide dans
un moteur. Nous allons essayer d’expliquer en détail comment ces équations sont utilisées
notamment dans le calcul du mouvement. Nous les appliquerons pour simuler le déplacement
d’un lanceur vers son orbite autour de la terre.
6
III. Atmosphère
Figure 1: différentes couches de l'atmosphère
L’atmosphère terrestre est composée de différentes couches. La première couche est la
troposphère qui s’étend jusqu'à une altitude comprise entre 8000 m aux pôles et 16000 m à
l’équateur. La troposphère contient environ 75 % de la masse de l’atmosphère. Elle est
composée principalement d’azote et d’oxygène. En moyenne la température diminue avec
l’altitude à prés 7 degrés Celsius par km. La seconde couche de l’atmosphère est la
stratosphère. La stratosphère est séparée de la troposphère par la tropopause. La tropopause
est une couche qui s’étend sur environ 10000 m ou on retrouve une température constante.
Ainsi la stratosphère s’étend sur environ 30000 m. Au niveau de la stratosphère, on a une
augmentation de la température car cette couche est réchauffée par les rayons ultra-violets du
soleil. Ce phénomène d’augmentation de température avec l’augmentation de l’altitude fait de
la stratosphère une couche d’inversion. Une couche d’inversion est une couche d’air dont le
7
gradient est positif. Les avions commerciaux volent typiquement à une altitude proche de dix
kilomètres dans des latitudes tempérées, au ras de la stratosphère. Ceci permet d'éviter les
turbulences de la convection présente dans la troposphère. Les turbulences rencontrées au
cours de la phase de vol sont fréquemment causées par de fortes variations de convections
venant de la troposphère. La stratosphère est limitée vers le haut par la mésosphère. La couche
qui relie la stratosphère et la mésosphère est la stratopause. C’est une zone qui s’étend sur
5000 m. c’est une zone ou la température est constante. La mésosphère s’étend sur environ
30000 m. dans cette zone on observe que la température rechute quand on prend de l’altitude.
Cela est du a la baisse de l’échauffement par le soleil et le refroidissement par l’émission de
CO2. C'est une zone de transition entre la Terre et l'Espace. En y pénétrant, pour descendre sur
Terre, les météorites, satellites, etc. s'échauffent contre les quelques particules d'air qu'ils
rencontrent et sont détruits avant d'atteindre le sol, sauf pour les plus grosses pièces. Les
vaisseaux habités, navettes spatiales, capsules Soyouz, doivent être protégés pour pouvoir
passer cette couche qui va les freiner pour atteindre le sol en douceur. La mésosphère est
limitée vers le haut par la thermosphère. Entre la mésosphère et la thermosphère se trouve la
mésopause qui s’étend sur environ 10000 m. c’est une zone ou on retrouve une température
constante. La thermosphère est la couche la plus large de l’atmosphère. Au niveau de cette
couche les radiations ultraviolettes causent l’ionisation. L'ionisation est l'action qui consiste à
enlever ou ajouter des charges à un atome ou une molécule. L'atome - ou la molécule - perdant
ou gagnant des charges n'est plus neutre électriquement. Il est alors appelé ion. La station
spatiale internationale a une orbite entre 320 et 380 km. La température augmente dans la
thermosphère quand on prend de l’altitude à cause de l’absorption énergétique des radiations
solaires par la faible quantité résiduelle d’oxygène. La température est fortement liée à
l’activité solaire et peut atteindre 1500 °C. La figure suivante présente les différentes couches
de l’atmosphère dont nous avons parle et la variation de leur température en fonction de
l’altitude. Ces couches ne sont pas les seules présentes dans l’atmosphère. Cependant elles
sont les plus importantes pour nous puisque nous n’allons travailler qu’au niveau de ces
couches. Nous allons étudier plus tard dans le travail les variations de la pression et de la
8
densité de chacune de ces couches de l’atmosphère car ces deux variables ont une grande
influence sur les forces qui agissent sur un lanceur.
Figure 2: variation de la température en fonction de l'altitude
9
IV. Variation de la pression atmosphérique
= -δ = - ρ*g
D’après la loi des gaz parfaits:
P*V= R’*t V =
= R’*T donc
= R*T donc ρ =
=
*g donc
=
*g
=
*(1-2z/Ra)*g0 (1)
1. Troposphère
Au niveau de la troposphère on a une variation de la température
T(z)= T0-B*z
=
+
10
P = cte*
(2)
Quand z=0 on a que :
P0 = cte*
donc cte= P0*
P(z)= P0*
*
P(z)= P0*
L’équation de la variation de la température est de :
T(z)= -0.008 + 20z
2. Stratosphère
La stratosphère est séparée de la troposphère par la tropopause.
Tropopause
Si nous repartons de l’équation 1 nous avons :
=
*(1-2z/Ra)*g0
On a une température constante dans cette partie
T = T1 = cte = -60°C
=
*(1-2z/Ra)*g0
=
11
= +
P=
P1=
Cte=
P(z)=
P(z)=
Stratosphère
Si nous repartons de l’équation 2 nous avons
P = cte*
P2 = cte*
12
cte= P2*
P2 = P2*
*
P(z) = P2*
L’équation de la variation de la température est de :
T(z)= 0.002 - 100z
3. Mésosphère
La mésosphère est séparée de la stratosphère par la stratopause.
Stratopause
Si on repart de l’équation 1 on a :
=
*(1-2z/Ra)*g0
On a une température constante dans cette partie
T = T1 = cte = 0
=
*(1-2z/Ra)*g0
=
= +
13
P=
P1=
Cte=
P(z)=
P(z)=
Mésosphère
Si on repart de l’équation 2 nous avons :
P = cte*
P2 = cte*
cte= P2*
P2 = P2*
*
14
P(z) = P2*
L’équation de la variation de la température est de :
T(z)= -0.003 + 165z
4. Thermosphère
La thermosphère est séparée de la mésosphère par la mésopause
Mésopause
Si on repart de l’équation 1 nous avons :
=
*(1-2z/Ra)*g0
On a une température constante dans cette partie
T = T1 = cte=-90°C
=
*(1-2z/Ra)*g0
=
= +
15
P=
P1=
Cte=
P(z)=
P(z)=
Thermosphère
Si on repart de l’équation 2 nous avons
P = cte*
P2 = cte*
cte= P2*
P2 = P2*
*
P(z) = P2*
L’équation de la variation de la température est de : T(z)= 0.0031 - 384z
16
V. Variation de la masse volumique de l’air
= -δ = - ρ*g
D’après la loi des gaz parfaits:
P*V= R’*t V =
= R’*T donc
= R*T donc P = *R*T
=
=
= R [
+
1. Troposphère
T= T0-B*z donc
= -B
R [
+
R
+ = - ρ*g
R
= - ρ*g
R
= - g0 (1-2z/ra))
=
=
–
+
Ln(ρ)=B (
(
(T0-Bz- T0*ln (T0-Bz)
+ ln (cte)
17
Ln(ρ)=-
(T0-Bz- T0*ln (T0-Bz) + ln (cte)
Ln(ρ)=-
ln (T0-Bz) + ln
(cte)
Ln(ρ)=
] +
+ ln (cte)
Soit a=
]
Ln(ρ)= +
+ ln (cte)
Ln(ρ)=
(cte)]
ρ= (cte)
(3)
Quand z=0 on a que ρ0= (cte)
Donc cte= ρ0*
ρ= ρ0*
ρ(z)= ρ0*
2. Stratosphère
La stratosphère est séparée de la troposphere par la tropopause
Tropopause
T= T1 = cte
18
=
=
= R [
+
-g*ρ =
donc
+ ln(cte)
Cte=
Stratosphère
Si on repart de l’équation 3 nous avons :
ρ= (cte)
19
Quand z=0 on a que ρ2= (cte)
Donc cte= ρ2*
ρ= ρ2*
ρ(z)= ρ2*
3. Mésosphère
La mésosphère est séparée de la stratosphère par la stratopause
Stratopause
T= T1 = cte
=
=
= R [
+
-g*ρ =
donc
+ Ln (cte)
20
Cte=
Mésosphère
Si on repart de l’équation 3 nous avons :
ρ= (cte)
Quand z=0 on a que ρ2= (cte)
Donc cte= ρ2*
ρ= ρ2*
ρ(z)= ρ2*
4. Thermosphère
La thermosphère est séparée de la mésosphère par la mésopause.
Mésopause
T= T1 = cte
21
=
=
= R [
+
-g*ρ =
donc
+ Ln (cte)
Cte=
Thermosphère
Si on repart de l’équation 3 nous avons :
ρ= (cte)
22
Quand z=0 on a que ρ2= (cte)
Donc cte= ρ2*
ρ= ρ2*
ρ(z)= ρ2*
23
VI. Variation de la gravite
Figure 3: variation de la gravite en fonction de l'altitude
La valeur de la gravite sur une planète est donne par l’équation ci-dessous
G=
Le « K » dans l’équation représente la constante gravitationnelle ou constante universelle de
gravitation. Dans le système international sa valeur est de 6.67428*10-11 m³ kg-1 s-2.
La gravite sur une terre est donc
24
G=
donc
Donc on peut tirer de cette relation que
G= g0*
r= Ra + z
G=
=
=
Soit ε = h/Ra
G=
= g0 (1+ ε)-2
Si ε<<1 on a que (1+ ε) n ≈ 1+ n ε
Donc G= g0 (1-2 ε) = g0 (1-2z/Ra) (4)
K= constante universelle
M= masse de la planète
r= distance du centre de la planète
g0= gravite a la surface
Ra= rayon de la terre
z= altitude
Le tableau et le graphe suivant présentent les variations de la gravite en fonction de l’altitude
25
Tableau 1: données variation de la gravite en fonction de l'altitude
Altitude (km) Gravité (m/s²) Altitude (km) Gravité (m/s²)
0 9,81 240 9,07090096
30 9,71761262 270 8,97851358
60 9,62522524 300 8,8861262
90 9,53283786 330 8,79373882
120 9,44045048 360 8,70135144
150 9,3480631 390 8,60896406
180 9,25567572 420 8,51657668
210 9,16328834 450 8,4241893
Figure 4: variation de la gravite en fonction de l'altitude
8.2
8.4
8.6
8.8
9
9.2
9.4
9.6
9.8
10
0 100 200 300 400 500
gravite(m/s²)
altitude(km)
gravite en fonction de l'altitude
26
VII. vitesse une fois satellisé
Figure 5: orbites
On peut voir sur les images précédentes qu’il existe principalement deux types d’orbites. Les
orbites géostationnaires qui sont des orbites situées à 36000 km. Elles ont la particularité
d’avoir une période de rotation égale à celle de la terre. Le deuxième type d’orbite est l’orbite
terrestre basse qui se situe entre 160 et 2000 km. Dans notre cas on va travailler sur une orbite
terrestre basse. Donc il nous faut trouver la vitesse à la quelle notre objet se déplacera autour
de cette orbite. La force que la terre exerce sur le satellite est de
F = mg =
M représente la masse de la terre, m représente la masse de l’objet, le K est la constante de
gravitation universelle et le r est la distance par rapport au centre de la terre. La démonstration
qui permet d’obtenir la constante universelle sera fournie en annexe. D’après la seconde loi de
newton on a
27
F = ma = m
Figure 6: forces et vitesses
Donc si on égalise les deux équations on a
=
V²=
donc V=
(5)
Le tableau et la courbe suivante donnent la valeur de vitesse autour de l’orbite en fonction de
l’altitude.
Tableau 2: tableau des données de vitesse en fonction de l'altitude
Altitude (km) Vitesse (m/s) Altitude (km) Vitesse (m/s)
160 7813,61931 480 7628,95593
180 7801,68282 500 7617,84472
200 7789,80088 520 7606,78191
220 7777,97305 540 7595,76716
240 7766,19894 560 7584,80012
28
260 7754,47814 580 7573,88045
280 7742,81024 600 7563,0078
300 7731,19486 620 7552,18185
320 7719,6316 640 7541,40225
340 7708,12006 660 7530,66868
360 7696,65987 680 7519,98081
380 7685,25064 700 7509,33832
400 7673,892 720 7498,74089
420 7662,58358 740 7488,18819
440 7651,325 760 7477,67993
460 7640,11591 780 7467,21577
Figure 7: vitesse d'orbitation en fonction de l'altitude
7400
7450
7500
7550
7600
7650
7700
7750
7800
7850
0 200 400 600 800 1000
Vitesse(m/s)
Altitude(km)
Vitesse en fonction de l'altitude
29
VIII. Équations du mouvement
+ - =
Dans notre cas nous n’avons pas de débit entrant donc :
+ fluide * Vfluide=
+ fluide*A*Ve(Vs-Ve)(cosα)=
+ fluide*A*Ve(Vs-Ve)(cosα)=
=
=
+
cosα
m= m0- fluide*t
= - fluide = fluide*A*Ve
m= m0 fluide*A*Ve*t
(m0 fluide*A*Ve*t)
+ Vs( fluide*A*Ve)cosα + fluide*A*Ve(Vs-Ve)(cosα)
=
(m0 fluide*A*Ve*t)
+ ( fluide*A*Ve²)cosα = -mg – Dz* cosα – A(Pe-P)*
cosα
(m0 fluide*A*Ve*t)
+ ( fluide *Ve)cosα = -(m0 fluide*A*Ve*t) *g0 (1-
2z/Ra) – Dz* cosα – A(Pe-P)* cosα
Dans le domaine de l’astronautique il ya une notion que l’on appelle l’impulsion spécifique ou
specific impulse en anglais. Cette notion décrit une efficacité d’un moteur. Il représente la
30
variation de la quantité de mouvement par unité de propergol utilisé. Pour une valeur de
quantité de mouvement donnée, plus la valeur de l’impulsion est grande moins on a besoin de
comburant. L’impulsion spécifique est soit mesurée en unité de masse ou en unité de poids. Si
la masse est utilisée, l’impulsion spécifique est une impulsion par unité de masse. Avec l’analyse
dimensionnelle, c'est-à-dire la transformation d’une unité de masse en une combinaison
d’autres unités, on trouve que l’impulsion spécifique est une impulsion par unité de vitesse.
Ainsi les impulsion spécifiques sont souvent mesurées en m/s et dans ce cas sont appelées
vitesse de sortie effective. Cette vitesse effective représente la vitesse a laquelle l’objet se
serait déplacé s’il n y avait pas la masse et les différentes forces qui s’appliquent sur l’objet.
Cependant si on travaille avec le poids au lieu de la masse, une impulsion divisée par une unité
de force devient une unité de temps. Ainsi dans ce cas les impulsions spécifiques sont mesurées
en s. ces deux formulations de l’impulsion spécifique sont couramment utilisées et sont
différentes l’un de l’autre par un facteur g qui est la constante de gravite sur la surface de la
terre. Le tableau suivant donne des valeurs d’impulsion spécifique avec différents propergols
Tableau 3: impulsion spécifique en fonction des propergols
propergols Isp (en
secondes)
LO2-LH2 435
LO2-kérosène 320
N2O4-UDMH 305
Réacteur nucléaire/échangeur thermique ~800
Propulseur électrique 1500 à 2000
Les moteurs principaux de la navette spatiale produisent une impulsion spécifique de 453 s
Isp =
donc ve= Isp*g0 où « ve » représente la vitesse effective de sortie et g0 la
gravite à la surface de la terre.
On rappelle que m= m0 fluide*A*Ve*t
31
Comme
= az Donc au final on a que
az=
P=pression atmosphérique
Pe= pression a la tuyère
A= aire de la tuyère du lanceur
Ra= rayon de la terre
L’équation précédente correspond à l’axe z donc pour l’axe x on a :
(m0 fluide*A*Ve*t)
+ ( fluide*A*Ve²)sin = – Dx* sin +
may= -Dx* sin + ( fluide*A*Ve²) sin +
ax =
Nous sommes en présence de fluides qui se déplacent à de très grandes vitesses donc le fluide
doit être considéré comme étant compressible. Pour comprendre comment le fluide se
comporte on utilise une tuyère de Laval. Les engins comme les lanceurs sont équipés de ce type
de tuyère. C’est un tube avec une restriction au milieu qui lui donne une allure d’un sablier. Ce
type de tuyère permet d’accélérer un gaz chaud sous pression qui se déplace à une vitesse
supersonique ou vitesse supérieure à la vitesse du son et au niveau de l’expansion du tube
définir la forme du flux de telle façon à ce que l’énergie calorifique qui propulse le fluide soit
convertie au maximum en énergie cinétique
32
Figure 8: tuyère de Laval
Figure 9: tuyère de Laval
33
Des équations qui prennent en compte les hypothèses de flux isentropiques et les lois des gaz
parfaits permettent de trouver ces résultats suivants. La démonstration sera présentée en
annexe.
Le « k » représente les coefficients de capacité thermique. Pour le mélange LOX/LH2 ce
coefficient est de 1.222. Le «A0 » dans l’équation précédente représente l’aire à la restriction
de la tuyère. Ces équations nous permettent de tracer les courbes suivantes de variation de
pression, densité, température, aire en fonction du nombre de mach qui est la vitesse du fluide
sur la vitesse du son dans le fluide.
Tableau 4: données des variations
nombre de mach P/P0 T/T0 ρ/ρ0 A/A*
0 1 1 1 -
0,1 0,99372407 0,99870169 0,99501578 5,7731039
0,2 0,97517932 0,9948269 0,98024974 2,93376626
0,3 0,94519022 0,98843531 0,95624783 2,00918341
0,4 0,90505205 0,97962382 0,92387523 1,56429822
0,5 0,85642388 0,968523 0,88425483 1,31245489
0,6 0,80119908 0,95529232 0,83869136 1,15842587
0,7 0,74136888 0,94011469 0,78858921 1,06170922
0,8 0,67889385 0,92319055 0,73537194 1,00236042
0,9 0,61559502 0,90473175 0,68041036 0,96961022
34
1 0,55307224 0,88495575 0,624964 0,95731915
1,1 0,49265275 0,86408019 0,5701387 0,96191869
1,2 0,43536874 0,84231806 0,51686089 0,98138963
1,3 0,38195997 0,81987374 0,46586732 1,0147197
1,4 0,3328955 0,79693975 0,41770779 1,06160205
1,5 0,28840816 0,77369439 0,37275798 1,12226281
1,6 0,24853576 0,75030012 0,33123895 1,19736256
1,7 0,21316405 0,72690267 0,29324043 1,28794207
1,8 0,1820677 0,70363073 0,25874552 1,39539621
1,9 0,1549468 0,6805962 0,22765458 1,52146682
2 0,13145768 0,65789474 0,19980731 1,66824897
Figure 10: courbes des variations
On peut remarquer sur la courbe que c’est quand le nombre de mach est égal a 1 que le ratio
A/A* est le minimum. En d’autre terme le nombre de mach au niveau de la restriction est égal à
1. Nous avons essayé de faire une simulation de cela pour bien voir que le nombre de mach est
égal à un au niveau de la restriction. Les images suivantes montrent des résultats de simulation
sur SolidWorks Flow simulation.
0
1
2
3
4
5
6
7
0 0.5 1 1.5 2 2.5
nombre de mach
variations des proprietes en fonction du nombre de mach
P/P0
T/T0
RHO/RHO0
A/A*
35
Figure 11: nombre de mach
Ainsi au niveau de la restriction la valeur du débit au niveau de la restriction est de :
A= Aire du choke (m2)
P=pression (Pa)
k= cp/cv du gaz (heat capacity ratio)
M= masse molaire (kg/kmole)
T=température (K)
R= constante du mélange de gaz =8314.5 (N.m)/(Kmole.K) divisée par la masse molaire
La propulsion est fournie par deux propergols sous forme liquide. Dans notre cas ce sera de
l’oxygène liquide (LO2) et de l’hydrogène liquide (LH2). La densité de l’oxygène liquide est de
1143 kg/m³ et la densité de l’hydrogène liquide est de 70.8 kg/m³. On les utilise sous forme
liquide principalement pour des raisons de stockage. La grande densité permet d’avoir des
36
volumes de stockage assez bas. Dans les lanceurs qui utilisent deux ergols comme dans notre
cas, un des deux est un comburant et l’autre est un carburant. L’oxygène est le comburant et
l’hydrogène est le carburant. Le mélange produit du peroxyde d’hydrogène, de l’eau et des
traces d’ozone. Le peroxyde d’hydrogène a comme masse molaire 34 g/mol
Les deux figures suivantes montrent les différents composants qui composent le moteur.
Figure 12: moteur à ergols liquides
Figure 13: moteur à ergols liquides
37
Ces gaz sont liquéfies a des températures basses pour des raisons de volume et sont pompes
dans une chambre de combustion ou les températures peuvent atteindre 3000 °C. En annexe
on présente un tableau montrant les combinaisons comburant/comburant les plus utilisés.
Il existe plusieurs types de moteurs dans l’industrie qui permettent de fournir une certaine
quantité de propulsion. Le tableau suivant présente certains de ces moteurs et leurs
spécificités. Nous les utiliserons pour notre simulation.
Tableau 5: moteurs utilisés pour des lanceurs
Moteur J-2X SSME RS-68 RS-27A
Isp 448 s 366 s 359 s 255
Pression 1380 psi 2994 psi 1488 psi 700 psi
Ratio des aires 92 :1 69 :1 22 :1 12 :1
Masse 5450 lb 7775 lb 14875 lb 2530 lb
diamètre 12 po 96 po 96 po 67 po
Figure 14: un des moteurs principaux de la navette spatiale
38
IX. Performances
1. Variation de la vitesse
Il existe dans le domaine de l’aérospatiale une équation qui relie la variation maximale de
vitesse avec l’impulsion spécifique et la variation de masse. Cette équation est l’équation de
Tsiolkovski.
Δv = g0*isp*ln
Δv représente la variation de vitesse, m1 représente la masse initiale et m2 représente la
masse finale. Cette équation est une estimation de l’augmentation de la vitesse puisqu’elle ne
prend pas en compte l’effet de la gravite ni de la trainée. La démonstration de l’équation sera
fournie en annexe. Ainsi on transforme l’équation pour avoir :
m1= m2*
Donc cette équation est très utile car elle nous permet de savoir la quantité de carburant à
avoir si on veut atteindre une certaine altitude orbitale qui requiert une certaine vitesse comme
nous l’avons démontré plus tôt. On peut prendre un exemple :
Si on veut mettre en orbite une masse de 20000 kg sur une orbite de 400 km (vitesse =7673,892
m/s) avec du LOX/LH2 (isp=363) il faut que :
m1= 20000*
= 172550 kg de fuel
L’autre utilité de l’équation est qu’elle permet de montrer que plusieurs étages dans un lanceur
permettent une économie de carburant. Si on fait une comparaison entre un lanceur à un seul
étage et un lanceur a plusieurs étages avec des vitesses d’éjection des gaz de 4000 m/s et une
variation de vitesse 7000 m/s.
pour l’appareil à un seul étage, cela requiert :
39
= 0.17
Donc 0.17 % de la masse initiale est disponible pour les moteurs et le satellite et donc 83% de
carburant
Pour l’appareil à deux étages :
Supposons un premier Δv de 5000 m/s et un deuxième de 2000 m/s on aura :
= 0.28 donc 72% de la masse initiale doit être du carburant. Il reste 28%. Si on
considère que les moteurs du premier étage prennent 8% de la masse initiale, il reste 20 %.
Avec le deuxième Δv on a :
= 0.6 donc 40% de la masse restante doit être du carburant. Ainsi il reste 12 %
de la masse initiale en moteur et satellite. Au total on se retrouve avec un pourcentage de
moteur et de satellite de 12+8= 20% et un pourcentage de carburant de 80 %
On peut bien voir une diminution du carburant de 3%. Cette diminution peut avoir un impact
financier important quand on sait que les lanceurs comme la navette spatiale américaine
utilisent 200000 kg d’hydrogène liquide.
2. Calcul du rendement énergétique
La force de propulsion est de :
Fp= g0*Isp* =
La puissance propulsive est de :
Wp= Fp*Ve =
La puissance effective est de :
40
Wep=Ec =
Ainsi la puissance totale est de :
Wt=
Wt =
Le rendement représente la puissance obtenue sur la puissance totale :
=
=
Le tableau et le graphique suivants donne la valeur du rendement en fonction de la vitesse.
Tableau 6: données du rendement en fonction de la vitesse
vs/ve rendement
0 0
0,5 0,8
1 1
1,5 0,92307692
2 0,8
2,5 0,68965517
3 0,6
3,5 0,52830189
4 0,47058824
4,5 0,42352941
5 0,38461538
41
Figure 15: rendement en fonction de la vitesse
3. Les forces en jeu
Si nous faisons un récapitulatif des forces présentes nous verrons qu’il existe quatre forces qui
agissent sur un lanceur : le poids, la trainée, la poussée et la portance que dans notre étude
nous avons négligé. Le schéma suivant montre ces forces et leur point d’application.
Figure 16: forces présentes sur un lanceur
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2 3 4 5 6
Re
nd
em
en
t
Vs/Ve
rendement en fonction de la vitesse
42
Le poids :
m= m0 *t
P= [m0 *t]*g0(1-2z/Ra)
La poussée:
F = fluide*Ve + A(Pe-P)
F= + A(Pe-P)
Trainee :
D= Cd*S* air*
P=pression atmosphérique
Pe= pression a la tuyère
A= aire de la tuyère du lanceur
S= surface du fuselage
43
X. Dimensions et design
Comme nous l’avons montre plus tôt, il est plus bénéfique d’avoir plusieurs étages dans un
lanceur que d’en avoir un seul. En plus cela nous permet de choisir le type de moteur pour
chaque étage. Nous aurons trois étages. Le premier étage est celui qui contient la masse utile
ou le satellite. Cet étage aura un moteur J-2X. Ce moteur est celui qui produira la plus faible
poussée. On se retrouvera à une altitude ou la densité de l’air et la pression vont baisser. Donc
cette poussée sera suffisante. Le deuxième étage aura un moteur de type SSME qui produira
une poussée moyenne et le dernier étage aura un moteur RS-68 qui produit la plus grande
poussée. Cela est nécessaire car au début le lanceur est très lourd et li faut une grande force
pour le faire quitter le sol. Les moteurs ont un diamètre moyen de 2.5 m. Le choix des
dimensions est laissé au soin de l’utilisateur. Le programme en VB demande une surface qui est
fonction du diamètre et de la longueur. Il est ainsi important de bien dimensionner le lanceur
car on déduira la surface à partir de ces dimensions et cette surface aura un impact sur la force
de trainée qui influence l’accélération et ainsi tous le mouvement.
44
XI. RUNGE-KUTTA
La méthode de Runge-Kutta permet de résoudre des équations différentielles de façon
numérique. Dans notre travail nous avons 6 équations différentielles à résoudre. La résolution
de ces équations nous permettra de trouver les valeurs de vitesse, positions en x et z, pressions
atmosphériques, densité de l’air.
=
=
m= m0 fluide*A*Isp*g0*t
Pas de pente
Avec une pente
45
zn+1 = zn + 1/6(Kz1+2Kz2+2Kz3+Kz4)
xn+1 = xn + 1/6(Kx1+2Kx2+2Kx3+Kx4)
vzn+1 = vzn + 1/6(Qz1+2Qz2+2Qz3+Qz4)
vxn+1 = vxn + 1/6(Qx1+2Qx2+2Qx3+Qx4)
Pn+1 = Pn + 1/6(E1+2E2+2E3+E4)
Dn+1 = Dn + 1/6(D1+2D2+2D3+D4)
46
Programme VB
Le programme est constitue de deux modules et d’un form
Form
Figure 17: form du programme
On nous permet d’entrer les valeurs de masse de carburant, masse du satellite, le coefficient de
trainée, l’altitude visée, la surface du lanceur qui est de
, la valeur de l’angle
d’inclinaison et le temps de fonctionnement des moteurs si on décide de couper les moteurs
après un certain temps. Il ya aussi une possibilité de répartition du carburant entre les
47
différents étages. Si cette option n’est pas sélectionnée, une répartition égale du carburant sera
faite. Il existe un bouton reset qui permet d’effacer les résultats précédents et un bouton
enregistrer qui permet d’enregistrer les résultats sous format csv ou Txt. Le format csv ou Txt
peuvent être exportés vers Excel ou nous pourrons tracer des courbes avec les résultats. Le
programme sera en annexe.
Si nous faisons une simulation du programme :
Figure 18: exemple de simulation
Le satellite a une masse de 10000 kg. Le carburant a une masse de 250000 kg. Le coefficient de
trainée est de 0.04 et l’angle d’inclinaison est de 0° par rapport à la verticale. On vise une
altitude de 400 km et la surface du lanceur est de 7.048 m². On peut voir dans les résultats que
le temps que cela a pris est de 254 s. la vitesse finale est de 3069 m/s et les conditions
atmosphériques a cette altitude sont de : pression=86865 Pa; densité=1.1121 kg/m³;
température=861 °C. Le carburant a presque été utilise entièrement d’où on a la valeur
d’utilisation du carburant qui est égale a celle de la valeur du temps de satellisation. Lorsque
nous cliquons sur le bouton enregistrer, on a l’image suivante :
48
Figure 19: enregistrement des résultats
On nous demande ou nous voulons enregistrer le programme. Après avoir choisi l’endroit et
ouvert le programme sur Excel, on a :
Figure 20: résultats sous Excel
On se retrouve avec un tableau Excel avec dans les colonnes : la variation de l’altitude en z et x,
la variation de la vitesse, de la pression, de la densité de l’air, du temps, de la masse de
49
carburant, du temps d’utilisation du carburant et de la température atmosphérique. Avec ces
données nous pouvons tracer des courbes :
Figure 21: courbe de l'altitude en fonction du temps
Figure 22: courbe de la vitesse en fonction du temps
On peut distinguer dans la courbe de la vitesse en fonction du temps les trois segments qui
correspondent aux activations des trois différents moteurs
0
50000
100000
150000
200000
250000
300000
350000
400000
450000
0 50 100 150 200 250 300
altitude en fonction du temps
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
0 50 100 150 200 250 300
vitesse en fonction du temps
50
Figure 23: courbe de la pression en fonction de l'altitude
Figure 24: courbe du carburant en fonction du temps
On peut distinguer dans la courbe du carburant en fonction du temps les trois segments qui
correspondent aux activations des trois différents moteurs
82000
84000
86000
88000
90000
92000
94000
96000
98000
100000
102000
104000
0 100000 200000 300000 400000 500000
pression en fonction de l'altitude
0
50000
100000
150000
200000
250000
300000
0 50 100 150 200 250 300
carburant en fonction du temps
51
Figure 25: courbe de la température en fonction de l'altitude
Figure 26: courbe densité en fonction de l'altitude
Grace à ces courbes, nous pouvons améliorer les performances su lanceurs. Par exemple si on
veut atteindre l’altitude cible avec une plus grande vitesse, il est dans notre intérêt d’avoir une
plus grande vitesse quand la densité de l’aire est faible car cela permettrai de baisser la valeur
-200
0
200
400
600
800
1000
0 100000 200000 300000 400000 500000
temperature en fonction de l'altitude
1.1
1.15
1.2
1.25
1.3
1.35
0 100000 200000 300000 400000 500000
densite en fonction de l'altitude
52
de la trainée qui a une influence sur l’accélération. Si on regarde la figure 24, on voit que la
densité baisse après environ 5km.
Si nous faisons une comparaison des solutions avec des angles différents nous obtenons le
tableau et les graphiques suivants :
Tableau 7: données finales selon plusieurs angles
Angles altitude carburant vitesse temps Temps carburant
0 404695,26 240684,489 3069,58967 254 254
10 405258,926 242055,927 3330,18591 257 257
20 405043,555 246170,242 3827,98694 266 266
30 405308,976 249827,41 4020,55157 277 273
40 401883,855 249827,41 2305,76 305 273
Figure 27: vitesse finale en fonction de différents angles
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
0 50 100 150 200 250 300 350
vite
sse
(m
/s)
temps (s)
0 degres
10 degres
20 degres
30 degres
40 degres
53
Figure 28: altitude finale en fonction de différents angles
Nous avons simulé un lanceur avec une masse initiale de fuel de 250000 kg. Nous avons fait varie l’angle
d’inclinaison pour voir l’influence sur la durée du voyage, la vitesse finale ainsi que la consommation de
carburant. Le tableau et les courbes ci-dessus donnent ces résultats. On peut voir que plus on incline le
lanceur plus le voyage dure plus longtemps et donc plus on dépense de carburant. On peut aussi
constater que le carburant a une durée de 273 secondes et qu’après ces 273 secondes la vitesse
commence à baisser puisqu’il n ya plus de poussée. On observe cela pour les angles de 30 et 40 degrés.
Aussi il est normal que l’on atteigne l’altitude cible de 400 km plus vite avec une plus faible inclinaison.
Ainsi nous avons pu effectuer des comparaisons entre plusieurs essais en modifiant l’angle de départ.
On se rend compte que la variation des conditions atmosphériques comme la pression, la température
ou encore la densité ont une grande influence dans les calculs. La variation gravité a aussi son
importance lorsque l’on parle de vols à haute altitude.
0
50000
100000
150000
200000
250000
300000
350000
400000
450000
0 50 100 150 200 250 300 350
alti
tud
e (
m)
temps (s)
0 degres
10 degres
20 degres
30 degres
40 degres
54
XII. Annexes
1. Mélanges courants et leurs propriétés
Tableau 8: mélanges les plus utilisés dans l'industrie
expansion optimum de 68.05 atm à 1 atm
Expansion optimum de 68.05 atm à 0 atm (dans le
vide) (Areanozzle = 40:1) Oxidan
t comburant commenta
ire Ve r Tc d C* Ve r Tc d C*
LOX H2 commun 3816
4.13
2740
0.29
2416
4462
4.83
2978
0.32
2386
H2-Be 49/51 4498
0.87
2558
0.23
2833
5295
0.91
2589
0.24
2850
CH4 3034
3.21
3260
0.82
1857
3615
3.45
3290
0.83
1838
C2H6 3006
2.89
3320
0.90
1840
3584
3.10
3351
0.91
1825
C2H4 3053
2.38
3486
0.88
1875
3635
2.59
3521
0.89
1855
RP-1 commun 2941
2.58
3403
1.03
1799
3510
2.77
3428
1.03
1783
N2H4 3065
0.92
3132
1.07
1892
3460
0.98
3146
1.07
1878
B5H9 3124
2.12
3834
0.92
1895
3758
2.16
3863
0.92
1894
B2H6 3351
1.96
3489
0.74
2041
4016
2.06
3563
0.75
2039
CH4/H2 92.6/7.4 3126
3.36
3245
0.71
1920
3719
3.63
3287
0.72
1897
GOX GH2 3997
3.29
2576
- 2550
4485
3.92
2862
- 2519
F2 H2 4036
7.94
3689
0.46
2556
4697
9.74
3985
0.52
2530
H2-Li 65.2/34.0 4256
0.96
1830
0.19
2680
H2-Li 60.7/39.3 5050
1.08
1974
0.21
2656
55
CH4 3414
4.53
3918
1.03
2068
4075
4.74
3933
1.04
2064
C2H6 3335
3.68
3914
1.09
2019
3987
3.78
3923
1.10
2014
MMH 3413
2.39
4074
1.24
2063
4071
2.47
4091
1.24
1987
N2H4 3580
2.32
4461
1.31
2219
4215
2.37
4468
1.31
2122
NH3 3531
3.32
4337
1.12
2194
4143
3.35
4341
1.12
2193
B5H9 3502
5.14
5050
1.23
2147
4191
5.58
5083
1.25
2140
OF2 H2 4014
5.92
3311
0.39
2542
4679
7.37
3587
0.44
2499
CH4 3485
4.94
4157
1.06
2160
4131
5.58
4207
1.09
2139
C2H6 3511
3.87
4539
1.13
2176
4137
3.86
4538
1.13
2176
RP-1 3424
3.87
4436
1.28
2132
4021
3.85
4432
1.28
2130
MMH 3427
2.28
4075
1.24
2119
4067
2.58
4133
1.26
2106
N2H4 3381
1.51
3769
1.26
2087
4008
1.65
3814
1.27
2081
MMH/N2H4/H20 50.5/29.8/19.7
3286
1.75
3726
1.24
2025
3908
1.92
3769
1.25
2018
B2H6 3653
3.95
4479
1.01
2244
4367
3.98
4486
1.02
2167
B5H9 3539
4.16
4825
1.20
2163
4239
4.30
4844
1.21
2161
F2/O2 30/70
H2 3871
4.80
2954
0.32
2453
4520
5.70
3195
0.36
2417
RP-1 3103
3.01
3665
1.09
1908
3697
3.30
3692
1.10
1889
F2/O2 70/30
RP-1 3377
3.84
4361
1.20
2106
3955
3.84
4361
1.20
2104
F2/O2 87.8/12.2
MMH 3525
2.82
4454
1.24
2191
4148
2.83
4453
1.23
2186
Oxidant
comburant commentaire
Ve r Tc d C* Ve r Tc d C*
N2F4 CH4 3127
6.44
3705
1.15
1917
3692
6.51
3707
1.15
1915
C2H4 3035
3.67
3741
1.13
1844
3612
3.71
3743
1.14
1843
MMH 3163
3.35
3819
1.32
1928
3730
3.39
3823
1.32
1926
56
N2H4 3283
3.22
4214
1.38
2059
3827
3.25
4216
1.38
2058
NH3 3204
4.58
4062
1.22
2020
3723
4.58
4062
1.22
2021
B5H9 3259
7.76
4791
1.34
1997
3898
8.31
4803
1.35
1992
ClF5 MMH 2962
2.82
3577
1.40
1837
3488
2.83
3579
1.40
1837
N2H4 3069
2.66
3894
1.47
1935
3580
2.71
3905
1.47
1934
MMH/N2H4 86/14
2971
2.78
3575
1.41
1844
3498
2.81
3579
1.41
1844
MMH/N2H4/N2H5
NO3 55/26/19 298
9 2.4
6 371
7 1.4
6 186
4 350
0 2.4
9 372
2 1.4
6 186
3
ClF3 MMH/N2H4/N2H5
NO3 55/26/19 hypergolic 278
9 2.9
7 340
7 1.4
2 173
9 327
4 3.0
1 341
3 1.4
2 173
9
N2H4 hypergolic 2885
2.81
3650
1.49
1824
3356
2.89
3666
1.50
1822
N2O4 MMH hypergolic, commun
2827
2.17
3122
1.19
1745
3347
2.37
3125
1.20
1724
MMH/Be 76.6/29.4
3106
0.99
3193
1.17
1858
3720
1.10
3451
1.24
1849
MMH/Al 63/27 2891
0.85
3294
1.27
1785
MMH/Al 58/42 3460
0.87
3450
1.31
1771
N2H4 hypergolic, commun
2862
1.36
2992
1.21
1781
3369
1.42
2993
1.22
1770
N2H4/UDMH 50/50
hypergolic, commun
2831
1.98
3095
1.12
1747
3349
2.15
3096
1.20
1731
N2H4/Be 80/20 3209
0.51
3038
1.20
1918
N2H4/Be 76.6/23.4
3849
0.60
3230
1.22
1913
B5H9 2927
3.18
3678
1.11
1782
3513
3.26
3706
1.11
1781
NO/N2
O4 25/75
MMH 2839
2.28
3153
1.17
1753
3360
2.50
3158
1.18
1732
N2H4/Be 76.6/23.4
2872
1.43
3023
1.19
1787
3381
1.51
3026
1.20
1775
IRFNA IIIa
UDMH/DETA 60/40
hypergolic 2638
3.26
2848
1.30
1627
3123
3.41
2839
1.31
1617
MMH hypergolic 2690
2.59
2849
1.27
1665
3178
2.71
2841
1.28
1655
UDMH hypergolic 2668
3.13
2874
1.26
1648
3157
3.31
2864
1.27
1634
IRFNA UDMH/DETA hypergolic 268 3.0 290 1.3 165 318 3.2 295 1.3 164
57
IV HDA 60/40 9 6 3 2 6 7 5 1 3 1
MMH hypergolic 2742
2.43
2953
1.29
1696
3242
2.58
2947
1.31
1680
UDMH hypergolic 2719
2.95
2983
1.28
1676
3220
3.12
2977
1.29
1662
H2O2 MMH 2790
3.46
2720
1.24
1726
3301
3.69
2707
1.24
1714
N2H4 2810
2.05
2651
1.24
1751
3308
2.12
2645
1.25
1744
N2H4/Be 74.5/25.5
3289
0.48
2915
1.21
1943
3954
0.57
3098
1.24
1940
B5H9 3016
2.20
2667
1.02
1828
3642
2.09
2597
1.01
1817
N2H4 B2H6 3342
1.16
2231
0.63
2080
3953
1.16
2231
0.63
2080
B5H9 3204
1.27
2441
0.80
1960
3819
1.27
2441
0.80
1960
Oxidant
comburant commentaire
Ve r Tc d C* Ve r Tc d C*
r= ratio du mélange
Ve= vitesse de sortie à la tuyère
T= température de la chambre de combustion
d= densité du mélange
2. Programme VB
Le code du form est :
Imports System.IO
Public Class Form1
Private Sub Button1_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As
System.EventArgs) Handles Button1.Click
Dim isp, cd, m0, altitude, mfluide, massenette, consommation, alpha,
surface, tempsfonc, temps1, temps2, temps3 As Double
massenette = Val(TextBox1.Text)
mfluide = Val(TextBox2.Text)
58
alpha = Val(TextBox4.Text)
surface = Val(TextBox8.Text)
isp = 363
m0 = mfluide + massenette
cd = Val(TextBox5.Text)
altitude = Val(TextBox3.Text) * 1000
If CheckBox1.Checked = True Then
tempsfonc = Val(TextBox6.Text)
End If
If CheckBox1.Checked = False Then
tempsfonc = 0
End If
If CheckBox2.Checked = True Then
temps1 = Val(TextBox7.Enabled)
temps2 = Val(TextBox9.Enabled)
temps3 = Val(TextBox10.Enabled)
End If
If CheckBox2.Checked = True Then
temps1 = 0
temps2 = 0
temps3 = 0
End If
consommation = motion(isp, cd, m0, altitude, massenette, mfluide,
alpha, surface, tempsfonc, temps1, temps2, temps3)
excel = consommation
DataGridView1.Item(1, 0).Value = tp(consommation)
DataGridView1.Item(1, 1).Value = zpp(consommation)
DataGridView1.Item(1, 2).Value = xpp(consommation)
DataGridView1.Item(1, 3).Value = vpp(consommation)
DataGridView1.Item(1, 4).Value = ppp(consommation)
DataGridView1.Item(1, 5).Value = dpp(consommation)
DataGridView1.Item(1, 6).Value = tt(consommation)
DataGridView1.Item(1, 7).Value = carburant(consommation)
DataGridView1.Item(1, 8).Value = tempscarburant(consommation)
DataGridView1.Item(2, 0).Value = "s"
DataGridView1.Item(2, 1).Value = "m"
DataGridView1.Item(2, 2).Value = "m"
DataGridView1.Item(2, 3).Value = "m/s"
DataGridView1.Item(2, 4).Value = "Pa"
DataGridView1.Item(2, 5).Value = "kg/m^3"
DataGridView1.Item(2, 6).Value = "C"
DataGridView1.Item(2, 7).Value = "kg"
DataGridView1.Item(2, 8).Value = "s"
DataGridView1.ReadOnly = True
DataGridView1.AutoResizeColumn(0)
DataGridView1.AutoResizeColumn(1)
TextBox1.Enabled = False
TextBox2.Enabled = False
59
TextBox3.Enabled = False
TextBox4.Enabled = False
TextBox5.Enabled = False
TextBox6.Enabled = False
TextBox8.Enabled = False
CheckBox1.Enabled = False
CheckBox2.Enabled = False
Button1.Enabled = False
Button2.Enabled = True
End Sub
Private Sub Form1_Load(ByVal sender As System.Object, ByVal e As
System.EventArgs) Handles MyBase.Load
Button1.Enabled = True
Button2.Enabled = False
TextBox7.Enabled = False
TextBox9.Enabled = False
TextBox10.Enabled = False
DataGridView1.ColumnCount = 3
DataGridView1.RowCount = 9
DataGridView1.Item(0, 0).Value = "temps"
DataGridView1.Item(0, 1).Value = "positionz"
DataGridView1.Item(0, 2).Value = "positionx"
DataGridView1.Item(0, 3).Value = "vitesse"
DataGridView1.Item(0, 4).Value = "pression"
DataGridView1.Item(0, 5).Value = "densite"
DataGridView1.Item(0, 6).Value = "temperature"
DataGridView1.Item(0, 7).Value = "carburant"
DataGridView1.Item(0, 8).Value = "temps carburant"
End Sub
Private Sub CheckBox1_CheckedChanged(ByVal sender As System.Object, ByVal
e As System.EventArgs) Handles CheckBox1.CheckedChanged
If CheckBox1.Checked = True Then
TextBox6.Enabled = True
End If
If CheckBox1.Checked = False Then
TextBox6.Enabled = False
End If
End Sub
Private Sub Button2_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As
System.EventArgs) Handles Button2.Click
Call reset()
TextBox1.Enabled = True
TextBox2.Enabled = True
TextBox3.Enabled = True
TextBox4.Enabled = True
60
TextBox5.Enabled = True
TextBox6.Enabled = True
TextBox8.Enabled = True
CheckBox1.Enabled = True
CheckBox2.Enabled = True
Button1.Enabled = True
Button2.Enabled = False
End Sub
Private Sub Button3_Click(ByVal sender As System.Object, ByVal e As
System.EventArgs) Handles Button3.Click
Dim nomfichier As String
SaveFileDialog1.Filter = "*.csv|*.csv|*.txt|*.txt"
If SaveFileDialog1.ShowDialog() = Windows.Forms.DialogResult.Cancel
Then
Exit Sub
End If
nomfichier = SaveFileDialog1.FileName
Dim write As StreamWriter
write = New StreamWriter(nomfichier)
Dim message As String
Dim message1 As String
message1 = "altitude en z" & ";" & "altitude en x" & ";" & "vitesse"
& ";" & "pression" & ";" & "densite" & ";" & "temps" & ";" & "carburant" &
";" & "temps carburant" & ";" & "temperature"
write.WriteLine(message1)
For i = 0 To excel
message = zpp(i) & ";" & xpp(i) & ";" & vpp(i) & ";" & ppp(i) &
";" & dpp(i) & ";" & tp(i) & ";" & carburant(i) & ";" & tempscarburant(i) &
";" & tt(i)
write.WriteLine(message)
Next
write.Close()
MsgBox("fichier sauvegardé")
End Sub
61
Private Sub CheckBox2_CheckedChanged(ByVal sender As System.Object, ByVal
e As System.EventArgs) Handles CheckBox2.CheckedChanged
If CheckBox2.Checked = True Then
TextBox7.Enabled = True
TextBox9.Enabled = True
TextBox10.Enabled = True
End If
If CheckBox2.Checked = False Then
TextBox7.Enabled = False
TextBox9.Enabled = False
TextBox10.Enabled = False
End If
End Sub
End Class
Module 1
Une fois les données entrées dans le form, on les transfère au module 1 qui effectue le calcul et
le stockage des résultats. Le code du module 1 est :
Module Module1
Public Function motion(ByVal isp, ByVal cd, ByVal m0, ByVal altitude,
ByVal massenette, ByVal mfluide, ByVal alpha, ByVal surface, ByVal tempsfonc,
ByVal temps1, ByVal temps2, ByVal temps3)
Dim kx1, kx2, kx3, kx4, kz1, kz2, kz3, kz4, qx1, qx2, qx3, qx4, qz1,
qz2, qz3, qz4, e1, e2, e3, e4, d1, d2, d3, d4, h, masse, g0, g1, g2, g3, g4,
dragz1, dragz2, dragz3, dragz4, dragx1, dragx2, dragx3, dragx4, r As Double
Dim rayon, position As Double
Dim massemoteur As Double
Dim pressioninterne, massemolaire, gamma, cstuniverselle, tempinterne
As Double
Dim aire1, aire2 As Double
Dim debit1, debit2 As Double
gamma = 1.222
massemolaire = 34
cstuniverselle = 8.3145
tempinterne = 3273
rayon = 6371000
g0 = 9.81
r = 287.05
Dim t As Double
Dim angle As Double
62
Dim a As Double
vitesse(0) = 0
z(0) = 0
vitessex(0) = 0
vitessez(0) = 0
pression(0) = 101325
densite(0) = 1.293
h = 1
Dim pext, b, debitfin As Double
pext = 39295.8
Dim fin As Double
Dim t1, t2, t3 As Double
For i = 0 To 99999999999 Step h
Dim zp As Double
Dim xp As Double
Dim dp As Double
Dim pp As Double
Dim vp As Double
Dim c As Double
If temps1 > 0 And temps2 > 0 And temps3 > 0 Then
t1 = mfluide * temps1 / 1310
t2 = mfluide * temps2 / 841
t3 = mfluide * temps3 / 457
If t < t1 Then
aire1 = 4.67
aire2 = 0.21
pressioninterne = 9194388
massemoteur = 6747 + 3526 + 2472
End If
If t > t1 And t < t2 Then
aire1 = 4.67
aire2 = 0.067
pressioninterne = 18500000
massemoteur = 3526 + 2472
End If
If t > t2 Then
aire1 = 7.29
aire2 = 0.079
pressioninterne = 8527054
massemoteur = 2472
End If
End If
If temps1 = 0 Or temps2 = 0 Or temps3 = 0 Then
If t < 100 Then
aire1 = 4.67
aire2 = 0.21
pressioninterne = 9194388
massemoteur = 6747 + 3526 + 2472
End If
If t > 100 And t < 200 Then
aire1 = 4.67
63
aire2 = 0.067
pressioninterne = 18500000
massemoteur = 3526 + 2472
End If
If t > 200 Then
aire1 = 7.29
aire2 = 0.079
pressioninterne = 8527054
massemoteur = 2472
End If
End If
debit1 = aire2 * pressioninterne * Math.Sqrt((gamma) /
(tempinterne * cstuniverselle * massemolaire)) * (2 / (gamma + 1)) ^ ((gamma
+ 1) / (2 * (gamma - 1)))
debit2 = aire2 * pressioninterne * Math.Sqrt((gamma) /
(tempinterne * cstuniverselle * massemolaire)) * (2 / (gamma + 1)) ^ ((gamma
+ 1) / (2 * (gamma - 1)))
If tempsfonc > 0 Then
If t >= tempsfonc Then
debit1 = 0
masse = m0 - debitfin + massemoteur
a = tempsfonc
b = 1
End If
End If
If ((mfluide - debitfin) > debit2) Then
debitfin = debitfin + debit1
End If
If ((mfluide - debitfin) < debit2) Then
debitfin = debitfin
End If
g1 = g0 * (1 - 2 * (z(i) / rayon))
g2 = g0 * (1 - 2 * ((z(i) + kz1 / 2) / rayon))
g3 = g0 * (1 - 2 * ((z(i) + kz2 / 2) / rayon))
g4 = g0 * (1 - 2 * ((z(i) + kz3) / rayon))
If ((mfluide - debitfin) > debit2) And (b = 0) Then
masse = m0 - debitfin + massemoteur
a = t
c = 1
End If
If ((mfluide - debitfin) < debit2) And (b = 0) Then
masse = massenette + massemoteur
a = t
b = 1
End If
If ((mfluide - debitfin) < debit2) Then
debit1 = 0
c = 0
64
End If
dragz1 = (cd * surface * densite(i) * (vitessez(i)) ^ 2) / 2
dragz2 = (cd * surface * (densite(i) + d1 / 2) * (vitessez(i) +
qz1 / 2) ^ 2) / 2
dragz2 = (cd * surface * (densite(i) + d2 / 2) * (vitessez(i) +
qz2 / 2) ^ 2) / 2
dragz4 = (cd * surface * (densite(i) + d3) * (vitessez(i) + qz3)
^ 2) / 2
dragx1 = (cd * surface * densite(i) * (vitessex(i)) ^ 2) / 2
dragx2 = (cd * surface * (densite(i) + d1 / 2) * (vitessex(i) +
qx1 / 2) ^ 2) / 2
dragx2 = (cd * surface * (densite(i) + d2 / 2) * (vitessex(i) +
qx2 / 2) ^ 2) / 2
dragx4 = (cd * surface * (densite(i) + d3) * (vitessex(i) + qx3)
^ 2) / 2
If z(i) >= 0 And z(i) < 10000 Then
temperature = -0.008 * z(i) + 20
End If
If z(i) >= 10000 And z(i) < 20000 Then
temperature = -60
End If
If z(i) >= 20000 And z(i) < 50000 Then
temperature = 0.002 * z(i) - 100
End If
If z(i) >= 50000 And z(i) < 55000 Then
temperature = 0
End If
If z(i) >= 55000 And z(i) < 850000 Then
temperature = -0.003 * z(i) + 165
End If
If z(i) >= 85000 And z(i) < 950000 Then
temperature = -90
End If
If z(i) >= 95000 Then
temperature = 0.0031 * z(i) - 384
End If
If z(i) > 100 Then
angle = alpha * Math.PI / 180
End If
If z(i) <= 100 Then
angle = 0
End If
qz1 = h * (((Math.Cos(angle) * debit1 * (isp * g0)) -
Math.Cos(angle) * dragz1 - masse * g1 + Math.Cos(angle) * aire1 * (pext -
pression(i))) / masse)
qx1 = h * (((Math.Sin(angle) * debit1 * (isp * g0)) -
Math.Sin(angle) * dragx1 + Math.Sin(angle) * aire1 * (pext - pression(i))) /
masse)
kz1 = h * vitessez(i)
kx1 = h * vitessex(i)
65
e1 = h * ((-pression(i) * g1) / (r * (temperature + 273)))
If z(i) >= 0 And z(i) < 10000 Then
d1 = ((0.008 * r - g1) * densite(i)) / (r * (temperature +
273))
End If
If z(i) >= 10000 And z(i) < 20000 Then
d1 = h * ((-(densite(i)) * g1) / (r * temperature + 273))
End If
If z(i) >= 20000 And z(i) < 50000 Then
d1 = ((-0.002 * r - g1) * densite(i)) / (r * (temperature +
273))
End If
If z(i) >= 50000 And z(i) < 55000 Then
d1 = h * ((-(densite(i)) * g1) / (r * temperature + 273))
End If
If z(i) >= 55000 And z(i) < 850000 Then
d1 = ((0.003 * r - g1) * densite(i)) / (r * (temperature +
273))
End If
If z(i) >= 85000 And z(i) < 950000 Then
d1 = h * ((-(densite(i)) * g1) / (r * temperature + 273))
End If
If z(i) >= 95000 Then
d1 = ((-0.0031 * r - g1) * densite(i)) / (r * (temperature +
273))
End If
qz2 = h * (((Math.Cos(angle) * debit1 * (isp * g0)) -
Math.Cos(angle) * dragz2 - masse * g2 + Math.Cos(angle) * aire1 * (pext -
(pression(i) + e1 / 2))) / masse)
qx2 = h * (((Math.Sin(angle) * debit1 * (isp * g0)) -
Math.Sin(angle) * dragx2 + Math.Sin(angle) * aire1 * (pext - (pression(i) +
e1 / 2))) / masse)
kz2 = h * (vitessez(i) + qz1 / 2)
kx2 = h * (vitessex(i) + qx1 / 2)
e2 = h * ((-(pression(i) + e1 / 2) * g2) / (r * temperature +
273))
If z(i) >= 0 And z(i) < 10000 Then
d2 = ((0.008 * r - g2) * (densite(i) + d1 / 2)) / (r *
(temperature + 273))
End If
If z(i) >= 10000 And z(i) < 20000 Then
d2 = h * ((-(densite(i) + d1 / 2) * g2) / (r * temperature +
273))
End If
If z(i) >= 20000 And z(i) < 50000 Then
d2 = ((-0.002 * r - g2) * (densite(i) + d1 / 2)) / (r *
(temperature + 273))
End If
If z(i) >= 50000 And z(i) < 55000 Then
d2 = h * ((-(densite(i) + d1 / 2) * g2) / (r * temperature +
273))
End If
If z(i) >= 55000 And z(i) < 850000 Then
d2 = ((0.003 * r - g2) * (densite(i) + d1 / 2)) / (r *
(temperature + 273))
66
End If
If z(i) >= 85000 And z(i) < 950000 Then
d2 = h * ((-(densite(i) + d1 / 2) * g2) / (r * temperature +
273))
End If
If z(i) >= 95000 Then
d2 = ((-0.0031 * r - g2) * (densite(i) + d1 / 2)) / (r *
(temperature + 273))
End If
qz3 = h * (((Math.Cos(angle) * debit1 * (isp * g0)) -
Math.Cos(angle) * dragz3 - masse * g3 + Math.Cos(angle) * aire1 * (pext -
(pression(i) + e2 / 2))) / masse)
qx3 = h * (((Math.Sin(angle) * debit1 * (isp * g0)) -
Math.Sin(angle) * dragx3 + Math.Sin(angle) * aire1 * (pext - (pression(i) +
e2 / 2))) / masse)
kz3 = h * (vitessez(i) + qz2 / 2)
kx3 = h * (vitessex(i) + qx2 / 2)
e3 = h * ((-(pression(i) + e2 / 2) * g3) / (r * temperature +
273))
If z(i) >= 0 And z(i) < 10000 Then
d3 = ((0.008 * r - g3) * (densite(i) + d2 / 2)) / (r *
(temperature + 273))
End If
If z(i) >= 10000 And z(i) < 20000 Then
d3 = h * ((-(densite(i) + d2 / 2) * g3) / (r * temperature +
273))
End If
If z(i) >= 20000 And z(i) < 50000 Then
d3 = ((-0.002 * r - g3) * (densite(i) + d2 / 2)) / (r *
(temperature + 273))
End If
If z(i) >= 50000 And z(i) < 55000 Then
d3 = h * ((-(densite(i) + d2 / 2) * g3) / (r * temperature +
273))
End If
If z(i) >= 55000 And z(i) < 850000 Then
d3 = ((0.003 * r - g3) * (densite(i) + d2 / 2)) / (r *
(temperature + 273))
End If
If z(i) >= 85000 And z(i) < 950000 Then
d3 = h * ((-(densite(i) + d2 / 2) * g3) / (r * temperature +
273))
End If
If z(i) >= 95000 Then
d3 = ((-0.0031 * r - g3) * (densite(i) + d2 / 2)) / (r *
(temperature + 273))
End If
qz4 = h * (((Math.Cos(angle) * debit1 * (isp * g0)) -
Math.Cos(angle) * dragz4 - masse * g4 + Math.Cos(angle) * aire1 * (pext -
(pression(i) + e3))) / masse)
qx4 = h * (((Math.Sin(angle) * debit1 * (isp * g0)) -
Math.Sin(angle) * dragx4 + Math.Sin(angle) * aire1 * (pext - (pression(i) +
e3))) / masse)
67
kz4 = h * (vitessez(i) + qz3)
kx4 = h * (vitessex(i) + qx3)
e4 = h * ((-(pression(i) + e3) * g4) / (r * temperature + 273))
If z(i) >= 0 And z(i) < 10000 Then
d4 = ((0.008 * r - g4) * (densite(i) + d3)) / (r *
(temperature + 273))
End If
If z(i) >= 10000 And z(i) < 20000 Then
d4 = h * ((-(densite(i) + d3) * g4) / (r * temperature +
273))
End If
If z(i) >= 20000 And z(i) < 50000 Then
d4 = ((-0.002 * r - g4) * (densite(i) + d3)) / (r *
(temperature + 273))
End If
If z(i) >= 50000 And z(i) < 55000 Then
d4 = h * ((-(densite(i) + d3) * g4) / (r * temperature +
273))
End If
If z(i) >= 55000 And z(i) < 850000 Then
d4 = ((0.003 * r - g4) * (densite(i) + d3)) / (r *
(temperature + 273))
End If
If z(i) >= 85000 And z(i) < 950000 Then
d4 = h * ((-(densite(i) + d3) * g4) / (r * temperature +
273))
End If
If z(i) >= 95000 Then
d4 = ((-0.0031 * r - g4) * (densite(i) + d3)) / (r *
(temperature + 273))
End If
z(i + 1) = z(i) + (1 / 6) * (kz1 + 2 * kz2 + 2 * kz3 + kz4)
x(i + 1) = x(i) + (1 / 6) * (kx1 + 2 * kx2 + 2 * kx3 + kx4)
vitessez(i + 1) = vitessez(i) + (1 / 6) * (qz1 + 2 * qz2 + 2 *
qz3 + qz4)
vitessex(i + 1) = vitessex(i) + (1 / 6) * (qx1 + 2 * qx2 + 2 *
qx3 + qx4)
pression(i + 1) = pression(i) + (1 / 6) * (e1 + 2 * e2 + 2 * e3 +
e4)
densite(i + 1) = densite(i) + (1 / 6) * (d1 + 2 * d2 + 2 * d3 +
d4)
t = t + h
vitesse(i + 1) = Math.Sqrt((vitessex(i + 1)) ^ 2 + (vitessez(i +
1)) ^ 2)
vp = vitesse(i + 1)
pp = pression(i + 1)
dp = densite(i + 1)
zp = z(i + 1)
xp = x(i + 1)
valeurs(temperature, i, zp, vp, pp, dp, t, debitfin, xp, a, c)
Dim j As Double
j = i
68
If (((z(i) < altitude))) Then
If i > 0 Then
If (((z(i) - z(i - 1)) < 0)) Or (vitesse(i) < 0) Then
position = z(i)
fin = i
i = 99999999999
End If
End If
End If
If (((z(j) >= altitude))) Then
position = altitude
fin = i
i = 99999999999
End If
Next
Return fin
End Function
Public Sub valeurs(ByVal temperature, ByVal i, ByVal zp, ByVal vp, ByVal
pp, ByVal dp, ByVal t, ByVal debitfin, ByVal xp, ByVal a, ByVal c)
zpp(i) = zp
xpp(i) = xp
vpp(i) = vp
ppp(i) = pp
dpp(i) = dp
tp(i) = t
tt(i) = temperature
carburant(i) = debitfin
If c = 0 Then
tempscarburant(i) = a
End If
If c = 1 Then
tempscarburant(i) = t
End If
End Sub
Public Sub reset()
For i = 0 To 4000
z(i) = 0
x(i) = 0
zpp(i) = 0
xpp(i) = 0
vitessex(i) = 0
vitessez(i) = 0
vitesse(i) = 0
vpp(i) = 0
densite(i) = 0
dpp(i) = 0
pression(i) = 0
69
ppp(i) = 0
tp(i) = 0
temperature = 0
tt(i) = 0
carburant(i) = 0
tempscarburant(i) = 0
Next
End Sub
End Module
Module 2
Le module 2 contient les constantes qui sont lues dans tout le programme. Le code du module 2
est :
Module Module2
Public z(10000000)
Public x(10000000)
Public zpp(10000000)
Public xpp(10000000)
Public vitessex(10000000)
Public vitessez(10000000)
Public vitesse(10000000)
Public vpp(10000000)
Public densite(10000000)
Public dpp(10000000)
Public pression(10000000)
Public ppp(10000000)
Public tp(10000000)
Public temperature
Public tt(10000000)
Public carburant(10000000)
Public tempscarburant(10000000)
Public excel As Double
End Module
3. Démonstration équation de Tsiolkovski
70
D’après la seconde loi de newton:
P1 représente la quantité de mouvement du lanceur au moment t et P2 la quantité de
mouvement du lanceur, carburant et la masse expulsée au moment t+Δt
V est la vitesse du lanceur au temps t, V+ΔV la vitesse au temps t+Δt et Ve la vitesse
d’échappement des gaz dans un repère extérieur au lanceur
m+ Δm la masse du lanceur au temps t et m la masse au temps t+Δt
Ve = V − ve ou ve est la vitesse d’échappement des gaz sur repère sur le lanceur
S’il n ya pas de forces externes on a que :
Si on considère ve constante on se retrouve avec :
71
4. Démonstration équation des fluides compressibles
72
73
74
75
76
77
XIII. Références
1. http://en.wikipedia.org/wiki/Tsiolkovsky_rocket_equation
2. http://books.google.ca/books?id=rbcTeQ4UqsoC&printsec=frontcover&hl=fr#v=onepag
e&q&f=false
3. http://en.wikipedia.org/wiki/Liquid_rocket_propellants
4. http://en.wikipedia.org/wiki/Atmosphere_of_Earth
5. Introduction to fluid mechanics
6. http://en.wikipedia.org/wiki/Specific_impulse
7. http://en.wikipedia.org/wiki/Liquid-propellant_rocket
8. http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/mflchk.html
9. http://en.wikipedia.org/wiki/File:Earth-G-force.png
10. http://www.ambrosevideo.com/resources/documents/AtmosphereTemperatureGradia
nt.jpg
11. http://www.science-et-vie.net/img/illustrations/A/atmosphere.png
12. http://en.wikipedia.org/wiki/De_Laval_nozzle
78
Table des figures et des tableaux
Figure 1: différentes couches de l'atmosphère ............................................................................................ 6
Figure 2: variation de la température en fonction de l'altitude ................................................................... 8
Figure 3: variation de la gravite en fonction de l'altitude ........................................................................... 23
Figure 4: variation de la gravite en fonction de l'altitude ........................................................................... 25
Figure 5: orbites .......................................................................................................................................... 26
Figure 6: forces et vitesses .......................................................................................................................... 27
Figure 7: vitesse d'orbitation en fonction de l'altitude ............................................................................... 28
Figure 8: tuyère de Laval ............................................................................................................................. 32
Figure 9: tuyère de Laval ............................................................................................................................. 32
Figure 10: courbes des variations ............................................................................................................... 34
Figure 11: nombre de mach ........................................................................................................................ 35
Figure 12: moteur à ergols liquides ............................................................................................................ 36
Figure 13: moteur à ergols liquides ............................................................................................................ 36
Figure 14: un des moteurs principaux de la navette spatiale ..................................................................... 37
Figure 15: rendement en fonction de la vitesse ......................................................................................... 41
Figure 16: forces présentes sur un lanceur ................................................................................................. 41
Figure 17: form du programme .................................................................................................................. 46
Figure 18: exemple de simulation ............................................................................................................... 47
Figure 19: enregistrement des résultats ..................................................................................................... 48
Figure 20: résultats sous Excel .................................................................................................................... 48
Figure 21: courbe de l'altitude en fonction du temps ................................................................................ 49
Figure 22: courbe de la vitesse en fonction du temps ................................................................................ 49
Figure 23: courbe de la pression en fonction de l'altitude ......................................................................... 50
Figure 24: courbe du carburant en fonction du temps ............................................................................... 50
Figure 25: courbe de la température en fonction de l'altitude .................................................................. 51
Figure 26: courbe densité en fonction de l'altitude .................................................................................... 51
Figure 27: vitesse finale en fonction de différents angles .......................................................................... 52
Figure 28: altitude finale en fonction de différents angles ......................................................................... 53
79
Tableau 1: données variation de la gravite en fonction de l'altitude ......................................................... 25
Tableau 2: tableau des données de vitesse en fonction de l'altitude ........................................................ 27
Tableau 3: impulsion spécifique en fonction des propergols ..................................................................... 30
Tableau 4: données des variations ............................................................................................................. 33
Tableau 5: moteurs utilisés pour des lanceurs ........................................................................................... 37
Tableau 6: données du rendement en fonction de la vitesse .................................................................... 40
Tableau 7: données finales selon plusieurs angles ..................................................................................... 52
Tableau 8: mélanges les plus utilisés dans l'industrie ................................................................................ 54
80
XIV. Index
Atmosphere, 4
etages, 35, 40
flux isentropiques, 30
gravite, 20, 35
l’impulsion specifique, 26, 35
masse volumique de l’air, 14
Mesosphere, 10, 17
performances, 35
poids, 39
poussee, 39
pression atmospherique, 7, 28, 39
puissance, 36
rendement, 36
RUNGE-KUTTA, 40
Stratosphere, 8, 15
Thermosphere, 12, 18
Trainee, 39
troposphere, 7, 14
vitesse, 23, 35
